Krótkookresowe prognozowanie inflacji z użyciem modeli czynnikowych

Transkrypt

1 Bank i Kredy 41 (4), 2010, Krókookresowe prognozowanie inflacji z użyciem modeli czynnikowych Paweł Baranowski*, Agnieszka Leszczyńska #, Grzegorz Szafrański Nadesłany: 14 sycznia 2010 r. Zaakcepowany: 16 czerwca 2010 r. Sreszczenie Dynamiczne modele czynnikowe (DFM) umożliwiają uzyskanie syneycznej informacji o kszałowaniu się zmienności dużego zbioru danych. Celem niniejszego opracowania jes sprawdzenie jakości krókookresowych prognoz inflacji CPI oraz inflacji bazowej w Polsce (z wyłączeniem cen energii i żywności), sporządzonych za pomocą modeli DFM. W badaniu wykorzysano 182 szeregi czasowe o częsoliwości miesięcznej, obejmujące obserwacje zmiennych makroekonomicznych od 1999 do 2009 r. Orzymane rezulay wskazują, że efekywne korzysanie z dużego zbioru danych może obniżyć błędy poza próbę prognoz inflacji, szczególnie dla dłuższych horyzonów prognozy. Podobne wyniki dla inflacji uzyskano we wcześniejszych badaniach. Słowa kluczowe: inflacja, prognozowanie, dynamiczne modele czynnikowe JEL: C53, E31, E37 * Narodowy Bank Polski, Insyu Ekonomiczny, Uniwersye Łódzki, Kaedra Ekonomerii; pawel.baranowski@nbp.pl. # Narodowy Bank Polski, Insyu Ekonomiczny; agnieszka.leszczynska@nbp.pl. Narodowy Bank Polski, Insyu Ekonomiczny, Uniwersye Łódzki, Kaedra Ekonomerii; grzegorz.szafranski@nbp.pl.

2 24 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański 1. Wsęp Banki cenralne na bieżąco analizują wiele czynników mogących, bezpośrednio lub pośrednio, kszałować procesy inflacyjne. Wynika o głównie z niepewności co do ego, kóre z nich mają obecnie największy wpływ na inflację. Wśród moniorowanych zmiennych można wyróżnić m.in. wskaźniki produkcji i koniunkury, agregay monearne, ceny dóbr imporowanych i surowców na rynkach świaowych, kursy waluowe, wskaźniki rynku pracy oraz sopy procenowe. Informacje płynące z ak różnorodnych czynników sosuje się do procesu prognozowania inflacji. Wykorzysanie pełnego zbioru danych w sandardowych modelach nie jes na ogół możliwe ze względu na niewysarczającą liczbę obserwacji w sosunku do liczby wykorzysywanych szeregów. Prose uśrednianie informacji czy pominięcie wielu ważnych zmiennych w modelu prognosycznym może prowadzić do uzyskania niedokładnych i obciążonych prognoz. Narzędziem dosarczającym syneycznej informacji, zalecanym do bieżącego prognozowania inflacji, jes dynamiczny model czynnikowy DFM (ang. Dynamic Facor Model); por. Sock i Wason (2002b); Forni i in. (2005). W modelu czynnikowym wykorzysuje się fak, że macierz kowariancji dużego zbioru predykorów może być syneycznie przedsawiona za pomocą zmienności kilku wspólnych, nieobserwowalnych czynników. Czynniki e, chociaż z ekonomicznego punku widzenia mają aeoreyczną konsrukcję, mogą być wyrazem nieobserwowalnych sił sprawczych funkcjonujących w gospodarce 1. Mogą być uożsamiane z krókookresowymi wahaniami akywności gospodarczej i służyć do aproksymacji bieżącego sanu koniunkury (Alissimo i in. 2001; Sock, Wason 1999). Zasosowanie modeli czynnikowych pozwala na skondensowanie informacji zawarej w zbiorze predykorów do rozmiarów, kóre umożliwiają jej efekywne wykorzysanie w modelu prognosycznym, bez znacznej uray liczby sopni swobody i bez narażenia się na ryzyko obciążenia prognoz wynikającego z pominięcia ważnych predykorów. Technika łączenia informacji z dużego zbioru danych za pomocą modeli czynnikowych jes sosowana w analizach makroekonomicznych do rozwiązywania wielu podsawowych problemów badawczych. Wśród przykładów waro wymienić wnioskowanie o syneycznym sanie rynku lub gospodarki na podsawie danych zdezagregowanych (Forni, Lippi 1997; Del Negro, Orok 2007) czy modelowanie reakcji poliyki pieniężnej na informacje pochodzące z dużego zbioru danych (Bernanke, Boivin 2003; Boivin, Giannoni 2006). Modele czynnikowe sosowane są akże do konsrukcji szeregów nieobserwowanych bezpośrednio, np. inflacji bazowej lub czysej (Crisadoro i in. 2005; Brzoza-Brzezina, Kołowski 2009). Do podsawowych zasosowań modeli wykorzysujących wspólne czynniki jako zmienne objaśniające należy krókookresowe prognozowanie sanu gospodarki, w ym PKB (Giannone i in. 2008, Schumacher 2007) i jego komponenów (Angelini i in. 2008), oraz sanu koniunkury gospodarczej (Forni, Reichlin 1998; Aruoba i in. 2008). Modele czynnikowe sały się również popularnym narzędziem bieżącego moniorowania i krókookresowego prognozowania inflacji, np. w USA (Sock, Wason 2002b; Forni i in. 2005; Gavin, Kliesen 2006), w Kanadzie (Gosselin, Tkacz 2008), w srefie euro (Marcellino i in. 2003), w nowych krajach Unii Europejskiej (Arraibel i in. 2009), a akże w Polsce (Kołowski 2008). W badaniach empirycznych doyczących inflacji modele czynnikowe charakeryzują się lepszymi własnościami prognosycznymi od wielu modeli szeregów 1 Taka idea leżała u podsaw rozwijanego przez Socka i Wasona (1998) modelu indeksów dyfuzji. Jej pierwowzorem była koncepcja cyklu referencyjnego amerykańskiego Narodowego Biura Badań Ekonomicznych (NBER).

3 Krókookresowe prognozowanie inflacji czasowych, w ym modeli srice oparych na eorii ekonomicznej (Berger, Savrev 2008). Podobne wnioski wynikają również z porównań różnorodnych modeli wykorzysywanych w Banku Anglii do prognozowania inflacji (Kapeanios i in. 2008). Celem niniejszego badania jes sprawdzenie jakości krókookresowych prognoz za pomocą modeli DFM dla dwóch wskaźników inflacji w Polsce, j. indeksu cen owarów i usług konsumpcyjnych (indeks CPI) oraz indeksu CPI z wyłączeniem cen energii i żywności (zw. inflacji bazowej). Na podsawie dużego zbioru (N = 182) miesięcznych szeregów czasowych obejmujących obserwacje od 1999 do 2009 r. (T = 127) sporządzono prognozy miesięcznej inflacji w ujęciu rocznym w horyzoncie prognoz do 12 miesięcy naprzód, z wyróżnieniem prognozy publikowanej w bieżącym miesiącu, zwanej bieżącym monioringiem (ang. nowcasing). Prognozy uzyskane za pomocą modelu DFM zosaną porównane z prognozami wzorcowymi, sanowiącymi dla nich punk odniesienia (zwykła średnia, meoda naiwna, model auoregresyjny, model wskaźnika wyprzedzającego), przy wykorzysaniu 24- i 12-miesięcznego okresu weryfikacji prognoz poza próbę. Srukura pracy jes nasępująca. W drugim rozdziale arykułu opisano konsrukcję dynamicznych modeli czynnikowych, przegląd meod esymacji oraz możliwość zasosowania ej klasy modeli do prognozowania. W rzecim rozdziale przedsawiono założenia badania empirycznego, a w czwarym orzymane wyniki. 2. Dynamiczny model czynnikowy 2.1. Prognozowanie na podsawie dużego zbioru zmiennych x i Oznaczmy przez X = { } zbiór zmiennych objaśniających (predykorów) 2 obserwowanych i =1,..., N w okresach = 1,..., T, na podsawie kórego wyznaczamy prognozy zmiennej na h okresów naprzód (h = 1,..., 12): N + h = β0 + βi i + ε + h i= 1 y x Gdy N > T, wykorzysanie wszyskich predykorów α α w radycyjnej analizie regresji nie jes możliwe 3. Nawe jeśli liczba zmiennych jes mniejsza niż liczba obserwacji (N > T), o ze względu na wariancję esymaora MNK oczekiwany błąd prognozy ex ane nie dąży asympoycznie do zera, gdy liczba zmiennych objaśniających zwiększa się wraz ze wzrosem T (przy sałej relacji N/T) por. Sock i Wason (2006). Z kolei ograniczenie zbioru informacji do kilku najlepszych predykorów (wyselekcjonowanych na przykład na podsawie kryeriów informacyjnych) może spowodować obciążenie prognoz, szczególnie w syuacji, gdy wysępuje duża niepewność co do przyszłych deerminan prognozowanego procesu. Badania empiryczne porównujące wiele różnych meod prognozowania pokazują, że zmniejszenie wariancji błędów prognoz poza zakresem próby jes możliwe dzięki łączeniu meod progno- (1) 2 Dla uproszczenia analizy (w celu wykorzysania asympoycznych własności modeli czynnikowych) założymy, że predykory poddano akim ransformacjom, aby uzyskać szeregi sacjonarne, a nasępnie je wysandaryzowano. 3 Z prakycznego punku widzenia macierz X powinna również zawierać opóźnione zmienne objaśniające jak w modelu z rozkładem opóźnień (ang. disribued lags, DL). Sprawia o, że ograniczenia doyczące liczby sopni swobody są szczególnie uciążliwe.

4 26 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański zowania, oraz łączenie informacji pochodzących z różnych źródeł (Marcellino 2004; Wason, Sock 2004; Kapeanios i in. 2008) 4. Obydwa e posulay spełnia model Socka i Wasona (1998), znany w lieraurze jako model indeksów dyfuzji (ang. diffusion index model): y R + h = 0 + α1y + κ r fr + ε + h r= 1 α (2) Według pomysłu Socka i Wasona indeksy dyfuzji (zmienne f r ) powinny wyrażać wspólny dla większości predykorów wzorzec zmian, a dodanie składnika auoregresyjnego spełnia posula łączenia różnych meod. Indeksy dyfuzji nie są bezpośrednio obserwowalne i do ich esymacji rzeba użyć meod, kóre efekywnie dokonują synezy informacji zawarej w próbie. Syneycznym predykorem, gdy N N < T, może być średnia z warości wszyskich wysandaryzowanych zmiennych x = 1 N x i = 1 i dla usalonego (por. Forni, Reichlin 1998). Użycie zwykłej średniej oznacza jednak arbiralne przyjęcie dla każdej zmiennej równej wagi, co może nie być opymalnym podejściem, gdy N jes duże w porównaniu z T. W prakyce wagi usala się na podsawie analizy macierzy korelacji zmiennych (czyli macierzy kowariancji dla wysandaryzowanych zmiennych) przez uproszczenie jej srukury. W podejściu ym, znanym z analizy czynnikowej, zakłada się, że predykory generowane są przez kilka (R << N) wspólnych czynników (ang. common facors): xi, = λ i,1 f1, λ i, r f r,... + λ i, R f R, + ui, ; i = 1,..., N; = 1,..., T X = FΛ' + U (3) Równanie (3) określa sayczny model czynnikowy (por. Chamberlain, Roschild 1983). Macierz F( T składa się z R nieobserwowalnych czynników ( f R) r, ) wspólnych dla wszyskich predykorów, a macierz Λ ( N R) worzą sałe w czasie ładunki czynnikowe (ang. loadings) λ i, r, czyli paramery Λ liniowych kombinacji ych czynników. Idiosynkrayczne składniki losowe u i, r, będące elemenami macierzy U ( T, odpowiadają za pozosałe nieskorelowane z czynnikami f N ) r, zakłócenia zmiennych x i,. Macierz kowariancji predykorów F X można wówczas zapisać: Ω X = FΛ' ΛF' + Ω (4) gdzie Ω oznacza macierz kowariancji składników Ω idiosynkraycznych. Gdy Ω jes macierzą jednoskową ( Ω I ), model nazywamy dokładnym modelem czynnikowym (ang. sric, exac), w pozosałych przypadkach przybliżonym modelem czynnikowym (Chamberlain, Roschild 1983). α 4 Można również wskazać badania, kóre nie powierdzają ak silnej przewagi dynamicznych modeli czynnikowych nad pozosałymi modelami. Na przykład Banerjee i in. (2005) swierdzają, iż model z rzema czynnikami ma większą zdolność prognozowania inflacji dla srefy euro, w porównaniu z modelem auoregresyjnym (AR), jedynie w rzech na 10 okresów weryfikacji. Jednak modyfikacja ego modelu, polegająca m.in. na dodaniu pięciu zmiennych objaśniających (wskaźników wyprzedzających), sprawia, że aka meoda prognozowania zyskuje w większości okresów weryfikacji przewagę nad modelem AR.

5 Krókookresowe prognozowanie inflacji Boivin, Ng (2005) pokazują, że sayczny model czynnikowy, przy założeniu auokorelacji czynników idiosynkraycznych Ω (model przybliżony), może być przedsawiony jako model Socka i Wasona (2002b): R P y = α + α y + κ f (5) + h 0 1 r, p r, p 1 + ε + h r = 1 p = 1 Model czynnikowy w ej posaci można wykorzysać do prognozowania wybranej zmiennej y. Jak widać, dla P = 1 model (5) odpowiada modelowi indeksów dyfuzji (2). Uogólnieniem modelu saycznego jes dynamiczny model czynnikowy (Forni i in. 2000). Zakłada się dodakowo, że równanie (3) może być rozszerzone o opóźnienia dla każdego z R czynników 5, przy czym dla każdego z nich rząd wielomianu rozkładu opóźnień λ i, (L) wynosi co najwyżej S (por. Sock, Wason 2002b): x i, = λ i,1( L) f1, λi, R ( L) f R, + ui, (6) Kolejne założenie: że wspólne czynniki generowane f r, są przez wielowymiarowy proces auoregresyjny posaci fr, + 1 = A( L) fr, + ε r,, leży u podsaw konsrukcji modeli FAVAR (modeli VAR rozszerzonych o wspólne czynniki, zob. Bernanke i in. 2005) i wykorzysania w modelu DFM meody przesrzeni sanów (Doz i in. 2006b) Esymacja Dynamiczny model DFM z R czynnikami o rzędzie opóźnień S (model 6) można przedsawić w posaci saycznej, analogicznie do równania (3), w kórym liczba saycznych czynników wynosi R ( S +1). Ma o duże znaczenie przy wyborze meody esymacji wspólnych czynników. Jedna z najpopularniejszych meod meoda głównych składowych (ang. principal componens, meoda PC PC PC) pozwala w jednym kroku uzyskać czynniki F = [ f r, ] T R. i ich wagi Λˆ = [ˆ λi,r ] N R. W ym celu dekomponuje się oszacowaną macierz wariancji-kowariancji ˆ X = 1 NT XX' na iloczyn diagonalnej macierzy D oraz orogonalnej macierzy ( C ' C = ): Na głównej przekąnej macierzy D znajduje się R największych warości własnych 6 empirycznej macierzy kowariancji predykorów ˆ, a kolumny macierzy D są wekorami własnymi macierzy ˆ X X, odpowiadającymi jej największym warościom własnym. Przekszałcenie (8) dla macierzy symerycznej nazywane jes dekompozycją Λ spekralną (por. Rencher 2002, s. 35). Meoda głównych Λ składowych pozwala bezpośrednio uzyskać macierz wag Λ ˆ = C, a nasępnie wyznaczyć macierz wspólnych czynników F PC jako kombinację liniową predykorów 7 : ΛΛ PC F = XC (9) I R PC PC CDC' = F Λ'ΛF ˆ ˆ ' (8) 5 Wówczas akie czynniki nazywamy dynamicznymi. 6 Dla macierzy dodanio określonej (a aką własność ma macierz kowariancji) warości własne są dodanie i różne. 7 Uwaga: wspólne czynniki nie są określone jednoznacznie. Są wynikiem przyjęcia idenyfikujących założeń (uaj Λ ˆ Λ ˆ ' = I ).

6 28 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański Wynik aki można również uzyskać, minimalizując ieracyjnie sumę kwadraów resz: T = 1 T N 2 PC 2 u ˆi = ( xi, Λi, r, p fr, p 1). (10), P = 1 i= 1 p = 1 Meoda PC w dynamicznej analizie czynnikowej jes sosowana ze względu na prosoę obliczeniową i jes równoważna meodzie największej wiarygodności, gdy składniki idiosynkrayczne mają rozkład normalny. Ponado ma ona dobrze poznane własności asympoyczne przy dosyć ogólnych założeniach nakładanych na składniki losowe (por. Sock, Wason 1998). Z drugiej srony jes o meoda sayczna i nie uwzględnia faku, że w saycznym modelu czynniki idiosynkrayczne mają srukurę auoregresyjną. Jednak w modelu ze słabą korelacją składników idiosynkraycznych (przybliżony DFM), gdy N, T, esymaor wspólnych czynników wg meody PC jes zgodny, jeżeli predykory są słabosacjonarne por. Sock, Wason (2002a) i Bai, Ng (2002). Do pozosałych popularnych meod esymacji modeli DFM dla dużych zbiorów danych należą meody opare na: analizie głównych składowych ze spekralną esymacją rzędu opóźnień, kóra pozwala uzyskać jak najlepszy sosunek sygnału do szumu (Forni i in. 2000), maksymalizacji funkcji wiarygodności z wykorzysaniem modeli przesrzeni sanów i filru Kalmana por. Doz i in. (2006a; 2006b), Kapeanios, Marcellino (2003). W przeglądowych pracach (Boivin, Ng 2005, Breiung, Eickmeier 2006) wskazuje się, że różnice między prognozami wykorzysującymi wspólne czynniki uzyskane różnymi meodami esymacji są nieznaczne. Dlaego w opracowaniu odnosimy się przede wszyskim do wyników uzyskanych meodą głównych składowych (PC), choć prezenujemy również wyniki uzyskane meodami największej wiarygodności (MNW) i MNW z filrem Kalmana za pomocą procedur do pakieu Malab pochodzących z Doz i in. (2006a; 2006b) Prognozowanie Prognozowanie na podsawie modelu DFM można przeprowadzić na wiele sposobów (zob. Boivin, Ng 2005): 1. Ieracyjnie, prognozując wspólne czynniki na podsawie równania (7), co jes urudnione, gdy z góry nie znamy ich liczby ani rzędu ich opóźnień. 2. Prognozując predykory (składniki macierzy X) na podsawie algorymu maksymalizacji oczekiwań (ang. expecaion maximizaion, EM) (por. Sock, Wason 2002b) i dopiero na ich podsawie konsruując wspólne czynniki, co jes alernaywnym sposobem uwzględniania opóźnień publikacyjnych. 3. Sosując dla h 2 dwusopniową procedurę Socka i Wasona (Sock, Wason 2002b) i bezpośrednią meodę prognozowania (ang. direc forecasing). W niniejszym opracowaniu a osania meoda zosała wykorzysana jako meoda podsawowa dla modeli czynnikowych. Na pierwszym eapie dokonujemy saycznej esymacji wspólnych PC czynników f i, z równania (3) lub dynamicznej z równania (6), a na drugim eapie opracowujemy prognozę inflacji (j. zmiennej spoza zbioru X) za pomocą nasępującego modelu prognosycznego (zw. diffusion index model):

7 Krókookresowe prognozowanie inflacji R P PC y + h = α + α1y + λr, p fr, p+ 1 + η + h r = 1 p = 1 0 (11) Jeżeli chodzi o liczbę wspólnych czynników i wybór rzędu ich opóźnień, o w wielu pracach empirycznych można dosrzec, że bardzo oszczędny model zapewnia pożądane własności prognosyczne. Przykładowo, Sock, Wason (2002b) i Wang (2009) noują dobre wyniki prognoz w krókich horyzonach już dla modelu z jednym czynnikiem i jednym opóźnieniem. W lieraurze można spokać dwie grupy rozwiązań problemu wyboru liczby czynników i opóźnień (Bai, Ng 2002). Po pierwsze, liczba czynników może być usalona arbiralnie, na akim poziomie, żeby zmienność wspólnych czynników opisywała co najmniej usaloną część zmienności macierzy kowariancji predykorów. Innym rozwiązaniem jes skorzysanie z bardziej sformalizowanych meod, jak wybór czynników i opóźnień na podsawie zmodyfikowanych kryeriów informacyjnych (Bai, Ng 2002), czy esu isoności poszczególnych opóźnień (Jacobs, Oer 2008; Onaski 2009). Obydwie meody dają liczbę czynników i opóźnień opymalną z punku widzenia opisu zmienności zbioru predykorów (X). Z punku widzenia równania prognosycznego (11) dla zmiennej może o nie być opymalne rozwiązanie, gdyż zależy nam na dokładnym opisie zmienności, a nie całej macierzy X. W ym opracowaniu liczbę wspólnych czynników i opóźnień dobieramy albo arbiralnie na niskim poziomie (R = 1, P = 1), albo posługując się sandardowymi kryeriami informacyjnymi (BIC) bezpośrednio w równaniu prognosycznym (11). Oddzielnym zagadnieniem jes wybór długości okna do wyznaczenia wspólnych czynników i esymacja paramerów modelu prognosycznego. W meodzie z rozszerzanym okresem esymacji (ang. expanding window) korzysa się z coraz dłuższej próby, a w meodzie rolowanej (ang. rolling window) ze sałego okna esymacji. Druga z ych meod, sosowana w niniejszym opracowaniu, w prognozach poza próbę jes bardziej odporna na zmiany srukuralne paramerów modelu prognosycznego. W badaniach empirycznych dla modeli DFM daje ona lepsze wyniki prognoz (por. Breiung, Eickmeier 2006). Ważną kwesią jes dobór zmiennych do modelu. W eorii wskazuje się, że własności modelu DFM poprawiają się wraz ze wzrosem liczby zmiennych wchodzących w jego skład (esymaor jes N-zgodny). Jednakże Boivin, Ng (2006), na podsawie eksperymenu Mone Carlo oraz przykładu empirycznego, wskazują, że w przypadku gdy zmienne są silnie współliniowe lub mają niewielkie wagi, dodanie nowych zmiennych do modelu DFM zwiększa błędy prognoz. Angelini i in. (2001) analizują prognozy z rzech modeli DFM, do kórych budowy użyo zmiennych charakeryzujących odpowiednio: kaegorie nominalne, realne oraz nominalne i realne jednocześnie. Rezulay wskazują, że żaden z ych rzech modeli nie ma jednoznacznej przewagi nad pozosałymi. 3. Badanie empiryczne Do badania wykorzysano 182 szeregi o częsoliwości miesięcznej za okres od sycznia 1999 r. do września grudnia r. Zbiór danych obejmuje akie grupy zmiennych, jak: wskaźniki koniunkury, handel zagraniczny, kursy walu, rynek pieniężny i obligacje, indeksy giełdowe, podaż pieniądza, rezerwa obowiązkowa, bilans skonsolidowany MIF, indeksy cen PPI, produkcja 8 Różnica wynika z opóźnień publikacyjnych poszczególnych szeregów.

8 30 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański sprzedana przemysłu i budowlano-monażowa, rynek pracy, finanse publiczne, ceny surowców na rynkach świaowych, ceny paliw, ceny płodów rolnych i komponeny CPI (szczegółowy wykaz w Aneksie A). W ślad za większością doychczasowych badań do konsrukcji wspólnych czynników wykorzysujemy dane oczyszczone z sezonowości meodą TRAMO/SEATS. Mimo o uprzednie pozbawienie danych sezonowości może budzić pewne wąpliwości. Naszym zdaniem ważny argumen na rzecz odsezonowywania wynika z meod wyznaczania wspólnych czynników. Meody e działają bowiem w en sposób, że wybierają dominujący w zbiorze danych wzorzec zmienności. W przypadku zasosowania danych zawierających sezonowość orzymane wspólne czynniki będą zdeerminowane głównie przez wspólny dla większości predykorów wzorzec sezonowości, kóry może znacznie odbiegać od wzorca sezonowości indeksu inflacji 9. W rezulacie ze względu na ograniczoną liczbę wspólnych czynników (zasada oszczędności) mogą nie zosać uchwycone wahania krókookresowe, poencjalnie bardzo przydane w prognozowaniu. Zmienne odsezonowane poddano nasępnie ransformacjom, aby orzymać szeregi sacjonarne. Przed przysąpieniem do wyznaczenia wspólnych czynników predykory zosały ak wysandaryzowane, aby miały jednoskową wariancję. Do wyznaczenia prognoz korzysamy z danych dosępnych 15. dnia każdego miesiąca. Problem opóźnień w publikacji danych saysycznych rozwiązano, umieszczając w bazie każdą obserwację w erminie jej publikacji 10. Przykładowo, 15 grudnia produkcja sprzedana dosępna jes za październik, inflacja i jej komponeny za lisopad, a dane publikowane z częsoliwością dzienną (np. kursy walu) za pierwszą połowę grudnia. W związku z ym opóźnienie publikacji według sanu na połowę miesiąca wynosi dwa miesiące dla produkcji sprzedanej, jeden miesiąc dla inflacji oraz zero miesięcy dla kursów walu (szczegóły zawiera Aneks A). Eksperymen prognosyczny wykonano na łańcuchowych miesięcznych indeksach cen konsumena oraz inflacji bazowej. W celu oceny prognoz wygenerowano 24 prognozy poza próbę (okres weryfikacji prognoz od grudnia 2007 do lisopada 2009 r.). Prognozy DFM wyznaczono na h = 1, 2,, 12 miesięcy naprzód, od okresu (dla h = 1 prognoza doyczy de faco bieżącego miesiąca), korzysając z modeli prognosycznych (11) rozszerzonych o deerminisyczną sezonowość: yˆ R r P PC 11 + h = α ˆ 0 + αˆ 1y + λ = = + + p r p fr p j = js 1 1,, 1 γˆ 1 j, + h ˆ ˆ (DFM+AR) Prognozy e porównano z modelami wzorcowymi: 12 rr = y j 1 j + 1 rr 1 y ˆ + h = (zwykła średnia) 12 y ˆ = y rr + h rr (meoda naiwna, model random walk, RW) yˆ + = ˆ + ˆ = ˆ h α α y γ js j + 11 j 1, h (model auoregresyjny pierwszego rzędu, AR) 11 ˆ 0 1 j 1 j j, h yˆ + = α ˆ + αˆ wk + = γ s (model wskaźników wyprzedzających, Lead) + h 9 Z kolei w przypadku, gdy predykory będą niesacjonarne, dominującym wzorcem zmienności będzie rend. 10 W ym opracowaniu indeks związany jes z daą, kiedy dane zosały opublikowane, a nie z okresem, kórego doyczą. Z ego powodu dzień miesiąca, w kórym dane były uakualniane, ma wpływ na określenie warości ych indeksów.

9 Krókookresowe prognozowanie inflacji gdzie: y, ŷ indeks cen miesiąc do miesiąca (CPI lub inflacja bazowa) oraz jego prognoza, rr rr y, ŷ indeks cen rok do roku (CPI lub inflacja bazowa) oraz jego prognoza, f ˆ wspólne czynniki wyznaczone meodą głównych składowych, i, R, P odpowiednio: liczba i rząd opóźnień wspólnych czynników wykorzysanych w modelu prognosycznym, wk wybrany ankieowy wskaźnik koniunkury (ogólna syuacja ekonomiczna w handlu) 11, s j, deerminisyczne zmienne sezonowe (przyjmujące warość 1 w miesiącu j i 0 w pozosałych okresach), αˆ, αˆ, λˆ r p, γˆ 0 1, j oszacowania (MNK) paramerów srukuralnych poszczególnych modeli prognosycznych. Wszyskie modele esymowano rekursywnie w sałym oknie esymacji (ang. rolling sample). Długość okna esymacji wynosi, w zależności od horyzonu prognozy, od 92 do 103 miesięcy. Tak wyznaczone prognozy inflacji miesięcznej posłużyły nasępnie do wyznaczenia prognoz inflacji rok do roku. Zasosowano dwie meody annualizacji w zależności od horyzonu prognozy 12 : rr rr y y ( yˆ / y ) dla h = 1 ˆ+ 1 = rr h h ˆ ˆ 1 = Π + i= 1y Π + i j= 1 y j+ 1 y dla h Wyniki Wyniki porównań modeli DFM i modeli wzorcowych prezenujemy dla 24-miesięcznego okresu weryfikacji w dwóch układach: oddzielnie dla bieżącego monioringu (h = 1) i dla prognoz na h > 1. W aneksach przedsawiamy akże wyniki dla krószego, 12-miesięcznego okresu weryfikacji (od grudnia 2008 do lisopada 2009 r.). W celu czyelnego przedsawienia wyników wybór specyfikacji modeli DFM ograniczono głównie do prosych modeli z jednym opóźnieniem i jednym czynnikiem. Podobne rezulay można uzyskać dla modelu z większą liczbą wspólnych czynników 13. Spośród ych modeli prezenujemy ylko model z liczbą wspólnych czynników określaną na podsawie wskazań kryerium informacyjnego Schwarza (BIC). Porównanie modeli opare było na syneycznych miarach błędów prognoz poza próbę RMSE, MAE i ME. Ponado dla horyzonu jednomiesięcznego (niewymagającego składania prognoz pochodzących z różnych modeli) prezenujemy dodakowo wyniki esymacji modelu DFM z użyciem bardziej zaawansowanych obliczeniowo meod filru Kalmana (Doz i in. 2006b) i meody quasi-największej wiarygodności (Doz i in. 2006a). 11 Wybór wskaźnika wyprzedzającego wynika ze wsępnych analiz błędów prognoz RMSE w przyjęym 24-miesięcznym okresie weryfikacji. Wyboru dokonano spośród wielu rozważanych zmiennych (ankieowe wskaźniki koniunkury, zmienne z rynku finansowego, indeks cen produkcji sprzedanej przemysłu). 12 Ze względu na coroczną rewizję wag indeksu CPI oraz sposób obliczania inflacji rocznej przez GUS agregacja czasowa obarczona jes błędami (sięgającymi w zależności od miesiąca i horyzonu nawe powyżej 0,1 pk proc.). Zasosowane meody gwaranują, że błędy agregacji będą sosunkowo niskie, przy zachowaniu prosoy obliczeń. 13 Dla ilusracji: pierwszy czynnik odpowiada za nieco ponad 11% zmienności predykorów w całym badanym okresie, a pierwszych pięć czynników za około 35% ej zmienności.

10 32 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański Tabela 1 Błędy prognoz h = 1 (bieżący monioring) inflacja CPI (pk proc.) Model Liczba czynników Ranking (RMSE) RMSE MAE ME AR - 3 0,250 0,181 0,036 RW - 6 0,294 0,253-0,009 Lead - 5 0,276 0,216 0,093 Zwykła średnia - 7 0,937 0,776 0,264 DFM_PC 5 cz. 4 0,251 0,186-0,033 DFM_PC 1 cz. 3 0,250 0,177 0,033 DFM_Kal 1 cz. 2 0,246 0,177 0,019 DFM_Doz 1 cz. 1 0,245 0,179 0,009 Uwaga: sufiksy _PC, _Kal, _Doz oznaczają meodę wyznaczania wspólnych czynników odpowiednio głównych składowych, filr Kalmana oraz meodę quasi-największej wiarygodności. Wszyskie modele dla rzędu opóźnień P = 1. Wyniki zaprezenowane w abeli 1 wskazują, że: spośród porównywanych modeli wzorcowych najniższe błędy uzyskuje się za pomocą modelu auoregresyjnego, prognoza za pomocą modeli DFM jes porównywalna (w sensie RMSE) z najlepszą meodą wzorcową, wybór meody esymacji nie ma isonego wpływu na własności prognosyczne modelu DFM. W abeli 2 przedsawiamy analogiczne rezulay dla inflacji bazowej z wyłączeniem cen energii i żywności. Wyniki dla inflacji bazowej (abela 2) wskazują, że: spośród meod wzorcowych najniższe miary błędów uzyskuje się, sosując model auoregresyjny (AR), Tabela 1 Błędy prognoz h = 1 inflacja bazowa z wyłączeniem cen energii i żywności (pk proc.) Model Liczba czynników Ranking (RMSE) RMSE MAE ME AR 5 0,161 0,131 0,068 RW 7 0,213 0,152 0,071 Lead 6 0,181 0,135 0,060 Zwykła średnia 8 0,604 0,487 0,473 DFM_PC 4 2 0,149 0,117-0,018 DFM_PC 1 4 0,154 0,125 0,018 DFM_Kal 1 3 0,150 0,121 0,007 DFM_Doz 1 1 0,145 0,117 0,002

11 Krókookresowe prognozowanie inflacji prognozy za pomocą modeli DFM są lepsze o około 5% (pod względem RMSE) od najlepszych modeli wzorcowych, wybór meody esymacji nie ma znacznego wpływu na własności prognosyczne modelu DFM. Dla inflacji CPI po skróceniu okresu weryfikacji do 12 miesięcy orzymano podobny ranking, a dla inflacji bazowej przewaga modeli czynnikowych zmniejszyła się na korzyść modelu wskaźników wyprzedzających (zob. Aneks B). W abelach 3 i 4 prezenujemy szczegółowe wyniki ograniczone ze względu na przejrzysość pracy do wybranych horyzonów prognoz, j. h = 2, 3, 6, 9, 12 miesięcy. Ponado dla najlepszych prognoz DFM i prognoz wzorcowych błędy RMSE dla wszyskich horyzonów do h = 12 przedsawiono na wykresach. Ponieważ w eksperymenach dla h = 1 wybór meody liczenia wspólnych czynników nie wpływał isonie na wielkość błędów prognoz, prezenowane są wyłącznie modele DFM szacowane meodą głównych składowych 14. Wyniki zaprezenowane na wykresie 1 i w abeli 3 wskazują, że: DFM jes porównywalna (pod względem RMSE) z najlepszymi modelami wzorcowymi (j. modelem AR i LEAD) dla horyzonów h < 6, Zasosowanie modeli DFM pozwala ograniczyć błędy prognoz RMSE dla h 6 horyzonów naprzód (od 5% dla h = 10 do 30% dla h = 12), w porównaniu z analizowanymi modelami wzorcowymi. Tabela 3 Błędy prognoz h = 2, 3, 6, 9, 12 inflacja CPI (pk proc.) Prognozy Horyzon prognoz AR RW Lead zwykła średnia DFM_PC (1 czynnik, 1 opóźnienie) DFM_PC (3 czynniki, 1 opóźnienie) h = 2 h = 3 h = 6 h = 9 h = 12 RMSE 0,450 0,506 0,466 1,054 0,452 0,479 MAE 0,337 0,406 0,357 0,890 0,340 0,395 ME -0,033-0,003 0,067 0,322-0,056-0,195 RMSE 0,548 0,717 0,604 1,162 0,566 0,597 MAE 0,399 0,559 0,486 0,992 0,430 0,490 ME 0,066 0,044 0,220 0,390 0,041-0,192 RMSE 0,935 1,105 0,962 1,417 0,948 0,892 MAE 0,802 0,894 0,847 1,202 0,841 0,733 ME 0,559 0,227 0,729 0,629 0,534-0,033 RMSE 1,161 1,301 1,110 1,676 1,343 1,038 MAE 0,995 1,078 0,992 1,364 1,203 0,896 ME 0,951 0,399 0,992 0,938 1,127 0,202 RMSE 1,572 1,647 1,280 1,937 1,832 0,989 MAE 1,378 1,420 1,141 1,587 1,695 0,819 ME 1,378 0,591 0,911 1,315 1,695 0, Wcześniej podobne rezulay orzymali Breiung, Eickmeier (2006).

12 34 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański Wykres 1 Błędy RMSE dla wybranych meod prognozowania inflacji CPI 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 h = 1 h = 2 h = 3 h = 4 h = 5 h = 6 h = 7 h = 8 h = 9 h =10 h =11 h =12 AR Lead RW DFM (3,1)* * Liczba czynników i ich opóźnień w modelu DFM przedsawiana jes w nawiasie. Tabela 4 Błędy prognoz h = 2, 3, 6, 9, 12 inflacja bazowa (pk proc.) Prognozy Horyzon prognoz AR RW Lead Zwykła średnia DFM_PC (1 czynnik, 1 opóźnienie) DFM_PC (3 czynniki, 1 opóźnienie) h = 2 h = 3 h = 6 h = 9 h = 12 RMSE 0,189 0,341 0,202 0,680 0,219 0,313 MAE 0,153 0,273 0,128 0,548 0,164 0,263 ME 0,004 0,152-0,026 0,546-0,110-0,192 RMSE 0,228 0,456 0,299 0,753 0,234 0,379 MAE 0,184 0,393 0,153 0,621 0,164 0,320 ME 0,089 0,236 0,030 0,621-0,079-0,225 RMSE 0,508 0,677 0,626 0,955 0,293 0,513 MAE 0,427 0,583 0,291 0,858 0,244 0,459 ME 0,357 0,452 0,179 0,858-0,023-0,402 RMSE 0,764 0,883 0,920 1,189 0,349 0,504 MAE 0,427 0,654 0,492 1,120 0,275 0,425 ME 0,357 0,635 0,279 1,120 0,113-0,352 RMSE 1,173 1,048 1,352 1,447 0,607 0,450 MAE 0,958 0,869 0,630 1,403 0,515 0,362 ME 0,880 0,851 0,392 1,403 0,415-0,194

13 Krókookresowe prognozowanie inflacji Wykres 2 Błędy RMSE dla wybranych meod prognozowania inflacji bazowej 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 h=7 h=8 h=9 h=10 h=11 h=12 AR Leading Indicaor Random walk DFM (1,1)* * Liczba czynników i ich opóźnień w modelu DFM przedsawiana jes w nawiasie. Spośród pozosałych meod prognozowania dla h = 2 najniższe błędy zapewnia model auoregresyjny, a dla dłuższych model wskaźników wyprzedzających. W krószym okresie weryfikacji (od grudnia 2008 do lisopada 2009 r.), w kórym wysąpiła gwałowna zmiana endencji inflacyjnych, sosunkowo dobre wyniki prognoz uzyskiwano za pomocą zwykłej średniej, a modele DFM zdobywały przewagę jedynie w dłuższych horyzonach (por. abela 4 w Aneksie C). W abeli 4 prezenujemy rezulay dla inflacji bazowej z wyłączeniem cen energii i żywności. Wyniki dla inflacji bazowej (abela 4 i wykres 2) wskazują, że: Dla h = 2, 3 modele DFM są nieznacznie gorsze od najlepszych meod wzorcowych (j. modeli AR i LEAD), Dla h > 3 modele DFM są co najmniej porównywalne z najlepszymi prognozami wzorcowymi, a ich przewaga zwiększa się wraz z horyzonem prognozy (błąd RMSE modelu DFM z jednym czynnikiem sanowi średnio około 50% błędu uzyskanego dla najlepszego modelu wzorcowego) 15. Dodakowo podjęo dalsze próby zmniejszenia błędu prognoz przez wyłączanie z bazy danych modelu DFM: (1) zmiennych o najniższych ładunkach, (2) zmiennych najsłabiej skorelowanych (bieżąco i z opóźnieniem) ze zmienną prognozowaną i (3) poszczególnych grup zmiennych uporządkowanych emaycznie. Zabiegi e nie wpływały isonie na uzyskiwane błędy prognoz. Przewaga dokładności prognoz orzymanych za pomocą modelu DFM nad prognozami z modeli porównawczych znajduje akże powierdzenie w innych badaniach ego ypu. Przykładem akiego badania jes arykuł Kołowskiego (2008), w kórym saysycznie isona przewaga modeli DFM w prognozowaniu inflacji w Polsce zosała powierdzona w krókich horyzonach (obejmujących 15 Nie udało się ej przewagi powierdzić w krószym okresie weryfikacji por. abela 5 w Aneksie C.

14 36 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański 1 miesiąc i 3 miesiące). Wykorzysany model czynnikowy zbudowany był na bazie 92 zmiennych, a w równaniu prognosycznym wykorzysano dwa wspólne czynniki z jednym opóźnieniem. Rolę modeli wzorcowych w ym przypadku odegrały modele: auoregresyjny pierwszego rzędu, wskaźników wyprzedzających i prosy model VAR. 5. Podsumowanie W opracowaniu podjęo próbę zasosowania dynamicznych modeli czynnikowych (DFM) do prognozowania inflacji w Polsce. Na podsawie danych saysycznych obejmujących szeregi miesięczne dosępne na 15. dzień miesiąca sporządzono prognozy inflacji publikowanej w bieżącym miesiącu (ang. nowcasing), a akże na kolejne miesiące (do 12 miesięcy naprzód). Orzymane rezulay można podsumować nasępująco. 1. Prognozy inflacji CPI uzyskane za pomocą modelu DFM dla krószych horyzonów (h < 6) są porównywalne z najlepszymi prognozami wzorcowymi. Dla dłuższych horyzonów charakeryzują się mniejszymi błędami RMSE (w najdłuższym rozważanym horyzoncie są o około 30% niższe od modeli wzorcowych) 16, 2. Prognozy inflacji bazowej (z wyłączeniem cen żywności i energii) z wykorzysaniem DFM w podsawowym okresie weryfikacji były dla horyzonów h > 3 porównywalne z wynikami uzyskanymi za pomocą konkurencyjnych meod lub lepsze. Przewaga a nie zosała powierdzona w krószym okresie weryfikacji. Zaprezenowane w pracy wyniki dla modeli DFM pozwalają sądzić, że efekywne korzysanie z dużego zbioru danych może obniżyć błędy prognoz inflacji poza próbę, szczególnie dla dłuższych horyzonów prognozy. Podobne wyniki uzyskano we wcześniejszych badaniach (np. Kapeanios i in. 2008; Berger, Savrev 2008). Przedmioem dalszych badań auorów będzie analiza czynnikowa z użyciem zmiennych, wybieranych na podsawie ich związku saysycznego ze zmienną prognozowaną (Bai, Ng 2008). Pogłębiona analiza ej klasy modeli może umożliwić ekonomiczną idenyfikację źródeł inflacji oraz pomóc w poprawie jakości prognoz wykorzysujących modele czynnikowe. Bibliografia Alissimo F., Bassanei A., Crisadoro R., Forni M., Hallin M., Lippi M., Reichlin L., Giannoni V. (2001), EuroCOIN: A Real Time Coinciden Indicaor of he Euro Area Business Cycle, CEPR Discussion Papers, Angelini E., Bańbura M., Runsler G. (2008), Esimaing and Forecasing he Euro Area Monhly Naional Accouns From a Dynamic Facor Model, ECB Working Paper, 953. Angelini E., Henry J., Mesre, R. (2001), Diffusion Index-based Inflaion Forecass for he Euro Area, ECB Working Paper, Wyniki esu saysycznego Harveya (Harvey i in. 1997) oraz esu SPA (Hansen 2005) por. Aneks D wskazują, że przewaga modelu DFM nie jes isona saysycznie. Ze względu na sosunkowo króką próbę przy inerpreacji wyników ych esów należy jednak zachować osrożność.

15 Krókookresowe prognozowanie inflacji Arraibel O., Kamps C., Leiner-Killinger N. (2009), Inflaion Forecasing in he New EU Member Saes, ECB Working Paper, Aruoba B., Diebold F., Scoi C. (2008), Real-Time Measuremen of Business Condiions, NBER Working Paper, Bai J., Ng S. (2002), Deermining he Number of Facors in Approximae Facor Models, Economerica, 70 (1), Bai J., Ng S. (2008), Forecasing Economic Time Series Using Targeed Predicors, Journal of Economerics, 146 (2), Banerjee A., Marcellino M., Masen I. (2005), Leading Indicaors for Euro-area Inflaion and GDP Growh, Oxford Bullein of Economics and Saisics, 67 (supplemen). Berger H., Savrev E. (2008), The Informaion Conen of Money in Forecasing Euro Area Inflaion, IMF Working Paper, 08/166. Bernanke B.S., Boivin J. (2003), Moneary Policy in a Daa-rich Environmen, Journal of Moneary Economics, 50 (3), Bernanke B.S., Boivin J., Eliasz P. (2005), Measuring he Effecs of Moneary Policy: A Facor- Augmened Vecor Auoregressive (FAVAR) Approach, Quarerly Journal of Economics, 120 (1), Boivin J., Giannoni M.P. (2006), Has Moneary Policy Become More Effecive? Review of Economics and Saisics, 88 (3), Boivin J., Ng S. (2005), Undersanding and Comparing Facor-Based Forecass, Inernaional Journal of Cenral Banking, 1 (3), Boivin J., Ng S. (2006), Are More Daa Always Beer for Facor Analysis? Journal of Economerics, 132 (1), Breiung J., Eickmeier S. (2006), Dynamic Facor Models, ASA Advances in Saisical Analysis, 90 (1), Brzoza-Brzezina M., Kołowski J. (2009), Bezwzględna sopa inflacji w gospodarce polskiej, Gospodarka Narodowa, 20 (9), Chamberlain, G., Rohschild, M. (1983), Arbirage Facor Srucure, and Mean-variance Analysis of Large Asse Markes, Economerica, 51 (5), Crisadoro R., M. Forni, L. Reichlin, G. Veronese (2005), A Core Inflaion Indicaor for he Euro Area. Journal of Money, Credi and Banking, 37 (3), Del Negro M., Orok C. (2007), 99 Lufballons: Moneary Policy and he House Price Boom Across U.S. Saes, Journal of Moneary Economics, 54 (7), Doz C., Giannone D., Reichlin L. (2006a), A Quasi Maximum Likelihood Approach for Large Approximae Dynamic Facor Models, ECB Working Paper, 674. Doz C., Giannone D., Reichlin L. (2006b), A Two-sep Esimaor for Large Approximae Dynamic Facor Models Based on Kalman Filering. THEMA Working Papers, 23. Forni M., Hallin M., Lippi M., Reichlin L. (2000), The Generalized Dynamic Facor Model: Idenificaion and Esimaion, The Review of Economics and Saisics, 82 (4), Forni M., Lippi M. (1997), Aggregaion and he Microfoundaions of Dynamic Macroeconomics, Oxford Universiy Press, New York. Forni M., Reichlin L. (1998), Le s Ge Real: A Facor Analyical Approach o Disaggregaed Business Cycle Dynamics, The Review of Economic Sudies, 65 (3),

16 38 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański Gavin W.T., Kliesen K.L. (2006), Forecasing Inflaion and Oupu: Comparing Daa-rich Models wih Simple Rules,. Federal Reserve Bank of S. Louis Working Papers, 054. Giannone D., Reichlin L., Small D. (2008), Nowcasing: The Realime Informaional Conen of Macroeconomic Daa, Journal of Moneary Economics, 55 (4), Gosselin M., Tkacz G. (2010), Using Dynamic Facor Models o Forecas Canadian Inflaion: he Role of US Variables, Applied Economic Leers, 17 (1), Hansen P.R. (2005), A Tes for Superior Predicive Abiliy, Journal of Business and Economic Saisics, 23 (4), Harvey D., Leybourne S., Newbold P. (1997), Tesing he Equaliy of Predicion Mean Squared Errors, Inernaional Journal of Forecasing, 13 (2), Jacobs J., Oer P. (2008), Deermining he Number of Facors and Lag Order in Dynamic Facor Models: A Minimum Enropy Approach, Economeric Reviews, 27 (4 6), Kapeanios G., Labhard V., Price S. (2008), Forecas Combinaion and he Bank of England s Suie of Saisical Forecasing Models, Economic Modelling, 25 (4), Kapeanios G., Marcellino M. (2003), A Comparison of Esimaion Mehods for Dynamic Facor Models of Large Dimensions, Universiy of London Queen Mary Economics Working Paper, 489. Kołowski J. (2008), Forecasing Inflaion wih Dynamic Facor Model he Case of Poland, Warsaw School of Economics Working Paper, 24. Marcellino M. (2004), Forecas Pooling for European Macroeconomic Variables, Oxford Bullein of Economics and Saisics, 66 (1), Marcellino M., Sock J.H., Wason M.W. (2003), Macroeconomic Forecasing in he Euro Area: Counry Specific versus Area-Wide Informaion, European Economic Review, 47 (1), Onaski A. (2009), Tesing Hypoheses abou he Number of Facors in Large Facor Models, Economerica, 77 (5), Rencher A.C. (2002): Mehods of Mulivariae Analysis, John Wiley, New York. Schumacher C. (2007), Forecasing German GDP Using Alernaive Facor Models Based on Large Daases, Journal of Forecasing, 26 (4), Sock J.H., Wason M.W. (1998), Diffusion Indexes, NBER Working Paper, Sock J.H., Wason M.W. (1999), Forecasing Inflaion, Journal of Moneary Economics, 44 (2), Sock J.H., Wason M.W. (2002a), Forecasing Using Principal Componens From a Large Number of Predicors, Journal of he American Saisical Associaion, 97 (460), Sock J.H., Wason M.W. (2002b), Macroeconomic Forecasing Using Diffusion Indexes, Journal of Business and Economic Saisics, 20 (2), Sock J.H., Wason M.W., (2006), Forecasing wih Many Predicors, w: C. Granger, A. Timmermann, G. Ellio, Handbook of Economic Forecasing, Volume 1, Chaper 10. Elsevier, Amserdam Wang M.C., (2009), Comparing he DSGE Model wih he Facor Model: an Ou-of-sample Forecasing Experimen, Journal of Forecasing, 28 (2), Wason M.W., Sock J.H. (2004), Combinaion Forecass of Oupu Growh in a Seven-counry Daa Se, Journal of Forecasing, 23 (6),

17 Krókookresowe prognozowanie inflacji Aneks A. Wykorzysane dane saysyczne 17 Tabela 1 Wykorzysane dane saysyczne (grupy zmiennych) Nazwa grupy Badania koniunkury (handel) Badania koniunkury (przemysł) Badania koniunkury (budownicwo) Ilość Dososowanie sezonowe Transformacja Opóźnienie publikacyjne 11 Tak, addyywnie Δ 1 miesiąc 11 Tak, addyywnie Δ 1 miesiąc 12 Tak, addyywnie Δ 1 miesiąc Handel zagraniczny 13 Różnie Δln lub Δ 3 miesiące Kursy walu 4 Nie Δln +0,5 miesiąca Rynek pieniężny i obligacje 8 Nie Δ +0,5 miesiąca Indeksy giełdowe 8 Nie Δln +0,5 miesiąca Podaż pieniądza 6 Tak, muliplikaywnie Δln 2 miesiące Rezerwa obowiązkowa 3 Tak, muliplikaywnie Δln 3 miesiące Bilans skonsolidowany monearnych insyucji finansowych 11 Tak, muliplikaywnie Δln 2 miesiące Indeksy cen PPI 9 Tak, addyywnie Brak 2 miesiące Pozosałe wskaźniki gospodarcze 10 Tak, różnie Δln lub Δ 2 miesiące Rynek pracy 8 Tak, różnie Δln lub Δ 2 miesiące Finanse publiczne 4 Tak, muliplikaywnie Δln 2 miesiące Ceny surowców 15 Nie Δln 1 miesiąc Ceny paliw 3 Nie Δln +0,5 miesiąca Ceny płodów rolnych 6 Tak, muliplikaywnie Δln +0,5 miesiąca Indeksy cen CPI 40 Tak, muliplikaywnie Brak 1 miesiąc 17 Ze względu na znaczne rozmiary załącznika szczegóły doyczące zasosowanych danych saysycznych udosępnimy na życzenie w akim przypadku prosimy o konak mailowy z auorami.

18 40 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański Aneks B. Błędy prognoz dla 12-miesięcznego okresu weryfikacji Tabela 2 Błędy prognoz h = 1 (nowcasing) inflacja CPI (pk proc.) Model Posać DFM (liczba czynników) Ranking (RMSE) RMSE MAE ME AR 4 0,297 0,229 0,035 RW 5 0,315 0,278-0,033 Lead 6 0,316 0,259 0,041 Zwykła średnia 8 0,604 0,468-0,468 DFM_PC 5 7 0,317 0,221 0,102 DFM_PC 1 3 0,292 0,232 0,007 DFM_Kal 1 2 0,290 0,234-0,005 DFM_Doz 1 1 0,289 0,235 0,000 Tabela 3 Błędy prognoz h = 1 inflacja bazowa z wyłączeniem cen żywności i energii (pk proc.) Model Posać DFM (liczba czynników) Ranking (RMSE) RMSE MAE ME AR 3 0,182 0,145 0,045 RW 5 0,212 0,149-0,012 Lead 1 0,165 0,127 0,033 Zwykła średnia 7 0,235 0,186 0,159 DFM_PC 1 czynnik, 2 opóźnienia 6 0,221 0,146-0,031 DFM_PC 1 5 0,212 0,143-0,014 DFM_Kal 1 4 0,209 0,138-0,024 DFM_Doz 1 2 0,180 0,122-0,015

19 Krókookresowe prognozowanie inflacji Aneks C. Błędy prognoz dla 12-miesięcznego okresu weryfikacji Tabela 4 Błędy prognoz h = 2, 3, 6, 9, 12 inflacja CPI (pk proc.) okres weryfikacji 12 miesięcy Horyzon prognoz h = 2 h = 3 h = 6 h = 9 h = 12 AR RW Lead Prognozy Zwykła średnia DFM_PC (1 czynnik, 1 opóźnienie) DFM_PC (3 czynniki, 1 opóźnienie) RMSE 0,543 0,521 0,524 0,649 0,539 0,527 MAE 0,439 0,389 0,425 0,533 0,459 0,437 ME -0,164-0,124-0,140-0,533-0,260-0,141 RMSE 0,653 0,673 0,613 0,671 0,643 0,703 MAE 0,505 0,514 0,479 0,582 0,536 0,571 ME -0,092-0,213-0,052-0,582-0,279-0,134 RMSE 0,885 0,922 0,783 0,608 0,777 0,943 MAE 0,803 0,723 0,679 0,573 0,656 0,794 ME 0,209-0,501 0,309-0,573-0,250-0,108 RMSE 0,898 0,797 0,763 0,564 0,783 0,882 MAE 0,785 0,675 0,683 0,488 0,655 0,743 ME 0,493-0,607 0,575-0,365-0,236-0,146 RMSE 0,861 0,904 0,918 0,643 0,435 0,948 MAE 0,726 0,829 0,845 0,544 0,324 0,797 ME 0,516-0,829 0,245 0,000-0,086-0,450 Tabela 5 Błędy prognoz h = 2, 4, 6, 8, 12 inflacja bazowa (pk proc.) Horyzon prognoz h = 2 h = 3 h = 6 h = 9 h = 12 AR RW Lead Prognozy Zwykła średnia DFM_PC (1 czynnik, 1 opóźnienie) DFM_PC (3 czynniki, 1 opóźnienie) RMSE 0,216 0,300 0,171 0,284 0,359 0,393 MAE 0,181 0,228 0,139 0,216 0,263 0,304 ME -0,057-0,014-0,077 0,212-0,217-0,211 RMSE 0,239 0,358 0,154 0,349 0,490 0,532 MAE 0,181 0,296 0,107 0,280 0,369 0,424 ME -0,057-0,017-0,011 0,280-0,294-0,298 RMSE 0,390 0,400 0,329 0,612 0,842 0,864 MAE 0,291 0,334 0,286 0,553 0,766 0,797 ME 0,201 0,108-0,272 0,553-0,624-0,712 RMSE 0,678 0,393 0,620 0,897 1,154 0,900 MAE 0,564 0,293 0,565 0,847 1,078 0,816 ME 0,420 0,256 0,539 0,847-1,078-0,816 RMSE 0,709 0,641 0,715 1,196 1,066 0,881 MAE 0,546 0,513 0,643 1,163 0,974 0,837 ME 0,497 0,478 0,525 1,163-0,974-0,837

20 42 P. Baranowski, A. Leszczyńska, G. Szafrański Załącznik D. Tesowanie hipoez o rafności prognoz CPI W eście Harveya i in. (1997, HLN) esowano hipoezę zerową o równej rafności najlepszego (dla danego horyzonu) modelu DFM oraz najlepszego (dla danego horyzonu) modelu wzorcowego 18. Zesaw esowanych hipoez ma nasępującą posać: H : MSE 0 H : MSE 1 DFM DFM = MSE MSE WZORC WZORC gdzie: MSE, MSE DFM WZORC o błędy średniokwadraowe, odpowiednio: najlepszego modelu DFM i najlepszego modelu wzorcowego. Z kolei w eście Superior Predicive Abiliy (SPA; Hansen, 2005) esowano hipoezę, że żaden z modeli wzorcowych nie charakeryzuje się większą rafnością od najlepszego (dla danego horyzonu) modelu DFM. Zesaw esowanych hipoez ma nasępującą posać: H 0 : H : 1 MSE MSE DFM DFM MSE > MSE i i gdzie: MSE MSE DFM, i błędy średniokwadraowe, odpowiednio: najlepszego modelu DFM i modeli wzorcowych ( i = AR, RW, Lead, średnia ). Tabela 6 Wyniki esów Harveya i in. (1997) oraz esu Superior Predicive Abiliy dla prognoz indeksu CPI (w %) h = 1 h = 2 h = 3 h = 4 h = 5 h = 6 HLN (p-value) 97,6 81,9 23,0 24,3 84,5 86,0 SPA (p-value) 31,7 49,8 46,7 48,3 51,5 61,0 h = 7 h = 8 h = 9 h = 10 h = 11 h = 12 HLN (p-value) 78,5 77,5 86,7 97,6 77,4 53,5 SPA (p-value) 59,7 59,7 66,9 66,4 65,2 66,3 Uwaga: p-value oznacza empiryczny poziom isoności esu. Rezulay zaprezenowane w abeli 6 wskazują, że: dla wszyskich horyzonów h = 1,, 12 dokładność prognoz DFM i najlepszej prognozy wzorcowej jes porównywalna, j. różnica między błędami prognoz MSE z modelu czynnikowego i modeli wzorcowych jes saysycznie nieisona, dla wszyskich horyzonów h = 1,, 12 żadna z prognoz wzorcowych nie jes isonie lepsza (w sensie rafności) od modelu DFM. 18 Dziękujęmy Pawłowi Skrzypczyńskiemu za udosępnienie oprogramowania do esu HLN.

21 Krókookresowe prognozowanie inflacji Podziękowania Auorzy pragną podziękować wszyskim uczesnikom seminarium Insyuu Ekonomicznego NBP z r. za cenne uwagi i komenarze do wsępnej wersji opracowania. Shor-erm inflaion forecasing using facor models Absrac Dynamic Facor Models are useful forecasing ools in daa-rich macroeconomic environmen. In he paper we es shor-erm forecasing abiliy of diffusion index model for wo Polish inflaion indices (overall CPI and core inflaion). To his end, we generae facors collecing synheic informaion from a large macroeconomic daabase consising of 182 monhly ime series from he period and use hem in direc forecasing exercises. The forecasing resuls compared o popular benchmark models (AR, leading indicaor, random walk, simple mean) sugges ha ou-of-sample predicion errors can be reduced when using facor models, especially for longer horizons (up o a year ahead). Similar conclusions for oher inflaion series have been drawn in oher sudies. Keywords: inflaion, forecasing, dynamic facor models

22