4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe
|
|
- Teresa Przybysz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 1 / 33
2 1 Motywacja, oznaczenia, założenia 2 Podstawowy model złożony 3 Kapitalizacja mieszana 4 Polski model kapitalizacji rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 2 / 33
3 Wstęp Dotychczas rozważaliśmy głównie inwestycje o pojedynczym nakładzie i pojedynczej wypłacie (ewentualnie z drobnymi modyfikacjami). Teraz sprawę nieco skomplikujemy: zajmiemy się strumieniami płatności, czyli ciągami płatności, które występują w równych odstępach czasowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 3 / 33
4 Wstęp Dotychczas rozważaliśmy głównie inwestycje o pojedynczym nakładzie i pojedynczej wypłacie (ewentualnie z drobnymi modyfikacjami). Teraz sprawę nieco skomplikujemy: zajmiemy się strumieniami płatności, czyli ciągami płatności, które występują w równych odstępach czasowych. Motywacja jest bardzo naturalna - w ten sposób możemy np. co miesiąc odkładać jakąś część naszych dochodów np. na jakąś lokatę, by po jakimś czasie uzbierać na dany cel konsumpcyjny (samochód, mieszkanie itp.) albo inwestycyjny. Tego typu płatności wystąpią też w kolejnych rozdziałach, kiedy będziemy analizować wypłatę renty z kapitału lub też spłatę długu długoterminowego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 3 / 33
5 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33
6 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33
7 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33
8 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez W i oznaczamy wysokość i-tej płatności. Jeśli wszystkie płatności są równe, oznaczamy ich wysokość przez W. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33
9 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez W i oznaczamy wysokość i-tej płatności. Jeśli wszystkie płatności są równe, oznaczamy ich wysokość przez W. Przez S i oznaczamy wartość zgromadzonego kapitału po zakończeniu i-tego okresu płatności. W szczególności K = S N jest to wartość zgromadzonego kapitału na końcu całego procesu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 4 / 33
10 Podstawowe oznaczenia rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 5 / 33
11 Podstawowe oznaczenia Doprecyzujmy ostatni punkt: S i to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i-tego okresu płatności, zaktualizowana na koniec i-tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat wpłaconych do tego momentu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 5 / 33
12 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu By obliczyć wartość strumienia płatności konieczne są dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania okresowych wpłat. Mogą być one dokonywane: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 6 / 33
13 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu By obliczyć wartość strumienia płatności konieczne są dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania okresowych wpłat. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 6 / 33
14 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu By obliczyć wartość strumienia płatności konieczne są dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania okresowych wpłat. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. z góry, czyli na początku każdego okresu płatności, czyli w momentach 0, 1, 2,..., N 1. Taką sytuację oznaczają kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. S k. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 6 / 33
15 Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 7 / 33
16 Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: złożony, czyli zakładamy, że możemy inwestować wkłady na okres dowolnie krótki (a przynajmniej na okres równy okresowi płatności) po efektywnej stopie zwrotu równoważnej stopie zadanej dla okresu kapitalizacji. Ze względu na dużą dostępność na współczesnym rynku różnych narzędzi inwestycyjnych o niemal dowolnych horyzontach czasowych, jest to domyślny sposób dokonywania kapitalizacji w okresach krótszych niż OK. Jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że kapitalizacji w podokresach dokonujemy w sposób złożony. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 7 / 33
17 Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 8 / 33
18 Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: mieszany, co oznacza, że nasze wkłady są oprocentowane za pomocą narzędzia działającego jak lokata o danym okresie kapitalizacji, którego nie jesteśmy w stanie skrócić. Dlatego, w momencie zakończenia płatności, niektóre z naszych inwestycji są pomiędzy okresami kapitalizacji i pobranie ich oznacza, że od ostatniego momentu kapitalizacji będą one oprocentowane według kapitalizacji prostej i innej nominalnej stopy procentowej, którą oznaczę r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 8 / 33
19 Podstawowe założenia - model kapitalizacji W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być: mieszany, co oznacza, że nasze wkłady są oprocentowane za pomocą narzędzia działającego jak lokata o danym okresie kapitalizacji, którego nie jesteśmy w stanie skrócić. Dlatego, w momencie zakończenia płatności, niektóre z naszych inwestycji są pomiędzy okresami kapitalizacji i pobranie ich oznacza, że od ostatniego momentu kapitalizacji będą one oprocentowane według kapitalizacji prostej i innej nominalnej stopy procentowej, którą oznaczę r. polski, który jest wariantem modelu mieszanego, używanym w polskich bankach w latach 90-tych, w różnych podręcznikach i (o ile mi wiadomo) nigdzie indziej - dlatego podam go jedynie jako ciekawostkę pod koniec tego zestawu slajdów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 8 / 33
20 Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33
21 Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33
22 Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, wzorem: gdzie m = OP OK. r ef = (1 + r) m 1, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33
23 Założenia modelu złożonego Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, wzorem: r ef = (1 + r) m 1, gdzie m = OP. We wzorach będziemy częściej używać czynnika OK akumulacji q = 1 + r ef, więc możemy zapisać: q = (1 + r) m. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 9 / 33
24 Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33
25 Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33
26 Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + W 2 q k W k 1 q + W k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33
27 Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + W 2 q k W k 1 q + W k. W szczególności: S N = W 1 q N 1 + W 2 q N W N 1 q + W N. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33
28 Wpłaty różnej wysokości Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy: S k = W 1 q k 1 + W 2 q k W k 1 q + W k. W szczególności: S N = W 1 q N 1 + W 2 q N W N 1 q + W N. Z tym wzorem nie za wiele więcej się da zrobić. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 10 / 33
29 Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k Wq+W = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33
30 Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k Wq+W = W (q k 1 +q k q+1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33
31 Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k Wq+W = W (q k 1 +q k q+1) = = W qk 1 q 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33
32 Wpłaty równej wysokości z dołu Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W 1 = W 2 =... = W N = W ). Wtedy mamy: S k = Wq k 1 +Wq k Wq+W = W (q k 1 +q k q+1) = = W qk 1 q 1. Wkłady z dołu, model złożony S k = W qk 1 q 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 11 / 33
33 Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k Wq 2 +Wq = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33
34 Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k Wq 2 +Wq = Wq(q k 1 +q k q+1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33
35 Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k Wq 2 +Wq = Wq(q k 1 +q k q+1) = = Wq qk 1 q 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33
36 Wpłaty równej wysokości z góry Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej: S k = Wq k +Wq k Wq 2 +Wq = Wq(q k 1 +q k q+1) = = Wq qk 1 q 1. Wkłady z góry, model złożony S k = Wq qk 1 q 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 12 / 33
37 Oznaczenia czynników wartości przyszłej W literaturze (szczególnie aktuarialnej) często pojawiają się tzw. czynniki wartości przyszłej. Oznacza się je: s n i = qn 1 q 1 ; s n i = q qn 1 q 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 13 / 33
38 Oznaczenia czynników wartości przyszłej W literaturze (szczególnie aktuarialnej) często pojawiają się tzw. czynniki wartości przyszłej. Oznacza się je: Wtedy s n i = qn 1 q 1 ; s n i = q qn 1 q 1. S n = Ws n i ; S n = W s n i. Te oznaczenia nie obowiązują na kursie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 13 / 33
39 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
40 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
41 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
42 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
43 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
44 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = (1 + r) 3 = 1, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
45 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = (1 + r) 3 = 1, Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
46 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,12 = 0, 01. Następnie 12 musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = (1 + r) 3 = 1, Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności. Jako, że Żwirek wpłaca pieniądze na końcu kwartału, używamy wzoru na S 32. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 14 / 33
47 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0303, N = = S 32 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 15 / 33
48 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0303, N = = S 32 = x q32 1 q 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 15 / 33
49 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0303, N = = S 32 = x q32 1 q 1 x = 189, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 15 / 33
50 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33
51 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 12 = 0, 01. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33
52 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 12 Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. = 0, 01. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33
53 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33
54 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + r) 6 = 1, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33
55 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + r) 6 = 1, Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33
56 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną r = 0,12 = 0, Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + r) 6 = 1, Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S 16. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 16 / 33
57 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0615, N = = S 16 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 17 / 33
58 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0615, N = = S 16 = yq q16 1 q 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 17 / 33
59 Przykład Zadanie Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał jp. Ile wynosiły wartości x i y? q = 1, 0615, N = = S 16 = yq q16 1 q 1 y = 362, Odp: Żwirek musi wpłacać 189,4706 jp, a Muchomorek 362,4490 jp. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 17 / 33
60 Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33
61 Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33
62 Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33
63 Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = S N q N. Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33
64 Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = S N q N. Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu PV = W 1 q N, dla kapitalizacji z góry q 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33
65 Wartość aktualna strumienia płatności Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (r ef ) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to PV = S N q N. Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu PV = W 1 q N, dla kapitalizacji z góry q 1 PV = Wq 1 q N. q 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 18 / 33
66 Czynniki wartości teraźniejszej Oczywiście różnym autorom brakuje ciekawych symboli, więc tzw. czynniki wartości teraźniejszej też mają swoje oznaczenia: a n i = 1 q n q 1 ; ä n i = q 1 q n q 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 19 / 33
67 Czynniki wartości teraźniejszej Oczywiście różnym autorom brakuje ciekawych symboli, więc tzw. czynniki wartości teraźniejszej też mają swoje oznaczenia: Wtedy a n i = 1 q n q 1 ; ä n i = q 1 q n q 1. PV = Wa n i ; PV = W ä n i. odpowiednio w wypadku kapitalizacji z dołu i z góry. Te oznaczenia nie obowiązują na kursie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 19 / 33
68 Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33
69 Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33
70 Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33
71 Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = 90 1, , 0125 = 1157, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33
72 Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = 90 1, , 0125 = 1157, Ten wynik to wartość całego strumienia płatności w momencie za rok (po 12 miesiącach). Zatem: PV = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33
73 Przykład Zadanie Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp. Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%? Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S 12 = 90 1, , 0125 = 1157, Ten wynik to wartość całego strumienia płatności w momencie za rok (po 12 miesiącach). Zatem: PV = 1157, 4325 (1, 0125) 12 = 997, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 20 / 33
74 Kapitalizacja mieszana - motywacja Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie kapitalizować się w ten sam sposób. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 21 / 33
75 Kapitalizacja mieszana - motywacja Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie kapitalizować się w ten sam sposób. W szczególności, jeśli OK > OP, to w dowolnym momencie część z wkładów będzie pomiędzy swoimi kapitalizacjami - więc część ich kapitalizacji będzie oparta na kapitalizacji prostej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 21 / 33
76 Kapitalizacja mieszana - motywacja Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie kapitalizować się w ten sam sposób. W szczególności, jeśli OK > OP, to w dowolnym momencie część z wkładów będzie pomiędzy swoimi kapitalizacjami - więc część ich kapitalizacji będzie oparta na kapitalizacji prostej. Oczywiście, jeśli OK jest całkowitą wielokrotnością OP, to model kapitalizacji mieszanej będzie dawać te same rezultaty co model kapitalizacji złożonej (bo nie interesuje nas wtedy sposób naliczania odsetek dla małych okresów). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 21 / 33
77 Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33
78 Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość tego strumienia po Nm okresach płatności, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33
79 Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość tego strumienia po Nm okresach płatności, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). Wtedy możemy traktować nasz strumień płatności jako sumę m podstrumieni o N płatnościach i okresie płatności równym okresowi kapitalizacji: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33
80 Kapitalizacja mieszana - oznaczenia Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = OK OP ), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK), q = 1 + r, zaś r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy kapitalizacjami. Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość tego strumienia po Nm okresach płatności, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). Wtedy możemy traktować nasz strumień płatności jako sumę m podstrumieni o N płatnościach i okresie płatności równym okresowi kapitalizacji: np. pierwszy z tych podstrumieni składa się z wpłat o numerach postaci nm + 1 (czyli wpłacanych o 1 okres płatności po każdym pełnym okresie kapitalizacji), drugi z wpłat o numerach nm + 2 itd. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 22 / 33
81 Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33
82 Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33
83 Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. Wtedy kończy się dla takiego strumienia czas kapitalizacji według modelu złożonego, a do końca okresu oszczędzania tak uzbierany kapitał oprocentowany jest według modelu prostego (bo nie doczekamy się kolejnej kapitalizacji), ze stopą względną r m. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33
84 Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. Wtedy kończy się dla takiego strumienia czas kapitalizacji według modelu złożonego, a do końca okresu oszczędzania tak uzbierany kapitał oprocentowany jest według modelu prostego (bo nie doczekamy się kolejnej kapitalizacji), ze stopą względną r. k-ty strumień w ten sposób skapitalizuje się m k m razy. Zatem wartość k-tego strumienia (k = 1, 2..., m 1) po mn okresach płatności wyniesie: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33
85 Kapitalizacja mieszana - analiza Wartość m-tego z tych podstrumieni można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z dołu, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Pozostałe liczymy z tego samego wzoru, aż do ostatniej wpłaty. Wtedy kończy się dla takiego strumienia czas kapitalizacji według modelu złożonego, a do końca okresu oszczędzania tak uzbierany kapitał oprocentowany jest według modelu prostego (bo nie doczekamy się kolejnej kapitalizacji), ze stopą względną r. k-ty strumień w ten sposób skapitalizuje się m k m razy. Zatem wartość k-tego strumienia (k = 1, 2..., m 1) po mn okresach płatności wyniesie: S k mn = W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 23 / 33
86 Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33
87 Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = m k=1 W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33
88 Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = m k=1 W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = = W qn 1 q 1 (m+ r ( (m 1))) = m Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33
89 Wpłaty z dołu, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = m k=1 W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = = W qn 1 q 1 (m+ r m ( (m 1))) = W qn 1 q 1 (m+ r m 1 ). 2 Wkłady z dołu, model mieszany S mn = W qn 1 q 1 m 1 (m + r ). 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 24 / 33
90 Kapitalizacja mieszana z góry - analiza Jeśli założymy, że płatności są dokonywane z góry przy kapitalizacji mieszanej - otrzymamy niemal taki sam model: podstrumienie 1, 2,..., m 1 wyglądają dokładnie tak samo. Jedyna różnica, to że zamiast podstrumienia m, mamy podstrumień 0, kapitalizujący się w sposób złożony do samego końca. Stąd składniki sumy od 1 do m 1 są takie same, a wartość podstrumienia 0 można przeliczyć według zwykłego (złożonego) modelu na sumę strumienia wpłat z góry, o N płatnościach, kapitalizowanego ze stopą r (bo jego okresy płatności pokrywają się z okresami kapitalizacji). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 25 / 33
91 Wpłaty z góry, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 26 / 33
92 Wpłaty z góry, model mieszany Jako, że wartość całego strumienia jest równa sumie wartości podstrumieni: S mn = Wq qn m 1 1 q 1 + W qn 1 q 1 (1 + (m k) r m ) = k=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie) płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Matematyka finansowa 26 / 33
5. Strumienie płatności: renty
5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka
Bardziej szczegółowo2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
Bardziej szczegółowo2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i
Bardziej szczegółowo8. Papiery wartościowe: obligacje
8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje
Bardziej szczegółowo1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:
Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowoPaulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowoZajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
Bardziej szczegółowo3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych
3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3
Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności
Bardziej szczegółowo1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1
Bardziej szczegółowoNauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski
Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMatematyka I dla DSM zbiór zadań
I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowo[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowo1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku
1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowoZajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania
Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoStopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k
2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 19 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych
Matematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej skomplikowanego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło
Bardziej szczegółowoLicz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego
Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 2
1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoFunkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl
Funkcje w MS Excel Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie Funkcje matematyczne Funkcje logiczne Funkcje finansowe Podsumowanie 2/27 Wprowadzenie Funkcje: Są elementami
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoI = F P. P = F t a(t) 1
6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia
Bardziej szczegółowoPraktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości
Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości Kalkulator finansowy 10BII pierwsze kroki www.edukacjainwestowania.pl Kalkulator finansowy 10BII, oprócz typowych funkcji matematycznych i statystycznych,
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Temat spotkania: Matematyka finansowa dla liderów Temat wykładu: Matematyka finansowa wokół nas Prowadzący: Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 14 października 2014 r. Matematyka finansowa dla liderów Po
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowo7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe
7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe:
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 23 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoJak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Bardziej szczegółowoTemat 1: Wartość pieniądza w czasie
Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Wstęp do matematyki finansowej Introduction to financial mathematics Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Bardziej szczegółowoZADANIE 1. NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 1 Na budowę domu możesz zaciagn ać pożyczkę w wysokości 63450 e. Do wyboru sa dwa warianty spłaty: I w każdym miesiacu spłacasz równe raty, każda w wysokości 2% pożyczonej kwoty. II pierwsza rata
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)
Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - informacje egzaminacyjne
Matematyka finansowa - informacje egzaminacyjne Tutaj postaram się zebrać wszystko co trzeba wiedzieć o egzaminie i sprawdzianie zaliczeniowym. Jedynym wyjątkiem jest lista zagadnień do części teoretycznej,
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Piotr Szczepankowski Poziom studiów (I lub II stopnia): I stopnia
Bardziej szczegółowoEgzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowoObowiązuje od 01.02.2016 r.
KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu
Bardziej szczegółowoZastosowanie matematyki w finansach i bankowości
Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych
Bardziej szczegółowoWskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino
Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoProcent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3
Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem
Bardziej szczegółowo2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej
2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowo1. Co to jest lokata? 2. Rodzaje lokat bankowych 3. Lokata denominowana 4. Lokata inwestycyjna 5. Lokata negocjowana 6. Lokata nocna (overnight) 7.
Lokaty 1. Co to jest lokata? Spis treści 2. Rodzaje lokat bankowych 3. Lokata denominowana 4. Lokata inwestycyjna 5. Lokata negocjowana 6. Lokata nocna (overnight) 7. Lokata progresywna 8. Lokata rentierska
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 15. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18
Karta przedmiotu Wydział: Wydział Zarządzania Kierunek: Analityka gospodarcza I. Informacje podstawowe Nazwa przedmiotu Matematyka finansowa Nazwa przedmiotu w j. ang. Język prowadzenia przedmiotu polski
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.
Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty
Bardziej szczegółowo3a. Teoria akumulacji kapitału
3a. Teoria akumulacji kapitału Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
konta Konto osobiste konta 0,50% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 12.08.2013 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego
Bardziej szczegółowoSTOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego
Bardziej szczegółowoMatematyka Ekonomiczna
Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18
Bardziej szczegółowoOprocentowanie konta 0,10% Oprocentowanie konta 0,00% Oprocentowanie konta 0,00%
KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto osobiste konta 0,25% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 16.12.2014 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego
Bardziej szczegółowoEkonomika Transportu Morskiego wykład 08ns
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns dr Adam Salomon, Katedra Transportu i Logistyki Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni Wykład 8ns : tematyka 1. Oprocentowanie, dyskontowanie, współczynnik
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe dwukrotność odsetek ustawowych,
Bardziej szczegółowoProjekt. U S T A W A z dnia
Projekt U S T A W A z dnia o zmianie ustawy o kredycie konsumenckim oraz ustawy o odpowiedzialności podmiotów zbiorowych za czyny zabronione pod groźbą kary 1) Art. 1. W ustawie z dnia 12 maja 2011 r.
Bardziej szczegółowoKOMUNIKAT z dnia 17.08.2015 r. dotyczący oprocentowania rachunków bankowych Meritum Banku
KOMUNIKAT z dnia 17.08.2015 r. dotyczący oprocentowania rachunków bankowych I. Rachunki oszczędnościowo-rozliczeniowe i oszczędnościowe dla Klientów Indywidualnych Nazwa Konto z Gwarancją Konto Oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoProcenty zadania maturalne z rozwiązaniami
Każde zadanie 1 punkt. 1. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje 0,22 60 = 13,20 kwota VAT 60 + 13,20 = 73,20 Odp. A 2. Wskaż liczbę, której
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto osobiste Tabela oprocentowania dla konsumentów konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe
Bardziej szczegółowoTABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r.
TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r. Część 1. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima:
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MŁODEGO EKONOMISTY
AKADEMIA MŁODEGO EKONOMISTY Analiza finansowa projektu czy projekt uczniowski różni się od biznesowego? Podstawowe zasady oceny finansowej projektu Dr Agnieszka Iga Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu
Bardziej szczegółowoWartość pieniądza w czasie (time value of money)
Opracował Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny nr 335 marcin@reszka.edu.pl Zeszyt I Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Wszystkie prawa zastrzeżone. Nie zezwala się na kopiowania bez pisemnej
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania dla konsumentów
KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe dwukrotność odsetek ustawowych,
Bardziej szczegółowo