Opiniodawca prof. dr hab. inż. Wiesław Buczkowski. Redaktor merytoryczny prof. dr hab. inż. Włodzimierz Czamara

Transkrypt

1

2

3 Wocłw 004

4 Opiniodwc pof. d hb. inż. Wiesłw uczkowski Redkto metoczn pof. d hb. inż. Włodzimiez Czm Opcownie edkcjne i koekt: mg Elżbiet Winisk-Gbosz Jnin Szdłowsk Łmnie Tees licj Chmu ojekt okłdki Romuld Lzowicz Skpt kdemii Rolniczej we Wocłwiu n 486 Copight b Wdwnictwo kdemii Rolniczej we Wocłwiu, Wocłw 004 ISSN ISN WYDWNICTWO KDEII ROLNICZEJ WE WROCŁWIU Redkto nczeln J e z S o b o t ul. Sopock, Wocłw, tel. (07) 8 77 e-mil: wd@ozi..woc.pl Nkłd: 00 6 egz. k. duk.,0 Duk i opw: F..H. EL

5 Spis teści. WSTĘ ELEENTRNE WIDOOŚCI Z RCHUNKU WEKTOROWEGO ojęcie wekto Kąt kieunkow wekto Rzut wekto n oś Dodwnie i odejmownie wektoów nlitczne pzedstwienie wekto nożenie wektoów tni i zdni do ozdziłu ODSTWOWE OJĘCI ECHNIKI I ZSDY STTYKI..... Sił..... unkt mteiln i ciło doskonle sztwne, stopnie swobod..... Ogólne widomości o obliczenich sttcznch Zsd sttki tni do ozdziłu UKŁDY SIŁ ZIEŻNYCH Redukcj płskiego ukłdu sił zbieżnch do wpdkowej Redukcj pzestzennego ukłdu sił zbieżnch do wpdkowej Równowg płskiego ukłdu sił zbieżnch Równowg tzech sił nieównoległch Równowg pzestzennego ukłdu sił zbieżnch Rozkłd i ównowżenie sił dwiem siłmi o zdnch kieunkch dziłni Rozkłd sił n dwie sił o zdnch kieunkch dziłni Zównowżenie sił dwiem siłmi o zdnch kieunkch dziłni tni i zdni do ozdziłu OENT STTYCZNY SIŁY WZGLĘDE UNKTU I WZGLĘDE OSI oment sttczn sił względem punktu. Twiedzenie Vignon oment sttczn sił względem osi tni do ozdziłu SIŁY RÓWNOLEGŁE Wpdkow sił ównoległch Rozkłd i ównowżenie sił dwiem siłmi do niej ównoległmi sił i jej moment sttczn Równoległe pzesunięcie sił tni do ozdziłu

6 7. UKŁDY SIŁ NIEZIEŻNYCH Spowdzenie płskiego ukłdu sił niezbieżnch do biegun Redukcj płskiego ukłdu sił niezbieżnch do wpdkowej Wkeśln edukcj płskiego ukłdu sił niezbieżnch. Wielobok sznuow Równowg płskiego ukłdu sił niezbieżnch nlitczne wunki ównowgi płskiego, niezbieżnego ukłdu sił Geometczne wunki ównowgi płskiego, niezbieżnego ukłdu sił Rozkłd i ównowżenie sił tzem siłmi o zdnch kieunkch dziłni Rozkłd sił n tz sił skłdowe Zównowżenie sił tzem siłmi o zdnch kieunkch dziłni zestzenn ukłd sił niezbieżnch edukcj i ównowg Spowdzenie pzestzennego, dowolnego ukłdu sił do biegun Równowg pzestzennego, dowolnego ukłdu sił tni i zdni do ozdziłu WYZNCZNIE ODDZIŁYWŃ WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH Definicje sił wewnętznch Zleżności óżniczkowe międz siłmi wewnętznmi WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Widomości wstępne Wsponiki elki wolno podpte elki wielopzęsłowe pzegubowe Widomości wstępne Sposob ozwiązwni belek pzegubowch RY I ŁUKI ojęci ogólne i uwgi wstępne Wzncznie sił wewnętznch w mch i łukch KRTOWNICE Widomości ogólne etod ozwiązwni ktownic etod ównowżeni węzłów etod pzecięć IŚIENNICTWO... 9

7 . Wstęp echnik ogóln jest dziłem fizki, zjmuje się bdniem ogólnch pw uchu i ównowgi cił mteilnch oz zstosowniem tch pw do pewnch widelizownch schemtów cił mteilnch, tkich jk punkt mteiln i ciło doskonle sztwne. odzielić ją możn n dw dził: kinemtkę i dnmikę. Kinemtk zjmuje się bdniem uchu cił niezleżnie od sił wwołującch ten uch. Dnmik ozptuje uch cił mteilnch w zleżności od sił dziłjącch n te cił. W szczególnm pzpdku dziłni wwiene pzez sił n ciło mteilne mogą się wzjemnie znosić, mówim wted, że sił się ównowżą. Część dnmiki dotcząc tch włśnie pzpdków nosi nzwę sttki, pozostł, dotcząc uchu cił poddnch dziłniu sił, nzwn zostł kinetką. Niniejsz skpt pzeznczon jest dl studentów kieunku budownictwo n Wdzile Inżnieii Ksztłtowni Śodowisk i Geodezji kdemii Rolniczej we Wocłwiu, gdzie mechnik ogóln wkłdn jest w semestze dugim. N mechnice ogólnej opieją się w swch ozwżnich dw pzedmiot techniczne: wtzmłość mteiłów w semestze tzecim i czwtm oz mechnik budowli w semestze czwtm i piątm. Ze względu n kolejność powdzeni tch tzech wmienionch wżej pzedmiotów oz ze względu n ich pogm i wmi godzinow w mch mechniki ogólnej wkłdn jest sttk cił sztwnego w odniesieniu do ukłdów pętowch. Skpt npisn zostł n podstwie podęczników utoów, któch spis zmieszczono n końcu. Wte poleceni do smodzielnego studiowni są też podęczniki Zbigniew Cwińskiego i Witold Nowckiego.

8

9 . Elementne widomości z chunku wektoowego.. ojęcie wekto Wielkość wektoow jest to wielkość okeślon liczbą oz mjąc okeślon kieunek i zwot. zkłdem wielkości wektoowej jest np. sił, pędkość, pzspieszenie. Wielkość wektoową pzedstwi się gficznie w postci wekto (s..), któ ozncz się liteą ze stzłką, np. lub smbolem, gdzie ozncz początek, zś koniec wekto. Długość odcink odpowid, w obnej skli, wtości liczbowej wekto. ost l, n któej leż wekto, nzw się postą (linią) dziłni lub kieunkiem wekto. Wtość bezwzględn wekto nzw się modułem wekto. oduł wekto ozncz się nstępująco: lub Rozóżni się tz odzje wektoów: wekto związne z punktem (zczepione) np. tzw. pomień-wekto, któ zczepion w początku ukłdu współzędnch służ do jednozncznego okeśleni dowolnego punktu w pzestzeni; wekto związne z postą (pzesuwne), któe mogą zmienić swoje położenie, le tlko wzdłuż linii dziłni (np. wekto sił) oz wekto swobodne, któe możn pzemieszczć ównolegle do ich linii dziłni. Wektomi ównowżnmi nzw się tkie dw wekto, któe mją jednkowe moduł, jednkowe zwot i wspólną linię dziłni (ównowżność wektoów zpisuje się: b ). Wektoem jednostkowm, inczej wesoem nzw się tki wekto, któ m ten sm kieunek i zwot co dn wekto, lecz któego moduł ówn się jedności. Jeżeli weso dnego wekto 0 oznczm pzez, to wekto możem zpisć w postci ilocznu modułu tego wekto pzez jego weso, czli: 0 (.)

10 0 licj c-omnck: echnik ogóln ) b) o l o Rs.. ) oznczenie wekto, b) pzedstwienie wekto z pomocą weso.. Kąt kieunkow wekto Wpowdzjąc odpowiednią umowę odmiezni kąt, tk zwnego kąt kieunkowego jki wekto twoz z dowolną osią odniesieni, możn pzez podnie wielkości tego kąt okeślić zówno kieunek, jk i zwot wekto. zez kąt kieunkow wekto ozumiem kąt, o jki tzeb obócić oś w kieunku pzeciwnm do kieunku uchu wskzówek zeg, do zgodnego co do zwotu pokci się tej osi z wektoem. Ilustcję powższej definicji pzedstwiono n sunku.. Kąt kieunkow wek-, to względem osi oznczm smbolem ( ) (, ) (, ) (, ) Rs... Kąt kieunkowe wektoów.. Rzut wekto n oś Rzutem wekto n oś nzwm wekto, któego początkiem jest zut postokątn początku dnego wekto n oś, końcem zś zut postokątn jego końc n tę oś. Rzut wekto n oś oznczm zwkle tą smą liteą co dn wekto i dodjem do niej wskźnik odpowidjąc osi zutów tk jk pokzno to n sunku..

11 Rozdził : Elementne widomości z chunku wektoowego Z wunków geometcznch wnik zleżność cos, (.) ( ) Wielkość liczbową nzwm mią zutu wekto n oś. i zutu wekto n oś jest ówn ilocznowi modułu tego wekto pzez cosinus kąt kieunkowego tego wekto w odniesieniu do osi. W zleżności od wtości kąt kieunkowego mi zutu wekto n oś może pzbieć wtość dodtnią lub ujemną. Cosinus kątów kieunkowch z dugiej i tzeciej ćwitki o o ( 90 (, ) 70 ) są mniejsze od ze mi zutów wekto n sunku.b i c mją więc znki ujemne. Cosinus kątów kieunkowch piewszej i czwtej ćwitki są większe od ze i odpowiednio do tego mi zutów wekto n sunku. i d są dodtnie. ożem ztem powiedzieć, że mi zutu wekto n oś m znk dodtni, gd zwot tego zutu jest zgodn ze zwotem osi. Gd zwot zutu wekto jest niezgodn ze zwotem osi, m on znk ujemn. ) b) c) d) α (, ) (,) (, ) (, ) Rs... Rzut wektoów n oś pz óżnch kątch kieunkowch Oblicznie mi zutu wekto n oś może więc bć pzepowdzne ze wzou ± cosα (.) gdzie α jest kątem ostm międz kieunkiem wekto osią (cosα zwsze jest większ od ze), zś znk dodtni bądź ujemn ustln jest n podstwie sunku. Dl wekto o kącie kieunkowm ównm zeu zut n oś jest wektoem ównm temuż wektoowi ( ) ; dl wekto o kącie kieunkowm ównm 80 0 jego zut n oś jest wektoem pzeciwnm ( ). Rzut n oś wektoów o kątch kieunkowch ównch 90 0 i 70 0 są ówne zeu.

12 licj c-omnck: echnik ogóln.4. Dodwnie i odejmownie wektoów Dodwnie geometczne dwóch wektoów i b poleg n zbudowniu n tch wektoch ównoległoboku. Wekto c b jest pzekątną tego ównoległoboku, jk to pokzno n sunku.4. Dl otzmni sum c wektoów i b możn zstosowć też metodę wieloboku wektoów pokzną n sunku.4b. Wekto zczepion w dowolnm punkcie i nsown w obnej skli długości twoz piewsz bok wieloboku, wekto b zczepion w końcu wekto nsown w tej smej obnej skli ównolegle do swej postej dziłni twoz jego dugi bok. Sumą wektoów i b jest wekto c o module wnikjącm z długości tzeciego boku wieloboku i kieunku ównoległm do tego boku. oczątkiem wekto c jest początek piewszego wekto, końcem koniec dugiego wekto. Kolejność sowni wektoów jest dowoln (po. s..4c). b b (.4) Dodwnie wektoów podleg więc pwu pzemienności. ) b) c) O b b b c c O O b c Rs..4. Dodwnie geometczne dwóch wektoów: ) metod ównoległoboku, b) i c) metod wieloboku etodą wieloboku możn znleźć sumę dowolnej liczb wektoów n płszczźnie i w pzestzeni. Sumą wektoów jest zwsze wekto łącząc początek piewszego z końcem osttniego wekto wieloboku (s..5). N sunku.5 pokzno też, że dodwnie wektoów podleg pwu łączności (s..5) b c ( b c ) ( b ) c (.5) oz że gd wekto skłdowe są do siebie ównoległe, to wnik dodwni wektoowego pokw się liczbowo z wnikiem dodwni lgebicznego (s..5b).

13 b Rozdził : Elementne widomości z chunku wektoowego ) b) b b bc 4 O c O W bc c 4 W Rs..5. Dodwnie wektoów metodą wieloboku: ) wekto dowolne, b) wekto ównoległe Różnicą dwóch wektoów i b nzw się wekto d, któ otzmujem pzez dodnie do wekto wekto pzeciwnego do wekto b, czli wekto b (s..6) d b (.6) ( ) b d - b b Rs..6. Odejmownie wektoów.5. nlitczne pzedstwienie wekto Łtwo zuwżć, że jeżeli wznczm zut dowolnego wekto w pzestzeni n tz osie ukłdu współzędnch postokątnch, to wekto ten jest sumą wektoową tch zutów (s..7) z zjmując, że wzdłuż osi, i z dziłją wekto jednostkowe, czli weso, oznczone odpowiednio i, j i k, możn powższe ównnie wektoowe zpisć nstępująco i j zk (.7) owższ zpis jest nlitcznm pzedstwieniem wekto.

14 4 licj c-omnck: echnik ogóln z z z z k O O β O z β j O i Rs..7. Skłdowe wekto w pwoskętnm ukłdzie postokątnm O z oduł wekto obliczm ze wzou n długość pzekątnej postopdłościnu zbudownego n skłdowch tego wekto (po. s..7) z (.8) Cosinus kątów jkie wekto twoz z osimi ukłdu współzędnch, i z wnoszą odpowiednio (po. s..7) z cos α ; cosβ ; cosγ (.9) Z wunków geometcznch wnik nstępując związek międz funkcjmi tgonometcznmi kątów, α, β i γ cos α cos β cos γ (.0) W związku z powższm, gd chcem jednozncznie opisć wekto w pzestzeni, musim podć jego moduł i dw z tzech kątów, jkie jego kieunek twoz z osimi ukłdu współzędnch. Wtość kąt tzeciego obliczm z pzeksztłconego wzou (.0), np. cosα cos β cos γ, z tm jednk, że musim dodtkowo wiedzieć, jki znk nleż ndć wtości piewistk: "" cz " ", więc, cz kąt γ jest w dnm pzpdku ost, cz ozwt.

15 Rozdził : Elementne widomości z chunku wektoowego 5 zkłd.. Zpisć nlitcznie wekto o module 0, dl któego kąt α jest ozwt, kąt β 45, kąt γ 0. Rozwią znie Obliczm skłdowe wekto cosα cosα cos β cos γ 0 5 (cosinus kąt ozwtego m wtość ujemną) cos β z cos γ 0 5 Wekto w zpisie nlitcznm: 5i 7,07 j 5k zkłd.. Zpisć nlitcznie wekto, któego początek znjduje się w punkcie o współzędnch (, 4,), koniec zś w punkcie o współzędnch (8, 6, ). Rozwią znie Skłdowe wekto mją nstępujące wtości: 4 ± z z z ( ) 0 ( 4) Wekto w zpisie nlitcznm: 0i j 5k Dodwnie nlitczne dwóch wektoów i b poleg n wżeniu ich w postci nlitcznej (wzó.7), nstępnie dodniu skłdowch tch wektoów pz odpowiednich wesoch: b ( i j zk ) ( bi b j bzk ) ( b ) i ( b ) j ( b ) k c Wnik to z poniższego twiedzeni, któe ilustuje sunek.8. z z (.)

16 6 licj c-omnck: echnik ogóln TWIERDZENIE Rzut sum wektoów n oś ówn się sumie lgebicznej zutów wektoów skłdowch n tę oś. Ogólnie możn npisć: w n i i n ; w (.) i i owdząc obliczeni nleż pmiętć, że mi zutów wektoów n osie mogą mieć znk dodtni lub ujemn. w w O w Rs..8. Ilustcj twiedzeni o zucie sum wektoów n oś.6. nożenie wektoów Są dw sposob mnożeni wektoów: mnożenie sklne i mnożenie Iloczn skln ( b ) dwóch wektoów i b jest to liczb ówn ilocznowi modułów tch wektoów pomnożonemu pzez cosinus kąt zwtego międz nimi. b b cos, ( b) wektoowe. (.)

17 Rozdził : Elementne widomości z chunku wektoowego 7 Definicj kąt międz dwom wektomi jest nstępując (po. s..9): Kąt międz wektomi i b, ( ) b, jest to mniejsz z kątów, o któ tzeb obócić wekto do zgodnego co do zwotów pokci się z wektoem b. W związku z tm, że iloczn ( ) b, cos jest mią zutu wekto n wekto b, możn też powiedzieć, że iloczn skln dwóch wektoów jest to iloczn modułu jednego wekto pzez mię zutu dugiego wekto n kieunek piewszego. Znk ilocznu sklnego zleż od znku cosinus kąt międz wektomi (jest ujemn, gd kąt międz wektomi jest ozwt i dodtni, gd jest on ost). Gd wekto i b są do siebie postopdłe, ich iloczn skln ówn się zeu. Rs..9. Ilustcj ilocznu sklnego dwóch wektoów Iloczn skln spełni nstępujące pw: pwo pzemienności: b b (.4) pwo ozdzielności: ( ) c b c c b (.5) pwo łączności mnożeni pzez liczbę: ( ) ( ) ( ) mb b m b m (.6) Z włsności ilocznu sklnego wnikją nstępujące związki międz wektomi jednostkowmi (wesomi): k k j j i i (.7) 0 i k k j j i (.8) Iloczn skln dwóch wektoów w zpisie nlitcznm m postć: ( ) ( ) z z z z z z z z z z b b b k k b j k b i k b k j b j j b i j b k i b j i b i i b k b j b i b k j i b (.9) b,b ) ( ) 0 ( b b ),b ( cos (,b) b b ) 0 ( b cos (,b)

18 8 licj c-omnck: echnik ogóln Kozstjąc z definicji ilocznu sklnego i wzou (.9), możn wznczć kąt międz dwom wektomi b b zbz cos (, b) (.0) b Iloczn wektoow dwóch wektoów ( b) jest to wekto, któego moduł ówn się ilocznowi modułów wektoów skłdowch pomnożonemu pzez sinus kąt zwtego międz nimi; któego kieunek jest postopdł do płszczzn wznczonej pzez wekto i b i któego zwot wnik z eguł śub pwoskętnej. Jeżeli iloczn wektoow oznczm pzez m, możem zpisć: m b (.) m bsin, b (.) ( ) Reguł śub pwoskętnej pozwl okeślić zwot wekto m w nstępując sposób: jest on zgodn z kieunkiem uchu śub pwoskętnej ustwionej postopdle do wektoów i b, obcnej w tę smą stonę, w któą obc się wekto o kąt (, b) do zgodnego co do zwotu pokci się z wektoem b (po. s..0). z m b O b (,b ) ( b, ) b m b Rs..0. Ilustcj ilocznu wektoowego dwóch wektoów Iloczn wektoow spełni nstępujące pw: wo ozdzielności względem dodwni ( b) c c b c (.) wo łączności (moduł ilocznu wektoowego wzośnie m-kotnie, jeżeli jeden z jego cznników pomnoż się pzez skl m lub wzośnie mn-kotnie, jeżeli jeszcze dugi cznnik pomnoż się pzez skl n) m ( b) ( m) b mb (.4) m nb mn b (.5) ( )( )

19 Rozdził : Elementne widomości z chunku wektoowego 9 Iloczn wektoow nie spełni pw pzemienności ( ) b b (.6) oduł ilocznu wektoowego ówn się liczbowo polu ównoległoboku zbudownego n wektoch skłdowch, gdż iloczn ( ) b, sin, jk ównież iloczn ( ) b b, sin pzedstwiją wsokości tego ównoległoboku (s..0). Z włsności ilocznu wektoowego wnikją związki międz wesomi: 0 k k j j i i j i k i k j k j i ; ; (.7) j k i i j k k i j ; ; Iloczn wektoow w zpisie nlitcznm oblicz się nstępująco: ( ) ( ) k b j b i b k j i b z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k b j k b i k b k j b j j b i j b k i b j i b i i b z z z z z z ( ) ( ) ( ) k b b j b b i b b z z z z z (.8) owższe wżenie jest ozwinięciem wzncznik i dltego iloczn wektoow możn zpisć z z b b b k j i b (.9).7. tni i zdni do ozdziłu. Dodwnie i odejmownie wektoów w ujęciu geometcznm i nlitcznm.. Iloczn skln dwóch wektoów i jego włściwości.. Iloczn wektoow dwóch wektoów i jego włściwości. 4. Iloczn sklne i wektoowe tzech wzjemnie postopdłch wektoów jednostkowch (wesoów).

20 0 licj c-omnck: echnik ogóln 5. N sunku. dne są wekto O oz O b łączące odpowiednie punkt n ścince dolnej, gónej i kwędzi bocznej postopdłościnu. Zpisć te wekto nlitcznie oz obliczć ich sumę, óżnicę i kąt międz nimi. Wznczć też i nszkicowć wekto m, któ jest ich ilocznem wektoowm. ( m b ). Wliczć i zznczć n szkicu kąt α, β i γ, jkie wekto m twoz z osimi ukłdu współzędnch. Odpowiedź i j 6k, b 4 i k, b 6i j 9k b i j k b cos, b 0, b ( ) 805 (,b) 5, 85 m 9i 8 j k α,59, β 40,96, 6 m γ 0, 8 (s..) Rs.. (,b ) O z b 4 Rs..

21 . odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki.. Sił Sił jest pojęciem bstkcjnm; istnienie jej możem poznć jednie po skutkch, jkie wwołuje. W ujęciu teoetcznm siłą nzwm cznnik powodując zminę uchu cił mteilnego (zmin t może się wżć w zminie pędkości, zminie kieunku uchu lub w obu tch zminch jednocześnie). W ujęciu technicznm siłą nzwm wzjemne mechniczne oddziłwnie dwóch cił mteilnch. Dziłnie sił jest okeślone pzez jej wtość, kieunek dziłni i zwot. N pzkłd: wtość sił ciężkości (ciężu cił) jest ówn ilocznowi jego ms oz pzspieszeni ziemskiego; kieunek dziłni sił ciężkości okeśl post łącząc śodek ciężkości tego cił ze śodkiem ciężkości ziemi, jej zwot jest do śodk ziemi. Sił jest więc wielkością fizczną wektoową, któą możn pzedstwić z pomocą odcink skieownego wekto. Ze względu n chkte dziłni i pochodzenie ozóżni się nstępujące odzje sił: sił msowe, któe są popocjonlne do ms ozłożonej w objętości, dziłjące n wszstkie punkt cił; sił powiezchniowe, powstjące pz bezpośednim zetknięciu się jednego cił z dugim; sił zewnętzne, pochodzące od cił nienleżącch do ozptwnego ukłdu mechnicznego; sił wewnętzne, pochodzące od punktów lub cił nleżącch do ozptwnego ukłdu mechnicznego; sił cznne, czli obciążeni zewnętzne, mogące wwołć uch; sił biene, czli ekcje powstjące pod wpłwem sił cznnch. ojęci sił wewnętznch, zewnętznch, cznnch i biench omówione są szezej w ozdzile.. Jednostką sił w międznodowm ukłdzie SI jest niuton ( N). Sił ówn jednemu niutonowi, ciłu o msie jednego kilogm, ndje pzspieszenie m/s. Wielokotności niuton to kiloniuton i megniuton: kn 0 N; N 0 6 N

22 licj c-omnck: echnik ogóln Związek niuton z kilogmem siłą, jedną z podstwowch jednostek ukłdu technicznego, jest: kg 9,8067 N.. unkt mteiln i ciło doskonle sztwne, stopnie swobod echnik ogóln zjmuje się bdniem uchu i spocznku uposzczonch modeli cił zeczwistch, któmi są punkt mteiln i ciło doskonle sztwne. unkt mteiln jest modelem cił o tk młch wmich w poównniu z wmimi obszu, w któm to ciło się pousz, że możn pominąć zmin położeni tego cił wwołne pzez obót i tktowć je jko punkt geometczn, któemu pzpisujem pz tm pewną skończoną ilość mteii. Ciło doskonle sztwne to tkie widelizowne ciło stłe, któe skłd się z ukłdu punktów mteilnch, któch ilość w obębie tego cił wzst nieogniczenie pz jednocześnie mlejącch wmich tch punktów twoząc continuum oznczjące, że obsz zjęt pzez ciło jest wpełnion mteią w sposób ciągł. Do obliczeń pzjmuje się, że ciło doskonle sztwne nie uleg żdnm odksztłceniom pod wpłwem dziłjącch nń sił. Kżde ciło doskonle sztwne, mogące pouszć się w pzestzeni, nzw się ciłem swobodnm. Stopniem swobod nzw się możliwość wkonni uchu cił niezleżnego od innch uchów I tk, n pzkłd: punkt mteiln leżąc n postej m jeden stopień swobod może pouszć się wzdłuż tej postej; punkt mteiln leżąc n płszczźnie m stopnie swobod może pouszć się w kieunku osi oz w kieunku osi ; podobnie punkt w pzestzeni m tz stopnie swobod polegjące n możliwości pzemieszczeń wzdłuż tzech osi (, i z); ciło sztwne n płszczźnie posid tz stopnie swobod: możliwość niezleżnch pzesunięć w kieunkch osi i oz możliwość obotu względem osi z, postopdłej do płszczzn O ; ciło sztwne w pzestzeni m sześć stopni swobod: możliwość pzesunięć wzdłuż tzech osi (, i z) i możliwość niezleżnch obotów względem tch tzech osi. W celu unieuchomieni cił mteilnego nleż je związć z podstwą z pomocą więzi. Więź, któ odbie ciłu jeden stopień swobod, nzwm więzią pojednczą. Więź pojedncz, to pęt idelnie sztwn, połączon pzegubmi z nieuchomą podstwą i dnm ciłem mteilnm.

23 Rozdził : odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki Funkcjonownie więzi ilustują sunki n stonch 7, 8 i 9 (s..8.), gdzie pokzno sposob łączeni tcz i pętów z fundmentem. Więź pojedncz n sunku.8c odbie tcz jeden stopień swobod (możliwość uchu wzdłuż postej łączącej punkt i ). Więzi i C n sunku.0b odbieją pętowi dw stopnie swobod (możliwość uchu w kieunku poziomm i pionowm), pozostwijąc możliwość obotu pęt wokół punktu. Dwie więzi pojedncze n sunku.b zostwiją pętowi jeden stopień swobod (możliwość pzesuwu w kieunku poziomm). Tz więzi pojedncze z sunku.b cłkowicie unieuchmiją pęt, odbiejąc mu wszstkie tz stopnie swobod... Ogólne widomości o obliczenich sttcznch Obliczeni sttczne pzepowdzm, z eguł ozptując pewien uposzczon, widelizown model ustoju, tzw. schemt sttczn (obliczeniow). Zespół sił dziłjącch n ciło mteilne nzwm ukłdem sił. Kżd ustój budowln poddn jest z zewnątz dziłniu sił obciążjącch, czli sił ciężkości, pci witu, npou wod itp. Sił dziłjące z zewnątz n ustój budowln nzwm obciążeniem. Obciążenie dąż do wpowdzeni w uch ustoju budowlnego. Jednm z zdń sttki budowli jest tk zpojektowć podpo i połączeni części ustoju międz sobą, b stn spocznku ustoju zostł nienuszon. Sił dążące do wpowdzeni w uch cił mteilnego nzwm siłmi cznnmi. Sił, któe pzeciwstwiją się dążeniu sił cznnch siłmi bienmi. Sił biene wstępują dopieo wted, gd n ciło zczną dziłć sił cznne; znikją zś, gd sił cznne pzestją dziłć. Wnik stąd, że obciążenie nleż zliczć do sił cznnch, oddziłwnie zś więzi podpoowch względnie więzi łączącch ze sobą element konstukcji do sił biench. Sił wewnętzne (międzcząsteczkowe) wwołne obciążeniem są siłmi bienmi. oz siłmi, czli tzw. cznnikmi mechnicznmi, mogą dziłć n ustój cznniki niemechniczne (zmin tempetu, pzemieszczeni podpó, niedokłdności montżu), któe w pewnch wunkch powodują powstnie sił biench. Sił, któe dziłją n punkt bł, noszą nzwę sił skupionch, zś sił dziłjące n pewne pole sił ozłożonch. Odpowiednio będziem mówili o obciążeniu siłmi skupionmi i o obciążeniu ozłożonm lub ciągłm. ówiąc o sile skupionej, mm n mśli stucję, gd pole, n któe dził sił, jest bdzo młe w poównniu z innmi wmimi wchodzącmi do obliczeń. W zeczwistości sił skupionch nie m. Jednostką sił ozłożonch jest jednostk sił pzpdjącej n jednostkę pol, więc np. kn/m.

24 4 licj c-omnck: echnik ogóln Jeżeli obciążenie ozłożone dził n pęt o stłej szeokości, to wpowdzm obciążenie n jednostkę długości pęt, mnożąc wtość obciążeni n jednostkę pol pzez szeokość pęt (kn/m). ) b) c) d) Rs... Rodzje obciążeń: ) sił skupione, b) obciążenie ciągłe ównomiene, c) obciążenie ciągłe nieównomiene, d) obciążenie tójkątne Sił skupion, to n pzkłd jk już wspomnino ncisk słup stojącego n belce. zkłdem obciążeni ównomienego jest cięż włsn belki, obciążeni tójkątnego pcie wod. zkłd óżnch obciążeń pokzno n sunku.. Gd sił cznne i biene dziłjące n błę leżą w jednej płszczźnie, twozą ukłd płski sił, gd zś nie leżą w jednej płszczźnie, twozą ukłd pzestzenn sił. Wśód pzestzennch i płskich ukłdów sił ozóżnim ukłd zbieżne (gd poste dziłni wszstkich sił pzecinją się w jednm punkcie) i ukłd niezbieżne, gd wunek ten nie jest spełnion (s..). ) b) Rs... Zbieżn () i niezbieżn (b) ukłd sił Kżde ciło fizczne posid tz wmi: długość, szeokość i wsokość, czli pzedstwi błę mteilną (msw). W dlszch nszch ozwżnich będą dl wgod wpowdzne pewne pojęci umowne; np. gd jeden wmi bł jest bdzo mł w poównniu z dwom pozostłmi ozptujem to ciło jko powiezchnię mteilną. W schemcie sttcznm pzestzenną powiezchnię mteilną nzwm powłoką, zś powiezchnię płską, w zleżności od oli, jką odgw w ustoju

25 Rozdził : odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki 5 konstukcjnm, nzwm tczą lub płtą. Nzwę 'tcz' stosujem w pzpdku obciążeni ustoju włącznie siłmi leżącmi w jego płszczźnie śodkowej, tzn. popowdzonej w połowie gubości; nzwę zś 'płt' gd sił obciążjące są postopdłe do tej płszczzn (s..). msw płt powłok pęt tcz Rs... Element konstukcji Gd dw wmi bł są młe w poównniu z tzecim, mm do cznieni z tzw. linią mteilną, w schemcie sttcznm z tzw. pętem. Njwiększ wmi nzwm długością pęt, dw pozostłe wmimi popzecznmi (s..). Oś pęt może bć kzwą pzestzenną, kzwą płską lub linią postą (s..4). zekój popzeczn pęt powstje z pzecięci pęt płszczzną postopdłą do jego osi. Rs..4. ęt. oś, pzekój popzeczn Ksztłt i wielkość pzekoju popzecznego może się zmienić wzdłuż osi pęt; mm wted do cznieni z pętem o pzekoju zmiennm; w pzeciwnm pzpdku z pętem o pzekoju stłm. ęt post o pzekoju stłm nzwm pętem pzmtcznm. W zleżności od oli, jką spełniją pęt w konstukcji, będziem nzwli pęt poste belkmi, słupmi, wieszkmi, ozpomi, ścięgnmi, kzżulcmi, pęt kzwe łukmi, pieścienimi itd. łt, tcz, powłok, pęt to element konstukcji, któe odpowiednio ze sobą połączone i opte n podłożu twozą ustój budowln zdoln do pzenoszeni obciążeń.

26 6 licj c-omnck: echnik ogóln ołączeni elementów konstukcji mją z zdnie ogniczć cłkowicie lub częściowo swobodę pzemieszczeń jednego elementu względem dugiego. Rozóżnim pzemieszczeni liniowe, czli pzesuw i pzemieszczeni kątowe, czli obot. Zzwczj zkłdm, że w połączenich pozwljącch n pewne pzemieszczeni nie wstępuje zjwisko tci. Rozptzm tu dw tp połączeń:. ołączenie pzegubowe niepozwljące n pzemieszczeni liniowe w żdnm kieunku, nieogniczjące ntomist swobod wzjemnego obotu jednego elementu względem dugiego (s..5). W ukłdzie płskim jest to tzw. pzegub płski smbolicznie pokzn n s..5b, pz czm oddziłwniem jednego elementu n dugi jest sił o nieznnm kieunku pzechodzącm pzez śodek pzegubu (s..5c).. ołączenie sztwne uniemożliwijące jkiekolwiek pzemieszczenie części łączonch, czli zpewnijące tzw. ciągłość konstukcji (s..6). W tm pzpdku oddziłwnie jednego elementu n dugi zstępuje się, w ukłdzie płskim, zzwczj siłą wewnętzną o nieznnm kieunku, spzeciwijącą się pzemieszczeniu liniowemu oz momentem wewnętznm, spzeciwijącm się obotowi (definicję momentu zwie ozdz. 5). ) b) c) R Rs..5: ) połączenie pzegubowe, b) schemt sttczn połączeni pzegubowego, c) oddziłwnie jednego elementu n dugi R ) b) c) R R Rs..6: ) połączenie sztwne, b) schemt sttczn połączeni sztwnego, c) oddziłwnie jednego elementu n dugi odpoą nzwm element konstukcjn, któego zdniem jest połączenie pośednie bądź bezpośednie ustoju budowlnego, bądź jego części z podłożem jko podstwą fundmentu.

27 Rozdził : odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki 7 Rozóżnim 5 zsdniczch, widelizownch sposobów podpci ustojów płskich:. odpo pzegubow pzesuwn, któ pozwl n swobodn (bez tci) obót tcz dookoł pewnej osi postopdłej do płszczzn tcz oz n pzesuw wzdłuż tzw. płszczzn pzesuwu postopdłej do płszczzn tcz. N sunku.7 i b pzedstwione są szkicowo tego odzju podpo, zś n sunku.8 umowne ich oznczeni. odpo pzegubow pzesuwn powinn bć tk skonstuown, b nie bło możliwe odewnie się gónej jej części od dolnej. W pzpdku podpo pzegubowej pzesuwnej post dziłni sił podpoowej jest znn. usi on bowiem pzechodzić pzez śodek pzegubu i wobec złożeni, że tcie nie wstępuje, musi bć postopdł do płszczzn pzesuwu, jk to pokzno n sunku.8 i b. Wstcz więc wznczć tlko jej wtość. Innmi słow: w pzpdku podpo pzegubowej pzesuwnej sił podpoow pzedstwi j e d n ą niewidomą. ) b) Rs..7. odpo pzegubowe pzesuwne ) R b) R c) R.. Rs..8. Oznczeni umowne podpo pzegubowej pzesuwnej odpoę tką możem ównież wobzić sobie jko skonstuowną w postci pęt połączonego z tczą i fundmentem pzegubmi. Sił podpoow będzie wted pzechodził pzez śodki obu pzegubów, więc wzdłuż osi pęt podpoowego, pzesuw zś będzie możliw w kieunku postopdłm do tej osi, jk to pokzno n sunku.8c. Jko że w konstukcjch budowlnch pzemieszczeni są bdzo młe, możem uwżć zznczone pzemieszczenie pzegubu z postoliniowe.. odpo pzegubow niepzesuwn pozwl tlko n swobodn obót dookoł osi postopdłej do płszczzn tcz, nie pozwl ntomist n pzesuw tcz w żdnm kieunku. Szkicowo podpo tk pzedstwion jest n sunkch.9 i.0.

28 8 licj c-omnck: echnik ogóln ) b) R b) R C H R H V V Rs..9. odpo pzegubow niepzesuwn Rs..0. Oznczeni umowne podpo pzegubowej niepzesuwnej W tm pzpdku o sile podpoowej wiem tlko tle, że jej post dziłni musi pzechodzić pzez śodek pzegubu. Znn jest więc tlko punkt pzłożeni sił, nieznn jest jej wtość i kąt kieunkow, więc w ukłdzie płskim mm d w i e n i e - w i d o m e p o d p o o w e (s..0). Zwkle do obliczeń wpowdzm jko niewidome nie wtość sił i jej kąt kieunkow, wielkości dwóch skłdowch tej sił obnch njczęściej wzdłuż dwóch osi wzjemnie postopdłch, jk to pokzno n sunku.0b. Znjąc bowiem te wielkości, możem wznczć z pomocą odpowiednich wzoów moduł sił podpoowej i jej kąt kieunkow.. Utwiedzenie z możliwością pzesuwu podłużnego. Ten sposób podpci uniemożliwi jkikolwiek obót; pzesuw zś jest możliw jednie w kieunku osi pęt. z złożeniu, że wzdłuż płszczzn i 4 (s..) nie wstępuje tcie, kieunek sił podpoowej jest postopdł do tch płszczzn. Nieznnmi wielkościmi są tu: wtość sił podpoowej i jedn współzędn punktu pzłożeni sił (minowicie współzędn wzdłuż osi pęt), więc dwie niewidome. Do obliczeń sttcznch wpowdzm zwkle jko niewidome: ) moduł sił, zkłdjąc, że jej punkt pzłożeni leż w tk zwnm pzekoju utwiedzeni 4 oz b) wtość tk zwnego momentu utwiedzeni. Szezej omówione to będzie później, w dlszch ozdziłch. 4. Utwiedzenie sztwne (s..). W tm pzpdku nie znm ni wtości sił podpoowej, ni położeni jej postej dziłni. m więc do cznieni z t z e m n i e w i d o m m i. Jko niewidome pzjmujem zzwczj wtości dwóch skłdowch sił podpoowej pzłożonej w pzekoju utwiedzeni oz wielkość momentu utwiedzeni (s..c). 5. Utwiedzenie z możliwością pzesuwu popzecznego. Schemt tkiego podpci pzedstwion jest n sunku. i b, zś oznczeni umowne n sunku.c. Nleż ozumieć pz tm, że odewnie się końc pęt od płszczzn pzesuwu jest niemożliwe (widć to n schemcie.b). Kieunek sił podpoowej jest tu postopdł do płszczzn pzesuwu. Nieznn jest wtość sił i jedn współzędn punktu pzłożeni tej sił więc mm n tej podpoze d w i e n i e w i d o m e. Niewidome pzjmowne zzwczj do obliczeń to wtość sił podpoowej i moment utwiedzeni.

29 Rozdził : odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki 9 ) b) c) 4 Rs... Utwiedzenie z możliwością pzesuwu podłużnego R ) b) c) H V Rs... Cłkowite utwiedzenie ) b) c) R Rs... Utwiedzenie z możliwością pzesuwu popzecznego Wobec nieuwzględnini zzwczj w schemcie sttcznm wmiów popzecznch pęt (pęt sujem jko linię) pzjmuje się zwkle, że sił pzłożone są do osi pęt, co z tm idzie, pzegub podpoowe pzjmujem wted ównież n osi pęt. Co do sposobu dziłni sił zkłdm, że sił te dziłją sttcznie, tzn. że wtości ich osną powoli od ze do wtości końcowej. Są jednk konstukcje, do któch omwinego złożeni stosowć nie możn. Do tkich konstukcji, w piewszm zędzie, nleżą fundment pod młot (dziłją n nie udezeni) oz fundment pod mszn poddne dziłniu sił szbkozmiennch. oniżej podno kilk pzkłdów schemtów sttcznch njczęściej stosownch konstukcji pętowch. Ustój pokzn n s..4 nosi nzwę ktownic. Schemt sttczn ktownic oz nzw poszczególnch pętów podne są n sunku.4b.

30 0 licj c-omnck: echnik ogóln N sunku.5 pokzn jest szkicowo stop belkow w plnie (), widzin z boku (b) i schemt sttczn belki stopowej (c). Rsunki.6 i.7 pzedstwiją łuk. N sunkch.8 i.9 pokzno mę. ) ) b) l b) l 0 c) l 4 l,05 l 0 Rs..4. Ktownic. ps gón, kzżulec, słupek, 4 ps doln Rs..5. Stop belkow l Rs..6. Łuk f l Rs..7. Schemt sttczn łuku. l ozpiętość, f stzłk łuku f h h h h l l l l Rs..8. Rm Rs..9. Schemt sttczn m. słup, wsponik, ozpo

31 Rozdził : odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki.4. Zsd sttki Sttk jko dził mechniki ogólnej wkozstuje nstępujące zsd (ksjomt), któe wnikją z obsewcji otczjącch ns zjwisk, któch się nie udowdni, pzjmuje jko pewniki. Zsd piewsz (zsd ównoległoboku) Dowolne dwie sił i pzłożone do jednego punktu możn zstąpić siłą wpdkową W pzłożoną do tegoż punktu. Wekto wpdkowej jest pzekątną ównoległoboku zbudownego n wektoch sił i w sposób pokzn n sunku ϕ ) b) β C W c) Rs..0. Wpdkow sił i D O wpdkowej W mówim, że jest on siłą ównowżną ukłdowi sił i. Jeżeli dn jest kąt ϕ międz postmi dziłni sił i, wtość liczbową wpdkowej W możem obliczć ze wzou: W cosϕ, (.) Z powższego wzou wnik, że gd sił i dziłją wzdłuż jednej postej i ich zwot są zgodne (s..0b), wtość wpdkowej W (z kąt ϕ nleż podstwić wted 0 ), gd ntomist sił te są pzeciwnie skieowne (s..0c), podstwim ϕ 80 i otzmujem W. Kąt α i β, jkie lini dziłni wpdkowej W twoz z kieunkmi sił i, okeślim z twiedzeni sinusów stosując je do tójkąt D lub CD: D D, czli: W, sinα sin( 80 ( α β )) sinα sin( 80 ϕ ) z czego otzmujem: sinα sinϕ (.) W

32 licj c-omnck: echnik ogóln Zsd dug Dwie sił pzłożone do cił sztwnego ównowżą się tlko wted, gd dziłją wzdłuż jednej postej, mją te sme wtości liczbowe i pzeciwne zwot. N sunku. sił i pzłożone do punktów i ównowżą się, gd dziłją wzdłuż jednej postej, mją pzeciwne zwot i gd ich wtości liczbowe są sobie ówne ( ). W zpisie wektoowm, dl oznczeni wektoów o ównch wtościch i pzeciwnch zwotch, w dnm pzpdku, zpiszem:. l Rs... Ukłd sił ównowżącch się Często spotknm pzkłdem cił pozostjącego w ównowdze pod dziłniem dwóch sił jest pęt, do któego n obu jego końcch pzłożone są sił obciążjące, tk jk to pokzno n sunku.. Sił i w pzpdku ównowgi spełniją opisne wżej wunki, więc dziłją wzdłuż osi pęt, mją jednkowe wtości i pzeciwne zwot. Gd sił te dziłją tk jk n sunku., pęt jest ozciągn, gd zś tk jk n s..b ściskn. W opisnm pzpdku pominęliśm cięż pęt, co jest uspwiedliwione, gd jest on nieznczn w poównniu z siłmi pzłożonmi n końcch. ) C b) C Rs... ęt ozciągn () i ściskn (b) Zsd tzeci Dziłnie ukłdu sił pzłożonch do cił sztwnego nie ulegnie zminie, gd do niego dodm lub odejmiem dowoln ukłd sił ównowżącch się, czli tzw. ukłd zeow.

33 Rozdził : odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki Jko pzkłd ozptzm ciło, do któego w punkcie jest pzłożon sił F (s..). Do dowolnego punktu leżącego n linii dziłni tej sił pzłożm dwie ównowżące się sił i, któch wtości liczbowe są ówne sobie i ówne wtości sił F (s..b) F z tm złożeniu sił F i, pzłożone odpowiednio do punktów i, twozą tkże zeow ukłd sił. Zgodnie z zsdą tzecią możem te sił odzucić i pozostnie wówczs jednie sił pzłożon w punkcie, któej wtość liczbow ówn jest F. Sił jest ównowżn sile F, gdż m ten sm co sił F moduł, zwot oz tę smą postą dziłni (s.c). ) b) c) l F F l l F Rs... Ilustcj zsd tzeciej Udowodniliśm więc nstępujące TWIERDZENIE Kżdą siłę dziłjącą n ciło sztwne możn pzesuwć dowolnie wzdłuż jej postej dziłni. Wekto sił jest więc wektoem pzesuwnm niezwiąznm z punktem zczepieni, lecz związnm z postą dziłni. Dl celów obliczeniowch możn go pzesunąć nwet poz obęb ozptwnego cił mteilnego, gdż możem zwsze mślowo związć ten wekto z ciłem z pomocą ukłdu sztwnch, niewżkich pętów. owższe twiedzenie może bć stosowne pz ozptwniu ównowgi cił, ntomist pz wznczniu sił wewnętznch w tch ciłch stosownie tego twiedzeni wmg ostożności pz jego wkozstwniu. Ilustuje to sunek., gdzie sił i n s. ) i b) zostł zmienione miejscmi popzez pzesunięcie wzdłuż swch postch dziłni, w wniku czego pęt ozciągn stł się pętem ścisknm. ożn też sobie wobzić pzesunięcie obu sił do punktu C. Zczepienie ich w punkcie C spwi, że w pęcie nie m żdnch sił wewnętznch nie jest on ni ściskn, ni ozciągn.

34 4 licj c-omnck: echnik ogóln Zsd czwt (zsd zesztwnieni) Jeżeli ciło odksztłclne znjduje się w ównowdze pod dziłniem pewnego ukłdu sił, to po zesztwnieniu ównież będzie ono pozostwło w ównowdze. Z zsd tej wnik, że wunki ównowgi, jkie muszą spełnić sił dziłjące n ciło sztwne, obowiązują ównież dl identcznego cił odksztłclnego. Jednk wunki, któe w pzpdku cił sztwnego mogą bć wunkmi wstczjącmi, w pzpdku cił odksztłclnego mogą wmgć uzupełnień zleżnch od odzju cił. Zsd piąt (zsd dziłni i pzeciwdziłni) Kżdemu dziłniu towzsz pzeciwdziłnie: ówne co do wtości, o pzeciwnm zwocie, skieowne wzdłuż tej smej postej. Zsd t jest tzecim pwem Newton sfomułownm dl dowolnego cił mteilnego, nie tlko dl punktu mteilnego. zkłdem może bć jednoodn kul o ciężze G zwieszon n linie (s..4). Kul dził n linę w punkcie siłą G, powstnie więc tm ekcj S, pz czm S G. Również n punkt zmocowni dził kul swm ciężem z pośednictwem lin, wwołując tm ekcję R. ( G R ), W ukłdzie kul lin - sufit dziłją więc sił pokzne n sunku.4d, pz czm ich wtości liczbowe są sobie ówne. ) b) c) d) G S R R S G G S G S G Rs..4. Ilustcj zsd dziłni i pzeciwdziłni Cięż cił G jest siłą zewnętzną cznną, sił ekcji R jest siłą zewnętzną bieną, sił S siłą wewnętzną w linie. Zsd szóst (zsd oswobodzeni od więzów) Kżde ciło nieswobodne możn mślowo oswobodzić od więzów, zstępując pz tm dziłnie tch więzów odpowiednimi ekcjmi, nstępnie ozptwć jko ciło swobodne, podlegjące dziłniu sił cznnch oz ekcji więzów.

35 Rozdził : odstwowe pojęci mechniki i zsd sttki 5 Zsdę powższą ilustuje pzkłd pokzn n sunku.5. Dziłnie ścin, n któch opt jest w dwóch punktch swej powiezchni głdk kul o ciężze G, zstąpione jest tu ekcjmi R i R. R G G R Rs..5. Ilustcj zsd szóstej.5. tni do ozdziłu. odć definicję sił, punktu mteilnego i cił doskonle sztwnego.. Omówić pojęcie stopni swobod, co to jest więź pojedncz?. Jkie są odzje sił, obciążeń i ukłdów sił? 4. Zdefiniowć element z jkich mogą bć zbudowne konstukcje budowlne. Omówić sposob łączeni elementów konstukcji pętowch. 5. Wmienić njczęściej stosowne sposob podpci ustojów budowlnch, omówić złożeni dotczące podpó. 6. odć pzkłd schemtów sttcznch konstukcji budowlnch, omówić złożeni dotczące sposobu pzłożeni i dziłni sił n te konstukcje. 7. Wmienić i omówić zsd sttki.

36 4. Ukłd sił zbieżnch 4.. Redukcj płskiego ukłdu sił zbieżnch do wpdkowej W ozdzile.4 udowodniliśm, że siłę dziłjącą n ciło sztwne możn pzesuwć wzdłuż jej linii dziłni; sił zbieżne możn więc tktowć jko pzłożone do jednego punktu. N sunku 4. pzedstwiono tki włśnie ukłd sił,, i 4 pzłożonch do punktu O pewnego cił. ) pln sił ps b) wielobok sił ps O O C C 4 W D W 4 D Rs. 4.. Wzncznie wpdkowej płskiego zbieżnego ukłdu sił: ) metodą kolejnego dodwni; b) z pomocą wieloboku sił Kozstjąc z eguł ównoległoboku, wznczm njpiew wpdkową sił i. Jest to sił O, do któej nstępnie dodjem siłę, ównież kozstjąc z eguł ównoległoboku. Otzmujem w ten sposób siłę OC będącą wpdkową sił, i. Wstcz tez do sił OC dodć osttnią siłę, siłę 4, b otzmć siłę W, któ jest wpdkową dnego ukłdu sił. owższ sposób, tzw. sposób kolejnego dodwni, możn zstosowć do dowolnej liczb sił lecz pz większej ich liczbie, sunek stje się mło czteln. Siłę

37 Rozdził 4: Ukłd sił zbieżnch 7 wpdkową W wznczm więc częściej z pomocą wieloboku sił. Konstukcj tego wieloboku zostł omówion w ozdz..4 pz objśniniu dodwni wektoów swobodnch i pokzn jest n sunku 4.b. Konstuując wielobok sił, nleż pmiętć o nnoszeniu kolejnch sił w obnej skli sił. Wpdkową n plnie sił nleż nsowć tk, b jej post dziłni pzechodził pzez punkt zbieżności kieunków sił ukłdu. Wpdkow W jest sumą geometczną ukłdu sił i. Wżej opisne wzncznie wpdkowej zbieżnego ukłdu sił pzepowdzone bło sposobem geometcznm, co wektoowo zpisujem nstępująco: n W K n i (4.) i W sposobie nlitcznm wznczni wpdkowej kozst się z twiedzeni o zucie sum wektoów (zut sum wektoów n oś ówn się sumie lgebicznej zutów wektoów skłdowch n tę oś po. ozdz..5). zjmując ukłd dwóch wzjemnie postopdłch osi i jko ukłd odniesieni (s. 4.), obliczm : zut wpdkowej n osie ukłdu, czli skłdowe wpdkowej W n i K i cos n n (, ) cos(, ) K cos(, ) n n (4.) W i K n (4.) i sin(, ) sin(, ) K n sin(, n ) Obliczjąc zut wpdkowej w pktce, dobze jest, po nsowniu ukłdu sił n szkicu i zznczeniu kątów α i ostch, jkie twozą kieunki dziłni sił z osią (s. 4.b), zstosowć wzo sumujące lgebicznie mi zutów poszczególnch sił n osie ukłdu współzędnch, pz czm znki tch zutów nleż ustlć n podstwie sunku: W n i n i ± cosα ± cosα ± K ± n cosαn (4.4) W i ± sinα ± sinα ± K ± n sinα n (4.5) i moduł wpdkowej W W W (4.6) kąt kieunkow wpdkowej W (, W ) W tg [ównież: (, W ), cos(, W ) W W sin ] (4.7) W W

38 8 licj c-omnck: echnik ogóln (Uwg: ustljąc kąt kieunkow wpdkowej, biezem pod uwgę znki wtości liczbowch jej zutów n osie i, gdż one decdują o tm, w któej ćwitce obliczn kąt się znjduje). Wpdkow zbieżnego ukłdu sił dził wzdłuż postej pzechodzącej pzez punkt zbieżności kieunków sił tego ukłdu. Kąt ost międz jej kieunkiem osią jest W α W c tg W Rs. 4.. Wpdkow płskiego, zbieżnego ukłdu sił 4.. Redukcj pzestzennego ukłdu sił zbieżnch do wpdkowej Stosując metodę kolejnego dodwni sił zbieżnch w pzestzeni, dochodzim do nstępującego wniosku: zestzenn ukłd sił zbieżnch,, K, n możn zstąpić wpdkową W pzłożoną w punkcie zbieżności, ówną sumie geometcznej tch sił n W K n i (4.8) i Sposób nlitczn wznczni wpdkowej pzestzennego ukłdu sił zbieżnch jest bdziej wgodn od geometcznego, któm jest pzestzenn wielobok sił. Dl dnego ukłdu sił,, K, n (s. 4.) oblicz się sum zutów sił ukłdu n poszczególne osie, czli oblicz się:

39 Rozdził 4: Ukłd sił zbieżnch 9 skłdowe wpdkowej W W W z n i n i n i i i iz moduł wpdkowej n i n i n i cosα i i cosγ i i i cos β z i (4.9) W W W W (4.0) kąt, jkie twoz wpdkow z odpowiednimi osimi ukłdu współzędnch po wliczeniu ich cosinusów W W Wz cos α ; cos β ; cosγ (4.) W W W Spwdzeniem obliczeń może bć podstwienie obliczonch wtości cosinusów kątów do poniższego wzou cos α cos β cos γ (po. wzó.0) ) z b) z α n O γ n n β n W O W z W β W Rs. 4. ) pzestzenn ukłd sił zbieżnch, b) wpdkow pzestzennego ukłdu sił zbieżnch i jej skłdowe zkłd 4.. Znleźć wpdkową tzech sił zbieżnch dziłjącch w jednej płszczźnie n punkt cił mteilnego (s. 4.4). Dne są moduł tch sił: 6 kn, 0 kn, 4 kn i ich kąt kieunkowe: (, ) 60, (, ) 70, (, ) 0. Rozwią znie Skłdowe wpdkowej obliczm, posługując się njpiew wzoem ogólnm:

40 40 licj c-omnck: echnik ogóln (, ) cos (, ) cos ( ) W cos, ( 0,866) 9, kn 6 cos 60 0 cos 70 4 cos 0 6 0,5 0 4 (, ) sin (, ) sin ( ) W sin, ( ) 4 ( 0,5),80 kn 6 sin 60 0 sin 70 4 sin 0 6 0,866 0 ) b) c) (,W) (, ) (, ) (, ) α W α α podziłk sił 4 kn W W W Rs. 4.4 Skłdowe wpdkowej możn ównież obliczć, posługując się sunkiem 4.4b, kozstjąc z zznczonch tm kątów ostch α i ustlm n podstwie sunku znki mi zutów poszczególnch sił n osie i i obliczm ich wtości liczbowe z odpowiednich zleżności tgonometcznch: n ( ± α ) W i cos i cosα cosα i 6 cos 60 4 cos 0 9, kn n ( ± α ) W i sin i sin α sinα i 6 sin sin 0,80 kn oduł wpdkowej: W ( 9,) (,8 ) 4, kn W W 9 Kieunek wpdkowej okeśl kątα W, któ wznczm ze wzou W,8 tg α W,98 ; α W 5 o 8 (jest to mniejsz z kątów, W 9, jkie post dziłni wpdkowej twoz z osią ). Kąt kieunkow wpdkowej znjduje się w tzeciej ćwitce, gdż znki obu jej o o o skłdowch są ujemne: (, W ) Wekto wpdkowej wznczono też n sunku 4.4c sposobem wkeślnm, konstuując wielobok sił.

41 Rozdził 4: Ukłd sił zbieżnch 4 zkłd 4.. Do punktu O pewnego cił zostł pzłożone tz sił, i skieowne tk, jk zznczono n sunku 4.5. jąc dne wtości liczbowe i zwot sił i, okeślić wtość sił, jeżeli widomo, że wpdkow W m bć skieown wzdłuż postej OO' postopdłej do kieunku sił i. Dne: kn, kn, α 0. Rozwiąznie ) N sunku 4.5b wkeślono wielobok sił, któ w tm pzpdku jest czwoobokiem. Wpdkową W okeśl bok D, któ zgodnie z wunkmi zdni musi bć ównoległ do postej OO', czli poziom. O O Z sunku otzmujem bezpośednio: CD C' ' D b) sin α 0,5 kn ożn też pzepowdzić nstępujące ozumownie: jeżeli wpdkow jest postopdł do kieunku sił i, to jej zut n ten kieunek jest ówn zeu, ztem pzjmując, że oś pokw się z kieunkiem dziłni sił i, możem npisć W sinα 0, z czego wnik, że podziłk sił kn Rs Równowg płskiego ukłdu sił zbieżnch W C D Ciło poddne dziłniu płskiego ukłdu sił zbieżnch znjduje się w ównowdze, gd sum geometczn sił dziłjącch n to ciło, czli ich wpdkow, jest ówn zeu. Wielobok tkich sił jest wielobokiem zmkniętm, to zncz tkim, w któm koniec osttniej sił wieloboku znjduje się w początku sił piewszej. Zgodnie z powższm możn sfomułowć geometczn wunek ównowgi płskiego zbieżnego ukłdu sił: b sił zbieżne, dziłjące w jednej płszczźnie znjdowł się w ównowdze, wielobok z nich zbudown musi bć zmknięt. owższ wunek zilustown jest n sunku 4.6, wż go ównnie wektoowe: n W K n i 0 (4.) i

42 4 licj c-omnck: echnik ogóln pln sił O 4 wielobok sił wielobok sił ps 4 Rs Ilustcj geometcznego wunku ównowgi płskiego zbieżnego ukłdu sił (wielobok sił zmknięt) Rozptując zgdnienie ównowgi płskiego zbieżnego ukłdu sił metodą nlitczną, stwiedzm, że wpdkow, któą możem zpisć W W i W j ówn się zeu, gd jej obie skłdowe są ówne zeu, więc mm dw ównni ównowgi płskiego zbieżnego ukłdu sił: n W i 0 ; W i 0 (4.) i n i W skócie zpisujem zwkle powższe ównni nstępująco: X 0 ; Y 0 (4.) Fomułując nlitczne wunki ównowgi, npiszem: b sił zbieżne dziłjące w jednej płszczźnie znjdowł się w ównowdze, sum zutów tch sił n dwie osie ukłdu współzędnch muszą bć ówne zeu, dl kżdej osi z osobn. z ozwiązwniu zgdnień ównowgi dotczącch ukłdów n sił zbieżnch o okeślonch postch dziłni nleż dsponowć dnmi liczbowmi (n ) sił. Wted wtości liczbowe dwóch pozostłch sił niewidomch możn wznczć z wunków ównowgi Równowg tzech sił nieównoległch TWIERDZENIE Tz nieównoległe sił leżące w jednej płszczźnie mogą bć w ównowdze tlko wted, gd poste ich dziłni pzecinją się w jednm punkcie. Rozumownie, któe dowodzi pwdziwości powższego twiedzeni, jest nstępujące: jeżeli wobzim sobie tczę obciążoną tzem siłmi, Q i F pzłożonmi

43 Rozdził 4: Ukłd sił zbieżnch 4 odpowiednio w punktch, i C (s. 4.7), to siłę i Q możem zstąpić wpdkową W, któej post dziłni l pzechodzi pzez punkt D. W ten sposób zedukowliśm ukłd do dwóch sił W i F. Skoo te dwie sił mją bć w ównowdze, to zgodnie z dugą zsdą sttki muszą mieć wspólną postą dziłni. Jest to możliwe tlko wted, gd post dziłni sił F pzechodzi pzez punkt D. W D C F Q W F l Q Q Rs Równowg tzech sił nieównoległch 4.4. Równowg pzestzennego ukłdu sił zbieżnch zestzenn ukłd sił zbieżnch możn zstąpić jedną siłą wpdkową n W i i Ukłd tki znjduje się więc w ównowdze, gd jego wpdkow jest ówn zeu. n W i 0 (4.4) i zestzenn wielobok sił jest wted zmknięt (jest to geometczn wunek ównowgi) z zpisu nlitcznego W Wi W j Wzk 0. wnikją tz ównni ównowgi pzestzennego, zbieżnego ukłdu sił: n n W i 0; W 0 i i ; W z 0 i iz (4.5) i Równni powższe zpisujem njczęściej w uposzczon sposób: X 0 ; Y 0 ; Z 0 (4.5) n

44 44 licj c-omnck: echnik ogóln nlitczne wunki ównowgi pzestzennego, zbieżnego ukłdu sił bzmią nstępująco: b sił zbieżne znjdowł się w ównowdze, sum zutów tch sił n tz osie ukłdu współzędnch muszą bć ówne zeu dl kżdej osi z osobn. Z powższch ozwżń wnik, że pz ozwiązwniu zgdnień ównowgi dotczącch n sił pzestzennch zbieżnch, o okeślonch postch dziłni, powinno się dsponowć dnmi liczbowmi (n ) sił. Wtości liczbowe pozostłch tzech sił niewidomch możn wznczć z ównń ównowgi Rozkłd i ównowżenie sił dwiem siłmi o zdnch kieunkch dziłni Rozkłd i ównowżenie sił dwiem siłmi o zdnch kieunkch dziłni to dw spośód czteech tzw. podstwowch zdń sttki, n któch opieją się kolejne zdni dotczące pzeksztłcni ukłdów sił. Dw nstępne podstwowe zdni sttki ozkłd i ównowżenie sił tzem siłmi o zdnch kieunkch dziłni zostną omówione w ozdzile Rozkłd sił n dwie sił o zdnch kieunkch dziłni Zgdnienie spowdz się do znlezieni tkich dwóch sił S i S, któch sum geometczn ówn się sile S S (4.6) Z ozwżń w popzednich ozdziłch wiem, że jeżeli sił jest wpdkową sił S i S, to kieunki sił S i S muszą leżeć w jednej płszczźnie z siłą i bć zbieżne z nią w jednm punkcie (po. s. 4.8, gdzie poste s i s są kieunkmi szuknch sił). Rozwiąznie sposobem wkeślnm tego zdni poleg n nsowniu wieloboku sił, w któm jeden bok jest w obnej skli nniesioną siłą, dw pozostłe boki twozące tójkąt z siłą są popowdzone ównolegle do kieunków s i s, pzez koniec i początek wekto (s. 4.8b).

45 Rozdził 4: Ukłd sił zbieżnch 45 ) b) s S S c) s s b ) S s S S S Rs Rozkłd sił n dwie skłdowe Nleż zuwżć, że obojętne jest dl ozwiązni zdni, cz kieunek wekto S pzepowdzim n wieloboku sił pzez początek, cz pzez koniec wekto sił (po. s. 4.8b i b'). Długości odcinków twozącch otzmne boki tójkąt pzedstwiją, w obnej podziłce, moduł sił S i S. Zwot tch sił otzmujem bioąc pod uwgę, że sił jest ich wpdkową, czli jej początek jest też początkiem jednego z wektoów sił S, koniec końcem dugiego z nich. ówim w tm pzpdku, że obieg stzłek w tm wieloboku sił jest niezgodn. Rozwiąznie nlitczne zcznm od obni ukłdu współzędnch O, nstępnie wkozstujem twiedzenie o zutch wpdkowej n osie tego ukłdu. Dobze jest, dl ułtwieni obliczeń, jedną z osi pzjąć wzdłuż postej dziłni jednej z nieznnch sił S (n s. 4.9b oś pzjęto współliniowo z siłą S ). ) b) c) S β O O S O β S S Rs Rozkłd sił n dwie skłdowe metodą nlitczną

46 46 licj c-omnck: echnik ogóln Nieznne zwot sił S i S zkłdm dowolnie. W związku z tm, że zut wpdkowej n oś ówn się sumie zutów sił skłdowch n tę oś, możem moduł sił S i S wznczć z poniższch ównń: n Si; i n cosα S S cos β Si; sinα S sin β i Rozwiązując powższ ukłd dwóch ównń z dwiem niewidommi, otzmujem: sinα S sin β cosα S S cosβ ( α β ) sinα sin cosα cosβ cosα sinαctgβ sinβ sinβ Znk minus w wżeniu n S wskzuje, że zwot sił S jest odwotn niż złożono. N sunku 4.9c sił S nniesione są n pln sił z włściwmi zwotmi Zównowżenie sił dwiem siłmi o zdnch kieunkch dziłni Zdnie poleg n znlezieniu tkich dwóch sił R i R, któch wpdkow zównowż siłę. Wektoow zpis tego zdni jest R R 0 Sił wz z siłmi R i R jest w ównowdze, musi ztem leżeć z tmi siłmi w jednej płszczźnie i bć z nimi zbieżn w jednm punkcie (po. twiedzenie z ozdz. 4..), oz musi twozć wz z tmi siłmi wielobok zmknięt. Zbudujem więc wielobok sił, w tm pzpdku tójkąt (s. 4.0b), któego piewszm bokiem będzie sił nsown w pzjętej skli sił, dw nstępne boki ównoległe do kieunków i wznczą moduł sił R i R, pz czm obieg stzłek w tm tójkącie jest zmknięt, gdż sum sił R i R musi ównowżć siłę. Rozwiąznie tego zdni óżni się od ozwiązni zdni popzedniego tm, że zwot otzmnch w jego wniku sił R są pzeciwne do zwotów sił S z zdni popzedniego, zilustownego n sunku 4.9.

47 Rozdził 4: Ukłd sił zbieżnch 47 ) b) wielobok sił c) pln sił wielobok sił pln sił ps R R R R Rs Zównowżenie sił dwiem siłmi metodą geometczną W metodzie nlitcznej ozwiązni (po. s. 4.) ównni, z któch wliczm sił R, są ównnimi ównowgi: X ; cosα R R cos β 0 0 Y 0 ; sin α R sin β 0 W wniku ozwiązni powższego ukłdu ównń otzmujem wżeni n wtości liczbowe sił ównowżącch: sinα R sin β sin( α β ) R (znk ujemn świdcz o tm, że sił R m zwot pzeciwn do złożonego n s. sin β 4.b). ) b) c) β O β R R O R R Rs. 4.. Zównowżenie sił dwiem siłmi metodą nlitczną N plnch sił, n sunkch 4.0c i 4.c, sił ównowżące siłę nniesione są z włściwmi zwotmi. zkłd 4.. Głdk, jednoodn kul o msie m 00 kg spoczw n dwóch głdkich płszczznch nchlonch do poziomu pod kątmi wnoszącmi 0 i 60

48 48 licj c-omnck: echnik ogóln (s. 4.). Nleż wznczć ekcje wstępujące w punktch stku kuli z obu płszczznmi. ) b) c) O o 60 o 0 G R G G O o 60 o 0 R o 0 o 60 R R ps Rs. 4. Rozwią znie Kul jest ciłem nieswobodnm, n któe dził sił ciężkości G będąc tu siłą cznną. Obliczm njpiew cięż kuli. G m g odstwijąc do powższego wzou m 00 kg i g 9,8 m s, otzmujem G mg 00 9,8 kg m s 98 N b wznczć ekcje, kulę oswobdzm od więzów, usuwjąc mślowo płszczzn, n któch spoczw i pzkłdm ekcje więzów oznczone pzez R i R (s. 4.b). W punktch stku i nie wstępuje tcie, więc ekcje są postopdłe do powiezchni kuli i wobec tego ich poste dziłni pzechodzą pzez śodek O, pzez któ pzechodzi ównież post dziłni sił ciężkości G. Kul znjduje się w spocznku, ztem sił G, R i R są w ównowdze i muszą twozć zmknięt wielobok sił w tm pzpdku tójkąt (s. 4.c). W ten sposób otzmliśm ozwiąznie metodą wkeślną (nleż tlko w obnej skli sił odcztć długości boków tójkąt odpowidjące modułom odpowiednich ekcji). Jednocześnie z otzmnego tójkąt, któ jest tójkątem postokątnm, gdż kąt miedz płszczznmi podpci jest post, wnik bezpośednio, że: R G cos N R G sin , 5 N zkłd 4.4. Ciło o ciężze G zostło zwieszone w sposób podn n sunku 4. n dwóch z złożeni niewżkich linch. Obliczć npięci obu lin. Rozwią znie Zgodnie z szóstą zsdą sttki oswobodzm zwieszone n linch ciło mteilne od więzów, pzecinjąc mślowo lin i zstępujem oddziłwni lin ich ekcjmi