Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Transkrypt

1 Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w rmch Progrmu Opercyjnego Kpitł Ludzki, Priorytet IX, Dziłnie 9 Skrypt edukcyjny do zjęć wyrównwczych z mtemtyki dl kls II Bożen Kuczer

2 Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w rmch Progrmu Opercyjnego Kpitł Ludzki, Priorytet IX, Dziłnie 9, relizuje: Ktolickie Centrum Edukcji Młodzieży KANA ul Górn -00 Gliwice wwwkngliwicepl kn@kngliwicepl Technikum nr im Stnisłw Stszic w Zespole Szkół Technicznych w Ryniku ul Tdeusz Kościuszki -00 Rynik wwwzstrynikpl sekretrit@zstrynikpl Autork: Bożen Kuczer Redkcj: Roert Młynrz Zdjęci n okłdce ze ziorów Zespołu Szkół Technicznych w Ryniku Gliwice, grudzień 0

3 Spis treści FUNKCJA KWADRATOWA Postć knoniczn i ogóln funkcji kwdrtowej w zdnich Miejsc zerowe i postć iloczynow funkcji kwdrtowej Zstosownie włsności funkcji kwdrtowej w zdnich Równni i nierówności kwdrtowe 9 Ukłdy równń stopni drugiego 6 PLANIMETRIA 8 Funkcje trygonometryczne kąt ostrego 8 Zstosownie funkcji trygonometrycznych Pole trójkąt i pole czworokąt 7 WIELOMIANY Dziłni n wielominch Wzory skróconego mnożeni 8 Rozkłd wielominu n czynniki i pierwistki wielominu Równni wielominowe

4

5 FUNKCJA KWADRATOWA Postć knoniczn i ogóln funkcji kwdrtowej w zdnich Funkcj kwdrtow- widomości ogólne: Postć ogóln funkcji kwdrtowej: f c, 0 Postć knoniczn funkcji kwdrtowej: f p q, 0, gdzie p, q, c Wykresem funkcji kwdrtowej jest prol o wierzchołku w punkcie W= p, q Wykres funkcji f p q, 0 powstje z wykresu funkcji f, 0 przez przesunięcie go o wektor [ p, q] Kżd prol przecin oś OY w punkcie o współrzędnych 0,c Kżd prol jest symetryczn względem prostej o równniu = p Zwrot rmion proli zleży od znku współczynnik, gdy: 0 rmion proli skierowne są ku górze, wrtość njmniejsz funkcji ymin q, wrtość njwiększ nie istnieje, Z wrt q; Funkcj jest mlejąc w przedzile ; p, rosnąc w przedzile p ; 0rmion proli skierowne są ku dołowi, wrtość njwiększ funkcji ym q, wrtość njmniejsz nie istnieje, Z wrt ; q Funkcj jest rosnąc w przedzile ; p, mlejąc w przedzile p ; Zstosownie w zdnich: Przykłd Zpisz wzór funkcji kwdrtowej f w postci knonicznej Wypiszmy współczynniki: =, =-, c= Wyznczmy współrzędne wierzchołk proli: p ztem p, c orz q Oliczmy

6 q, ztem postć knoniczn: f p q, 0 8 Odpowiedź: Postć knoniczn: f 8 Ćwiczenie Zpisz wzór funkcji kwdrtowej f w postci knonicznej f f c f Przykłd Podj współrzędne wierzchołk proli, któr jest wykresem dnej funkcji Zpisz wzór funkcji kwdrtowej f w postci ogólnej Wierzchołek W, f f Odpowiedź: W,, postć ogóln: f Ćwiczenie Podj współrzędne wierzchołk proli, któr jest wykresem funkcji f Zpisz wzór funkcji kwdrtowej f w postci ogólnej f f c f Przykłd Wykres funkcji g powstje z wykresu funkcji f przez przesunięcie o wektor,] [ Ćwiczenie Podj współrzędne wektor przesunięci orz wzór funkcji f, której wykres nleży przesunąć, y otrzymć wykres funkcji g Nrysuj wykres funkcji g g g - 6 -

7 Przykłd Wyzncz współczynniki orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że wierzchołek proli, któr jest wykresem tej funkcji m współrzędne W=, Znjąc współrzędne wierzchołk proli możemy wzór funkcji zpisć w postci knonicznej, nstępnie przeksztłcić do postci ogólnej: f f Odpowiedź: =-, c= Ćwiczenie Wyzncz współczynniki orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że W wierzchołkiem proli, któr jest wykresem tej funkcji W=-, W=,- c W=-,- Przykłd Wyzncz współczynniki orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że do jej wykresu nleżą punkty A=, i B=-, Znjąc współrzędne punktu A możemy do wzoru funkcji odpowiednio w miejsce podstwić orz f podstwić, otrzymmy równnie: c, które przeksztłcmy do postci c Anlogicznie znjąc współrzędne punktu B możemy do wzoru funkcji odpowiednio w miejsce podstwić - orz f podstwić, otrzymmy równnie: c, które przeksztłcmy do postci c Dw równni, dwie niewidome, udujemy ukłd równń c odejmując stronmi otrzymujemy równnie c do drugiego równni skąd c,, czyli, podstwimy, Odpowiedź:, orz c, - 7 -

8 Ćwiczenie Wyzncz współczynniki orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że do jej wykresu nleżą punkty A i B A= -, i B=, A=, i B=-,0 c A= 0, i B=, Przykłd 6 Wyzncz współczynniki, orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że do jej wykresu nleżą punkty A=,, B=-,, C=, Znjąc współrzędne punktu A możemy do wzoru funkcji odpowiednio w miejsce podstwić orz f podstwić, otrzymmy równnie: c, które przeksztłcmy do postci c Anlogicznie znjąc współrzędne punktu B możemy do wzoru funkcji odpowiednio w miejsce podstwić - orz f podstwić, otrzymmy równnie: c, które przeksztłcmy do postci c orz znjąc współrzędne punktu C możemy do wzoru funkcji odpowiednio w miejsce podstwić orz f podstwić, otrzymmy równnie: c, które przeksztłcmy do postci 9 c Trzy równni, trzy niewidome, udujemy ukłd równń c c odejmując stronmi i równnie otrzymujemy += 9 c odejmując stronmi i równnie otrzymujemy 8+= Budujemy nowy 8 6 ukłd równń otrzymujemy odejmujemy 8 9 stronmi otrzymujemy =7, 7, podstwimy do jednego z równń 7 7 ukłdu,,, 7 podstwimy i do równni c, czyli 7 6 c, c, c 7 Odpowiedź:,, c - 8 -

9 Ćwiczenie 6 Wyzncz współczynniki, orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że do jej wykresu nleżą punkty A, B, C A= -,, B=-,, C=, A=,0, B=7,-, C=9, c A= -,-, B=,, C=-6,0 Przykłd 7 Wyzncz współczynniki, orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że wierzchołek proli, któr jest wykresem tej funkcji m współrzędne W=-,- orz, że do jej wykresu nleży punkt A=, Znjąc współrzędne wierzchołk proli możemy wzór funkcji zpisć w postci knonicznej: f Wiedząc, że A nleży do wykresu funkcji f, współrzędne punktu A możemy podstwić do wzoru f odpowiednio w miejsce podstwimy orz w miejsce f podstwimy, otrzymujemy równnie: Podstwimy w miejsce we wzorze f i otrzymujemy f, nstępnie przeksztłcmy do postci ogólnej: f f Odpowiedź:,, c Ćwiczenie 7 Wyzncz współczynniki, orz c we wzorze funkcji kwdrtowej f c, wiedząc, że W jest wierzchołkiem proli, któr jest wykresem tej funkcji orz, że do jej wykresu nleży punkt A W=-,, A=, W=0,, A=-,0 c W=,0, A=,

10 Przykłd 8 Wyzncz ziór wrtości, przedziły monotoniczności orz równnie osi symetrii wykresu funkcji f Wierzchołek proli, któr jest wykresem tej funkcji m współrzędne W=,, 0 rmion proli skierowne są ku górze, wrtość njmniejsz funkcji y min, wrtość njwiększ nie istnieje, Z wrt ; Funkcj jest mlejąc w przedzile,, rosnąc w przedzile ; Osią symetrii wykresu jest prost = Ćwiczenie 8 Wyzncz ziór wrtości, przedziły monotoniczności orz równnie osi symetrii wykresu funkcji f f f c f 7 Przykłd 9 Wyzncz ziór wrtości, przedziły monotoniczności orz równnie osi symetrii wykresu funkcji f Wyznczmy współrzędne wierzchołk proli: p, q, c p, 9 0, q Wierzchołek proli, któr jest wykresem tej funkcji m współrzędne W,, 0rmion proli skierowne są w dół, wrtość njmniejsz funkcji nie istnieje, wrtość njwiększ y m Z wrt, - 0 -

11 Funkcj jest rosnąc w przedzile ;, mlejąc w przedzile ; Osią symetrii wykresu jest prost Ćwiczenie 9 Wyzncz ziór wrtości, przedziły monotoniczności orz równnie osi symetrii wykresu funkcji f f f c f 7 Zdni Zdnie Dl jkiej wrtości prmetru m, ziorem wrtości funkcji f m jest, Zdnie Wyzncz wrtość prmetru k, tk, y funkcj f k, ył mlejąc w przedzile, Zdnie Funkcj f c osiąg njmniejszą wrtość równą dl rgumentu Do jej wykresu nleży punkt P 7,9 Wyzncz wrtość współczynników,, c Zdnie Npisz wzór funkcji kwdrtowej f, wiedząc, że prost o równniu = jest osią symetrii wykresu, funkcj osiąg wrtość njwiększą równą i do wykresu funkcji nleży punkt, Zdnie Njwiększą wrtość funkcj f m n osiąg dl rgumentu i jest nią licz Wyzncz prmetry m, n - -

12 Miejsc zerowe i postć iloczynow funkcji kwdrtowej Miejsce zerowe funkcji, to rgument, dl którego funkcj przyjmuje wrtość zero, czyli f 0 Ztem c 0, 0 Istnienie i ilość miejsc zerowych funkcji kwdrtowej f c, 0 zleży od wyróżnik trójminu, czyli od Jeśli: - 0, funkcj m dw miejsc zerowe: i, zś jej wzór możn zpisć w postci iloczynowej: f, 0-0, funkcj m jedno miejsce zerowe: 0, jej wzór możn zpisć w postci iloczynowej: f, 0 0-0, funkcj nie m miejsc zerowych i jej wzoru nie możn zpisć w postci iloczynowej Przykłd Sprwdź, ile miejsc zerowych m funkcj f Współczynniki są równe :,, c Oliczmy c, 9 0 Odpowiedź: Funkcj m dw miejsc zerowe Ćwiczenie Sprwdź, ile miejsc zerowych m funkcj: f f c f d g f, gdy f e g f, gdy f f g f f, gdy f Przykłd - -

13 Olicz miejsc zerowe funkcji f i zpisz jej wzór w postci iloczynowej Współczynniki są równe :,, c Oliczmy c, 6 0 Ztem funkcj m dw miejsc zerowe, i, zś jej wzór możn zpisć 6 6 w postci iloczynowej: f Odpowiedź: Postć iloczynow: f Ćwiczenie Zpisz wzór funkcji w postci iloczynowej, o ile istnieje f f c f Przykłd Podj miejsc zerowe funkcji f orz zpisz jej wzór w postci ogólnej Miejsc zerowe funkcji to Przeksztłcmy wzór funkcji do postci ogólnej: f f 8 Odpowiedź: Postć ogóln funkcji: f 8 Ćwiczenie Podj miejsc zerowe funkcji f orz zpisz jej wzór w postci ogólnej f 6 f c f - -

14 Przykłd Miejscmi zerowymi funkcji współczynniki orz c f c są i Wyzncz Znmy miejsc zerowe funkcji, więc możemy jej wzór zpisć w postci iloczynowej i przeksztłcić do ogólnej: f 6 f 6 8 Odpowiedź: orz c 8 Ćwiczenie Miejscmi zerowymi funkcji współczynniki orz c f c są - i Wyzncz Przykłd Miejscmi zerowymi funkcji f c są i - orz do jej wykresu nleży punkt A=,- Wyzncz współczynniki, orz c Znmy miejsc zerowe funkcji więc możemy jej wzór zpisć w postci iloczynowej : f Wiedząc, że punkt A nleży do wykresu tej funkcji, podstwimy w miejsce i - w miejsce f stąd Podstwimy do wzoru f i przeksztłcmy go do postci ogólnej: f 6 f 6 Odpowiedź:, orz c - -

15 Ćwiczenie Wyzncz współczynniki, orz c we wzorze funkcji f c wiedząc, że miejscmi zerowymi są, orz do jej wykresu nleży punkt A, A=-,, A=0, - c, A=-, Zstosownie włsności funkcji kwdrtowej w zdnich Wrtość njwiększ i wrtość njmniejsz funkcji kwdrtowej w przedzile c, d Wyznczjąc wrtość njwiększą i wrtość njmniejszą funkcji kwdrtowej w przedzile c, d nleży: Ustlić zwrot rmion proli Sprwdzić, czy wierzchołek proli jest w przedzile c, d Wyznczmy p i sprwdzmy czy p c, d -jeśli p c, d orz 0 rmion proli skierowne ku górze to njmniejszą wrtość t funkcj przyjmuje w wierzchołku, dl rgumentu p i jest ymin q f p y wyznczyć wrtość njwiększ funkcji w tym przedzile oliczmy wrtości funkcji n końcch przedziłu c, d czyli f c orz f d Większ z licz f c i f d jest wrtością njwiększą funkcji f w przedzile c, d -jeśli p c, d orz 0 rmion proli skierowne w dół to njwiększą wrtość t funkcj przyjmuje w wierzchołku, dl rgumentu p i jest ym q f p y wyznczyć wrtość njmniejszą funkcji w tym przedzile oliczmy wrtości funkcji n końcch przedziłu c, d czyli f c orz f d Mniejsz z licz f c i f d jest wrtością njmniejszą funkcji f w przedzile c, d - -

16 -jeśli p c, d to oliczmy wrtości funkcji n końcch przedziłu c, d czyli f c orz f d Większ z licz f c i f d jest wrtością njwiększą funkcji f w przedzile c, d, zś mniejsz jest wrtością njmniejszą funkcji f w przedzile c, d Przykłd Wyzncz wrtość njwiększą i wrtość njmniejszą funkcji f w przedzile, Ustlmy zwrot rmion proli: 0 rmion proli skierowne są ku górze, sprwdzmy cz wierzchołek proli jest w przedzile, : Wyznczmy p, p, Ztem njmniejszą wrtość t funkcj przyjmuje w wierzchołku, dl rgumentu p i jest 9 y min f 6 Oliczmy wrtości funkcji n końcch przedziłu f 9, f Większ z licz f i f jest wrtością njwiększą funkcji f w przedzile, Ztem y m Odpowiedź: y min orz ym 8 Ćwiczenie Wyzncz wrtość njwiększą i wrtość njmniejszą funkcji f w przedzile c, d f w przedzile, f w przedzile, c f w przedzile 0, Przykłd Wyzncz współczynniki orz c we wzorze funkcji f c, wiedząc, że osią symetrii jej wykresu jest prost = orz, że funkcj przyjmuje wrtość njmniejszą równą

17 Wiemy, że osią symetrii wykresu funkcji kwdrtowej jest prost o równniu = p Znmy równnie osi symetrii wykresu, czyli p= Wiemy, że wrtość njmniejsz jest równ, wrtość njmniejsz to wrtość w wierzchołku, czyli q= Możemy wzór funkcji zpisć w postci knonicznej i przeksztłcić do ogólnej: f f Odpowiedź: orz c 6 6 Ćwiczenie Wyzncz współczynniki orz c we wzorze funkcji f c, wiedząc, że dl = - funkcj przyjmuje wrtość njwiększą równą Wyzncz wrtość prmetru m, tk y punkt A, m nleżł do wykresu funkcji f c Wyzncz wrtość prmetru m, tk y punkt przecięci wykresu funkcji f m z osią Y, mił współrzędne 0, Przykłd Wyzncz wrtość prmetru m, wiedząc, że jest miejscem zerowym funkcji f m Miejsce zerowe funkcji to rgument, dl którego funkcj przyjmuje wrtość 0 Ztem podstwimy w miejsce, 0 w miejsce f 0 m m m m m lu m Odpowiedź: m lu m Ćwiczenie Wyzncz wrtość prmetru m, wiedząc, że - jest miejscem zerowym funkcji f m Przykłd Różnic licz i jest równ Wyzncz liczy i tk, y sum ich kwdrtów ył njmniejsz - 7 -

18 Sumę kwdrtów licz i możemy zpisć:, wiedząc, że wyznczmy i podstwimy do wzoru Otrzymujemy: Wyrziliśmy sumę kwdrtów jko funkcję jednej zmiennej, zmiennej : f 8 6 Sum kwdrtów, to wrtość funkcji i m yć njmniejsz Funkcj kwdrtow, której wykresem jest prol o rmionch skierownych w górę, wrtość njmniejszą przyjmuje w wierzchołku Ztem: 8 orz Odpowiedź: Dl sum kwdrtów jest njmniejsz równ 8 Ćwiczenie Sum licz i jest równ 8 Wyzncz liczy i tk, y ich iloczyn ył njwiększy Przykłd Wyzncz wrtość prmetru m, tk, y ziorem wrtości funkcji f m ył : Funkcj kwdrtow, której wykresem jest prol o rmionch skierownych w górę, wrtość njmniejszą przyjmuje w wierzchołku i jest on równ q Ztem q orz wiemy, że q zś c Oliczmy: m 0m 0 0m 0m 0m q 0 0m Otrzymujemy równnie: m 0m 0 0 m 0 0 Odpowiedź: Wrunki zdni są spełnione dl m 0 Ćwiczenie Wyzncz wrtość prmetru m, tk, y ziorem wrtości funkcji f m ył : - 8 -

19 Wyzncz wrtość prmetru m, tk, y funkcj f m ył mlejąc w przedzile : c Wyzncz wrtość prmetru m, tk, y funkcj f m ył rosnąc w przedzile : Równni i nierówności kwdrtowe Równni kwdrtowe Równniem kwdrtowym nzywmy równnie postci c 0, 0 Istnienie i ilość rozwiązń tego równni zleży od Jeśli: - 0, równnie m dw rozwiązni: - 0,równnie m jedno rozwiąznie: - 0, równnie nie m rozwiązń i 0 Przykłd Sprwdź, ile rozwiązń m równnie: Współczynniki są równe :, 6, c Oliczmy c, Odpowiedź: Równnie m dw rozwiązni Ćwiczenie Sprwdź, ile rozwiązń m równnie 0 0 c 0 d 0 Przykłd Rozwiąż równnie 6-9 -

20 Njpierw doprowdzmy równnie do postci c lu lu 0 Odpowiedź: Rozwiąznimi równni są liczy 0 i 0 Ćwiczenie Rozwiąż równni: c d Przykłd Rozwiąż równnie 7 Njpierw doprowdzmy równnie do postci c lu lu 6 Odpowiedź: Rozwiąznimi równni są liczy 0 i 6 Ćwiczenie Rozwiąż równni: c Przykłd Rozwiąż równnie 9 Njpierw doprowdzmy równnie do postci c 0 Ztem, 9 0 Współczynniki są równe :, 9, c Oliczmy c,

21 równnie m dw rozwiązni: i , 7,, Odpowiedź: Rozwiąznimi równni są liczy 7 i, Ćwiczenie Rozwiąż równni: 6 6 g h 6 0 c 6 9 i 0 d 9 8 j, 0 e 0, 0 k 6, 0 f 0 l 6 0 Nierówności kwdrtowe Nierównością kwdrtową nzywmy kżdą nierówność postci: c 0, 0 c 0, 0 c 0, 0 c 0, 0 Rozwiąznie nierówności z niewidomą poleg n wyznczeniu zioru tych wrtości, dl których t nierówność jest spełnion Do wyznczeni zioru rozwiązń nierówności kwdrtowej nie jest nm potrzeny wykres funkcji kwdrtowej, jedynie jego szkic orz znjomość jej miejsc zerowych i informcj o tym, czy rmion proli skierowne są w górę, czy w dół Przykłd Rozwiąż nierówność: 6 0 Mmy wyznczyć ziór tych rgumentów, dl których funkcj f 6 przyjmuje wrtości dodtnie - -

22 Współczynniki są równe :,, c 6 Oliczmy c, 6 0 Funkcj m dw miejsc zerowe: i 6 Rmion proli skierowne są w górę Szkicujemy prolę i zznczmy miejsc zerowe n osi X - X ; ; Odpowiedź: Ziorem rozwiązń nierówności jest ; ; Ćwiczenie Rozwiąż nierówności: c Przykłd 6 Rozwiąż nierówność: 6 0 Mmy wyznczyć ziór tych rgumentów, dl których funkcj f 6 przyjmuje wrtości ujemne Współczynniki są równe :,, c 6 Oliczmy: c, Funkcj m dw miejsc zerowe: i , - -

23 Rmion proli skierowne są w górę Szkicujemy prolę i zznczmy miejsc zerowe n osi X,; Odpowiedź: Ziorem rozwiązń nierówności jest ziór,; Ćwiczenie 6 Rozwiąż nierówności: 6 0 e 0 0 f 0 c g 0 d 0 h Przykłd 7 Rozwiąż nierówność: 7 Doprowdzmy njpierw nierówność do postci: c 0 -, X Mmy wyznczyć ziór tych rgumentów, dl których funkcj f 6 przyjmuje wrtości niedodtnie Współczynniki są równe :,, c 6 Oliczmy c, 6 0 Funkcj m dw miejsc zerowe: i 6 Rmion proli skierowne są w górę - -

24 Szkicujemy prolę i zznczmy miejsc zerowe n osi X - X ; Odpowiedź: Ziorem rozwiązń nierówności jest ziór ; Ćwiczenie 7 Rozwiąż nierówności: 7 c 7 d 0 e 0 Przykłd 8 Wyzncz wrtość prmetru m, tk, y równnie m m 0 miło dw różne rozwiązni Równnie kwdrtowe m dw różne rozwiązni, gdy 0, c Oliczmy: m m m m m 0 m 6 Ztem: m 6 0 m m 0 Miejscmi zerowymi są m orz m Rmion proli skierowne są w górę Szkicujemy prolę i zznczmy miejsc zerowe n osi X - X m ; ; Odpowiedź: Dl ; ; rozwiązni m dne równnie m dw różne - -

25 Ćwiczenie 8 Dl jkich wrtość prmetru m, równnie m m 0m dw różne rozwiązni Wyzncz wrtość prmetru m, tk, y równnie m m 0 nie miło rozwiązni c Dl jkich wrtości prmetru m, równnie m 0 m dw różne rozwiązni d Dl jkich wrtość prmetru m, funkcj f m m przyjmuje tylko wrtości dodtnie Zdni Zdnie dl,0 Nrysuj wykres funkcji f dl 0, Podj wszystkie rgumenty, dl których wrtość funkcji jest równ - Podj mksymlne przedziły, w których funkcj jest mlejąc Zdnie Wyzncz dziedzinę funkcji: f d f f e f 9 6 c f f f Zdnie Wyzncz współczynniki, orz c funkcji kwdrtowej f c, jeśli widomo, że funkcj jest rosnąc w przedzile, A,0 zś wyróżnik funkcji jest, do wykresu nleży punkt równy -6 Zdnie Dl jkiej wrtości prmetru m funkcj f m jest rosnąc jedynie w przedzile 0, Zdnie Dn jest funkcj f m, dl jkiej wrtości prmetru m, wrtości funkcji są większe od -? - -

26 Ukłdy równń stopni drugiego Ukłdy równń drugiego stopni rozwiązujemy metodą podstwini Rozwiązniem ukłdu jest pr, y spełnijąc kżde z równń ukłdu Przykłd Rozwiąż ukłd równń: y y Wyznczmy z pierwszego równni y i podstwimy do drugiego równni y stąd y 6 9 Z drugiego równni wyliczmy:, czyli 9 9 Stąd orz Podstwimy do pierwszego równni: y lu Odpowiedź: Rozwiązniem ukłdu są y Ćwiczenie Rozwiąż ukłdy równń: y y y y 9 Przykłd Rozwiąż ukłd równń: y y y 9 orz Doprowdzmy drugie równnie do prostszej postci c y y y 0-6 -

27 y y stąd y 8y 6 9 y 8y 7 Podstwimy z pierwszego równni y do drugiego równni i wyliczmy: 8y 7, czyli 8y 8 Stąd y Podstwimy do pierwszego równni: y y 0 czyli, ztem 0 y Odpowiedź: Rozwiązniem ukłdu jest 0 i y Ćwiczenie Rozwiąż ukłdy równń: y y c y y 6 0 y 8 y 6 Zdni z treścią e y y 6 9 y f y g y y Zdnie Iloczyn dwóch licz różniących się o, jest równy 6 Wyzncz te liczy Zdnie Pewien kierowc pokonł trsę 80km Gdyy jechł ze średnią prędkością o 0 km n godzinę większą czs przejzdu skróciły się o godziny Olicz z jką średnią szykością jechł ten kierowc Zdnie Pewien uczeń rozwiązł 6 zdń z mtemtyki, rozwiązując kżdego dni tką smą liczę zdń Gdyy kżdego dni rozwiązł 7 zdń więcej to rozwiąznie tych zdń zjęłoy mu 8 dni mniej Olicz ile zdń dziennie rozwiązywł orz ile dni mu to zjęło Zdnie Iloczyn dwóch licz jest równy, ich sum 9 Wyzncz te liczy Zdnie Stosunek dwóch licz jest równy :, ich sum jest równ 66 Wyzncz te liczy - 7 -

28 PLANIMETRIA Funkcje trygonometryczne kąt ostrego Stosunki długości oków trójkąt prostokątnego nie zleżą od wielkości trójkąt, jedynie od kt α Definicje funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym Sinusem kąt ostrego α w trójkącie prostokątnym nzywmy stosunek długości przyprostokątnej leżącej nprzeciw kąt α, do długości przeciwprostokątnej, oznczmy: sin c Cosinusem kąt ostrego α w trójkącie prostokątnym nzywmy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α, do długości przeciwprostokątnej, oznczmy: cos c Tngensem kąt ostrego α w trójkącie prostokątnym nzywmy stosunek długości przyprostokątnej leżącej nprzeciw kąt α, do długości drugiej przyprostokątnej, oznczmy: tg Cotngensem kąt ostrego α w trójkącie prostokątnym nzywmy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α, do długości drugiej przyprostokątnej, oznczmy: ctg c α sin c cos c tg ctg - 8 -

29 Zstosownie w zdnich: Przykłd Wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt α α sin, c cos, c tg, ctg, sin cos tg ctg Ćwiczenie Wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt α, c, c, d, c Przykłd Zuduj kąt ostry, wiedząc, że sin sin, sin, możemy przyjąć, że np, c Konstrukcję wykonj smodzielnie, oto jej opis: Konstruujemy kąt prosty, z wierzchołk C kąt prostego kreślimy okrąg o promieniu Okrąg przecin przyprostokątną w punkcie B Z punktu B kreślimy okrąg o promieniu Okrąg przecin drugą przyprostokątną w punkcie A, odcinek AB wyzncz trzeci ok trójkąt prostokątnego, zznczmy kąt ostry przy wierzchołku A, o on jest równy - 9 -

30 Ćwiczenie Zuduj kąt ostry, wiedząc, że: cos d ctg tg e cos c sin f sin Przykłd Wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąt prostokątnego o przyprostokątnych = i =6 β α c 6 Oliczmy długość przeciwprostokątnej z tw Pitgors: c c 6 c c sin, c sin, 6 sin cos, c tg, 6 cos, cos 6 tg, tg 6 6 ctg, ctg, ctg 6-0 -

31 0 0 Zuwżmy, że jeśli 90 czyli 90, to: sin cos cos tg ctg ctg 90 cos sin sin ctg tg tg90 Ćwiczenie Wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt β, w trójkącie prostokątnym o okch:,, c, Przykłd Wyzncz cos, tg, ctg, wiedząc, że sin α Oliczmy długość przyprostokątnej z tw Pitgors: c 9 cos, c cos tg, tg ctg, ctg - -

32 Ćwiczenie Wyzncz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych kąt α, wiedząc, że: cos tg c ctg Wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 0,,60 0 sin cos tg 60 tg Związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt sin cos tg ctg sin tg ctg cos tg cos ctg 6 tg ctg sin Przykłd Sprwdź, czy istnieje kąt ostry, tki, że sin i cos Sprwdzmy, czy spełnion jest jedynk trygonometryczn, czyli, czy sin cos 9 9, ztem tki kąt nie istnieje 9 - -

33 Ćwiczenie Sprwdź, czy istnieje kąt ostry, tki, że: sin i cos sin i tg c tg i ctg Przykłd Wyzncz kąty ostre trójkąt prostokątnego, wiedząc, że iloczyn sinus jednego kąt ostrego i cosinus drugiego kąt ostrego wynosi sin cos, wiemy, że cos sin stąd sin i α jest kątem ostrym, sin 0 Ztem sin, zś Odpowiedź: Kty trójkąt mj miry 0 i 0 i wtedy Ćwiczenie Wyzncz kąty trójkąt prostokątnego, wiedząc, że kwdrt odwrotności tngens kąt ostrego wynosi Przykłd sin Olicz wrtość wyrżeni sin cos8 cos 6 tg 9 tg sin 8 cos8 cos 6 tg 9 tg = sin 8 sin sin cos tg 9 ctg 9 = cos = sin = cos = Odpowiedź: Wrtość wyrżeni wynosi - -

34 Ćwiczenie Olicz wrtość wyrżeni cos cos sin 7 sin 7 cos cos 9 cos sin sin 9 cos9 sin sin 76 sin c sin 76 sin d sin 0 tg 60 tg60 cos0 sin 60 sin e sin 60 sin 0 Zstosownie funkcji trygonometrycznych Przykłd Wyzncz długości pozostłych oków trójkąt prostokątnego, wiedząc, że orz sin c α Wiemy, że sin, zś z def sin, ztem sin stąd c c czyli c, c, c Oliczmy długość przyprostokątnej z tw Pitgors:, 6,, - - c

35 , Odpowiedź: Pozostłe oki trójkąt mją długości:, c, Ćwiczenie Wyzncz długości pozostłych oków trójkąt prostokątnego, wiedząc, że: orz tg c 0 orz 60 c c orz tg Przykłd Olicz wysokość drzew, którego czuek widć z odległości 60 m z poziomu ziemi pod kątem 7 -wysokość drzew α 60 tg stąd 60 tg 60 Z tlic odczytujemy: tg 0, 09 czyli 60 0,09 0, 6m Odpowiedź: Drzewo m około 0,6m wysokości Ćwiczenie Olicz owód prostokąt, którego przekątn d tworzy z krótszym okiem kt o mierze, jeśli: d 6, 67 d, c d 0,

36 Zdni Zdnie Olicz tg, wiedząc, że jest kątem ostrym i cos sin Zdnie Widomo, że dl pewnego kt ostrego prwdziwy jest wrunek 0 tg Olicz wrtość wyrżeni W sin cos tg Zdnie Wykż, że dl dowolnego kąt ostrego prwdziw jest równość tg sin tg cos tg sin cos tg sin cos cos c tg sin cos sin tg cos d sin cos sin cos e sin cos sin cos f sin cos sin cos Zdnie Wykż, że licz 7 tg60 nleży do zioru licz nturlnych Zdnie Wiedząc, że sin cos olicz liczę = sin cos Zdnie 6 Jeden ok prostokąt jest o dłuższy, niż drugi Kąt między przekątną i dłuższym okiem prostokąt m mirę, tką, że sin Olicz długości oków prostokąt Zdnie 7 W kwdrcie ABCD orno n oku BC tki punkt E, że AEB m mirę Wyzncz sin,cos, tg EB EC Kąt - 6 -

37 Zdnie 8 cos sin Wyrżenie W doprowdź do njprostszej postci, sin cos nstępnie olicz wrtość W dl kt tkiego, żetg Zdnie 9 Udowodnij tożsmość: sin sin sin sin sin cos Zdnie 0 Olicz wrtość dnego wyrżeni dl 60 : sin sin W sin sin Pole trójkąt i pole czworokąt Pole trójkąt P P trójkąt h h p p p p c Trójkąt równooczny c α c P c sin c, gdzie p jest połową owodu h P h - 7 -

38 Zstosownie w zdnich: Przykłd Olicz owód i pole równormiennego trójkąt prostokątnego, którego przeciwprostokątn m długość stąd 6 P Ow 8 8 Odpowiedź: P 8 j j zś 6 czyli zś Ow 8 Ćwiczenie Olicz pole i owód równormiennego trójkąt prostokątnego, którego rmię m długość Olicz pole i owód równormiennego trójkąt prostokątnego, którego owód jest równy 6 c Olicz pole i owód równormiennego trójkąt prostokątnego, którego przeciwprostokątn jest o dłuższ od przyprostokątnej Przykłd Pole trójkąt prostokątnego w którym jeden kąt ostry jest dw rzy większy od drugiego, jest równe Olicz owód tego trójkąt Trójkąt prostokątny spełnijący wrunki zdni, to trójkąt o kątch ostrych 0 i 60 Tki trójkąt otrzymujemy przez poprowdzenie wysokości w trójkącie równoocznym, jego pole jest równe połowie pol trójkąt równoocznego Boki mją długości:,, j - 8 -

39 P 8 Ztem Ow stąd 6 zś 8 6 Odpowiedź: Ow 6 Ćwiczenie Olicz owód i pole trójkąt prostokątnego w którym jeden kąt ostry jest dw rzy większy od drugiego, dłuższ przyprostokątn m długość Pole trójkąt prostokątnego w którym jeden kąt ostry jest dw rzy większy od drugiego, jest równe 8 Olicz owód tego trójkąt c Dny jest trójkąt ABC, w którym BC, mir kt CAB jest równ 0, mir kt ABC jest równ Olicz owód i pole trójkąt ABC d Olicz promień okręgu wpisnego i promień okręgu opisnego n trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 9 i Przykłd Olicz pole trójkąt, w którym dw oki mją długości cm i cm, kąt między nimi zwrty m mirę 60 Znmy dw oki trójkąt i kąt między nimi zwrty, korzystmy ze wzoru: P P c sin sin 60 8 Odpowiedź: Pole trójkąt jest równe cm cm Ćwiczenie Olicz pole trójkąt, w którym dw oki mją długości 0 cm i 8 cm, kąt między nimi zwrty m mirę 0 Olicz pole trójkąt, w którym dw oki mją długości 6 cm i 8 cm, kąt między nimi zwrty m mirę c Olicz owód i pole trójkąt ABC, wiedząc, że mir kt ABC jest równ, mir kt ACB jest równ 00 orz AB i AC Przykłd Olicz pole trójkąt o okch,,7

40 Znmy długości trzech oków trójkąt, korzystmy ze wzoru: c P p p p p c, gdzie p jest połową owodu trójkąt 7 Oliczmy p 7 Podstwimy do wzoru: P Odpowiedź: Pole trójkąt jest równe 0 7 Ćwiczenie Boki trójkąt mją długość,, Olicz pole tego trójkąt Wyzncz sinusy kątów tego trójkąt, nstępnie miry tych kątów c Olicz wysokość tego trójkąt poprowdzoną n ok dł Pole czworokąt Pole równoległooku h P h P sin Pole romu α d d Rom- równoległook, który m wszystkie oki równe, jego przekątne są prostopdłe i połowią się Jego pole możemy również oliczyć ze wzoru: d d P, gdzie d,d oznczją przekątne romu - 0 -

41 Pole trpezu P h h Zstosownie w zdnich: Przykłd Olicz pole równoległooku, w którym oki mją długości cm i 6 cm, kąt rozwrty m mirę 0 Znmy oki równoległooku i kąt między nimi zwrty, rozwrty ztem ostry 0, korzystmy ze wzoru: P sin P 6sin 0 cm Odpowiedź: Pole równoległooku jest równe cm 0, Ćwiczenie Olicz pole równoległooku, w którym oki mją długości cm i 8 cm, kąt między nimi zwrty m mirę 0 Olicz pole równoległooku, w którym oki mją długości cm i cm, kąt między nimi zwrty m mirę c Pole równoległooku o okch 6 cm i 8 cm jest równe wysokości i miry kątów tego równoległooku Przykłd 6 Olicz pole i owód romu, którego przekątne mją długości 8 i 6 cm Olicz d Pole romu oliczymy ze wzoru: d P, gdzie d,d oznczją przekątne 8 6 P Rom m wszystkie oki równe, jego przekątne są prostopdłe i połowią się Otrzymujemy cztery przystjące trójkąty prostokątne o przyprostokątnych - -

42 długości i Bok romu jest przeciwprostokątną Jego długość oliczmy z tw Pitgors Ow 0 Odpowiedź: Pole romu jest równe, owód 0 Ćwiczenie 6 Olicz pole romu o oku długości cm i kącie ostrym 60 Olicz pole i owód romu o wysokości długości cm i kącie rozwrtym 0 c Stosunek długości przekątnych romu jest równy : Olicz pole tego romu, jeśli jego ok m długość 6 d Różnic między długością przekątnej i długością oku kwdrtu wynosi Olicz pole i owód tego kwdrtu Przykłd 7 Olicz pole i owód trpezu prostokątnego, w którym kąt ostry m 60, dłuższ podstw m długość 8, krótsz przekątn tworzy z dłuższym rmieniem kąt prosty h β d 60 c 8 Korzystjąc z funkcji trygonometrycznych kt ostrego i oliczmy długości rkujących odcinków d sin 60 8 wiemy, że skąd d c cos 60 wiemy, że 8 sin 60 cos 60 otrzymujemy równnie otrzymujemy c 8 d 8 skąd c - -

43 Kąt również m mirę sin ztem d h cos ztem d 60 stąd 6 h stąd h Ow P Odpowiedź: Pole trpezu jest równe, owód 8 Ćwiczenie 7 Dłuższ podstw trpezu równormiennego m długość 8 cm, kąt między przekątną tą podstwą jest równy 0 Olicz pole i owód tego trpezu, jeżeli jego wysokość jest równ cm Podstwy trpezu równormiennego mją długości cm i 8 cm Olicz pole i długość rmion trpezu, jeśli jego przekątne przecinją się pod kątem prostym - -

44 WIELOMIANY Wielominy - widomości ogólne: Wielominem nzywmy funkcję określoną dl R, wzorem: n n w n n 0, gdzie 0, n N Stopień wielominu w oznczmy st w Stopień wielominu w jest równy wykłdnikowi njwyższej potęgi zmiennej n n Jednominy: n, n,,, 0 nzywmy wyrzmi wielominu Liczy n, n,,, 0 nzywmy współczynnikmi wielominu Współczynnik 0 nzywmy wyrzem wolnym Funkcję w stle równą zero nzywmy wielominem zerowym i oznczmy w 0, dl niego nie określmy stopni Dw wielominy są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy tych smych potęgch zmiennej są równe Dziłni n wielominch Dodwnie wielominów Przykłd Wyzncz sumę wielominów w 7 orz v u orz stopień ich sumy w n Podj stopień wielominu w, wielominu 7 + v w v st w, st v, st w v Ćwiczenie Wyzncz sumę dnych wielominów Podj stopień wielominu w, wielominu u orz stopień ich sumy w i v w 7 i v - -

45 - - c w i 6 v Określ stopień wielominu v w w zleżności od prmetrów i w i v Odejmownie wielominów Przykłd Wyzncz różnicę v w wielominów 6 6 w orz v Podj stopień wielominu w, wielominu u orz stopień ich różnicy Poniewż ] [ v w v w możemy wyznczyć wielomin v Zmienimy znki wszystkich wyrzów wielominu v : v 6 6 w + v 0 8 v w w st, v st, w v st Ćwiczenie Wyzncz różnicę wielominów: w i v 7 w i v c w i 6 v Mnożenie wielominów Przykłd Wyzncz iloczyn v w wielominów 6 w orz v Podj stopień wielominu w, wielominu u orz stopień ich iloczynu Nleży pomnożyć kżdy wyrz wielominu w przez kżdy wyrz wielominu v Mnożymy potęgi o tej smej podstwie, podstwę nleży przepisć, wykłdniki dodć Nstępnie redukujemy wyrzy podone i zpisujemy wielomin w sposó uporządkowny mlejąco

46 w v st w, st v, st wv Ćwiczenie Wyzncz wielomin u Podj stopień wielominu w, wielominu v orz wielominu u w i v u w v w 6 i c w i u w v v 6 u w v v d w i v u [ w v ] w e w i v u w [ w v ] Dzielenie wielominów Przykłd Wyzncz ilorz w : v wielominów w orz v Sposó dzieleni wielominów jest rdzo podony do pisemnego dzieleni licz Dzielimy pierwszy wyrz wielominu w przez pierwszy wyrz wielominu v Wynik dzieleni zpisujemy nd kreską : Mnożymy wynik z dzieleni przez wielomin, odpowiednio zpisując wyniki z przeciwnymi znkmi Dodjemy stronmi i czynność powtrzmy = = Dzielenie się zkończyło Otrzymliśmy resztę równą zero - 6 -

47 Wielomin w jest podzielny przez wielomin v, możemy go zpisć w postci iloczynu: w Ćwiczenie Wyzncz ilorz w : v wielominów w i v w 7 i v c w 6 i v d w 7 i v e w 8 i v f w i v Równość wielominów Przykłd Wyzncz wrtości prmetrów i tk, y wielominy w i v yły równe Wielominy ędą równe wtedy i tylko wtedy, gdy ędą miły tkie sme współczynniki przy tych smych potęgch zmiennej, ztem: orz, stąd orz orz, czyli Ćwiczenie Wyzncz wrtości prmetrów i tk, y dne wielominy yły równe w i v 9 w 8 i v w i v 6 c w i v 6 Zdni Zdnie Dny jest wielomin w p q, gdzie p i q Uporządkuj wielomin w orz olicz w - 7 -

48 Zdnie Dne są wielominy: w i p Podj stopień i wyrz wolny wielominu v w p Zdnie Dny jest wielomin w Wiedząc, że w orz w wyzncz i Zdnie Szerokość sześcinu zmniejszono o cm, wysokość zwiększono o cm, długość pozostwiono ez zmin Otrzymno prostopdłościn o ojętości równej 80 cm Olicz długość krwędzi sześcinu orz oceń, czy ojętość otrzymnego prostopdłościnu jest większ, czy mniejsz od ojętości sześcinu i o ile cm Zdnie Podj wzór dziedzinę funkcji y V opisującej ojętość prostopdłościnu o krwędzich: +, -, -6 Wzory skróconego mnożeni Kwdrt sumy: Kwdrt różnicy: Sześcin sumy: Sześcin różnicy: Różnic kwdrtów Sum sześcinów Różnic sześcinów Zstosownie w zdnich: Przykłd, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni Olicz Korzystmy ze wzoru: 9 Ćwiczenie - 8 -

49 Olicz, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni: y d e c f y Przykłd Olicz, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni Korzystmy ze wzoru: 6 Ćwiczenie Olicz, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni: y d e f y c Przykłd Olicz Korzystmy ze wzoru: 8 6, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni 9 7 Ćwiczenie Olicz, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni: e 6 6 f 7 7 c g d 8 8 h Przykłd Usuń niewymierność z minownik

50 Ćwiczenie Usuń niewymierność z minownik: c d e f g 8 h Przykłd 9 Olicz Korzystmy ze wzoru:, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni 9 7 Ćwiczenie Olicz, korzystjąc ze wzoru skróconego mnożeni: 6 9 e 6 f 9 6 c g d h 9 6 Zdni Zdnie Wykż, że licz 6 jest nturln Zdnie Dne są liczy i y - 0 -

51 Wyzncz ich iloczyn, ilorz przez y orz odwrotności tych licz Zdnie Widomo, że dl pewnego kąt ostrego prwdziwy jest wrunek: sin cos Olicz wrtość wyrżeni W sin cos Zdnie Wykż, że licz m jest cłkowit Zdnie Sum licz i y jest równ, sum ich kwdrtów jest równ 8 Olicz Zdnie 6 y Wykż, że licz 7 9 jest nturln Zdnie 7 Widomo, że dl pewnego kąt ostrego prwdziwy jest wrunek: sin cos Olicz wrtość wyrżeni W sin cos Rozkłd wielominu n czynniki i pierwistki wielominu Rozkłd wielominu n czynniki Rozłożyć wielomin n czynniki to przedstwić go w postci iloczynu czynników liniowych lu nierozkłdlnych czynników kwdrtowych Przykłd Rozłóż wielomin Wyłączmy w n czynniki przed nwis w nstępnie korzystmy ze wzoru skróconego mnożeni i otrzymujemy: w Ćwiczenie Rozłóż wielomin w n czynniki: w d v w 8 6 e v c w f v 6 - -

52 - - Przykłd Rozłóż wielomin w n czynniki Wyłączmy przed nwis w, nstępnie sprwdzmy, czy trójmin możn zpisć w postci iloczynowej c, 0 6 Ztem funkcj m dw miejsc zerowe: 6 i Postć iloczynow trójminu: c i otrzymujemy: w Ćwiczenie Rozłóż wielomin w n czynniki: w 8 d 6 6 v w 9 e v c w f 6 v Przykłd Rozłóż wielomin w n czynniki W rozkłdzie n czynniki wielominu w nie skorzystmy ze wzoru skróconego mnożeni, o nie jest rozwinięciem żdnego wzoru, nie wyłączymy wspólnego czynnik przed nwis, o go nie m, ztem grupujemy wyrzy wielominu w i wyłączmy przed nwis: w po wyłączeniu przed nwis, w nwisch powinno yć to smo wyrżenie, y możn yło, jeszcze rz wyłączyć: w, czynnik jest wielominem stopni drugiego, którego nie możn rozłożyć n czynniki, mówimy, że jest to czynnik nierozkłdlny Ćwiczenie Rozłóż wielomin w n czynniki:

53 - - 8 w d 6 v 8 9 w e 6 v c w f v Pierwistki wielominu Pierwistki wielominu to jego miejsc zerowe Licz jest pierwistkiem wielominu w wtedy i tylko wtedy, gdy 0 w Wielomin stopni n m co njwyżej n pierwistków Przykłd Sprwdź, któr z licz,, jest pierwistkiem wielominu w Oliczmy wrtość wielominu w dl 0 0 w Ztem licz nie jest pierwistkiem wielominu w Oliczmy wrtość wielominu w dl 0 w Ztem licz jest pierwistkiem wielominu w Oliczmy wrtość wielominu w dl w Ztem licz nie jest pierwistkiem wielominu w Ćwiczenie Sprwdź, któr z licz,, jest pierwistkiem wielominu w 8 9 w 9 9 w c w Przykłd Wyzncz pierwistki wielominu 0 6 w Szukmy pierwistków wielominu 6 w, czyli tkich wrtości, dl których 0 w, ztem nleży rozwiązć równnie 0 6 Rozkłdmy n czynniki wielomin, który jest lewą stroną równni, grupujemy wyrzy wielominu 0 6 i wyłączmy przed nwis:

54 0 po wyłączeniu przed nwis, w nwisch jest to smo wyrżenie, możn jeszcze rz wyłączyć przed nwis: 0 0 lu 0 lu 0 lu 0 lu 0 lu lu Ćwiczenie Wyzncz pierwistki wielominu w w 7 7 f w w g w c w h w d w i w 8 e w j w f w 6 k w 9 6 Pierwistki wielokrotne k Jeśli w rozkłdzie wielominu w n czynniki występuje czynnik i nie występuje czynnik k, gdzie k N, to liczę nzywmy pierwistkiem k- krotnym wielominu w Przykłd 6 Podj pierwistki wielominu krotności w w i określ ich Pierwistki: 0 - Krotności: jednokrotny trzykrotny jednokrotny dwukrotny Ćwiczenie 6 Wyzncz pierwistki wielominu w i określ ich krotności - -

55 w w c d w w Przykłd 7 Podj przykłdy trzech wielominów piątego stopni, którego pierwistkmi są,,6, w 6 w 6 w 6 Ćwiczenie 7 Podj przykłdy trzech wielominów: trzeciego stopni, którego pierwistkmi są, szóstego stopni, którego pierwistkmi są Równni wielominowe Przykłd Rozwiąż równnie Doprowdzmy równnie do postci w 0,, 0 grupujemy wyrzy wielominu 0 i wyłączmy przed nwis: 0 po wyłączeniu przed nwis, zuwżmy, że możn jeszcze rz wyłączyć: 0 0 lu 0 lu Ćwiczenie Rozwiąż równni: g - -

56 0 h c i 7 d 0 j 0 e k 0 f l Zdni Zdnie Wyzncz punkty wspólne wykresu wielominu u i osi OX orz wielominu v i osi OX 6 6 Zdnie Wyzncz punkty wspólne wykresu wielominu u i prostej o równniu y Zdnie Wyzncz wrtość prmetru p tk, y licz ył pierwistkiem równni p 0 Zdnie Ile pierwistków równni 0 nleży do przedziłu, Zdnie Krwędzie prostopdłościnu mją długości:, -, + Wyzncz wielomin opisujący ojętość tego prostopdłościnu w zleżności od Podj dziedzinę tej funkcji Jk jest ojętość tego prostopdłościnu, gdy = Zdnie 6 Wyzncz punkty wspólne wykresów wielominów u i v u i v 6 u i v 8 8 c u i v Zdnie 7-6 -

57 Wyzncz punkty wspólne wykresu wielominu u i prostej l u i l : y u i l : y c u i l : y Zdnie 8 Rozwiąż równni: c d e f - 7 -