EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnienia

Transkrypt

1 EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnena dr Dorota Cołek Katedra Ekonometr Wydzał Zarządzana UG dorota.colek@ug.edu.pl 1

2 Wpływ skalowana danych na MNK Jak zmana jednostek mary zmennych wpływa na wynk estymacj MNK? Czasam zmenane są jednostk mary (np. z zł na tys. zł) z powodów kosmetycznych : -na przykład, żeby zredukować lczbę zer po przecnku w wartośc oszacowanych parametrów strukturalnych. Poprzez zmanę jednostek mary możemy znacząco zmenć wygląd dopasowanej funkcj regresj ne dokonując w zasadze stotnych zman w danych. 2

3 Efekt skalowana danych przykład (Wooldrdge J.M., Introductory Econometrc. A modern approach ) Celem analzy było zbadane, w jak sposób waga urodzenowa dzec (bwght) (w uncjach) zależy od palena paperosów przez matkę (cgs) (lczba paperosów palonych przez matkę w czase cąży, na dzeń) dochodu rodzny (famnc) (rzeczywsty dochód rodzny, w tys. $): bwght 0 1cgs 2 famnc u Oszacowane może być przeprowadzone na danych załączonych jako dane przykładowe do programu GRETL bwght.dta 3

4 1) Waga urodzenowa bwght merzona jest w uncjach a palene cgs w lczbe wypalanych sztuk paperosów przez matkę. 2) Waga urodzenowa merzona jest w funtach czyl bwghtlbs = bwght/16 jest wagą urodzenową w funtach a palene cgs ponowne lczba sztuk paperosów wypalanych przez matkę Wnosk: - Uzyskujemy dokładne taką samą nformacje o wpływe zmennych objaśnających na zmenną objaśnaną (taka sama nterpretacja), to w jak sposób merzona jest zmenna objaśnana ne ma znaczena jednakże wszystke oceny parametrów są podzelone na 16 w porównanu z perwszym modelem. - Zmana jednostek mary zmennej objaśnanej z uncj na funty ne ma wpływu na ocenę statystycznej stotnośc zmennych objaśnających (błędy standardowe są równeż 16 razy mnejsze). - Dobroć dopasowana merzona R 2 jest dentyczna w obu regresjach. 4

5 3) Waga urodzenowa bwght merzona jest ponowne w uncjach ale palene paperosów tym razem to packs lczba paczek paperosów na dzeń palonych przez matkę. Zatem: packs = cgs/20. Wnosk: - Oszacowane wyrazu wolnego ocena parametru przy dochodze famnc są take same jak w regresj (1) - Ocena parametru przy packs jest 20 razy wększa nż przy cgs - Zmana jednostek mary zmennej objaśnającej równeż ne wpływa na ocenę statystycznej stotnośc odzaływana. -Dobroć dopasowana merzona R 2 jest nadal taka sama. Należy pamętać, że ne można w jednym modelu uwzględnć jednocześne obu zmennych cgs packs dokładna współlnowość (brak możlwośc oszacowana modelu MNK). 5

6 4) Zamast tys. $ (famnc) można użyć $ jako jednostkę mary dochodu rodzny (fncdol). Jak będze mało to wpływ na wynk oszacowana? Jaka jednostka mary w tym przypadku jest lepsza? Równeż jeżel zmenna objaśnana występuje w postac logarytmu naturalnego, zmana jednostek mary ne wpływa na oceny parametrów strukturalnych. 6

7 Krzywa odwróconego U W nowoczesnej ekonom przypuszcza sę, że wele relacj pomędzy zmennym ekonomcznym ne ma prostego charakteru lnowego, a zależnośc są raczej nelnowe. Np. Krzywa Kuznetsa Hpoteza, że wraz z rozwojem ekonomcznym kraju sły rynkowe powodują początkowo wzrost, a następne spadek nerównośc ekonomcznych. 7

8 Krzywa Laffera Reprezentuje relację mędzy stopą opodatkowana dochodów a pozomem dochodów państwa pochodzących z tego podatku. Zwolenncy krzywej Laffera uważają, że lustruje ona koncepcję elastycznośc podatkowej dochodów państwa - czyl nformuje w jak sposób zmenają sę dochody podatkowe pod wpływem zman stawek podatkowych. 8

9 Nowa koncepcja Krzywej Laffera Reprezentuje relację mędzy stopą opodatkowana dochodów a pozomem dochodów państwa pochodzących z tego podatku. Nowoczesna ekonoma sugeruje, że kształt tej krzywej jest raczej nesymetryczny. 9

10 Funkcja kwadratowa w modelu Używana jest w celu odzwercedlena malejących lub rosnących efektów krańcowych: y x x 2 u β 1 ne merzy zmany y wywołanej jednostkową zmaną x - ne ma sensu założene, że x 2 jest stałe podczas, gdy zmena sę x. Zatem wpływ zmennej x na zmenną y obrazowane jest poprzez następującą kombnację parametrów zależy od wartośc x: ˆ 1 2 ˆ Jeżel przyjmemy, że x=0, wówczas β 1 może być w przyblżenu nterpretowane jako reakcja na zmanę z x=0 na x=1 2 x Do wylczena dokładnej wartośc tej kombnacj parametrów za x podstawa sę jego wartość średną. 10

11 Funkcja kwadratowa ˆ 1 2 a) Jeżel jest dodatne jest ujemne Kształt parabol ˆ. - x przyjmuje tylko wartośc dodatne; - można określć jedną wartość x gdze wpływ x na y jest równy zero; - przed tym punktem, x ma pozytywny wpływ; na y, a powyżej tej wartośc x ma wpływ negatywny na y. W praktyce, znalezene takego punktu zwrotnego może to być stotne. Wartość x w tym punkce zwrotnym (maksmum funkcj) wylczone może być jako: x * ˆ 1 2 ˆ 2 11

12 Funkcja kwadratowa ˆ b) Jeżel jest ujemne jest dodatne U-shape ˆ 1 2 Dla nskch wartośc x, dodatkowa jednostka ma negatywny efekt na log(y). Od pewnej wartośc x, efekt zaczyna być pozytywny. Kwadratowy kształt zależnośc oznacza, że sem-elasytczność y względem x jest rosnąca wraz ze wzrostem wartośc x. 12

13 Funkcja kwadratowa - przykład Szacujemy regresję, w której dośwadczene na rynku pracy merzone w latach (exper) ma malejące z czasem efekty na wysokość wynagrodzena wage: wage exper exper u Model oszacujemy wykorzystując zbór danych: wage1.dta 13

14 Funkcja kwadratowa - przykład kont. wage ˆ 3.73 (0.35) 0.298exper (0.041) exper (0.0009) 2 Oznacza to, że exper charakteryzuje sę malejącym wpływem na wynagrodzene wage. Perwszy rok dośwadczena jest warty około 30 centów za godznę (0.298 dollars). Kolejny rok dośwadczena jest warty mnej. Przechodząc z 10 na 11 lat dośwadczena, prognozujemy, że wage wzrasta o około 17.6 centów, td. Punktem zwrotnym jest x* =24.4 lat dośwadczena. 14

15 Modele z nterakcjam zmennych Czasam przyrost krańcowy, elastyczność, czy semelastyczność zmennej zależnej względem zmennej objaśnającej zależy znacząco od nnej zmennej objaśnającej. Na przykład w modelu: prce 0 1sqrft 2bdrms 3sqrft bdrms 3 bthrms u W tym przypadku efekt krańcowy lczby sypaln (bdrms) na cenę domu (prce) jest równy (ceters parbus): prce bdrms 2 3 sqrft W analzowanej relacj zachodz nterakcja mędzy powerzchną domu (sqrft) lczbą sypaln (bdrms). 15

16 Modele z nterakcjam zmennych - kont. β 3 > 0 oznacza, że dodatkowa sypalna powoduje wyższy przyrost ceny domu dla wększych domów. w nnym przypadku lub gdy β 3 jest równy zero ne ma takego efektu. Można to ocenć przy pomocy testu t-studenta. Aby znterpretować łączny efekt (summarzng effect) lczby sypaln (bdrms) na cenę domu (prce), należy wylczyć efekt dla nteresującej nas welkośc (powerzchn) domu (sqrft), na przykład dla średnej welkośc domu w próbe lub dla najnższego lub najwyższego kwartyla w próbe. 16

17 Test poprawnośc specyfkacj Istneje klka testów pozwalających na ocenę, czy przyjęta postać analtyczna modelu ekonometrycznego jest właścwa. Test Ramseya (1969) regresson specfcaton error test (RESET) dostępny w programe GRETL. H 0 : postać modelu jest poprawna H A : postać modelu ne jest poprawna 17

18 Problemy ze zmennym w modelu (1) 1) Współlnowość Jeżel jedna zmenna objaśnająca jest dokładną kombnacją lnową nnych zmennych objaśnających, mówmy wówczas, że w modelu mamy do czynena z dokładną współlnowścą (perfect collnearty) ne możemy użyć MNK do oszacowana parametrów modelu. 2) Wysoka korelacja mędzy zmennym objaśnającym Ne da sę precyzyjne oszacować ch wpływu na zmenną objaśnaną. Duże błędy szacunku parametrów mogą być skutkem wysokej korelacj pomędzy zmennym nezależnym, nawet jeżel lczba obserwacj, dla których szacujemy model jest stosunkowo duża. 18

19 Czynnk VIF (Varance Inflaton Factor) Ocena słę współlnowośc zmennych objaśnających w modelu szacowanym MNK Merzy, jak bardzo warancje szacowanych parametrów regresj rosną z powodu współlnowośc Najperw szacuje sę MNK model, w którym X jest funkcją wszystkch pozostałych zmennych objaśnających z perwotnego modelu: X X 2 2 X 3 3 X 4 Następne czynnk VIF wylczany jest dla X 1 według następującej formuły: 2 R VIF 1 1 R gdze jest współczynnkem determnacj powyższej regresj dla zmennej X. 2 19

20 Czynnk VIF - kont. Słę współlnowośc ocena sę analzując wartość VIF dla X. Najczęścej przyjmowaną regułą jest, że jeżel VIF (X ) > 10 wówczas współlnowość jest za wysoka. Jednak pownnśmy być ostrożn w doberanu zmennych już od VIF (X ) > 2. Nektóre pakety komputerowe zamast wartośc VIF wylczają tzw. tolerancję, czyl odwrotność VIF. 20

21 Problemy ze zmennym w modelu (2) 3) Przeładowane modelu (overspecfyng) Uwzględnene mało ważnych zmennych objaśnających jedna (lub węcej) ze zmennych objaśnających jest wprowadzona do modelu mmo, że ne ma rzeczywstego wpływu na y w populacj. 4) Newystarczająca lczba zmennych w modelu (underspecfyng) Pomnęce zmennych, które są rzeczywśce ważne MNK staje sę estymatorem obcążonym. Kluczowym założenem MNK jest, że składnk losowy u ma średną równą zero nezależne od wartośc zmennych objaśnających x. Pomęte zmenne wchodzą w skład u najczęścej są skorelowane z nnym x problem szczególne stotny w naukach społecznych, gdze stosuje sę regresję lnową. 21

22 Porównywane model krytera nformacyjne Akryterum nformacyjne Akake (AIC) Mara względnej jakośc różnych model statystycznych skonstruowanych dla danego zboru danych. Szacuje jakość modelu w porównanu do nnych możlwych model. Pokazuje oszacowaną stratę nformacj, która występuje, jeżel określony model jest wykorzystywany do opsu danego procesu generującego dane. Pozwala wybrać najlepszy model szukając kompromsu medzy dobrocą dopasowana a kompleksowoścą modelu. Nech L będze maksmum funkcj warygodnośc dla danego modelu, wówczas: AIC= 2k - 2 ln(l) Dla grupy potencjalnych model dla określonych danych najlepszym modelem jest ten z mnmalną wartoścą AIC. 22

23 Bayesowske kryterum nformacyjne (BIC) lub kryterum Schwarza Kryterum wyboru modelu spośród skończonej grupy model Model z najnższą wartoścą BIC jest preferowany BIC wprowadza współczynnk kary za lczbę parametrów szacowanych w modelu BIC bazuje na założenu, że rozkład prawdopodobeństwa danych należy do rodzny rozkładów wykładnczych Nech L będze maksmum funkcj warygodnośc dla danego modelu, wówczas: BIC 2 ln Lˆ k ln( n) 23

24 Problemy ze zmennym w modelu (3) 5) Endogenczność zmennych objaśnających Jeżel x j z jakegokolwek powodu jest skorelowane z zakłócenam losowym u w tym samym okrese, to x j jest określane jako zmenna endogenczna w danym modelu. Wówczas estymacja mus sę odbywać przy użycu Metody Zmennych Instrumentalnych 24

25 Na co należy zwrócć szczególną uwagę (podsumowane): Jak wpływ na wynk oszacowana ma zmana jednostk mary zmennej endogencznej? Jak wpływ na wynk oszacowana ma zmana jednostk mary zmennej objaśnającej? Dla jakch zależnośc używa sę funkcj kwadratowej w modelu ekonometryczny? Jake pownny być parametry w modelu opsującym relację odwróconego U? Czym jest punkt zwrotny w modelu z funkcja kwadratową? Do czego wykorzystywany jest test RESET? Do czego służy jak nterpretujemy czynnk VIF? Do czego wykorzystywane są krytera nformacyjne AIC BIC? Jak je należy nterpretować? Jaką metodą szacujemy modele z endogencznym zmennym objaśnającym? 25