Natalia Iwaszczuk, Piotr Drygaś, Piotr Pusz, Radosław Pusz PROGNOZOWANIE GOSPODARCZE

Transkrypt

1 Naalia Iwaszczuk, Pior Drygaś, Pior Pusz, Radosław Pusz PROGNOZOWANIE GOSPODARCZE Wyd-wo, Rzeszów 03

2 dr hab., prof. nadzw. Naalia Iwaszczuk, AGH Akademia Górniczo-Hunicza im. Sanisława Saszica w Krakowie dr Pior Drygaś, Uniwersye Rzeszowski dr Pior Pusz, Uniwersye Rzeszowski mgr Radosław Pusz, Bank Pekao SA Recenzenci: prof. dr hab. Wladimir Miiuszew, Uniwersye Pedagogiczny im. Komisji Edukacji Narodowej w Krakowie dr hab., prof. nadzw. Mariusz Kudełko, AGH Akademia Górniczo-Hunicza im. Sanisława Saszica w Krakowie

3 Spis reści Wsęp 7 ROZDZIAŁ I Modele ekonomeryczne podsawowym insrumenem prognozowania gospodarczego Ekonomeria jako dyscyplina naukowa Rola i rodzaje danych saysycznych wykorzysywanych w ekonomerii Modele ekonomeryczne i ich klasyfikacja Modele jedno- i wielorównaniowe Modele sayczne i dynamiczne Modele sochasyczne i deerminisyczne Modele liniowe i nieliniowe Modele przyczynowo-skukowe, sympomayczne i modele endencji rozwojowej Eapy budowania modelu Modele liniowe Posać modelu regresji liniowej Wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonomerycznego... Meoda pojemności informacyjnej Hellwiga... Meoda analizy grafów Esymacja modelu Założenia klasycznego modelu regresji liniowej Klasyczna meoda najmniejszych kwadraów... 3 Klasyczna meoda najmniejszych kwadraów w zapisie macierzowym... 3 Twierdzenie Gaussa-Markowa... 3 Macierz wariancji i kowariancji ocen paramerów srukuralnych Współczynniki dopasowania modelu do danych obserwacji Przedział ufności dla paramerów srukuralnych modelu Weryfikacja modelu... 4 Ogólne zasady weryfikacji saysycznej... 4 Ocena jakości ocen paramerów srukuralnych Badanie założeń o składnikach losowych

4 .4.5. Meryoryczna inerpreacja paramerów srukuralnych oszacowanych modeli Modele nieliniowe Rodzaje modeli nieliniowych Charakerysyka wybranych modeli nieliniowych Funkcja wykładnicza Funkcja poęgowa... 6 Funkcja logarymiczna... 6 Wielomiany Funkcja hiperboliczna Funkcja wykładnicza z odwronością Funkcja logisyczna Pierwsza funkcja Tornquisa Druga i rzecia funkcje Tornquisa Esymacja meodą najmniejszych kwadraów modeli ransformowalnych do posaci liniowej Modele ransformowalne do posaci liniowej Modele ściśle nieliniowe ROZDZIAŁ II Prognozowanie na podsawie modeli szeregów czasowych 8 Wsęp Teoreyczne podsawy prognozowania Organizacja procesu prognosycznego Zasady i meody prognozowania Zasady prognozowania Meody prognozowania Rodzaje błędów prognoz i rodzaje jakości prognoz Rodzaje błędów prognoz Rodzaje jakości prognoz Prognozowanie na podsawie klasycznych modeli rendu Klasyczny model regresji liniowej Meoda harmoniki Meoda Kleina Prognozowanie na podsawie modeli adapacyjnych szeregów czasowych Modele naiwne

5 .8. Modele średniej ruchomej Modele wygładzania wykładniczego Modele wygładzania wykładniczego Browna Modele wygładzania wykładniczego Hola Modele wygładzania wykładniczego Winersa Trend pełzający... 5 ROZDZIAŁ III Budowa i prognozowanie na podsawie modeli auoregresji i średniej ruchomej Proces sochasyczny Filrowanie szeregów Sacjonarność procesu sochasycznego Biały szum Proces średniej ruchomej Proces auoregresyjny Proces ARMA Sopień zinegrowania modelu Procedura Boxa Jenkinsa Model SARIMA Prognozy w modelach ARIMA Podsumowanie... 6 Tablice saysyczne Bibliografia Spis rysunków Spis Tabel

6 6

7 WSTĘP Prognozowanie procesów gospodarczych jes ważną częścią planowania działalności zarówno na poziomie mikro jak i makroekonomicznym. Na podsawie sporządzonych prognoz podejmuje się wiele decyzji w finansach, bankowości, handlu, markeingu, ubezpieczeniach ec. Opracowanie zayułowane Prognozowanie gospodarcze jes wynikiem skorelowania rozważań eoreycznych z prakycznym zasosowaniem oprogramowania kompuerowego w worzeniu modeli prognosycznych. Modele e mogą być budowane na porzeby zarówno insyucji międzynarodowych, rządów i minisersw (w gospodarkach krajowych), jak i poszczególnych przedsiębiorsw. Meody omawiane uaj są nadal z powodzeniem sosowane w badaniach doyczących skali mikro, makro, mezo i megaekonomicznej. W niniejszym opracowaniu przedsawiono e meody prognozowania, kóre najczęściej sosuje się w prakyce. W celu wyznaczenia prognozy zjawisk zmieniających się w czasie bardzo isoną rolą jes znalezienie odpowiedniego modelu maemaycznego opisującego przebieg danego procesu. Nie zagłębiając się w meodologię możemy wyróżnić dwa ypy modeli: czyse przedsawiamy równanie lub układ równań najczęściej różniczkowych opisujących dane zjawisko, lub saysyczne meodami saysyki maemaycznej dobieramy właściwe współczynniki modelu. Auorzy podzielili prezenowany maeriał na rzy rozdziały. 7

8 Rozdział pierwszy zayułowany Modele ekonomeryczne podsawowym insrumenem prognozowania gospodarczego przedsawia nam sposób budowy i weryfikacji modelu ekonomerycznego. Wszelkie prognozy powinny być opare na dobrze zbudowanym i dopasowanym modelu. W rozdziale ym poruszono zagadnienia doyczące budowy modeli ekonomerycznych ze szczególnym uwzględnieniem modeli liniowych. Najważniejszą częścią budowy modelu jes jego weryfikacja oraz meryoryczna inerpreacja uzyskanych wyników. Przedsawiono zaem sposoby esowania hipoez doyczących paramerów srukuralnych i isoności współczynników, a akże badanie składnika losowego. Kolejny rozdział p. Prognozowanie na podsawie modeli szeregów czasowych doyczy emayki związanej przede wszyskim z organizacją i zasadami procesu prognosycznego. Wprowadzono maemayczne wzory na wyznaczanie błędów prognoz. W rozdziale omówiono meody prognozowania na podsawie klasycznych modeli rendu, modeli adapacyjnych szeregów czasowych. Rozdział rzeci niniejszego opracowania zayułowany Budowa i prognozowanie na podsawie modeli auoregresji i średniej ruchomej doyczy modeli zaproponowanych przez Boxa i Jenkina a nazywanych modelami auoregresyjnymi i średniej ruchomej. Modele e są dzisiaj coraz bardziej rozwijane, wprowadzane są do nich informacje o rendzie czy sezonowości. Są one wykorzysywane obecnie przez insyucje finansowe nie ylko do worzenia prognoz ale również analizy przeszłości. Praca w jasny i wyczerpujący sposób definiuje i przedsawia zagadnienie doyczące budowy modeli prognosycznych oraz ich prakycznego zasosowania. W niniejszym opracowaniu wykorzysano najnowsze maeriały i zakualizowane dane. W opracowaniu ym zawaro również informacje o możliwości skorzysania z dosępnego oprogramowania jak podsawowy arkusz MS Excel, ale eż zaawansowane Saisica czy Grel. Opracowanie o podaje nie ylko informacje eoreyczne, ale umożliwia również czyelnikowi samodzielne zasosowanie poprzez dokładne omówienie i prezenację możliwości wykorzysania oprogramowania saysycznego. 8

9 ROZDZIAŁ I MODELE EKONOMETRYCZNE PODSTAWOWYM INSTRUMENTEM PROGNOZOWANIA GOSPODARCZEGO.. Ekonomeria jako dyscyplina naukowa Ekonomeria jako nauka powsała sosunkowo niedawno, bo w drugiej połowie ubiegłego wieku. Jednak jej dynamiczny rozwój nasąpił w osanich rzech dekadach, co wiążę się zarówno z globalną kompueryzacją i informayzacją współczesnego społeczeńswa, jak i rozwojem globalnej sieci Inerne. Jeśli chodzi o zakres badań, o ogólnie można powiedzieć, że ekonomeria bada ilościowe zależności wysępujące między zjawiskami ekonomicznymi wykorzysując przy ym różne meody i narzędzia maemayczne. Jednak najczęściej w ekonomerii wykorzysywane są meody saysyczne. Dlaego niekórzy naukowcy rakują ekonomerię jako pochodną saysyki maemaycznej, kóra powsała znacznie wcześniej niż ekonomeria. Ten związek powsał na skuek ego, że w zjawiskach ekonomicznych bardzo częso mamy do czynienia z losowością zdarzeń, kórych badanie wymaga sosowania sprawdzonych meod saysycznych. Ekonomeria jes również dyscypliną ściśle związaną z różnymi dziedzinami nauk ekonomicznych, dosarczających wiedzy eoreycznej n. badanych zjawisk gospodarczych. Ponado obserwuje się wzmocnienie związku między ekonomerią a informayką, kóra dosarcza narzędzi uławiających wykonanie różnego rodzaju, dość skomplikowanych obliczeń liczbowych oraz ilusrowania orzymanych wyników. Termin ekonomeria powsał ze złożenia dwóch słów pochodzących z języka greckiego: oeconomia, czyli gospodarka, oraz mereo, czyli mierzyć. Razem wzięe 9

10 pozwalają inerpreować ekonomerię jako naukę podejmującą zadanie pomiaru zależności zachodzących w gospodarce. Zaem nie chodzi u o mierzenie bezpośrednio, np. wielkości produkcji, sprzedaży czy innych kaegorii ekonomicznych, lecz o uchwycenie relacji, jakie zachodzą między zjawiskami ekonomicznymi oraz o ich wykorzysanie w analizie i przewidywaniu, a niekiedy w symulacji [7, s. 3]. Po raz pierwszy ermin ekonomeria pojawił się w 90 roku w yule pracy Pawła Ciompy Przegląd ekonomerii i rzeczywisej eorii buchalerii wydanej we Lwowie [0, s. 9]. Przyoczymy kilka definicji ekonomerii. Ekonomeria o nauka zajmująca się usalaniem za pomocą meod saysycznych konkrenych, ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu gospodarczym [9, s. ]. Ekonomeria jes nauką o meodach badania ilościowych prawidłowości wysępujących w zjawiskach ekonomicznych za pomocą odpowiednio wyspecjalizowanego aparau maemayczno saysycznego [35, s.5]. Zaem ekonomeria jako nauką koncenruje się na nasępujących zadaniach [4]: ilościowej ocenie relacji pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi, konfronacji eorii ekonomii z prakyką gospodarczą, prognozowaniu wyników działalności gospodarczej. Badania ekonomeryczne składają się z wielu eapów, kóre najogólniej możemy określić jako [36]:. Sformułowanie modelu ekonomerycznego.. Zgromadzenie danych empirycznych. 3. Esymacja paramerów modelu. 4. Weryfikacja meryoryczna i saysyczna modelu. 5. Inerpreacja ekonomiczna uzyskanych wyników... Rola i rodzaje danych saysycznych wykorzysywanych w ekonomerii Podsawę badań ekonomerycznych sanowią dane saysyczne, kóre po ich opracowaniu za pomocą meod ekonomerycznych dosarczają badaczom informacji niezbędnych do wyciągnięcia odpowiednich wniosków w sosunku do badanego zjawiska ekonomicznego. Dane saysyczne doyczą głównie pewnych zbiorowości (populacji), kórych elemenami są obieky maerialne, zjawiska gospodarcze, echnologiczne i inne. Zbiory dowolnych obieków 0

11 (osób, przedmioów, faków) podobnych pod względem określonych cech nazywa się zbiorowościami saysycznymi lub populacjami. Próba jes o podzbiór populacji generalnej, obejmujący część jej elemenów wybranych w określony sposób. Próba dosaecznie liczna, wybrana w sposób losowy, jes próbą reprezenaywną. Wyniki badań próby reprezenaywnej można uogólnić na całą populację (z dużym prawdopodobieńswem można sądzić, że srukura próby będzie zbliżona do srukury populacji) [4]. Elemeny populacji (obieky) mogą mieć różne właściwości (cechy), kóre podlegają obserwacji saysycznej. Dane saysyczne mają najczęściej posać szeregów czasowych, danych przekrojowych lub danych przekrojowo-czasowych [5; 5]. Szeregi czasowe składają się z liczb odpowiadających warościom, jakie przybrała dana cecha (zmienna) w kolejnych, jednakowo odległych momenach czasu (np. laach, kwarałach, miesiącach). Przykład szeregu czasowego jes podany w abeli. [4]. Z kolei dane przekrojowe doyczą wielkości obieków w ym samym momencie (por. abela.) [4]. Tabela 0.. Miesięczne wydaki na żywność wybranego gospodarswa domowego w 0 r. Miesiąc syczeń luy marzec kwiecień maj czerwic lipiec sierpień wrzesień październik lisopad grudzień Wydaki na żywność (zł) Źródło: dane umowne Gospodarswo domowe Tabela 0.. Wydaki na żywność 0 gospodarsw domowych w marcu 0 r Wydaki (zł) Źródło: dane umowne

12 Dane przekrojowo-czasowe sanowią połączenie dwóch poprzednich rodzajów danych. Szczególnym rodzajem danych przekrojowo-czasowych są dane panelowe. Doyczą one szeregów czasowych zawierających warości pomiarów ej samej zmiennej (cechy) zaobserwowanych przekrojowo w przypadku wielu obieków (abela.3) [4]. Tabela 0.3. Wydaki na żywność 0 gospodarsw domowych w kolejnych miesiącach 0 r. Miesiąc syczeń luy marzec kwiecień maj czerwiec lipiec sierpień wrzesień październik lisopad grudzień Gospodarswa domowe Źródło: dane umowne Modele ekonomeryczne i ich klasyfikacja Podsawowym narzędziem ekonomerii jes model ekonomeryczny. Według Zbigniewa Pawłowskiego Model ekonomeryczny jes o konsrukcja formalna, kóra za pomocą pewnego równania lub układu równań przedsawia zasadnicze powiązania wysępujące pomiędzy rozparywanymi zjawiskami ekonomicznymi [35]. Wiadomo, że na badane zjawisko ekonomiczne oddziaływać może wiele różnych czynników, zarówno pochodzenie zewnęrznego, jak i kwiących w badanym obiekcie. Przy czym działanie o jes bardzo zróżnicowane, zn. niekóre czynniki wpływają na dane zjawisko w sposób decydujący (jes o działanie silne i rwałe), naomias działanie innych jes znikome (czyli słabe i nierwałe). Poza ym na badane zjawisko wpływ mogą mieć również czynniki nieprzewidywalne nazywane czynnikami losowymi. Ich działanie bywa

13 sporadyczne i nieregularne. Jednak w modelu ekonomerycznym uwzględnia się ylko czynniki główne, pomijając czynniki słabo oddziałujące oraz czynniki losowe. Ze względu na różne kryeria klasyfikacji modele ekonomeryczne można podzielić na akie grupy (por. rys..): Modele ekonomeryczne Kryerium: ilość równań w modelu Kryerium: posać anali yczna modelu Kryerium: udział czyn nika losowego Kryerium: okres badań Kryerium: walory poznawcze jednorów naniowe liniowe socha syczne say czne endencji rozwojowej sympo mayczne wielorów naniowe nie liniowe deermini syczne dynamicz czne przyczynowoopisowe modele rendu modele auoregresyjne modele auoregresyjne modele rendu modele auoregresyjne Rys. 0.. Klasyfikacja modeli ekonomerycznych Źródło: opracowanie własne.3.. Modele jedno- i wielorównaniowe W zależności od ego ile równań zawiera model ekonomeryczny rozróżniamy: modele jednorównaniowe, modele wielorównaniowe. Modele jednorównaniowe służą do opisu konkrenych zjawisk bądź fragmenów rzeczywisości gospodarczej (np. model produkcji, model popyu na konkrene dobro, model kszałowania się koszów, wydajności, pracochłonności). Z kolei modele wielorównaniowe wykorzysywane są zazwyczaj w przypadku modelowania bardziej złożonych zjawisk gospodarczych (np. mikroekonomiczny model 3

14 funkcjonowania podmiou gospodarczego lub makroekonomiczny model funkcjonowania gospodarki krajowej)..3.. Modele sayczne i dynamiczne Ze względu na o czy zjawisko jes badane w pewnym okresie czy eż w jednym konkrenym momencie czasu rozróżniamy: modele dynamiczne, modele sayczne. Modele dynamiczne opisują zmiany paramerów obserwowanego zjawiska w czasie. Dlaego w modelach ego ypu pojawia się subskryp, kóry wyznacza określone przedziały czasowe podlegające badaniu. Upraszczając zagadnienie, można swierdzić, że w modelach dynamicznych zmienna czasowa wysępuje albo jako zmienna objaśniająca w modelach endencji rozwojowej, albo jako subskryp przy wszyskich zmiennych objaśniających X, X,..., X ) oraz przy zmiennej objaśnianej ( Y ) w innych modelach. ( K Z kolei modele sayczne opisują współzależności między różnymi zjawiskami ekonomicznymi wysępującymi w gospodarce jednocześnie. Dlaego w ych modelach najczęściej wykorzysywane są subskrypy i lub j Modele sochasyczne i deerminisyczne W posaci ogólnej jednorównaniowy model ekonomeryczny można zapisać za pomocą nasępującego wzoru: gdzie: ( ) Y = f X,..., X K ; ε, (.) Y zmienna objaśniana (endogeniczna) reprezenująca zjawisko modelowane; X,..., X K zmienne objaśniające (egzogeniczne); ε zmienna losowa (zw. zakłócenie losowe); f posać analiyczna modelu; K liczba zmiennych objaśniających ( j =,..., K ). 4

15 Ponieważ równanie (.) zawiera składnik losowy, model ekonomeryczny ma cechy modelu sochasycznego. Oznacza o, iż wnioskowanie na podsawie oszacowanych paramerów będzie miało charaker przybliżony. Naomias pominięcie składnika losowego w modelu pozwala go zapisać w ak zwanej posaci deerminisycznej: gdzie Y zmienna zależna, X,..., X K zmienne niezależne. ( ) Y = f X,..., X K, (.) Oóż ze względu na udział czynnika losowego w modelach ekonomerycznych możemy je podzielić na: modele sochasyczne, modele deerminisyczne. Modele sochasyczne najczęściej wykorzysywane są do opisu zjawisk sfery ekonomicznej i społecznej. Naomias modele deerminisyczne wysępują zwykle w modelach opisujących współzależności zjawisk fizycznych i chemicznych Modele liniowe i nieliniowe Uwzględniając posać analiyczną opisującą badane zjawisko, modele ekonomeryczne można podzielić na kolejne dwie grupy: modele liniowe, modele nieliniowe. Liniowy model ekonomeryczny możemy zapisać w akiej ogólnej posaci: Y = α X + α X + α X + + α X + ε, (.3) K K gdzie: α0, α, α,..., α K paramery srukuralne modelu, kóre należy oszacować; Y zmienna objaśniana; X,..., X K zmienne objaśniające; ε zmienna losowa; K liczba zmiennych objaśniających ( j =,..., K ). Naomias nieliniowych posaci modeli ekonomerycznych jes nieskończenie wiele. Bardzo częso dla przykładu modelu nieliniowego posługuje się posacią poęgową ypu: 5

16 Y = α X α X α X α e ε, (.4) K 0... K gdzie: e sała (liczba Eulera). Wybór posaci modelu ekonomerycznego odgrywa bardzo ważną rolę, gdyż przesądza on skueczność wykorzysania zbudowanego modelu w przyszłości do celów prakycznych, między innymi do budowania prognoz badanego zjawiska ekonomicznego. Wśród modeli nieliniowych wyróżniamy dwie podgrupy: modele, kóre można ransformować do posaci liniowej (czyli linearyzować), modele, kórych linearyzować się nie da Modele przyczynowo-skukowe, sympomayczne i modele endencji rozwojowej Z punku widzenia ogólnopoznawczych właściwości modeli ekonomerycznych możemy je podzielić na [7]: o modele przyczynowo-opisowe, o modele endencji rozwojowej, o modele sympomayczne. Modele przyczynowo-opisowe sanowią grupę odgrywającą zasadniczą rolę wśród wszyskich modeli ekonomerycznych. W modelach ych rolę przyczyn pełnią zmienne objaśniające, kóre opisują zmienną objaśnianą Y. Zaem zmienna objaśniana odgrywa rolę skuku. Wśród ej klasy spoykamy zarówno modele sayczne, jak i dynamiczne. Drugą co do ważności grupę modeli podzielonych według kryerium walorów poznawczych sanowią modele endencji rozwojowej. Modele e opisują ilościowe zmiany zmiennej objaśnianej ( Y ) zachodzące w czasie. Sąd jedyną zmienną objaśniającą jes w ym przypadku zmienna czasowa. Zmienna a przybiera kolejne warości liczb całkowiych zwiększające sie o jeden w miarę nasępowania kolejnych okresów czasu (la, kwarałów, miesięcy, dni, godzin ec.). Zaem w modelach ych nie wysępują żadne więzi przyczynowoskukowe, właściwe modelom przyczynowo-opisowym. W opisie wahań zmiennej objaśnianej za pomocą modelu endencji rozwojowej można wyodrębnić rzy elemeny [4]: ) rend f ( ), ) wahania regularne (cykliczne) g ( ), 3) wahania losowe ε. 6

17 Zaem model endencji rozwojowej można zapisać w nasępującej ogólnej posaci: ( ) ( ) Y = F f, g, ε (.5) Pomijając klasę modeli endencji rozwojowej, we wszyskich pozosałych przypadkach przy budowie modelu zawsze saramy się o o, by między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi zachodził związek przyczynowy. Są jednak syuacje, kiedy nie można spełnić ego posulau. Na przykład może się zdarzyć, iż brak jes odpowiednich danych o wyypowanych zmiennych objaśniających do modelu przyczynowoopisowego. Wówczas można wykorzysać przypadek, w kórym ineresująca nas zmienna endogeniczna jes silnie skorelowana z inną lub innymi zmiennymi bez zaisnienia związku przyczynowego. Zaem model, w kórym zmienne objaśniające nie pozosają w związku przyczynowym ze zmienną objaśnianą, są jedynie silnie z nią skorelowane, jes modelem sympomaycznym. Modele sympomayczne spełniają marginalną rolę wśród modeli ekonomerycznych ze względu na rzadkość ich sosowania. Sanowią rezerwę na przypadek braku możliwości budowania modeli przyczynowo-opisowych; mogą być wykorzysywane do celów predykcji [4, s. 9] Eapy budowania modelu Według wielu auorów proces modelowania ekonomerycznego składa się z nasępujących eapów (por. rys..): usalenie celu i zakresu badań ekonomerycznych; zbieranie danych saysycznych; specyfikacja modelu (usalenie zmiennych objaśniających i posaci maemaycznej modelu); esymacja (szacowanie paramerów modelu); weryfikacja modelu (sprawdzanie), prakyczne wykorzysanie modelu. Celem modelowania ekonomerycznego jes zwykle badane zjawisko gospodarcze, opisywane przez zmienną objaśnianą Y. W modelach wielorównaniowych naomias mamy szereg akich zmiennych (np. Y,..., Y n ) opisujących kilka zjawisk jednocześnie. Zakres badań z kolei wyznacza granicy czasowe obserwacji (w modelach dynamicznych) lub jeden konkreny momen czasu, w kórym badane będzie zjawisko gospodarcze (w modelach saycznych), a akże usala obieky przesrzenne, w kórych dokonuje się obserwacji (np. przedsiębiorswa, regiony, pańswa). 7

18 Na drugim eapie dokonuje się zbierania danych saysycznych, kóre posłużą szacowaniu paramerów modelu. Dane powinny być w miarę rzeelne, komplene i liczne, gdyż im większa liczba obserwacji ym większa dokładność szacowania paramerów modelu. usalenie celu i zakresu badań zbieranie danych specyfikacja modelu esymacja modelu weryfikacja modelu nie Czy weryfikacja modelu przeszła pomyślnie? ak wykorzysanie modelu Rys. 0. Eapy budowania modelu ekonomerycznego Źródło: opracowanie własne na podsawie [7] Specyfikacja modelu wymaga usalenia opymalnej ilości zmiennych objaśniających oraz doboru odpowiedniej posaci analiycznej modelu. W celu usalenia zbioru zmiennych objaśniających należy najpierw uwzględnić wiedzę płynącą z osiągnięć eorii ekonomii. Przy porzebie można akże wykorzysać saysyczne meody wyboru zmiennych objaśniających. Nasępnie wybiera się posać analiyczna modelu (liniowa, nieliniowa, o jednej lub o wielu zmiennych). Esymacja modelu przewiduje szacowanie paramerów srukuralnych modelu oraz szacowanie paramerów jego srukury sochasycznej. Szacowania paramerów równania 8

19 opisującego zjawisko gospodarcze dokonuje się na podsawie zebranych danych saysycznych w drodze porównania modelowanego zjawiska z rzeczywisym procesem ekonomicznych. Z kolei szacowanie paramerów srukury sochasycznej jes sprawdzaniem jakości zbudowanego modelu. Weryfikacja modelu sprowadza się do meryorycznego sprawdzania paramerów srukuralnych zn. czy paramery srukuralne przyjmują rozsądne warości i czy znaki przy ocenach są zgodne ze wskazaniami eorii ekonomii. Na ym eapie również dokonuje się konroli dokładności oszacowania, kóra o konrola obejmuje analizę kilku paramerów srukury sochasycznej, co pozwala usalić, czy błędy esymacji nie przekraczają usalonego poziomu, a akże czy oceny paramerów srukuralnych są saysycznie isone. Jeśli swierdzimy na ym eapie isone nieprawidłowości, o należy powrócić do eapu czwarego (esymacji modelu). W prakyce model ekonomeryczny może być wykorzysany w celu analizy relacji zachodzących w przeszłości i formułowania płynących sąd wniosków, do prognozowania wielkości opisanego przez model zjawiska oraz do symulacji różnych syuacji zarówno w przedsiębiorswie, jak i na rynku..4. Modele liniowe Podsawowym i zarazem najprosszym modelem ekonomerycznym jes jednorównaniowy model liniowy posaci: gdzie Y zmienna objaśniana, Y = α X + α X + α X + + α X + ε, (.6) X,..., 0 X K zmienne objaśniające, K K α,..., 0 α K współczynniki regresji liniowej, ε zmienna losowa. Należy zaznaczyć, że w modelu ym zależność zmiennej objaśnianej Y od zmiennych objaśniających X,..., 0 X K ma charaker liniowy, zn. funkcja Y jes liniową. Współczynniki α ( j = 0,..., K ) nazywane akże paramerami srukuralnymi modelu j charakeryzują ilościowy i jakościowy wpływ zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą. Przy czym pierwsza ze zmiennych objaśniających α 0 (nazywana wyrazem wolnym modelu lub sałą regresji) jes definiowana jako ożsamościowo równa jedności 9

20 ( X 0 ). Podsawowym zadaniem w modelowaniu ekonomerycznym jes oszacowanie paramerów α,..., 0 α K na podsawie danych saysycznych charakeryzujących zmienną objaśnianą i zmienne objaśniające..4.. Posać modelu regresji liniowej Dysponując n-elemenowymi ciągami obserwacji na wszyskich ych zmiennych (objaśnianej i objaśniających), a więc ciągiem wekorów ( y, x,..., x K ) ( =,..., n ), każdą realizację y zmiennej objaśnianej Y możemy, zgodnie z założonym modelem, przedsawić jako sumę: kombinacji liniowej α0 + αx α x odpowiednich realizacji zmiennych objaśniających K K oraz nieobserwowalnej realizacji ε składnika losowego ε [7]. Zaem dla wszyskich obserwacji orzymujemy układ: y = α + α x + α x α x + ε 0 K K y = α0 + αx + αx α K xk + ε.... y = α + α x + α x α x + ε n 0 n n K nk n gdzie: Układ en w symbolice macierzowo-wekorowej można zapisać jako: y y y, M yn = X x x L L x x M M M M xn L x y = Xα + ε, (.7) K K = nk, α α0 α, M α K = ε ε ε. M ε n = wekor obserwacji na macierz obserwacji na wekor paramerów wekor składników zmiennej objaśnianej zmiennych objaśniających srukuralnych losowych Zapis (.6) możemy nazwać posacią srukuralną jednorównaniowego liniowego modelu ekonomerycznego, naomias zapis (.7) nazywamy posacią srukuralnosaysyczną egoż modelu. 0

21 .4.. Wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonomerycznego Wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonomerycznego opiera się zarówno na wiedzy ekonomicznej, jak i maemayczno-saysycznej. Przed wyborem poencjalnych zmiennych objaśniających należy wyypować wszyskie zmienne objaśniające, kóre mogą mieć wpływ na badane zjawisko gospodarcze. W ym procesie może być pomocna wiedza z zakresu eorii ekonomii, finansów, markeingu ec. doycząca badanego zjawiska. Ze zbioru wyypowanych zmiennych objaśniających należy wyeliminować e zmienne, kóre mają charaker niemierzalny, kórych brak jes danych lub komplenych danych i e, kóre charakeryzują się małą zmiennością, a więc w niewielkim sopniu oddziałują na badane zjawisko, a ym samym na zmienną objaśnianą. Nasępnym eapem będzie wybór właściwych zmiennych objaśniających przy wykorzysaniu meod saysycznych, kóre opierają się na założeniu, że zmienne objaśniające uwzględnione w modelu powinny być sosunkowo silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą oraz nieskorelowane lub słabo skorelowane z pozosałymi zmiennymi objaśniającymi uwzględnionymi w modelu. W ym celu należy obliczyć współczynniki korelacji między zmienną objaśnianą i poencjalnymi zmiennymi objaśniającymi, a akże współczynniki korelacji między parami poencjalnych zmiennych objaśniających. Obliczone współczynniki korelacji zesawia się zwykle w posaci wekora R 0 (wekora współczynników korelacji zmiennej endogenicznej z poencjalnymi zmiennymi objaśniającymi) i macierzy R (macierz współczynników korelacji pomiędzy parami zmiennych objaśniających; macierz R jes symeryczna): R r0 r, M r0l 0 0 = R r L r L r r L, (.8) M M M M rl rl L L = gdzie r 0 j współczynniki korelacji między zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi ( j =,,..., L ), L liczbą poencjalnych zmiennych objaśniających, r współczynniki korelacji między zmiennymi objaśniającymi ( j =,,..., L ). ij Przy czym współczynnik korelacji zmiennej z nią samą jes równy ( r ii = ) oraz wysępuje symeria współczynników ypu r ij = r ji.

22 Spośród wielu meod saysycznych wykorzysywanych w celu wyboru właściwych zmiennych objaśniających omówimy meodę Hellwiga oraz meodę analizy grafów. Meoda pojemności informacyjnej Hellwiga Meoda a jes zwana meodą pojemności informacyjnej bądź meodą pojemności nośników informacji, w kórej o meodzie poencjalne zmienne objaśniające są nośnikami informacji. Na począku ze wsępnie wyypowanych L zmiennych objaśniających worzy się kombinacje jedno-, dwu-, L -elemenowe. Liczba wszyskich możliwych kombinacji jes równa L. Poem dla każdej zmiennej w każdej kombinacji oblicza się indywidualną pojemność nośnika informacji ( h kj ) według wzoru [7]: h kj r0 j =, (.9) r i I k ij gdzie: h kj indywidualna pojemność j -ej zmiennej w k -ej kombinacji, r 0 j współczynnik korelacji j -ej poencjalnej zmiennej objaśniającej ze zmienną objaśnianą, { ; } I = i X K zbiór indeksów (numerów) zmiennych wchodzących k i k w skład k -ej kombinacji, j. kombinacji K k, rij suma warości bezwzględnych współczynników korelacji j -ej i I k zmiennej z pozosałymi zmiennymi wysępującymi z nią w danej kombinacji. Dla każdej kombinacji zmiennych objaśniających oblicza się inegralną (łączną) pojemność nośników informacji objaśniających wysępujących w danej kombinacji: H k H k jako sumę pojemności indywidualnych zmiennych = h. (.0) j kj Jako zmienne objaśniające do modelu wybiera się ę ich kombinację, dla kórej pojemność inegralna H przyjmuje warość największą (przy czym h ; H [ 0,] zarówno pojemności indywidualne, jak i inegralne przyjmują warości z przedziału [ 0, ]). kj k, zn.

23 Przykład.. Badanych jes 8 przedsiębiorsw wywarzających jogury. Budowany będzie model koszów całkowiych przedsiębiorswa ( Y ) w zależności od wielkości jego produkcji ( X ) oraz zawarości wsadu owocowego w jogurcie ( X ). Przedsiębiorswo ( ) Y [mln zł] X [mln on] X [%] Źródło: obliczenia własne Obliczymy współczynnik korelacji zmiennych objaśniających ze zmienną objaśnianą: r 0 = 8 = ( y y) ( x x ) ( y y) ( x x ) 8 8 = = ; r 0 = 8 = ( y y) ( x x ) ( y y) ( x x ) 8 8 = = ; r = 8 = ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 8 8 = = ; Dla uławienia poszczególnych obliczeń obliczymy oddzielnie elemeny ze wzorów na r 0 oraz r 0 i zapiszemy je w posaci abelek. Warości średnie obliczyć można za pomocą wzorów: 8 y 9.78 = = = 4.97 ; 8 8 y = 8 x = = = 5.55 ; 8 8 = x 8 x = = = ; 8 8 = x 3

24 y y x x ( y y) ( x x ) ( y ) y ( x ) x Suma Źródło: obliczenia własne r 8 ( y y) ( x x ) = 0 = = = = 8 8 ( y y) ( x x ) = = ; y y x x ( y y) ( x x ) ( y y) ( x x ) Suma Źródło: obliczenia własne r 8 ( y y) ( x x ) = 0 = = = = 8 8 ( y y) ( x x ) = = Korzysając z poprzedniej meody obliczymy również współczynnik korelacji między zmiennymi objaśniającymi. 4

25 x x x x ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) Suma Źródło: obliczenia własne r 8 ( x x ) ( x x ) = = = = = 8 8 ( x x ) ( x x ) = = Oóż mamy rzy współczynniki korelacji: r 0 = 0.99, r 0 = 0.6, r = r = Można o zapisać również w akiej posaci: r R 0 = = r ; r 0.58 r 0.58 R = =. Teraz możemy przysąpić do wyboru opymalnej kombinacji zmiennych objaśniających w modelu. W ym celu zasosujemy meodę Hellwiga. Mając dwie zmienne objaśniające możemy uworzyć ( L ) kombinacji, gdzie L liczba poencjalnych zmiennych objaśniających. Dla L = liczba kombinacji wynosi ( ) = 4 = 3. Będą o nasępujące kombinacje: =, ) K { X } =, ) K { X } 3) K { X, X } =. 3 Dla każdej z ych kombinacji obliczymy inegralne pojemności nośników informacji: ) dla kombinacji K : r h = = = 0.980, H = h = 0.980, 5

26 ) dla kombinacji K : h ( 0.6) r0 = = = 0.37, H = h = 0.37, 3) dla kombinacji K 3 : h 3 r = = = 0.603, + r h 3 ( 0.6) r0 = = = 0.355, + r H3 = h3 + h3 = = Z obliczeń wynika, że największą inegralną pojemność informacji ma kombinacja pierwsza, co oznacza, że do wyjaśnienia zmienności koszów całkowiych produkcji jogurów wysarczy uwzględnić ylko wielkość produkcji (zmienną X ). Meoda analizy grafów Meoda analizy grafów, jak i poprzednia meoda, opiera się na założeniu, że zmienne objaśniające powinny być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabo skorelowane między sobą. W meodzie ej na począku dokonuje się weryfikacji saysycznej isoności współczynników korelacji między poencjalnymi zmiennymi objaśniającymi r ij. Dla każdego ze współczynników należy zweryfikować hipoezę [7]: H : 0 0 r ij = dla i j wobec hipoezy alernaywnej H : 0 rij. W ym celu obliczana jes warość saysyki: rij n =, (.) r ij kórą porównuje się z warością kryyczną α. Warości kryyczne można odczyać z ablic rozkładu Sudena (Aneks A) dla przyjęego poziomu isoności α oraz n sopni swobody, przy czym n oznacza liczbę obserwacji, na podsawie kórych obliczono współczynniki korelacji. Swierdzenie, że α nie daje podsaw do odrzucenia hipoezy 6

27 zerowej, a więc świadczy, że współczynnik korelacji między zmiennymi jes saysycznie nieisony. Częso w prakyce obliczany jes modyfikowany współczynnik korelacji r : r ( ) α ( ) α n = = + n n +, (.) α α kórego warość porównuje się z rzeczywisą warością współczynnika korelacji r ij. W przypadku, gdy rij r uznaje się, że związek pomiędzy zmiennymi jes saysycznie nieisony i w macierzy R warości r ij zasępuje zerami. W en sposób orzymuje się macierz R, kórej elemenami są zera i saysycznie isone współczynniki korelacji. Orzymana macierz R jes podsawą budowy grafu powiązań między zmiennymi. Wierzchołkami grafu są poencjalne zmienne objaśniające, a łączącymi je krawędziami saysycznie isone współczynniki korelacji. W rezulacie można orzymać graf spójny lub graf składający się z podgrafów spójnych i zw. wierzchołków izolowanych, czyli wierzchołków (zmiennych), kóre nie połączyły się z innymi. Zasadą jes, że do modelu wybiera się yle zmiennych, w ile grup połączyły się poencjalne zmienne objaśniające. Będą o wszyskie wierzchołki izolowane oraz jedna zmienna z każdego podgrafu spójnego, kóra ma najwyższy rząd wierzchołka (czyli jes powiązana isonie skorelowana z największą liczbą poencjalnych zmiennych objaśniających, a więc będzie reprezenować je wszyskie). Jeżeli więcej niż jeden wierzchołek ma en sam, najwyższy rząd, o wybiera się ę zmienną, kóra jes najsilniej skorelowana ze zmienną endogeniczną (objaśnianą) i dopiero wówczas korzysamy z informacji zawarych w wekorze R 0 [7]. Przykład.. Na podsawie danych z 30 obserwacji ( n = 30 ) zmiennej objaśnianej Y i 8 poencjalnych zmiennych objaśniających ( X, X, X3, X 4, X5, X6, X7, X 8 ) obliczono nasępujące współczynniki korelacji: 7

28 R 0 =, R = Wykorzysując meodę grafów, wybierzemy opymalną kombinację zmiennych objaśniających do modelu ekonomerycznego. W ym celu zbadamy saysyczną isoność orzymanych współczynników korelacji korzysając ze wzoru (). Na począku musimy odczyać warość kryyczną saysyki z ablic rozkładu Sudena (Aneks A) dla poziomu isoności α = 0.05 oraz n = 30 = 8 sopni swobody. Warość a wynosi.0484 ( 0,05;8 =.0484 ). Zaem r = = = To znaczy, że współczynniki korelacji, kórych warość absoluna jes mniejsza lub równa r ( rij 0.36 ) uznajemy za saysycznie nieisonie różniące się od zera i w macierzy R zasępujemy zerami. W rezulacie orzymujemy macierz: R = Na podsawie danej macierzy możemy zbudować graf powiązań między zmiennymi objaśniającymi (rys..3). 8

29 X X 3 X X 4 X 7 X 8 X 6 X 5 Rys Graf powiązań między zmiennymi objaśniającymi Poencjalne zmienne połączyły się w czery grupy, co oznacza, że do naszego modelu wysarczy wybrać czery zmienne objaśniające. Z pierwszego podgrafu ( X, X3, X 8 ) wybieramy zmienną X 3 ze względu na o, że ona wniesie do modelu akże informacje o zmiennych X i X 8. Wierzchołek X 3 ma najwyższy rząd. Z drugiego podgrafu ( X, X 6 ) widać, że obydwa wierzchołki mają aki sam rząd. W ej syuacji należy wybrać ą zmienną objaśniającą, kóra jes silniej skorelowana ze zmienną Y. Jes o zmienna X 6. Na podobnych zasadach dokonujemy wyboru właściwej zmiennej z podgrafu rzeciego, czyli ( X 4, X 5 ). Ze względu na o, że r04 > r05 wybieramy X 4. Czwarą zmienną objaśniającą będzie X 7, kóra nie jes w sposób isony skorelowana z żadną inną zmienną objaśniającą, zn. informacje, kóre ona niesie w sobie nie zosaną wniesione do modelu przez inne zmienne objaśniające. Podsumowując nasze rozważania możemy zaproponować uwzględnienie w modelu ekonomerycznym nasępujących zmiennych: X 3, X 4, X 6 i X 7, czyli będzie o model (,,, ) Y = f X X X X

30 .4.3. Esymacja modelu Założenia klasycznego modelu regresji liniowej Wiadomo, że każdy model jes uproszczeniem rzeczywisości. Dlaego zawiera on pewny zesaw założeń. Model liniowy w zapisie macierzowo-wekorowym wraz z założeniami można zapisać nasępująco [5, s. 5-6]:. y = X α + ε (każda obserwacja y jes liniową funkcją obserwacji x j oraz składnika n n k k n losowego ε, czyli model, kórego paramery szacujemy, jes modelem liniowym).. X jes macierzą nielosową, zaem zmienne objaśniające są zmiennymi nielosowymi (usalonymi w powarzalnych próbach; dla każdego =,..., n na poziomie x,..., x ). rz X = K + < n (zn. macierz X ma pełny rząd kolumnowy); wekory warości 3. ( ) poszczególnych zmiennych objaśniających (kolumny macierzy X ) są liniowo niezależne (nie wysępuje współliniowość zmiennych objaśniających); liczba zmiennych objaśniających (ze sałą ) jes mniejsza od liczby obserwacji. 4. E( ε) = 0 składnik losowy ma warość oczekiwaną równą zeru (czyli zakłócenia n różnokierunkowe kompensują się). 5. Macierz wariancji i kowariancji składników losowych jes równa: co oznacza, że: ( ) ( ) V ε = E εε T = σ I n, gdzie 0 σ < +, Eε = σ wariancja składnika losowego jes sała dla wszyskich obserwacji (dla każdego ); własność a nazywana jes jednorodnością, sałością lub homoskedaycznością wariancji, Eε ε = 0 dla wszyskich s składniki losowe poszczególnych obserwacji są s nieskorelowane (nie wysępuje auokorelacja składników losowych). Zesaw założeń -5 nazywamy klasycznym modelem regresji liniowej (KMRL). Jeśli dodamy założenie: 6. ε Nn (składnik losowy ε ma n -wymiarowy rozkład normalny), o orzymamy zesaw założeń -6, nazywany klasycznym modelem normalnej regresji liniowej (KMNRL). K 30

31 Klasyczna meoda najmniejszych kwadraów Jak już wspominaliśmy, esymacja modelu polega na oszacowaniu paramerów srukuralnych, paramerów rozkładu składnika losowego i innych miar dopasowania modelu do obserwacji. Dla obserwacji zmiennej objaśnianej Y ( y ; =,..., n ) i K zmiennych objaśniających X,..., X K ( x,..., xk ; =,..., n ) należy usalić model ypu (.6), dla kórego suma kwadraów odchyleń danych obserwacji od danych, obliczonych zgodnie z modelem, jes najmniejsza. Wówczas model aki będą wyznaczały warości eoreyczne y ˆ, w kórych nieznane paramery ( α,..., 0 α K ) zasąpiono ich ocenami ( a 0,..., a K ) [7]: 0 K K yˆ = a + a x + a x a x, (.3) a odchylenia warości eoreycznych od danych obserwacji sanowią reszy ( e ): skalarnie [7]: e = y yˆ. (.4) Zaem funkcję kryerium Meody Najmniejszych kwadraów (MNK) można zapisać (,..., ) min min ( ˆ ) 0 K a0,..., ak a0,..., ak = = a0,..., ak n n S a a = e = y y = = ( y a a x a x a x ) = min... n 0 K K (.5) Po obliczeniu pochodnych cząskowych funkcji S ( a0,..., a K ) względem szukanych ocen paramerów, przyrównania ych pochodnych do zera (warunek konieczny isnienia eksremum) i pewnych przekszałceniach, orzymamy (znany ze saysyki) układ równań normalnych: y = na + a x + a x ak xk y x = a x + a x + a x x a x x 0 K K y x = a x + a x x + a x a x x 0 K K... y x = a x + a x x + a x x a x K 0 K K K K K, (.6) kórego rozwiązaniem są szukane oceny paramerów. 3

32 Klasyczna meoda najmniejszych kwadraów w zapisie macierzowym W zapisie macierzowym dla modelu (7) y = Xa + ε wekor warości eoreycznych można zapisać jako yˆ = Xa, a wekor resz jako e = y y ˆ, gdzie: yˆ yˆ yˆ, M yˆn = a a0 a, M ak = e e e, M en = przy czym a jes szukanym wekorem ocen paramerów srukuralnych. Kryerium MNK minimalizacja sumy kwadraów resz ma posać [7]: i po dalszych przekszałceniach: T T ( ) min min ( ) ( ) S a = e e = y - Xa y Xa (.7) a a T T T T T ( ) S a = y y a X y + a X Xa. Pochodną funkcji kryerium S ( a ) względem szukanego wekora a przyrównujemy do zera: S ( a) T T a = X y + X Xa = 0. Przekszałcając dalej, orzymujemy układ równań normalnych (w zapisie macierzowym): T T T T X Xa = X y X Xa = X y, kórego rozwiązaniem jes szukany wekor ocen paramerów srukuralnych: S a ( a) T = X X dosaeczny isnienia minimum funkcji ( ) T ( ) T a = X X X y. (.8) jes macierzą określoną dodanio, zaem spełniony jes eż warunek T S a, a akże isnieje ( ) X X. Twierdzenie Gaussa-Markowa W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym, nieobciążonym esymaorem liniowym wekora a jes wekor orzymany meodą najmniejszych kwadraów [7]: T ( ) T a = X X X y T o macierzy wariancji i kowariancji ( ) ( ) V a = σ X X. 3

33 W KMNRL esymaor MNK ma k -wymiarowy rozkład normalny, j. k T (, σ ( ) ) a N α X X. Nieobciążonym esymaorem wariancji składnika losowego σ jes wariancja reszowa gdzie: S e. Wzór dla S e można zapisać w akiej posaci macierzowej: T T T S e = ε ε = ( y yˆ ) ( y yˆ ) = ( y Xa) ( y Xa) = n k n k n k T T T = ( y y a X y) n k n liczba obserwacji, k liczba szacowanych paramerów srukuralnych ( k = K + ), n k liczba sopni swobody, ŷ = Xa wekor warości eoreycznych, (.9) e = y yˆ wekor resz. Naomias w posaci skalarnej S S e można obliczyć za pomocą wzoru: K e e n k = =. (.0) Pierwiasek kwadraowy z wariancji reszowej nazywamy odchyleniem sandardowym reszowym. Obliczamy go za pomocą prosego wzoru: S e = S (.) e Odchylenie sandardowe reszowe informuje nas o ile średnio warości eoreyczne zmiennej objaśnianej y ˆ różnią się od jej warości empirycznych y. Macierz wariancji i kowariancji ocen paramerów srukuralnych Nieobciążonym esymaorem macierzy wariancji i kowariancji esymaora MNK, j. macierzy T ( ) = σ ( ) V a X X jes macierz wariancji i kowariancji ocen paramerów srukuralnych [7]: ( ) = ( ) D a X X. (.) T S e 33

34 Pierwiasek kwadraowy z j -ego elemenu diagonalnego macierzy D ( a ) (oznaczamy go symbolem D ( a j ) ) nazywamy błędem średnim szacunku oceny a j. Informuje on o ile średnio wyznaczona meodą najmniejszych kwadraów ocena a j może różnić sie od rzeczywisej warości parameru α j. Innymi słowy, błąd średni szacunku oceny a j jes indykaorem precyzji oszacowania danego współczynnika regresji. T Oznaczmy elemeny macierzy ( ) X X przez d ij. Wówczas przez ( j ) = σ V a będziemy oznaczać wariancję j -ego parameru regresji, przez ( ) d D a = S d jj j e jj będziemy oznaczać ocenę wariancji j -ego parameru regresji, naomias przez ( ) = = D a S d S d j e jj e jj będziemy oznaczać ocenę błędu średniego szacunku j -ego parameru regresji. Współczynniki dopasowania modelu do danych obserwacji W celu dokonania oceny dokładności dopasowania opracowanego modelu do danych obserwacji oblicza się szereg współczynników. Mianowicie, należy obliczyć współczynnik zmienności reszowej V e, współczynnik zbieżności Do obliczenia w/w współczynników służą wzory [7]: = ϕ n ϕ oraz współczynnik deerminacji R. Se Ve = 00, (.3) y n e ( n k ) S = = y y y y ( ) = = e n ( ), (.4) gdzie ( y ) ( ) y = y y, (.5) R n = ϕ. (.6) Współczynnik zmienności reszowej wyjaśnia, jaką część warości średniej zmiennej endogenicznej sanowią odchylenia losowe. 34

35 Z kolei współczynnik deerminacji informuje, jaka część całkowiej zaobserwowanej zmienności zmiennej endogenicznej jes wyjaśniona przez model. Naomias współczynnik zbieżności informuje nas o ym, jaka część całkowiej zaobserwowanej zmienności zmiennej endogenicznej nie zosała wyjaśniona przez model. Dwa osanie współczynniki przyjmują warości z przedziału [0;]. Przedział ufności dla paramerów srukuralnych modelu Należy zwrócić uwagę na en fak, iż orzymane oceny paramerów srukuralnych (wekor a ) mają charaker ocen punkowych. Naomias nas ineresują prawdziwe warości paramerów odpowiadające założonemu poziomowi prawdopodobieńswa P, kóry może przyjmować warości 0.90 (90%), 0.95 (95%) lub 0.99 (99%). Najczęściej wybierany jes 95% poziom prawdopodobieńswa. formułą [7]: W ym celu dla każdego parameru { j α ( j ) α j j α ( j )} α j budujemy przedziały ufności zgodnie z P a D a < < a + D a = α. (.7) Rozpięość przedziału ufności zależy od założonego prawdopodobieńswa P = α, a więc założonego poziomu isoności α (bowiem α odczyuje się z ablic rozkładu Sudena (Aneks A) dla przyjęego α oraz dla n k sopni swobody), a akże od wielkości błędu średniego szacunku parameru. Przykład.3. W przykładzie usaliliśmy, że koszy całkowie przedsiębiorsw wywarzających jogury zależą do wielkości ich produkcji. Teraz spróbujemy oszacować paramery modelu ekonomerycznego opisującego ę zależność. Na począku dane obserwacji naniesiemy na układ współrzędnych (rys..4). 35

36 ,67,78 3,33 6, 6,67 6,66 8,33 8,89 Rys Zależność koszów całkowiych od wielkości produkcji Źródło: dane umowne Jak widać z powyższego rysunku może o być zależność liniowa. Zaem nasz model w posaci ogólnej możemy zapisać: Y = α + α X + ε. (.8) Dalej sporządzimy abelę, kóra umożliwi nam oszacowanie paramerów modelu: Przedsiębiorswo y x x y x Źródło: dane umowne gdzie: Paramery srukuralne modelu możemy oszacować korzysając ze wzoru (.8): T ( ) T a = X X X y, 36

37 zaem T X X x.67 x.78 x x4 6. X = =, x x x x y 9.89 y 0.78 y 3.44 y y = =, y y y y x n 3 n x x 4 = L = n n x x x3 x4 x5 x6 x =, L n x5 x x x 6 = = M M xn x x T X y y y y n 3 y y 4 = L = = x x x x x x x. L y n n 5 x y y 6 = M yn Teraz podsawimy nasze dane do powyższych wzorów: 8 8 x T = X X = = , x x = = Orzymane macierze podsawimy do wzoru (.8) i orzymamy: T T a = ( X X ) X y = y 9.78 T = X y = = x y = 37

38 Najpierw obliczymy macierz odwroną do T ( X X) T X X za pomocą wzoru = T A, de T ( X X) gdzie A jes macierzą algebraicznych dopełnień składającą się z elemenów a ij ( ) i + j = d, ij przy czym d ij podwyznacznik macierzy T X X po wykreśleniu i-ego wiersza i j-ej kolumny. Obliczymy wyznacznik macierzy ( X T X) T X X : de = = = Podwyznacznik macierzy T X X składa się z elemenów: d = 96., d = 44.44, d = 44.44, d = Dalej wyznaczymy elemeny macierzy A : Zaem orzymujemy ( ) + a = 96. = 96., ( ) + a = = 44.44, ( ) + a = = 44.44, ( ) + a = 8.00 = A = oraz gdyż macierz A jes symeryczną odnośnie głównej przekąnej. Teraz możemy wyznaczyć macierz odwroną do macierzy ( ) T A = , T X X : X T X = = , co umożliwi nam obliczenie paramerów srukuralnych modelu ekonomerycznego a 0 oraz a. Podsawimy orzymane rezulay do wzoru (.8): a a a = = = 38

39 = = Oóż mamy oszacowany model, kóry przyjmuje posać: yˆ = x. Obliczymy eraz warości eoreyczne dla zmiennej objaśnianej: y ˆ = = 9.70, y ˆ = =., y ˆ3 = =.97, y ˆ4 = = 5.78, y ˆ5 = = 6.55, y ˆ6 = = 6.53, y ˆ7 = = 8.8, y ˆ8 = = Po oszacowaniu paramerów srukuralnych modelu obliczymy paramery srukury sochasycznej. Najpierw obliczymy odchylenia danych eoreycznych zmiennej objaśnianej od danych fakycznych, zn. obliczymy reszy według wzoru: e = y yˆ. Obliczenia pomocnicze wpiszemy do poniższej abeli: P-wo y y y ˆ e e y y ( y y ) , Σ Źródło: obliczenia własne Wariancję reszową można obliczyć na podsawie wzoru (.9) lub (.0). Według osaniego wzoru orzymamy: 39

40 S = = 8 =. 8 e e k = Ze wzoru (.) orzymamy odchylenie sandardowe: S e = S = 0.75 = ± e To znaczy, że warości eoreyczne koszów całkowiych przedsiębiorsw wywarzających jogury różnią się średnio o ± 0.54 mln zł od warości zaobserwowanych w rzeczywisości. Na podsawie wzoru (.) obliczymy macierz wariancji i kowariancji ocen paramerów srukuralnych: D ( a T ) ( ) = S e X X = 0.75 = Pierwiaski z elemenów diagonalnych macierzy (przekąna główna) dają możliwość obliczenia błędów średnich szacunku paramerów: D( a 0 ) = = 0.454, D( a ) = = Na podsawie wzoru (.3) obliczymy współczynnik zmienności reszowej: Se 0.54 Ve = 00% = 00% = 3.5%, y 4.97 co oznacza, że odchylenia losowe sanowią 3.5% średniego poziomu zmiennej objaśnianej. Ze wzoru (.4) orzymamy współczynnik zbieżności: 8 e.656 = = = = ϕ 8 = ( y y ) Warość ego współczynnika informuje nas o ym, że ylko.8% całkowiej zaobserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej nie zosało wyjaśnione przez model ekonomeryczny, innymi słowy jes o wynikiem wpływu czynników losowych. Na podsawie wzoru (.6) możemy obliczyć współczynnik deerminacji: R = ϕ = 0.08 = 0.98, kóry informuje nas o ym, że 98.% całkowiej zmienności zmiennej objaśnianej zosało wyjaśnione przez model. Uwzględniając paramery srukury sochasycznej, oszacowany model przyjmuje posać: 40

41 yˆ = x, S = 0.54, V = 3.5%, e e ϕ = (0.454) (0.075) Z naszego modelu widać, że kosz całkowiy składa się z koszu sałego (7.4) oraz iloczynu jednoskowego koszu zmiennego (.37) i wielkości produkcji ( x ), co powierdza nasza wiedza ekonomiczna. Poza oszacowaniem paramerów modelu należy jeszcze wyznaczyć przedziały ufności dla akich paramerów modelu jak kosz sały ( α 0 ) oraz jednoskowy kosz zmienny ( α ). W ekonomerii najczęściej usala się 95%-owy przedział ufności dla paramerów modelu. Oznacza o, że z ablic Sudena (Aneks A) należy odczyać saysyki dla 95% α = = 0.05 oraz n k = 8 = 6 sopni swobody. Jes o warość 0.05;6 = % Oóż dla parameru α 0 orzymujemy: { α } P < < = Naomias dla α orzymujemy: 0 { α } P < < = 0.05 Orzymane wyniki możemy skomenować w sposób nasępujący: z prawdopodobieńswem 0.95 koszy sałe produkcji jogurów mieszczą się w przedziale (6.30;8.5) mln zł, a jednoskowy kosz zmienny w przedziale (.9;.55) mln zł/mln on Weryfikacja modelu Nasępnym eapem jes weryfikacja zbudowanego modelu, zn. sprawdzenie ego jak dobrze model opisuje badane zjawisko. Na ym eapie dokonuje się dwóch rodzajów weryfikacji w akiej kolejności: najpierw weryfikacja meryoryczna, później weryfikacja saysyczna. Jeśli weryfikacja meryoryczna się powiodła, o można przejść do weryfikacji saysycznej. W przeciwnym przypadku model należy dopracować. Weryfikacja meryoryczna opiera się przede wszyskim na wiedzy ekonomicznej i doświadczeniu. Należy u ocenić czy orzymane wyniki mają sens ekonomiczny i mogą przyjmować akie warości w rzeczywisości. Przy ym należy zwrócić uwagę na znaki plus lub minus ocen paramerów srukuralnych, kóre o znaki wskazują nam charaker zależności zmiennej objaśnianej od danej zmiennej objaśniającej. 4

42 Naomias weryfikacja saysyczna jes weryfikacją formalną, kóra opiera się na wiedzy maemaycznej, zn. należy przede wszyskim ocenić sopień zgodności modelu z danymi empirycznymi, poem ocenić jakość ocen paramerów srukuralnych (saysyczną isoność ocen paramerów srukuralnych) oraz sprawdzić spełnienie założeń o składnikach losowych. Ogólne zasady weryfikacji saysycznej Na pierwszym eapie weryfikacji saysycznej należy sprawdzić, czy model w wysarczająco wysokim sopniu wyjaśnia kszałowanie się zmiennej objaśnianej. W ym celu obliczamy akie współczynniki, jak odchylenie sandardowe reszowe S e, współczynnik zmienności reszowej V e, współczynnik deerminacji R lub współczynnik zbieżności ϕ. Dopasowanie modelu do obserwacji jes ym lepsze, im warości współczynnika zmienności reszowej są niższe, warości współczynnika deerminacji bliższe, a warości współczynnika zbieżności są bliższe zeru. Z kolei drugi eap saysycznej weryfikacji modelu obejmuje między innymi badanie isoności ocen paramerów srukuralnych i/lub weryfikację isoności układu współczynników regresji. W prakyce można akże esować inne hipoezy doyczące paramerów srukuralnych. Naomias na eapie rzecim weryfikuje się czware i piąe założenia klasycznej meody najmniejszych kwadraów, mianowicie, że: warość oczekiwana składnika losowego jes równa zeru E ( ε ) = 0, oraz macierz wariancji i kowariancji składników losowych jes V ε = E ε ε = σ Ι, czyli wariancja składnika losowego σ = σ (jes sała i równa T równa ( ) ( ) n σ dla wszyskich obserwacji), a kowariancje składników losowych są równe zeru, czyli nie wysępuje auokorelacja składników losowych. Założenie czware można sprawdzić po oszacowaniu paramerów srukuralnych modelu i obliczeniu resz e, kóre rakowane są jako przybliżone realizacje składnika losowego (przypomnijmy, że suma resz jes równa zeru, a więc średnia resz jes równa zeru). Naomias weryfikacja spełnienia założenia piąego wymaga zasosowania odpowiednich esów saysycznych. Częso sprawdza się akże akie własności składnika losowego, jak normalność i losowość. 4

43 Ocena jakości ocen paramerów srukuralnych Weryfikacja saysycznej isoności ocen paramerów srukuralnych Weryfikacja saysycznej isoności ocen a0, a,..., a K paramerów srukuralnych liniowego modelu ekonomerycznego ma na celu sprawdzenie czy paramery srukuralne α0, α,..., α K zosały oszacowane z dosaeczną precyzją oraz czy zmienne objaśniające, przy kórych soją e paramery, isonie wpływają na zmienną objaśnianą. Dla każdego parameru α j ( j = 0,,..., K ) weryfikuje się hipoezę zerową H : 0 0 α j = wobec hipoezy alernaywnej H : 0 α j. gdzie Sprawdzianem w ym eście jes saysyka [7]: a j ocena j -ego parameru, ( ) a a α j j =, (.9) ( j ) D a α j prawdziwa, założona w H 0 warość parameru α j = 0, D ( α j ) błąd średni szacunku j -ego parameru. Przy prawdziwości hipoezy 0 H saysyka ( j ) α będzie miała rozkład Sudena o n k sopniach swobody. Dlaego po obliczeniu dla każdego z paramerów warości empirycznej saysyki Sudena ( α j ) z ablic rozkładu Sudena (Aneks A) dla przyjęego poziomu isoności α ( α = 0.05, co odpowiada poziomowi prawdopodobieńswa 0.95) oraz dla n k sopni swobody, odczyujemy warość kryyczną α. W przypadku, gdy ( j ) α przyjmujemy hipoezę H 0, co oznacza, że ocena α saysycznie nieisonie różni się od zera (jes nieisona), a wobec ego zmienna objaśniająca X j nie wywiera isonego wpływu na zmienną objaśnianą Y. Naomias, jeśli ( j ) hipoezę H 0 należy odrzucić i przyjąć hipoezę H, kóra oznacza, że ocena α a j α >, o a j saysycznie isonie różni się od zera (jes isona), a wobec ego zmienna objaśniająca X j oddziałuje w sposób isony na zmienną objaśnianą Y. 43

44 Hipoezy doyczące układu współczynników regresji Oprócz badania saysycznej isoności pojedynczych paramerów można akże esować hipoezę o isonym wpływie na zmienną objaśnianą wszyskich uwzględnionych w modelu zmiennych objaśniających (badanie isoności układu współczynników regresji, bez wyrazu wolnego) lub wybranej ich grupy. W przypadku esowania wpływu na zmienną objaśnianą wszyskich zmiennych objaśniających hipoeza zerowa ma posać: Wówczas hipoeza alernaywna H0 α α α K : = =... = = 0. H α α α K : zakłada, że przynajmniej jeden ze współczynników regresji jes saysycznie isony (nie równy zeru), zn. co najmniej jedna zmienna objaśniająca isonie wpływa na zmienną objaśnianą. Sprawdzianem hipoezy zerowej jes w ym przypadku saysyka F: n k R F = k R, (.30) kóra przy założeniu prawdziwości hipoezy zerowej ma rozkład F Fishera Snedecora z n k = oraz n = n k sopniami swobody ( n liczbą obserwacji, k liczbą paramerów srukuralnych modelu włącznie z wyrazem wolnym) (Aneks B). Obliczoną warość saysyki F należy więc porównać z warością kryyczną F α, odczyaną z ablic rozkładu Fishera-Snedecora dla przyjęego poziomu isoności α oraz n i n sopni swobody. Jeśli F > F α, o hipoezę zerową należy odrzucić i przyjąć hipoezę H o ym, że co najmniej jedna zmienna objaśniająca isonie wpływa na zmienną endogeniczną. Naomias w przypadku, gdy F < F α, hipoeza zerowa jes prawdziwa, a więc żadna z uwzględnionych w modelu zmiennych nie oddziałuje isonie na zmienną objaśnianą. W prakyce jednak częściej weryfikuje się hipoezę doyczącą podukładu współczynników regresji (parz. [7, s. 55]). 44

45 Tesowanie innych hipoez doyczących pojedynczych paramerów srukuralnych Wśród innych hipoez najczęściej weryfikuje się hipoezę o ym, że wybrany paramer przyjmuje pewną konkreną warość α j, czyli hipoezę wobec hipoezy alernaywnej H0 : α j = α j H : α j α j (lub α j > α j, lub α j < α j ) W celu sprawdzenia hipoezy zerowej sosuje się saysyka Sudena, zn. obliczamy warość ( α j ) α α = j j, (.3) D ( α j ) kórą porównujemy z warością kryyczną α, odczyaną z ablic rozkładu Sudena (Aneks A) dla przyjęego poziomu isoności α oraz n k sopni swobody. W przypadku, gdy obliczona warość saysyki nie przekracza warości kryycznej α (czyli ( j ) α ), przyjmujemy hipoezę H 0. Naomias warości saysyki większe od warości kryycznej (zn. ( j ) α α > ) sugerują przyjęcie hipoezy H. α Wnioskowanie o liniowej funkcji wekora paramerów α Załóżmy, że ineresuje nas paramer γ, będący liniową kombinacją elemenów wekora α, co można zapisać [7] T γ = c α, T gdzie c jes wekorem współczynników kombinacji liniowej c = [ c c ] γ = T K = j= 0 j j 0... K, czyli c α c α. (.3) W klasycznym modelu regresji liniowej najefekywniejszym esymaorem liniowych T funkcji γ = c α jes esymaor uzyskany meodą najmniejszych kwadraów: kórego wariancja jes równa: D γˆ ( ) T T T = c X X X y, (.33) { } ( ˆ γ ) = ( ) = Se ( ) c D a c c X X c. (.34) T T T 45

46 Zaem błąd średni szacunku, można obliczyć ze wzoru: T T T T ( ˆ γ ) e ( ) e ( ) D = c S X X c = S c X X c (.35) Mając błąd średni szacunku, można zbudować przedział ufności dla parameru γ według wzoru: { α ( ) α ( )} P ˆ γ D ˆ γ γ ˆ γ + D ˆ γ = α. (.36) Można akże weryfikować hipoezy doyczące omówionej kombinacji liniowej wekora paramerów (np., że jes ona równa pewnej liczbie c 0, gdzie c 0 jes wyrazem wolnym ej kombinacji). Hipoeza zerowa ma w ym przypadku posać H0 : γ = c0, a hipoeza alernaywna H : γ c0. Przy prawdziwości H 0 saysyka: ˆ γ c = (.37) D ( 0 ˆ γ ) ma rozkład Sudena o n k sopniach swobody. Obliczoną warość saysyki należy zaem porównać z warością kryyczną α (Aneks A). H 0 odrzuca się, jeżeli ma podsaw do jej odrzucenia, jeżeli α. > α, naomias nie Przykład.4. Załóżmy, że model ekonomeryczny ma posać: yˆ = x + 8.x, (.3) (.7) (0.9) S = ±.07, V =.95%, e e R = 0.977, k =, n = 4. Zweryfikujmy najpierw hipoezę o ym, że każdy ze współczynników regresji jes saysycznie isony. Oznacza o, że dla każdego z paramerów należy zweryfikować hipoezę H : 0 0 α j = wobec hipoezy alernaywnej H : 0 α j ( j = 0,, ). W ym celu dla każdego z paramerów obliczamy za pomocą wzoru (.9) warości: ( ) a 0 ( ) a ( ) a = = 4.39, = = 7.43, = =

47 Dla porównania odczyujemy warość kryyczną saysyki z ablic rozkładu Sudena (Aneks A) dla α = 0.05 i n k = 4 = sopni swobody. Jes o warość α = =. ; n k 0.05;.788 Porównujemy orzymane warości z warością kryyczną, zn. czy spełnione są nierówności ( α ) α ;n k >, czyli 4.39 >.788, 7.43 >.788, 8.9 >.788. Ten fak, iż zosały spełnione wszyskie rzy nierówności upoważnia nas do odrzucenia hipoezy zerowej na korzyść hipoezy alernaywnej. Oznacza o, że wszyskie paramery srukuralne modelu są saysycznie isone. A eraz zweryfikujemy hipoezę o ym, że przynajmniej jedna ze zmiennych objaśniających z naszego modelu wywiera isony wpływ na zmienną objaśnianą, zn. przynajmniej jeden ze współczynników regresji jes saysycznie isony. Innymi słowy należy zweryfikować hipoezę H : α = α = 0 wobec hipoezy H : α + α 0 ( j = 0,, ). 0 W ym celu wykorzysamy wzór: n k R F = = = k R Dla porównania należy odczyać warość kryyczną z ablic rozkładu F Fishera Snedecora (Aneks B) dla α = 0.05; m = k = = ; m = n k = 4 = sopni swobody. Jes o warość Fα = =. ; m ; m F 0.05;; 4.75 Ponieważ F > (gdyż > 4.75 ), o hipoezę zerową możemy odrzucić, co F α ; m ; m jes równoznaczne z przyjęciem hipoezy alernaywnej. Oznacza o, iż przynajmniej jeden ze współczynników regresji jes saysycznie isony. 47

48 Badanie założeń o składnikach losowych Badanie sałości wariancji składników losowych Ponieważ w prakyce może wysępować syuacja, gdy wariancja składnika losowego nie jes sała (mamy wówczas do czynienia z niejednorodnością lub homoskedaycznością składnika losowego), co niekorzysnie wpływa na zbudowany model, należy przeprowadzić badanie sałości wariancji ego składnika za pomocą esu Goldfelda i Quanda. Zasosowanie w/w esu polega na zweryfikowaniu hipoezy o równości wariancji dwóch skrajnych grup obserwacji. W ym celu formujemy uporządkowane próby. W przypadku danych zależnych od czasu sorujemy je według jednosek czasu, naomias w przypadku danych przekrojowych według rosnących warości jednej ze zmiennych objaśniających. Badaniu poddaje się dwa podzbiory danych o liczebnościach n i n, co do kórych isnieje przypuszczenie, że ich wariancja jes najmniejsza i największa. Przy czym dopuszczalne jes pominięcie kilku środkowych obserwacji. podzbiorach Weryfikacji podlega hipoeza o równości wariancji składników losowych w obu H : σ = σ. Alernaywną do hipoezy zerowej jes hipoeza 0 H : σ < σ, co oznacza, że wariancja składnika losowego w drugiej podpróbie jes saysycznie isonie większa od wariancji w pierwszym podzbiorze. Do sprawdzania hipoez służy F saysyka Fishera Snedecora (Aneks B), przy założeniu normalności składników losowych. W ym celu obliczamy warość saysyki: gdzie: S F =, (.38) S S wariancja reszowa regresji w pierwszym podzbiorze, S wariancja reszowa regresji w drugim podzbiorze. Orzymaną warość saysyki F porównujemy z warościami kryycznymi F α odczyanymi z ablic rozkładu Fishera Snedecora dla przyjęego poziomu isoności α oraz dla n k i n k sopni swobody (Aneks B). Jeśli F F α, o nie ma podsaw do odrzucenia H 0 o jednorodności wariancji. Naomias, gdy F > F α, należy przyjąć hipoezę H. 48

49 Badanie auokorelacji składników losowych Auokorelacja oznacza, że składniki losowe poszczególnych obserwacji są skorelowane ze sobą. To zjawisko najczęściej wysępuje wedy, gdy model jes budowany na podsawie danych zależnych od czasu (zn. przedsawionych w posaci szeregów czasowych). Do mierzenia auokorelacji służy współczynnik τ, kóry mierzy zależność między zmiennymi losowymi ε o wskaźnikach różniących się od siebie (odległych od siebie) o τ jednosek. Współczynnik auokorelacji z próby ( ρ ˆτ ) oblicza się jako współczynnik korelacji między reszami odległymi o τ jednosek (czyli między e i odpowiednio, średnia resz i resz opóźnionych) [7]: e τ ; przy czym e i e τ są, ˆ ρ = ( e e ) ( e e ) τ ( e e ) ( e e ) τ τ τ, τ =,,... (.39) Jeśli mamy dane w posaci szeregów czasowych i dodakowo założymy, że składniki losowe worzą proces auoregresyjny rzędu pierwszego, zn. ε = ρ ε + ξ, (.40) gdzie ρ jes współczynnikiem auokorelacji rzędu pierwszego, o można pokazać, że τ współczynnik auokorelacji rzędu τ jes równy ρ. Zaem wysarczy zbadać, czy wysępuje auokorelacja rzędu pierwszego. W celu zweryfikowania hipoezy o nieisoności współczynnika auokorelacji (braku auokorelacji) najczęściej korzysa się z esu Durbina Wasona, przy czym hipoezę alernaywną (wysępuje auokorelacja dodania lub ujemna) można doprecyzować dopiero po obliczeniu saysyki: d = n = ( e e ) n = e. (.4) Saysyka d przyjmuje warości z przedziału [0;4]. 49

50 Jeżeli hipoeza zerowa jes prawdziwa (auokorelacja nie wysępuje), d =, warości d < świadczą o auokorelacji dodaniej, naomias warości d > świadczą o auokorelacji ujemnej. Dalej należy sprawdzić, czy auokorelacja a jes saysycznie isoną. Zaem w zależności od orzymanej warości d można doprecyzować hipoezę alernaywną. Weryfikujemy zaem hipoezę zerową o braku auokorelacji rzędu pierwszego składników losowych: wobec hipoezy konkurencyjnej: H0 : ρ = 0 H : ρ > 0, gdy d < (wysępuje dodania korelacja rzędu pierwszego) lub H : ρ < 0, gdy d > (wysępuje ujemna korelacja rzędu pierwszego). W przypadku auokorelacji ujemnej dla porównania z warościami kryycznymi należy obliczyć d = 4 d. Obliczoną warość saysyki d (lub d w przypadku auokorelacji ujemnej) porównuje się z warościami kryycznymi d L i d U odczyanymi z ablic Durbina Wasona (Aneks E) dla przyjęego poziomu isoności α oraz n i K sopni swobody ( n liczba obserwacji, K liczba zmiennych objaśniających w modelu, bez zmiennej ożsamościowo równej ). Jeśli d > du ( d du > ), nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy o braku auokorelacji dodaniej (ujemnej) rzędu pierwszego (a zaem i wyższych rzędów) na poziomie isoności α. Przyjmujemy więc, że nie wysępuje dodania (ujemna) auokorelacja rzędu pierwszego. Jeśli d < dl ( d dl < ), o H 0 odrzucamy na rzecz H, a więc na poziomie isoności α przyjmujemy, że wysępuje dodania (ujemna) auokorelacja rzędu pierwszego. Jeśli dl d du ( dl d du ), wpadamy w obszar nierozsrzygalności esu nie możemy przesądzić o wysępowaniu lub braku auokorelacji rzędu pierwszego. Należy wówczas sosować esy alernaywne. Waro dodać, że mając obliczoną saysykę d, można obliczyć zgodne oszacowanie współczynnika auokorelacji rzędu pierwszego: d ˆ ρ =. (.4) 50

51 Badanie normalności rozkładu składników losowych Mimo ego, że założenie normalności składników losowych nie wysępuje w klasycznym modelu regresji liniowej, powinno być ono spełnione w przypadku sosowania esów oparych na saysyce F Fishera Snedecora (Aneks B). Należy zaznaczyć, że założenie normalności składników losowych jes jednym z założeń klasycznego modelu normalnej regresji liniowej. Do badania normalności odchyleń losowych można wykorzysać np. es Shapiro Wilka, es Hellwiga ec. Jednak warunkiem koniecznym zasosowania wyżej wymienionych esów jes uporządkowanie resz niemalejąco. W ym przypadku weryfikacji podlega hipoeza zerowa o ym, że składniki losowe mają rozkład normalny, co można zapisać jak H 0 : ε N. Hipoezą alernaywną do niej będzie hipoeza o ym, że rozkład składników losowych nie jes rozkładem normalnym, zn. H : ( ε N ). Jeśli do sprawdzania hipoezy zerowej wykorzysamy es Shapiro Wilka, o należy obliczyć warość saysyki W według wzoru: W = [ n ] = ( ) a e e n + n + n = ( e e ), (.43) gdzie an + są najlepszymi nieobciążonymi współczynnikami obliczonymi i sablicowanymi przez S.S. Shapiro i M.B. Wilka (Aneks F). Przy czym [ n ] (enier) jes częścią całkowią n, a jeśli w modelu wysępuje wyraz wolny, o e = 0. Orzymaną warość saysyki W porównujemy z warością kryyczną W α dla poziomu isoności α (Aneks G). Jeśli W naomias jeśli W < W α, należy przyjąć hipoezę alernaywną. W α, nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy H 0, Naomias w przypadku, gdy zdecydujemy się na zasosowanie esu Hellwiga, należy przeprowadzić sandaryzację resz według wzoru [, s. 54]: e e e =,,,..., Se e n n = = n, (.44) ( ). (.45) S = e e 5

52 gdzie e średnia arymeyczna resz, S e odchylenie sandardowe resz. Po uporządkowaniu resz niemalejąco, z ablic dysrybuany rozkładu normalnego odczyujemy warości dysrybuan F ( e ) F ( e ) F ( e ) zwane cele,,..., n, a nasępnie wyznaczamy ak I. Cele e są przedziałami liczbowymi o rozpięości n, powsałymi z podzielenia odcinka [ 0; ] na równe części, co można zapisać jak [ ) [ ) ( ) 0; n n; n... n n;. Warości dysrybuany F ( e ) przyporządkowuje się odpowiednim celom i określa liczbę cel pusych ( K ), j. akich, do kórych nie rafia żadna warość F ( e ). Z ablic esu zgodności Hellwiga dla liczby obserwacji n oraz przyjęego poziomu isoności α odczyuje się warości kryyczne K i K. Jeśli K < K < K, nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, naomias jeśli K < K lub K > K, o należy przyjąć hipoezę alernaywną (czyli odchylenia losowe nie mają rozkładu normalnego). Badanie losowości resz Badanie losowości resz jes związane z prawidłowym wyborem posaci analiycznej modelu. Jeśli model jes prawidłowy, oznacza o, że reszy będą miały charaker losowy. W celu przeprowadzenia badania ego rodzaju należy zweryfikować hipoezę zerową H 0 o ym, że reszy e mają rozkład losowy, wobec hipoezy alernaywnej H, kóra przewiduje, że rozkład resz nie ma charakeru losowego. Do sprawdzenia w/w hipoez można wykorzysać es serii. W eście serii dla danego ciągu resz e, e,..., e n reszom dodanim ( e > 0 ) przyporządkowuje się symbol a, z kolei reszom ujemnym ( e < 0 ) symbol b, naomias reszy równe zeru ( e = 0 ) pomija się []. Poem należy usalić liczbę serii S, kóra oznacza liczbę podciągów jednakowych symboli a lub b, czyli podciągów złożonych z resz dodanich lub ujemnych. 5

53 W przypadku esu jednosronnego empiryczną liczbę serii S porównuje się z warością kryyczną S α dla przyjęego poziomu isoności α oraz n i n sopni swobody (Aneks C, D). Przypomnijmy, że n jes liczbą resz dodanich (liczbą elemenów a ), a n liczbą resz ujemnych (liczbą elemenów b ). Zauważmy, że es jednosronny sosuje się w przypadku niewielkiej liczby obserwacji. Jeśli S > S α, nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, a więc posać analiyczna modelu jes dobrana prawidłowo. Naomias jeżeli S S α, przyjmujemy hipoezę alernaywną, co oznacza, że posać analiyczna modelu jes źle dobrana, a więc należy powrócić do eapu wyboru posaci analiycznej modelu ekonomerycznego. W przypadku gdy korzysamy z esu dwusronnego, z ablic liczby serii odczyuje się dwie warości kryyczne S i S dla przyjęego poziomu isoności α (j. dla α i α ) oraz n i n sopni swobody. Podsawą do odrzucenia hipoezy zerowej jes S < S (zby mała liczba serii) lub S S (zby duża liczba serii). Zaem reszy mają rozkład losowy ( H 0 jes prawdziwa), jeżeli S < S < S. Przykład.5. Zweryfikujemy własności resz modelu oszacowanego w przykładzie.3. Najpierw uporządkujemy nasze dane saysyczne według rosnących warości zmiennej objaśniającej X, a akże obliczymy warości resz: x y Σ Źródło: dane umowne y ˆ e Obliczone warości resz przedsawimy na wykresie (rys..5). 53

54 0,6 0,4 0, 0-0, ,4-0,6-0,8 - Rys Rozrzu resz Źródło: dane umowne Jak widać na powyższym rysunku warości resz oscylują wokół zera. Dlaego pominiemy badanie sałości wariancji. Gdyby reszy wykazywały endencję wzrosową lub spadkową należałoby akie badanie przeprowadzić. Zbadamy auokorelację składników losowych. Do obliczenia saysyki d Durbina Wasona wykorzysamy wzór (.4): d = 8 = ( e e ) 8 = e W celu uławienia obliczeń przeprowadzimy dodakowe obliczenia, kóre przedsawimy w posaci: e e e e. ( ) Σ Źródło: obliczenia własne e e e 54

55 Na podsawie danych z powyższej abeli orzymujemy 4.44 d = = Ponieważ d =.568 >, więc mamy auokorelację ujemną. Zaem należy zweryfikować hipoezę: H0 : ρ = 0 wobec hipoezy alernaywnej H : ρ < 0. Z warościami kryycznymi odczyanymi z ablic Durbina Wasona (Aneks E) będziemy porównywać warość wynoszą: d = 4 d = =.43. Warości kryyczne dla α = 0.05; n = 8 i K = (jedna zmienna objaśniająca) d = 0.73, d =.33. L Ponieważ U U d > d (.43 >.33 ), więc nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy o braku auokorelacji ujemnej rzędu pierwszego (a zaem i wyższych rzędów). Wykorzysując es Shapiro Wilka zweryfikujemy hipoezę o normalności rozkładu resz, czyli hipoezę: H 0 : ( ε N ) wobec hipoezy H : ( ε N ). Hipoeza alernaywna mówi o ym, że reszy nie mają rozkładu normalnego. Na podsawie wzoru (.43) dla n = 0 (0 obserwacji) obliczymy W = 5 = ( ) a e e = ( e e ) Porzebne będą nam obliczenia pomocnicze, kóre przedsawimy w posaci abeli (poniżej). Przy czym warość średnią dla resz obliczymy według wzoru: 0 e.0 = = e =. Zauważmy, że współczynniki an + odczyujemy z ablic Shapiro Wilka (Aneks F) dla n = 0. Są o dane z kolumny 3. 55

56 e a0 + e0 e a0 + e0 + e e e ( e ) e uporządkowane Σ Źródło: obliczenia własne + ( ) Zaem W = = = Warość kryyczna W odczyana z ablic Shapiro Wilka (Aneks G) dla poziomu isoności α = 0.05 i 0 obserwacji ( n = 0 ) wynosi W α = Porównujemy ą warość z obliczoną warością W. Ponieważ W > W α (gdyż > 0.84 ), więc nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej. Oznacza o, że reszy mają rozkład normalny. Za pomocą esu serii zweryfikujemy hipoezę zerową o ym, że reszy mają charaker losowy, wobec hipoezy alernaywnej. Dla przykładu weźmiemy aki ciąg resz: 0.9; -0.44; 0.47; -0.39; -0.83; 0.53; -0.4; Reszą o warościach dodanich przypiszemy symbol a, naomias reszą o warościach ujemnych symbol b. W rezulacie orzymamy aki ciąg symboli: a b a bb a bb. Zaem w powyższym ciągu mamy 6 serii ( S = 6 ). Policzymy ilość warości dodanich i ą liczbę oznaczymy n = 3. To samo zrobimy i dla warości ujemnych, zn. n = 5. obliczyć: Zakładamy, że wysarczającym jes poziom isoności α = Zaem należy α = 0.05 = 0.05, 56

57 α = 0.05 = Warości kryyczne z esu serii dla powyższych danych wynoszą (Aneks C, D): S =, S = 7. Ponieważ < S < 7, więc nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, czyli hipoezy o losowości resz. Oznacza o, że oszacowany model prawidłowo opisuje modelowane zjawisko (proces) ekonomiczne Meryoryczna inerpreacja paramerów srukuralnych oszacowanych modeli Meryoryczna inerpreacja paramerów zbudowanego modelu jes nieodłączną częścią badania ekonomerycznego, kóra o inerpreacja pomaga w zrozumieniu charakeru związku przyczynowo skukowego zachodzącego pomiędzy zmienną objaśnianą a poszczególnymi zmiennymi objaśniającymi. Na przykład w funkcji jednej zmiennej Y = α + α X (.46) 0 ocenę parameru α 0 można inerpreować jako średni poziom zmiennej objaśnianej Y przy zerowym poziomie zmiennej objaśniającej X. Jeśli ocena ego parameru jes ujemna, co częso jes uzasadnione, inerpreację się pomija. Naomias wzros warości zmiennej objaśniającej X o objaśnianej przecięnie o α jednosek. jednoskę powoduje zmianę (wzros lub spadek) warości zmiennej Z kolei w funkcji liniowej wielu zmiennych Y = α0 + αx + αx αk X K (.47) ocenę parameru α 0 inerpreuje się jako przecięny poziom zmiennej objaśnianej Y, gdy wszyskie zmienne objaśniające przyjmą warość zerową ( X = X =... = X K = 0). Jeśli ocena ego parameru jes ujemna, wedy rudno mówić o jego sensownej inerpreacji ekonomicznej. Naomias wzros warości j -ej zmiennej objaśniającej ( X j ) o jednoskę powoduje zmianę warości zmiennej objaśnianej Y średnio o niezmienionych pozosałych zmiennych. α j jednosek, przy 57

58 .5. Modele nieliniowe Rozparzyliśmy przypadek liniowej zależności między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi. W rzeczywisości zależność a może mieć również charaker nieliniowy. Zaem po dokonaniu wyboru zmiennych objaśniających modelu należy dobrać odpowiednią do ej zależności funkcję maemayczną. Wśród najczęściej spoykanych funkcji nieliniowych należy wymienić funkcję wykładniczą, poęgową, logarymiczną, hiperboliczną, logisyczną, wielomiany i inne. Posać analiyczną modelu można dobrać kilkoma sposobami [7, s. 0]:. W przypadku modelu z jedną zmienną objaśniającą najławiej jes zasosować analizę graficzną rozrzuu punków empirycznych na układzie współrzędnych (aki wykres może być ławo wykonany w Excelu). Jeżeli w modelu wysępuje kilka zmiennych objaśniających, można analizować graficznie zależność między zmienną objaśnianą a każdą zmienną objaśniającą.. Bardzo częso korzysa się z apriorycznej wiedzy o ypie związku, kóry może podpowiadać bądź eoria ekonomii, bądź eż dogłębna znajomość prawidłowości kszałujące badane związki. 3. Meodą prób i błędów, polegającą na ym, że do zebranych danych empirycznych dopasowuje się kilka funkcji o różnych posaciach analiycznych, a nasępnie wybiera najlepszą w oparciu o wnioski z weryfikacji wszyskich modeli. 4. W przypadku modeli endencji rozwojowej (rendu) do wyboru posaci analiycznej można wykorzysać analizę przyrosów analizuje się przyrosy zmiennej objaśnianej przypadające na jednoskę przyrosu zmiennej objaśniającej. Mianowicie, jeżeli jednoskowym przyrosom zmiennej objaśnianej odpowiadają saysycznie sałe (nie wykazujące endencji do wzrosu lub spadku): pierwsze przyrosy absolune y = y y, o właściwa jes funkcja liniowa; drugie przyrosy absolune y = y y (czyli przyrosy pierwszych przyrosów), o odpowiedni jes wielomian sopnia, rzecie przyrosy absolune wielomian sopnia 3 id.; y y y przyrosy względne + y = lub sopy zmian +, o właściwa jes funkcja y y y wykładnicza. 58

59 .5.. Rodzaje modeli nieliniowych Wszyskie modele nieliniowe można podzielić na dwie podsawowe grupy: I. Modele ransformowalne do posaci liniowej, czyli akie, kóre za pomocą pewnych przekszałceń można doprowadzić do posaci liniowej, kórej paramery szacuje się za pomocą meody najmniejszych kwadraów. Modele z ej grupy z kolei można podzielić na dwie podgrupy, mianowicie: a) modele nieliniowe względem zmiennych, liniowe względem paramerów, b) modele nieliniowe względem zmiennych i paramerów. II. Modele ściśle nieliniowe, do esymacji kórych należy sosować echniki esymacji nieliniowej..5.. Charakerysyka wybranych modeli nieliniowych Funkcja wykładnicza Funkcja wykładnicza częso jes wykorzysywana w modelach endencji rozwojowej lub jako czynnik wykładniczy w innej funkcji, na przykład poęgowej. Może ona przyjmować różne posaci, np. [7]: Y = α α, α > 0. (.48) X 0 Przy czym ocena parameru α 0 inerpreowana jes jako poziom zmiennej objaśnianej Y, gdy X = 0. Naomias α jes charakerysyczną dla ej funkcji sałą sopą zmian zmiennej objaśnianej; wzros X ( ) o jednoskę powoduje zmiany zmiennej objaśnianej o ( α ) 00%. Warości parameru α > świadczą, że wraz ze wzrosem zmiennej objaśniającej X zmienna objaśniana Y rośnie, naomias warości 0 < α < świadczą, że wzrosowi zmiennej objaśniającej owarzyszy spadek warości zmiennej objaśnianej (rys..6). 59

60 X Rys Wykres funkcji wykładniczej Y = α0 α W prakyce sosowane akże funkcje wykładnicze o innych posaciach, jak na przykład przedsawione na rysunkach.7 i.8 funkcje: Y e α α Y 0 + X =, (.49) X = α 0 e α. (.50) 0 X Rys Wykres funkcji wykładniczej Y = e α + α 60

61 Rys Wykres funkcji wykładniczej Y = α e α 0 X W przypadku funkcji (.49), gdy zmienna objaśniająca X = 0, warość zmiennej 0 objaśnianej wynosi Y e α =. Przy czym sała sopa zmian Y jes równa ( ) e α 00%. Zauważmy, że w ym przypadku wzrosowi X owarzyszy wzros Y, jeżeli α > 0, naomias Y wykazuje endencję spadkową, jeżeli α < 0. Naomias w funkcji (.50) poziom α > 0, gdy X = 0, jes równy 0 α, a sopa zmian jes równa ( ) e α 00%. Funkcja poęgowa Funkcja poęgowa jes bardzo częso wykorzysywana w modelach ekonomerycznych, opisujących zarówno zależności o charakerze nieliniowym, jak i liniowym. Funkcja poęgowa o jednej zmiennej objaśniającej ma posać: Y = α 0 X α (.5) W przypadku ej funkcji ocenę parameru α 0 inerpreuje się jako poziom zmiennej objaśnianej Y, gdy zmienna objaśniająca X przyjmuje warość (rys..9). Z kolei od parameru α zależy przebieg funkcji, bowiem paramer en jes sałą elasycznością zmiennej objaśnianej Y względem zmiennej objaśniającej X i oznacza w przybliżeniu procenową zmianę Y spowodowaną zmianą X o %. 6

62 Rys Wykres funkcji poęgowych Naomias funkcja poęgowa o wielu zmiennych objaśniających ma posać: Y α X X X K α α αk = (.5) W ym przypadku ocena parameru α 0 jes poziomem zmiennej objaśnianej Y, gdy wszyskie zmienne objaśniające przyjmą warość równą ( X = X =... = X K = ). Z kolei oceny paramerów α ( j =,..., K ) inerpreuje się jako sałe elasyczności j zmiennej objaśnianej Y względem poszczególnych zmiennych objaśniających X j. Oznacza o, że wzros X o % powoduje zmianę Y o około α %, przy niezmienionych pozosałych j j zmiennych. Funkcja logarymiczna Funkcję logarymiczną można zapisać w akiej ogólnej posaci: Y = α + α log X, X > 0. (.53) 0 W przypadku ej funkcji ocenę α 0 inerpreuje się jako poziom zmiennej objaśnianej Y, gdy zmienna objaśniająca X =. Funkcję ę sosuje się wedy, gdy jednoskowym 6

63 przyrosom zmiennej objaśniającej owarzyszą coraz mniejsze przyrosy zmiennej objaśnianej (por. rys..0) Rys Wykres funkcji logarymicznej Y = α + α log X 0 Wielomiany W modelowaniu ekonomerycznych oprócz wielomianu sopnia, kóry jes funkcją liniową, najczęściej sosowane są wielomiany sopnia i 3. Wielomian sopnia (nazywany eż parabolą) można zapisać w posaci: Y X X = α0 + α + α. (.54) Jego paramery nie mają inerpreacji ekonomicznej. Funkcja a znajduje najczęściej zasosowanie w ekonomicznej analizie koszów, a akże wykorzysywana jes jako model endencji rozwojowej. Z kolei wielomian sopnia 3 można zapisać w akiej posaci: Y = α + α X + α X + α X. (.55) Może on przyjmować różne kszały, w zależności od warości paramerów. Jedną z najczęściej sosowanych w prakyce posaci wielomianu sopnia 3 (rys..) jes funkcja 63

64 zależności koszów całkowiych od wielkości produkcji. W ym przypadku na paramery nakłada się nasępujące warunki: α0, α, α 3 > 0 ; α < 0 ; α < 3 α α. 3 Rys. 0.. Wykres wielomianu sopnia 3 przy podanych warunkach dla paramerów Funkcja hiperboliczna Kolejną funkcją, kóra znalazła zasosowanie w modelowaniu ekonomerycznym jes funkcja hiperboliczna. Funkcję ą można zapisać w akiej ogólnej posaci: Y = α0 + α. (.56) X Najczęściej jes ona sosowana, albo jako funkcja wyrażająca zależność jednoskowego koszu produkcji od wielkości produkcji, albo jako funkcja zależności popyu na jakieś dobro od jego ceny. Wówczas ocena parameru α powinna przyjmować warości dodanie ( α > 0). Na rysunku. przedsawiono możliwe przebiegi funkcji hiperbolicznej w zależności od parameru warości oceny parameru α. W przypadku ej funkcji inerpreujemy ylko wyraz wolny (na rysunku jes o asympoa pozioma). Wraz ze wzrosem zmiennej objaśniającej X, zmienna objaśniana Y zbliża się do asympoy poziomej w aki sposób: rośnie, gdy α < 0, i maleje, gdy α > 0). 64

65 Rys. 0.. Wykres funkcji hiperbolicznej Funkcja wykładnicza z odwronością Oddzielną grupę wśród funkcji nieliniowych sanowią funkcje sigmoidalne albo Skszałne. Do ej grupy należą między innymi: funkcja wykładnicza z odwronością, funkcja logisyczna oraz krzywe Gomperza. Funkcję wykładniczą z odwronością można zapisać w akiej posaci ogólnej: Y = exp α + β X, α > 0, β < 0. (57) Funkcja a ma asympoę poziomą (poziom nasycenia) Y jes współrzędną punku przegięcia: przy β X =, Y = e α (rys..3). = e α, naomias β X = 65

66 Rys Funkcja wykładnicza z odwronością Funkcja logisyczna Funkcja logisyczna częso jes sosowana jako funkcja rendu, czyli jedną ze zmiennych objaśniających jes czas [0]. Należy zaznaczyć, że rend logisyczny bardzo dobrze opisuje zjawiska, w rozwoju kórych wyraźnie można wyodrębnić rzy eapy: I bardzo szybki wzros, II wzros coraz wolniejszy, III sabilizacja na poziomie bliskim poziomowi nasycenia α. Funkcję logisyczną można zapisać w akiej posaci maemaycznej: α Y =, α > 0, β > 0, γ > 0. (.58) X + β e γ Inerpreację ma ylko paramer α. Jes on asympoą poziomą zwaną poziomem nasycenia (rys..4). Rys Funkcja logisyczna 66

67 Pierwsza funkcja Tornquisa Poza wymienionymi wyżej sandardowymi funkcjami maemaycznymi w modelowaniu ekonomerycznym można spokać również funkcje o charakerze specjalnym. Do grupy ych funkcji należą m.in. funkcje Tornquisa, kórych nazwa pochodzi od nazwiska szwedzkiego ekonomisy. Funkcje e są najczęściej wykorzysywane w ekonomicznej analizie popyu konsumpcyjnego. Opisują one zależność popyu (Y ) na różne dobra od wielkości dochodów konsumenów ( X ). Znane są rzy funkcje o ej nazwie. I funkcja Tornquisa ma aką posać maemayczną: α X Y = X + β, α > 0, β > 0, (.59) Jej przebieg przedsawia rysunek.5, przy czym Y funkcji, ak zwanym poziomem nasycenia, naomias X wykresu funkcji. = α jes asympoą poziomą ej = β jes asympoą pionową Rys Pierwsza funkcja Tornquisa Druga i rzecia funkcje Tornquisa II funkcję Tornquisa można zapisać w akiej posaci: ( X γ ) α Y = X + β, α > 0, β > 0, γ > 0, (.60) gdzie paramery α i β mają inerpreację analogiczną jak w pierwszej funkcji Tornquisa, naomias γ jes poziomem zmiennej objaśniającej X, przy kórym pojawia się objaśniane zjawisko (Y ) (rys..6). 67

68 Rys Druga funkcja Tornquisa III funkcja Tornquisa ma aką posać maemayczną: ( γ ) α X X Y = X + β, α > 0, β > 0, γ > 0. (.6) W przypadku ej funkcji inerpreacji podlegają ylko dwa paramery: β i γ. Mianowicie, paramer β jes asympoą pionową funkcji, a paramer γ poziomem zmiennej objaśniającej X, przy kórym pojawia się objaśniane zjawisko Y (rys..7). Rys Trzecia funkcja Tornquisa 68

69 .5.3. Esymacja meodą najmniejszych kwadraów modeli ransformowalnych do posaci liniowej Esymację modelu nieliniowego należy rozpocząć od usalenia czy zakłócenia losowe ( ε ) mają charaker rzeczywisy. Chodzi u przede wszyskim o o, czy zakłócenia losowe nakładają się addyywnie (przez dodanie), czy muliplikaywnie (przez pomnożenie). Dokładniej mówiąc zakłócenia losowe mogą być nałożone: jeśli ampliuda wahań jes sała addyywnie: + ε, jeśli odchylenia losowe są proporcjonalne do poziomu zmiennej objaśnianej (Y ) muliplikaywnie, przy czym są dwie możliwości: lub e ε ε ( 0 ). Zazwyczaj sosuje się ę drugą możliwość, bowiem po sprowadzeniu do posaci liniowej zakłócenia losowe nie ulegają ransformacji. ε Modele ransformowalne do posaci liniowej Modele liniowe względem paramerów Model Y f (, ) = X α jes liniowy względem paramerów, jeżeli zmienną objaśnianą można przedsawić jako liniową funkcję jednoznacznych przekszałceń zmiennych objaśniających X, przy czym współczynniki ych przekszałceń są znane, czyli model można zapisać w posaci [7]: K α j j α0 α... α K K, (.6) j= 0 Y = X = + X + + X gdzie j ( X j ) X % =. (.63) Zaem zmienne pomocnicze X % j są pewnymi funkcjami (przekszałceniami) oryginalnych zmiennych objaśniających modelem liniowym X j, a model (.6) nazywany jes pomocniczym Paramery srukuralne modelu pomocniczego (.6) szacuje się za pomocą meody najmniejszych kwadraów, czyli wykorzysując wzór: T ( ) = % % %, (.64) T a X X X y 69

70 przy czym X % jes macierzą obserwacji pomocniczych zmiennych objaśniających, a y wekorem obserwacji na zmiennej objaśnianej. Dla modelu pomocniczego szacuje się nasępnie paramery srukury sochasycznej, model pomocniczy poddaje się weryfikacji i jeżeli weryfikacja wypadnie pomyślnie, o przyjmuje się, że również oryginalny model jes dobrze dopasowany do obserwacji. Spośród omówionych wcześniej modeli nieliniowych do modeli liniowych względem paramerów należą m.in.: model hiperboliczny, wielomiany i model logarymiczny. W ych modelach zakłócenie losowe nakładane zazwyczaj addyywnie. Przykład.6. Usalimy posać analiyczną modelu zależności jednoskowego koszu produkcji ( y ) od wielkości produkcji ( x ). Ponad o oszacujemy paramery dobranego modelu. Dane porzebne do badania dla 0 obserwacji ( ) przedsawiono w poniższej abeli: Obserwacja y (zł) x (ys.szuk) Źródło: dane umowne Na podsawie danych obserwacji z powyższej abeli sporządzimy wykres (rys..8). 3,5 3,5,5 0,5 0 44,6 40,77 6,9 4,6 7,69 6,5 5,38 4,6 3,08,54 Rys Zależność jednoskowego koszu produkcji ( y ) od wielkości produkcji ( x ) Źródło: dane umowne Jak widać na rysunku.8 do opisu badanej zależności można wykorzysać hiperbolę (.56), kóra po uwzględnieniu zakłócenia losowego przyjmuje posać: 70

71 Y = α0 + α + ε. X W celu linearyzacji naszego modelu wprowadzimy zmienną pomocniczą X% =, przy czym X 0. X Wówczas badany model liniowy będzie miał posać: Y = α + α X % + ε. 0 Korzysając ze wzoru (.64) oszacujemy paramery naszego modelu, przy czym: x% x% x x% x, M M M M x% 4 xn = = x y y y, M yn = n n ( x ) x = T X% X% L = = n n x x x, L M M n ( x ) ( x ) xn = = n y y = T X% L y = n x x x =. L n M ( x ) y y n = Rezulay obliczeń pomocniczych zapiszemy w posaci poniższej abeli: y y x x x y x Σ Źródło: obliczenia własne 7

72 Na ich podsawie orzymujemy: T T a = ( X% X% ) X% y = , T ( X% X% ) = A de T ( X X) T ( X% X% ) T, de % % = = = Podwyznacznik macierzy d = , d = 53.34, d = 53.34, d = Teraz obliczymy elemeny macierzy A : T X% X% składa się z elemenów: = ( ) =, ( ) + + a = ( ) =, ( ) + + a Sąd A = i ze względu na symerię Zaem ( X % T X % ) oraz a T A = a = = 53.34, a = 0.00 = = = a a = = = = = = Oóż mamy model yˆ = x% = x 7

73 Korzysając z oszacowanego modelu możemy obliczyć warości eoreyczne dla zmiennej objaśnianej: y ˆ = = 45.46, y ˆ6 = = 6.90, y ˆ = = 38.64, y ˆ7 = = 4.86, y ˆ3 = = 5.9, y ˆ8 = = 4.6, y ˆ4 = = 5.9, y ˆ9 = =.8, y ˆ5 = = 8.4, y ˆ0 = =.. Dalej obliczymy paramery srukury sochasycznej. W ym celu należy obliczyć warość średnią dla zmiennej objaśnianej i reszy 0 y 5.39 = = = y = e = y yˆ. Obliczenia pomocnicze zapiszemy w posaci poniższej abeli: y y ˆ e e y y ( y y ) / Σ Źródło: obliczenia własne Teraz możemy obliczyć paramery srukury sochasycznej: S = , 0 S e e = S = , e Se.45 Ve = 00% = 00% = 5.5%, y.54 73

74 0 e.353 = = = 0.0 = %, 9.3 = ϕ 0 R = ( y y ) = ϕ = 0.0 = 0.99 = 99%. ( ) ( ) T D a = S e X% X% =.5439 = , D( a 0 ) = 0.97 = 0.360, ( ) D a = = Na podsawie orzymanych warości paramerów srukury sochasycznej możemy wywnioskować o dobrym dopasowaniu modelu do danych obserwacji, gdyż ylko % zmienności zmiennej objaśnianej nie zosał wyjaśniony przez nasz model. Oóż możemy zapisać: yˆ = x ( ) (0.360) Teraz zweryfikujemy zbudowany model, mianowicie zweryfikujemy hipoezę o saysycznej isoności współczynników regresji: ( ) a 0 ( ) a.45 0 = = = 4.500, ;8 =.306 (Aneks A). Ponieważ ( a ) > i ( a ) ;8 >, więc przyjmujemy hipoezę alernaywną (do 0.05;8 hipoezy zerowej), zn. wszyskie paramery srukuralne (współczynniki regresji) są saysycznie isone. Przeprowadzimy również badanie losowości resz korzysając z esu serii. Zapiszemy ciąg resz z naszego przykładu: -0.84;.3;.73; -0.57; -0.55; -0.75;.5; 0.46; 0.6; -0.58; kóremu odpowiada nasępujący ciąg symboli: b aa bbb aaa b. 74

75 Oóż w ciągu resz wysępuje 5 serii, czyli S = 5, przy czym liczba warości dodanich wynosi n = 5, a liczba warości ujemnych n = 5. Zakładamy, że α = Warości kryyczne dla n i n wynoszą S = i S = 9 (Aneks C, D). Ponieważ S < S < S, więc posać analiyczna modelu jes właściwą. Na podsawie naszego modelu możemy scharakeryzować aką zależność: wraz ze wzrosem wielkości produkcji kosz jednoskowy maleje coraz wolniej do asympoy poziomej Y =.45. Modele nieliniowe względem zmiennych i paramerów Model Y f (, ) = X α, nieliniowy względem zmiennych i paramerów, jes ransformowalny do posaci liniowej, jeśli za pomocą jednoznacznych przekszałceń obu jego sron można go zapisać w posaci liniowej. Pomocniczy model liniowy przybiera w ym przypadku posać [7]: gdzie Y = G ( Y ) K Y % = β X % + ε = β + β X % β X % + ε, j j 0 K K j= 0 % pomocnicza zmienna objaśniana (pewna funkcja oryginalnej zmiennej objaśnianej); X j = g ( X j ) % pomocnicze zmienne objaśniające (pewne funkcje oryginalnych zmiennych objaśniających); β j h( α j ) = paramery modelu pomocniczego (zazwyczaj akże pewne funkcje paramerów modelu oryginalnego). Po linearyzacji modelu nieliniowego zapisaniu go w posaci modelu pomocniczego wyznacza się za pomocą meody najmniejszych kwadraów jego paramery srukuralne korzysając ze wzoru: T ( ) = % % % %, (.65) T b X X X y gdzie X % macierz obserwacji pomocniczych zmiennych objaśniających; y% wekor obserwacji pomocniczej zmiennej objaśnianej. Dla modelu pomocniczego oblicza się nasępnie paramery srukury sochasycznej i model pomocniczy poddaje się weryfikacji. Jeżeli dopasowanie modelu pomocniczego do obserwacji można uznać za dobre, wnioskuje się, że model oryginalny eż jes dobrze dopasowany. Można zaem zapisać model w posaci oryginalnej. Najczęściej spoykane w prakyce modele nieliniowe względem paramerów i zmiennych, kóre można linearyzować, o model wykładniczy, poęgowy oraz ich kombinacja 75

76 (poęgowo-wykładniczy). W ych modelach zakłócenie losowe nakłada się na funkcję muliplikaywnie. Przykład.7. W pewnym przedsiębiorswie produkującym lody zaobserwowano akie wielkości sprzedaży ( y ) w kolejnych laach (parz abelę poniżej). Rok y (on) , Źródło: dane umowne Należy oszacować paramery modelu rendu, zn. zależności wielkości sprzedaży od czasu ( ). Zauważmy, że w modelach rendu zmienna czasowa najczęściej przyjmuje warości kolejnych liczb nauralnych ( =,,.., n ). Zanim wybierzemy posać analiyczną modelu, najpierw zilusrujemy zależność y od na wykresie (rys..9), co uławi nam wybór właściwej posaci analiycznej modelu Rys Sprzedaż lodów w laach (on) Źródło: dane umowne Jak widać na rysunku.9 zależność a może mieć charaker funkcji wykładniczej. Przyjmiemy więc funkcję ypu (.48) z muliplikaywnym zakłóceniem losowym: Y = α0 α e ε. 76

77 Aby sprowadzić ją do posaci liniowej należy obie jej srony zlogarymować, najlepiej przy powyższej posaci funkcji wykorzysać logarym nauralny: ln Y = lnα + lnα + ε ln e = lnα + lnα + ε. 0 0 Zaem model pomocniczy (liniowy) przyjmuje posać: Y % = β + β X % + ε, 0 gdzie gdzie: Y % = lny, X % =, β = lnα, β 0 0 = lnα. Paramery srukury danego modelu możemy oszacować korzysając ze wzoru (.65), X % =, M M n y% ln y ln y, M ln y n = x n T X% X% L = =, L n M M y y ln y T X% L y = =. L n M ln y yn Dalej obliczenia pomocnicze zapiszemy do poniższej abeli: = y y% = ln y n ln y , Σ = Źródło: obliczenia własne T T b = ( X% X% ) X% y% = = =

78 = = = = = b0.58 Zaem b = = b 0.5. Jednak należy pamięać, że b0 = ln a0 i b = ln a. Oszacowany model pomocniczy (liniowy) będzie mieć posać: ln yˆ = reszy Obliczymy za jego pomocą warości eoreyczne: ln y ˆ = =.83, ln y ˆ5 = =.83, ln y ˆ = =.08, ln y ˆ6 = = 3.08, ln y ˆ3 = =.33, ln y ˆ7 = = ln y ˆ4 = =.58, Obliczymy eż warość średnią ln y ln y = = =.567, 7 7 e% = ln y ln yˆ oraz inne dane pomocnicze, za pomocą kórych można obliczyć paramery srukury sochasycznej. Pomocnicze dane przedsawimy w posaci abeli: Rok ln y ln y ˆ e% e% ln y ln y ( ) ln y ln y , Σ Źródło: obliczenia własne 78

79 Teraz możemy obliczyć paramery srukury sochasycznej: S = e e n k = 7 % %, S e = 0.0 = V Se% = 00% = 00% = 4.6% ln y.567 e%, e% ϕ = = = = 3.3%,.8058 R ( ln y ln y) = ϕ = = = 96.68%, %, ( ) ( ) T D b = S e X% X% % = 0.0 = , ( ) ( ) ( ) D b = D ln a = = 0.097, 0 0 ( ) ( ) ( ) D b = D ln a = = 0.0. Zaem możemy zapisać oszacowany model pomocniczy wraz z paramerami srukury sochasycznej: modelu: ln yˆ = , S % = 0.095, V = 4.6% ( 0.097) ( 0.0 ) e ϕ = 3.3%, e %, R = 96.68%. Zweryfikujemy saysyczną isoność orzymanych paramerów srukuralnych ( ) = =, ( b ) b Warość kryyczna wynosi 0.05;5 =.447 (Aneks A). Ponieważ ( b ) > i ( b ) ;5 0.05; = = >, więc model zosał dobrany rafnie zwłaszcza, że ylko 3.3% zmienności logarymów zmiennej objaśnianej nie zosało wyjaśnione przez nasz model, a odchylenia losowe sanowią zaledwie 4.6% średniej warości logarymów Y. Dla esu serii wypiszemy ciąg resz: 0.579; ; -0.43; ; -0.04; ; ; kóremu odpowiada ciąg symboli: a bbbb aa. Oóż obserwujemy 3 serii, czyli S = 3. Dla n = 3 i n = 4 S = oraz S = 6 (Aneks C, D). 79

80 Ponieważ S < S < S, więc reszy mają charaker losowy. To powierdza właściwy wybór posaci analiycznej modelu. A eraz należy przejść do posaci oryginalnej modelu w aki sposób: Sąd oryginalny model ma posać: b0.58 b0 = ln a0 a0 = e = e = 4.855, b 0.5 b = ln a a = e = e =.84. y ˆ = Modele ściśle nieliniowe To są modele, kóre nie da się ransformować do posaci liniowej. Wśród najczęściej wykorzysywanych w prakyce ekonomerycznej modeli ściśle nieliniowych należy wymienić funkcje Tornquisa oraz krzywe S-kszałne (m.in. funkcję logisyczną i krzywe Gomperza). Ponad o linearyzacja modeli nieliniowych może czasami powodować dość znaczne zniekszałcenie uzyskanych wyników. W przypadku esymacji modeli ściśle nieliniowych wykorzysywane są meody numeryczne (por. [], [9]). Najczęściej wykorzysuje się w ym celu meody ieracyjne (por. [], [9], [8]). W lieraurze przedmiou poleca się akże zasosowanie segmenowej esymacji paramerów modeli nieliniowych o segmenach liniowych (por. []). Jedną z częso sosowanych meod esymacji nieliniowej jes nieliniowa meoda najmniejszych kwadraów, kóra wykorzysuje różne procedury ieracyjne. Do najbardziej znanych i najczęściej sosowanych należą (por. [4, s. 5-5], [7, s ]): meoda Gaussa Newona, meoda najszybszego spadku, meoda Marquarda. Oóż esymacja paramerów funkcji nieliniowych jes znacznie rudniejsza, ale, wraz z dynamicznym rozwojem echniki kompuerowej i oprogramowania w osanim 0-leciu, zasosowanie posaci nieliniowych sało się dość powszechne [4, s.4]. Ineresujące omówienie problemów, związanych z modelami nieliniowymi, można znaleźć również w pracach T.Amemyi [], G.G.Judge a i in. [7, s. 95-3] oraz w klasycznych monografiach auorswa S.M.Goldfelda i R.E.Quanda [6] i Y.Barda [3], a akże G.A.Sebera i C.J.Wilda [37]. 80

81 ROZDZIAŁ II PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELI SZEREGÓW CZASOWYCH Wsęp Rozwój gospodarki powoduje, że prognozowanie gospodarcze znajduje coraz szersze zasosowanie, nie ylko w naukach ekonomicznych do modelowania sanu gospodarki w przyszłości, ale również w dziedzinie nauk społecznych, przyrodniczych, ip. Ponieważ wiedza jes największą warością, zaem, każdy podejmując decyzje, chce je opierać o realne i rzeelne prognozy. Rządy pańsw chcą znać prognozy przychodów z podaków i prognozy wydaków budżeowych, aby móc racjonalnie gospodarować budżeem i urzymywać dziurę budżeową na jak najniższym poziomie. Podobnie posępują samorządy lokalne. Banki prognozują m.in. sopę procenową oraz kurs waluowy aby zabezpieczać się przed ryzykiem spowodowanym przez e czynniki makroekonomiczne. Ryzyko jakie mogą powodować e czynniki makroekonomiczne o ryzyko płynności banku lub niebezpieczeńswo, że przy zby drasycznych wzrosach ych czynników, kredyobiorcy nie będą w sanie wywiązać się ze swoich zobowiązań. Firmy produkcyjne również prognozują. Sarają się one zaprognozować dobrze produkcję na nasępne okresy, aby nie zosać z nadwyżką owaru lub jego niedoborem w isonych okresach. Firmy eksporujące lub imporujące muszą prognozować warość kursów waluowych, aby dalej opłacało im się handlować. Wszyskie e podmioy chcą znać prognozy gospodarcze aby wiedzieć, czy zarudnić nową siłę roboczą, bo gospodarka będzie się rozkręcać, czy eż ciąć zarudnienie ze względu na zbliżający się kryzys. Osoby indywidualne przed każdym wyjściem z domu chcą znać prognozę pogody, aby wiedzieć, czy wziąć parasol, czy nie. Osoby e sarają się również 8

82 prognozować swoje oszczędności, aby wiedzieć, kiedy mogą sobie pozwolić na odrobinę luksusu (np. wymiana samochodu lub egzoyczne wczasy). Do prognozowania używanych jes wiele modeli maemaycznych, poczynając od modeli naiwnych poprzez regresje linowe, średnie ruchome i rendy pełzające, aż do wygładzania wykładniczego. Używanych jes również wiele modeli oparych o wiedzę i doświadczenie eksperckie. Oczywiście każdy podmio gospodarczy czy eż osoba fizyczna prognozuje zgodnie ze swoją wiedzą. Większe insyucje używają bardziej skomplikowanych modeli, gdyż mają specjalne zespoły zajmujące się prognozowaniem. Dodakowo większe insyucje przeznaczają na cel prognozowania znacznie większe fundusze. Naomias mniejsze firmy lub osoby fizyczne opierają się częso na modelach bardzo prosych, eksperckich lub zwykłym przeczuciu... Teoreyczne podsawy prognozowania Prognozowanie jes o przewidywanie przyszłości w sposób racjonalny z wykorzysaniem meod naukowych. Jednak użycie ych meod nie gwaranuje niezawodności prognozy (bardzo częso jes o obserwowane zwłaszcza w prognozie pogody), uławia jednak uzyskanie prognozy o bardzo dobrej jakości. Informacja o ym jak można zmierzyć jakość prognozy zosanie opisane szerzej w kolejnych rozdziałach niniejszego opracowania. Zgodnie ze słownikiem wyrazów obcych PWN prognoza o przewidywanie przyszłych faków, zdarzeń, ip. opare na uzasadnionych przesłankach, obliczeniach. Isnieje wiele ypów prognoz. Rozróżniamy prognozy warunkowe, kórych realizacja uzależniona jes lub powodowana jes przez pewne okoliczności oraz prognozy bezwarunkowe, czyli akie, kórych realizacja nie jes uzależniona (lub nie jes powodowana) od żadnych okoliczności. Prognozy możemy eż podzielić na prognozy prose oraz prognozy złożone. W przypadku prognozy prosej, określa ona san jednej zmiennej, naomias w przypadku prognozy złożonej, określa ona san wielu zmiennych. Innym podziałem prognozy jes podział ze względu na rodzaje zmiennych użyych do prognozowania. Mogą o być zmienne ilościowe oraz zmienne jakościowe. Zmienne ilościowe można zapisać za pomocą liczby. W innym przypadku mówimy o zmiennych jakościowych. Idąc dalej ym ropem, również prognoza może być ilościowa lub jakościowa. Jakościową prognozę możemy podzielić na punkową (gdy zmienna przyjmie określoną warość np. że przychody danej firmy wzrosną o 60%) oraz przedziałową (gdy zmienna 8

83 powinna przyjąć warość z przedziału, np. że przychody danej firmy wzrosną pomiędzy 50% a 70%). Naomias prognoza jakościowa, jes o prognoza, kórej wynikiem jes san zmiennej jakościowej lub słownie opisana syuacja doycząca zmiennej ilościowej (przykładem prognozy jakościowej jes np. zachmurzenie, kóre możemy określić jako małe, umiarkowane, duże, ip.). Ze względu na okres prognozy, rozróżniamy prognozy: krókoerminowe, średnioerminowe, długoerminowe. Należy zauważyć, że dla każdej osoby oraz podmiou, innym horyzonem będzie się odznaczać dana prognoza (np. prognoza krókoerminowa meeorologii o jeden dzień, naomias dla rządu jes o z reguły rok). Rola prognoz w ekonomii sprowadza się do dosarczenia informacji doyczących przewidywanego kszałowania się zjawisk ekonomicznych w przyszłości. Te informacją muszą być obiekywne naukowo. Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. przedsawia podsawowe funkcje prognoz: Funkcje prognoz preparacyjna akywizująca informacyjna Rys. 0.. Funkcje prognoz Źródło: opracowanie własne Funkcja preparacyjna uznawana jes za najważniejszą, gdyż zadaniem prognozy jes wspomóc proces podejmowania racjonalnych decyzji gospodarczych. Osoba przygoowuje prognozy dla podmiou podejmującego decyzje, czyli decydena. Osoba a jes zwana prognosą. Decyden podejmuje decyzje zarówno na poziomie mikro- jak 83

84 i makroekonomicznym. Przygoowanie prognoz, czyli sworzenie przesłanek do podjęcia realnej decyzji, bardzo częso uważa się za główny cel prognozowania. Funkcja akywizująca polega na pobudzaniu do podejmowania działań sprzyjających realizacji prognoz, gdy zapowiada ona zdarzenia korzysne lub przeciwsawiających się jej realizacji, gdy przewidywane zdarzenia są oceniane jako niekorzysne. Kwalifikacja zdarzeń jako korzysnych, czy eż niekorzysnych jes zależna od społeczeńswa i ich sysemu warości. Należy uaj podkreślić, że o co dla jednych jes zdarzeniem korzysnym, dla innych może być posrzegane jako niekorzysne. Funkcja akywizująca prowadzi do wyznaczania prognoz badawczych, kórych zadaniem jes wszechsronne oraz bezsronne podejście do przewidywania przyszłości, co przejawia się przez ukazanie wielu możliwych wersji przyszłości. Specyficznym rodzajem prognozy badawczej jes prognoza osrzegawcza, kórej zadaniem jes przewidywanie zdarzeń niekorzysnych dla danych odbiorców prognozy. Osanim ypem funkcji jes funkcja informacyjna. Polega ona na oswajaniu ludzi z nadchodzącymi zmianami. Dzięki emu informowaniu, zmniejsza ona lęk społeczeńswa przed przyszłością, powoduje uspokojenie, a w niekórych syuacjach nawe akcepację... Organizacja procesu prognosycznego Prognozowanie jes pewnego rodzaju procesem. Od sworzenia/zbudowania ego procesu, może zależeć jakość prognozy. Sformułowanie prognozy wymaga wielu kroków, kóre można spróbować ułożyć w pewien ogólny schema. Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. przedsawia przykładowy schema eapów prognozowania. 84

85 Sformułaowanie zadania Podanie przesłanek Wybór meody Weryfikacja Ocena dopuszczalności Wyznaczenie prognozy Rys. 0.. Eapy prognozowania Źródło: opracowanie własne W proces prognozy zaangażowane są dwie srony. Pierwsza srona zleca prognozę, naomias druga ją przeprowadza. Osoba zlecająca prognozę najczęściej jes decydenem, kóra na podsawie ej prognozy będzie musiała podjąć jakąś decyzję. Waro wspomnieć, że decyden nie musi być specjalisą w budowaniu prognoz. Jego głównym zadaniem jes sformułowanie zadania prognosycznego. Dodakowo powinien on wspierać osobę przeprowadzającą prognozowanie również na innych eapach, gdyż jes on znawcą zjawiska, kóre będzie prognozowane. W pierwszym eapie decyden powinien, określić obiek lub zjawisko, kóre będzie prognozowane, gdzie ono zachodzi i jakie jego zdaniem zmienne najlepiej o zjawisko charakeryzują. Osoba zlecająca prognozę powinna wyznaczyć również cel wyznaczenia prognozy, czyli o do czego jej a prognoza będzie porzebna. Isonym elemenem dla osoby przeprowadzającej prognozę, jes horyzon czasowy ej prognozy, gdyż liczba deali prognozy będzie malała wraz ze wzrosem horyzonu prognozy. Podanie przesłanek prognosycznych wymaga współpracy obu sron. Jednak o osoba przeprowadzająca prognozę powinna na ym eapie odgrywać rolę wiodącą. Powinna ona zadawać osobie zlecającej pyania o realia zjawiska, konsulować z ą osobą opinie i eorie uzyskane w wyniku analizy lieraury naukowej przedmiou oraz badań doychczasowych danego zjawiska. Analizując różne eorie, można wybrać e, kóre wydają się najbardziej adekwane w ym konkrenym przypadku prognosycznym. Analiza eorii uławia również wybór modelu oraz danych wejściowych do modelu. Efekem ych prac 85

86 powinny być hipoezy o czynnikach kszałujących zjawisko, kóre będzie prognozowane, a akże określenie oraz zebranie zbioru danych porzebnych do sporządzenia prognozy. Wybór meody prognozowania jes po części wynikiem/konsekwencją uzgodnień z osobą zlecającą prognozę. Wybór meody zależy od rodzaju posiadanych danych oraz uzgodnionych z decydenem przesłanek prognosycznych. Waro jednak zwrócić uwagę, że osaeczna decyzja o meodzie użyej do prognozowania, zależy wyłącznie od prognosy. Wyznaczenie prognozy powinno przebiegać zgodnie z najlepszymi sandardami saysyki/ekonomerii oraz ogólnym schemaem, kórego wybór jes uzależniony od wybranego modelu. W ym miejscu prognosa ma możliwość określenia dodakowych paramerów, akich jak sała wygładzania, przedział ufności prognozy, funkcja rendu, jeśli wysępuje, ip. Ocena dopuszczalności prognozy jes o informacja, czy prognoście udało spełnić się oczekiwania osoby zlecającej prognozę (horyzon czasowy, wymogi jakościowe, ip.). Weryfikacja prognozy polega na oszacowaniu błędu ex pos, gdy prognoza doyczyła zmiennej ilościowej lub na porównaniu prognozowanego sanu zmiennej ze sanem fakycznym. O możliwych wyliczeniach błędów ex pos będzie szerzej w nasępnych rozdziałach niniejszego opracowania. Sysemayczna weryfikacja prognoz nazywa się monioringiem i jes ona pożądana w przypadku isonych decyzji gospodarczych, kóre nie są przeprowadzane jednorazowo..3. Zasady i meody prognozowania W niniejszym rozdziale zosaną zaprezenowane najbardziej popularne zasady/reguły prognozowania oraz przedsawione zosaną różne meody prognozowania..3.. Zasady prognozowania Jak już zosało wspomniane, ideą prognozowania jes przewidzenie pewnego zjawiska w przyszłości za pomocą różnego rodzaju meod oraz wiedzy i doświadczenia osoby przeprowadzającej prognozę, a akże analizy hisorycznej ego zjawiska. W meodzie prognozowania można wyodrębnić dwie fazy: fazę diagnozowania przeszłości oraz fazę określania przyszłości. Diagnozowanie przeszłości może odbywać się za pomocą budowy formalnego modelu (np. ekonomerycznego) lub myślowego (worzonego przez ekspera). Sposób przejścia od danych do prognozy, czyli faza określania przyszłości nazywana jes zasadą prognozy lub regułą prognozy. Należy pamięać, że określonemu sposobowi 86

87 (meodzie) przeworzenia danych rzeczywisych mogą owarzyszyć różne zasady wyznaczania prognozy. Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. obrazuje najczęściej sosowane reguły/zasady prognozy. Prognoza za pomocą meody podsawowej zakłada, że model będzie akualny w chwili na kórą określa się prognozę. Parafrazując oznacza o, że w chwili obecnej budujemy model na danych rzeczywisych (przeszłych) i zakładamy, że na chwilę przyszłą en model również będzie akualny. Przyjecie ej reguły powoduje, że prognozę orzymujemy w skuek eksrapolacji modelu. Reguła jes sosowana, gdy osoba przeprowadzająca prognozę uważa, że model, kóry dość dobrze dopasował się do danych i opisywał przeszłość, będzie również akualny w przyszłym momencie, na kóry budowana jes prognoza. Najbardziej popularnym modelem oparym o regułę podsawową jes klasyczny model regresji liniowej. Prognoza za pomocą meody podsawowej z poprawką jes rozszerzeniem prognozy za pomocą meody podsawowej. Korzysamy z ej reguły w przypadku, jeśli wysępują uzasadnione przypuszczenia, że zaobserwowane osanio odchylenie danych empirycznych od modelu urzyma się w przyszłości. Jeśli osoba przeprowadzająca prognozę jes przekonana, że odchylenie o będzie sałe, wedy o warość ego odchylenia powiększa prognozę modelu. W przypadku, gdy odchylenie nie jes sałe i nasąpiło w kilku osanich obserwacjach, wedy jako poprawkę można przyjąć średnią arymeyczną (jeśli osoba przeprowadzająca prognozę uważa, że odchylenie dla każdej obserwacji jes ak samo isone) lub średnią ważoną (jeśli osoba przeprowadzająca prognozę uważa, że odchylenie w każdym momencie nie jes ak samo isone i np. chce przypisać większe wagi odchyleniom osanim). 87

88 Podsawowa Minimalnej sray Zasady prognozy Podsawowa z poprawką Największego prawdopodobieńswa Rys Zasady/reguły prognozy Źródło: opracowanie własne Prognoza za pomocą meody największego prawdopodobieńswa zakłada, że warością przyszłą będzie san zmiennej lub warość, kóremu odpowiada najwyższe prawdopodobieńswo lub maksymalna warość funkcji gęsości rozkładu. Reguła a może być sosowana, gdy zmienna prognozowana jes zmienną losową i znamy jej rozkład prawdopodobieńswa, bądź jeseśmy w sanie oszacować go na podsawie rzeczywisych danych (próbki). Reguła a jes najczęściej sosowana, gdy zmienna prognozowana jes skokowa lub niemierzalna. Upraszczając, można powiedzieć, że warością prognozowaną jes moda/dominana rozkładu. Prognoza za pomocą meody minimalnej sray zakłada, że warością przyszłą będzie warość zmiennej, kóra spowoduje minimalną sraę. Meoda a zakłada, że wielkość sray jes funkcją błędu prognozy i aby wybrać prognozę, należy znaleźć minimum ej funkcji. Z założenia, reguła a powinna być powiązana z pewnego rodzaju negaywnym skukiem jak np. wysokie nakłady finansowe, prawdopodobieńswo niewykonania projeku, ryzyko wysąpienia różnego rodzaju niepokojów społecznych, ip. 88

89 .3.. Meody prognozowania Rysunek.4 przedsawia schema obrazujący różne meody prognosyczne. Meody zosały pogrupowane ze względu na rodzaj wykorzysywanych danych i sposób ich przeworzenia. Meody prognosyczne Maemaycznosaysyczne Niemaemayczne Opare na modelach deerminisycznych Jednorównaniowe Opare na modelach ekonomerycznych Wielorównaniowe - Ankieowe - Inuicyjne - Kolejnych przybliżeń - Eksperyz - Delficka - Refleksji - Analogowe - Burza mózgów - Sieci neuronowe - Klasyczne modele rendu - Adapacyjne - Przyczynowoskukowe - Auoregresyjne - Prose - Rekurencyjne - O równaniach współzależnych Rys Meody prognosyczne Źródło: opracowanie własne na podsawie [34] Pierwszym podziałem meod prognosycznych jes podział na meody maemaycznosaysyczne oraz meody niemaemayczne. Meody niemaemayczne, zwane również heurysycznymi, polegają na wykorzysaniu opinii grupy eksperów, oparej na ich wiedzy, inuicji oraz wyobraźni. Przewidywanie w przypadku modeli niemaemaycznych nie jes eksrapolowaniem wykryych w danych rzeczywisych różnych prawidłowości, lecz bardziej prognozowaniem możliwych warianów rozwoju zjawisk i wskazywaniem ych najbardziej realisycznych. 89

90 Waro wyróżnić burzę mózgów i meodę delficką, kóre zakładają większą rafność prognozy oparej o uzgodnienia miedzy grupą eksperów, niż prognozy pojedynczego ekspera. Wykorzysywane są do sporządzania prognoz długoerminowych, gdzie wykorzysanie danych nie jes możliwe (np. odkrycia naukowe, rozwój echniki, ip.). Z innych bardziej znanych meod niemaemaycznych waro wyróżnić sieci neuronowe. W wyniku procesu uczenia się i adapacji do nowych danych, sieci zdobywają wiedzę, kórą poem wykorzysują w procesie prognozowania. Meody analogii są częso wykorzysywane w biologii, gdzie zakłada się analogiczną drogę rozwoju dla niekórych podobnych zjawisk. Drugą klasą są wszyskie meody maemayczno-saysyczne, kóre o opare są o modele maemayczne, saysyczne lub ekonomeryczne. Są one znacznie bardziej popularne i nie wymagają ak dogłębnej wiedzy eksperckiej przy ich budowaniu. Meody e bazują bardziej na pewnych prawidłowościach w przeszłości, kóre sarają się odzwierciedlić w przyszłości. Waro jednak zaznaczyć, że meody e, nie ukazują przyczyn powsania ych prawidłowości. Meody maemayczno-saysyczne możemy nasępnie podzielić na meody opare na modelach deerminisycznych oraz modelach ekonomerycznych. Modele deerminisyczne, są o modele, kóre pozwalają obliczyć prognozowaną warość bez żadnego błędu w dowolnym momencie w przyszłości. Do akich modeli możemy zaliczyć m.in. wysokość prognozowanych odseek na lokacie kapiałowej ze znanym oprocenowaniem przy znanej meodzie kapializacji odseek. Wedy osoba znająca wzór na kwoę odseek oraz meodę kapializacji może bez żadnego błędu obliczyć kwoę odseek. Niesey większość zjawisk (ekonomicznych, finansowych, czy socjologicznych) nie jes deerminisyczna, co oznacza, że na wielkość ych zjawisk mają akże wpływ inne czynniki naury losowej. Owe czynniki wykluczają możliwość znalezienia modelu deerminisycznego, kóry mógłby w sposób dokładny opisać lub zaprognozować e zjawiska. Należy wedy zbudować model, kóry z pewnym prawdopodobieńswem pozwala wyznaczyć przyszłą wielkość badanego zjawiska. Model aki nazywamy modelem ekonomerycznym. W modelach ekonomerycznych, w odróżnieniu od modeli deerminisycznych, przyszłą warość danego szeregu możemy wyznaczyć z pewnym błędem, kóry o odpowiada czynnikowi losowemu badanego zjawiska. Oczywiście przy budowie modeli chcemy, aby en błąd był jak najmniejszy. Modele ekonomeryczne możemy nasępnie podzielić na jednorównaniowe oraz wielorównaniowe. 90

91 Model jednorównaniowy jes o model, kóry do opisania danego zjawiska używa wyłącznie jednego równania. Naomias model wielorównaniowy jes o model, kóry do opisania danego zjawiska używa wielu równań (układu równań). Modele wielorównaniowe są znacznie bardziej skomplikowane, gdyż pomiędzy zmiennymi mogą wysępować różne zależności albo sprzężenia zwrone. W niniejszym opracowaniu zosaną zaprezenowane modele z kaegorii maemayczno-saysycznej opare o modele ekonomeryczne jednorównaniowe..4. Rodzaje błędów prognoz i rodzaje jakości prognoz W niniejszym rozdziale zosaną zaprezenowane rodzaje błędów prognoz oraz rodzaje jakości prognoz..4.. Rodzaje błędów prognoz Określając pojęcie prognozy zosało zaznaczone, że jes ona odzwierciedleniem modelu ekonomerycznego obarczonego błędem losowym. W ym podrozdziale zosaną omówione rodzaje błędów oraz meody ich pomiaru. Błąd prognozy można określić jako różnicę pomiędzy warościami prognozowanymi, a warościami rzeczywisymi. Maemaycznie można o zapisać za pomocą nasępującego wzoru: =, (.) gdzie: zmienna rzeczywisa Y w okresie, prognoza zmiennej Y w okresie. Zauważmy, że błąd może być określony po upływie czasu na kóry prognoza była usalona, czyli gdy znana jes realizacja zmiennej prognozowanej na en czas. Wedy mówimy o prognozie ex pos, czyli o rafności prognozy. Jeśli naomias błąd jes określony przed upływem czasu na kóry prognoza była usalona, czyli gdy nie jes znana realizacja zmiennej prognozowanej, a jedynie jej spodziewana realizacja na en czas, wedy mówimy o prognozie ex ane, czyli o dokładności prognozy. Błąd prognozy ex ane jes szacowany w ym samym momencie co prognoza i służy określeniu jej dopuszczalności. Do najczęściej sosowanych meod pomiarów błędów ex pos należą: 9

92 bezwzględny błąd prognozy w okresie informuje jak duże było odchylenie prognozy od warości rzeczywisej zmiennej Y. Znak błędu wskazuje, czy rzeczywisa warość była wyższa czy eż niższa od prognozy. Maemaycznie bezwzględny błąd prognozy można zapisać za pomocą nasępującego wzoru =. (.) średni błąd predykcji ex pos (ang. mean error ME) informuje jak duży jes błąd z osanich m wyrazów predykcji w porównaniu z danymi rzeczywisymi. W przypadku prognozy nieobciążonej warość średniego błędu predykcji ex pos powinna być równa 0. Przeważnie ak jednak nie jes. Wadą ego błędu jes o, że odchylenia dodanie i ujemnie znoszą się wzajemnie. Maemaycznie średni błąd predykcji ex pos można zapisać za pomocą nasępującego wzoru [0] =. (.3) względny błąd prognozy ex pos w okresie informuje jak duże było odchylenie prognozy od warości rzeczywisej zmiennej Y liczonej w procenach warości rzeczywisej zmiennej Y. Znak błędu wskazuje, czy rzeczywisa warość była wyższa, czy eż niższa od prognozy. Maemaycznie względny błąd prognozy ex pos można zapisać za pomocą nasępującego wzoru Ψ = 00. (.4) średni kwadraowy błąd prognozy ex pos w przedziale weryfikacji informuje o przecięnym odchyleniu prognoz od warości rzeczywisej w przedziale empirycznej weryfikacji prognoz. Pierwiasek błędu może być porównywalny z odchyleniem sandardowym resz. Maemaycznie średni kwadraowy błąd prognozy ex pos można zapisać za pomocą nasępującego wzoru s = T n. (.5) średni względny błąd prognozy ex pos informuje jaki procen rzeczywisej zmiennej Y sanowiło przecięne bezwzględne odchylenie prognozy od danych rzeczywisych. Jes on wyrażony w procenach. Maemaycznie średni względny błąd prognozy ex pos można zapisać za pomocą nasępującego wzoru [] 9

93 Ψ = T n 00. (.6) Do najczęściej sosowanych meod pomiarów błędów ex ane należą: wariancja prognozy w okresie informuje jak duże jes rozproszenie możliwych prognoz wokół możliwych realizacji zmiennej prognozowanej. Maemaycznie wariancję prognozy można zapisać za pomocą nasępującego wzoru =. (.7) bezwzględny błąd prognozy ex ane w okresie informuje jak duże jes przecięne odchylenie realizacji zmiennej prognozowanej od prognozy. Błąd en służy określeniu dokładności prognozy. Prognoza jes ym dokładniejsza, im mniejsza jes warość ego błędu. Błąd en jes wysarczający do wyboru kilku prognoz orzymanych z różnych modeli ej samej zmiennej. Bezwzględny błąd prognozy ex ane w okresie jes równy pierwiaskowi z wariancji prognozy w okresie. Maemaycznie bezwzględny błąd prognozy ex ane można zapisać za pomocą nasępującego wzoru = =. (.8) względny błąd prognozy ex ane w okresie informuje jak duże jes przecięne odchylenie realizacji zmiennej prognozowanej od prognozy liczonej w procenach warości prognozowanej. Błąd en służy określeniu dokładności prognozy. Jes on wysarczający do wyboru kilku prognoz orzymanych z różnych modeli kilku zmiennych. Maemaycznie względny błąd prognozy ex ane można zapisać za pomocą nasępującego wzoru =. (.9) prawdopodobieńswo realizacji prognozy jes kolejnym sposobem określania dopuszczalności prognozy. Jeśli zmienna prognozowana jes losową zmienną skokową, o możemy wyznaczyć prawdopodobieńswo, że zmienna Y przyjmie warość. Jeśli naomias zmienna prognozowana jes zmienną losową ciągłą, o < =, (.0) gdzie ε jes dowolnie małą dodanią liczbą orzymana jako kroność błędu ex ane. Warość γ nazywana jes również wiarygodnością prognozy. 93

94 .4.. Rodzaje jakości prognoz Oprócz informacji o błędach i niedopasowaniu warości prognozowanych modelu do warości rzeczywisych lub możliwych realizacji zmiennej prognozowanej, bardzo isoną informacją jes informacja doycząca jakości modelu. Jakość modelu jes rakowana jako jakość prognozy, albo zgodność modelu z danymi empirycznymi. Jes wiele mierników, kóre mogą określać rodzaj jakości prognozy. Do najważniejszych z nich możemy zaliczyć: współczynnik deerminacji R określa miarę dopasowania liniowego modelu regresji do danych rzeczywisych. Współczynnik R przyjmuje warości z przedziału [0,] w przypadku gdy model jes szacowany za pomocą meody najmniejszych kwadraów. Im większa warość współczynnika, ym większa część zmienności zmiennej objaśnianej zosała wyjaśniona przez model, a co za ym idzie model jes lepszej jakości. Maemaycznie współczynnik deerminacji można zapisać za pomocą nasępującego wzoru =, (.) gdzie jes warością średnią zmiennej Y. skorygowany współczynnik deerminacji, analogicznie jak współczynnik deerminacji pokazuje miarę dopasowania modelu do zmiennych rzeczywisych. W odróżnieniu jednak od sandardowego współczynnika deerminacji, ma on pewną zaleę. Sandardowy współczynnik deerminacji nie pozwala porównywać kilku modeli z różną liczbą danych, gdyż każde dołożenie dowolnej zmiennej do modelu powoduje zwiększenie sandardowego współczynnika deerminacji, naomias skorygowany współczynnik deerminacji nie jes podany na en zabieg. Maemaycznie skorygowany współczynnik deerminacji można zapisać za pomocą nasępującego wzoru =, gdzie m jes liczbą zmiennych objaśniających w modelu (nie wliczając wyrazu wolnego). (.) odchylenie sandardowe składnika reszowego informuje jakie są przecięne odchylenia warości rzeczywisych zmiennej prognozowanej od eoreycznych. Im mniejsza jes warość ego odchylenia, ym lepsza jes jakość modelu. Maemaycznie 94

95 odchylenie sandardowe składnika reszowego można zapisać za pomocą nasępującego wzoru =, (.3) współczynnik wyrazisości informuje, jaka część średniej warości zmiennej Y sanowi jej odchylenie resz. Jes o więc charakerysyka zmienności losowej zmiennej Y (czyli ej części niewyjaśnionej przez model). Model jes ym lepszy, im mniejsza warość ego współczynnika. Maemaycznie współczynnik wyrazisości można zapisać za pomocą nasępującego wzoru = 00. (.4) Oceny jakości modelu można również dokonać pośrednio parząc, czy poszczególne zmienne objaśniające isonie wpływają na zmienną prognozowaną. W ym celu oblicza się błąd oceny esymaora każdego parameru, kóry nazywany jes również średnim błędem szacunku parameru..5. Prognozowanie na podsawie klasycznych modeli rendu Klasyczne modele zakładają prognozę za pomocą meody podsawowej, co jak wcześniej zosało już opisane, zakłada, że model będzie niezmienny w czasie (budowany model na danych rzeczywisych będzie akualny również do prognozowania przeszłości). Z punku widzenia maemaycznego oznacza o, ze szereg jes sacjonarny. W ym i nasępnych rozdziałach będziemy się koncenrować na szeregach, kóre nie są deerminisyczne, co będzie jednym z założeń prezenowanych modeli. Oznacza o, że w analizowanych szeregach będziemy wyróżniać dwie składowe: składową sysemayczną związaną z procesem deerminisycznym (ą zmienną powinniśmy zaprognozować bez żadnego błędu), składową przypadkową (zwaną również składnikiem losowym lub wahaniem przypadkowym) związaną z procesem sochasycznym szeregu czasowego. Składowa sysemayczna może wysąpić w posaci rendu lub wahań cyklicznych (sezonowych). Trend jes o długookresowa skłonność do jednokierunkowej zmiany (wzrosu lub spadku) warości badanej zmiennej. Przy klasycznych modelach rendu nie zakładamy 95

96 zmiany rendu lub jego załamania. Trend jes konsekwencją zesawu czynników, kóre działają na prognozowane zjawisko. Wahania cykliczne (sezonowe) o okresowe zmiany warości badanej zmiennej wokół rendu. Zmiany e powarzają się co pewien okres zwany cyklem. Proces wyodrębniania poszczególnych składowych szeregu czasowego nazywa się jego dekompozycją. Rysunek.5 przedsawia najważniejsze modele, kóre możemy zaliczyć do kaegorii klasycznych modeli rendu. Klasyczny model regresji liniowej Klasyczne modele rendu Meoda Kleina Meoda harmoniki Rys Klasyczne modele rendu Źródło: opracowanie własne Poszczególne modele prognosyczne zosaną szczegółowo opisane w nasępnych rozdziałach niniejszego opracowania..5. Klasyczny model regresji liniowej Klasycznym, a zarazem najbardziej znanym modelem rendu jes model klasycznej regresji liniowej. W ym przypadku zakładamy, że rend jes liniowy. Klasyczny model regresji 96

97 liniowej sosuje się do danych bez elemenów sezonowości. Maemaycznie funkcje rendu możemy zapisać za pomocą nasępującego wzoru [4] gdzie: = + +, (.5) α, β są paramerami srukuralnymi funkcji regresji naomias, ε jes błędem oszacowania całej funkcji (reszy modelu). Zakłada się, że ε ma rozkład normalny o średniej zero. Paramery α oraz β nie są znane. Osoba przeprowadzająca prognozę szacuje je na podsawie próby. Meodą szacowania ych paramerów jes minimalizacja sumy kwadraów resz zwana Klasyczną Meodą Najmniejszych Kwadraów (KMNK). Nazwa ej meody wzięła się sąd, że jej zasada działania o minimalizacja sumy kwadraów resz, orzymanych po odjęciu od rzeczywisych warości y warości funkcji regresji. Esymaory paramerów α oraz β aproksymujemy odpowiednio za pomocą paramerów a oraz b wyliczonych za pomocą nasępujących funkcji [4]: =, (.6) gdzie: =. (.7) =, (.8) =. (.9) Przykład.. Zasosujmy klasyczny model regresji liniowej do danych obrazujących płacę minimalną w poszczególnych laach. Dane pochodzą z Głównego Urzędu Saysycznego od począku roku 003 do roku 03. Tabela 0. zawiera warość płacy minimalnej w poszczególnych laach. Dodakowo abela zawiera dodakowe kolumny z wyliczeniami zmiennych pomocniczych niezbędnych do oszacowania prosego modelu regresji. Nasępnie oszacujmy warości paramerów prosej regresji a oraz b posługując się odpowiednio wzorami (.6) oraz (.7) wiedząc, ze średnia x wynosi 6, naomias średnia y wynosi 37,55. 97

98 Tabela 0.. Dane doyczące płacy minimalnej rok (x) płaca minimalna (y) ,55 687, ,55 54, ,55 865, , ,45 476, ,55 0, ,55 0, ,45 38, ,45 358, ,45 745, ,45 449, ,45 3,3 Suma ,80 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Orzymamy nasępujące warości: = = 9 490,80 = 86,8, (.0) 0 = = 37,55 86,8 6 = 69,87. (.) Zaem wzór prosej regresji przyjmie posać: = 69, ,8. (.) Wyliczmy warości prognozowane na poszczególne okresy zgodnie z powyższym wzorem. Tabela 0. zawiera dane rzeczywise wraz z warościami płacy minimalnej wyliczonymi za pomocą funkcji regresji wzór (.). Tabela 0.. Prognozowanie za pomocą regresji liniowej rok (x) płaca minimalna (y) warość dopasowana (y*) ,00 706, ,00 79, ,00 878, ,0 964, ,00 05, ,00 37, ,00 3, ,00 30, 0 386,00 396, ,00 48, ,00 568, ,3 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego 98

99 Rysunek.6 podsumowuje dane z Tabela ,00 600,00 400,00 00,00 000,00 800,00 600, warość dopasowana (y*) płaca minimalna (y) Rys Wykres funkcji regresji liniowej wraz z danymi rzeczywisymi Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Na podsawie ego wykresu można zauważyć, że model dość dobrze dopasował się do danych. Współczynnik R wyniósł 96%, co oznacza, że 96% zmienności zmiennej prognozowanej jes wyjaśnione przez model. Waro zauważyć, że za pomocą klasycznego modelu regresji liniowej można prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden. W akim przypadku, do funkcji regresji należy wsawić rok, na kóry chcemy wyliczyć prognozę. Dodakowo waro wspomnieć, że model regresji liniowej możemy zbudować na więcej niż jednej zmiennej objaśniającej. Parafrazując, za pomocą regresji liniowej możemy prognozować warości danego zjawiska używając kilku zmiennych objaśniających, jednak jes o rudniejsze i wymaga lepszych narzędzi informaycznych..5.. Meoda harmoniki Drugim dość popularnym modelem klasycznych modeli rendu jes meoda harmoniki zwana inaczej analiza harmoniczną. Jes o swojego rodzaju rozszerzenie modelu klasycznej regresji liniowej. Model można sosować do danych z wahaniami periodycznymi. Model en daje dość dobre rezulay wyodrębniania sezonowości z szeregów czasowych. Meoda a polega na 99

100 zbudowaniu modelu w posaci sumy zw. harmonik, j. funkcji sinusoidalnych lub kosinusoidalnych o danych okresach. Pierwsza harmonika ma okres równy długości okresu badanego, druga połowie ego okresu, rzecia jednej rzeciej okresu badanego, id. Ogólnie w przypadku n obserwacji, liczba wszyskich możliwych harmonik jes równa. Funkcję prognozującą, opisaną za pomocą modelu harmoniki, możemy zapisać nasępującym równaniem maemaycznym [38] = + sin + cos, (.3) gdzie, f() jes funkcją rendu, jeśli dany szereg posiada endencję rozwojową. Naomias pozosały człon odpowiada za sezonowość w modelu. W przypadku braku sezonowości, wzór en możemy uprościć do posaci = + sin + cos. Esymaory paramerów α 0, najmniejszych kwadraów odpowiednio do nasępujących funkcji: wzorów: (.4) α i oraz β i, możemy orzymać sosując meodę =, (.5) = sin, =,,,, (.6) = cos, =,,, (.7). Dla osaniej harmoniki, o numerze równej, warości esymuje sie z nasępujących = 0, (.8) = cos. (.9) Zauważmy, że esymaorem wyrazu wolnego jes po prosu średnia z wszyskich wyrazów, naomias pozosałe wyrazy informują jak daleko od ej średniej się odsuwamy. O składowych a i /b i możemy myśleć, jak o współczynnikach pokazujących, w kórą sronę odchyla się suma warości y i wyskalowanych funkcji sinus lub cosinus o odpowiednim 00

101 okresie (składowa pierwsza uwzględnia jeden okres funkcji w obrębie danych, składowa druga dwa okresy, rzecia rzy, id.). Nasępnie należy wyliczyć warość ampliudy dla poszczególnych harmonik, kórą o wyraża się wzorem = +. (.30) W celu zlokalizowania ampliud i faz na osi czasu, dla każdej harmoniki można wyznaczyć warości przesunięcia fazowego za pomocą nasępującego wzoru: ść ę =, (.3) gdzie ε i oraz θ i odpowiednio wyznacza się za pomocą nasępujących wzorów: =, (.3) =. (.33) Liczba harmonik, kóre należy wyznaczyć, jes ym większa, im dłuższy jes wyjściowy szereg czasowy. Przeważnie nie ma porzeby wyliczania wszyskich harmonik możliwych do wyliczenia w modelu. Należy o zrobić wyłącznie dla zmiennych, kórych składowe isonie wpływają na warość szeregu wyjściowego Y. Wymaga o określenia udziału poszczególnych harmonik w ogólnej zmienności funkcji. Udział en jes określony za pomocą nasępującego ilorazu =, =,,,. (.34) Dla osaniej harmoniki, o numerze równej, udział jes określony za pomocą nasępującego wzoru gdzie s jes wariancją zmiennej Y. =, =, (.35) Do prognozy używamy ylko ych warości harmonik, dla kórych udział w ogólnej zmienności jes największy. Waro uaj zaznaczyć, że żadne dwie harmoniki, nie są ze sobą skorelowane i nie mogą uwzględniać jednej i ej samej części ogólnej wariancji. Oznacza o, że części ogólnej zmienności Y, kóre są uwzględniane przez różne harmoniki, można sumować. 0

102 Przykład.. Zasosujmy meodę harmoniki do prognozy danych doyczących zużycia energii w poszczególnych miesiącach. Tabela 0.3 zawiera warości energii elekrycznej w kwh w poszczególnych miesiącach (są o dane fikcyjne wygenerowane na porzeby ego ćwiczenia) oraz warości a - a 3 oraz warości b -b 3 wyliczone odpowiednio za pomocą wzorów (.6) oraz (.7) dla danych obserwacji. Naomias wiersz a i /b i zawiera wyliczona już sumę zgodnie z ymi wzorami. Tabela 0.3. Prognozowanie meodą harmoniki Energia elekryczna w kwh a a a 3 b b b 3 4,75 3,8 7,38 0,43 4,5,78 0,43 3,6 6,8,79 3,6,79 6,8 0,00,89 9,,89 9, 9, 0,00-9,,38 9,86 9,86 0,00 5,69-5,69 -,38,84,44 5,9-8,37 3,06-0,5-8,37 9,76 9,76 0,00-9,76 0,00-9,76 0,00 0,86 0,49-5,43-7,68 -,8-9,4 7,68 9,78 8,47-8,47 0,00-4,89-4,89 9,78 0,3 7,6-0,3 7,6-7,6 0,00 7,6,3 5,66-9,80,3-9,80 5,66 0,00,49 3,3-6,4 8,83 -,06 0,8-8,83 4,84 0,00 0,00 0,00-4,84 4,84-4,84 4,74-3,8 7,37-0,4-4,4,76-0,4 3,6-6,63,49-3,6 -,49 6,63 0,00 3,46-9,5 3,46-9,5-9,5 0,00 9,5,6-0,93 0,93 0,00-6,3-6,3,6,49 -,0 5,74 8, -,97-9,95 8, 0, -0, 0,00 0, 0,00-0, 0,00 0,78-0,4-5,39 7,63,79-9,34-7,63 9,49-8, -8, 0,00 4,74-4,74-9,49,8-7,90 -,8-7,90 7,90 0,00-7,90 3,55-6,78 -,74-3,55,74 6,78 0,00 3,68-3,54-6,84-9,67 3,,85 9,67 4,54 0,00 0,00 0,00 4,54 4,54 4,54 Suma -3,5 3,39-3,8,75 3,0,55 a i /b i -0,6, -0,3 0,3,9 0,3 Źródło: opracowanie własne Rysunek.7 przedsawia dopasowanie pierwszych rzech składowych a i do danych wyjściowych wraz z ymi danymi. Jak już o zosało wspomniane, pierwsza harmonika 0

103 zakłada, że wyjściowe dane mają jeden okres, druga zakłada, że wyjściowe dane mają dwa okresy, a rzecia, że wyjściowe dane mają rzy okresy. 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0-5, ,0-5,0 Energia elekryczna w kwh a a a3 Rys Dopasowanie poszczególnych składowych a i do danych. Źródło: opracowanie własne Rysunek.8 przedsawia dopasowanie pierwszych rzech składowych b i do danych wyjściowych wraz z ymi danymi. 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0-5, ,0-5,0-0,0 Energia elekryczna w kwh b b b3 Rys Dopasowanie poszczególnych składowych b i do danych. Źródło: opracowanie własne 03

104 Zobaczmy nasępnie jak wygląda pierwszych pięnaście składowych a i oraz b i, warość ampliudy oraz ich udział w zmienności Y. Tabela 0.4 przedsawia e dane. Tabela 0.4. Wyliczenie udziału w zmienności Y i a i b i Udział w zmienności Y -0,6 0,3 0,,0%,,9 4,9 8,% 3-0,3 0,3 0,,9% 4-0,08 0,37 0,4,3% 5-0,03-0,5 0,07,% 6 0,00 0,09 0,0 0,% 7 0,05-0,30 0,09,5% 8 0,3-0,08 0,0,7% 9-0,06 0,08 0,0 0,% 0 0,4 0,38 0,6,7% 0,09-0,03 0,0 0,% 0,00-0,34 0,,9% 3-0,09-0,03 0,0 0,% 4-0,4 0,38 0,6,7% 5 0,06 0,08 0,0 0,% Źródło: opracowanie własne Jak widać pierwsze rzy obserwacje a -a 3 oraz b -b 3 są wzięe z osaniego wiersza Tabela 0.3. Kolumna zosała wyliczona zgodnie ze wzorem (.30). Naomias udział w zmienności Y zgodnie ze wzorem (.34). Wariancja zmiennej Y wynosi 3,03. Jak widać, najlepszym dopasowaniem charakeryzuje się harmonika druga oraz czernasa (pogrubione w abeli). Ich udział w wariancji zmiennej Y wynosi odpowiednio 8,% oraz,7%. Nasępnie należy wyliczyć warości dopasowane oraz prognozowane zgodnie ze wzorem (.4). Jednak do ego wzoru użyjemy wyłącznie harmoniki oraz 4. Harmoniki e przedsawia Rysunek.9. 04

105 ,500,000,500,000 0,500 0,000-0,500 -,000 -,500 -,000 -, Harmonika Harmonika 4 Rys Harmoniki: druga oraz czernasa Źródło: opracowanie własne Tabela 0.5 przedsawia warości harmoniki oraz harmoniki 4 wyliczonej zgodnie ze wzorem (.4). Warość eoreyczna/dopasowana jes o warość wyliczona jako suma średniej warości wyjściowego szeregu Y (α 0 ) oraz harmoniki drugiej i czernasej. Średnia warość energii elekrycznej (szeregu wyjściowego) wynosi,. Miesiące Tabela 0.5. Warości prognozowane modelem analizy harmonicznej Energia elekryczna w kwh Harmonika Harmonika 4 Warości eoreyczne (prognozowane) 4,8,9-0,397 4,03 3,6,95 0,3 4,46 3,9,6-0,4 3,64 4,4 0,007-0,065,3 5,8 -,03 0,55,34 6 9,8 -,98-0,376 9, ,9 -,9 0,397 0, ,8 -,95-0,3 9, , -,6 0,4,6 0,3-0,007 0,065,48,5,03-0,55 3,039 4,8,98 0,376 4, ,7,9-0,397 4,03 4 3,3,95 0,3 4,46 5 3,5,6-0,4 3,64 6,6 0,007-0,065,3 7,5 -,03 0,55,34 05

106 Miesiące Energia elekryczna w kwh Harmonika Harmonika 4 Warości eoreyczne (prognozowane) 8 0, -,98-0,376 9, ,8 -,9 0,397 0, ,5 -,95-0,3 9,954, -,6 0,4,6 3,6-0,007 0,065,48 3 3,7,03-0,55 3, ,5,98 0,376 4,484 5,9-0,397 4,03 Źródło: opracowanie własne Rysunek.0 zosał zbudowany na podsawie danych z Tabela 0.5. Przedsawia on wyjściowe dane o zużyciu energii elekrycznej wraz z warościami eoreycznymi/ prognozowanymi. 6,000 4,000,000 0,000 8, Warości eoreyczne (prognozowane) Energia elekryczna w kwh Rys Dane wyjściowe oraz warości eoreyczne/prognozowane. Źródło: opracowanie własne Widać, że warości eoreyczne dość dobrze dopasowały się do danych wyjściowych. Zauważmy, że za pomocą meody harmoniki można prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden. Wysarczy podsawiać kolejne warości na kóre chcemy znać prognozę do wzoru (.4). 06

107 .5.3. Meoda Kleina Kolejną meodą pozwalającą na konsrukcję modelu, w kórym znajdują się wahania sezonowe oraz endencja rozwojowa jes model zaprezenowany przez amerykańskiego ekonomisę Lawrenca Robera Kleina, kóry w roku 980 orzymał za en model Nagrodę Nobla [4]. Model en od wórcy modelu jes nazywany jego nazwiskiem. Model Kleina maemaycznie można zapisać za pomocą nasępującego wzoru [34] gdzie: = + Ι + ζ (.36) f() jes funkcją rendu, przy czym = +, gdzie l=,..,n, j=,,m czyli warość w l-ym cyklu j-ej fazy, I i jes zmienną zero-jedynkową, kóra przyjmuje warość jeden dla fazy o numerze i oraz zero dla pozosałych faz cyklu, m jes liczbą faz w cyklu. Paramery modelu Kleina szacuje się za pomocą meody najmniejszych kwadraów, naomias prognozy przez eksrapolację oszacowanego modelu. Ze względu na skomplikowanie modelu, nie zosanie on przedsawiony szerzej w niniejszym opracowaniu..6. Prognozowanie na podsawie modeli adapacyjnych szeregów czasowych Modele adapacyjne zyskują coraz bardziej na popularności wśród modeli prognosycznych. Jes o związane z fakem, że klasyczne modele zakładają prognozę za pomocą meody podsawowej, co jak wcześniej zosało opisane, zakłada, że model będzie niezmienny w czasie (budowany model na danych rzeczywisych, będzie akualny również w przyszłości do prognozowania). Niesey nie zawsze szereg jes sacjonarny, a model niezmienny w czasie. Może się zaem okazać w pewnym momencie w przyszłości, że model, kórego używamy już nie prognozuje dobrze, gdyż jes zdezakualizowany. Prowadzi o do większych błędów prognozy, gdyż paramery zdezakualizowanego modelu już nie odzwierciedlają w pełni rzeczywisych relacji pomiędzy zmienną prognozowaną, a zmiennymi opisującymi ą zmienną. Modele adapacyjne, jak sama nazwa wskazuje adapują się do zmiennych danych, co powoduje, że w przyszłości model sam ewoluuje. Model sam dososowuje się do zmian 07

108 rendu (zarówno jeśli chodzi o kierunek jak i nachylenie krzywej rendu, czyli szybkość rendu), zmian ampliudy czy eż okresu wahań sezonowych. Modele adapacyjne nie zakładają również sałości paramerów wysępujących w modelu. Jedynym założeniem jaki musi spełniać szereg czasowy aby móc sosować modele adapacyjne, jes założenie sacjonarności w czasie błędów predykcji, co jes założeniem dość realisycznym. Prosoa obliczeń, względnie wysoka jakość prognoz, odrzucenie niezmienności modelu w czasie oraz jedyne, dość realisyczne założenie doyczące sacjonarności błędów predykcji sprawiły, że modele adapacyjne szybko sały się bardzo popularne. Rysunek. przedsawia najważniejsze modele, kóre możemy zaliczyć do modeli adapacyjnych. Modele naiwne Trend pełzający Modele adapacyjne Średnia ruchoma Wygładzanie wykładnicze Rys. 0.. Modele adapacyjne Źródło: opracowanie własne Poszczególne modele prognosyczne zosaną szczegółowo opisane w nasępnych rozdziałach niniejszego opracowania. 08

109 .7. Modele naiwne Modele naiwne są najprosszym modelem adapacyjnym. Charakeryzują się one dużą prosoą. Opierają się one na założeniu, że prognozowana warość nie ulegnie zmianie w najbliższym okresie (np. zysk danego przedsiębiorswa w nasępnym kwarale będzie aki sam jak w obecnym, wzros obroów w nasępnym kwaralne wzrośnie w ym samym sopniu w przyszłym miesiącu, w jakim wzrósł w obecnym). Z powodu ego założenia, modele naiwne używane są do prognozowania krókoerminowego (np. jeden miesiąc lub jeden kwarał). Inną możliwością użycia modeli naiwnych jes niemaerialność prognozowanej kwoy lub jej bardzo mała ampliuda zmian (np. warość kapiału zakładowego nie zmieni się przez najbliższy rok do czasu zawierdzenia sprawozdania finansowego przez audyora). Maemaycznie model meody naiwnej, w kórym zakładamy, że zmienna w okresie + jes równa warości ej zmiennej w okresie można zapisać za pomocą nasępującego wzoru [9] gdzie: prognoza zmiennej Y na okres +, warość zmiennej Y na okres. =, (.37) Meoda a jes opara na modelu błądzenia losowego, kóry o ma rozkład normalny ze średnią zero. Ponieważ prawdopodobieńswo ego, że dana zmienna wzrośnie jes akie samo jak o że spadnie, zgodnie z symerycznym rozkładem normalnym, zaem zakłada się sały poziom ej zmiennej. Meody naiwne można eż rozszerzać. Jeśli na przykład w danych widoczny jes rend, wedy możemy założyć, że warość w okresie + będzie równa warości w okresie zwiększonej o warość rendu szacowną jako różnice pomiędzy okresami oraz -. Możemy o zapisać za pomocą nasępującego wzoru, przy analogicznych oznaczeniach jak we wzorze (.37) = +. (.38) Trend możemy eż spróbować opisać za pomocą współczynnika addyywnego. Współczynnik en będzie określał pewną endencję do spadku lub wzrosu zmiennej y w badanym okresie o pewną sałą c. Wedy zamias wzrosu/spadku zmiennej y wyliczonej jako różnica pomiędzy warościami oraz - możemy do zmiennej w okresie dodać sałą c. Można o zapisać za pomocą nasępującego wzoru = +. (.39) 09

110 Trend możemy również spróbować opisać za pomocą innego współczynnika muliplikaywnego. Współczynnik en będzie określał pewną endencję do spadku lub wzrosu zmiennej y w badanym okresie o pewien procen c. Maemaycznie możemy o zapisać za pomocą nasępującego wzoru = +. (.40) Meody naiwne są bardzo prose w zrozumieniu oraz szybkie i anie w implemenacji przez każde przedsiębiorswo. Jednak z uwagi na swoją prosoę ich warość prognosyczna jes dość niska. Naomias błąd prognozy można oszacować wyłącznie ex pos. Nie ma możliwości oszacowania błędu ex ane. Zauważmy, że za pomocą modeli naiwnych można prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden. Jes o bardzo prose, jednak jak już zosało wspomniane, im dłuższy okres ym większy błąd prognozy możemy generować..8. Modele średniej ruchomej Modele średnie ruchomej są drugim rodzajem modeli adapacyjnych. Waro wspomnieć, że średnia ruchoma oprócz prognozowania może eż być użya do wygładzania szeregów czasowych. Meoda średniej ruchomej polega na zasąpieniu oryginalnego szeregu zmiennej Y, prognozowanymi warościami średniej arymeycznej obliczonymi dla każdej warości z k osanich elemenów (obserwacji). Używając średniej ruchomej do prognozowania, zakłada się, że warość zmiennej y w okresie + jes równa warości średniej arymeycznej z osanich k obserwacji ej zmiennej. Maemaycznie możemy ą regułę zapisać za pomocą nasępującego wzoru (jes o ak zwana średnia ruchoma prosa) [38] =, (.4) gdzie k jes ak zwaną sałą wygładzania. Im większe k, ym szereg czasowy będzie bardziej wygładzony (odsające obserwacje będą miały bardzo mały wpływ na warość szeregu). Wadą dużego k jes wolna reakcja szeregu średnich na zmiany oryginalnego szeregu Y. Mała warość k będzie powodowała naomias, że szereg zmiennych będzie bardzo szybko reagował na zmiany wyjściowego szeregu zmiennej Y. Jego wadą naomias będzie duży wpływ obserwacji odsających na warość szeregu średnich. 0

111 meody. Sała k jes określana przez osobę prognozującą i jes o najrudniejsza część ej Należy zauważyć, że w prosej średniej arymeycznej, na warość prognozowanej zmiennej Y w akim samym sopniu będzie miała informacja (obserwacja) osania, jak i pierwsza brana do liczenia średniej. Bardzo częso zakłada się w prognozowaniu, że osanie obserwacje niosą więcej informacji (można powiedzieć, że w większym sopniu łumaczą zachowanie zmiennej Y), niż obserwacje począkowe. W celu zwiększenia isoności osanich obserwacji nadaje im się większą wagę. Taki sposób prognozowania nazywamy średnią ruchomą ważoną. Maemaycznie model średniej ruchomej ważonej możemy zapisać za pomocą nasępującego wzoru =, (.4) gdzie w i jes wagą nadaną przez osobę prognozującą, zmiennej prognozowanej w okresie i. Wagi są liczbami nieujemnymi, kóre posiadają nasępujące własności: < < <, (.43) =. (.44) Zauważmy, że w przypadku średniej ruchomej ważonej, osoba przeprowadzająca prognozowanie musi określić liczbę wyrazów średniej (podobnie jak w prosej średniej ruchomej) oraz dodakowo wagę każdej obserwacji. W przypadku obu modeli średniej ruchomej (prosej oraz ważonej) do prognozowania służy ylko k osanich elemenów. Modele średniej ruchomej sosuje się najczęściej do szeregów, kóre nie mają rendu oraz sezonowości. W przypadku szeregów czasowych w kórych wysępuje rend linowy można zasosować meodę zw. podwójnej średniej ruchomej. Polega ona na pierwszym wygładzeniu danych za pomocą średniej ruchomej, a nasępnie obliczeniu średniej ruchomej już na wygładzonym szeregu danych. Przykład.3. Zasosujmy średnią ruchomą prosą oraz ważoną do prognozowania kursu akcji. Do ego celu użyjemy różnych współczynników wygładzania oraz różnych wag w przypadku średniej ruchomej ważonej.

112 Tabela 0.6 pokazuje prognozę za pomocą średniej ruchomej prosej oraz ważonej z różnymi wagami i różnymi współczynnikami wygładzania. Model prognozuje warość kursu akcji BUDIMEX na dzień lipca 03 roku na podsawie kursów zamknięcia akcji noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie od 0 czerwca 03 roku do 8 czerwca 03 roku (5 obserwacji). Tabela 0.6. Prognozowanie kursu akcji BUDIMEX za pomocą średniej ruchomej okres szereg oryginalny średnia ruchoma prosa (k=3) średnia ruchoma prosa (k=5) średnia ruchoma ważona (k=3, w =0,, w =0,3, w 3 =0,5) średnia ruchoma ważona (k=3, w =0,, w =0,, w 3 =0,8) 87,40 87, , ,73 87,7 87,8 87, ,65 88,6 88,3 88,49 6 9,70 89,3 88,5 89,54 90, ,00 90,69 89,57 9,9 9, ,8 9, 90,6 9,44 9,7 9 93,0 93,66 9,07 94,08 94,57 0 9,30 93,83 9,97 93,78 93,60 9,50 93,6 93,0 9,67 9,08 9,40 9,33 93,06 9,8 9, ,00 9,73 9,74 9,7 9,6 4 88,03 9,30 9,8 9,4 9, ,00 90,8 9,5 90,0 89,36 prognoza 9,68 9,79 9,0 83,90 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie Aby zobaczyć, kóry model najlepiej prognozuje, należy zweryfikować warość prognozy poszczególnych modeli z kursem zamknięcia akcji w dniu lipca 03 roku. Wynosi on 94,60 PLN.. podsumowuje dane z Tabela 0.6. Na podsawie ego wykresu można próbować zobaczyć, kóry model najlepiej dopasował się do danych. Można podejrzewać, że model, kóry najlepiej dopasuje się do danych, najlepiej zaprognozuje eż ich przyszłą warość. Oczywiście nie musi ak się zdarzyć, jeśli nasąpi gwałowny spadek lub wzros warości oryginalnego szeregu. Wedy może się okazać, że gorzej dopasowany model lepiej przewidzi przyszłą warość zmiennej.

113 96,00 94,00 9,00 90,00 88,00 86,00 84,00 średnia ruchoma prosa (k=3) średnia ruchoma ważona (k=3, w=0,, w=0,3, w3=0,5) szreg oryginalny średnia ruchoma prosa (k=5) średnia ruchoma ważona (k=3, w=0,, w=0,, w3=0,8) Rys. 0.. Model średniej ruchomej Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie Za pomocą modeli średniej ruchomej można prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden. W akim przypadku, prognoza na okres + saje się składnikiem średniej do wyliczenia na okres +. Gdy mamy do czynienia z sezonowością, w niekórych przypadkach sosując średnią ruchomą scenrowaną możemy en szereg wygładzić oraz pozbyć się sezonowości. W modelu średniej ruchomej scenrowanej, warość średniej ruchomej zależy od ego, czy sała wygładzania k jes liczbą parzysą, czy nieparzysą [38]. Gdy k jes liczbą nieparzysą, warości scenrowanej średniej ruchomej obliczane są jako średnia k wyrazów przypisywana do wyrazu środkowego. Gdy k jes liczbą parzysą, a ak jes najczęściej, przy próbie likwidacji sezonowości (np. kwarały), warości scenrowanej średniej ruchomej obliczane są za pomocą nasępującego wzoru = + +. (.45) Sarając się en wzór przełożyć na bardziej zrozumiały opis, możemy powiedzieć, że gdy k jes parzyse, do wyznaczenia prognozy za pomocą średniej scenrowanej, liczona jes suma z połowy pierwszej warości szeregu, połowy z (k+)-szej warości oraz wszyskich warości pomiędzy nimi. Nasępnie suma a dzielona jes przez warość k. Dla przykładu, 3

114 obliczając średnią dla k=4, liczymy średnią z połowy warości pierwszej i połowy piąej obserwacji oraz warości drugiej, rzeciej i czwarej obserwacji zmiennej Y. Przykład.4. Zasosujmy scenrowana średnią ruchomą dla wygładzenia szeregu warości eksporu owarów, kóry zawiera wahania sezonowe. Tabela 0.7 zawiera warość eksporu owarów w milionach złoych od począku danego roku do danego kwarału. Dane pochodzą z Głównego Urzędu Saysycznego od począku roku 009 do końca roku 0 w podziale na kwarały. Dodakowo abela zawiera warości szeregu wygładzonego za pomocą scenrowanej średniej ruchomej z k=4 (gdyż mamy czery kwarały). Okres Tabela 0.7. Dane eksporu owarów w milionach PLN Ekspor w mln PLN 009Q 34 46,63 009Q 69 9,53 Scenrowana średnia ruchoma (k=4) 009Q , ,6 009Q , ,85 00Q , ,9 00Q , ,70 00Q , , 00Q , ,85 0Q , ,58 0Q , ,68 0Q , ,8 0Q , ,47 0Q , ,8 0Q ,33 456,6 0Q ,47 0Q ,03 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Rysunek.3 przygoowany na podsawie danych z Tabela 0.7 przedsawia wygładzenie szeregu wyjściowego oraz dopasowanie scenrowanej średniej ruchomej do danych. Jak ławo zauważyć, średnia scenrowana nie zawiera już sezonowości. 4

115 Q 009Q 009Q3 009Q4 00Q 00Q 00Q3 00Q4 0Q 0Q 0Q3 0Q4 0Q 0Q 0Q3 0Q4 scenrowana średnia ruchoma Ekspor w mln PLN Rys. 0.3 Scenrowana średnia ruchoma Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego.9. Modele wygładzania wykładniczego Modele wygładzania wykładniczego są kolejnym rodzajem modeli adapacyjnych. Modele wygładzania wykładniczego sosuje się w szeregach czasowych podobnie jak modele średniej ruchomej, z ą różnicą, że wagi określone są wykładniczo. Najczęściej modele wygładzania wykładniczego sosuje się do szeregów czasowych bez wahań sezonowych. W lieraurze można znaleźć wiele modeli wygładzania wykładniczego. W niniejszym opracowaniu zosaną przedsawione rzy najbardziej znane: modele wygładzania wykładniczego Browna, modele wygładzania wykładniczego Hola, modele wygładzania wykładniczego Winersa. Szczegółowe opisy poszczególnych modeli zosanie zaprezenowany w nasępnych podrozdziałach. 5

116 .9.. Modele wygładzania wykładniczego Browna Model wygładzania wykładniczego Browna zosał zaprezenowany przez Robera Goodella Browna w roku 959 odąd zwany jego nazwiskiem [6]. W meodzie wygładzania wykładniczego do prognozowania zakłada się, że wygładzona warość zmiennej Y w okresie + jes równa pewnemu procenowi α zmiennej y z okresu oraz pewnemu procenowi (-α) zmiennej prognozowanej y * na okres. Procen zmiennej prognozowanej y * z okresu zosał wzięy w en sposób, aby sanowić dopełnienie (-α) zmiennej y z okresu. Suma ych dwóch procenów musi sumować się do jedności. Maemaycznie możemy ą regułę zapisać za pomocą nasępującego wzoru [7] gdzie: prognoza zmiennej Y na okres +, prognoza zmiennej Y na okres, rzeczywisa warość zmiennej Y na okres, α sała wygładzania z przedziału (0,]. = + ( ), (.46) Oczywiście w ym modelu musimy założyć, że =, zn. że pierwsza warość prognozy jes równa pierwszej warości szeregu prognozowanego. Dobór wag w modelu wygładzania wykładniczego Browna zależy od osoby przeprowadzającej prognozowanie oraz ypu danych na podsawie kórych jes wykonywana prognoza. Jeśli prognosa sądzi, że możliwe są częse zmiany w czasie zmiennej prognozowanej y *, o powinien większą wagę przyłożyć do najświeższych rzeczywisych warości zmiennej y (α powinno być blisko jedynki). Można powiedzieć, że w ym przypadku, prognoza będzie w większym sopniu uwzględniać błędy ex pos poprzednich prognoz. Naomias, gdy α będzie bliżej zera, większe znaczenie będzie miała warość wygładzona w poprzednim okresie. W ym przypadku prognoza w mniejszym sopniu będzie odzwierciedlać błędy ex pos poprzednich prognoz. Bardzo częso zakłada się, że osanie obserwacje w większym sopniu objaśniają zmienną, co świadczy o ym, że większą wagę powinniśmy przyłożyć do nowszych obserwacji. Najczęściej paramer α określany jes empirycznie na podsawie danych hisorycznych ak, aby szereg prognoz był jak najlepiej dopasowany do szeregu rzeczywisych warości zmiennej y. 6

117 Meoda a nazywana jes akże meodą pojedynczego wygładzania wykładniczego. Określenie wykładnicze jes związane ze sposobem wyliczenia szeregu prognozowanego zmiennej Y. Zobaczmy jak wygląda kilka pierwszych warości ego szeregu. Dla =, mamy = + ( ) = + ( ) =. (.47) Dla = oraz podsawiając za wyrażenie z równania (.47) mamy = + = +. (.48) Dla =3 oraz podsawiając za wyrażenie z równania (.48) mamy = + = + + = = + + ( ). Dla =4 oraz podsawiając za wyrażenie z równania (.49) mamy = + = = ( ) = = Ogólnie dla =k oraz korzysając z rekurencji mamy (.49) (.50) = (.5) Ponieważ α zawiera się w przedziale (0,], zaem wagi α, α(- α), α(- α) mają warości wykładnicze malejące, co daje nazwę ej meodzie. Z uwagi na o, że jes o szereg geomeryczny, zaem zgodnie z wzorem na sumę szeregu geomerycznego, jego warości sumują się do jedności. W przypadku gdy α=, model upraszcza się do modelu meody naiwnej. W przypadku szeregów czasowych w kórych wysępuje rend linowy można zasosować meodę zw. podwójnego wygładzania wykładniczego. Polega ona na pierwszym wygładzeniu danych za pomocą wygładzania wykładniczego, a nasępnie obliczeniu kolejnego wygładzania wykładniczego już na szeregu wygładzonym. Można o zapisać za pomocą nasępującego wzoru rekurencyjnego gdzie: = = + ( ) (.5) jes warością podwójnie wygładzonego szeregu dla okresu, jes warością wygładzonego szeregu dla okresu. W przypadku rendu nieliniowego sosuje się modele porójnego wygładzania nieliniowego. Przykład.5. 7

118 Zaprognozujmy za pomocą modelu wygładzania wykładniczego kurs akcji BUDIMEX sosując różne paramery wygładzania. Tabela 0.8 pokazuje prognozę za pomocą wygładzania wykładniczego z różnymi paramerami wygładzania. Model prognozuje warość kursu akcji BUDIMEX na dzień lipca 03 roku na podsawie kursów zamknięcia noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie od 0 czerwca 03 roku do 8 czerwca 03 roku (5 obserwacji). Tabela 0.8. Prognozowanie kursu akcji BUDIMEX za pomocą wygładzania wykładniczego Okres szreg oryginalny Wygładzanie wykładnicze (alfa = 0,) Wygładzanie wykładnicze (alfa = 0,5) Wygładzanie wykładnicze (alfa = 0,9) 87,40 87,40 87,40 87,40 87,75 87,40 87,40 87, ,00 87,44 87,58 87,7 4 88,73 87,49 87,79 87, ,65 87,6 88,6 88,65 6 9,70 87,9 89,45 90, ,00 88,40 9,08 9, ,8 88,86 9,04 9, ,0 89,50 93,66 95,05 0 9,30 89,87 93,43 93,38 9,50 90,0 9,36 9,5 9,40 90,6 9,43 9, ,00 90,38 9,9 9, ,03 90,64 9,46 9, ,00 90,38 90,4 88,5 prognoza 90,74 9, 93,45 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie Jak już zosało wspomniane, kurs zamknięcia akcji w dniu lipca 03 roku wynosi 94,60 PLN. Rysunek.4 podsumowuje dane z Tabela 0.8. Na podsawie ego wykresu ławo zobaczyć, kóra sała wygładzania najlepiej dopasowała model do danych. Sała a wynosi 0,9. Błąd ex pos pomiędzy prognozą, a fakycznym wykonaniem wynosi,5 PLN (94,60 PLN 93,45 PLN), co sanowi,% warości akcji w dniu lipca 03 roku. 8

119 96,00 95,00 94,00 93,00 9,00 9,00 90,00 89,00 88,00 87,00 86,00 Wygładzanie wykładnicze (alfa = 0,) Wygładzanie wykładnicze (alfa = 0,5) Wygładzanie wykładnicze (alfa = 0,9) szreg oryginalny Rys Wygładzanie wykładnicze Browna Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie Waro zauważyć, że za pomocą modeli wygładzania Browna można prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden..9.. Modele wygładzania wykładniczego Hola Meoda wygładzania wykładniczego Hola jes rozwinięciem modelu wygładzania wykładniczego Browna. Meoda a zosała przedsawiona przez Charlsa C. Hola w roku 957 [3]. Model en dodakowo pozwala modelować szeregi z rendem. Do modelowania rendu użyy jes wielomian sopnia pierwszego, czyli linia prosa. Meoda wygładzania wykładniczego Hola jes bardziej elasyczna w porównaniu z modelem wygładzania wykładniczego Browna, gdyż wysępują w nim dwa paramery dobierane przez osobę przeprowadzającą prognozowanie. Równanie modelu wygładzania wykładniczego Hola możemy zapisać za pomocą nasępujących wzorów [40]: oraz wzoru na warość prognozy gdzie: = + ( ) +, (.53) = + ( ), (.54) = +, (.55) F wygładzona warość zmiennej prognozowanej na momen, T wygładzona warość przyrosu rendu na momen, 9

120 α, β paramery modelu z przedziału (0,]. W modelu ym jako warości począkowe przyjmuje się najczęściej F =y oraz T =y -y. Jak widać, proces wygładzania w ym modelu może być rozbiy na dwa eapy: eap przybliżania poziomu zmiennej, kóremu o odpowiada wzór (.53), eap przybliżania przyrosu zmiennej, kóremu o odpowiada wzór (.54). Zmienna β wyraża wpływ przyrosu. Gdy wpływ en jes silny, paramer β jes bliskie zera. Naomias, gdy wpływ en jes słaby, paramer β jes bliski jedności. Przykład.6. Zobaczmy jak wygląda dopasowanie modelu wygładzania wykładniczego Hola w przypadku prognozowania eksporu owarów w milionach PLN. Dane pochodzą z Głównego Urzędu Saysycznego od począku roku 008 do końca roku 0 w podziale na kwarały i przedsawiają warość eksporu w poszczególnych kwarałach danego roku. Tabela 0.9 przedsawia dane eksporu wraz z prognozą modelu wygładzania wykładniczego Hola. Model zosał skalibrowany z paramerami α= 0,9 oraz β=0,6. Ławo zauważyć, że prognoza na okres pierwszego kwarału 03 roku jes prawie idealna. Różnica na kwocie 3,5 mln PLN sanowi błąd ex pos rzędu 0,0%. Tabela 0.9. Prognozowanie eksporu owarów za pomocą wygładzania wykładniczego Hola Ekspor w mln Okres PLN F T Prognoza 008Q 34 45, ,4 35,7 0,0 008Q , , 35, , 008Q , ,6-47, ,8 008Q4 3 30,30 346,8-99, ,9 009Q 34 46,63 346,4 68,7 3 44, 009Q , ,9 634, , 009Q , , 344, ,9 009Q , ,8 99, 35 59,5 00Q , ,5 70, ,0 00Q 40 54, , 4, ,0 00Q ,43 448,6 39, ,7 00Q , , 977, ,8 0Q , , 399,0 4 87,5 0Q , , 599, , 0Q , ,0 77, ,7 0

121 Okres Ekspor w mln PLN F T Prognoza 0Q , , 56, ,8 0Q ,67 497,3 768,3 5 64, 0Q 49 68, ,8 303, ,6 0Q , ,4 83, , 0Q ,57 505,6 38, ,4 03Q (prognoza) , ,6 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Rysunek.5 podsumowuje dane z Tabela 0.9. Zauważmy, na podsawie ego wykresu, że szereg prognoz dość ładnie dopasowuje się do warości szeregu wyjściowego, co powierdza mały błąd prognozy. Dodakowo na rysunku zosała umieszczona prosa rendu wraz z jej równaniem, aby podkreślić endencję rozwojową wysępującą w danych , , ,0 y = 070,x , , ,0 Prognoza Ekspor w mln PLN Liniowy (Ekspor w mln PLN) Rys Wygładzanie wykładnicze Hola Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Waro zauważyć, że za pomocą modeli wygładzania Hola można również prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden.

122 .9.3. Modele wygładzania wykładniczego Winersa Meoda wygładzania wykładniczego Winera jes uogólnieniem meody Hola. Zosała ona przedsawiona przez Peera R. Winersa w roku 960 [44]. Jes sosowana dla szeregów, kóre zawierają rend, a akże wahania sezonowe. Wahania sezonowe mogą nakładać się na rend w sposób addyywny lub muliplikaywny. Wersja muliplikaywna jes używana rzadziej, ze względu na założenie, że przyrosy względne warości rendu zmiennej Y zmieniają się w sposób regularny lub są mniej więcej sałe. Oczywiście mówimy ylko o przypadkach, w kórych nie nasąpiła zmiana lub załamanie rendu. Równanie modelu wygładzania wykładniczego Winersa w wersji addyywnej możemy zapisać za pomocą nasępujących wzorów [9]: oraz wzoru na warość prognozy gdzie: = + ( ) +, (.56) = + ( ), (.57) = + ( ), (.58) = + +, (.59) F wygładzona warość zmiennej prognozowanej na momen, T wygładzona warość przyrosu rendu na momen, S wygładzona warość składnika sezonowości na momen, r długość cyklu sezonowego, α, β, γ paramery modelu z przedziału (0,]. W modelu ym jako warości począkowe przyjmuje się najczęściej F =y oraz T =y - y, naomias, począkowe warości S orzymujemy odejmując od warości y i średnią z r pierwszych obserwacji. eapów: Jak widać, proces wygładzania w ym modelu może być rozbiy za pomocą rzech eap przybliżania poziomu zmiennej, kóremu o odpowiada wzór (.56), eap przybliżania przyrosu zmiennej, kóremu o odpowiada wzór (.57), eap przybliżania sezonowości zmiennej, kóremu o odpowiada wzór (.58). Równanie modelu wygładzania wykładniczego Winersa w wersji muliplikaywnej możemy zapisać za pomocą nasępujących wzorów [9]: = + ( ) +, (.60)

123 oraz wzoru na warość prognozy = + ( ), (.6) = + ( ), (.6) = +, (.63) Przykład.7. Zobaczmy jak wygląda dopasowanie modelu wygładzania wykładniczego Winersa w wersji addyywnej w przypadku prognozowania średniego miesięcznego wynagrodzenia bruo w sekorze przedsiębiorsw zarudniających przynajmniej 9 osób. Dane pochodzą z Głównego Urzędu Saysycznego od począku roku 008 do końca roku 0 w podziale na kwarały. Warość kwaralna wyliczana jes jako średnia arymeyczna z rzech miesięcy. Tabela 0.0 przedsawia dane średniego miesięcznego wynagrodzenia bruo w sekorze przedsiębiorsw wraz z prognozą modelu wygładzania wykładniczego Winersa w wersji addyywnej. Model zosał skalibrowany z paramerami α= 0,7, β=0,9 oraz γ=0,. Średnia r zosała policzona z czerech kwarałów roku 008 (4 obserwacje) i wynosi 3 76,5 PLN. Tabela 0.0. Prognozowanie średniego miesięcznego wynagrodzenia bruo za pomocą wygładzania wykładniczego Winersa Średnie miesięczne okres wynagrodzenie F T S Prognoza bruo 008_Q 3048, ,9 9,9-7,5 008_Q 340, ,8 4,4-35,6 3 03,3 008_Q3 388, ,6 49,0, 3 44,5 008_Q4 337, ,5 -,4 5, 3 68,7 009_Q 3 48,0 3 3,6 09,7 -, , 009_Q 3 58, ,8,9-39,8 3 30, 009_Q ,6 3 3,3-8,9 0, 3 39,0 009_Q , 3 30,7 -,5 5, ,6 00_Q 3 337, ,0 95,4-7, 3 44,6 00_Q 3 383, , 44,0-4, 3 387, 00_Q3 3 44, ,6-0,6 7, ,0 00_Q , , 0,3 5,4 3 47,6 0_Q 3 48, ,8 0,3 -, ,0 0_Q 3 560,8 3 69,5 67,6-43, ,3 0_Q ,9 3 67,3 4,8 4, , 0_Q4 3 77,6 3 60,0,9 5,3 3 66,6 0_Q 3 668, ,8 0,6-08, ,3 3

124 okres Średnie miesięczne wynagrodzenie F T S Prognoza bruo 0_Q 3 697, ,8 4,7-46,7 3 78,4 0_Q ,8 3 73,6-46,3 0, ,8 0_Q ,9 3 70,8-5,3 53, ,6 03_Q (prognoza) 3 74, ,4 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego W abeli.0 na szaro zaznaczono wiersze, w kórych począkowe warości S, orzymaliśmy odejmując od warości y i średnią równą 3 76,5 PLN. Pozosałe warości S, są liczone za pomocą wzoru (.58). Zauważmy, że prognoza na okres pierwszego kwarału 03 roku wyszła wyższa w porównaniu z wykonaniem, co oznacza, że model lekko przeszacowuje. Różnica na kwocie 99,4 mln PLN sanowi błąd ex pos rzędu,7% co jes błędem znacznie wyższym niż udało się osiągnąć przy modelu Hola. Jednak ciągle nie jes o błąd znaczący. Rysunek.6 podsumowuje dane z Tabela 0.0. Dzięki umieszczeniu linii prosej rendu wraz z jej równaniem, ławiej zauważyć endencję rozwojową wysępującą w danych oraz sezonowość (gdyż regularnie dane są raz pod linią rendu, a raz nad nią) , ,0 y = 35,08x , , ,0 3 00, ,0 008_Q 008_Q 008_Q3 008_Q4 0Q3_Q 0Q3_Q 0Q3_Q3 0Q3_Q4 00_Q 00_Q 00_Q3 00_Q4 0_Q 0_Q 0_Q3 0_Q4 0Q4_Q 0Q4_Q 0Q4_Q3 0Q4_Q4 03_Q Średnie miesięczne wynagrodzenie bruo Prognoza Liniowy (Średnie miesięczne wynagrodzenie bruo) Rys Wygładzanie wykładnicze Winersa Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Podobnie jak w poprzednich modelach, za pomocą modeli wygładzania Winersa można prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden. 4

125 .0. Trend pełzający Model rendu pełzającego jes również przykładem szerokiej gamy modeli adapacyjnych, czyli modeli dososowujących się do szeregu wyjściowego Y. W porównaniu z modelami średniej ruchomej i wygładzania wykładniczego model rendu pełzającego jes znacznie rudniejszy w implemenacji. Jego zaleą jes naomias prognozowanie szeregów, kóre odznaczają się dużą nieregularnością lub załamaniami rendu. Meoda a zosała przedsawiona przez Z. Hellwiga [] w roku 967. Polega ona na szacowaniu warości rendu w każdym okresie (lub zdefiniowanym przez prognosę fragmencie szeregu) za pomocą dopasowanych rendów liniowych, a nasępnie na eksrapolacji ak uzyskanego rendu pełzającego za pomocą wag harmonicznych. Dla danego szeregu czasowego Y oraz sałej wygładzania k usalonej przez prognosę, a będącej liczbą obserwacji na jakich szacujemy rend liniowy, szacujemy na kolejnych fragmenach szeregu: y, y,, y k, y, y 3,, y k+, y 3, y 4,, y k+, y n-k+, y n-k+,, y n, paramery liniowych funkcji rendu: f ()=α +β (), gdzie [, ], f ()=α +β (), gdzie [, + ], f 3 ()=α 3 +β 3 (), gdzie [3, + ], f n-k+ ()=α n-k+ +β n-k+ (), gdzie [ +, ]. Dla dowolnego [, ] warościom y i odpowiadają eoreyczne/prognozowane warości y * z wyliczonych funkcji f i. Osaecznie prognozą na dany momen i jes uśredniona warość wyliczonych ych funkcji y* (można powiedzieć, że każdej warości z szeregu y i odpowiada warość prognozowana ), kóra będzie równa. Łącząc kolejne punky (, ) orzymujemy endencję rozwojową szeregu czasowego w posaci segmenowej, zwaną rendem pełzającym (sąd nazwa meody). Zauważmy, że szereg prognoz jes dokładnie ej samej długości co szereg wyjściowy realnych obserwacji. Aby dokonać prognozy należy zasosować pewien algorym opary o wagi harmoniczne. Zasosowanie wag harmonicznych 5

126 ma na celu uwzględnienie zw. posarzania informacji, co oznacza, że nowsze obserwacje niosą więcej informacji n. prognozowanych danych, niż informacje sare. Harmoniczne wagi są dlaego, iż przyjmuje się założenie, że przyrosy wag przypisywane kolejnym wyrazom szeregu wyjściowego, są odwronie proporcjonalne do wieku danych. Algorym wag harmonicznych polega na: obliczeniu przyrosów funkcji rendu określeniu warości przyrosów = dla [, ], (.64) =, (.65) gdzie są wagami harmonicznymi. Są o liczby dodanie z przedziału (0,], kórych suma wynosi jeden, a konsruowane są w nasępujący sposób =, =,,, (.66) wyznaczeniu prognozy punkowej na okres T według nasępującego wzoru = +. (.67) We wzorze na prognozę wyraz wolny równy jes osaniej warości szeregu prognoz, a współczynnik nachylenia równy jes sumie warości przyrosów wyliczonej zgodnie ze wzorem (.65). Waro uaj wspomnieć, że przeważnie zakłada się, że warość wygładzania jes sała we wszyskich fragmenach wyjściowego szeregu, co jes prosszym założeniem w implemenacji. W lieraurze można jednak spokać rend pełzający ze zmienną warością wygładzania w poszczególnych fragmenach wyjściowego szeregu. Podsumowując zasosowanie meody rendu pełzającego ze sałą wygładzania sałą w czasie prognozy można podzielić na dwa eapy: wyrównanie szeregu czasowego przy użyciu rendu pełzającego, za pomocą rendów liniowych, prognozowanie warości za pomocą wag harmonicznych. 6

127 Przykład.8. Zobaczmy jak wygląda dopasowanie modelu rendu pełzającego w przypadku prognozowania średniego miesięcznego wynagrodzenia bruo w sekorze przedsiębiorsw zarudniających przynajmniej 9 osób. Dane pochodzą z Głównego Urzędu Saysycznego od począku roku 00 do końca roku 0 w podziale na kwarały. Warość kwaralna wyliczana jes jako średnia arymeyczna z rzech miesięcy. Niech sała wygładzania wynosi 4, co oznacza, że dla każdego roku będziemy szacować warość rendu na podsawie czerech kwarałów. W Excelu warość rendu oszacujemy za pomocą regresji liniowej. Tabela 0. przedsawia dane średniego miesięcznego wynagrodzenia bruo w sekorze przedsiębiorsw (uśrednione na kwarale) wraz z prognozą modelu rendu pełzającego. Tabela 0.. Prognozowanie średniego miesięcznego wynagrodzenia bruo za pomocą rendu pełzającego Średnie miesięczne Warości eoreyczne Y w poszczególnych segmenach wynagrodzenie bruo Kwarały yś PLN y* _Q 3,34 3,3 3,3 00_Q 3,38 3,40 3,39 3,40 00_Q3 3 3,4 3,46 3,48 3,45 3,47 00_Q4 4 3,60 3,53 3,56 3,50 3,50 3,55 0_Q 5 3,48 3,53 3,54 3,53 3,56 3,47 0_Q 6 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,57 0_Q3 7 3,59 3,6 3,57 3,65 3,6 3,65 0_Q4 8 3,77 3,7 3,74 3,67 3,67 3,74 0_Q 9 3,67 3,69 3,7 3,69 3,7 3,64 0_Q 0 3,70 3,70 3,7 3,69 3,70 0_Q3 3,68 3,7 3,66 3,76 0_Q4 3,87 3,8 3,8 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Warości eoreyczne zosały wyliczone jako funkcja regresji liniowej zmiennej wynagrodzenia. Jako zmienna objaśniająca zosała wykorzysana zmienna (kolejny numer kwarału). Funkcja użya w Excelu o REGLINP. Warość y* jes wyliczona jako średnia arymeyczna dla każdego wiersza. Poszczególne warości funkcji rendu (esymaorów paramerów) przedsawia Tabela 0.. 7

128 Tabela 0.. Esymaory paramerów Esymaory paramerów rendu liniowego dla podokresów 0,08 3,3 0,05 3,30 0,03 3,37 0,00 3,53 0,09 3,0 0,05 3,7 0,0 3,5-0,03 3,95 0,06 3, Źródło: opracowanie własne Nasępnie spróbujmy zaprognozować warość wynagrodzenia na kolejne kwarały. Do ego celu użyjemy wag harmonicznych. Tabela 0.3. Prognozowanie meodą wag harmonicznych y* w 3,3 c - wagi harmoniczne Składniki Wagi w *c 3,40 0,086 0,008 0,008 0, ,46 0,068 0,009 0,07 0,00 4 3,53 0,063 0,00 0,07 0, ,53-0,00 0,0 0,039-0, ,56 0,039 0,03 0,05 0, ,6 0,059 0,05 0,067 0, ,7 0,084 0,08 0,085 0, ,69-0,03 0,03 0,08-0, ,70 0,007 0,030 0,38 0,000 3,7 0,00 0,046 0,84 0,008 3,8 0,04 0,09 0,75 0, prognoza 3,86 Suma = 0,0466 Źródło: opracowanie własne 8

129 Kolumna Składniki w Tabela 0.3 zosała wyliczona dla każdego zgodnie z nasępującym wzorem. (.68) Naomias kolumna Wagi sanowi sumy Składników od pierwszej obserwacji do danego zgodnie ze wzorem (.66). Rysunek.7 przedsawia wyjściowy szereg wynagrodzenia oraz dopasowane warości szeregu wygładzonego za pomocą rendu pełzającego wraz z prognozą wyesymowaną za pomocą wag harmonicznych. 4,00 3,90 3,80 3,70 3,60 3,50 3,40 3,30 3,0 3,0 3,00 Średnie miesięczne wynagrodzenie bruo prognoza Rys Trend pełzający z wagami harmonicznymi Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z Głównego Urzędu Saysycznego Za pomocą modeli rendu pełzającego można prognozować na znacznie więcej okresów niż ylko jeden. Korzysając z wzoru (.67) oraz mając oraz wysarczy, że będziemy podmieniać ylko okres T na kóry chcemy prognozować. 9

130 ROZDZIAŁ III BUDOWA I PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELI AUTOREGRESJI I ŚREDNIEJ RUCHOMEJ 3.. Proces sochasyczny Podczas badania zjawisk, zwykle orzymujemy zesaw zmierzonych warości pewnej wielkości, kóra zmienia się w czasie. Zaem orzymujemy pewien ciąg warości { }. Każdą z warości możemy inerpreować jako realizację pewnego doświadczenia. Z maemaycznego punku widzenia będzie o zmienna losowa. Przypomnijmy zaem inuicyjne pojęcie zmiennej losowej, kórą określamy jako zmienną przyjmującą przy realizacji pewnego doświadczenia określoną warość liczbową w zależności od losowego wyniku doświadczenia. Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję określoną na przesrzeni zdarzeń elemenarnych, przyjmującą warości rzeczywise ( : Ω R ) [7, 9, 3, 39]. Dokonując pomiarów w czasie wyznaczamy warość ej zmiennej losowej w określonej jednosce czasu. Zaem rozważamy zmienną losową zależną również od czasu. Załóżmy dodakowo, że w każdej jednosce czasu zmienne losowe są o rozkładach normalnych. Rysunek przedsawia wykresy procesów sochasycznych zadanych przez e zmienne. 30

131 Y HwL w a) b) Rys. 0.. Proces sochasyczny a) dyskreny, b) ciągły Źródło: opracowanie własne Procesem sochasycznym nazywamy uporządkowany ze względu na czas zbiór zmiennych losowych [39]. Dokładniej będzie o funkcja przekszałcająca zbiór Ω w. Realizację zmiennych losowych w kolejnych chwilach nazywamy szeregiem czasowym. Zaem szereg czasowy sanowi pojedynczą realizację procesu sochasycznego [39]. Używając pojęć proces sochasyczny i szereg czasowy należy zwrócić uwagę na o, że i jedno i drugie pojęcie oznacza ciąg. W pierwszym przypadku jes o ciąg funkcyjny (zmienne losowe), a w drugim ciąg liczbowy (szeregi czasowe). W przypadku procesów ekonomicznych z reguły mamy do czynienia z procesami dyskrenymi, częso nazywanymi skokowymi. Obserwacje warości są przeprowadzane zazwyczaj w jednakowych odsępach czasu (rocznych, kwaralnych, miesięcznych). W przypadku obserwacji procesów finansowych mamy do czynienia z obserwacjami dziennymi, godzinowymi, a ze względu na specyfikę elekronicznego sysemu ransakcji giełdowych można wierdzić, że obserwacje są ciągłe. Należy zwrócić uwagę na o, że obserwacja w określonej chwili jes jedyną realizacją zmiennej losowej dla ej chwili. Tej realizacji zmiennej losowej nie można powórzyć czy ponownie zaobserwować realizacji ej zmiennej, gdyż powórzenie doświadczenia w idealnie akich samych warunkach jes niemożliwe [39]. W dalszej części będziemy proces sochasyczny oznaczać zamiennie w zależności od koneksu lub. Na porzeby dalszych rozważań przypomnijmy nasępujące określenia. W lieraurze ekonomicznej częso sosuje się zamiennie określenia szereg czasowy i proces sochasyczny. Prawdopodobieńswo zaobserwowania ej samej realizacji jes równe zero. 3

132 Dysrybuaną łączną ciągu zmiennych losowych nazywamy funkcję określoną zależnością [9]: zależnością 3 : zależnością,,,,,, =,,,. Średnią procesu sochasycznego nazwiemy funkcję : R określoną = = = =. Wariancją procesu sochasycznego nazywamy funkcję : R = = = = [ ]. określoną Auokowariancją procesu sochasycznego nazwiemy funkcję : R, określoną zależnością, =, =. Oczywiście mając, wielkości wariancji i auokowariancji możemy zbudować dla procesu dyskrenego macierz wariancji i kowariancji posaci:,, =,,,,, a nasępnie macierz korelacji procesu sochasycznego,, =,,,,, gdzie funkcja auokorelacji jes posaci, =,. Do badań szeregów czasowych używamy nieco zawężonych pojęć. Przez funkcję auokorelacji ACF rozumiemy funkcję gdzie =, =,. 3 W definicjach sosujemy kilka oznaczeń w dalszej części będziemy wykorzysywać je zamiennie. 3

133 Esymaorami ych funkcji są dla funkcji auokowariancji o odsępie = ( )( ), gdzie oznaczą warość średnią. Esymaorem funkcji auokorelacji jes =. Naomias wariancję esymaora funkcji auokorelacji wyznaczamy z zależności: = +, >. Wykres funkcji w zależności od warości nazywamy korelogramem. Funkcja auokorelacji cząskowej (w skrócie PACF) jes odpowiednikiem funkcji auokorelacji (ACF). Mierzy ona korelację między kolejnymi opóźnieniami po wyeliminowaniu wpływu pośrednich opóźnień. Dlaego dla rzędu opóźnienia funkcje ACF i PACF mają równe warości. Funkcję PACF oznaczamy przez, i obliczmy nasępująco:, =. 3.. Filrowanie szeregów W celu uzyskania szeregu sacjonarnego sosuje się częso przekszałcenia szeregów za pomocą zw. filrów z kórych najczęściej sosujemy filry liniowe. Filry liniowe są sosowane do ransformacji zmiennych, kóre charakeryzują się rendem sochasycznym lub deerminisycznym, kóre omawiamy później. Filrem liniowym nazywamy zamianę procesu na proces za pomocą przekszałcenia [7, 4] 33

134 =, gdzie = +,,, + + <,, > 0, wagi. W zależności od posaci wag mamy: średnią ruchomą, gdy =, średnią scenrowaną, gdy =, średnią symeryczną, gdy = y_ średnia 3 okresowa Rys. 0.. Zasosowanie filru liniowego Źródło: Dane PKB GUS, obliczenia własne Przy sosowaniu filrów liniowych wysępują nasępujące problemy: obcięcie począkowych i końcowych wyrazów szeregu wsępnego (sosuje się wedy średnie asymeryczne). średnia asymeryczna powoduje przesunięcie fazy. średnia ruchoma rzędu k (kórej wszyskie współczynniki są równe /k) usuwa sezonowość o okresie k. Do usuwania rendu wielomianowego sosujemy zw. filr różnicowy Δ 4 posaci: Δ =. 4 nazywany eż operaorem różnicowania. 34

135 nasępująco: Rekurencyjnie filr różnicowy możemy zdefiniować dla dowolnego rzędu Δ = Δ Δ. Przykład 3.. (dla = ) Δ = Δ Δ = Δ = = +. Do opisu procesów auoregresyjnych sosujemy pewne operaory. Jednym z nich jes operaor opóźnienia 5 określony nasępująco: =. Pomiędzy operaorem opóźnienia a filrem różnicowym zachodzi zależność: Δ =. Przykład 3.. (dla =, oraz = ) Δ = = =. Δ = + = + = Sacjonarność procesu sochasycznego W badaniach szeregów czasowych ważną rolę odgrywa pojęcie sacjonarności [3]. W lieraurze funkcjonują dwa pojęcia sacjonarności. Sacjonarność w węższym sensie definiujemy jako brak zmiany łącznego i warunkowego rozkładu prawdopodobieńswa przy przesunięciu punku zerowego na osi czasu, co formalnie zapisujemy jako,,,,,, =,,, +, +,, + dla R. Oznacza o że łączny rozkład zmiennych losowych jes idenyczny i niezmienny w czasie. Takie pojęcie sacjonarności jes mało przydane w zasosowaniach, gdyż wymaga użycia zaawansowanego aparau analizy funkcjonalnej. Dlaego eż wprowadzono pojęcia sacjonarności określone za pomocą paramerów, kóre ławo można zmierzyć. Wprowadza się zaem pojęcie słabej (w szerszym sensie) sacjonarności procesu [9, 3, 4, 8]. Proces jes więc słabo sacjonarny 6 gdy proces ma sałą średnią, wariancję, a funkcja auokowariancji zależy ylko od. Maemaycznie oznacza o, że 5 W lieraurze wysępuje również jako operaor wycofania, przesunięcia wsecz. 6 Dalej mówimy króko sacjonarny 35

136 = =, = =,, =, dla R, 0. Proces sochasyczny sacjonarny w węższym sensie jes również słabo sacjonarny. Dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym określenie słabej sacjonarności jes równoznaczne z pojęciem silnej sacjonarności. Dlaego, aby sprawdzić, czy proces o rozkładzie normalnym jes ściśle sacjonarny, wysarczy poznać podsawowe paramery jego rozkładu. Na ogół dokonujemy jedynie weryfikacji sałości paramerów wielowymiarowego rozkładu zmiennej losowej, a nie esujemy konkrenej posaci ego rozkładu. Ponieważ dokładne paramery procesu na ogół nie są znane więc opisujemy je za pomocą esymaorów. I ak w próbie - elemenowej esymaorem średniej jes Zaś wariancji jes =. = ( ) Biały szum W badaniach procesów sochasycznych posługujemy się pojęciem białego szumu [5, 4, 8, 39]. Białym szumem 7 nazywamy proces sochasyczny spełniający 3 warunki:. = 0,. = =, 3., = 0, dla >. W przypadku gdy ~ (0, ) mówimy, że proces białego szumu jes gaussowski. Proces białego szumu oczywiście jes sacjonarny. 7 ang. whie noise. 36

137 Rys Przykład procesu białego szumu Źródło: opracowanie własne Zbadajmy w programie Saisica auokorelację przedsawionego na wykresie szeregu. Wykorzysamy do ego polecenie Saysyka Zaawansowane modele liniowe i nieliniowe Szeregi czasowe i prognozowanie. Po wyborze zmiennej korzysamy z opcji OK (Przekszałcenia, auokorelacje, korelacje wzajemne, wykresy). Wybierając w zakładce Auokorelacje przycisk Auokorelacje orzymujemy nasępujący wykres. Rys Wykres funkcji auokorelacji Źródło: opracowanie własne 37

138 Funkcja auokorelacji pokazuje nam wysępowanie auokorelacji pomiędzy warościami szeregu w chwili i w chwili. Dla białego szumu auokorelacja nie powinna wysępować zn. powinna wynosić 0. W programie Saisica oznacza o, że wykres ej funkcji znajduje się w pewnym zbiorze kryycznym, sanowiącym przedział ufności. Do badania własności szeregów czasowych możemy wybrać program Grel. Źródło: opracowanie własne Rys. 0.5 Funkcja korelogram w Grelu Źródło: opracowanie własne Orzymujemy zarówno wykres funkcji auokorelacji (ACF) jak i korelacji cząskowej (PACF) oraz abelę esów auokorelacji Ljunga-Boxa. Rys Wykres i es funkcji ACF i PACF Źródło: opracowanie własne 38

139 Mając proces białego szumu możemy określić proces błądzenia losowego 8. Niech będzie pewną usaloną warością począkową, Określamy dla dowolnego > 0 proces = +, gdzie jes procesem białego szumu. Oczywiście powyższy wzór rekurencyjny możemy przekszałcić na = +. Oznacza o, że dla ego procesu zachodzą: = + = =, = =,, =. Jak widzimy, zarówno wariancja jak i kowariancja zależą od czasu, zaem proces błądzenia losowego jes procesem niesacjonarnym. Rys Przykład błądzenia losowego Źródło: opracowanie własne 8 ang. random walk 39

140 Do badania sacjonarności szeregów czasowych służą różnego rodzaju esy pierwiaska jednoskowego. Najpopularniejszymi esami są es Dickeya-Fullera (DF), rozszerzony es Dickeya-Fullera (ADF 9 ), es Phillipsa-Perrona (PP) czy eż es Kwiakowskiego Phillipsa Schmida Shina (KPSS) Proces średniej ruchomej Analizując proces błądzenia losowego, możemy przypuszczać, że wiele procesów obserwowanych w przyrodzie ma znamiona losowości (przypadku). Mało ego, możemy zaobserwować wpływ ych działań przypadkowych na nasępne warości. Możemy zaem zasanawiać się jak głęboki jes en wpływ, zn. na ile okresów naprzód działa. Procesem opisującym o jes proces średniej ruchomej 0. Niech będzie procesem białego szumu. Proces średniej ruchomej zapisujemy w posaci [5, 9, 3, 4, 8, 39]: = + +, lub w posaci operaorowej = +, gdzie = jes wielomianem operaorowym sopnia, zaż jes białym szumem o wariancji. Proces średniej ruchomej (MA(q)) ma nasępujące własności:. =,. = + + +, 0, >, 3., = + + +,, 4. = 0, >, 0, Na ej podsawie możemy powiedzieć, że każdy proces średniej ruchomej jes procesem sacjonarnym. Rozważmy proces średniej ruchomej zobrazowany na poniższym rysunku. 9 ang. agumened Dickey-Fuller es. 0 ang. moving average proces. 40

141 Rys Proces Ma() Źródło: opracowanie własne Przyjrzyjmy się jego funkcji ACF i PACF. Rys. 0.9 Funkcje ACF i PACF procesu AR() Źródło: opracowanie własne Możemy uaj zauważyć nasępującą zależność funkcja PACF jes geomerycznie gasnąca, naomias funkcja ACF ma jedną warość saysycznie niezerową. Ilość ych niezerowych warości oznacza warość rzędu procesu MA. 4

142 3.6. Proces auoregresyjny Model procesu auoregresyjnego rzędu opisuje fak zależności warości szeregu w chwili od wszyskich wcześniejszych warości. Model aki oznaczamy symbolem ( ), a zależność zapisujemy wzorem [5, 9, 3, 4, 8, 39] = + +, g gdzie rząd auoregresji, lub eż opóźnienie zmiennej objaśniającej,,,, paramery modelu auoregresji, biały szum. Model en częso zapisujemy przy użyciu operaora opóźnienia jako gdzie Φ = +, Φ = jes wielomianem operaorowym sopnia. Proces auoregresyjny jes sacjonarny gdy pierwiaski wielomianu Φ( ) leżą poza okręgiem jednoskowym zn. >. Waro zwrócić uwagę na fak, że funkcje ACF dla procesu auoregresyjnego wygasa zn. jej warości zmniejszają się a od pewnego miejsca leżą w przedziale ufności. Naomias liczba niezerowych warości funkcji PACF przybliża rząd modelu. Zauważmy o na przykładzie procesu =,3 0,4 +. Zapiszemy proces en w posaci,3 + 0,4 =. Orzymaliśmy wielomian charakerysyczny posaci,3 + 0,4, kóry ma dwa pierwiaski,5 i. Ich moduły są większe od jedności zaem badany proces jes sacjonarny. Czasami wielomian charakerysyczny zapisujemy w posaci iloczynowej np.,3 + 0,4 = ( 0,5 ) ( 0,8 ). Wówczas dla swierdzenia sacjonarności badamy moduł współczynnika przy. U nas wynoszą odpowiednio 0,5 oraz 0,8 są ym razem mniejsze od co zapewnia sacjonarność. 4

143 Przykład 3.3. Dany jes proces kórego począkowa realizacja dana jes w abeli 3.. Tabela 0.. Począkowe warości szeregu ,8 0,68 0,55 0,0 0,9 0,30 0,4 0,55 0,03 0,3 0,65 0,9 0,47 0,0 0,66 0,0 0,40 0,4 0,9 0,47 0,8 0,8 0,6 0,63 Źródło: opracowanie własne Rys Wykres szeregu AR() Źródło: opracowanie własne Rys. 0.. Wykres funkcji ACF i PACF Źródło: opracowanie własne 43

144 Rys. 0. Warości esu Ljunga-Boxa Źródło: opracowanie własne Idenyfikację modelu auoregresyjnego przeprowadzamy usalając jego rząd w oparciu o funkcje ACF i PACF. Na rysunku 3. współczynnik auokorelacji cząskowej rzędu przekracza znacząco warość kryyczną a więc jes saysycznie isony, naomias pozosałe, wyższych rzędów nie wychodzą poza obszar, ym samym są saysycznie nieisone. Zaem nasz model jes posaci = + +. Paramery ego modelu szacujemy klasyczną meodą najmniejszych kwadraów (MNK) wybierając rząd opóźnienia. Rys Ekran dosępu do modelu MNK Źródło: opracowanie własne Parz sr. 3 44

145 Rys Wybór zmiennych modelu MNK Źródło: opracowanie własne Rys Ocena paramerów modelu Źródło: opracowanie własne Wynika sąd, że model jes posaci = 0, , Orzymujemy sąd równanie charakerysyczne wielomianu w posaci iloczynowej + 0,38687 = 0. Współczynnik przy jes mniejszy od jedności zaem szereg jes sacjonarny. Rozważmy proces AR(p) dla chwil,. = + +, 45

146 = + ( ) +. Wsawiając drugie równanie do pierwszego mamy = Wyznaczając kolejno,, i wsawiając do równania powyższego orzymamy docelowo, że = Czyli orzymaliśmy nieskończony szereg (średnia ważona) białego szumu. Możemy zaem opisać momeny procesu auoregresyjnego na podsawie powyższej zależności i wzorów dla procesów MA.. =. = +, Należy zwrócić uwagę na fak, że uzyskanie w wyniku zasosowania modelu AR i MA składnika losowego, jako różnicy pomiędzy modelem a warościami rzeczywisymi, idenycznego z procesem białego szumu jes powierdzeniem, że analiza szeregu czasowego jednej zmiennej zosała zakończona. Oznacza o, że nie możemy wydzielić żadnych innych ważnych składowych procesu (zarówno sacjonarnych, jak i niesacjonarnych), naomias o, co pozosało ma charaker czyso losowy. Równania Yule-Walkera [4] pozwalają w sposób rekurencyjny wyznaczyć warość funkcji auokorelacji dla procesu auoregresyjnego AR(p) i są określane zależnością: = Proces ARMA Jeżeli weźmiemy pod uwagę fak że na warość procesu mają wpływ zarówno nasze działania jak i bodźce czyso przypadkowe możemy połączyć oba procesy AR i MA w jeden ARMA [5, 7, 9, 4, 8, 39]. Jego posać będzie nasępująca: = , gdzie jes procesem białego szumu. 46

147 Wykorzysując zdefiniowane operaory wycofania mamy Φ = +. Model ARMA generuje proces sacjonarny gdy jego składowymi są model sacjonarny AR oraz model odwracalny MA. Oznacza o że należy zbadać moduły pierwiasków odpowiednich wielomianów charakerysycznych(wszyskie mają być poza okręgiem jednoskowym). rekurencyjną: Dla procesu ARMA(p,q) funkcja auokowariancji jes zadana zależnością gdzie określają zależności =, 0, = 0, +,, = 0, =,, =, >, = 0 >, oraz są współczynnikami modelu ARMA(p,q), naomias jes wariancją procesu Sopień zinegrowania modelu W rzeczywisości mamy rzadko do czynienia z procesami sacjonarnymi. Najczęściej jeden z rzech warunków sacjonarności jes niespełniony i wówczas powinniśmy szukać sposobu jej usunięcia. Zwykle spoykamy się z niesacjonarnością ze względu na średnią gdy mamy jakiś szczególny rend lub ze względu na wariancję, gdy mamy dużą zmienność szeregu. W akich przypadkach należy wykorzysać meody usunięcia rendu lub sezonowości. Proces kóry można sprowadzić do sacjonarnego po kronym różnicowaniu nazywamy procesem zinegrowanym sopnia [5, 3, 4, 8]. Proces zinegrowany sopnia, kóry jes ypu AR(p) oznaczamy ARI(p,d), analogicznie MA(q) oznaczamy IMA(d,q), oraz ARMA(p,q) oznaczamy ARIMA(p,d,q). 47

148 Niezależnie od wyboru sposobu badania sacjonarności schema wnioskowania jes nasępujący. Rozpoczynamy od analizy szeregu. W przypadku przyjęcia hipoezy o sacjonarności, mówimy, że szereg jes zinegrowany w sopniu zerowym co zapisujemy ~ (0). Jeżeli jednak przyjmiemy hipoezę o jego niesacjonarności o sosujemy filr różnicowy i badamy sacjonarność szeregu = Δ. Jeżeli aki szereg jes sacjonarny o mówimy, że szereg jes zinegrowany w sopniu pierwszym co zapisujemy ~ (). W przeciwnym wypadku znów sosujemy filr różnicowy. Procedurę konynuujemy aż do znalezienia szeregu sacjonarnego. Jeżeli dla =,,, szereg Δ jes niesacjonarny, naomias szereg Δ jes sacjonarny o mówimy, że szereg jes zinegrowany w sopniu d co zapisujemy ~ ( ). Liczba różnicowań jes równa liczbie pierwiasków jednoskowych wielomianu charakerysycznego modelu auoregresji [5, 4, 8]. Jednakże rzadko zdarza się aby zachodziła porzeba większej ilości różnicowań niż. Dlaego po każdym różnicowaniu powinniśmy badać czy powsały szereg jes sacjonarny ze względu na warość średnią. Większość szeregów makroekonomicznych przedsawiających srumienie lub zasoby powiązanych z liczbą ludności, akich jak produkcja lub zarudnienie jes sopnia I(). Szeregi I() wzrasają według sale rosnącej sopy. Są o w większości przypadków szeregi powiązane z poziomem cen. Szeregi I(3) lub wyższe wysępują niezmiernie rzadko. Są o na przykład zasoby pieniądza, poziomy cen przy hiperinflacji ip. Wyróżniamy dwa skrajne przypadki niesacjonarności: rend deerminisyczny, gdy warość oczekiwana nie jes sała, i rend sochasyczny, gdy wariancja nie jes sała. Rozważmy proces błądzenia losowego z dryfem posaci: = +, = + +. Wówczas = ( + ) =. Obserwujemy u rend w warości oczekiwanej czyli zw. rend deerminisyczny. Rozważmy operaor różnicowania Δ. Niech Z = Δ = =. Dla procesu mamy = ΔY = =. Zaem proces jes sacjonarny. 48

149 Proces ARIMA(p,d,q) zapisujemy w posaci równania lub Φ Δ = + Φ ( B) = Procedura Boxa Jenkinsa Procedurą Boxa Jenkinsa nazywamy meodę wsępnego wyznaczania paramerów,, modelu ARIMA, adekwanego dla danego szeregu czasowego [5, 9, 8]. Procedura a zwyczajowo dzielona jes na rzy eapy:. Idenyfikacja,. esymacja, 3. diagnozowanie.. Idenyfikacja wymaga wsępnej idenyfikacji rzech paramerów określających rząd procesu auoregresyjnego, rząd inegracji oraz rząd średniej ruchomej. Zaczynamy od badania wykresu, z kórego wnosimy o jego niesacjonarności względem średniej lub wariancji, skupiskach, lokalnej podwyższonej zmienności ip. Isonym rolę odgrywa analiza funkcji auokorelacji i auokorelacji cząskowej (ACF i PACF). Wyróżniamy nasępujące syuacje wsępnej idenyfikacji paramerów,,. a) ACF nie wygasa, zaem mamy niesacjonarność. Należy zróżnicować szereg wyjściowy jedno lub dwukronie, b) ACF wykładniczo gaśnie, PACF jes ucięa od pewnego argumenu p. Daje o proces AR(p). c) ACF jes ucięa, a PACF szybko gaśnie. Oznacza o proces MA(q). d) Jeśli ani ACF ani PACF nie maja punku ucięcia, o proces jes mieszany ARIMA(p,q).. Po ak wsępnym wyesymowaniu paramerów p i q badamy modele o warościach nieco większych dla wyesymowanych paramerów. Liczymy więc kolejno modele powiększając za każdym razem ylko jeden paramer o jedna jednoskę. Badamy saysycznie normalność resz. Jeśli okaże się, że mimo o orzymujemy nieakcepowalny ze względu na normalność resz model, oznacza o, że meoda ARIMA jes niewłaściwą meodą esymacji dla danego szeregu. Do dalszej esymacji paramerów sosuje się meodę największej wiarygodności (MNW). 49

150 3. Po oszacowaniu modelu sprawdzamy wykresy resz i przeprowadzamy es Jarque-Bera`y na normalność resz. Częso sosowanym esem na auokorelacje resz oszacowanego modelu jes es Q Ljunga- Boxa. Powszechnie sosowanym kryerium porównania modeli o różnych zesawach paramerów są kryerium informacyjne Akaike lub kryerium informacyjne Schwarza-Bayesa Za liczbę oznaczającą liczbę szacowanych paramerów należ podsawić +. Za model lepiej dopasowany uznajemy naomias en o najniższej warości kryerium informacyjnego. Korzysanie z kryeriów informacyjnych w prakyce oznacza, że powinniśmy esymować wszyskie możliwe modele ARMA dla kórych rząd opóźnień składowej AR jes mniejszy lub równy usalonemu p, a rząd składowej MA mniejszy lub równy usalonemu q, a nasępnie wybrać en dla kórego warość kryerium informacyjnego jes najmniejsza. abeli 3.. Rozważmy szereg warości cen miedzi, kórego począkowa realizacja jes dana w Tabela 0.. Począkowe warości cen miedzi ,00 805, , , , ,00 788,00 766,00 Źródło: wyborcza.biz.pl Obliczenia wykonujemy w programie Grel. Na począek wykonujemy wykres obserwacji przedsawiony na rysunku Kurs Rys Wykres obserwacji Źródło: opracowanie własne 50

151 Z wykresu możemy wsępnie wnioskować o isnieniu niesacjonarności szeregu względem średniej i wariancji. W celu usunięcia niesacjonarności względem wariancji rozważamy szereg zlogarymowany, naomias dla usunięcia niesacjonarności względem średniej rozważmy jego pierwsze różnice. Zaem będziemy idenyfikować model ARIMA o sopniu inegracji. Na podsawie korelogramu warości zlogarymowanych i pierwszych ich różnic szacujemy że,. Rys Wykresy ACF i PACF Źródło: opracowanie własne Analizujemy model ARIMA(,,). Rys Specyfikacja modelu ARIMA(,,) Źródło: opracowanie własne 5

152 Okazuje się że najlepszym, kóry ma isone saysycznie współczynniki jak również najniższe kryerium Akaike a jes model ARIMA(,,). Rys Specyfikacja modelu ARIMA(,,) Źródło: opracowanie własne Dopasowanie modelu obrazuje poniższy rysunek. Nasępnym eapem jes zbadanie normalności resz Empiryczne i wyrównane waro ci zmiennej: l_kurs 9,4 wyrównane empiryczne 9, 9 8,8 l_kurs 8,6 8,4 8, 8 7, Rys Porównanie szeregów Źródło: opracowanie własne 5

153 3.0. Model SARIMA Wygodnie jes przy szeregach z sezonowością rozparywać podszeregi zbudowane z danych z ego samego sezonu (np. przy sezonowości kwaralnej z ego samego kwarału). Model ARMA dla ych danych będzie posaci: Φ = +. gdzie Φ =, = Operaory Φ oraz są odpowiednio sezonowymi operaorami dla auoregresji i średniej ruchomej rzędu P, Q o okresie sezonowym s. Model aki oznaczamy symbolem SARMA(P,Q) s [5, 3, 8] Rozważmy model SARMA(,) o okresie sezonowości. Wówczas Φ =, = +. Zaem model zapiszemy w posaci = + +, skąd = Okazuje się, ze szeregi sezonowe mogą również posiadać rend, kóry jak już wiemy usuwamy poprzez kolejne różnicowanie. Model aki nazywamy SARIMA(P,D,Q) s i zapisujemy w posaci Φ Δ = + lub Φ = +. Łącząc model sezonowy ze sandardowym orzymamy model SARIMA(p,d,q)x(P,D,Q) s posaci: Φ Φ Δ Δ = + Jako przykład rozważmy model SARIMA(0,,)x(0,,) zn. Φ =, Φ = Φ =, Δ = Δ = ( ), Δ = Δ = ( ), = +, = = +. Zaem skąd =

154 lub w prosszej posaci + = + + +, = Modele SARIMA częso rakuje się jako szczególne przypadki procesów ARIMA. Rozpisując równanie operaorowe dla procesu SARIMA (p,d,q)x(p,d,q)s orzymamy proces ARIMA(p+Ps+d+sD, q+sq). Jednakże ich wykorzysanie ma sens w prosocie zapisu i inerpreacji. Poniższa abela przedsawia klasyfikację podsawowych modeli szeregów czasowych Tabela 0.3. Klasyfikacja podsawowych modeli procesów sochasycznych Wariancja procesu Charakerysyki procesu sacjonarna Niesacjonarna-procesy zinegrowane niecykliczna cykliczna Średnia sacjonarna ARMA(p,q) ARIMA(p,d,q) ARIMA(P,D,Q) procesu niesacjonarna niecykliczna f() ARIMA(p,d,q)+f() ARIMA(P,D,Q)+f() cykliczna g() ARIMA(p,d,q)+g() ARIMA(P,D,Q)+g() f() rend deerminisyczny, g() wahania okresowe deerminisyczne Źródło: [9] 3.. Prognozy w modelach ARIMA Ogólną posać modelu ARIMA zapisujemy w posaci operaorowej jak wiemy nasępująco: Φ ( B) = +. Rozważmy rzy posacie jawne ego modelu [5]:. Warość procesu zapisujemy poprzez poprzednie jego warości oraz bieżącą i poprzednie warości. = To równanie jes bardzo wygodne do wyznaczania prognoz.. Warość zapisujemy ylko przy pomocy bieżących i poprzednich impulsów jako nieskończona suma = = gdzie =. Wagi wyznaczamy z zależności: = Θ, 54

155 Φ B Θ( ) =. Dla dodanich > model en przedsawiamy w posaci ucięej = , gdzie = =. 3. Poprzez nieskończoną sumę ważoną poprzednich warości szeregu i bieżącego impulsu Jeżeli, o wyrażenie = +. jes średnią ważoną. Wagi wyznaczamy z zależności Φ B = poprzez porównanie współczynników przy ych samych poęgach. Jeżeli mamy wykonany odpowiedni model, o możemy go wykorzysać do wyznaczenia prognoz. Rozważmy proces ARIMA(p,d,q) posaci = , Prognozą realizacji procesu sochasycznego zrobioną w okresie z wyprzedzeniem jes warość oczekiwana [ ] posaci = = [ Przez warość oczekiwaną rozumiemy u warunkową warość oczekiwaną przy znajomości wszyskich warości do momenu, czyli,,. Funkcję ( ) = jako funkcję zmiennej przy usalonym nazywamy funkcją prognozy w momencie. Błąd prognozy dla wyprzedzenia wynosi =

156 Wariancja błędu prognozy = Błąd prognozy na jeden krok naprzód jes równy = =. Poprawianie prognoz. Spróbujmy znaleźć przedziały prawdopodobieńsw dla prognoz z wyprzedzeniem,,, i obliczmy nowe prognozy poprzez poprawę sarych. Korzysając z punku ) z równania operaorowego wyznaczamy warości wag,,. Są one posaci: =, = +, = + +. gdzie =, = 0, dla < 0 i = 0 dla > oraz są współczynnikami równania operaorowego posaci = = Δ. Jeżeli = +,, o dla > wagi spełniają równanie = + +. Zauważmy, że w momencie prognoza z wyprzedzeniem + będzie posaci: ( ) = + +, Naomias w momencie + prognoza z wyprzedzeniem będzie posaci: = + +, skąd = ( ) +. Zaem prognozę w chwili na momen + poprawiamy poprzez dodanie =, kóry jes błędem prognozy na jeden krok naprzód wzmocnionego przez czynnik. Znając wagi możemy podać przedział ufności dla prognozy w posaci gdzie + ; + +, jes kwanylem rzędu / sandardowego rozkładu normalnego, naomias jes esymaorem wariancji. 56

157 Rozważmy poprzedni przykład ceny miedzi w programie Saisica. Dane o ceny miedzi za okres od do Po owarciu pliku z danymi przechodzimy do modułu Analiza szeregów czasowych i wybieramy opcję Arima i funkcja auokorelacji. Tak jak w Grelu analizę zaczynamy od przeglądu funkcji ACF i PACF. Analizując wykres szeregu dochodzimy do wniosku że mamy brak sacjonarności wariancji i średniej. Zaem logarymujemy szereg i różnicujemy go za pomocą przycisku Inne przekszałcenia i wykresy, zawierdzając OK(przekszałć wybrany szereg). Rys. 0.. Modyfikacja szeregu Źródło: opracowanie własne Rys. 0.. Wykresy ACF i PACF dla szeregu log ceny miedzi Źródło: opracowanie własne Orzymujemy powierdzenie że,. Przechodzimy do zakładki Więcej i zaznaczamy opcje jak niżej. W szczególności zaznaczamy STAŁĄ, rząd auoregresji p, rząd średniej ruchomej q i różnice pierwszego opóźnienia. Oczywiście należy zaznaczyć przekszałć zmienną przed analizą funkcją logarym nauralny. 57

158 Rys Wybór posaci modelu ARIMA Źródło: opracowanie własne Orzymujemy paramery modelu wraz z oceną ich błędów i isonością. Rys Ocena paramerów modelu Źródło: opracowanie własne W en sposób możemy zbadać kilka modeli i dobrać e kóre mają isone paramery. Nasępnym krokiem jes badanie resz. W ym celu przechodzimy do zakładki Rozkład resz. Możemy dla niego zbadać wykres normalności 58

159 Rys Wykres normalności Źródło: opracowanie własne Wykresy funkcji ACF i PACF dla resz modelu Rys ACF i PACF resz modelu Źródło: opracowanie własne 59