Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II"

Transkrypt

1 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008

2 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty 1.1 Równoważność warunków oprocentowania Warunki oprocentowania jakie oferuje bank I są równoważne w danym okresie warunkom oprocentowania jakie oferuje bank II jeżeli przyszła wartość kapitału po tym czasie w banku I jest równa wartości przyszłej identycznej wartości kapitału w banku II. Jeżeli warunki oprocentowania w banku I są równoważne w każdym okresie warunkom oprocentowania w banku II, to mówimy, że warunki określone w banku I są równoważne warunkom określonym w banku II Równoważność warunków oprocentowania dla modelu kapitalizacji prostej Załóżmy, że w banku I i w banku II obowiązuje odpowiednio roczna stopa procentowa r 1 i roczna stopa procentowa r 2. Niech m 1, m 2 oznaczają odpowiednio ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku w banku I i w banku II. Wówczas warunki oprocentowania są równoważne (dla dowolnego okresu) gdy r 1 = r Równoważność warunków oprocentowania dla modelu kapitalizacji złożonej Przyjmijmy oznaczenia jak w Gdy w bankach I i II obowiązuje model kapitalizacji złożonej. Wówczas warunki oprocentowania w banku I są równoważne warunkom oprocentowania w banku II, gdy zachodzi równość: r I ef = r II ef, gdzie r I ef, r II ef oznaczają stopy efektywne odpowiednio w banku I i w banku II. Przykład W banku I obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 22%, a w banku II kapitalizacja kwartalna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej r. Dla jakiego r warunki oprocentowania w bankach I i II będą równoważne? 1

3 Rozwiązanie: Ponieważ w obydwu bankach obowiązuje model kapitalizacji złożonej, więc warunki będą równoważne, gdy stopy efektywne w tych bankach będą sobie równe. Obliczymy najpierw roczną stopę efektywną w banku I: r I ef = ( 1 + ) 0, = 0, Roczna stopa efektyna w banku II wyraża się wzorem: ( ref II = 1 + 4) r 4 1. Otrzymujemy zatem równanie: ( 1 + r 4) 4 1 = 0, Stąd ( 1 + r 4) 4 = 1, r 4 = 4 1, 2321 r = 4 4 1, , Zad W banku I obowiązuje kapitalizacja półroczna z dołu przy rocznej stopie procentowej 20%. W banku II obowiązuje kapitalizacja kwartalna z góry przy półrocznej stopie procentowej r. Dla jakiej wartości r warunki oprocentowania w bankach I i II będą równoważne dla 4 lat? Czy warunki te będą równoważne dla 8 lat? (Przeprowadzić dokładne obliczenia) Zad W banku A obowiązuje kapitalizacja półroczna z góry przy rocznej stopie procentowej r A, a w banku B kapitalizacja kwartalna z dołu przy rocznej stopie procentowej r B. Jaką zależność powinny spełniać stopy r A i r B, aby warunki oprocentowania w tych bankach były równoważne dla 4 lat? Czy warunki te będą równoważne? 1.2 Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej Rozważamy teraz sytuację gdy wartość stopy procentowej ulega zmianie. Sytuacja taka jest możliwa zwłaszcza dla długich przedziałów czasu. Oznaczmy przez n k, k = 1, 2,..., p, p N, ilość okresów, w których obowiązuje stopa procentowa o wartości r k. Zakładamy, że okres stopy procentowej się nie zmienia i kapitalizacja jest zgodna. Oznaczmy n = n 1 + n n p. W modelu kapitalizacji prostej wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: p P n = K 0 (1 + n i r i ). W modelu kapitalizacji złożonej z dołu wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: K n = K 0 p 2 (1 + r i ) n i.

4 W modelu kapitalizacji złożonej z góry wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: W n = K 0 p (1 r i ) n i. W modelu kapitalizacji ciągłej wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: W n = K 0 e n 1r 1 +n 2 r 2 + +n pr p. Gdy stopa procentowa jest zmienna, wówczas wprowadza się pojęcie przeciętnej stopy procentowej, czyli takiej dla której przyszła wartość kapitału jest taka sama jak przy zastosowaniu zmieniających się stóp procentowych. W modelu kapitalizacji prostej przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem: r prz = 1 p n i r i. n W modelu kapitalizacji złożonej z dołu przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem: p r prz = n (1 + r i ) n i 1. W modelu kapitalizacji złożonej z góry przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem: p r prz = 1 n (1 r i ) n i. W modelu kapitalizacji ciągłej: r prz = 1 p n i r i. n Przykład Przez kolejne 4 kwartały kwartalna stopa procentowa przyjmowała wartości: 14%, 10%, 8%, 11%. Obliczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeżeli bank stosuje kapitalizację kwartalną z góry. Rozwiązanie. Mamy r 1 = 14%, r 2 = 10%, r 3 = 8%, r 4 = 11%. Okresem każdej stopy jest kwartał. Zatem r prz = 1 4 (1 0, 14)(1 0, 1)(1 0, 8)(1 0, 11) 0, 391. Zad Przez kolejne cztery lata roczna stopa procentowa miała nastepujace wartosci: 10%, 12%, 11%, 8%, a przez nastepne dwa lata wynosiła 7%. Wiedzac, ze bank stosował roczna kapitalizacje złozona z dołu, wyznaczyc przecietna roczna stope procentowa i obliczyc wartosc kapitału 100 jp po tych szesciu latach. Zad W kolejnych kwartałach roku kwartalna stopa procentowa przyjmowała nastepujace wartosci: 3%, 5%, 7%, 2%. Wyznaczyc przecietną kwartalną stopę procentową, jesli bank stosował kwartalną kapitalizację 1. prostą, 3

5 2. złozona z góry, 3. złozona z dołu, 4. ciągłą. Zad Kwote 200 jp wpłacono do banku na 3 lata. Bank stosuje kapitalizacje złozona roczna przy rocznej stopie procentowej 15%. Wyznaczyc wartosc przyszłą po 3 latach i 10 dniach, przyjmując rózne warianty oprocentowania w czasie przewyższajacym 3 lata: 1. w czasie przekroczonym odsetki nie będą doliczane, 2. za czas przekroczony zostaną dopisane odsetki proste od wartości początkowej według niższej stopy procentowej, 3. bank dolicza odsetki proste od końcowej wartości kapitału według niższej stopy procentowej, 4. bank dolicza odestki proste od końcowej wartości kapitału, ale według innej stopy procentowej jest oprocentowany kapitał początkowy, a według innej zgromadzone odsetki, 5. bank dolicza część odsetek przypadających na 1 okres kapitalizacji, proporcjonalna do liczby przekroczonych dni, 6. bank dolicza odsetki złozone za cały czas trwania lokaty. 1.3 Oprocenotwanie lokaty z uwzględnieniem inflacji Jeżeli rozważamy wzrost kapitału w danym modelu kapitalizacji bez uwzględnienia stopy inflacji, wówczas mówimy o wzroście kapitału w ujęciu nominalnym. Jeśli natomiast uwzględnimy stopę inflacji wówczas rzeczywisty wzrost wartości pieniądza nazwiemy realną stopę procentową. Oznaczmy stopę inflacji przez i, r re niech oznacza realną stopę procentową. Zakładamy tutaj, że okres stopy procentowej pokrywa się z okresem stopy inflacji. Jeżeli oznaczymy przez K 1 nominalny wzrost kapitału K 0 po jednym okresie kapitalizacji, a przez K1 re rzeczywisty wzrost wartości tego kapitału, wówczas wzrost realny jest mniejszy niż nominalny. Związek między K 1 a K1 re możemy zapisać w postaci: Stąd otrzymujemy: K re 1 (1 + i) = K 0 (1 + r). K 0 (1 + r re )(1 + i) = K 0 (1 + r) 1 + r re = 1 + r 1 + i r re = 1 + r 1 + i 1 = r i 1 + i. Z powyższego wzoru otrzymujemy natychmiast informację, że gdy stopa inflacji jest równa nominalnej stopie procentowej wówczas rzeczywsity wzrost kapitału jest równy wartości 4

6 kapitału początkowego. Realna wartość pieniądza rośnie gdy stopa nominalna jest większa od stopy procentowej. Gdy stopa nominalna jest mniejsza od stopy inflacji wówczas realna wartość kapitału maleje. Rozważy teraz model kapitalizacji niezgodnej. Załóżmy, że w jednym okresie stopy procentowej r dokonujemy m razy kapitalizacji odsetek. Wówczas realną efektywną stopę procentową obliczamy wg wzoru: r re,ef = r ef i 1 + i, gdzie r ef jest stopą efektywną dostasowaną do okresu stopy procentowej r. Gdy nasz rozważanie rozszerzymy na kilka okresów stopy procentowej i przyjmiemy za i k stopę inflacji, która obowiązywała przez n k okresów, gdzie k = 1, 2,..., p, p N. Wówczas po n okresach, gdzie n = n 1 + n n p stopę inflacji możemy obliczyć ze wzoru: p i = (1 + i k ) n k 1. k=1 Przeciętna stopa inflacji i prz, przy której realna wartość pieniądza jest taka sama jak przy zastosowaniu zmieniających się stóp inflacji jest postaci: p i prz = n (1 + i k ) n k 1. k=1 Przykład W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co pół roku i przyjmowała odpowiednio wartości: 3%, 5%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz przeciętną półroczną stopę inflacji. Rozwiązanie. Roczną stopę inflacji obliczamy ze wzoru: i = (1 + 0, 03)(1 + 0, 05) 1 0, 082 = 8, 2%. Przeciętną półroczną stopę inflacji obliczymy ze wzoru: i prz = (1 + 0, 03)(1 + 0, 05) 1 0, 038 = 3, 8%. Zad Stopy inflacji w poszczególnych kwartałach były równe: 6%, 5%, 5%, 2%. Roczna stopa procentowa wynosi 16% i bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa? Zad Oprocentowanie roczne lokaty wynosi 13%, a roczna stopa inflacji wynosi 10%. Ile wynosi realna roczna stopa procentowa? Zad Bank stosuje miesięczną kapitalizację złożoną z dołu i półroczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20%. Jaka jest realna półroczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych miesiącach była równa odpowiednio: 3%, 5%, 1%, 3%, 7%. Zad Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wyniosła 700 jp miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji była równa odpowiednio: 5%, 7%, 6%, 4%. Wyznaczyć 5

7 1. płacę pracownika w I kwartale następnego roku, 2. roczną stopę inflacji, 3. przeciętną kwartalną stopę inflacji, 4. realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. Zad W pewnym roku stopa inflancji wynosiła 6%, zaś roczna stopa procentowa 8%. Jaką kwotę wpłacono na poczatku tego roku, jeśli jej skapitalizowana po tym roku rzeczywista wartośś wynosi 450 jp? Zad Pensja pracownika w pierwszym półroczu pewnego roku wynosiła 1000 jp i była indeksowana co pół roku ze wskaznikiem wzrostu równym 0,8 stopy inflacji z poprzedniego półrocza. W ciagu roku półroczne stopy inflacji były równe odpowiednio: 3% i 2%. Obliczyc pensję pracownika w pierwszym półroczu nastepnego roku i realną stopę wzrostu płacy w ciagu roku. Zad Nominalny wzrost wartosci kapitału K 0 = 100 jp po jednym roku wyniósł 120 jp. Jaki jest rzeczywisty wzrost wartosci K 0 po jednym roku, jezeli okresem stopy procentowej i stopy inflacji i = 5% jest jednen rok? Zad Wartosc kwoty K 0 po dokonaniu waloryzacji o wskaznik inflacji i = 4% wynosi 500 jp. Rzeczywista roczna stopa procentowa wynosi 10%. Jaka jest nominalna wartosc kwoty K 0 (wyrazona w starych cenach) po jednym roku? Zad Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20% i bank stosuje kwartalną kapitalizację złozoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych kwartałach była równa: 7%, 5%, 4%, 5%. 1.4 Dyskonto matematyczne i handlowe Potrącone z góry odsetki od zaciągniętego kredytu nazywamy dyskontem. Również dyskontem nazywamy potrącenie odsetek od papierów wartościowych, sprzedawanych przed terminem płatności. Zatem dyskonto możemy traktować jako zapłatę poniesioną z góry za udzielenie kredytu lub za wcześniejszy wykup weksla. Dyskontowaniem będziemy nazywali pomniejszanie wartości (kredytu bądź wartości weksla) o dane dyskonto Dyskonto matematyczne Odsetki wytworzone przez kapitał w danym okresie czasu nazywamy dyskontem matematycznym. Ten typ dyskonta ma głównie zastosowanie przy kredytach bankowych. W zależności od rodzaju kapitalizacji otrzymujemy wzory na dyskonto matematyczne: 1. W modelu kapitalizacji prostej dyskonto matematyczne nazywamy dyskontem prostym. Jeżeli rozważymy n okresów stopy procentowej r to dyskonto proste obliczamy przy pomocy wzoru: D M = K 0 rn. 6

8 2. W modelu kapitalizacji złożonej z dołu zgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 + r) n 1], 3. w modelu kapitalizacji złożonej z góry zgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 r) n 1], 4. w modelu kapitalizacji złożonej z dołu niezgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 + r ef ) n 1], 5. w modelu kapitalizacji złożonej z góry niezgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 r ef ) n 1], 6. w modelu kapitalizacji ciągłej: D M = K 0 (e nr 1). Zad Bank przy rocznej stopie procentowej r = 12% stosuje kapitalizację: 1. prostą, 2. roczną złożoną z dołu, 3. roczną złożoną z góry, 4. półroczną złożoną z dołu, 5. miesięczną złożoną z góry, 6. ciągłą. Wyznaczyć wartość dyskonta matematycznego dla 10 lat dla wartości początkowej K 0 = 100jp. Zad Bank udziela kredytu, pobierając zapłatę z góry w postaci dyskonta matematycznego wg rocznej stopy procentowej 24% i kapitalizacji półrocznej złożonej z dołu. Jaką kwotę otrzyma do ręki kredytobiorca, jeżeli zaciągnął kredyt w wysokości 300jp na rok? Dyskonto handlowe Dyskonto handlowe to odsetki potrącane z góry od wartości nominalnej papieru wartościowego (np. weksla), który został sprzedany przed terminem jego płatności. Dyskonto handlowe D H opisuje wzór: D H = W nom dn, gdzie W nom oznacza wartość nominlana weksla, d wartość stopy dyskontowej, n liczba okresów stopy dyskontowej. Jeżeli weksel zostanie wykupiony przed terminem jego płatności wówczas jego wartość nominalna zostaje pomniejszona o dane dyskonto handlowe, 7

9 w wyniku czego otrzymujemy wartość aktualną weksla (lub innego papieru wartościowego). Mamy zatem W akt = W nom D H. Dwa weksle nazwiemy równoważnymi w danym dniu jeżeli ich wartości aktualne w tym dniu są takie same. Stopa procentowa r jest równoważna stopie dyskontowej d jeżeli dyskonto matematyczne (obliczone wg stopy r) jest równe dyskontowi handlowemu. Zad Klient nabył towar w hurtowni za kwotę 100jp przy czym uiści zapłatę za 5 miesięcy powiększoną o odsetki proste wg rocznej stopy 28%. Hurtownia wystawiła odpowiedni weksel kupiecki. Jaką kwotę otrzyma hurtownia jeżeli natychmiast zdyskontuje weksel w banku. Roczna stopa dyskontowa wynosi 30%. Zad Weksel o wartości nominalnej 70jp i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 15%. Zad Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100jp zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2jp. Zad Wartość K 0 została oprocentowana na 5 lat według rocznej stopy procentowej r = 10% i kapitalizacji prostej. Wyznaczyć roczną stopę dyskontową równoważną stopie r. Czy stopy te będą równoważne dla 10 lat? Zad Pozyczke 5000 jp spłacono po trzech miesiacach kwotą 5250 zł. Przyjmując, że opłatą za pożyczkę były odsetki 1. płatne z dołu, obliczyć roczną stopę procentową, 2. płatne z góry, obliczyć roczna stopę dyskontową. 8

10 Bibliografia [1] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków [2] A. Kaźmierczak, Polityka pieniądza w gospodarce rynkowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [3] M. Belka, A.Bogus Elementarne zagadnienia ekonomii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -

Bardziej szczegółowo

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji;

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji; 1 Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen. Miarą inflacji jest indeks cen dóbr konsumpcyjnych, równy stosunkowi cen dóbr należących do reprezentatywnego koszyka w danym okresie czasu cen tych

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/

Bardziej szczegółowo

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej

Elementy matematyki finansowej ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w

Bardziej szczegółowo

7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe

7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe 7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe:

Bardziej szczegółowo

Oprocentowanie, dyskonto, inflacja

Oprocentowanie, dyskonto, inflacja Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Oprocentowanie, dyskonto, inflacja. Wstęp Zastosowania matematyki w ekonomii obejmują cały szereg zagadnień, poczynając od prostych operacji

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów);

1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów); Wstęp Zastosowania matematyki w ekonomii obejmują cały szereg zagadnień, poczynając od prostych operacji arytmetycznych. Dzięki matematyce ekonomiści są w stanie opisywać złożone zjawiska i formułować

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2 METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ćwiczenia nr 1 i 2 - Cel ćwiczeń - Komunikacja email: i.ratuszniak@efficon.pl, w temacie - mopi - Konsultacje: pokój: 428,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k 2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

dr hab. Marcin Jędrzejczyk

dr hab. Marcin Jędrzejczyk dr hab. Marcin Jędrzejczyk Przez inwestycje należy rozumieć aktywa nabyte w celu osiągnięcia korzyści ekonomicznych, wynikających z przyrostu wartości tych zasobów, uzyskania z nich przychodów w postaci

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:....... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne.

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne. Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne dr Adam Salomon Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Podręcznik

Bardziej szczegółowo

Matematyka Finansowa

Matematyka Finansowa Matematyka Finansowa MATERIAŁY DO WYKŁADU Procent to jedna setna. 1% = 0,01. Promil to jedna tysięczna. 1 = 0,001 = 0,1%. -procent od wartości to 0,01. Na przykład dwadzieścia trzy procent i cztery promile

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor: Tytuł:

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 03 MSTiL (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 03 MSTiL (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 03 MSTiL (II stopień) EiLwPTM program wykładu 03. Kredyt. Plan spłaty kredytu metodą tradycyjną i za pomocą współczynnika

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

ZADANIE 1.  NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Na budowę domu możesz zaciagn ać pożyczkę w wysokości 63450 e. Do wyboru sa dwa warianty spłaty: I w każdym miesiacu spłacasz równe raty, każda w wysokości 2% pożyczonej kwoty. II pierwsza rata

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor:

Bardziej szczegółowo

0.2 Oprocentowanie, kapitalizacja i dyskontowanie

0.2 Oprocentowanie, kapitalizacja i dyskontowanie 0.1 Literatura 1 M. Podgórska J. Klimkowska Matematyka finansowa PWN. 2 S. G. Kellison The Theory of Interest McGraw-Hill Int. Ed. 3 E. Smaga Arytmetyka finansowa PWN. 0.2 Oprocentowanie kapitalizacja

Bardziej szczegółowo

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu WACC Montaż finansowy Koszt kredytu PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Zdefiniuj stopę procentową i dyskontową Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we

Bardziej szczegółowo

2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła

2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła 2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła Zadanie 1 An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund develops the following balances over the next 4 years: F (0) = 10000, F (1) = 10600,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Uniwersytet Szczeciński 7 grudnia 2017 r. Wartość pieniądza w czasie, siła procentu składanego, oprocentowanie rzeczywiste, nominalne i realne

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje

Bardziej szczegółowo

Do grupy podstawowych wskaźników rynku kapitałowego należy zaliczyć: zysk netto liczba wyemitowanych akcji

Do grupy podstawowych wskaźników rynku kapitałowego należy zaliczyć: zysk netto liczba wyemitowanych akcji VIII. Repetytorium Temat 1.6. Wskaźniki rynku kapitałowego Wskaźniki rynku kapitałowego służą do pomiaru efektywności finansowej spółek akcyjnych, notowanych na giełdzie papierów wartościowych. Stanowią

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę.

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązań tylko niektórych, spośród prezentowanych na zajęciach, zadań. Wszystkie pochodzą z podręcznika autorstwa Kotowskiej, Sitko i Uziębło. Kolokwium swoim zakresem obejmuje

Bardziej szczegółowo

Z-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics. Ekonomia I stopień Ogólnoakademicki

Z-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics. Ekonomia I stopień Ogólnoakademicki KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Obowiązuje od 01.02.2016 r.

Obowiązuje od 01.02.2016 r. KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu

Bardziej szczegółowo

Każde państwo posiada walutę, w której rozlicza się wszelkie płatności na jego terenie. W Polsce jest nią złoty, dzielący się na 100 groszy.

Każde państwo posiada walutę, w której rozlicza się wszelkie płatności na jego terenie. W Polsce jest nią złoty, dzielący się na 100 groszy. Każde państwo posiada walutę, w której rozlicza się wszelkie płatności na jego terenie. W Polsce jest nią złoty, dzielący się na 100 groszy. Państwo: Sprawuje kontrolę nad stabilnością swojej waluty.(np.,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Przedstawienie

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów konta Konto osobiste konta 0,50% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 12.08.2013 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa

KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa ZADANIE 1. Zamień procenty na ułamki ( : 100 ) 25%= 50%= % % 62%= 16 % 138%= 11 % 2%= 33 % 2340%= 3 % 0,4%= 66 % 0,35%= % 1,05%= 1%= 2,3%= 4%= 27,4%= 16%= 0,004%= 28%= %

Bardziej szczegółowo

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1

Bardziej szczegółowo

Bank. Spółdzielczy w Ostrowi Mazowieckiej TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH OBOWIĄZUJĄCA W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W OSTROWI MAZOWIECKIEJ

Bank. Spółdzielczy w Ostrowi Mazowieckiej TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH OBOWIĄZUJĄCA W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W OSTROWI MAZOWIECKIEJ Załącznik nr 1 do Uchwały 36/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego z dnia 29.04..2015r Bank Spółdzielczy w Ostrowi Mazowieckiej TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH OBOWIĄZUJĄCA W BANKU SPÓŁDZIELCZYM

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa DSFRiU

Matematyka finansowa DSFRiU Matematyka finansowa DSFRiU notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania Podręczniki 1. M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,25% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 16.12.2014 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo