Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka finansowa w pakiecie Matlab"

Transkrypt

1 Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka w ekonomii i finansach Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 1/40

2 Wycena europejskiej opcji kupna Zakładać, że nasz rynek jest rynkiem idealnym. Rozważmy europejską opcję kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T. Zakładać będziemy, że instrumentem bazowym są akcje, przez S t oznaczymy cenę akcji w chwili t. Postaramy się odpowiedzieć na pytanie ile powinien kosztować instrument dający w chwili T wypłatę równą { f (S T ) = (S T K) + S T K, gdy S T > K = max{s T K, 0} = 0, gdy S T K Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 2/40

3 Model rynku jednookresowego, dwustanowego Rynek pracuje w dwóch chwilach czasu 0 i T. Możliwe są dwa scenariusze wypadków 1, który interpretujemy jako korzystny i -1, który interpretujemy jako niekorzystny. Zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = { 1, 1}. Ponadto, P(ω = 1) = p > 0, P(ω = 1) = 1 p > 0. Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny akcja i jeden pozbawiony ryzyka (obligacja lub wkład na rachunku bankowym). S t cena papieru ryzykownego (akcji) w chwili t (za jedną jednostkę), t {0, T }. B t cena papieru pozbawionego ryzyka w chwili t (za jedną jednostkę), t {0, T }. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 3/40

4 Model rynku jednookresowego, dwustanowego Zakładamy, że B 0 = 1, B T = B 0 (1 + r) = 1 + r, gdzie liczbę r 0 jest stopą procentową wolną od ryzyka, Natomiast S 0 = s > 0, S T (ω) = { S u gdy ω = 1 S d gdy ω = 1. Przyjmujemy, że S u > S d, dlatego 1 nazywamy scenariuszem korzystnym. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 4/40

5 Przykład Niech r = 0.05, S 0 = 100, S u = 120, S d = 70, p = 0.4. Wówczas B T = B 0 (1 + r) = 1( ) = 1.05 { 120 gdy ω = 1 S T (ω) = 70 gdy ω = 1. Możemy przedstawić to na następującym drzewku dwumianowym : t = 0 t = T Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 5/40

6 Przykład Rozważmy europejską opcję kupna o terminie wykonania T i cenie wykonania K = 110. Wartość takiej opcji w chwili T jest równa { f (ω) = (S T (ω) 110) + ( ) + = 10 gdy ω = 1 = (70 110) + = 0 gdy ω = 1. Ile wynosi wartość tej opcji w chwili 0? (Innymi słowy jaka jest cena sprawiedliwa tej opcji?) ? t = 0 t = T Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 6/40

7 Przykład Pomysł 1. Inwestor ocenia, że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego scenariusza (tzn. wzrostu ceny akcji do 120) wynosi p = 0.4, a niekorzystnego (tzn. spadku ceny akcji do 70) wynosi 1 p = 0.6. W tym pierwszym przypadku nasza wypłata wyniesie 10, a w drugim 0. Wartość oczekiwana wypłaty opcji w chwili T wynosi więc E P f = = 4. Aby otrzymać wartość opcji w chwili 0 (którą oznaczać będziemy przez C 0 ) dyskontujemy powyższy wynik C 0 = (1 + r) 1 E P f = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 7/40

8 Przykład Widać, że tak obliczona cena zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, tzn. od oszacowania rynku przez inwestora. Jeżeli inny inwestor uważa, że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego scenariusza wynosi p = 0.3, a niekorzystnego 1 p = 0.7, to zdyskontowana wartość oczekiwana wypłaty wynosić będzie C 0 = (1 + r) 1 E P f T = ( ) Która cena jest więc prawdziwa? Jasne jest, że powyższy sposób obliczania ceny opcji nie jest dobry. Potrzebna jest taka definicja ceny, która nie zależy od subiektywnych oszacowań inwestorów. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 8/40

9 Przykład Pomysł 2. Inwestor wystawiający opcję powinien umieć ją zabezpieczyć. To znaczy zainwestować w chwili 0 pieniądze otrzymane ze sprzedaży opcji (w akcje i lokatę bankową), aby w chwili T wartość jego inwestycji była równa wartości opcji. Załóżmy więc, że inwestor w chwili 0 wpłacił kwotę β na lokatę bankową i kupił γ akcji (β, γ R). Wartość jego inwestycji w chwili T (którą oznaczamy X T ) wynosić będzie w zależności od tego, który scenariusz zajdzie X T (1) = β B T + γ S T (1) = β γ 120 X T ( 1) = β B T + γ S T ( 1) = β γ 70 Ponieważ inwestycja ma zabezpieczać opcję o funkcji wypłaty f, zatem powinno zachodzić: X T (1) = f (1) = 10, X T ( 1) = f ( 1) = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 9/40

10 Przykład Otrzymaliśmy zatem układ równań { β γ 120 = 10 β γ 70 = 0. Jego rozwiązaniem jest para (β, γ) = ( , 1 5 ). Obliczmy teraz ile wynosi wartość tej inwestycji w chwili 0 (inaczej mówiąc jaki musimy mieć kapitał początkowy aby dokonać takiej inwestycji) X 0 = β B 0 + γ S 0 = = = Wynika stąd, że jeżeli za sprzedaż opcji dostaniemy to możemy zainwestować tą kwotę tak, że niezależnie od scenariusza będziemy w stanie w chwili T wypłacić należność nabywcy opcji. Czy C 0 = jest sprawiedliwą (nie krzywdzącą żadnej ze stron) ceną opcji? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 10/40

11 Przykład W chwili 0 wystawca opcji: W chwili T natomiast: Sprzedaje jedną opcję Bierze kredyt Kupuje 1 5 akcji 100 = = 0 ω = 1 ω = 1 Realizuje jedną opcję 10 0 Spłaca kredyt Sprzedaje 1 5 akcji = = = = = 0 dla ω = 1, = 0 dla ω = 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 11/40

12 Przykład W chwili 0 nabywca opcji: Kupuje jedną opcję Wpłaca na rachunek bankowy Sprzedaje 1 5 akcji (krótka sprzedaż) = 20 W chwili T natomiast: = 0 ω = 1 ω = 1 Odbiera wypłatę z opcji 10 0 Wypłaca pieniądze z rachunku Odkupuje 1 5 akcji = = = = = 0 dla ω = 1, = 0 dla ω = 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 12/40

13 Cena sprawiedliwa Widzimy więc, że cena C 0 nie krzywdzi żadnej ze stron. Nikt nie dokłada do transakcji. Dlatego jest to cena sprawiedliwa. Cena ta nie zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, tzn. od oszacowania rynku przez inwestora. Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C > C 0 to sprzedający miałby pewny zysk C C 0 > 0, gdyż wydałby tylko C 0 aby zabezpieczyć opcję a resztę zachował dla siebie. Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C < C 0 to kupujący miałby pewny zysk C 0 C > 0, gdyż aby otrzymać wypłatę f musiałby wydać C 0 a tak wydałby tylko C. W obu przypadkach gdy C C 0 można osiągnąć zysk bez żadnego ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 13/40

14 Sposób wyceny w modelu jednookresowym Cena akcji Wartość opcji S u f u S 0? S d f d t = 0 t = T t = 0 t = T Wówczas cena sprawiedliwa opcji jest określona wzorem C 0 = β + γ S 0, gdzie β = f d S u f u S d (1 + r)(s u S d ), γ = f u f d S u S d Aby zabezpieczyć opcję należy wpłacić β na lokatę i kupić γ akcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 14/40

15 Przykład Niech r = 0, B 0 = 1, K = 11, Cena akcji Wartość opcji ? 11 0 t = 0 t = T t = 0 t = T Wówczas β = (1 + 0)(12 11) = 11 γ = = 1 C 0 = = 1??? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 15/40

16 Arbitraż Dlaczego cena C 0 jest ujemna? Jak należy interpretować taką sytuację? Zauważmy, że w opisanym przykładzie, kupno akcji zawsze się opłaca, możemy osiągnąć zysk nic nie ryzykując, tzn. że na rynku istnieje możliwość arbitrażu. Istnienie arbitrażu świadczy o istnieniu poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Opisany model rynku (jednookresowy, dwustanowy) jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy S d < (1 + r)s 0 < S u. Warunek ten oznacza, że w scenariuszu niekorzystnym akcja musi przynosić mniejszy zysk niż rachunek bankowy, a w scenariuszu korzystnym większy. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 16/40

17 Model dwumianowy Rynek pracuje w chwilach t = 0, 1, 2,..., T, gdzie T < +, Zakładamy, że liczba możliwych scenariuszy jest skończona Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, P(ω i ) > 0, i = 1,..., n. Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (którego cena zmienia się w sposób losowy) akcje, drugi pozbawiony ryzyka (którego cena zmienia się w sposób deterministyczny) np. obligacje lub wkład na rachunek bankowy. B t oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę) w okresie czasu [t, t + 1). S t oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę) w okresie czasu [t, t + 1). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 17/40

18 Model dwumianowy Będziemy zakładać, że w okresie [0, T ] stopa procentowa wolna od ryzyka jest stała i równa r 0 oraz, że dla t = 1, 2,..., T. B 0 = 1, B t = B t 1 (1 + r) W każdym momencie t = 1, 2,..., T może zajść jeden z dwóch scenariuszy: 1 (korzystny) i -1, (niekorzystny). To, który ze scenariuszy zajdzie, nie zależy od tego, które scenariusze zachodziły w poprzednich momentach. Cenę akcji opisuje zatem wzór { S t 1 (1 + b), gdy ω = 1 S 0 = s > 0, S t (ω) = S t 1 (1 + a), gdy ω = 1, gdzie 1 < a < b. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 18/40

19 Model dwumianowy W języku teorii prawdopodobieństwa możemy napisać, że S t = S t 1 U t dla t = 1, 2,..., T, gdzie U t są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie P(U t = 1 + b) = p, P(U t = 1 + a) = 1 p, p (0, 1). Można pokazać, że na rynku nie ma możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy a < r < b. Wówczas oczywiście 1 + a < 1 + r < 1 + b i w scenariuszu korzystnym akcja przynosi większy zysk niż lokata bankowa, a w scenariuszu niekorzystnym mniejszy. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 19/40

20 Model dwumianowy β t stan lokaty bankowej w okresie czasu (t 1, t], t = 1,..., T. γ t liczba posiadanych akcji w okresie czasu (t 1, t], t = 1,..., T, Jeżeli β t < 0 to interpretujemy to jako zaciągnięcie kredytu w banku. Jeżeli γ t < 0 to mówimy, że inwestor dokonał tzw. krótkiej sprzedaży, tzn. sprzedał pożyczone akcje, π = {π t = (β t, γ t ) ; t = 1,..., T } strategia inwestycyjna (portfel inwestora), β t, γ t nie muszą być takie same dla każdego scenariusza. Inwestor podejmuje decyzje o tym, ile jednostek danego instrumentu chce posiadać w chwili t, na podstawie dostępnej mu informacji o zmianach cen instrumentów w okresie 0 do t 1. Inwestor nie potrafi natomiast przewidywać przyszłości, dlatego jego decyzje nie mogą zależeć od cen instrumentów w chwilach t, t + 1,..., T. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 20/40

21 Model dwumianowy X π 0 = x 0 kapitał początkowy. X π = {Xt π = β t B t + γ t S t ; t = 1,..., T } kapitał inwestora przy strategii inwestycyjnej π, (wartość portfela). Mówimy, że strategia π jest samofinansująca się jeżeli X π t 1 = β t B t 1 + γ t S t 1, t = 1,..., T. Powyższy warunek oznacza, że nie ma dopływu kapitału z zewnątrz, ani wypływu na zewnątrz. Cały kapitał jaki inwestor posiada w chwili t 1 przeznacza on zakup portfela π t. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 21/40

22 Model dwumianowy Mówimy, że π jest strategią o wartości początkowej x 0 zabezpieczającą (replikującą) kontrakt f T, jeżeli X π 0 = x 0, π samofinansująca się, X π t 0, t = 0,..., T, X π T = f T. ceną sprawiedliwą (racjonalną) kontraktu f T nazywamy liczbę C 0 = inf{x 0 ; takie, że istnieje strategia π o wartości początkowej x zabezpieczająca kontrakt f T } Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 22/40

23 Zadanie Podać cenę sprawiedliwą oraz skonstruować strategie zabezpieczającą europejską opcję kupna, jeżeli T = 3, K = 100, B 0 = 1, r = 0, a ceny akcji S = {S 0, S 1, S 2, S 3 } opisuje następujące drzewko t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 23/40

24 Rozwiązanie Zbiór możliwych scenariuszy to {(ω 1, ω 2, ω 3 ) ; ω i { 1, 1}}. Ponieważ r = 0, więc B i (ω 1, ω 2, ω 3 ) = 1 dla i = 0, 1, 2, 3, ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}. Proces cen akcji wygląda następująco S 0 (ω 1, ω 2, ω 3 ) = 100 dla ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 1 (1, ω 2, ω 3 ) = 120 dla ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 1 ( 1, ω 2, ω 3 ) = 80 dla ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 2 (1, 1, ω 3 ) = 140 dla ω 3 { 1, 1}, S 2 (1, 1, ω 3 ) =... Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 24/40

25 Rozwiązanie Rozważamy opcję o funkcji wypłaty f (ω 1, ω 2, ω 3 ) = (S 3 (ω 1, ω 2, ω 3 ) 100) +. Stąd f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 60 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 20 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 20 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 20 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (40 100) + = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 25/40

26 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 26/40 Zatem wartość opcji w chwili t = 3 wynosi:

27 Rozwiązanie Skonstruujemy strategię π zabezpieczającą f, tzn. taką, że X π 3 (ω 1, ω 2, ω 3 ) = f (ω 1, ω 2, ω 3 ) dla dowolnych ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}. Zrobimy w kilku krokach. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 27/40

28 Rozwiązanie Możemy potraktować fragment drzewka jako model jednookresowy i skorzystać z uzyskanych wcześniej wzorów. Cena akcji Wartość portfela X π t ? 120 t = 2 t = 3 20 t = 2 t = β 3 (1, 1, ω 3 )= = 100, γ 3 (1, 1, ω 3 ) = X2 π (1, 1, ω 3 ) = = = 1 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 28/40

29 Rozwiązanie Podobnie pokazujemy, że Cena akcji Wartość portfela X π t ? 80 t = 2 t = 3 t = 2 t = β 3 (1, 1, ω 3 )= = 40, γ 3 (1, 1, ω 3 ) = = 0.5 X π 2 (1, 1, ω 3 ) = = 10 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 29/40

30 Rozwiązanie Analogicznie Cena akcji Wartość portfela X π t ? 40 t = 2 t = 3 t = 2 t = β 3 ( 1, 1, ω 3 )= = 0, γ 3 ( 1, 1, ω 3 ) = = 0 X π 2 ( 1, 1, ω 3 ) = 0 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 30/40

31 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 31/40 Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t =

32 Rozwiązanie Krok 2. Wyznaczamy minimalne wartości portfela w chwili t = 1 Cena akcji Wartość portfela X π t ? 100 t = 1 t = 2 10 t = 1 t = 2 β 2 (1, ω 2, ω 3 )= = 65, γ 2 (1, ω 2, ω 3 )= =0.75 X1 π (1, ω 2, ω 3 ) = = 25 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 32/40

33 Rozwiązanie Dalej mamy Cena akcji Wartość portfela X π t ? 60 t = 1 t = 2 t = 1 t = 2 0 β 2 ( 1, ω 2, ω 3 )= = 15, γ 2 ( 1, ω 2, ω 3 )= =0.25 X1 π ( 1, ω 2, ω 3 ) = = 5 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 33/40

34 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 34/40 Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t =

35 Rozwiązanie Pozostaje wyznaczyć minimalną początkową wartość portfela Cena akcji Wartość portfela X π t ? 80 t = 0 t = 1 t = 0 t = 1 5 β 1 (ω 1, ω 2, ω 3 )= = 35, γ 1 (ω 1, ω 2, ω 3 )= =0.5 X0 π (ω 1, ω 2, ω 3 ) = = 15 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 35/40

36 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 36/40 Oto kompletne drzewko wartości portfela π

37 Rozwiązanie Zatem minimalna wartość początkowa strategii zabezpieczającej opcję f wynosi X0 π = 15. Ostatecznie więc cena sprawiedliwa opcji wynosi C 0 = 15. Poniższa tabelka przedstawia strategię inwestora wystawiającego opcję w przypadku zajścia scenariusza (1, 1, 1). Czas Zmiana Cena akcji Strategia Kapitał n S n β n+1 γ n+1 X n Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 37/40

38 Rozwiązanie Innymi słowy: 1 Pożyczamy z banku 35 zł dokładamy do tego 15 zł uzyskane ze sprzedaży opcji i wydajemy 50 zł na zakup 0.5 akcji. 2 Pożyczamy jeszcze 30 zł (razem 65) i dokupujemy za to 0.25 akcji (po cenie 120 zł za akcję). 3 Pożyczamy jeszcze 35 zł (razem 100) i dokupujemy za to 0.25 akcji (po cenie 140 zł za akcję). W tej chwili mamy 1 akcje i 100 zł długu. 4 Sprzedajemy 1 akcję za 120 zł, wypłacamy posiadaczowi opcji 20 zł i oddajemy 100 zł długu do banku. Podobnie możemy rozpisać pozostałe scenariusze. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 38/40

39 Parytet kupna sprzedaży W podobny sposób możemy wycenić europejską opcję sprzedaży. Jedyna różnica polega na tym, że przy wypełnianiu ostatniego poziomu drzewka (t = 3) używamy innej funkcji wypłaty: (K S T ) + zamiast (S T K) +. Okazuje się jednak, że jeżeli mamy wyznaczoną cenę C 0 europejskiej opcji kupna, to wyznacza nam już ona cenę P 0 europejskiej opcji sprzedaży (z tą samą ceną wykonania K i terminem wykonania T ). C 0 P 0 = S 0 K(1 + r) T (1) Wzór ten nazywamy parytetem kupna-sprzedaży (ang. put-call parity). W przypadku, gdy stosujemy ciągły model kapitalizacji, czynnik dyskontujący (1 + r) T zastępujemy przez e rt. Dla danych z naszego przykładu (K = 100, S 0 = 100, r = 0, T = 3, C 0 = 15) cena europejskiej opcji sprzedaży wynosi P 0 = C 0 S 0 + K = 15. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 39/40

40 Model Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR) Dotychczas zakładaliśmy że w każdym z momentów t = 0, 1,..., T cena akcji może się zmienić na dwa sposoby, tzn. S t = S t 1 (1 + a) lub S t = S t 1 (1 + b), gdzie 1 < a < b. Powstaje problem jak dobierać parametry a i b, tak aby model dwumianowy jak najlepiej przybliżał prawdziwy proces cen akcji. Zazwyczaj wykorzystuje się współczynnik σ określający zmienność ceny akcji (ang. volatility). Jest to pewnego rodzaju miara niepewności co do przyszłych zmian tej ceny. Możemy ją wyznaczyć empirycznie jako odchylenie standardowe stopy zwrotu tego instrumentu. Przyjmujemy, że 1 + a = e σ δt, 1 + b = e σ δt, gdzie δt jest krokiem czasowym, tzn. odstępem między kolejnymi momentami, w których można dokonywać transakcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 40/40

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Instrumenty pochodne - Zadania

Instrumenty pochodne - Zadania Jerzy A. Dzieża Instrumenty pochodne - Zadania 27 marca 2011 roku Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1. Zadania 1. Spekulant zajął krótką pozycję w kontrakcie forward USD/PLN zapadającym za 2 miesiące o nominale

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options). Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym Inwestowanie na rynku dr Piotr Stobiecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 13 października 2011 r. PLAN WYKŁADU I. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 3. Podstawowe obliczenia finansowe w Matlabie. Obligacje Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego). Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 4. Instrumenty pochodne podstawy Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A.

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A. OPCJE Slide 1 Informacje ogólne definicje opcji: kupna (call)/sprzedaŝy (put) terminologia typy opcji krzywe zysk/strata Slide 2 Czym jest opcja KUPNA (CALL)? Opcja KUPNA (CALL) jest PRAWEM - nie zobowiązaniem

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe na akcje

Kontrakty terminowe na akcje Kontrakty terminowe na akcje Zawartość prezentacji podstawowe informacje o kontraktach terminowych na akcje, zasady notowania, wysokość depozytów zabezpieczających, przykłady wykorzystania kontraktów,

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

Podstawy finansów i inwestowania w biznesie. Wykład 6

Podstawy finansów i inwestowania w biznesie. Wykład 6 Podstawy finansów i inwestowania w biznesie Wykład 6 Plan wykładu Cechy inwestycji finansowych: dochód ryzyko płynność Depozyty bankowe Fundusze inwestycyjne 2015-11-05 2 Najważniejszymi cechami inwestycji

Bardziej szczegółowo

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Analiza Portfela współczynnik Beta (β) Opcje giełdowe wprowadzenie Podstawowe strategie opcyjne Strategia Protective

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młynek do pomnażania pieniędzy: Akcje na giełdzie

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młynek do pomnażania pieniędzy: Akcje na giełdzie Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Uniwersytet Szczeciński 20 maja 2015 r. Młynek do pomnażania pieniędzy: Akcje na giełdzie dr Dominika Kordela Plan spotkania Giełda papierów wartościowych Akcje Notowania

Bardziej szczegółowo

OPCJE WALUTOWE. kurs realizacji > kurs terminowy OTM ATM kurs realizacji = kurs terminowy ITM ITM kurs realizacji < kurs terminowy ATM OTM

OPCJE WALUTOWE. kurs realizacji > kurs terminowy OTM ATM kurs realizacji = kurs terminowy ITM ITM kurs realizacji < kurs terminowy ATM OTM OPCJE WALUTOWE Opcja walutowa jako instrument finansowy zdobył ogromną popularność dzięki wielu możliwości jego wykorzystania. Minimalizacja ryzyka walutowego gdziekolwiek pojawiają się waluty to niewątpliwie

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Temat spotkania: Matematyka finansowa dla liderów Temat wykładu: Matematyka finansowa wokół nas Prowadzący: Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 14 października 2014 r. Matematyka finansowa dla liderów Po

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności

Bardziej szczegółowo

Streszczenia referatów

Streszczenia referatów Streszczenia referatów mgr Marcin Krzywda Jak estymować zmienność na rynku akcji? Do praktycznego zastosowania modeli matematyki finansowej musimy potrafić wyznaczyć parametry zmiennych rynkowych. Jednym

Bardziej szczegółowo

I. Rynek kapitałowy II. Strategie inwestycyjne III. Studium przypadku

I. Rynek kapitałowy II. Strategie inwestycyjne III. Studium przypadku Akademia Młodego Ekonomisty Strategie na rynku kapitałowym Inwestowanie na rynku dr Piotr Stobiecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 21 listopada 2013 r. Plan wykładu 2 1 Rynek finansowy Rynek kapitałowy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Premia (P) np. 100 Kurs wykonania opcji (X) np. 2500 Punkt opłacalności X + P 2500+100=2600 WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty dla

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Strategie inwestowania w opcje Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Opcje giełdowe Zabezpieczenie portfela Spekulacja Strategie opcyjne 2 Opcje giełdowe 3 Co to jest opcja? OPCJA JAK POLISA Zabezpieczenie

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

OPCJE FOREX - WYLICZANIE DOSTĘPNEGO KAPITAŁU I WYMAGANEGO DEPOZYTU

OPCJE FOREX - WYLICZANIE DOSTĘPNEGO KAPITAŁU I WYMAGANEGO DEPOZYTU OPCJE FOREX - WYLICZANIE DOSTĘPNEGO KAPITAŁU I WYMAGANEGO DEPOZYTU Inwestowanie za pomocą opcji Forex wymaga wytłumaczenia sposobu wyliczania Całkowitego/Dostępnego kapitału oraz Wymaganego depozytu przez

Bardziej szczegółowo

Planowanie finansów osobistych

Planowanie finansów osobistych Planowanie finansów osobistych Osoby, które planują znaczne wydatki w perspektywie najbliższych kilku czy kilkunastu lat, osoby pragnące zabezpieczyć się na przyszłość, a także wszyscy, którzy dysponują

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Młody inwestor na Giełdzie dr Witold Gradoń Akademia Ekonomiczna w Katowicach 19 Kwietnia 2010 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2 II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014 Zadanie 2 1/ Analizowane są dwie spółki Alfa i Gamma. Spółka Alfa finansuje swoją działalność nie korzystając z długu, natomiast spółka Gamma finansuje

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Dziecięcy FINANSE DLA SPRYTNYCH Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 21 października 2014 r. Pieniądz to tylko miernik bogactwa Bogactwo może być gromadzone w różnych formach np. akcje, obligacje, nieruchomości,

Bardziej szczegółowo

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I Matematyka stosowana Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I Jacek Jakubowski jakub@mimuw.edu.pl Uniwersytet Warszawski, 2011 Streszczenie. Wykład jest wprowadzeniem do modelowania rynków

Bardziej szczegółowo

Martyngały a rynki finansowe

Martyngały a rynki finansowe Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXIII Szkole Matematyki Poglądowej Metody klasyczne i współczesne, sierpień 2004. Martyngały a rynki finansowe Jacek JAKUBOWSKI, Warszawa 1. Okazuje się, że teoria

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii).

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). 1 Mała powtórka: instrumenty liniowe Takie, w których funkcja wypłaty jest liniowa (np. forward, futures,

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE KONTRAKTY FORWARD KONTRAKTY TOWAROWE, WALUTOWE KONTRAKTY WYMIANY CENA DOSTAWY CENA TERMINOWA

INSTRUMENTY POCHODNE KONTRAKTY FORWARD KONTRAKTY TOWAROWE, WALUTOWE KONTRAKTY WYMIANY CENA DOSTAWY CENA TERMINOWA INSTRUMENTY POCHODNE KONTRAKTY FORWARD KONTRAKTY TOWAROWE, WALUTOWE KONTRAKTY WYMIANY CENA DOSTAWY CENA TERMINOWA Instrumenty pochodne /definicja Instrument pochodny umowa o przeprowadzeniu w przyszłości

Bardziej szczegółowo

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A.

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A. OPISY PRODUKTÓW Rabobank Polska S.A. Warszawa, marzec 2010 Wymiana walut (Foreign Exchange) Wymiana walut jest umową pomiędzy bankiem a klientem, w której strony zobowiązują się wymienić w ustalonym dniu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

Analiza opłacalności inwestycji v.

Analiza opłacalności inwestycji v. Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Podstawowe zagadnienia: 1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji 2.

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A.

Kontrakty terminowe. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A. Kontrakty terminowe Slide 1 Podstawowe zagadnienia podstawowe informacje o kontraktach zasady notowania, depozyty zabezpieczające, przykłady wykorzystania kontraktów, ryzyko związane z inwestycjami w kontrakty,

Bardziej szczegółowo

K O N T R A K T Y T E R M I N O W E

K O N T R A K T Y T E R M I N O W E "MATEMATYKA NAJPEWNIEJSZYM KAPITAŁEM ABSOLWENTA" projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego K O N T R A K T Y T E R M I N O W E Autor: Lic. Michał Boczek

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani usług

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani usług

Bardziej szczegółowo

OPCJE W to też możesz inwestować na giełdzie

OPCJE W to też możesz inwestować na giełdzie OPCJE NA WIG 20 W to też możesz inwestować na giełdzie GIEŁDAPAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WARSZAWIE OPCJE NA WIG 20 Opcje na WIG20 to popularny instrument, którego obrót systematycznie rośnie. Opcje dają ogromne

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko Jajuga Krzysztof, Jajuga Teresa SPIS TREŚCI Przedmowa Wprowadzenie - badania w zakresie inwestycji i finansów Literatura Rozdział 1. Rynki i instrumenty finansowe

Bardziej szczegółowo

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie:

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie: Opcje na GPW (III) Na warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych notuje się opcje na WIG20 i akcje niektórych spółek o najwyższej płynności. Każdy rodzaj opcji notowany jest w kilku, czasem nawet kilkunastu

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne dr Witold Gradoń. Plan wykładu

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne dr Witold Gradoń. Plan wykładu Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne dr Witold Gradoń Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 5 maja 2014 r. Historia giełdy, Plan wykładu Pojęcie i rodzaje

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. SPRZEDAŻ OPCJI SPRZEDAŻY (Short Put)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. SPRZEDAŻ OPCJI SPRZEDAŻY (Short Put) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI SPRZEDAŻ OPCJI SPRZEDAŻY (Short Put) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani

Bardziej szczegółowo

Część X opcje indeksowe. Filip Duszczyk Dział Rozwoju Rynku Terminowego

Część X opcje indeksowe. Filip Duszczyk Dział Rozwoju Rynku Terminowego Część X opcje indeksowe Filip Duszczyk Dział Rozwoju Rynku Terminowego Agenda 1. Co to jest indeks? 2. Obliczanie indeksu 3. Kontrakty indeksowe 4. Opcje indeksowe 5. Syntetyki Co to jest indeks? Indeks

Bardziej szczegółowo

Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje

Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje Marcin Abram WFAIS UJ w Krakowie 9 marca 2009 Założenia modelu Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt. Bezwzględna wartość zmiany ceny

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r.

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu składa się z

Bardziej szczegółowo

ZASADY WYCENY AKTYWÓW FUNDUSZU WPROWADZONE ZE WZGLĘDU NA ZMIANĘ NORM PRAWNYCH. Wycena aktywów Funduszu, ustalenie zobowiązań i wyniku z operacji

ZASADY WYCENY AKTYWÓW FUNDUSZU WPROWADZONE ZE WZGLĘDU NA ZMIANĘ NORM PRAWNYCH. Wycena aktywów Funduszu, ustalenie zobowiązań i wyniku z operacji ZASADY WYCENY AKTYWÓW FUNDUSZU WPROWADZONE ZE WZGLĘDU NA ZMIANĘ NORM PRAWNYCH Wycena aktywów Funduszu, ustalenie zobowiązań i wyniku z operacji 1. Wycena Aktywów Funduszu oraz ustalenie Wartości Aktywów

Bardziej szczegółowo