IKONY CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "IKONY CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI"

Transkrypt

1 CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI 1.1. Okąg opisny n wielokącie (s. 10) Zdni utwljące (s. ) 1.. Okąg wpisny w wielokąt (s. 4) Zdni utwljące (s. 35) 1.3. Wielokąty foemne (s. 37) Zdni utwljące (s. 43) Zdni do ozwiązywni w gupie (s. 45) 1.4. Kok do egzminu (s. 46) IKONY zdnie tudniejsze klkulto

2 1.1. Okąg opisny n wielokącie Moj kls ognizuje biwk i mmy poblem, jk ozstwić nsze nmioty, by z kżdego nmiotu był tk sm odległość do wspólnego nmiotu, któy nzwliśmy świetlicą. Jeżeli odległość m być tk sm, nleży nysowć okąg, któego śodkiem będzie nmiot świetlic, nmioty uczestników tzeb umieścić n tym okęgu. Odległość między kżdym nmiotem świetlicą będzie ówn długości pomieni nysownego okęgu. Wszyscy będą mieli do pokonni tką smą odległość. nmiot 1 nmiot świetlic nmiot 3 nmiot 5 nmiot 4 Pzykłd 1.1. Nysuj tzy niewspółliniowe punkty K, L, M. Znjdź punkt T, któego odległość od kżdego z punktów K, L i M jest tk sm. K M Zznczyliśmy punkty K, L i M. Te punkty nie są współliniowe. Musimy znleźć punkt T, któego odległość od kżdego z punktów K, L i M będzie tk sm. L M Rysujemy odcinek KM, nstępnie symetlną tego odcink. N symetlnej odcink KM leżą wszystkie punkty, któych odległość od punktu K jest ówn odległości od punktu M. K L 10 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

3 M Rysujemy odcinek KL oz symetlną tego odcink. N symetlnej odcink KL leżą wszystkie punkty, któych odległość od punktu K jest ówn odległości od punktu L. K L M K T Wyznczyliśmy punkt T, któego odległość od punktów K, M i L jest tk sm. L M Możemy zuwżyć, że symetln odcink ML też pzechodzi pzez punkt T. K T L Punkt T, któego odległość od punktów K, L i M jest tk sm, jest śodkiem okęgu opisnego n tójkącie KLM. K M T Punkt T, któego odległość od punktów K, L i M jest tk sm, jest śodkiem koł opisnego n tójkącie KLM. L Jeżeli wszystkie wiezchołki tójkąt leżą n okęgu, to mówimy, że okąg jest opisny n tym tójkącie. Jeżeli wszystkie wiezchołki tójkąt leżą n okęgu, to możemy powiedzieć, że tójkąt jest wpisny w ten okąg Okąg opisny n wielokącie 11

4 K T M Jeżeli odległość wszystkich wiezchołków tójkąt od śodk koł jest ówn pomieniowi tego koł, to możemy powiedzieć, że tójkąt jest wpisny w to koło. L Jeżeli odległość wszystkich wiezchołków tójkąt od śodk koł jest ówn pomieniowi tego koł, to mówimy, że koło jest opisne n tójkącie. M Jeżeli punkt T jest śodkiem okęgu opisnego n tójkącie KLM, to długość pomieni tego okęgu jest ówn odległości kżdego z punktów K, L i M od punktu T. K T L M K T Jeżeli punkt T jest śodkiem koł opisnego n tójkącie KLM, to długość pomieni tego koł jest ówn odległości kżdego z punktów K, L i M od punktu T. L Pzykłd 1.. Nysuj dowolny tójkąt ABC. Skonstuuj okąg opisny n tym tójkącie. Konstuujemy symetlne dwóch boków tójkąt ABC. Punkt pzecięci symetlnych boków oznczmy liteą S. Punkt S jest śodkiem okęgu opisnego n tym tójkącie. 1 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

5 Punkt S łączymy z wiezchołkiem B. Odcinek BS jest pomieniem okęgu opisnego n tójkącie ABC. Keślimy okąg o śodku w punkcie S opisny n tójkącie ABC. Pzykłd 1.3. Nysuj tójkąt: ) ostokątny, b) postokątny, c) ozwtokątny. Nysuj symetlne boków w kżdym z tych tójkątów. Wyzncz pomień okęgu opisnego n dnym tójkącie i nysuj ten okąg. ) b) c) Śodek okęgu opisnego n tójkącie ostokątnym leży wewnątz tego tójkąt. Śodek okęgu opisnego n tójkącie postokątnym leży n pzeciwpostokątnej tego tójkąt. Śodek okęgu opisnego n tójkącie ozwtokątnym leży n zewnątz tego tójkąt. N kżdym tójkącie możn opisć okąg Okąg opisny n wielokącie 13

6 Pomieniem okęgu opisnego n tójkącie jest odcinek łączący śodek tego okęgu z dowolnym wiezchołkiem tego tójkąt. ) b) c) O O O Pzykłd 1.4. Nysuj tójkąt ównoboczny o boku długości 6 cm. Oblicz pole i obwód koł opisnego n tym tójkącie. Aby obliczyć pole i obwód koł opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 6 cm musimy wyznczyć długość pomieni tego koł. Nysowłem tójkąt ównoboczny i wyznczyłem śodek koł opisnego n tym tójkącie, nstępnie nysowłem koło. 6 cm 6 cm 6 cm Popowdzone symetlne boków tego tójkąt zwieją wysokości tójkąt x, x 3 x h x x 30 x 3 14 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

7 Wysokość tójkąt ównobocznego zwie się w dwusiecznej kąt wewnętznego tego tójkąt. 6 cm 6 cm cm Kozystjąc ze wskznej wyżej zleżności między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 30o, 60o, wyznczyłm długość pzeciwpostokątnej tego tójkąt, któ jest długością pomieni koł opisnego n tym tójkącie cm Jeżeli w tójkącie postokątnym o kątch ostych 30, 60 długość pzeciwpostokątnej jest ówn wówczs długości pzypostokątnych są odpowiednio ówne 1 3 i / = 3 = 6 / 3 3 = 6 3 / : 3 = 3 Długość pomieni koł opisnego n tym tójkącie ównobocznym jest ówn 3 cm. Kozystjąc z wzou oz pmiętjąc, że obwód wynosi obliczymy pole i obwód koł Okąg opisny n wielokącie 15

8 P = π ( ) P = π 3 P = 1π obwód = π obwód = π 3 obwód = 4π 3 Pole koł opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 6 cm jest ówne 1π cm, obwód tego koł wynosi 4π 3 cm. Pzykłd 1.5. Wyzncz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości. 60 Wykozystujemy zleżność między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 30, 60 do wyznczeni długości pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym = / 3 = / 3 3 = 3 / : 3 3 = 3 Długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku 3 długości jest ówn Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

9 Pzykłd 1.6. Nysuj kwdt, postokąt, ównoległobok, omb i tpez. Spwdź, n któym z tych czwookątów możn opisć okąg. Jeżeli wszystkie wiezchołki czwookąt leżą n okęgu, to okąg ten jest opisny n tym czwookącie. Jeżeli wszystkie wiezchołki czwookąt leżą n okęgu, to czwookąt ten jest wpisny w okąg. Nleży spwdzić, czy symetlne boków czwookąt pzecinją się w jednym punkcie. Czwookąt Czwookąt i symetlne jego boków Wniosek S N tym kwdcie możn opisć okąg. S N tym postokącie możn opisć okąg. N tym ównoległoboku nie możn opisć okęgu. N tym ombie nie możn opisć okęgu. N tym tpezie nie możn opisć okęgu Okąg opisny n wielokącie 17

10 Pzykłd 1.7. Nysuj kwdt o boku długości 8 cm. Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tym kwdcie. S Nysowłm kwdt i wyznczyłm śodek S okęgu opisnego n nim śodek tego okęgu jest punktem pzecięci symetlnych boków kwdtu. Punkt S jest śodkiem koł opisnego n tym kwdcie. Jeżeli punkt S jest śodkiem koł opisnego n kwdcie, to długość pomieni tego koł jest ówn odległości kżdego z wiezchołków tego kwdtu od punktu S cm Nysowłm okąg opisny n kwdcie odcinek łączący wyznczony śodek okęgu z jednym z wiezchołków tego kwdtu jest pomieniem tego okęgu. 8 cm 45 4 cm 8 cm d Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

11 Kozystjąc z powyższej zleżności między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 45o, 45o, wyznczyłm długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie cm cm Długość pomieni okęgu opisnego n tym kwdcie jest ówn 4 cm. Pzykłd 1.8. Wyzncz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości Rysujemy okąg opisny n kwdcie pomieniem tego okęgu jest odcinek łączący wyznczony śodek okęgu z jednym z wiezchołków tego kwdtu Z pzypomninej w popzednim pzykłdzie włsności dotyczącej zleżności między długościmi boków tójkąt postokątnego o kątch ostych 45, 45 wynik, że długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie jest ówn. d Długość śednicy okęgu opisnego n kwdcie jest ówn długości pzekątnej tego kwdtu. Długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości jest ówn. = d d = 1.1. Okąg opisny n wielokącie 19

12 Jeżeli wszystkie wiezchołki wielokąt leżą n okęgu, mówimy, że ten okąg jest opisny n tym wielokącie. Jeżeli wszystkie wiezchołki wielokąt leżą n okęgu, to możn też powiedzieć, że ten wielokąt jest wpisny w okąg. Pzykłd 1.9. Uzsdnij, że jeżeli okąg możn opisć n czwookącie, to sumy mi pzeciwległych kątów tego czwookąt są ówne. Okąg jest opisny n czwookącie, jeżeli wszystkie wiezchołki czwookąt leżą n tym okęgu. Pomienie okęgu opisnego n czwookącie popowdzone do wiezchołków tego czwookąt dzielą go n cztey tójkąty ównomienne. 0 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

13 γ β W tójkątch ównomiennych oznczmy kąty o ównych mich. γ δ δ α α β γ δ δ α γ β α β Sum mi pzeciwległych kątów czwookąt oznczonych koloem żółtym i pomńczowym jest ówn α + β + γ + δ. Sum mi pzeciwległych kątów czwookąt oznczonych koloem zielonym i niebieskim jest ówn α + β + γ + δ. Jeżeli okąg możn opisć n czwookącie, to sumy mi pzeciwległych kątów tego czwookąt są ówne. Możn tkże pokzć, że jeżeli sumy mi pzeciwległych kątów czwookąt są ówne, to n tym czwookącie możn opisć okąg. Pzykłd Wykozystując włsność dotyczącą mi kątów czwookąt, n któym możn opisć okąg, uzsdnij, że n ównoległoboku, któy nie jest postokątem, nie możn opisć okęgu. W ównoległoboku miy pzeciwległych kątów są ówne. α = 180 β 1.1. Okąg opisny n wielokącie 1

14 Ztem pwdziw byłby ówność: α + α = β + β ( 180 ) ( 180 ) β + β = β + β 180 β β = β + β 360 β = β 4β = 360 β = 90 Sum mi kątów wewnętznych ównoległoboku leżących pzy jednym boku jest ówn 180. α = 180 β = = 90 Z obliczeń wynik, że mi kżdego kąt ównoległoboku musi być ówn 90º, ztem okąg możn opisć tylko n tkim ównoległoboku, któy jest postokątem. N ównoległoboku, któy nie jest postokątem, nie możn opisć okęgu. Zdni utwljące 1 Wskż, n któym z wielokątów opisno okąg. Uzsdnij odpowiedź. ) b) c) d) e) f) Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

15 Skonstuuj okąg opisny n tójkącie: ) o bokch długości 3 cm, 4 cm i 5 cm, b) postokątnym o pzypostokątnych długości 5 cm i 6 cm, c) ównomiennym o bokch długości 4 cm, 4 cm i 6 cm. 3 Oceń pwdziwość poniższych zdń. ) Śodek okęgu opisnego n tójkącie o bokch długości 3 cm, 3 cm, 3 cm leży n zewnątz tego tójkąt. b) Śodek okęgu opisnego n tójkącie, któego miy dwóch kątów wynoszą 30 i 50, leży n zewnątz tego tójkąt. c) Śodek okęgu opisnego n tójkącie, któego miy dwóch kątów wynoszą 60 i 50, leży n boku tego tójkąt. d) Śodek okęgu opisnego n tójkącie, któego miy dwóch kątów wynoszą 45 i 45, leży wewnątz tego tójkąt. 4 Oceń pwdziwość poniższych zdń. ) Długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości 10 cm jest ówn 5 cm. TAK TAK TAK TAK TAK NIE NIE NIE NIE NIE b) Długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 1, cm jest ówn 0, 4 3 cm. c) Długość okęgu opisnego n postokącie o bokch długości 4 cm i 8 cm wynosi 8π 10 cm. d) Długość okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 1 cm jest ówn 8π cm. TAK TAK TAK 5 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości: ) 4 cm, b) 15 cm, c) 6 3 cm, d) 3 6 cm. 6 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o polu ównym: ) 16 3 cm, b) 9 3 cm, c) 3 3 cm, d) 6 3 cm. 7 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o boku długości: ) 5 cm, b) 15 cm, c) 3 cm, d) 5 6 cm. 8 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o polu ównym: ) 36 cm, b) 49 cm, c) 48 cm, d) 108 cm. NIE NIE NIE 9 Oblicz długość okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości: ) 6 cm, b) 1 cm, c) 8 3 cm, d) 4 6 cm Okąg opisny n wielokącie 3

16 10 Oblicz pole koł opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości: ) 9 cm, b) 4 cm, c) 5 3 cm, d) 5 6 cm. 11 Oblicz długość okęgu opisnego n kwdcie o boku długości: ) 3 cm, b) 10 cm, c) 6 cm, d) 6 cm. 1 Oblicz pole koł opisnego n kwdcie o boku długości: ) 5 cm, b) 8 cm, c) 8 cm, d) 3 3 cm. 13 Oblicz pole koł i długość okęgu opisnego n postokącie, w któym długość kótszego boku jest ówn 7 cm. Kąt między pzekątnymi tego postokąt m mię Koło o pomieniu długości 10 cm opisno n tójkącie postokątnym. Oblicz pole tego tójkąt, jeżeli jedn pzypostokątn jest tzy zy dłuższ od dugiej. 15 W okęgu o śodku w punkcie O i śednicy długości 8 cm popowdzono śednicę KL oz cięciwę MN ównoległą do niej. Kąt śodkowy NOM m mię 60. Oblicz pole czwookąt KLMN. 16 W okąg o pomieniu długości 5 cm wpisno postokąt, w któym stosunek długości boków jest ówny 1. Oblicz pole i obwód tego postokąt W koło o pomieniu długości 5 cm wpisno tójkąt, któego jednym z boków jest śednic tego koł. Oblicz pole tójkąt, jeżeli jeden z jego kątów m mię Uzsdnij, że n kżdym tpezie ównomiennym możn opisć okąg. 1.. Okąg wpisny w wielokąt Model jchtu m tójkątny żgiel typu bemudzkiego n tym żglu chciłbym nysowć jk njwiększe logo mojego klubu. Y GDYNIA 4 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

17 Logo m ksztłt koł. Aby n tójkątnym żglu to logo było jk njwiększe, musi być styczne do wszystkich bzegów tego żgl. Jeżeli koło jest styczne do wszystkich boków tójkąt, mówimy, że koło jest wpisne w ten tójkąt. Jeżeli koło jest styczne do wszystkich boków tójkąt, mówimy, że tójkąt jest opisny n kole. Odległość śodk koł wpisnego w tójkąt musi być jednkow od wszystkich boków tego tójkąt. C N dwusiecznej kąt CAB leżą wszystkie punkty, któych odległość od boków AB i AC jest tk sm. C A B N dwusiecznej kąt ABC leżą wszystkie punkty, któych odległość od boków AB i BC jest tk sm. A B C Wyznczyliśmy punkt S, któego odległość od wszystkich boków tójkąt jest tk sm. S A B 1.. Okąg wpisny w wielokąt 5

18 C Możemy zuwżyć, że dwusieczn kąt ACB też pzechodzi pzez punkt S. S A B Okąg wpisny w tójkąt jest styczny do wszystkich boków tego tójkąt. Pomieniem okęgu wpisnego w tójkąt jest odcinek, któego jednym końcem jest śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt, dugim punkt styczności okęgu z bokiem tego tójkąt. Długość tego pomieni jest ówn odległości śodk S okęgu wpisnego w ten tójkąt od kżdego z boków tego tójkąt. Pomień ten jest tkże pomieniem koł wpisnego w ten tójkąt. Ztem popowdzimy postą postopdłą do jednego z boków tójkąt, pzechodzącą pzez wyznczony śodek okęgu wpisnego w tójkąt i zznczymy n niej pomień szuknego okęgu. A nstępnie zkeślimy okąg o śodku w punkcie S i tym pomieniu, styczny do wszystkich boków tójkąt. C C C A S B A S B A S B 6 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

19 Pomienie okęgu wpisnego w tójkąt, popowdzone do punktów styczności, są postopdłe do boków tego tójkąt. Odcinki, któych jednym końcem jest śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt, dugim punkt styczności okęgu z bokmi tójkąt, są pomienimi okęgu wpisnego w ten tójkąt. Długość tego pomieni jest ówn odległości śodk S okęgu wpisnego w tójkąt od kżdego z boków tego tójkąt. Pzykłd Nysuj dowolny tójkąt ABC. Skonstuuj okąg wpisny w ten tójkąt. C Konstuujemy dwusieczne dwóch kątów tójkąt. Punkt pzecięci dwusiecznych kątów oznczmy liteą S. Punkt S jest śodkiem okęgu wpisnego w ten tójkąt. A S B Aby wyznczyć pomień okęgu wpisnego w tójkąt ABC, konstuujemy postą postopdłą do jednego z boków tójkąt, pzechodzącą pzez śodek S tego okęgu. Rysujemy odcinek łączący śodek okęgu z punktem pzecięci boku tójkąt i postej postopdłej do tego boku. A C S B C Rysujemy okąg wpisny w tójkąt ABC. A S B 1.. Okąg wpisny w wielokąt 7

20 Pzykłd 1.1. Nysuj dowolny tójkąt: ) ostokątny, b) postokątny, c) ozwtokątny. Wyzncz śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt. Nysuj okąg wpisny w ten tójkąt. ) b) c) W kżdy tójkąt możn wpisć okąg. Pzykłd Nysuj tójkąt ównoboczny o boku długości 6 cm. Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt. Nysowłm tójkąt ównoboczny i wyznczyłm śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt. Popowdzone dwusieczne kątów tego tójkąt zwieją wysokości tójkąt. Pomieniem okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny jest część wysokości tego tójkąt. Kozystjąc z zleżności między długościmi boków w tójkącie postokątnym o kątch ostych 30º, 60º, wyznczyłm długość dugiej pzypostokątnej tego tójkąt postokątnego. 3 = 3 / 3 3 = 3 3 / : 3 = 3 Długość pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt ównoboczny jest ówn 3 cm. 8 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

21 Pzykłd Wyzncz stosunek długości pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny do długości pomieni okęgu opisnego n tym tójkącie. S W tójkącie ównobocznym symetlne boków tójkąt zwieją dwusieczne kątów tego tójkąt i jego wysokości. Śodek okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym i śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt to ten sm punkt. Zznczmy pomień okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny i pomień okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym. o S w W tójkącie postokątnym o kątch ostych 30 i 60 długość pzeciwpostokątnej jest ówn dwukotności długości kótszej pzypostokątnej. Ztem: o = w 1 = o w o S Punkt S, któy jest śodkiem okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny i śodkiem okęgu opisnego n tym tójkącie, dzieli wysokość tójkąt n dwie części. w 1.. Okąg wpisny w wielokąt 9

22 Pzykłd Oblicz, jką częścią wysokości tójkąt ównobocznego jest pomień okęgu wpisnego w ten tójkąt, jką częścią wysokości jest pomień okęgu opisnego n tym tójkącie. Sum długości pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym i długości pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt jest ówn długości wysokości tego tójkąt. + = h w o = o w w + = h w 3 = h / : 3 w w o 1 = h 3 = h 3 Pzykłd Wyzncz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości. S Dzięki pzepowdzonym wcześniej obliczeniom wiemy, że w tójkącie ównobocznym długość pomieni okęgu wpisnego w ten tójkąt i długość pomieni okęgu opisnego n tym tójkącie są zleżne od długości boku tego tójkąt. w 1 1 w / 3 = / 3 w w = 3 = 3 6 Długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości jest ówn Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

23 Pzykłd Nysuj kwdt, postokąt, ównoległobok, omb i tpez. Spwdź, w któy z tych czwookątów możn wpisć okąg. Jeżeli wszystkie boki czwookąt są styczne do okęgu, to okąg jest wpisny w ten czwookąt. Nleży spwdzić, czy dwusieczne kątów tych czwookątów pzecinją się w jednym punkcie. Czwookąt Czwookąt i dwusieczne jego kątów Wniosek W ten kwdt możn wpisć okąg. W ten postokąt nie możn wpisć okęgu. W ten ównoległobok nie możn wpisć okęgu. W ten omb możn wpisć okąg. W ten tpez nie możn wpisć okęgu. 1.. Okąg wpisny w wielokąt 31

24 Pzykłd Nysuj kwdt o boku długości 8 cm. Oblicz pole i obwód koł wpisnego w ten kwdt. Aby obliczyć pole i obwód koł wpisnego w kwdt o boku długości 8 cm, musimy wyznczyć długość pomieni tego koł. Nysowłm kwdt i wyznczyłm śodek okęgu wpisnego w ten kwdt. Ten śodek jest punktem pzecięci dwusiecznych kątów wewnętznych tego kwdtu i jednocześnie punktem pzecięci pzekątnych kwdtu. Długość pomieni koł wpisnego w kwdt jest ówn połowie długości boku tego kwdtu. 8 cm w 4 cm 8 cm P = π obwód = π P = π 4 obwód = π 4 P = 16π obwód = 8π Pole koł wpisnego w kwdt o boku długości 8 cm jest ówne 16π cm, obwód tego koł wynosi 8π cm. Pzykłd Wyzncz stosunek długości pomieni okęgu wpisnego w kwdt do długości pomieni okęgu opisnego n tym kwdcie. Długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie jest ówn połowie długości pzekątnej tego kwdtu. Długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt jest ówn połowie długości boku tego kwdtu. d S w o 1 1 = d w = 1 1 o = d = = 1 w 1 1 = = = = o w 1 = o o 3 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

25 Jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do okęgu, mówimy, że okąg jest wpisny w ten wielokąt. Możn ównież powiedzieć, że jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do okęgu, to ten wielokąt jest opisny n okęgu. Jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do koł, mówimy, że koło jest wpisne w ten wielokąt. Możn ównież powiedzieć, że jeżeli wszystkie boki wielokąt są styczne do koł, to ten wielokąt jest opisny n kole. Pzykłd 1.0. Uzsdnij, że jeżeli okąg możn wpisć w czwookąt, to sumy długości pzeciwległych boków tego czwookąt są ówne. Okąg jest wpisny w czwookąt, jeżeli jest styczny do wszystkich boków tego czwookąt. Pomienie popowdzone do punktów styczności są postopdłe do boków czwookąt. 1.. Okąg wpisny w wielokąt 33

26 b AB = + d BC = c + d CD = c + b AD = + b AB + CD = + d + c + b AD + BC = + b + c + d AB + CD = AD + BC Jeżeli okąg możn wpisć w czwookąt, to sumy długości pzeciwległych boków tego czwookąt są ówne. Możn tkże pokzć, że jeżeli sumy długości pzeciwległych boków czwookąt są ówne, to w ten czwookąt możn wpisć okąg. 34 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

27 Zdni utwljące 1 Wskż, w któy z wielokątów wpisno okąg. Uzsdnij odpowiedź. ) b) c) d) e) f) Wpisz okąg w tójkąt: ) o bokch długości 4 cm, 5 cm i 6 cm, b) postokątny o pzypostokątnych długości 4 cm i 6 cm, c) ównomienny o bokch długości 6 cm, 6 cm i 8 cm. 3 Wykonj odpowiednie obliczeni, nstępnie oceń pwdziwość zdń. ) Długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt o boku długości 3 dm jest ówny 3 dm. TAK NIE b) Długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości 9 m jest ówny 3 3 m. c) Długość okęgu wpisnego w kwdt o pzekątnej długości 13 cm wynosi 13π cm. d) Długość okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o obwodzie 7 dm jest ówn 3π TAK TAK TAK NIE NIE NIE 4 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości: ) 6 cm, b) 15 cm, c) 8 cm, d) 4 3 cm. 1.. Okąg wpisny w wielokąt 35

28 5 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o polu ównym: ) 6 3 cm, b) 5 3 cm, c) 4 3 cm, d) 4 3 cm. 6 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt o boku długości: ) 4 cm, b) 18 cm, c) 6 cm, d) 7 6 cm. 7 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w kwdt o polu ównym: ) 64 cm, b) 144 cm, c) 4 cm, d) 50 cm. 8 Oblicz długość okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości: ) 3 cm, b) 7 cm, c) 9 3 cm, d) 5 6 cm. 9 Oblicz pole koł wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości: ) 4 cm, b) 1 cm, c) 1 3 cm, d) 10 6 cm. 10 Oblicz długość okęgu wpisnego w kwdt o boku długości: ) 4 cm, b) 10 cm, c) 8 cm, d) 10 3 cm. 11 Oblicz pole koł wpisnego w kwdt o boku długości: ) 5 cm, b) 16 cm, c) 14 3 cm, d) 6 6 cm. 1 Oblicz pole koł wpisnego w tójkąt postokątny ównomienny o pzeciwpostokątnej długości 1 cm. 13 Oblicz długość okęgu wpisnego w tójkąt postokątny o pzypostokątnych długości 6 cm i 8 cm. 36 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

29 1.3. Wielokąty foemne Zmek Kzyżtopó zostł zbudowny n plnie pięciokąt foemnego. Plste miodu pzypomin Wież widokow w Do- ułożone obok siebie gbomiezu zostł zbudo- nistosłupy o podstwie wn n plnie ośmiokąt będącej sześciokątem fofoemnego. emnym. Obiekt w Ludwikowicch Kłodzkich pozostłość po niemieckiej zbudowie pzemysłowej zostł zbudowny n plnie wielokąt foemnego. Wielokątem foemnym nzywmy tki wielokąt, któego wszystkie boki są jednkowej długości i wszystkie kąty wewnętzne mją ówne miy. Oczk w sitce bmki mją ksztłt sześciokąt foemnego. N kżdym wielokącie foemnym możn opisć okąg i w kżdy wielokąt foemny możn wpisć okąg. W wielokącie foemnym śodek okęgu wpisnego w ten wielokąt jest tkże śodkiem okęgu opisnego n tym wielokącie Wielokąty foemne 37

30 Pzykłd 1.1. Oblicz mię kąt wewnętznego ośmiokąt foemnego. Kżdy wielokąt foemny jest zbudowny z pzystjących tójkątów ównomiennych. Rmion tych tójkątów zwieją się w dwusiecznych kątów wewnętznych (któe wyznczją śodek okęgu wpisnego i opisnego). Ztem kąt β jest ówny 360 : 8 = 45. α = : = 67, 5. Kąty pzy podstwie tójkąt są ówne ( ) Kąt α m mię Mi kąt wewnętznego wielokąt foemnego jest ówn 180, gdzie n n ozncz liczbę boków tego wielokąt. Pzykłd 1.. Oblicz mię kąt wewnętznego dwudziestokąt foemnego. 360 α = 180 n 360 α = α = α = 16 Mi kąt wewnętznego dwudziestokąt foemnego wynosi 16. Pzykłd 1.3. Oblicz, ile boków m wielokąt foemny, któego kąt wewnętzny m mię α = 180 n = 180 n = n 38 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

31 = / n n ( ) 30 n = 360 / : 30 n =1 Wielokąt foemny, któego kąt wewnętzny m mię 150, m 1 boków. Pzykłd 1.4. Nysuj pięciokąt foemny o boku długości. Pięciokąt foemny możn podzielić n pięć pzystjących tójkątów ównomiennych o kątch: 7, 54, 54. Odmiezmy odcinek AB o długości. Rysujemy tójkąt ównomienny ABC o podstwie AB i kącie pzy podstwie o mieze 54. Odmiezmy z pomocą kątomiez kąt o mieze 7 o wiezchołku C i mieniu CB. C 7 7 A B Rysujemy kolejne tzy kąty o mieze C A B Rysujemy okąg o śodku w punkcie C i pomieniu długości odcink AC. Wiezchołki pięciokąt to punkty pzecięci się okęgu z mionmi kątów. 7 7 C A B Łączymy odcinkmi kolejne wiezchołki pięciokąt Wielokąty foemne 39

32 Pzykłd 1.5. Nysuj okąg o pomieniu. Kozystjąc z cykl i linijki, skonstuuj ośmiokąt foemny wpisny w ten okąg. Wiezchołki ośmiokąt foemnego wpisnego w okąg leżą n tym okęgu. W nysownym okęgu popowdziłem postopdłe śednice, nstępnie dwusieczne otzymnych kątów postych. Nysowne odcinki i poste pzecinją okąg w ośmiu punktch, któe są wiezchołkmi ośmiokąt. Pzykłd 1.6. Nysuj sześciokąt foemny o boku długości 3 cm. Oblicz długości jego pzekątnych. Sześciokąt foemny jest zbudowny z sześciu pzystjących tójkątów ównobocznych. A Poniewż długość pomieni okęgu opisnego n sześciokącie foemnym jest ówn długości boku tego sześciokąt, ysujemy okąg o pomieniu długości 3 cm. N okęgu zznczmy dowolny punkt A, któy będzie wiezchołkiem sześciokąt. A B Pzy użyciu cykl, począwszy od punktu A, ysujemy łuk okęgu o pomieniu długości 3 cm i otzymujemy dugi wiezchołek sześciokąt (B). 40 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

33 A W ten sm sposób znjdujemy pozostłe cztey wiezchołki wielokąt, ysując łuk okęgu o pomieniu długości 3 cm z kolejno otzymywnych wiezchołków C, D i E. E F B F A D C E B Łączymy odcinkmi wiezchołki sześciokąt. D C Sześciokąt m dziewięć pzekątnych. Tzy z nich mją długość ówną długości śednicy okęgu opisnego n tym sześciokącie (łączą co tzeci wiezchołek, twoząc pzekątne: AD, BE, CF). Pozostłe pzekątne są kótsze (łączą co dugi wiezchołek, twoząc pzekątne: AE, AC, BE, BD, CE, DF). AD = BE = CF = 6 cm Długość dłuższej pzekątnej tego sześciokąt foemnego jest ówn 6 cm. Odcinek AE jest sumą długości dwóch wysokości tójkątów ównobocznych, z któych zbudowny jest sześciokąt foemny. 3 3 h = 3 3 AE = h = = 3 3 Długość kótszej pzekątnej tego sześciokąt foemnego jest ówn 3 3 cm Wielokąty foemne 41

34 Pzykłd 1.7. Oblicz obwód i pole sześciokąt foemnego o boku długości 1 cm. Sześciokąt foemny jest zbudowny z sześciu pzystjących tójkątów ównobocznych. 3 Pole sześciokąt foemnego jest ówne 6 4 Obwód sześciokąt foemnego jest ówny 6 Obliczyłem pole sześciokąt foemnego o boku długości 1 cm. 3 P = P = 6 = 6 = = Obliczyłem obwód tego sześciokąt foemnego. obwód = 6 1 = 7 Pole tego sześciokąt foemnego jest ówne 16 3 cm, jego obwód wynosi 7 cm. Pzykłd 1.8. Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości 6 cm. Długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości jest ówn długości wysokości tójkąt ównobocznego o boku długości. 4 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

35 = h 3 h = 6 3 = = 3 3 Długość pomieni okęgu wpisnego w ten sześciokąt foemny jest ówn 3 3 cm. Dl tójkąt ównobocznego, kwdtu i sześciokąt foemnego wyznczyłm zleżności pomiędzy długością pomieni okęgu opisnego n tych wielokątch oz długością pomieni okęgu wpisnego w te wielokąty długością ich boków. Tójkąt ównoboczny Kwdt Sześciokąt foemny = w 3 6 = o 3 3 w 1 = = o = w 3 o = Zdni utwljące 1 Oblicz miy kątów wewnętznych: ) pięciokąt foemnego, b) dwunstokąt foemnego, c) piętnstokąt foemnego. Podj, ile boków m wielokąt foemny, któego kąt wewnętzny m mię: ) 10, b) 144, c) 168, d) Oblicz długość kótszej pzekątnej sześciokąt foemnego o boku długości: ) 1 cm, b) 15 cm, c) 7 cm Wielokąty foemne 43

36 4 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n sześciokącie foemnym o boku długości: ) 4 cm, b) 10 cm, c) 3 cm, d) 3 6 cm, 5 Oblicz długość okęgu opisnego n sześciokącie foemnym o boku długości: ) 4 cm, b) 3 3 cm, c) 5 cm, d) 5 6 cm. 6 Oblicz pole sześciokąt foemnego wpisnego w okąg, któego długość jest ówn: ) 4 π cm, b) 6 π cm, c) 14 π cm, d) 4 π cm. 7 Oblicz pole koł opisnego n sześciokącie foemnym o boku długości: ) 7 cm, b) 13 cm, c) 4 cm, d) 5 3 cm. 8 Oblicz długość boku sześciokąt foemnego opisnego n kole o polu ównym: ) 9 π cm, b) 36 π cm, c) 84 π cm, d) 150 π cm. 9 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n sześciokącie foemnym o polu ównym: ) 4 3 cm, b) 7 3 cm, c) 1 3 cm, d) 36 3 cm. 10 Oblicz pole koł wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości: ) 6 cm, b) 8 cm, c) 3 3 cm, d) 6 cm. 11 Oblicz pole sześciokąt foemnego opisnego n kole o pomieniu długości: ) 6 cm, b) 15 cm, c) 3 6 cm, d) 4 3 cm. 1 Oblicz pole sześciokąt foemnego opisnego n kole o polu: ) 16 π cm, b) 144 π cm, c) 80 π cm, d) 36 π cm. 13 Oblicz pole sześciokąt foemnego opisnego n okęgu, któego długość jest ówn: ) π cm, b) 8 π cm, c) 1 π cm, d) 16 π cm. 14 Oblicz długość okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości: ) cm, b) 8 cm, c) 3 cm, d) 4 7 cm. 44 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

37 15 Oblicz pole sześciokąt foemnego, gdy kótsz pzekątn tego sześciokąt jest ówn: ) 6 cm, b) 15 cm, c) 3 3 cm, d) 3 6 cm. 16 Oblicz długość śednicy okęgu opisnego n sześciokącie foemnym, gdy długość kótszej pzekątnej tego sześciokąt jest ówn: ) 4 3 cm, b) 9 cm, c) 6 cm, d) 1 cm. 17 Oblicz obwód sześciokąt foemnego opisnego n okęgu, któego długość jest ówn: ) 10 π cm, b) 6 π cm, c) 1 π cm, d) 5 π cm. 18 Oblicz pole sześciokąt foemnego wpisnego w koło o polu: ) 9 π cm, b) 64 π cm, c) 4 π cm, d) 108 π cm. 19 Oblicz pole sześciokąt foemnego wpisnego w koło o pomieniu długości: ) 6 cm, b) 9 cm, c) 3 3 cm, d) 4 5 cm. 0 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o polu ównym: 75 3 ) 6 3 cm, b) 96 3 cm, c) cm, d) cm. 1 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w sześciokąt foemny o boku długości: ) 6 cm, b) 11 cm, c) 6 3 cm, d) 15 cm. Oblicz stosunek pol koł wpisnego w wielokąt do pol koł opisnego n tym wielokącie, gdy wielokąt jest: ) kwdtem o boku długości b, b) tójkątem ównobocznym o boku długości b, c) sześciokątem foemnym o boku długości b. Zdni do ozwiązywni w gupie N okęgu o pomieniu długości opisno tójkąt ównoboczny, kwdt i sześciokąt foemny. ) Wykonjcie odpowiedni ysunek. b) Wyznczcie stosunek długości obwodów tych wielokątów. c) Wyznczcie stosunek pól tych wielokątów Wielokąty foemne 45

38 1.4. Kok do egzminu Zdni powtózeniowe 1 Oblicz mię kąt wewnętznego osiemnstokąt foemnego. Oblicz sumę mi kątów wewnętznych pięciokąt foemnego. 3 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym o boku długości 1,5 dm. 4 Oblicz długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o obwodzie 36 cm. 5 Oblicz długość pomieni okęgu opisnego n kwdcie o polu 196 cm. 6 Oblicz długość śednicy okęgu wpisnego w kwdt o pzekątnej długości 18 cm. 7 Oblicz obwód koł opisnego n tójkącie postokątnym ównomiennym, któego mion mją długość 8 cm. 8 W postokącie stosunek długości boków jest ówny 3 : 4. Oblicz pole i obwód tego postokąt, jeżeli długość śednicy okęgu opisnego n tym postokącie wynosi 0 cm. 9 Pole koł opisnego n sześciokącie foemnym jest o 9π cm większe od pol koł wpisnego w ten sześciokąt. Oblicz długość boku tego sześciokąt foemnego. 10 W okąg o pomieniu długości 13 cm wpisno tójkąt. Śodek okęgu leży n jednym z boków tójkąt. Stosunek długości pozostłych boków tego tójkąt jest ówny 5 1. Oblicz pole i obwód tójkąt. 11 Oblicz pole zmlownej części koł, jeżeli jego śednic m długość 10 cm, tójkąt wpisny w to koło jest ównoboczny. 1 N okęgu opisno kwdt o boku długości 6 dm. Nstępnie n tym kwdcie opisno okąg. Oblicz: ) pole powstłego pieścieni kołowego, b) stosunek długości okęgu opisnego n kwdcie do długości okęgu wpisnego w ten kwdt. 13 W tójkąt postokątny o pzypostokątnych długości 15 cm i 0 cm wpisno koło. Oblicz długość pomieni tego koł. 14 W tpez ównomienny, w któym kąty pzy podstwie mją mię 60, wpisno koło o pomieniu długości 3 cm. Oblicz obwód i pole tego tpezu. 46 Rozdził 1. Wielokąty CZĘŚĆ I i okęgi

39 15 Oblicz pole zcieniownej figuy. ) kwdt b) tójkąt ównoboczny c) tójkąt ównoboczny 6 cm 15 cm 16 Nysowno tójkąt ównoboczny o boku długości 9 cm. Nstępnie nysowno okąg, któy podzielił kżdy bok tego tójkąt n tzy ówne części. Oblicz długość pomieni tego okęgu. 17 Obwód sześciokąt foemnego jest o 1 cm mniejszy od długości okęgu opisnego n tym sześciokącie. Oblicz długość tego okęgu. Pzyjmij π 3, Oblicz pole tójkąt ównobocznego opisnego n kole, w któe wpisno kwdt o boku długości 6 cm. 19 W tójkąt ównomienny wpisno koło. Oblicz pole tego koł, jeżeli mion tójkąt mją długość 8 cm, kąty pzy podstwie mją mię 30. Test 1 Oceń pwdziwość zdń. ) Śodek okęgu wpisnego w tójkąt znjduje się w punkcie pzecięci wysokości tego tójkąt. b) Śodek okęgu wpisnego w tójkąt znjduje się w punkcie pzecięci dwusiecznych kątów tego tójkąt. c) Śodek okęgu opisnego n tójkącie znjduje się w punkcie pzecięci śodkowych tego tójkąt. d) Śodek okęgu opisnego n tójkącie znjduje się w punkcie pzecięci symetlnych boków tego tójkąt. e) Śodek okęgu opisnego n kwdcie znjduje się w punkcie pzecięci pzekątnych tego kwdtu. TAK TAK TAK TAK TAK NIE NIE NIE NIE NIE W kwdt o boku długości 5 cm wpisno koło. Pomień tego koł m długość A. 5 cm B.,5 cm C. 5 cm D.,5 cm 3 Długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoboczny o boku długości 16 cm jest ówn A cm 3 B. 4 3 cm C. 8 3 cm 3 D cm 1.4. Kok do egzminu 47

40 4 Pole koł jest ówne A. 7π cm B. 36π cm C. 144π cm D. 48π cm 1 cm 1 cm 1 cm 5 Pzypostokątne tójkąt postokątnego mją długość 4 cm i 6 cm. Długość pomieni okęgu opisnego n tym tójkącie jest ówn A. 5 cm B. 5 cm C. 13 cm D. 13 cm 6 Pomień okęgu wpisnego w sześciokąt foemny m długość 15 cm. Długość pomieni okęgu opisnego n tym sześciokącie jest ówn A cm B. 15 cm C cm 7 W koło o pomieniu długości 10 cm wpisno tójkąt tk, że jego njdłuższy bok jest śednicą tego okęgu. Pole tójkąt jest ówne 16 cm 1 D. 3 cm A. 60 cm B. 80 cm 10 cm C. 96 cm D. 19 cm 8 N kwdcie o polu 196 cm opisno koło. Długość okęgu jest ówn A. 14π cm B. 8π cm C. π cm D. π cm 9 Pomień okęgu opisnego n tójkącie ównobocznym m długość 8 3 cm. Bok tego tójkąt m długość A. 16 cm B. 4 cm C. 48 cm D. 96 cm 10 Pole sześciokąt foemnego jest ówne 36 3 cm. Długość pomieni okęgu wpisnego w ten sześciokąt jest ówn A. 3 cm B. 6 cm C. 6 3 cm D. 3 6 cm 11 Z tójkąt ównobocznego wycięto wpisne w ten tójkąt koło o pomieniu długości 3 cm. Oblicz pole części tójkąt pozostłej po wycięciu koł. 1 N kwdcie o boku długości 14 cm opisno okąg. W ten kwdt wpisno też okąg. Oblicz stosunek długości pomieni okęgu opisnego n kwdcie do długości pomieni okęgu wpisnego w ten kwdt. 13 Tójkąt ównoboczny, kwdt i sześciokąt foemny mją boki o tej smej długości t długość wynosi 6 cm. ) Oblicz pole koł wpisnego w kżdą z tych figu. b) Oblicz stosunek pol koł wpisnego w tójkąt do pol koł wpisnego w kwdt do pol koł wpisnego w sześciokąt. 48 Rozdził 1. Wielokąty i okęgi

GEOMETRIA PŁASZCZYZNY

GEOMETRIA PŁASZCZYZNY GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc,

Bardziej szczegółowo

h a V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT :

h a V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT : pitgos..pl V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT : Wunek utwozeni tójkąt: sum ługośi wó kótszy oków musi yć większ o ługośi njłuższego oku. Śoek okęgu opisnego wyznzją symetlne oków. Śoek okęgu wpisnego wyznzją

Bardziej szczegółowo

9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu

9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu 9. PLANIMETIA 9.. Okąg i koło ) Odinki w okęgu i kole S Cięiw okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu d S Śedni okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu pzeodząy pzez śodek okęgu (koł)

Bardziej szczegółowo

9. 1. KOŁO. Odcinki w okręgu i kole

9. 1. KOŁO. Odcinki w okręgu i kole 9.. KOŁO Odcinki w okęgu i kole Cięciwa okęgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okęgu d Śednica okęgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okęgu pzechodzący pzez śodek okęgu (koła) Pomień

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

11. STEREOMETRIA. V - objętość bryły D H. c p. Oznaczenia stosowane w stereometrii: - pole powierzchni całkowitej bryły - pole podstawy bryły

11. STEREOMETRIA. V - objętość bryły D H. c p. Oznaczenia stosowane w stereometrii: - pole powierzchni całkowitej bryły - pole podstawy bryły . STEREOMETRIA Oznczeni stosowne w steeometii: Pc - poe powiezcni cłkowitej yły Pp - poe podstwy yły P - poe powiezcni ocznej yły V - ojętość yły.. Gnistosłupy D Podstwy gnistosłup - dw ównoegłe i pzystjące

Bardziej szczegółowo

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH Konkusy w województwie podkapackim w oku szkolnym 08/09 KONKURS Z MTEMTYKI L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH ETP REJONOWY KLUZ OPOWIEZI Zasady pzyznawania punktów za każdą popawną odpowiedź punkt za błędną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ODPOWIEDZI DO ARKUSZA ROZSZERZONEGO Zadanie ( pkt) A Zadanie ( pkt) C Zadanie ( pkt) A, bo sinα + cosα sinα + cosα cos sinα sin cosα + π π + π sin α π A więc musi

Bardziej szczegółowo

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni

Bardziej szczegółowo

Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012 r. zawody II stopnia (rejonowe)

Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012 r. zawody II stopnia (rejonowe) Kod ucznia:. Ilość punktów: Konkus Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012. zawody II stopnia (ejonowe) Witamy Cię na dugim etapie Konkusu Matematycznego. Pzed pzystąpieniem

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri i Gospodrk Wodn w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w Stowzyszenie n zez Edukji Mtemtyznej Zestw 6 szkie ozwiązń zdń Znjdź wszystkie tójki (x, y, z) liz zezywistyh, któe są ozwiąznimi ównni 5(x +y +z ) = 4(xy +yz +zx)

Bardziej szczegółowo

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów

Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?

ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków? PLANIMETRIA 2 ZADANIE 1 W rombie jedna z przekatnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekatnych pole rombu jest większe od 5cm 2? 1 ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

akademia365.pl kopia dla:

akademia365.pl kopia dla: Zestw wzoów mtemtycznych zostł pzygotowny dl potzeb egzminu mtulnego z mtemtyki obowiązującej od oku 00. Zwie wzoy pzydtne do ozwiązni zdń z wszystkich dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjącym nie tylko

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Konkusy w województwie podkpkim w oku szkolnym 0/0 KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Kluz odpowiedzi do ETAPU WOJEWÓDZKIEGO Akusz zwie tylko zdni otwte, któe nleży oenić według zmieszzonego poniżej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA ZNI SMZIELNE RZWIĄZNI łski ukłd sił zbieżnych Zdnie 1 Jednoodn poziom belk połączon jest pzegubowo n końcu z nieuchomą ściną oz zwieszon n końcu n cięgnie twozącym z poziomem kąt. Znleźć ekcję podpoy n

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.

Bardziej szczegółowo

5. Mechanika bryły sztywnej

5. Mechanika bryły sztywnej W ozdzie dpowiedzi i wskzówki znjdują się odpowiedzi do wszystkich zdń, znjdziesz tm ównież wskzówki do ozwiązń tudnych zdń. Pełne ozwiązni zdń możesz uzyskć pzysyłjąc e-mi n des: kons@x.wp.p 5. Mechnik

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do akusza Póbnej Matuy z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 00 W kluczu są pezentowane pzykładowe pawidłowe odpowiedzi. Należy ównież uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Planimetria czworokąty

Planimetria czworokąty Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE

PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE ZADANIE 1 Jeżeli wysokość trójkata równobocznego wynosi 2, to długość jego boku jest równa A) 6 B) 4 3 3 C) 2 3 D) 4 3 ZADANIE 2 Pole trójkata o bokach a = 4 cm

Bardziej szczegółowo

11. 3.BRYŁY OBROTOWE. Walec bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków

11. 3.BRYŁY OBROTOWE. Walec bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków ..BRYŁY OBROTOWE Wae była obotowa powstała w wyniku obotu postokąta dokoła postej zawieająej jeden z jego boków pomień podstawy waa wysokość waa twoząa waa Pzekój osiowy waa postokąt o boka i Podstawa

Bardziej szczegółowo

magnetycznym. Rozwiązanie: Na elektron poruszający się z prędkością υ w polu B działa siła Lorentza F L, wektorów B i υ.

magnetycznym. Rozwiązanie: Na elektron poruszający się z prędkością υ w polu B działa siła Lorentza F L, wektorów B i υ. Zdni do ozdziłu 8. Zd.8.. Elekton (o msie 3 9 m 9, 0 kg i łdunku elektycznym e.6 0 C ) wpd z pędkością υ 0 7 m / s w obsz jednoodnego pol mgnetycznego o indukcji B 0 T postopdle do linii sił tego pol.

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D.

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D. Sprwdzin Potęgi i pierwistki. Piąt potęg liczby jest równ: A. 0 B. C. D. 4. Iloczyn jest równy: A. B. C. D.. Odległość Ziemi od Słońc jest równ 0 000 000 km. Odległość tą możn zpisć w postci iloczynu:

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

ZAKRES WYMAGAŃ Z MATEMATYKI

ZAKRES WYMAGAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES WYMAGAŃ Z MATEMATYKI W RAMACH PRZYGOTOWAŃ DO EGZAMINU GIMNAZJALNEGO PRZYKŁADOWE ZAGADNIENIA CZĘŚĆ I. Elementrne dziłni n liczbch wymiernych. Dziłni wykonywne w pmięci. II. Liczby wymierne. Włsności

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2

KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x . Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 0 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwa tych są pe zen to wa ne pzy kła do we po paw ne od po wie

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 2 Działania na wektoach w układzie współzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etapez.pl Stona 1 Część 1: TEST Zaznacz popawną odpowiedź (tylko jedna jest pawdziwa). Pytanie 1 Któe

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Podstawowe definicje. Wielokąty. Trójkąty. Czworokąty. Kąty

Spis treści. Podstawowe definicje. Wielokąty. Trójkąty. Czworokąty. Kąty Mrt Compny Ksprowicz LOGO Spis treści. 1 Podstwowe definicje 2 Wielokąty 3 Trójkąty 4 Czworokąty 5 Kąty Podstwowe definicje w geometrii. 1.Punkt 2.Prost 3.Proste prostopdłe 4.Proste równoległe 5.Półprost

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Mechanika techniczna. przykładowe pytania i zadania

Mechanika techniczna. przykładowe pytania i zadania Mechnik techniczn pzykłdowe pytni i zdni sttyk. Zcytowć i zilustowć zsdę ównoległooku (zsd sttyki).. Kiedy dwie siły pzyłożone do cił sztywnego ównowżą się?. okzć, że w sttyce siły pzyłożone do cił sztywnego

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 0/06 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zsdy ocenini ozwiązń zdń Copyight by Now E Sp. z o.o. Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi meytoycznie

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki Mtemtyk Poziom podstwowy zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom podstwowy rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1 Uzsdnij, że pole romu o przekątnych p i q wyrż się wzorem P = 1 pq Rozwiąznie: Przyjmij

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania

KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE ZA POMOCĄ CYRKLA. Ćwiczenia Czas: 90

KONSTRUKCJE ZA POMOCĄ CYRKLA. Ćwiczenia Czas: 90 KONSTRUKCJE ZA POMOCĄ CYRKLA Ćwiczenia Czas: 90 TWIERDZENIE MOHRA-MASCHERONIEGO jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla,

Bardziej szczegółowo

20 ELEKTROSTATYKA. PRAWO COULOMBA.

20 ELEKTROSTATYKA. PRAWO COULOMBA. Włodzimiez Wolczyński Pawo Coulomba 20 ELEKTROSTATYKA. PRAWO COULOMBA. POLE CENTRALNE I JEDNORODNE Q q = k- stała, dla póżni = 9 10 = 1 4 = 8,9 10 -stała dielektyczna póżni ε względna stała dielektyczna

Bardziej szczegółowo

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte. 2. Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą n n. 2n n. lim 10.

Zadania otwarte.  2. Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą n n. 2n n. lim 10. Vdemecum Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA OPOWIEZI Póbn Mtu z OPERONEM mtemtyk ZAKRES ROZSZERZONY VAEMECUM MATURA 06 kod wewnątz Mtemtyk Poziom ozszezony Zcznij zygotowni do mtuy już dziś Listod 05 skle.oeon.l/mtu

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania Vdemecum Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA OPOWIEZI Póbn Mtu z OPERONEM mtemtyk ZAKRES ROZSZERZONY VAEMECUM MATURA 06 kod wewnątz Mtemtyk Poziom ozszezony Zcznij zygotowni do mtuy już dziś Listod 0 Zdni zmknięte

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH pieczątk WKK Kod uczni - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP WOJEWÓDZKI Drogi Uczniu, witj n III etpie konkursu mtemtycznego. Przeczytj uwżnie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

Sieć odwrotna. Fale i funkcje okresowe

Sieć odwrotna. Fale i funkcje okresowe Sieć odwotn Fle i funkcje okesowe o Wiele obiektów w pzyodzie d; o Różne fle ozchodzą się w pzestzeni (zówno w póżni jk i w mteii); o Aby mtemtycznie opisć tkie okesowe zminy stosuje się funkcje sinus

Bardziej szczegółowo

KINEMATYCZNE WŁASNOW PRZEKŁADNI

KINEMATYCZNE WŁASNOW PRZEKŁADNI KINEMATYCZNE WŁASNOW ASNOŚCI PRZEKŁADNI Waunki współpacy pacy zazębienia Zasada n 1 - koła zębate mogą ze sobą współpacować, kiedy mają ten sam moduł m. Czy to wymaganie jest wystaczające dla pawidłowej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 08/09 Schemt punktowni zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź uczeń otrzymuje punkt Numer zdni Poprwn odpowiedź 5 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji. Temat: Podsumowanie wiadomości o walcu. Cele lekcji

Scenariusz lekcji. Temat: Podsumowanie wiadomości o walcu. Cele lekcji opacowała: Maia Kukułka Scenaiusz lekcji Temat: Podsumowanie wiadomości o walcu. Cele lekcji Uczeń potafi: ozpoznać walec wśód innych był obliczyć pole powiezchni walca obliczyć objętość walca zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian całoroczny kl. III

Sprawdzian całoroczny kl. III Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku w popzednim odcinku 1 Zasady zachowania: enegia mechaniczna E E const. k p E p ()+E k (v) = 0 W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita enegia mechaniczna, czyli suma enegii potencjalnej, E p, zaówno

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Skrypt 28. Przygotowanie do egzaminu Podstawowe figury geometryczne. 1. Przypomnienie i utrwalenie wiadomości dotyczących rodzajów i własności kątów

Skrypt 28. Przygotowanie do egzaminu Podstawowe figury geometryczne. 1. Przypomnienie i utrwalenie wiadomości dotyczących rodzajów i własności kątów Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 28 Przygotowanie do egzaminu Podstawowe figury

Bardziej szczegółowo

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń

Bardziej szczegółowo

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM

ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI

XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW ORAZ KLAS DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW PROWADZONYCH W SZKOŁACH INNEGO TYPU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 ETAP

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

PROBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

PROBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY IMIE I NAZWISKO PROBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY 25 PAŹDZIERNIKA 2012 CZAS PRACY: 90 MIN. ZADANIE 1 W tabeli zapisano cztery liczby. I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 ( III 25 ) 2 ( 25 ) 3 IV 2 5 5 1 Liczba (0, 4) 5 jest

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. ( 4p ) Czworokąt ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach B i D. Ponadto AB = BC i BH = 1.

Zadanie 2. ( 4p ) Czworokąt ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach B i D. Ponadto AB = BC i BH = 1. Zadanie 1. ( p ) Dodatnia liczba naturalna n ma tylko dwa dzielniki naturalne, podczas gdy liczba n + 1 ma trzy dzielniki naturalne. Liczba naturalna n + ma. dzielniki naturalne. Liczna n jest równa..

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20 STEREOMETRIA - ZADANIA MATURALNE lata 2010-2017 Zadanie 1. (0-1) Maj 2010 [I. Wykorzystanie i tworzenie informacji] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x x 4 jest równe A. 94 B.

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna ktestki geometcze Mecik teoetcz Wkłd 9, i ktestki geometcze figu płskic. Główe cetle osie ezwłdości. Pole powiezci Momet sttcz współzęde śodk ciężkości. Momet ezwłdości Momet odśodkow główe cetle osie

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45 METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla gimnazjalistów Etap szkolny 9 grudnia 2016 roku

Konkurs dla gimnazjalistów Etap szkolny 9 grudnia 2016 roku Konkurs dl gimnzjlistów Etp szkolny 9 grudni 016 roku Instrukcj dl uczni 1. W zdnich o numerch od 1. do 1. są podne cztery wrinty odpowiedzi: A, B, C, D. Dokłdnie jedn z nich jest poprwn. Poprwne odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco: Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz

Bardziej szczegółowo