Ruch dwu i trójwymiarowy

Transkrypt

1 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 1 W Y K Ł A D Ruch dwu i tójwmiaow 3-1 Wekto pzemieszczenia. JeŜeli uch odbwa się w dwu lub tzech wmiaach, to pzemieszczenie ma okeśloną zaówno watość, jak i kieunek w pzestzeni. Wielkość okeślająca to pzemieszczenie nazwa się wektoem pzemieszczenia. Wekto będziem oznaczać dodając stzałkę nad liteą : A.Watość wektoa, czli jego długość oznacza się A lub kótko A Dodawanie wektoów pzemieszczenia. Rsunek 3-1 pokazuje dogę cząstki, któa pousza się z punktu P 1 do punktu P i następnie do punktu P 3. Pzemieszczenie z punktu P 1 do punktu P jest epezentowane pzez wekto A, a pzemieszczenie z punktu P do punktu P 3 pzez wekto B. W ezultacie pzemieszczenie z punktu P 1 do punktu P 3, oznaczone jako C jest sumą dwu kolejnch pzemieszczeń A i B : Rsunek 3-1 C A + B = 3-1 Dwa wekto dodaje się gaficznie w ten sposób, Ŝe koniec jednego umieszcza się w początku dugiego ( Rsunek 3- ). Sumaczn wekto zaczna się w początku piewszego, a kończ w końcu dugiego. RównowaŜną metodą dodawania wektoów jest metoda zwana metodą ównoległoboku, pzedstawiona na sunku 3-3. Pzekątna ównoległoboku utwozonego pzez wekto A i B twoz wekto C. Rsunek 3-3 pokazuje, Ŝe nie ma óŝnic w jakiej kolejności dodają się wekto: A + B = B + A Rsunek 3- Rsunek 3-3

2 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz Własności wektoów. Wiele wielkości opisanch jest w fizce popzez podanie ich watości i kieunku w pzestzeni, a dodaje się je tak samo jak pzemieszczenia. Pzkładami takich wielkości są np. pędkość, pzspieszenie, moment pędu i siła. Takie wielkości nazwam wektoami. Wielkości mające okeśloną watość, ale nie związane z połoŝeniem w pzestzeni nazwam skalaami. Wekto są to wielkości posiadające watość, zwot i kieunek i podlegające okeślonm egułą dodawania. Dwa wekto są sobie ówne, jeŝeli posiadają tę samą watość ( inaczej długość ), zwot i kieunek. Konsekwencją tego stwiedzenia jest fakt, Ŝe jeŝeli wekto pzesuniem ównolegle nie zmieniając jego watości, to wekto ten nie ulegnie zmianie. Tak więc wszstkie wekto na sunku 3-4 są sobie ówne. Rsunek 3-4 Rsunek 3-5 MnoŜenie wektoów pzez skala. Wekto A pomnoŝon pzez skala s daje wekto B = sa, któ ma długość s A i jest ównoległ do wektoa A i antównoległ do wektoa A ( ma zwot pzeciwn ) gd s jest ujemne. Tak więc wekto - A ma tę samą watość, ale zwot pzeciwn niŝ A i w ezultacie A + (- A ) = 0 Odejmowanie wektoów.

3 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 14 Odjęcie wektoa B od wektoa A oznacza dodanie wektoa pzeciwnego czli - B. Wnikiem jest wekto C = A + (- B ) = A - B ( Rsunek 3-5a ). RównowaŜną metodą znalezienia wektoa C jest złączenie wektoów A i B końcami i powadzenie wektoa C od wektoa B do A ( Rsunek 3-5b ). Składowe wektoa Składową wektoa wzdłuŝ postej w pzestzeni nazwam długość zutu tego wektoa na tę postą. Znajduje się go opuszczając linię pionową z końca wektoa na postą, jak jest to pokazane na sunku 3-6. Składowe wektoa A wzdłuŝ osi x, i z są pokazane na sunku 3-7 w płaszczźnie x i nazwam je składowmi postokątnmi. NaleŜ zwócić uwagę, Ŝe watości składowch zaleŝą od układu współzędnch podczas gd sam wekto nie zaleŝ od wbou układu współzędnch. Składowe postokątne są pzdatne pz dodawaniu i odejmowaniu wektoów. JeŜeli θ jest kątem międz wektoem A i osią x to: Rsunek 3-6 A x = A cos θ 3- A = A sin θ 3-3 Gdzie A jest watością A JeŜeli znam A x i A to moŝem znaleźć kąt θ : Rsunek 3-7 A tg θ = 3-4 Ax Watość A obliczm z twiedzenia Pitagoasa: A = + 3-5a A x A W tzech wmiaach : A = A + A + A 3-5b x z Składowe mogą bć dodatnie i ujemne: JeŜeli A zwócon jest w kieunku ujemnm osi x to A x jest ujemne. Rozpatzm dwa wekto A i B, któe leŝą w płaszczźnie x. Składowe postokątne kaŝdego z

4 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 15 wektoów i składowe wektoa C = A + B są pokazane na sunku 3-8. Widzim, Ŝe składowe wektoa C = A + B moŝna zapisać jako C x = A x + B 3-6a i C = A + B 3-6b Rsunek 3-8 Wekto jednostkowe - weso. Wekto jednostkow ( weso ) jest to bezwmiaow wekto ( bez jednostki ), któego długość ( watość ) jest ówna jedności. Wekto A -1 A jest pzkładem wektoa jednostkowego mającego zwot i kieunek wektoa A. Wekto jednostkowe, któe są skieowane wzdłuŝ osi x, i z są pzdatne pz pzedstawianiu wektoów za pomocą ich składowch postokątnch. Najczęściej weso te są oznaczane za pomocą smboli î, ĵ, kˆ. Wted wekto A x î ma watość A x i jest skieowan w dodatnim kieunku osi x ( lub ujemnm jeŝeli A x jest ujemne ). Ogólnie wekto A moŝna zapisać jako sumę tzech wektoów, z któch kaŝd jest ównoległ do osi współzędnch (Rsunek 3-9): Rsunek 3-9

5 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 16 A = A x î + A ĵ + A z kˆ 3-7 Dodawanie dwu wektoów A i B moŝe bć zapisane za pomocą wektoów jednostkowch w następując sposób: A + B =( A x î + A ĵ + A z kˆ ) + (B x î + B ĵ + B z kˆ ) = =( A x + B x ) î + (A + B ) ĵ + (A z +B z ) kˆ Pomień wodząc, pędkość i pzspieszenie. Pomień wodząc i wekto pędkości. Pomień wodząc cząstki jest to wekto popowadzon z początku układu współzędnch x do punktu mateialnego. Dla cząstki znajdującej się w punkcie (x,), jej pomień wodząc dan jest ównaniem: P 1 w t 1 P w t = xî + ĵ 3-9 Rsunek 3-10 pzedstawia to po któm pousza się cząstka. W pewnej chwili czasu t 1 cząstka jest w punkcie P 1 i ma pomień wodząc 1 ; w chwili t pzemieściła się do punktu P i jej połoŝenie okeślone jest pzez pomień wodząc. Zmiana połoŝenia cząstki jest opisana Rsunek 3-10 Stczna do kzwej w punkcie P 1 jest z definicji kieunkiem wektoav w punkcie P 1 wektoem pzemieszczenia : = Rsunek 3-11

6 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 17 Stosunek wektoa pzemieszczenia do czasu, w któm to pzemieszczenie nastąpiło jest śednim wektoem pędkości : v ś = 3-11 Wekto ten jest skieowan tak jak wekto pzemieszczenia. Watość wektoa pzemieszczenia jest mniejsza niŝ doga pzebta wzdłuŝ kzwej, chba Ŝe cząstka pousza się po postej. JeŜeli jednak będziem ozpatwać coaz mniejsze pzedział czasu, to watość wektoa pzemieszczenia będzie zbliŝać się do watości dogi wzdłuŝ kzwej i kieunek będzie zbliŝać się do kieunku stcznej wstawionej w początku ( Rsunek 3-11 ). Wekto pędkości chwilowej moŝna zdefiniować jako ganicę wektoa śedniej pędkości gd dąŝ do zea : v = lim 0 d = dt 3-1 Wekto pędkości chwilowej jest pochodną pomienia wodzącego po czasie. Jego watość jest ówna pędkości dv/dt, a jego kieunek pokwa się ze stczną w danm punkcie kzwej. Ab obliczć pochodną w ównaniu 3-1 pzepiszm pomienie wodzące wstawiając ich składowe: Wted v = = 1 = 1 1 ( x x ) î + ( ) ĵ = x î + ĵ lim = t 0 lim 0 xî + ĵ = lim 0 x î + lim 0 ĵ i ostatecznie: v = dx d iˆ + ˆj = vxiˆ + v dt dt ˆj 3-13 Pędkość względna Pędkość względną w pzpadku układów dwu- lub tójwmiaowch oblicza się analogicznie jak dla pzpadku jednowmiaowego. NaleŜ jednak w tm wpadku uwzględnić fakt, Ŝe pędkości nie muszą leŝeć na jednej postej. JeŜeli cząstka pousza się z pędkością pousza się z pędkością układu B będzie dana waŝeniem: v v cza względem układu współzędnch A, któ z kolei v AB względem innego układu współzędnch B, to pędkość cząstki względem czb = vcza + vab 3-14

7 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 18 v cg Rsunek 3-1 Pędkość względna w układzie dwuwmiaowm Na pzkład, jeŝeli człowiek znajduje się na platfomie wagonu i pousza się z pędkością v pc względem wagonu, a wagon pousza się względem ziemi z pędkością względem ziemi jest sumą tch dwu pędkości : v v cg ( sunek 3-1a i b ) to pędkość człowieka + v pg = v pc cg ( sunek 3-1c ). Pędkość obiektu A względem obiektu B jest taka sama co do watości i pzeciwnie skieowana jak pędkość obiektu B względem obiektu A. Na pzkład: v pc v = cp, gdzie cp v jest pędkością wagonu względem człowieka. Dodawanie pędkości względnch pzepowadza się tak samo jak dodawanie pzemieszczeń; gaficznie popzez łączenie początku jednego wektoa z końcem dugiego, lub analitcznie popzez uŝcie składowch. Wekto pzspieszenia. Wekto śedniego pzspieszenia jest ówn stosunkowi zmian wektoa pędkości chwilowej do czasu : a ś v = 3-15 Wekto pzspieszenia chwilowego ówn jest ganic, do któej dąŝ powŝsz stosunek gd dąŝ do zea, innmi słow, jest on pochodną wektoa pędkości po czasie: a v dv lim = 0 dt = 3-16 Ab wznaczć pzspieszenie chwilowe pzedstawm wekto postokątnch: v za pomocą jego współzędnch

8 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 19 Wted: v = v i + v j + v k = x z dx i + dt d dt j + dz k dt a dv dv x i + dt dt dv d x d z d z j + k = i + j + dt dt dt dt = = a i + a j + a k x z 3-17 JeŜeli wekto jest stał, to jego watość i kieunek muszą pozostać stałe. JeŜeli te wielkości się zmieniają to, oczwiście, wekto teŝ się zmienia. Tak więc, np. samochód mimo, iŝ pousza się ze stałą pędkością ale po zakęcie dogi to ma pewne pzspieszenie, poniewaŝ wekto pędkości zmienia się co do kieunku. Ruch obiektu pouszającego się po okęgu jest częstm pzpadkiem uchu, w któm pędkość co do watości pozostaje stała, a kieunek ulega zmianie. Taki uch będziem omawiać w jednm z dalszch wkładów. 3-4 Rzut ukośn. v x v (x 0, 0 ) θ 0 v x Rsunek 3-13 Rsunek 3-13 pzedstawia punkt mateialn wzucon z pędkością początkową v 0 pod kątem θ 0 (teta) w stosunku do osi poziomej. Niech punkt początkow wzucenia ma współzędne (x 0, 0 ); jest dodatnie w kieunku do gó i x jest dodatnie na pawo. Pędkość początkowa ma składowe: v0 cos x = v0 θ0 3-18a = v0 θ0 3-18b v0 sin JeŜeli nie ma opou powietza to cząstka ulega pzspieszeniu pod wpłwem sił gawitacji skieowanej do dołu:

9 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 0 R zasięg Rsunek 3-14 a x = a i a = g 3-19b PoniewaŜ pzspieszenie jest stałe moŝem zastosować ównania kinematczne omawiane w popzednim wkładzie(ii). Składowa pozioma pędkości jest stała, poniewaŝ pzspieszenie w kieunku poziomm jest ówne 0. v x = v 0 x Składowa pionowa zmienia się waz z czasem zgodnie z ównaniem -8, gdzie a = -g: v = v 0 gt Zwóćm uwagę, Ŝe v x nie zaleŝ od v i na odwót: Składowe pozioma i pionowa zutu ukośnego są od siebie niezaleŝne. MoŜna to zademonstować zzucając ze stołu dwie piłki : jedną upuszczając pionowo, a dugą jednocześnie zucając poziomo. Obie piłki udezą o podłogę w tej samej chwili. Pzemieszczenie x i będzie dane ównaniami:

10 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz 1 (Patz ównanie -11). Oznaczenia x(t) i (t) podkeślają, Ŝe x i są funkcjami czasu. JeŜeli składowa pędkości początkowej jest znana, to czas po któm cząstka osiąga wsokość moŝna znaleźć z ównania 3-0b. PołoŜenie poziome cząstki po tm czasie moŝna obliczć kozstając z ównania 3-0a. Całkowitą odległość jaką cząstka pzebwa w poziomie podczas całego zutu ukośnego nazwam zasięgiem. Ogólne ównanie opisujące to cząstki (x) moŝem otzmać eliminując czas z ównań 3-0a i 3-0b. JeŜeli podstawim x 0 = 0 i 0 = 0, otzmam t = x/v 0x z ównania 3-0a. Podstawiając ten czas do ównania 3-0b obliczm (t): Wpisując składowe pędkości otzmam to, po któm pousza się cząstka. Równanie to opisuje paabolę postaci = ax + bx pzechodzącą pzez początek układu 3-1 Równanie tou w zucie ukośnm współzędnch. Rsunek 3-14 pzedstawia to uchu cząstki wkonującej zut ukośn i zaznaczone składowe pędkości w óŝnch punktach. JeŜeli poziom początkow i końcow są takie same, to zasięg zutu ukośnego moŝna policzć bazując na watości pędkości początkowej i kąta pod jakim cząstka została wzucona. W tm celu policzm całkowit czas T lotu cząstki Znajdziem go podstawiając do ównania 3-0b 0 = 0 i = 0: W ten sposób czas całego lotu wnosi: A zasięg jest ówn:

11 Wkład z fizki. Piot Posmkiewicz WaŜenie to moŝe bć uposzczone popzez podstawienie zaleŝności tgonometcznej: Wted: Zasięg w zucie ukośnm 3-