Zasa Za d sa y d d y d nam na iki Newtona (2) Prawo Praw o I I Przys zys es e ze s ni ze e e punkt punkt mat e iralneg ne o g j es e t s

Transkrypt

1 Mechnik ogóln ykłd nr 1 prowdzenie i podstwowe pojęci. Rchunek wektorowy. ypdkow ukłdu sił. Równowg. 1 rzedmiot Mechnik: ogóln, techniczn, teoretyczn. Dził fizyki zjmujący się bdniem ruchu i równowgi cił mterilnych, ustlniem ogólnych prw ruchu orz ich stosowniem do wyidelizownych cił rzeczywistych (punkt mterilny orz ciło doskonle sztywne rmy, krty).

2 rogrm zjęć (1) odstwowe pojęci. odstwy rchunku wektorowego. Ukłdy sił i stn równowgi. Rekcje więzów w ukłdch płskich. Siły wewnętrzne w belkch; w ustrojch rmowych. 3 rogrm zjęć () Siły wewnętrzne: w krtownicch; w łukch; Rekcje więzów i siły wewnętrzne w ukłdch przestrzennych. Zjwisko trci i prw trci; Elementy kinemtyki. odstwy dynmiki. 4

3 Litertur [1] J. Leyko: Mechnik ogóln [] J. Leyko: Mechnik ogóln w zdnich [3] J. Misik: Mechnik ogóln [4] Z. Cywiński: Mechnik budowli w zdnich (Tom 1) [5] A. Chudzikiewicz: Sttyk budowli (Tom 1) [6]. Jstrzębski, J. Mutermilch,. Orłowski: ytrzymłość mteriłów (Tom 1) 5 Zliczenie Ćwiczeni: obecności; ćwiczenie projektowe; kolokwi. Egzmin: część pisemn; część ustn. 6

4 Dziły mechniki Sttyk bd przypdki, kiedy siły dziłjące n ciło nie wywołują sił bezwłdności, tj. są przykłdne w nieskończenie długim czsie orz równowżą się wzjemnie. Kinemtyk zjmuje się bdniem ruchu cił niezleżnie od czynników wywołujących ten ruch. rzedmiotem bdń są: drog, prędkość, przyspieszenie itd. Dynmik rozptruje ruch cił w zleżności od sił dziłjących n nie, bd zleżności między tkimi wielkościmi jk: prędkość, przyśpieszenie, pęd, sił, energi itd. 7 Zsdy dynmiki Newton (1) rwo I unkt mterilny, n który nie dził żdn sił lub dziłjące siły równowżą się, pozostje w spoczynku lub porusz się ruchem jednostjnym po linii prostej. 8

5 Zsdy dynmiki Newton () rwo II rzyspieszenie punktu mterilnego jest wprost proporcjonlne do siły dziłjącej n ten punkt, odwrotnie proporcjonlne do msy punktu mterilnego. Jego zwrot i kierunek zgodny jest ze zwrotem i kierunkiem wektor siły. = m m 9 Zsdy dynmiki Newton (3) rwo III Dw punkty mterilne dziłją n siebie dwom siłmi równymi co do wrtości, tym smym kierunku, le o przeciwnym zwrocie

6 Idelizcje (1) unkt mterilny ciło o nieskończenie młych wymirch, le posidjące msę. Modeluje cił o brdzo młych wymirch w porównniu z wymirmi otoczeni. ymiry n tyle młe, by możn było pominąć obrót cił względem ukłdu odniesieni. 11 Idelizcje () Ciło doskonle sztywne odległości między jego punktmi nie zmieniją się (nie podleg odksztłceniom pod wpływem dziłjących sił). Model cił rzeczywistego, gdy odksztłceni są pomijlnie młe w stosunku do wymirów. 1

7 Idelizcje (3) Zsd zesztywnieni runki równowgi sił dziłjących n ciło odksztłclne nie zostną nruszone przez zesztywnienie tego cił. unkt przyłożeni siły nie uleg przesunięciu mimo odksztłceni konstrukcji. 13 Zsd superpozycji Dziłni poszczególnych obciążeń są od siebie niezleżne. Efekt dziłni (odksztłcenie, sił wewnętrzn) dwóch lub więcej wpływów (obciążeń) może zostć wyznczony jko sum efektów wywołnych dziłniem tych wpływów oddzielnie. 14

8 Sklr i wektor Sklr do opisni niezbędne jest podnie jednej wrtości w odniesieniu do określonego punktu w przestrzeni. ektor do opisni poz mirą (modułem, długością wektor), niezbędne jest podnie: kierunku (ułożeni linii dziłni), zwrotu (uporządkowni punktów od początku do końc wektor), punktu zczepieni. 15 Interpretcj geometryczn, przykłdy ektor możn przedstwić jko uporządkowną prę punktów, z których jeden jest początkiem wektor, drugi jego końcem. Sklry: gęstość, ms, tempertur, energi; ektory przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, sił. 16

9 Rodzje wektorów ektory zczepione związne z punktem przyłożeni; ektory ślizgjące się mogące poruszć się wzdłuż linii dziłni (np. wektory sił w mechnice); ektory swobodne mogą zostć przyłożone w dowolnym punkcie (np. wektory momentów sił). 17 odstwowe jednostki Ms: : g (grm); kg = 1 g (kilogrm) Długość: : mm =,1 m (milimetr); m (metr); km = 1 m (kilometr) Czs: : s (sekund); min = 6 s (minut); h = 6 min = 36 s (godzin) Sił: : N = kg m/s (niuton); kn = 1N (kiloniuton) Moment siły: Nm (Niutonometr) 18

10 Dziłni n wektorch Sum wektorów; Różnic wektorów; Mnożenie wektor przez sklr; Iloczyn wektorów: sklrny; wektorowy; mieszny; inne wielokrotne iloczyny wektorów. 19 Dodwnie wektorów Sum wektorow wektorów i b:,, ] b b, b, b ] [ x y z [ x y z c b b c [ x bx, y by, z bz ] c b

11 Twierdzenie cosinusów Kwdrt długości boku trójkąt leżącego nprzeciw kąt jest równy sumie kwdrtów długości boków leżących przy tym kącie orz podwojonego iloczynu tych długości boków i cosinus tego kąt. c b c b bcos 1 Zsd równoległoboku Sum dwóch wektorów może zostć przedstwion jko przekątn równoległoboku zbudownego n bzie sumownych wektorów przecinjąc kąt między tymi wektormi. c b b cos( ) b c b bcos

12 Odejmownie wektorów (1) Różnic wektorów i b jest równ sumie wektor i wektor przeciwnego do b:,, ] b b, b, b ] [ x y z b [ bx, by, bz ] [ x y z c b [ x bx, y by, z bz ] Różnic wektorów b i jest równ sumie wektor b i wektor przeciwnego do : [ x, y, z ] d b [ bx x, by y, bz z ] 3 Odejmownie wektorów () b -b c - d b c b b d b b 4

13 Sklownie wektor Mnożenie wektor przez sklr (n) wyniku otrzymuje się wektor o tkim smym kierunku, mierze n rzy większej (przy n >1) n>1 n lub 1/n rzy mniejszej (przy n <1) ) i tkim smym zwrocie, jeżeli n>, zś przeciwnym, jeżeli n<. -1<n<< n<-1 <n<1<1 n n n 5 Iloczyn sklrny (1) Iloczyn sklrny wielkość sklrn równ iloczynowi modułów mnożonych wektorów i cosinus kąt zwrtego między nimi (iloczyn miry jednego wektor przez rzut prostokątny drugiego n kierunek pierwszego). 6

14 Iloczyn sklrny (),, ] b b, b, b ] [ x y z [ x y z s b bcos (, b) xbxybyzbz b cos b cos 7 Iloczyn wektorowy (1) Iloczyn wektorowy (wektor): kierunek prostopdły do płszczyzny wyznczonej przez mnożone wektory, zwrot określony zgodnie z regułą śruby prwoskrętnej, mir równ iloczynowi mir mnożonych wektorów i sinus kąt między nimi (pole powierzchni równoległoboku zbudownego n mnożonych wektorch). 8

15 Iloczyn wektorowy (),, ] b b, b, b ] [ x y z c b d b d c [ x y z c d bsin ( b, ) c i j k x y z b b b b y z b z y b z x b x z b x y b y x c b d x y z x y z d b i b x b j y k b z 9 Iloczyn mieszny Iloczyn mieszny wielkość sklrn równ objętości równoległościnu zbudownego n mnożonych wektorch jko n krwędzich. V V ( b) c d bsin V d c d c cos bsin c cos d c b 3

16 rzemienność dziłń Sum wektorów i iloczyn sklrny są dziłnimi przemiennymi, ntomist różnic wektorów i iloczyn wektorowy nie są przemienne. b = c b = d => d = -c b = c b = d => d = -c 31 ojęcie siły Sił wzjemne oddziływnie cił, które przejwi się w wyprowdzeniu cił ze stnu spoczynku, bądź przez zminę ruchu już poruszjącego się cił. Aby schrkteryzowć siłę nleży podć wektor, opisujący tą siłę, orz punkt przyłożeni siły. 3

17 Ukłdy sił Ukłd sił dowoln grup oddziływń cił zewnętrznych n nlizowne ciło. Równowżne ukłdy sił Dw ukłdy sił są równowżne wtedy, gdy zstąpienie jednego ukłdu, dziłjącego n ciło sztywne, przez drugi ukłd sił nie wywoł zminy ruchu,, czyli nie spowoduje zminy kierunku ruchu, prędkości, przyśpieszeni, itd. 33 ypdkow Sił wypdkow wektor, który jest sumą wszystkich wektorów sił z ukłdu, przyłożonego do punktu mterilnego i stnowi ukłd równowżny, pod wrunkiem, że sił wypdkow jest przyłożon do tego smego punktu mterilnego. 34

18 łski i przestrzenny ukłd sił Ukłd sił nzywmy płskim,, jeżeli kierunki wszystkich sił tego ukłdu położone są w jednej płszczyźnie. kżdym innym przypdku ukłd nzywmy przestrzennym. 35 Ukłd sił zbieżnych Ukłd sił zbieżnych linie dziłni wszystkich sił przecinją się w jednym punkcie, tzw. punkcie zbieżności. Określnie wypdkowej ukłdu sił: dziłjących wzdłuż jednej prostej; zbieżnych metod grficzn; metod nlityczn. 36

19 Siły dziłjące wzdłuż jednej prostej ypdkow ukłdu sił dziłjących wzdłuż jednej prostej jest wektorem o tkże dziłjącym wzdłuż tej prostej, zwrocie zgodnym z większą ze skłdnych sił i mierze równej sumie, gdy miry wektorów skłdowych są zgodne, lub różnicy mir wektorów skłdowych, gdy zwroty skłdowych są przeciwne ypdkow - metod grficzn ypdkow ukłdu dwóch sił może zostć wyznczon jko przekątn równoległoboku zbudownego w oprciu o wektory skłdowe przecinjąc kąt między tymi wektormi cos( ) 1 1 cos 38

20 ielobok sznurowy Do końc pierwszej siły przykłdny jest początek siły nstępnej, itd. oczątek pierwszej siły połączony z końcem osttniej określ wypdkową Rozkłdnie siły n skłdowe rzez początek i koniec dnej siły przeprowdz się kierunki, n które sił m zostć rozłożon. Siły skłdowe mogą zostć wyznczone jko boki tk zbudownego równoległoboku

21 Twierdzenie sinusów dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinus przeciwległego kąt jest stły i równ się długości średnicy okręgu opisnego n trójkącie. b c R sin sin sin c b R 41 Miry wektorów skłdowych y x 1 x y 1 sin sin sin 1 sin sin sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 4

22 ypdkow - metod nlityczn Skłdowe sił ukłdu: ix i cos i iy i Skłdowe wypdkowej: x... Sił wypdkow: sin 1x x nx y 1y y ny x y Kierunek wypdkowej: cos x sin y i rzykłd y 1y 1 3 3y y 1x 3x x 3 1 x y x 44

23 Moment siły (1) Moment siły względem punktu iloczyn wektorowy promieni wodzącego, czyli wektor łączącego omwiny punkt i punkt przyłożeni siły, orz wektor siły: O r M O M O r r sin r r sin r M O r 45 Moment siły () Moment siły względem prostej - Momentem względem prostej nzywmy iloczyn wektorowy promieni wodzącego, czyli wektor łączącego punkt prostej njbliższy kierunkowi siły i punkt przyłożeni siły, i wektor siły: M l =r 46

24 ypdkow ukłdu sił równoległych rzyłożenie ukłdu zerowego (ukłd sił równowżących się, np. dwie siły o tkiej smej mierze, linii dziłni i przeciwnych zwrotch) nie wpływ n stn równowgi cił. 1 Z Z 1 1 Z 1 1 Z 47 r sił rę sił stnowią dwie siły o równoległych linich dziłni, o przeciwnych zwrotch, zś o tych smych mirch. Rmię pry sił odległość pomiędzy kierunkmi sił nosi nzwę rmieni pry sił. 1 1 M 48

25 Dowolny płski ukłd sił (1) Redukcj do siły wypdkowej przyłożonej w biegunie redukcji i wypdkowego momentu względem tego biegun (pry sił). Siły skłdowe mogą zostć przeniesione do biegun redukcji, pod wrunkiem przyłożenie momentu od tych sił względem biegun redukcji. 49 Dowolny płski ukłd sił () ypdkową siłę wyzncz się dl ukłdu zbieżnego przyłożonego w biegunie n redukcji. i i1 ypdkowy moment jest równy sumie momentów od sił skłdowych. n M r M o i i io i1 i1 n 5

26 rzykłd (1) y 3y 3x 3 1y 1 (x,y ) 3 3 (x,y ) 1 1 1x x (x,y ) x y 51 rzykłd () y 3 3x 3y 1 M 1 1y 1 1x x M 1 1 x y1 1 yx1 y x 5

27 rzykłd (3) y 3 3x 3y 1y 1 M 1x x M x y yx y x 53 rzykłd (4) y 3 3x 3y 1y 1 1x 3 M 3 x M 3 3 x y3 3 yx3 x y 54

28 rzykłd (5) y 3 3x 3y 1y 1 1x M x M M 1 M M 3 x y 55 Dowolny płski ukłd sił (3) ypdkowy moment może zostć przedstwiony jko: wektor momentu; pr sił; moment od siły wypdkowej przyłożonej nie w biegunie redukcji, n linii dziłni wyznczonej w tki sposób, że moment od siły wypdkowej równy jest momentowi od sił skłdowych. 56

29 Moment od wypdkowej y y M y x y yx yx M y x M xtg y x M x x x 57 Uogólnienie w przestrzeni Ukłd sił zbieżnych redukcj do siły wypdkowej przyłożonej w punkcie zbieżności. Dowolny przestrzenny ukłd sił redukcj do wypdkowej siły i wypdkowego momentu. 58