WYBRANE ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W STEROWANIU PROCESAMI ODLEWNICZYMI

Transkrypt

1 47/17 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2005, Rocznk 5, Nr 17 Archves of Foundry Year 2005, Volume 5, Book 17 PAN - Katowce PL ISSN WYBRANE ZASTOSOWANIA OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W STEROWANIU PROCESAMI ODLEWNICZYMI E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydzał Odlewnctwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków STRESZCZENIE W artykule przedstawono ogólny model matematyczny optymalzacj rozmytej oraz klasyfkację metod programowana matematycznego, które można wykorzystać w rozwązywanu zadań optymalzacj rozmytej. Przedstawono także wybrane modele rozmytośc parametrów dowolnego procesu technologcznego. Artykuł uzupełnono przykładam odlewnczych zastosowań optymalzacj rozmytej Key words: fuzzy optmzaton, control of foundry processes 1. WPROWADZENIE Modele matematyczne szeregu procesów technologcznych mogą występować w postac model determnstycznych albo rozmytych. W perwszym przypadku, wszystke wartośc współczynnków występujących w funkcjach tworzących model matematyczny, są określone sztywno, w postac ścśle określonych wartośc lczbo - wych. Take determnstyczne podejśce często ne sprawdza sę w praktyce technolo - gcznej, na przykład w opse nektórych procesów odlewnczych. Podejśce rozmyte pozwala za założene nepewnej wartośc każdego współczynnka modelu, co znaczne lepej opsuje rzeczywste uwarunkowana technologczne. Należy podkreślć, ż nepewność wartośc pewnego parametru ne jest tutaj rozumana w sense rachunku prawdopodobeństwa. Istotę różnc mędzy pojęcem nepewność w teor rozmytośc, a znaczenem tego pojęca w teor rachunku prawdopodobeństwa wyjaśnono mędzy nnym w publkacj [2]. 1 Dr nż., ez@agh.edu.pl 393

2 2. MODEL OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ BEZ OGRANICZEŃ Determnstyczny model zadana optymalzacj (tutaj mnmalzacj) bez ogranczeń ma postać [1]: Znaleźć take wartośc x aby f x x mn f. (1) Założenem tutaj jest różnczkowalność funkcj f. Model rozmyty będze posadał postać analogczną do (1), jednak nektóre współczynnk będą rozmyte, według przyjętego modelu rozmytośc. Algorytmy optymalzacyjne, które zmodyfkowano tak, aby mogły uwzględnać przynajmnej jeden parametr o charakterze rozmytym, są nazywane algorytmam optymalzacj rozmytej. Klasyfkacja algorytmów optymalzacj rozmytej jest przede wszystkm uzależnona od tego, czy oprócz funkcj optymalzowanej jest znana postać analtyczna gradentu tej funkcj. W przypadku, gdy wyznaczene gradentu jest nemożlwe lub utrudnone stosuje sę bezgradentowe metody optymalzacj. W metodach tych ne stosuje sę mnmalzacj kerunkowej. Metody te ze względu na bardzo prosty sposób poszukwań, są mało efektywne, jednak dość nezawodne [1]. Metody gradentowe optymalzacj służą do optymalzacj funkcj różnczkowalnych, których pochodne cząstkowe można wyznaczać analtyczne. We wszystkch metodach gradentowych jest stosowane poszukwane ekstremum w wyznaczonym kerunku. Metody te należą do najbardzej efektywnych metod optymalzacj bez ogranczeń. Metody gradentowe z estymacją gradentu mogą być stosowane wówczas, gdy ne jest możlwe analtyczne wyznaczene wartośc pochodnych cząstkowych, jednak mogą one być z dużą dokładnoścą przyblżane przez lorazy różncowe. Z punktu wdzena użytkownka są to metody bezgradentowe, gdyż w oblczenach korzystają jedyne z wartośc funkcj celu. Zadana optymalzacj rozmytej bez ogranczeń można rozwązywać za pomocą metod [1]: 1. Bezgradentowych: poszukwań prostych (metody: Hooke a-jeevesa, Rosenbrocka, Neldera-Meada, losowa), poprawy (Powella, Davesa-Swanna-Campeya), 2. Gradentowych: kerunków poprawy (metody: gradentu sprzężonego, zmennej metryk Davdona-Fletchera-Powella, zmennej metryk Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno, przełączana metoda zmennej metryk Fletchera, metoda zmennej metryk Wolfe a-broydena-davdona) 3. Gradentowych z estymacją gradentu. 394

3 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rozmyta funkcja celu sprowadza zadane optymalzacj do welokryteralnego zadana bez ogranczeń. Lczba kryterów jest uzależnona od przyjętego modelu rozmytośc uwzględnanych parametrów funkcj celu. Na rysunku 1 przedstawono najczęścej stosowane modele rozmytośc parametrów. a) 1 0 mn max b) 1 0 mn s max c) 1 0 mn s 1 Rys. 1. Waranty modelu rozmytośc [4]: a) prostokątny, b) trójkątny, c) trapezowy Fg. 1. Three types of the fuzzy sets [4]: a) rectangular, b) trangular, c) trapezod Dla modelu prostokątnego rozmytośc parametrów funkcj (rys. 1a) zadane optymalzacj będze można przekształcć do zadana z dwoma kryteralnym funkcjam celu bez dodatkowych ogranczeń. W modelu trójkątnym (rys. 1b) zadane optymalzacj bez ogranczeń będze posadać trzy funkcje celu, natomast w modelu trapezowym (rys. 1c) lczba kryterów optymalzacj będze wynosć cztery. Powyższe zadana optymalzacj welokryteralnej bez ogranczeń można rozwązywać na przykład poprzez sprowadzene układu welu funkcj celu do jednej kompromsowej funkcj celu. 3. MODEL OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ Z OGRANICZENIAMI Ogólny model determnstycznego zadana optymalzacj (na przykład mnmalzacj) z ogranczenam polega na wyznaczenu takego zboru wartośc x, aby funkcja celu o postac [1] f ( x) mn f ( x) (2) s 2 max 395

4 osągała wartość mnmalną przy ogranczenach: nelnowych nerównoścowych g ( x) 0, 1,2,..., (3) n g nelnowych równoścowych h ( x) 0, 1,2,..., (4) n h lnowych nerównoścowych a T x b 0, 1,2,..., l (5) g lnowych równoścowych a T x b 0, l 1,..., l l (6) g g W przypadku wystąpena chocaż jednego rozmytego parametru w zależnoś - cach (2 6) mamy do czynena z zadanem optymalzacj rozmytej. Występowane parametrów rozmytych w funkcj celu (2) oznacza koneczność określena kompromsowej funkcj celu, której postać będze wynkać z przyjętego modelu rozmytośc uwzględnanych parametrów. Jeżel w układze warunków ogranczających (3 6) występują parametry rozmyte, to układ ten mus zostać zastąpony odpowedn ą lczbą dodatkowych warunków ogranczających poprzez transformację funkcj rozmytej do układu funkcj determnstycznych. Klasyfkacja algorytmów służących do rozwązana zadana optymalzacj rozmytej z ogranczenam opera sę na klasyfkacj metod programowana matematycznego nelnowego z ogranczenam. Jeżel zarówno funkcja celu jak układ warunków ogranczających są zadane funkcjam lnowym, to do rozwązana takego zadana optymalzacj stosuje sę meto - dy programowana lnowego, na przykład powszechne znaną metodę sympleksów. Jeżel funkcja celu jest nelnowa, natomast układ warunków ogranczających ma postać funkcj lnowych, to do rozwązana takego zadana optymalzacj stosuje sę wybraną metodę z grupy metod optymalzacj nelnowej z ogranczenam lnowym, na przykład metodę programowana kwadratowego (dla kwadratowej funkcj celu) albo metody: gradentu sprzężonego z rzutowanem lub zmennej metryk z rzutowanem. W przypadku nelnowej funkcj celu oraz występowana nelnowych funkcj ogranczających do rozwązana zadana optymalzacj można zastosować [1]: h bezgradentową metodę przesuwanej funkcj kary, metody gradentowe: przesuwanej funkcj kary, przesuwanej funkcj kary z rzutowanem, przesuwanej funkcj kary z modyfkacją quas-newtonowską albo metodę aproksymacj kwadratowych. Należy podkreślć, ż metody programowana lnowego lub programowana kwadratowego są łatwejsze do zamplementowana we własnych programach komputerowych od metod programowana nelnowego 396

5 ARCHIWUM ODLEWNICTWA 4. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ W OBLICZENIACH ODLEWNICZYCH 4.1. Programowane kwadratowe Charakterystycznym przykładem zastosowana programowana kwadratowego jest zadane oblczana namaru wsadu przy założenu nepewnego (rozmytego) składu chemcznego materałów wsadowych /lub nepewnych cen jednostkowych poszczególnych materałów wsadowych. Teoretyczne podstawy takego zadana oraz przykłady oblczenowe przedstawono w pracach [4, 5]. Funkcja celu w tych przypadkach jest funkcją kwadratową, gdyż w takej postac jest zdefnowana funkcja kompromsu dla programowana welokryteralnego; układ warunków ogranczających tworzą funkcje lnowe Programowane nelnowe bez ogranczeń Metody programowana matematycznego nelnowego bez ogranczeń można stosować na przykład w systemach automatycznej dentyfkacj wybranych parametrów technologcznych. Szereg przykładów programów komputerowych realzujących taką dentyfkację w oparcu o algorytm Levenberga-Marquardta oraz algorytmy optymalzacj nelnowej bez ogranczeń przedstawono mędzy nnym w publkacj [3]. Metodam programowana matematycznego nelnowego bez ogranczeń można dentyfkować procesy technologczne zarówno o charakterze statycznym jak dynamcznym. Wynk takej dentyfkacj muszą być każdorazowo weryfkowane, gdyż z uwag na brak dodatkowych ogranczeń stneje możlwość wyznaczena wartośc spoza dopuszczalnego fzyczne technologczne zakresu Programowane nelnowe z ogranczenam Typowym przykładem rozmytej optymalzacj nelnowej z ogranczenam (także nelnowym) jest zadana optymalnego wyboru punktu pracy żelwaka. Dysponując matematycznym zależnoścam temperatury cekłego żelwa T=f(P,K) wydajnośc W=g(P,K), gdze P lość powetrza dmuchu, K zużyce (rozchód) koksu, zadane wyboru optymalnych wartośc P K sprowadza sę do maksymalzacj wartośc funkcj W przy założonej rozmytej wartośc temperatury T. Dodatkowym założenam są dopuszczalne przedzały wartośc P oraz K. Zadane to należy do zadań optymalzacj statycznej. 5. PODSUMOWANIE Metody programowana matematycznego lnowego nelnowego, bez ogranczeń z ogranczenam można zastosować w welu zadanach optymalzacj statycznej lub dynamcznej wybranych procesów odlewnczych. Programy zawerające take 397

6 algorytmy optymalzacj mogą znaczne ułatwć właścwe sterowane procesam produkcyjnym w odlewn. LITERATURA [1] Kręglewsk T., Rogowsk T., Ruszczyńsk A., Szymanowsk J.: Metody optymalzacj w języku FORTRAN. PWN, Warszawa [2] Pegat A.: Modelowane sterowane rozmyte. Wyd. EXIT, Warszawa, [3] Zółkowsk E.: Program komputerowej automatycznej dentyfkacj wybranych dynamcznych procesów odlewnczych. Mat. XXIV Konferencj Naukowej z okazj Śwęta Odlewnka Kraków, 2000, s [4] Zółkowsk E.: Zastosowane metod programowana matematycznego w optymalzacj wytopu w pecach odlewnczych. Praca zborowa pod redakcją Janusza Kacprzyka Jana Węglarza pt.: Badana operacyjne systemowe wobec wyzwań XXI weku. Modelowane Optymalzacja. Metody zastosowana. Akademcka Ofcyna Wydawncza EXIT, Warszawa, 2002, s. II-21 II-32. [5] Zółkowsk E.: Zastosowane algorytmów optymalzacj rozmytej do określana namaru wsadu dla peców odlewnczych. Praca zborowa pod redakcją Romana Kulkowskego, Janusza Kacprzyka Romana Słowńskego p.t.: Badana operacyjne systemowe Podejmowane decyzj. Podstawy metodyczne zastosowana. Wyd. EXIT, Warszawa 2004, s Praca naukowa fnansowana ze środków Komtetu Badań Naukowych w latach jako projekt badawczy. SUMMARY THE SELECTED APPLICATIONS OF FUZZY OPTIMIZATION IN FOUNDRY PROCESSES CONTROL The artcle presents a mathematcal model of fuzzy optmzaton and a classfcaton of the mathematcal programmng methods whch can be used to solve the fuzzy optmzaton problems. The author has descrbed selected fuzzy models of the technologcal processes parameters. The examples of the fuzzy optmzaton n foundry calculatons have been ncluded. Recenzował: prof. zw. dr hab. nż. Stansław Petrowsk 398