1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:"

Transkrypt

1 Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne - wyjaśniają tylko, co tu robię, Państwo nie muszą ich pisać (z wyjątkiem definiowania zmiennych). Wyniki mogą się nieco różnić w zależności od użytych zaokrągleń. Grupa G 1. (200 pkt) W pewnym banku na lokatę z kapitalizacją półroczną wpłacono 1500 jp. Po 2 latach wypłacono z konta 00 jp. Po latach na lokacie znalazło się 1910,17 jp. Przez pierwsze pół roku obowiązywała stopa procentowa roczna w wysokości 22%, następnie przez 2 lata stopa 10%, a po 2,5 roku zmieniła się na x% i utrzymywała się na tym poziomie do końca trwania lokaty. Jaka była przeciętna półroczna stopa procentowa w ciągu tych lat? Ile wynosiło x? Jak (tj. o ile i w którą stronę) należałoby zmienić nominalną roczną stopę procentową, aby po zmianie kapitalizacji na miesięczną warunki oprocentowania były równoważne warunkom początkowym tej lokaty (tj. stopie rocznej 22% z kapitalizacją półroczną)? Rozwiązanie Najpierw obliczam kwotę, która znajduje się na lokacie po 2 latach (po wypłacie 00 jp). W tym celu stosuję stopę względną, gdyż zmieniam tylko okres stopy, by dopasować go do ustalonego okresu kapitalizacji: przez pół roku była 11% półrocznie, potem przez 1,5 roku 5% półrocznie przy kapitalizacji półrocznej. Zatem: K 2 = 1500(1, 11)(1, 05) 3 00 = 1527, 56. Następnie przez pół roku obowiązuje stopa 5% półrocznie i w końcu x % półrocznie przez 3 półrocza 2 ( lata-2,5 roku), więc uzyskujemy równanie: 190, 17 = K = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: x = 12. Teraz mogę po prostu obliczyć przeciętną stopę półroczną, zwyczajnie wstawiając wszystkie dane do wzoru (jako, że kapitalizacja jest półroczna), pamiętając, że półroczy było 8, a 12% rocznie to jest 6% półrocznie (znów zmieniamy tylko okres stopy, nie kapitalizacji): r prz = 8 1, 11 (1, 05) (1, 06) 3 1 6, 11%. Na koniec obliczam odpowiednią stopę efektywną (bo teraz zmieniam okres kapitalizacji). Stary okres kapitalizacji to 6 miesięcy, nowy okres kapitalizacji to miesiąc m = OK ef = 1, więc: OK 6 r ef = (1, 11) , 75%, przy czym jest to stopa o okresie miesiąc. Mam teraz zmienić okres stopy na rok. 1, 75% miesięcznie to nominalnie 12 1, 75% = 21% rocznie, a na lokacie nominalna stopa była 22%, więc należy ją obniżyć o 1 punkt procentowy. Odp: x wynosi 12, przeciętna półroczna stopa wynosi 6, 11%, a nominalną stopę roczną należałoby obniżyć o 1 punkt procentowy. 2. (200 pkt) Na lokatę z kapitalizacją kwartalną o nominalnej stopie procentowej rocznej 30% wpłacono 1200jp. W czasie obowiązywania lokaty inflacja zmieniała się następująco: w pierwszych 2 półroczach wynosiła kolejno: 7% i 10% półrocznie, w kolejnym roku 20% rocznie, a następnie aż do końca obowiązywania lokaty 2% miesięcznie. Po jakim czasie wartość nominalna kapitału na lokacie wyniesie co najmniej 5700 jp.? Jaka będzie wtedy wartość realna tego kapitału? Jeśli lokata zostanie zakończona w tym właśnie momencie, ile wyniesie przeciętna miesięczna stopa inflacji w czasie obowiązywania lokaty? Rozwiązanie Najpierw zajmnę się samą lokatą, bez uwzględniania inflacji. Kapitalizacja jest kwartalna, uzgadniam więc z nią okres stopy. Zatem stopa o okresie kwartalnym wynosi 30% = 7, 5% (bo w roku są kwartały). Obliczam czas trwania lokaty (n to liczba kwartałów jej trwania): 5700 = 1200(1, 075) n n 21, 55

2 2 Ponieważ kapitalizacja odbywa się co kwartał, w momencie danym przez 21,55 kwartału od rozpoczęcia lokaty nie ma jeszcze tyle kapitału na koncie przekroczone zostanie dopiero po 22 kwartałach. W istocie, na koncie będzie wtedy nominalnie: K 22 = K nom = 1200(1, 075) 22 = 5890, Nieformalna uwaga: Ta ostatnia kwestia jest łatwa do przeoczenia i czysto techniczna, więc nie odejmowałem punktów, jeśli ktoś błędnie zakładał, że po 22 kwartałach na koncie było dokładnie 5700 jp. Teraz potrzebujemy obliczyć i c (a raczej, bo to mi jest potrzebne w obliczeniach): inflację całkowitą (22-kwartalną) podczas trwania lokaty. Wystarczy w tym celu odpowiednio wymnożyć wszystkie inflacje składowe. Czas wysokości inflacji na danym poziomie jest dany, z wyjątkiem tych ostatnich 2% miesięcznie. 22 kwartały 2 lata daje nam 1 kwartałów, czyli 2 miesiące - i przez tyle miesięcy obowiązywała 2-procentowa inflacja miesięczna. = (1, 07)(1, 1)(1, 2)(1, 02) 2 3, 26. Teraz mogę już obliczyć wartość realną kapitału po 22 kwartałach: K re = K nom = 1815, 52. Wreszcie, by obliczyć inflację przeciętną miesięczną, muszę znać liczbę miesięcy w 22 kwartałach (66) i otrzymam: i prz = 66 i c , 8%. W ostatnim wzorze możemy też liczyć dookoła obliczając najpierw i 1 - przeciętną inflację miesięczną w pierwszym półroczu ((1 + i 1 ) 6 = 1, 07), i 2 - przeciętną inflację miesięczną w pierwszym półroczu ((1 + i 2 ) 6 = 1, 1), i 3 - przeciętną inflację miesięczną w pierwszym półroczu ((1 + i 3 ) 12 = 1, 2), i licząc zgodnie ze wzorem: i prz = 66 (1 + i 1 ) 6 (1 + i 2 ) 6 (1 + i 3 ) 12 (1, 02) 2 1 1, 8%, ale można tę procedurę uprościć zauważając, że (1 + i 1 ) 6 (1 + i 2 ) 6 (1 + i 3 ) 12 (1, 02) 2 = 1, 07 1, 1 1, 2 (1, 02) 2 =. Odp: 5700 jp. będzie osiągnięte po 22 kwartałach, wartość realna tej lokaty wyniesie wtedy 1815,52 jp., a przeciętna inflacja miesięczna wyniesie 1, 8%. Grupa H 1. (200 pkt) Na pewnej lokacie obowiązywała najpierw kapitalizacja ciągła z roczną stopą procentową 15%. Po dwóch latach kapitalizację zmieniono na półroczną, nie zmieniając opłacalności lokaty. Po kolejnym 1,5 roku, znów zmieniono kapitalizację - tym razem na miesięczną, obniżając jednocześnie nominalną stopę procentową roczną o 3 punkty procentowe. Wreszcie, po kolejnych 9 miesiącach znów zmieniono kapitalizację na roczną, nie zmieniając opłacalności lokaty. Jaka była nominalna roczna stopa procentowa w ostatnim okresie obowiązywania lokaty? Po jakim czasie od rozpoczęcia lokaty nominalna wartość kapitału na lokacie zwiększy się czterokrotnie? Rozwiązanie: Obliczmy stopy procentowe obowiązujące w kolejnych okresach trwania lokaty. Niech r 2 będzie nominalną stopą roczną obowiązującą w II okresie (po 2 latach). Jest ona równie opłacalna jak kapitalizacja ciągła ze stopą 15%, ale odpowiada półrocznemu okresowi kapitalizacji. Zatem musimy skorzystać ze wzoru na stopę efektywną (z uwzględnieniem kapitalizacji ciągłej): r ef1 = e 0,15 1 = 0, 1618; (1 + r 2 2 )2 1 = r ef1 r 2 = 0, 1558 i jest to stopa o okresie równym rok. Stopa nominalna roczna r 3 obowiązująca w III okresie jest po prostu o 3 punkty procentowe niższa niż stopa r 2 (nie ma tam nic o zachowaniu opłacalności), więc r 3 = 0, I wreszcie nominalna roczna stopa r obowiązująca w IV okresie jest równie opłacalna co stopa r 3 przy innej kapitalizacji, czyli jest to po prostu efektywna stopa roczna dla stopy miesięcznej r 3 12 :

3 3 r = (1 + r 3 12 )12 1 = 13, 33%. Teraz obliczam po kolei wartość kapitału w momentach zmiany modelu oprocentowania: K 2 = K 0 e 2 0,15 = 1, 399K 0 ; K 3,5 = K 2 (1 + r 2 2 )3 = 1, 6906K 0 ; K,25 = K 3,5 (1 + r 3 12 )9 = 1, 857K 0 ; I wreszcie uzyskuję równanie na długość trwania lokaty, gdzie n jest liczbą lat od ostatniej zmiany modelu oprocentowania do końca lokaty: K 0 = K,25 (1 + r ) n n = 6, 13. Ponieważ kapitalizacja odbywa się co rok, w momencie danym przez 6,13 roku od zmiany oprocentowania nie ma jeszcze tyle kapitału na koncie. K 0 przekroczone zostanie dopiero po 7 latach. Do ostatniej zmiany modelu oprocentowania upłynęły lata i 3 miesiące, więc po dodaniu 7 lat otrzymuję ostateczny wynik: 11 lat i 3 miesiące. Odp: W ostatnim okresie trwania lokaty obowiązywała stopa 13, 33%. Wartość kapitału na lokacie zwiększy się -krotnie po 11 latach i 3 miesiącach od jej rozpoczęcia. 2. (200 pkt) Na pewnej lokacie obowiązywała kapitalizacja kwartalna z nominalną stopą procentową roczną 8% w pierwszym półroczu, następnie 20% przez 3,5 roku i wreszcie 16% przez ostatnie 2 lata. Ile wynosiła przeciętna kwartalna stopa procentowa na tej lokacie w ciągu 6 lat jej trwania? W trakcie tych 6 lat wartość realna kapitału na lokacie wzrosła z 100 jp. na początku do 7358,6 jp. na końcu tego okresu. Inflacja roczna w pierwszych pięciu latach trwania lokaty wynosiła odpowiednio: 6%, 7%, 7%, 8%, 7%. Ile wynosiła w ostatnim, szóstym roku obowiązywania lokaty przeciętna kwartalna stopa inflacji oraz średnia kwartalna realna stopa zwrotu? Rozwiązanie Zacznę od kwestii najłatwiejszej: obliczenia przeciętnej kwartalnej stopy procentowej. W tym celu przeliczam wszystkie okresy stóp na kwartalne (zgodne z kapitalizacją, więc wystarczy obliczyć stopy względne). Wynoszą one odpowiednio: 8% = 2% przez pierwsze 2 kwartały, 20% = 5% przez następne 1 kwartałów i 16% = % przez ostatnie 8 kwartałów. Podstawiam do wzoru (pamiętając, że w sumie były 2 kwartały): r prz = 2 (1, 02) 2 (1, 05) 1 (1, 0) 8 1 =, 1%. Następnie obliczam wartość nominalną kapitału na lokacie po 6 latach: K nom = 100 (1, 02) 2 (1, 05) 1 (1, 0) 8 = 11558, 31 Korzystam ze związku na związek między kapitałem nominalnym, realnym i inflacją całkowitą (6-letnią) uzyskując: 11588, , 6 = K re = = 1, Wiem, że i c - całkowita inflacja 6-letnia powstaje ze złożenia składowych inflacji rocznych, więc jeśli przez i 6 oznaczę inflację roczną w szóstym roku trwania lokaty to: (1, 06)(1, 07)(1, 07)(1, 08)(1, 07)(1 + i 6 ) = i 6 = 0, 12. i 6 to jest inflacja roczna, potrzebuję przeciętniej inflacji kwartalnej w szóstym roku: i 6,kw. Inflacja jest zjawiskiem złożonym, więc muszę przejść przez wzór na stopę efektywną: (1 + i 6,kw ) = 1, 12 i 6,kw = 2, 87%. Wreszcie, uwzględniając, że kwartalna stopa procentowa (przy kapitalizacji kwartalnej) w ostatnim roku wynosi r 6,kw = 16% = % i podstawiając do wzoru na realną stopę zwrotu dostaję:

4 r re,6,kw = r 6,kw i 6,kw 0, 0 0, 0287 = = 1, 01%. 1 + i 6,kw 1, 0287 Odp: Przeciętna kwartalna stopa procentowa w trakcie trwania lokaty to, 1%, inflacja kwartalna w ostatnim roku wyniosła 2, 87%, a realna kwartalna stopa zwrotu w ostatnim roku wyniosła 1, 01%. Grupa I 1. (200 pkt) Na lokacie z kapitalizacją kwartalną roczna stopa procentowa zmieniała się następująco: przez pierwsze 2 lata i 3 miesiące wynosiła 2%, przez kolejny rok 10%, a następnie aż do końca obowiązywania lokaty 12%. Wiedząc, że na lokatę wpłacono 1300 jp., a po 1,5 roku od rozpoczęcia wypłacono z niej 50 jp., kiedy na lokacie znajdzie się 2500 jp.? Zakładając, że w tym momencie lokata się zakończyła: jaka była przeciętna kwartalna stopa procentowa obowiązująca na lokacie przez cały okres jej trwania? Jak (tj. o ile i w którą stronę) należałoby zmienić nominalną roczną stopę procentową, aby po zmianie kapitalizacji na ciągłą warunki oprocentowania były równoważne warunkom początkowym tej lokaty (tj. stopie rocznej 2% z kapitalizacją kwartalną)? Rozwiązanie Obliczam wartość kapitału na koncie po 1,5 roku (przed wypłatą), 2,25 roku i 3,25 roku od rozpoczęcia: 0, 2 K 1,5 = 1300(1 + )6 = 18, 078; 0, 2 K 2,25 = (18, )(1 + )3 = 1660, 365; K 3,25 = 1660, 365(1 + 0, 1 ) = 1832, Teraz obliczam moment, gdy na lokacie znajdzie się co najmniej 2500 jp. Przez n oznaczam liczbę kwartałów od ostatniej zmiany oprocentowania (czyli od 3,25 roku od rozpoczęcia lokaty): 0, = K n +3,25 = K 3,25 (1 + )n n 10, 5. Ponieważ kapitalizacja odbywa się co kwartał, w momencie danym przez 10,5 kwartału od zmiany oprocentowania nie ma jeszcze tyle kapitału na koncie przekroczone zostanie dopiero po 11 kwartałach. Do ostatniej zmiany modelu oprocentowania upłynęły 3 lata i 3 miesiące, czyli 13 kwartałów, więc po dodaniu 11 kwartałów otrzymuję ostateczny wynik: 2 kwartały, czyli 6 lat. Teraz wiem, że ostatnia stopa procentowa obowiązywała przez 11 kwartałów, więc po prostu wstawiam wszystkie dane (po przeliczeniu okresu wszystkich stóp na kwartalny) do wzoru na przeciętną stopę zwrotu: r prz = 2 (1, 06) 9 (1, 025) (1, 03) 11 1 =, 03%. By odpowiedzieć na ostatnie pytanie, przeliczam, za pomocą stopy efektywnej, kapitalizację kwartalną na roczną: r ef,roczna = (1, 06) 1 = 0, 2625, a następnie kapitalizację roczną na ciągłą: e ref 1 = 0, 2625 r e f = 23, 31%. Okresem tej stopy jest rok. Oczywiście, dwa ostatnie przeliczenia można zrobić naraz, ale rozbiłem je na dwie części dla lepszego zrozumienia. Ponieważ pytanie jest o zmianę stopy nominalnej, otrzymuję: 23, 31% 2% = 0, 69%. Odp: Wymagana kwota zostanie osiągnięta po 6 latach, w tym czasie przeciętna stopa zwrotu to, 03% kwartalnie, a stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej musi być zmniejszona o 0, 69 punktu procentowego by zachować opłacalność. 2. (200 pkt) Wartość realna kapitału wpłaconego na lokatę, na której obowiązywała kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 18% w ciągu 6 lat podwoiła się. W pierwszych kwartałach inflacja wynosiła 1%, 2%, 3% i % kwartalnie, a w kolejnych latach obowiązywania lokaty inflacja (roczna) wynosiła odpowiednio: 10%, 8%, 6%, 3%. Ile wyniosła inflacja roczna w ostatnim roku?

5 5 Ile wynosiła przeciętna półroczna stopa inflacji w całym okresie obowiązywania lokaty? Jaka była realna roczna stopa zwrotu w drugim roku trwania lokaty? Rozwiązanie: Najpierw obliczmy nominalną wartość kapitału na lokacie po 6 latach (72 miesiącach): 0, 18 K 6,nom = K 0 ( )72 = 2, 9212K 0. Teraz, ze związku między wartością realną, nominalną i inflacją całkowitą obliczymy inflację całkowitą (i c ) 6-letnią w okresie obowiązywania lokaty. 2K 0 = K 6,re = K 6,nom = 1, 606. Wiemy, że i c jest złożeniem wszystkich inflacji w kolejnych okresach, więc jeśli przez i 6 oznaczymy roczną inflację obowiązującą w szóstym roku, to otrzymamy: = (1, 01)(1, 02)(1, 03)(1, 0)(1, 1)(1, 08)(1, 06)(1, 03)(1 + i 6 ) i 6 = 2, 0%. Przeciętną inflację półroczną łatwo obliczyć, pamiętając, że w 6 latach jest 12 półroczy, więc: i przec,p = 12 1 = 3, 21%. Tu można też liczyć dookoła przeliczając wszystkie składowe inflacje na półroczne, ale nie jest to niezbędne - patrz uwaga pod koniec zadania 2 w grupie G. Do obliczenia realnej stopy zwrotu w drugim roku potrzebuję inflacji w drugim roku (i 2 = 0, 1) oraz efektywnej nominalnej rocznej stopy zwrotu z tej lokaty r ef : r ef = (1 + Wstawiając do wzoru na r re dostaję: 0, )12 1 = 19, 56%. 0, , 1 r re = = 8, 69%. 1, 1 Odp: Inflacja roczna w szóstym roku wynosi 2, 0%, przeciętna inflacja półroczna przez 6 lat wynosi 3, 21%, a realna stopa zwrotu w drugim roku lokaty to 8, 69%.

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

5. Strumienie płatności: renty

5. Strumienie płatności: renty 5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami Każde zadanie 1 punkt. 1. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje 0,22 60 = 13,20 kwota VAT 60 + 13,20 = 73,20 Odp. A 2. Wskaż liczbę, której

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje: A. 1701 zł. B. 2100 zł. C. 1890 zł. D. 2091 zł.

Zadanie 1 Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje: A. 1701 zł. B. 2100 zł. C. 1890 zł. D. 2091 zł. Zadanie 1 Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje: A. 1701 zł. B. 2100 zł. C. 1890 zł. D. 2091 zł. Zadanie 2 Cena towaru bez podatku VAT jest równa 90 zł. Towar ten

Bardziej szczegółowo

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji;

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji; 1 Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen. Miarą inflacji jest indeks cen dóbr konsumpcyjnych, równy stosunkowi cen dóbr należących do reprezentatywnego koszyka w danym okresie czasu cen tych

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

ZADANIE 1.  NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Na budowę domu możesz zaciagn ać pożyczkę w wysokości 63450 e. Do wyboru sa dwa warianty spłaty: I w każdym miesiacu spłacasz równe raty, każda w wysokości 2% pożyczonej kwoty. II pierwsza rata

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k 2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa

Bardziej szczegółowo

Granice ciągów liczbowych

Granice ciągów liczbowych Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian 4- lokaty i kredyty

Sprawdzian 4- lokaty i kredyty Sprawdzian 4- lokaty i kredyty Przykładowetypowe) zadania ZADANIE. Pan X wpłacił 000 zł do banku na czteroletni a lokatę oprocentowana w wysokości 8% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej

Elementy matematyki finansowej ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3

Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3 Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3 2. Odp.: 52; 3,472; 1 377/450 Zadanie 2. Oblicz: 40 % z 28 % liczby 38, 24,6 % z 15 % liczby 27,4. Odp.: 4,256; 1,01106 Zadanie 3.

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:.... Czas egzaminu: l OO minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

INDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku

INDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 23 Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Temat: Obliczenia w bankowości

Temat: Obliczenia w bankowości Spotkanie 13 Temat: Obliczenia w bankowości Plan zajęć 1. Burza mózgów. Uczniowie wypisują pojęcia, które kojarzą im się z bankiem i zastanawiają się nad tym, co one oznaczają. 2. Ze wszystkich wypisanych

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

1 Pomiar dochodowości inwestycji istota,

1 Pomiar dochodowości inwestycji istota, 1 Pomiar dochodowości inwestycji istota, odmiany i cechy stóp zwrotu Wprowadzenie Podstawową miarą wykorzystywaną do oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu. Drugim obok niej miernikiem efektywności

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę.

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązań tylko niektórych, spośród prezentowanych na zajęciach, zadań. Wszystkie pochodzą z podręcznika autorstwa Kotowskiej, Sitko i Uziębło. Kolokwium swoim zakresem obejmuje

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość

Bardziej szczegółowo

Cztery lokaty Zadanie Którą lokatę wybrać?

Cztery lokaty Zadanie Którą lokatę wybrać? Marian Maciocha Cztery lokaty Zadanie Którą lokatę wybrać? Chcemy ulokować 1000 zł na cztery miesiące i mamy do wyboru cztery propozycje: Propozycja 1: Lokata z oprocentowaniem 4% w skali roku. Odsetki

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/

Bardziej szczegółowo

Oprocentowanie rachunku oszczędnościowego KSO (Książeczka) Oprocentowanie Lokaty odnawialnej 2,7 na 7 dni. Oprocentowanie Lokaty 3 na 4

Oprocentowanie rachunku oszczędnościowego KSO (Książeczka) Oprocentowanie Lokaty odnawialnej 2,7 na 7 dni. Oprocentowanie Lokaty 3 na 4 OPROCENTOWANIE RACHUNKÓW: Oprocentowanie rachunków oszczędnościowo rozliczeniowych i rachunku bieżącego IKS Zero IKS Senior / IKS Deponent IKS Classic / IKS Med / IKS VIP / IKS Udziałowiec Tandem IKS Zwykłe

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Informacja obowiązująca od 01.07.2015

Informacja obowiązująca od 01.07.2015 SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

05-530 Góra Kalwaria, ul. Pijarska 21 tel.: [22] 717-82-65 fax: [22] 717-82-66 kom.: [0] 692-981-991, [0] 501-633-694 Info: 0 708 288 308

05-530 Góra Kalwaria, ul. Pijarska 21 tel.: [22] 717-82-65 fax: [22] 717-82-66 kom.: [0] 692-981-991, [0] 501-633-694 Info: 0 708 288 308 05-530 Góra Kalwaria, ul. Pijarska 21 tel.: [22] 717-82-65 fax: [22] 717-82-66 kom.: [0] 692-981-991, [0] 501-633-694 Info: 0 708 288 308 biuro@assman.com.pl http://www.assman.com.pl 21-11-2006 W części

Bardziej szczegółowo

Do grupy podstawowych wskaźników rynku kapitałowego należy zaliczyć: zysk netto liczba wyemitowanych akcji

Do grupy podstawowych wskaźników rynku kapitałowego należy zaliczyć: zysk netto liczba wyemitowanych akcji VIII. Repetytorium Temat 1.6. Wskaźniki rynku kapitałowego Wskaźniki rynku kapitałowego służą do pomiaru efektywności finansowej spółek akcyjnych, notowanych na giełdzie papierów wartościowych. Stanowią

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.

Bardziej szczegółowo

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza

Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza Opracowanie: kwiecień 2016r. www.strattek.pl strona 1 Spis 1. Parametry kredytu w PLN 2 2. Parametry kredytu denominowanego

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania depozytów w Banku Spółdzielczym w Chodzieży (obowiązuje od 19 października 2015r.)

Tabela oprocentowania depozytów w Banku Spółdzielczym w Chodzieży (obowiązuje od 19 października 2015r.) Załącznik Nr 1 do Uchwały Nr 89/B/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Chodzieży z 12 października 2015r. Tabela oprocentowania depozytów (obowiązuje od 19 października 2015r.) Chodzież, październik 2015

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2 METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ćwiczenia nr 1 i 2 - Cel ćwiczeń - Komunikacja email: i.ratuszniak@efficon.pl, w temacie - mopi - Konsultacje: pokój: 428,

Bardziej szczegółowo

ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce

ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Cena wymurowania pierwszego metra komina to 540zł. Każdy następny metr jest droższy o 90zł. Zatem wybudowanie komina o wysokości 20m

Bardziej szczegółowo

KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa

KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa ZADANIE 1. Zamień procenty na ułamki ( : 100 ) 25%= 50%= % % 62%= 16 % 138%= 11 % 2%= 33 % 2340%= 3 % 0,4%= 66 % 0,35%= % 1,05%= 1%= 2,3%= 4%= 27,4%= 16%= 0,004%= 28%= %

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania depozytów w Banku Spółdzielczym w Chodzieży (obowiązuje od 13 grudnia 2017 r.)

Tabela oprocentowania depozytów w Banku Spółdzielczym w Chodzieży (obowiązuje od 13 grudnia 2017 r.) Załącznik Nr 1 do Uchwały Nr 72/B/2017 Zarządu Banku Spółdzielczego w Chodzieży z 11 grudnia 2017 r. (obowiązuje od 13 grudnia 2017 r.) Chodzież, grudzień 2017 r. Spis treści 2 KLIENCI INDYWIDUALNI I.

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

Analiza opłacalności inwestycji v.

Analiza opłacalności inwestycji v. Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3

Bardziej szczegółowo

I. Oprocentowanie obowiązujące dla lokat przyjmowanych od r.

I. Oprocentowanie obowiązujące dla lokat przyjmowanych od r. I. Oprocentowanie obowiązujące dla lokat przyjmowanych od 03.04.2017 r. 1. Oprocentowanie zmienne środków gromadzonych na rachunkach bankowych w Banku Spółdzielczym w Malborku jak niżej: Rodzaj rachunku

Bardziej szczegółowo

Matematyka Finansowa

Matematyka Finansowa Matematyka Finansowa MATERIAŁY DO WYKŁADU Procent to jedna setna. 1% = 0,01. Promil to jedna tysięczna. 1 = 0,001 = 0,1%. -procent od wartości to 0,01. Na przykład dwadzieścia trzy procent i cztery promile

Bardziej szczegółowo

Gwarantowany zysk. Porównanie lokat bankowych - marzec 2009r.

Gwarantowany zysk. Porównanie lokat bankowych - marzec 2009r. Znalezienie bardzo korzystnej lokaty jest coraz bardziej trudne. Stopy procentowe spadają, spada więc oprocentowanie lokat bankowych. Oprocentowanie lokat w niektórych bankach stopniało od grudnia 2008r.

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r. Część 1. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima:

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania środków na rachunkach oraz lokat terminowych w Powiślańskim Banku Spółdzielczym w Kwidzynie dla KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH

Tabela oprocentowania środków na rachunkach oraz lokat terminowych w Powiślańskim Banku Spółdzielczym w Kwidzynie dla KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Załącznik Nr 1 do Uchwały Zarządu z dnia 05.03.2015r Nr 02//2015 Tabela oprocentowania środków na rachunkach oraz lokat terminowych w Powiślańskim Banku Spółdzielczym w Kwidzynie dla KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH

Bardziej szczegółowo

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu WACC Montaż finansowy Koszt kredytu PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Zdefiniuj stopę procentową i dyskontową Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

Skrypt 4. Liczby rzeczywiste: Opracowanie L5

Skrypt 4. Liczby rzeczywiste: Opracowanie L5 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 4 Liczby rzeczywiste: 26.

Bardziej szczegółowo

2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła

2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła 2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła Zadanie 1 An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund develops the following balances over the next 4 years: F (0) = 10000, F (1) = 10600,

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

Rentowność najmu przebiła lokaty i obligacje

Rentowność najmu przebiła lokaty i obligacje najmu przebiła lokaty i obligacje Autor: Emil Szweda, Bernard Waszczyk, Open Finance 13.09.2010. Portal finansowy IPO.pl Szczyt sezonu najmu, związany z napływem studentów na uczelnie i spadek oprocentowania

Bardziej szczegółowo

T A B E L A O P R O C E N T O W A N I A P R O D U K T Ó W B A N K O W Y C H B A N K U S P Ó Ł D Z I E L C Z E G O W S K O C Z O W I E

T A B E L A O P R O C E N T O W A N I A P R O D U K T Ó W B A N K O W Y C H B A N K U S P Ó Ł D Z I E L C Z E G O W S K O C Z O W I E Załącznik do Uchwały nr 130/2012 Zarządu Banku Spółdzielczego w Skoczowie z dnia 4 października 2012 roku I zm. Uchwała nr 141/2012 z dnia 12.10.2012r. II zm. Uchwała nr 178/2012 z dnia 22.11.2012r. T

Bardziej szczegółowo

Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia Obowiązująca od LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE

Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia Obowiązująca od LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia 13.04.2014 Obowiązująca od 01.05.2014 LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE Lokaty terminowe obowiązuje dla lokat

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Zadanie 1 Inwestor rozważa nabycie obligacji wieczystej (konsoli), od której będzie otrzymywał na koniec każdego półrocza kupon w wysokości 80 zł. Wymagana przez inwestora stopa zwrotu w terminie do wykupu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 22 czerwca 2015 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 22 czerwca 2015 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 22 czerwca 2015 r. Część 1. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

1 2. Zamień procent na ułamek: a) 57 % 1 4. Zamień promil na ułamek: a) 74. 1 5. Zamień procent na promil: a) 21 %

1 2. Zamień procent na ułamek: a) 57 % 1 4. Zamień promil na ułamek: a) 74. 1 5. Zamień procent na promil: a) 21 % pitagoras.xon.pl II. OLIZENI PROENTOWE 00% 000 PROENT I PROMIL : Słowo procent pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum - "na sto". Jeden procent zapisujemy symbolem % i oznacza to jedną setną część

Bardziej szczegółowo

Kredyt nie droższy niż (w okresie od 1 do 5 lat)

Kredyt nie droższy niż (w okresie od 1 do 5 lat) Kredyt nie droższy niż (w okresie od 1 do 5 lat) "Kredyt nie droższy niż to nowa usługa Banku, wprowadzająca wartość maksymalną stawki referencyjnej WIBOR 3M służącej do ustalania wysokości zmiennej stopy

Bardziej szczegółowo