Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.

Transkrypt

1 Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła utawiona jet w środku ił poprecnch. Wnac położenie środka ił poprecnch. Wmiar prekroju poprecnego belki podane ą na runku amieconm poniżej. Oblic naprężenia prjmując natępujące wartości licbowe: P=kN, a=4cm, =mm Prekrój poprecn P 4a Rowiąanie Wnacm rokład naprężenia tcnego τ e woru: ( ) T ( ) τ ( ), gdie: ( ) ( ) - wpółrędna łukowa o pocątku na bregu prekroju, T iła tnąca kierowana wdłuż oi, T iła tnąca kierowana wdłuż oi, S - moment tatcn wględem oi centralnej odciętej cęści prekroju, S - moment tatcn wględem oi centralnej odciętej cęści prekroju, ()- erokość prekroju, I - moment bewładności prekroju wględem oi głównej centralnej, I - moment bewładności prekroju wględem oi głównej centralnej. T T W omawianm adaniu kładowa poioma ił tnącej równa jet eru. Zatem wrażenie na naprężenie tcne upraca ię do potaci:

2 ( ) τ ( ) ( ) Oblicm pocególne kładniki powżego woru. Z treści adania wnika, że iła tnąca T jet tała i wnoi P. Oblicm moment tatcn I Do wnacenia momentu bewładności I wtarc utalenie położenia poiomej oi głównej centralnej. Ponieważ prekrój poprecn ma poiomą oś metrii oś ta jet także oią główną centralną. Moment bewładności wględem oi oblicm wkortując wór Steinera. Wrażenia, w którch wtępuje mała wżego rędu będiem pomijać. (4a) 64 I = + () = a c Wnacm naprężenie tcne w dolnej półce prekroju dla (,) Oblicm moment tatcn odciętej cęści prekroju S = ( ) ) () - onaca wpółrędną środka ciężkości odciętej cęści prekroju F () pole powierchni odciętej cęści prekroju Dla (,) S = ( ) ) = Podtawiając do woru na naprężenie tcne obliconą funkcję momentu tatcnego otrmam:

3 ( ) P 6P τ ( ) ( ) 64 a Znak minu onaca, że wrot naprężenia tcnego jet preciwn do kierunku wrotu wpółrędnej łukowej. Wnacm naprężenie tcne w ściance środnika dla (,6a) Oblicm moment tatcn odciętej cęści prekroju dla (,6a) = ( ) ) S S S = ( ) ) = 4a + ( ) ( ) = + 4a -/ (-) Podtawiając do woru na naprężenie tcne obliconą funkcję momentu tatcnego otrmam: P + 4a P ( ) τ ( ) + 4a ( ) 64 a Znak minu onaca, że wrot naprężenia tcnego jet preciwn do kierunku wrotu wpółrędnej łukowej Wnacm naprężenie tcne w górnej półce prekroju dla ( 6a,8a) Wprowadźm nową wpółrędną łukową, której pocątek najduje ię na krawędi górnej półki. Oblicm moment tatcn odciętej cęści prekroju ' = ( ' ) ' ) S Dla ' (,), S = ( ' ) ' ) ' Podtawiając do woru na naprężenie tcne obliconą funkcję momentu tatcnego otrmam:

4 ' T, ( ) P ' 6P ' τ ( ) = = ( ) 64 a Narujm wkre wnaconch funkcji naprężenia. Onacm wrot naprężenia trałkami. τ A =(/64) P/a=.5 [MPa] A τ τ max =(8/64) P/a=46.88 [MPa] τ B =(/64) P/a=.5 [MPa] B Wnacm położenie środka ił poprecnch. Policm umę naprężeń tcnch diałającch w półkach górnej i dolnej ora w środniku. t t d ' 6P ' Sumę naprężeń τ ( ) = na górnej półce t g oblicm całki: ' = 6P' tg = τ d' = d ' = 4

5 t g 6P ' 6P' = d = = 6 Suma naprężeń na dolnej półce t d jet ocwiście taka ama jak na górnej. t = d P P + 4a Sumę naprężeń τ ( ) w środniku t oblicm całki: = 6a 6a P + 4a = t τ d = d = t = P Położenie środka iłą poprecnch oblicm warunku erowania ię momentów od ił w półkach i środniku. Ponieważ środek ił poprecnch najduje ię na oi metrii do wnacenia pootaje tlko wpółrędna poioma. k ξ=? t t d M k = a + t d t ξ = P + P P ξ = ξ = a = [ cm]