Przestrzeń liniowa R n.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przestrzeń liniowa R n."

Transkrypt

1 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c n. L [, L, ] [,, L, ] [,, ],, n n L n n n Prestreń R n tak definiowanmi diałaniami nawam prestrenią liniową lb wektorową. Element a a... a k k nawam kombinacją liniową elementów,,..., k R n, gdie o współcnnikach a, a,..., a k R. i i i [,, ] i L, n Wektor n,,..., k R są liniowo nieależne jeśli wektor erow nie może bć ich kombinacją liniową o nieerowch współcnnikach tn. równości a a... a k wnika, że a a... a, ( w preciwnm prpadk k k element te są liniowo ależne). Nieskońcon kład wektorów jest liniowo nieależn jeśli każd skońcon jego podbiór jest liniowo nieależn. Własności a) kład wektorów liniowo nieależnch nie może awierać wektora erowego, b) pojednc wektor jest liniowo nieależn, gd jest nieerow, c) dowoln podbiór kład wektorów liniowo nieależnch jest liniowo nieależn,

2 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski d) kład wektorów jest liniowo ależn wted i tlko wted, gd pewien wektor tego kład daje się predstawić w postaci kombinacji liniowej poostałch. Prkład W prestreni liniowej R, wektor (,, ), (,, ), są liniowo nieależne, bo jeśli a b, to ( a, b,) (,,) i równości ciągów wnika, że a, b. Natomiast wektor (,, ), (,, ), są liniowo ależne, bo, cli kombinacja liniowa tch wektorów o współcnnikach, - daje wektor erow. Uwaga W prestreni wektorowej R n liniową nieależność wektorów można badać a pomocą ręd macier, której wierse lb kolmn to składowe ropatrwanch wektorów. Zachodi bowiem własność: wektor,,..., k R n i i i i, gdie (, ) wted i tlko wted, gd r M n M n k M k M k M M k M n,,... n są liniowo nieależne Jeśli k > n to element,,..., k R n msą bć liniowo ależne (rąd macier nie może prekracać żadnego wmiarów macier). Jeśli k n to element,,..., n R n są liniowo nieależne wted i tlko wted, gd det M n Prkład M n n M n M M M M n W prestreni liniowej R, wektor (,, ), (,, ), (,, ) nieależne, bo są liniowo det.

3 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Natomiast wektor (,, ), (,, ), (,, ) det. są liniowo ależne, bo Baą prestreni liniowej R n nawam porądkowan kład liniowo nieależnch wektorów n,,,... R taki, że każd wektor tej prestreni jest ich kombinacją liniową, tn. istnieją a, a,..., an R, że a a... a n n. Taką kombinację liniową nawam rokładem wektora w baie współrędnmi wektora w tej baie.,..., a a,..., a, n, a licb, n Własności a) w każdej nietrwialnej (nieerowej) prestreni liniowej istnieje baa, b) każde dwie ba danej prestreni są równolicne, c) baa to maksmaln kład wektorów liniowo nieależnch w danej prestreni, tn. jeśli do ba dołącm dowoln wektor to otrman kład wektorów msi bć liniowo ależn, d) jeśli,,..., n jest baą i,,..., m jest dowolnm kładem wektorów liniowo nieależnch to m n i wektor,,..., m można pełnić pewnmi n m elementami spośród, n do ba (twierdenie Steinita o wmianie), atem,..., każd liniowo nieależn kład wektorów można pełnić do ba, e) każd wektor prestreni liniowej można predstawić tlko w jeden sposób jako kombinację liniową wektorów ba tej prestreni. Prkład W prestreni liniowej R, wektor (,, ), (,, ), (,, ) tworą baę, bo są liniowo nieależne i jest to maksmaln kład wektorów liniowo nieależnch w tej prestreni. Prkład Niech e (,,..., ), n e (,,,..., ),..., (,,...,, ) na k - tej pocji). Wektor te tworą baę prestreni liniowej R n. e (w wektore e k jednka najdje się

4 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Baę tą nawam baą standardową tej prestreni. Jeśli e, e,..., e n jest baą standardową w R n i (,,, ) tej prestreni to można apisać w postaci jest dowolnm elementem L n e e... n e n atem współrędne wektora są jednoceśnie współcnnikami jego rowinięcia w baie standardowej. Geometria analitcna w prestreni R Ropatrjem na płascźnie prostokątn kład współrędnch. Pnkt O(,) jest pocątkiem tego kład. Będiem prjmować orientację dodatnią (preciwną do rch wskaówek egara) kład współrędnch. Pnkt płascn tożsamiam ich współrędnmi w tm kładie, cli parami licb recwistch, są to więc element prestreni R. Dowoln pnkt P wnaca wektor swobodn OP. Wektor swobodn PQ w prestreni R wnacon pre pnkt P(, ), Q(, ), ma współrędne, Wektor [,], e [,] i będiem stosować apis [ ],. e nawam wersorami (wektorami jednostkowmi). Q P e e 4

5 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Odległość międ pnktami P(, ), Q(, ), w tej prestreni licm wg wor: ( ) ( ) ρ ( P, Q) Normą (dłgością) wektora [, ] nawam licbę: Ilocn skalarn wektorów [, ], [, ] i <, > ( i ) i i i Dla nieerowch wektorów, możem wnacć cosins kąta ϕ międ tmi wektorami <, > cosϕ Nieerow wektor twor osiami kład współrędnch kąt ϕ, ϕ, którch cosins nawam cosinsami kiernkowmi wektora i wnacam na podstawie worów cosϕ, cosϕ Nieerowe wektor, są wajemnie (prostopadłe) ortogonalne wted i tlko wted gd <, >. Ponieważ element prestreni R można tożsamiać wektorami swobodnmi, to biór wektorów swobodnch powżsm ilocnem skalarnm jest prestrenią eklidesową. Wersor [,], e [,] jednostkowej). e stanowią w niej baę ortonormalną (ortogonalne o dłgości Nieerowe wektor [, ], [, ] są równoległe wted i tlko wted, gd. co jest równoważne warnkowi Pr cm jeśli w mianownik jest ero to w licnik też powinno bć ero. 5

6 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Współrędne pnkt C ( c, c ) dielącego odcinek o końcach A ( a, a ), ( b, b ) AC k, tn. k oblicam worów CB B w stosnk c a kb, k c a kb k Trójkąt o wierchołkach A ( a, a ), B ( b, b ), ( c, c ) C ma pole P ABC a det b c Zatem pnkt A, B, C leżą na jednej prostej gd a b c a det b c a b c Prosta w R Element prestreni R będiem traktować jako par licb (, ) i nawać pnktami. Równanie ogólne prostej. A B C Uwaga Wektor [ A, B] jest prostopadł do tej prostej i nawa się, wektorem normalnm. Odległość pnkt P(, ) od prostej A B C wnosi d A B A B C 6

7 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Kąt (ostr) międ prostmi A B C i A B C wnacam na podstawie cosinsa kąta międ ich wektorami normalnmi cosϕ A A A B B B A B Równanie kiernkowe prostej m b m - współcnnik kiernkow Współcnnik m jest równ tangensowi kąta, któr ta prosta twor dodatnim kiernkiem osi O. Dwie proste w postaci kiernkowej m b i m b są: a) równoległe gd b) prostopadłe gd m m m m Kąt mied nimi wnacam na podstawie wor na tangens różnic kątów tgϕ m m m m Równanie prostej prechodącej pre pnkt (, ), (, ) ( ) Równanie parametrcne prostej at bt t R Powżsa prosta prechodi pre pnkt (, ) a wektor [ a, b] wnaca kiernek tej prostej. Równanie odcinkowe prostej a b (a, ), (, b) to pnkt precięcia tej prostej osiami kład współrędnch 7

8 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zbior wpkłe w R (R n ). Zbiór W jest wpkł jeśli dla dowolnch, W i dowolnego c <, > również c ( - c) W Zatem biór jest wpkł jeśli dla każdch dwóch różnch pnktów należącch do tego bior, należ do niego cał odcinek którego końcami są te pnkt. Uwaga. Cęść wspólna biorów wpkłch jest biorem wpkłm. Prkład. Koło - biór wpkł, Okrąg - nie jest biorem wpkłm, Prosta - biór wpkł, Para precinającch się prostch - nie jest biorem wpkłm, Półpłascna - biór wpkł, Prkład. Wnacć na płascźnie biór pnktów, którch współrędne spełniają nierówność: a) ; b), 5 ; > c) ; d) ; e) ; Zaważm, że biór rowiąań kład nierówności liniowch jest albo biorem pstm albo biorem wpkłm (ograniconm lb nieograniconm). Powżsa własność wnika stąd, że biorem rowiąań kład nierówności liniowch jest cęść wspólna półpłascn będącch rowiąaniami poscególnch nierówności ora własności: cęść wspólna biorów wpkłch jest biorem wpkłm. 8

9 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski 9 Zadanie Rowiąż graficnie kład nierówności: a) 5 8 b) 69 8 W prpadk gd biór rowiąań kład nierówności jest niepst podaj prkład pnkt należącego do bior rowiąań i wnac wierchołki bior rowiąań. Analitcna metoda rowiąwania kładów nierówności liniowch. Rowiąwania kładów nierówności liniowch sprowadam do rowiąwania kładów równości liniowch. Do każdej lewej stron nierówności dodajem (gd ) lb odejmjem (gd ) mienną pomocnicą. Zmienna pomocnica powinna bć awse niejemna. Jako rowiąanie podajem współrędne wierchołków bior rowiąań, są to rowiąania baowe otrmanego kład równań obcięte do miennch wstępjącch w kładie nierówności. Należ pamiętać o odrceni rowiąań baowch w którch mienna pomocnica jest jemna. Prkład Wnacć kład równań odpowiadające następjącm kładom nierówności: (a) (b) Rowiąanie: (a) (b)

10 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Rowiąania baowe kład nieonaconego. Z metod Gassa wnika istnienie rowiąania baowego (pod parametr podstawiam era). Rowiąań baowch może bć wiele. Ab otrmać inne rowiąanie baowe należ prjąć, że w nowm rowiąani baowm jeden dotchcasowch parametrów będie mienną baową a jedna dotchcasowch miennch baowch będie parametrem. Następnie pod nowe parametr podstawiam wartość i rowiąjem otrman kład równań liniowch. Możliwe są dwie stacje: - otrman kład jest onacon i otrmjem nowe rowiąanie baowe, - otrman kład jest nieonacon lb sprecn, wted należ skać innego rowiąania baowego. Wsstkich rowiąań baowch nie może bć więcej niż n. r Prkład Ropatrm kład nierówności: Ropatrm odpowiadając m kład równań: Macier roserona tego kład jest równa 4 jest to kład nieonacon r ra rm, n 6. Prkładowe rowiąania baowe: Niech, mienne baowe;, 4, 5, 6 parametr, rowiąjąc kład: 4 otrmam rowiąanie baowe [6,,,,, ] T.

11 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Ropatrm now kład niewiadomch, 5 mienne baowe;,, 4, 6 parametr, wted odpowiedni kład: 5 4 jest sprecn, atem kład ten nie daje rowiąania baowego. Ropatrm now kład niewiadomch, mienne baowe;, 4, 5, 6 parametr, wted odpowiedni kład: 4 daje rowiąanie baowe [4,,,,, ] T. 6 Ab wnacć wsstkie rowiąania baowe należ ropatrć 5 prpadków. Prkład. Rowiąać kład nierówności: 6 Należ wnacć wsstkie rowiąania baowe dla kład równań: 4 6 Uwaga. Wsstkie 6 możliwości najłatwiej ropatrć wpełniając tabelkę: Zmienne baowe () () () (4) (5) (6) Zmienne

12 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie Rowiąać kład nierówności: (a) (b) Wskaówka: wnacć wsstkie dopscalne rowiąania baowe dla kład równań: (a) (b) Geometria analitcna w prestreni R Ropatrjem w prestreni prostokątn kład współrędnch. Pnkt O(,,) jest pocątkiem tego kład. Będiem prjmować orientację prawoskrętną (godnie regłą śrb prawoskrętnej) kład współrędnch. Pnkt prestreni tożsamiam ich współrędnmi w tm kładie, cli trójkami licb recwistch, są to więc element prestreni R. Dowoln pnkt P wnaca wektor swobodn OP. Wektor swobodn PQ w prestreni R wnacon pre pnkt P(,, ), Q(,, ), ma współrędne,, i będiem stosować apis [, ]., Wektor [,,], e [,, ], e [,, ] jednostkowmi). e nawam wersorami (wektorami P e e e

13 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Odległość międ pnktami P(,, ), Q(,, ), w tej prestreni licm wg wor: Normą (dłgością) wektora [, ] ( ) ( ) ( ) ρ ( P, Q), nawam licbę: ( i ) Ilocn skalarn wektorów [, ], [, ], <, > i, i i i Dla nieerowch wektorów, możem wnacć cosins kąta ϕ międ tmi wektorami <, > cosϕ Nieerow wektor twor osiami kład współrędnch kąt ϕ, ϕ, ϕ, którch cosins nawam cosinsami kiernkowmi wektora i wnacam na podstawie worów cos ϕ, cos ϕ, cos ϕ Nieerowe wektor, są wajemnie (prostopadłe) ortogonalne wted i tlko wted gd <, >. Ponieważ element prestreni R można tożsamiać wektorami swobodnmi, to biór wektorów swobodnch powżsm ilocnem skalarnm jest prestrenią eklidesową. Wersor [,,], e [,, ], e [,, ] e stanowią w niej baę ortonormalną. Ilocn wektorow wektorów [, ], [, ],,, [, ], e e e (pierws wiers to wersor osi). Ilocn wektorow jest wektorem prostopadłm do wektorów,, jego wrot jest określon pre regłę śrb prawoskrętnej, a jego dłgość jest równa pol równoległobok ropiętego na wektorach,. Zatem połowa jego dłgości jest równa pol trójkąta ropiętego na tch wektorach.

14 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Ilocn miesan wektorów [, ], [, ], w [ w, w w ],,, ( w) ( ) w det w w w Wartość bewględna ilocn miesanego wektorów,, w jest równa objętości równoległościan ropiętego na tch wektorach. Zatem objętość cworościan ropiętego na tch wektorach jest równa V det 6 w w w Nieerowe wektor [, ], [, ], co jest równoważne warnkowi r, są równoległe wted i tlko wted, gd Pr cm jeśli w mianownik jest ero to w licnik też powinno bć ero. Nieerowe wektor [, ], [, ], w [ w, w w ],, (współpłascnowe) wted i tlko wted, gd det w co onaca erowanie się ich ilocn miesanego. w, w są komplanarne 4

15 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski 5 Prosta i płascna w R Element prestreni R będiem traktować jako trójki licb (,, ) i nawać pnktami. Równanie ogólne płascn. A B C D Uwaga Wektor [ ] C B A,, jest prostopadł do tej płascn i nawa się wektorem normalnm. Kąt (ostr) międ płascnami A B C D i A B C D wnacam na podstawie cosinsa kąta międ ich wektorami normalnmi cos C B A C B A C C B B A A ϕ Odległość pnkt P(,, ) od płascn A B C D wnosi C B A D C B A d Korstając własności ilocn miesanego możem wnacć równanie płascn prechodącej pre pnkt P(,, ) i równoległej do dwóch danch nierównoległch wektorów [ ],,, [ ],, det Podobnie równanie płascn prechodącej pre tr niewspółliniowe pnkt (,, ), (,, ), (,, ). det

16 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski 6 Równanie odcinkowe płascn c b a (a,, ), (, b, ), (,, c) to pnkt precięcia tej prostej osiami kład współrędnch Równanie kanonicne prostej. Prosta prechodąca pre pnkt P(,, ) i równoległa do wektora [ ],, ma równanie Jeśli prjąć t, to po prekstałceni otrmam równanie parametrcne prostej t t t,, Równanie prostej prechodącej pre pnkt (,, ), (,, ) Ponieważ prosta jest wnacona pre dwie nierównoległe płascn A B C D i A B C D, to D C B A D C B A jest równaniem krawędiowm prostej. Wektor kiernkow tej prostej jest równ ilocnowi wektorowem wektorów normalnch ropatrwanch płascn.

17 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Odległość pnkt P(,, ) od prostej o wektore kiernkowm [, ] prechodącej pre pnkt Q(,, ) wnosi i, d e det e e Cosins kąta międ prostą o wektore kiernkowm [, ] A B C D wraża się worem, a płascną d A B A B C C Zadania Zadanie Pnkt C(; ) jest środkiem odcinka o końcach A, B. Wiedąc, że B(7; 5), wnacć współrędne pnkt A. (odp. A(-; )) Zadanie Sprawdić, że trójkąt o wierchołkach A(-; -), B(-; ), C(; -) jest prostokątn. Zadanie Niech [, ], [, ]. Wnacć w -, w, <, >. C wektor, są prostopadłe? C wektor, są równoległe? (odp. nie są prostopadłe, nie są równoległe) Zadanie 4 Wnacć pole trójkąta o wierchołkach A(-; -4), B(; 8), C(; ). (odp. 6) 7

18 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 5 Dane są tr kolejne wierchołki równoległobok A(; 4), B(-; -), C(5; 7). Wnacć współrędne cwartego wierchołka. Zadanie 6 (odp. D(7; )) Sprawdić, że pnkt S ( s, s ) precięcia środkowch trójkąta o wierchołkach ( a, a ) B ( b, b ), ( c, c ) C ma współrędne A, Zadanie 7 s a b c, s a b c Dan jest pnkt S (, ) precięcia środkowch trójkąta o wierchołkach A (, 8), (, ) B, C. Oblicć współrędne wierchołka C. (odp. (-,-7)) Zadanie 8 Pnkt o współrędnch (, ), (, ), (, 4) są środkami boków pewnego trójkąta. Ile wnosi pole tego trójkąta? (odp. 4) Zadanie 9 Kost prodkcji K jest liniową fnkcją wielkości prodkcji P K e fp e - kost stałe, f - współcnnik kostów, f >. Wiedąc, że kost stałe są równe ora, że wrost prodkcji o stk powodje wrost kostów o ł, wnac fnkcję kostów. (odp. K P) Zadanie Prosta precina osie kład współrędnch w pnktach (, -) i (6, ). Wnacć równanie a) odcinkowe, b) ogólne, c) kiernkowe, d) parametrcne tej prostej. (odp. a) 6, b) 6 6t 6, c), d) t R ) t 8

19 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie Dana jest prosta -. Sprawdź, które pnktów A(, ), B(-, -4), C(-, ), leżą na danej prostej. (odp. A nie, B nie, C tak) Zadanie Znaleźć pnkt precięcia prostej - 6 osiami kład współrędnch. (odp. (-, ), (, )) Zadanie Prostą o równani parametrcnm apisać w postaci ogólnej i kiernkowej. t 4t t R (odp., ) Zadanie 4 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (, 5) i (, 7). Zadanie 5 (odp. 7 ) Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (-, ) i (, 5). (odp. ) Zadanie 6 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (, -), równoległej do prostej. (odp. ) Zadanie 7 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (, 4), prostopadłej do prostej 5. (odp. 6 ) 9

20 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 8 Wnac kąt ostr międ prostmi 7,. Zadanie 9 Sprawdź, że proste, 5 są równoległe. (odp. π/4) Zadanie Sprawdź, że proste 4, 4 są prostopadłe. Zadanie Wnac odległość pnkt A(, ) od prostej 7. Zadanie Wnac pnkt smetrcn do pnkt A(-, 9) wględem prostej 8. (odp. ) (odp. (, )) Zadanie Wnacć na płascźnie biór pnktów, którch współrędne spełniają nierówność: a) ; b), 5 ; > Zaważ, że biorem rowiąań nierówności liniowej jest awse biór wpkł - półpłascna ( bregiem lb be breg). Zadanie 4 Rowiąż graficnie kład nierówności: a) 6 b) 7 5, 4 c) 5 d), 5, W prpadk gd biór rowiąań kład nierówności jest niepst podaj prkład pnkt należącego do bior rowiąań i wnac wierchołki bior rowiąań.

21 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 5 Dan jest biór wpkł: a) b) 4 (, ) 8 (5, ) (, ) (5, ) 5 7 Wnac kład nierówności liniowch, którego rowiąaniem jest ten biór. Zadanie 6 Niech [,, ], [,,] C wektor, są prostopadłe? Zadanie 7. Oblic ilocn skalarn tch wektorów. Dla jakiej wartości c R wektor [ c,,4] i [ 4, c, 7] Zadanie 8 są prostopadłe. Dla jakiej wartości c R wektor [,, ] i [ c,4,4] Zadanie 9 Niech [,,5], [,, ] Zadanie Niech [ 6,, ], [,,6] Zadanie są równoległe.. Oblic ilocn wektorow tch wektorów. (odp., nie są prostopadłe) (odp. c 4) (odp. c -) (odp. [ 7,, ]). Oblic pole równoległobok ropiętego na tch wektorach. Wnacć pole trójkąta o wierchołkach A(; ; ), B(; ; 4), C(4; ; ). Zadanie Niech [,, ], [,, ], w [,,4 ]. Oblic ilocn miesan tch wektorów. (odp. 49) (odp. 6 )

22 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie Sprawdić, że dla dowolnch wektorów [, ], [, ], [ w, w w ] wektor, w, w są komplanarne.,, w ;, (odp. ) Zadanie 4 Sprawdić, że wektor [,5,7], [,, ], w [,, ]. są komplanarne. Zadanie 5 Wnacć objętość cworościan o wierchołkach A(; ; ), B(4; ; ), C(4; 5; 4), D(5; 5; 6). Zadanie 6 Wnac odległość pnkt A(, 5, -8) od płascn 6. Zadanie 7 Napis równanie płascn prechodącej pre pnkt o współrędnch (,, 5), prostopadłej do wektora [4,,]. (odp. 7/6) (odp. ) (odp. 4 7 ) Zadanie 8 Napis równanie płascn prechodącej pre pnkt o współrędnch (,, -), równoległej do płascn 5. (odp. 5 ) Zadanie 9 Wnac pnkt prebicia płascn prostą. 6 (odp. (, -, 6)) Zadanie 4 Wnac rt pnkt A(,, -6) na płascnę 4. (odp. (,, -7))

23 MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Zadanie 4 Wnac pnkt smetrcn do pnkt A(,, ) wględem płascn 6. (odp. (,, -)) Zadanie 4 Wnac pnkt smetrcn do pnkt A(,, ) wględem prostej. (odp. (9/7, -4/7, -/7)) Zadanie 4 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (5,, 4), równoległej do wektora [,5, 8]. 5 4 (odp. ) 5 8 Zadanie 44 Napis równanie prostej prechodącej pre pnkt o współrędnch (,, ), prostopadłej do wektorów [,, ], [,, ]. (odp. Zadanie 45 Wnac kąt międ prostmi 6 6,. 9 ) 5 7 Zadanie 46 Wkaać, że proste, są prostopadłe. 5 8 (odp. 6 cos ϕ ) 6 L.Kowalski,..

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił . REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.

Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx. Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) =

Bardziej szczegółowo

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4 Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny ) 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n

Bardziej szczegółowo

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste Katedra Robotki i Mechatroniki Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie Mechanika Robotów Wojciech Lisowski Opis położenia i orientacji efektora Model geometrcn adanie proste Mechanika Robotów KRIM, AGH w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.

MATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto. MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl Witaj, otrzymałeś już ósmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych

Bardziej szczegółowo

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych 3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie WYKŁAD 6. owierchnie opisane paraetrcnie MODELE OIEKÓW -D cęść (,v (,v (,v f (,v f (,v f (,v v in in v v a a lan wkład: owierchnie opisane paraetrcnie v a v Krwe paraetrcne w -D D (krwa Herite a v in (,v

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Równoważne układy sił

Równoważne układy sił Równoważne układ sił Równoważnmi układami sił nawam takie układ, którch skutki diałania na ten sam obiekt są jednakowe. Jeżeli układ sił da się astąpić jedną siłą, to siłę tą nawam siłą wpadkową. Wpadkowa

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10 W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE

Bardziej szczegółowo

Skrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5

Skrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 24 Geometria analityczna:

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8 Wnacanie reakcji dnaicnch ora wważanie ciała w ruchu oroow wokół sałej osi 8 Wprowadenie Jeśli dowolne ciało swne o asie jes w ruchu oroow wokół osi, o na podporach powsają reakcje A i B. Składowe ch reakcji

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch

Bardziej szczegółowo

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Skrypt z Algebry Liniowej 2 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska Barbara Szczepańska Skrypt z Algebry Liniowej 2 Praca magisterska napisana pod kierunkiem

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO PRAWDZIANÓW W KLAIE PIERWZEJ I Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Zad Dane są liczby: i y + Oblicz: a) sumę i y ; b) różnicę i y ; c) iloczyn i y ; d) iloraz i y ( usuń niewymierność

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta WYKŁAD MODELOWANIE I WIZUALIZACJA TEKSTURY. Co to jest tekstra obiekt T(,, (,, t( =... tn(,,,, Plan wkład: Co to jest tekstra? Generowanie worów tekstr Wialiaja tekstr Filtrowanie tekstr Co może oiswać

Bardziej szczegółowo

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

2.Piszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P i S

2.Piszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P i S Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt odcinka o koocach M N. Rozwiązanie - 1 sposób 1.Znajdujemy współrzędne punktu S będącego środkiem odcinka MN: oraz środek 2.Piszemy równanie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje ułamki dziesiętne zna kolejność

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( Liczba 9 3 6 4 27) jest

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo