2a. Przeciętna stopa zwrotu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2a. Przeciętna stopa zwrotu"

Transkrypt

1 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 1 / 13

2 1 Motywacje i definicja rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 2 / 13

3 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

4 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

5 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

6 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

7 Motywacja Zacznę od generalnej uwagi: rozważania tego rozdziału można zastosować do dowolnego rodzaju inwestycji. Jednak, zgodnie z tym, co mówiłem poprzednio, odnosić je tutaj będziemy do lokat. W tej części wykładu będziemy rozważać lokaty o zmiennej stopie procentowej. Już w przykładowych zadaniach mieliśmy do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniały wysokość oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywiście, chcielibyśmy mieć możliwość ich porównania z innymi lokatami za pomocą stopy zwrotu w danym okresie. Jak to jednak zrobić, gdy ta stopa się zmienia? Z pomocą nam przyjdzie tzw. przeciętna procentowa stopa zwrotu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 3 / 13

8 Definicja Przeciętna procentowa stopa zwrotu Przeciętną (średnią) procentową stopą zwrotu w zadanym okresie (np. roczną) dla danej lokaty w czasie t nazywa się stopę r prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie t z kapitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jakie wygenerowała dana lokata. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 4 / 13

9 Definicja Przeciętna procentowa stopa zwrotu Przeciętną (średnią) procentową stopą zwrotu w zadanym okresie (np. roczną) dla danej lokaty w czasie t nazywa się stopę r prz o zadanym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie t z kapitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jakie wygenerowała dana lokata. Jak widać z definicji, jeśli chcemy porównać pod względem opłacalności lokatę o zmiennej stopie procentowej z inwestycją o znanej stopie zwrotu, wystarczy dla lokaty obliczyć przeciętną stopę zwrotu o okresie takim, jak stopa zwrotu inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 4 / 13

10 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

11 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

12 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

13 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach: K 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

14 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach: K 2 = 100(1, 15) 2 = 132, 25. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

15 Przeciętna stopa a średnia arytmetyczna Od razu zacznę od ostrzeżenia: przeciętna stopa procentowa zwrotu nie jest średnią (nawet ważoną) arytmetyczną stóp składowych. By to sprawdzić, załóżmy, że na lokacie z kapitalizacją roczną w pierwszym roku obowiązuje stopa 10%, a w drugim roku 20%. Wtedy jeśli wpłacimy na taką lokatę 100 jp, to po dwóch latach będziemy mieć: K 2 = 100(1, 1)(1, 2) = 132. Jeśli przez 2 lata na lokacie obowiązywałaby średnia arytmetyczna tych stóp (15%) to po 2 latach: K 2 = 100(1, 15) 2 = 132, 25. Tak więc widać, że wyniki nawet w tak prostej sytuacji nie są sobie równe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 5 / 13

16 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu Przeciętna i całkowita stopa zwrotu Jeśli całkowita stopa zwrotu z danej inwestycji trwającej N okresów kapitalizacji wyniosła R (okres tej stopy=n OK), to przeciętna stopa zwrotu z tej inwestycji przypadająca na jeden okres kapitalizacji (OK) wynosi: r prz = N 1 + R 1. Oczywiście OS rprz = 1 N OS R = OK. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 6 / 13

17 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

18 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

19 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = = Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r prz = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

20 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = = Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r prz = = 11, 61%, a kwartalna rprz = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

21 Przeciętna i całkowita stopa zwrotu - przykład Przykład W ciągu 10 lat na pewnej lokacie kapitał 1000 PLN zwiększył swą wartość do 3000 PLN. Ile wyniosła a) roczna, b) kwartalna przecietna stopa zwrotu w tym okresie? Najpierw obliczmy 10-letnią stopę zwrotu. Jak łatwo policzyć wyniosła ona R = = Zgodnie ze wzorem, roczna przeciętna stopa zwrotu wynosi r prz = = 11, 61%, a kwartalna rprz = = 2, 78%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 7 / 13

22 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

23 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r 1 obowiązywała przez n 1 okresów bazowych, stopa r 2 obowiązywała przez n 2 okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r p obowiązywała przez n p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

24 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r 1 obowiązywała przez n 1 okresów bazowych, stopa r 2 obowiązywała przez n 2 okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r p obowiązywała przez n p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. Lokata trwała przez N = Σ p i=1n i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS R = N okresów bazowych). Wtedy: 1 + R = (1 + r 1 ) n 1 (1 + r 2 ) n2... (1 + r p ) np. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

25 Wstęp do głównego wzoru Załóżmy, że mamy daną lokatę i pewien okres bazowy dla którego chcemy obliczyć stopę zwrotu. Na tej lokacie najpierw stopa r 1 obowiązywała przez n 1 okresów bazowych, stopa r 2 obowiązywała przez n 2 okresów bazowych itd., aż wreszcie stopa r p obowiązywała przez n p okresów bazowych. Zakładamy, że wszystkie te stopy mają okres stopy i okres kapitalizacji równy okresowi bazowemu. Lokata trwała przez N = Σ p i=1n i okresów bazowych i miała całkowitą stopę zwrotu R (OS R = N okresów bazowych). Wtedy: 1 + R = (1 + r 1 ) n 1 (1 + r 2 ) n2... (1 + r p ) np. Stąd i z poprzedniego wzoru wynika główny wzór tego podrozdziału: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 8 / 13

26 Przeciętna stopa zwrotu - główny wzór Przeciętna stopa zwrotu Niech n 1, n 2,..., n p - będą liczbą okresów bazowych w których obowiązywały efektywne stopy zgodne z tymi okresami r 1, r 2,..., r p. Niech N = Σ p i=1n i. Wtedy: r prz = N (1 + r 1 ) n 1 (1 + r2 ) n 2... (1 + rp ) np 1 i okres stopy przeciętnej jest równy okresom stóp r 1, r 2,..., r p. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 9 / 13

27 Przeciętna stopa zwrotu - główny wzór Przeciętna stopa zwrotu Niech n 1, n 2,..., n p - będą liczbą okresów bazowych w których obowiązywały efektywne stopy zgodne z tymi okresami r 1, r 2,..., r p. Niech N = Σ p i=1n i. Wtedy: r prz = N (1 + r 1 ) n 1 (1 + r2 ) n 2... (1 + rp ) np 1 i okres stopy przeciętnej jest równy okresom stóp r 1, r 2,..., r p. Zauważmy, że ten wzór możemy zastosować tylko gdy okresy kapitalizacji i okresy stóp dla wszystkich stóp we wzorze są równe. Jeśli okresy te nie są równe - trzeba odpowiadające im stopy przeliczyć wzorami na stopy względne i efektywne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 9 / 13

28 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

29 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

30 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

31 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

32 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

33 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

34 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = e 0,2 2 1 = 0, 1052; r 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

35 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = e 0,2 2 1 = 0, 1052; r 2 = (1 + 0,12 12 )6 1 = 0, 0615; r 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

36 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty. Okresem bazowym w tym zadaniu będzie półrocze. Dlatego najpierw obliczamy liczbę półroczy, w których obowiązywały kolejne różne modele oprocentowania: n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4. Następnie, za pomocą efektywnych stóp przeliczamy wszystkie stopy w zadaniu na efektywne półroczne: r 1 = e 0,2 2 1 = 0, 1052; r 2 = (1 + 0,12 12 )6 1 = 0, 0615; r 3 = (1 + 0, 1) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 10 / 13

37 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty? n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4, N = = 12. r 1 = 0, 1052; r 2 = 0, 0615; r 3 = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 11 / 13

38 Przeciętna stopa zwrotu - przykład 2 Przykład Na pewnej lokacie najpierw przez rok obowiązywała stopa nominalna roczna 20% przy kapitalizacji ciągłej, potem przez 3 lata stopa nominalna roczna 12% przy kapitalizacji miesięcznej, a następnie przez 2 lata stopa nominalna roczna 10% przy kapitalizacji rocznej. Ile wyniosła przeciętna półroczna stopa zwrotu w całym okresie trwania tej lokaty? n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 4, N = = 12. r 1 = 0, 1052; r 2 = 0, 0615; r 3 = 0, Teraz wystarczy podstawić do wzoru: r prz = 12 1, , , = 6, 44%. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 11 / 13

39 Przeciętna stopa zwrotu - uwaga Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

40 Przeciętna stopa zwrotu - uwaga Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. Dlatego przeliczając przecietną stopę zwrotu na inny okres czasu używamy wzorów na stopę efektywną, a nie względną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

41 Przeciętna stopa zwrotu - uwaga Warto raz jeszcze podkreślić, że przeciętne procentowe stopy zwrotu są stopami z założoną kapitalizacją zgodną. Dlatego przeliczając przecietną stopę zwrotu na inny okres czasu używamy wzorów na stopę efektywną, a nie względną. Na przykład, gdybyśmy w poprzednim zadaniu potrzebowali również przeciętnej rocznej stopy zwrotu możnaby przeliczyć wynik ze stopy półrocznej na roczną używając stopy efektywnej: r prz,rocz = 1, = 13, 29%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 12 / 13

42 Kapitalizacja prosta lub ciągła Na koniec uwaga - ciekawostka - nie wymagająca uczenia się na ćwiczenia/egzamin, ale jakby się przydało... Jeśli wiemy, że kapitalizacja jest prosta, to przeciętna stopa procentowa na lokacie faktycznie będzie średnią arytmetyczną ważoną (okresami obowiązywania) stóp obowiązujących w trakcie lokaty. Taka sama sytuacja zajdzie dla kapitalizacji ciągłej tj. jeśli zakładamy, że kapitalizacja była cały czas ciągła i chcemy obliczyć nie przeciętną stopę zwrotu, lecz jaką stopą trzeba zastąpić te wszystkie stopy obowiązujące w trakcie lokaty, by przy założeniu, że utrzymujemy kapitalizację ciągłą, otrzymać taki sam efekt. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka finansowa 13 / 13

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i

Bardziej szczegółowo

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -

Bardziej szczegółowo

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1

Bardziej szczegółowo

5. Strumienie płatności: renty

5. Strumienie płatności: renty 5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite

Bardziej szczegółowo

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k 2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej

Elementy matematyki finansowej ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Lokata specjalna. Lokata specjalna

Lokata specjalna. Lokata specjalna Spółdzielczym w złotych na dzień 25.12.2015r. dla lokat terminowych zakładanych od 25.12.2015 r. 3m-ce 1,50 1,50 1,40 6 m-cy 1,60 1,60 1,50 12 m-cy 1,50 1,55 1,60 [1]) R - % stopy redyskonta weksli ustalonej

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor:

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:.... Czas egzaminu: l OO minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor: Tytuł:

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

Granice ciągów liczbowych

Granice ciągów liczbowych Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia Obowiązująca od LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE

Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia Obowiązująca od LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia 13.04.2014 Obowiązująca od 01.05.2014 LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE Lokaty terminowe obowiązuje dla lokat

Bardziej szczegółowo

7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe

7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe 7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe:

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

05-530 Góra Kalwaria, ul. Pijarska 21 tel.: [22] 717-82-65 fax: [22] 717-82-66 kom.: [0] 692-981-991, [0] 501-633-694 Info: 0 708 288 308

05-530 Góra Kalwaria, ul. Pijarska 21 tel.: [22] 717-82-65 fax: [22] 717-82-66 kom.: [0] 692-981-991, [0] 501-633-694 Info: 0 708 288 308 05-530 Góra Kalwaria, ul. Pijarska 21 tel.: [22] 717-82-65 fax: [22] 717-82-66 kom.: [0] 692-981-991, [0] 501-633-694 Info: 0 708 288 308 biuro@assman.com.pl http://www.assman.com.pl 21-11-2006 W części

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Powtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Powtórzenie Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Średnia wartość stopy zwrotu dla wszystkich spółek finansowych wynosi 12%, a odchylenie standardowe 5,1%. Rozkład tego zjawiska zbliżony jest do rozkładu normalnego.

Bardziej szczegółowo

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania)

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 26 stycznia 2018 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji;

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji; 1 Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen. Miarą inflacji jest indeks cen dóbr konsumpcyjnych, równy stosunkowi cen dóbr należących do reprezentatywnego koszyka w danym okresie czasu cen tych

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 28 maja 2015 r. Część 1. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima:

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 16: Determinanty kursu walutowego w krótkim i długim okresie. Gabriela Grotkowska

Wykład 16: Determinanty kursu walutowego w krótkim i długim okresie. Gabriela Grotkowska Międzynarodowe Stosunki konomiczne Makroekonomia gospodarki otwartej i finanse miedzynarodowe Wykład 16: Determinanty kursu walutowego w krótkim i długim okresie Gabriela Grotkowska Plan wykładu 16 Kurs

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania)

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 11 stycznia 2018 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Wstęp do matematyki finansowej Introduction to financial mathematics Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

Bardziej szczegółowo

INDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku

INDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. październik Projekt dofinansowała Fundacja mbanku INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie październik 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY październik 2017 1 / 23 Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Podstawowe zagadnienia: 1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji 2.

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)

MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Wykaz zmian w Tabeli oprocentowania produktów bankowych w Banku Spółdzielczym w Międzyrzecu Podlaskim ( Tabeli oprocentowania )

Wykaz zmian w Tabeli oprocentowania produktów bankowych w Banku Spółdzielczym w Międzyrzecu Podlaskim ( Tabeli oprocentowania ) Załącznik do Uchwały Zarządu BS nr 20/2015 z dnia 05032015 r. Wykaz w Tabeli oprocentowania produktów bankowych w Banku Spółdzielczym w Międzyrzecu Podlaskim ( Tabeli oprocentowania ) Wprowadzonych Uchwałą

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

Informacja obowiązująca od 01.07.2015

Informacja obowiązująca od 01.07.2015 SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 22 czerwca 2015 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 22 czerwca 2015 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 22 czerwca 2015 r. Część 1. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima:

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. obowiązująca od dnia

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. obowiązująca od dnia Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 13./Z/2013 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 11.04.2013 r Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania)

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 5 lutego 2018 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 27/Z/2013 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 24.07.2013 Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Grybowie. Tabela oprocentowania produktów bankowych Banku Spółdzielczego w Grybowie dla klientów indywidualnych

Bank Spółdzielczy w Grybowie. Tabela oprocentowania produktów bankowych Banku Spółdzielczego w Grybowie dla klientów indywidualnych Bank Spółdzielczy w Grybowie Tabela oprocentowania produktów bankowych Banku Spółdzielczego w Grybowie dla klientów indywidualnych obowiązująca od dnia 4 maja 2015 roku Grybów, 2015 rok SPIS TREŚCI I.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia, Makrokonomia II, 4/11 października 2017

Ćwiczenia, Makrokonomia II, 4/11 października 2017 Ćwiczenia, Makrokonomia II, 4/11 października 2017 1. W gospodarce zamkniętej Francia produkowane i konsumowane są trzy produkty: Camembert, bagietki i czerwone wino. W poniższej tabeli przedstawiono ceny

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 27 października 2017 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 27 października 2017 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 27 października 2017 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania)

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 21 grudnia 2017 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima

Bardziej szczegółowo

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

BANK SPÓŁDZIELCZY W NOWYM SĄCZU TABELA. OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym w Nowym Sączu

BANK SPÓŁDZIELCZY W NOWYM SĄCZU TABELA. OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym w Nowym Sączu Załącznik do Uchwały Nr 13 z dnia 05.03.2015 r. Zarządu Banku Spółdzielczego w Nowym Sączu BANK SPÓŁDZIELCZY W NOWYM SĄCZU TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH dla klientów indywidualnych w Banku

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 3 października 2017 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 3 października 2017 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 3 października 2017 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu Załącznik nr 3 do Uchwały Nr 8/Z/2014 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 14.01.2014r Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Temat: Obliczenia w bankowości

Temat: Obliczenia w bankowości Spotkanie 13 Temat: Obliczenia w bankowości Plan zajęć 1. Burza mózgów. Uczniowie wypisują pojęcia, które kojarzą im się z bankiem i zastanawiają się nad tym, co one oznaczają. 2. Ze wszystkich wypisanych

Bardziej szczegółowo

Rentowność najmu przebiła lokaty i obligacje

Rentowność najmu przebiła lokaty i obligacje najmu przebiła lokaty i obligacje Autor: Emil Szweda, Bernard Waszczyk, Open Finance 13.09.2010. Portal finansowy IPO.pl Szczyt sezonu najmu, związany z napływem studentów na uczelnie i spadek oprocentowania

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 26 września 2017 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 26 września 2017 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 26 września 2017 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 15 listopada 2017 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 15 listopada 2017 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 15 listopada 2017 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 1 września 2017 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 1 września 2017 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 1 września 2017 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 30 września 2015 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 30 września 2015 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 30 września 2015 r. Część 1. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont BGŻOptima:

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w

Bardziej szczegółowo

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami Każde zadanie 1 punkt. 1. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje 0,22 60 = 13,20 kwota VAT 60 + 13,20 = 73,20 Odp. A 2. Wskaż liczbę, której

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

EC Kraków S.A. nie ma projekcji finansowej Stopa procentowa 7% w zał. nr 3 (Model obciążeń dla wartości przykładowej 1 mln USD).

EC Kraków S.A. nie ma projekcji finansowej Stopa procentowa 7% w zał. nr 3 (Model obciążeń dla wartości przykładowej 1 mln USD). Tabela nr 3 Stopy dyskontowe, stopy procentowe oraz sposoby ich obliczania i stosowania w Projekcjach finansowych przedsięwzięć inwestycyjnych projektowanych i realizowanych przez elektrociepłownie i elektrownie.

Bardziej szczegółowo

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 20 listopada 2017 r.

TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 20 listopada 2017 r. TABELA OPROCENTOWANIA DLA RACHUNKÓW W RAMACH KONT BGŻOptima (roczna stopa oprocentowania) Obowiązuje od dnia 20 listopada 2017 r. Część 1. A. Rachunki Oszczędnościowe w złotych prowadzone w ramach Kont

Bardziej szczegółowo

PROCENT SKŁADANY, OPROCENTOWANIE LOKAT I KREDYTÓW. HARALD KAJZER ZST NR2 im. Mariana Batko

PROCENT SKŁADANY, OPROCENTOWANIE LOKAT I KREDYTÓW. HARALD KAJZER ZST NR2 im. Mariana Batko , OPROCENTOWANIE LOAT I REDYTÓW HARALD AJZER ZST NR im. Mariana Batko Prześledźmy losy pewnego kapitału 1000 zł zdeponowanego w banku na lokacie terminowej oprocentowanej 5% w skali roku. o 1000 1 1000+0,05

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:....... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO

SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla rachunków lokat terminowych i rachunków oszczędnościowo-rozliczeniowych wycofanych z bieżącej oferty SKOK "Jaworzno". (Produkty obsługiwane

Bardziej szczegółowo

Oprocentowanie rachunku oszczędnościowego KSO (Książeczka) Oprocentowanie Lokaty odnawialnej 2,7 na 7 dni. Oprocentowanie Lokaty 3 na 4

Oprocentowanie rachunku oszczędnościowego KSO (Książeczka) Oprocentowanie Lokaty odnawialnej 2,7 na 7 dni. Oprocentowanie Lokaty 3 na 4 OPROCENTOWANIE RACHUNKÓW: Oprocentowanie rachunków oszczędnościowo rozliczeniowych i rachunku bieżącego IKS Zero IKS Senior / IKS Deponent IKS Classic / IKS Med / IKS VIP / IKS Udziałowiec Tandem IKS Zwykłe

Bardziej szczegółowo