Copyright by Politechnika Białostocka, Białystok 2017

Transkrypt

1

2 Recenzenci: dr hab. Sanisław Łobejko, prof. SGH prof. dr hab. Doroa Wikowska Redakor naukowy: Joanicjusz Nazarko Auorzy: Ewa Chodakowska Kaarzyna Halicka Arkadiusz Jurczuk Joanicjusz Nazarko Redakor wydawnicwa: Elżbiea Doroa Alicka Copyrigh by Poliechnika Białosocka, Białysok 07 ISBN ISBN (ebook) Publikacja jes udosępniona na licencji Creaive Commons Uznanie auorswa-użycie niekomercyjne-bez uworów zależnych 4.0 (CC BY-NC-ND 4.0) Pełna reść licencji dosępna na sronie creaivecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode.pl Publikacja jes dosępna w Inernecie na sronie Oficyny Wydawniczej PB Redakcja echniczna, skład: Oficyna Wydawnicza Poliechniki Białosockiej Druk: UNI-DRUK Wydawnicwo i Drukarnia Sp. J. Nakład: 63 egz. Oficyna Wydawnicza Poliechniki Białosockiej ul. Wiejska 45C, 5-35 Białysok el.: , fax: oficyna.wydawnicza@pb.edu.pl

3 SPIS TREŚCI WPROWADZENIE MODELE ANALITYCZNE Specyfikacja..... Esymacja paramerów funkcji rendu Predykcja Nieliniowe funkcje rendu Funkcje nieliniowe o przyśpieszonym empie wzrosu Funkcje nieliniowe o malejącym empie wzrosu Funkcje nieliniowe o zmiennym empie wzrosu METODA WSKAŹNIKÓW SEZONOWOŚCI ANALIZA HARMONICZNA OCENA MODELU ORAZ DOPUSZCZALNOŚCI PROGNOZ Ocena dopasowania modelu Ocena dopuszczalności prognoz PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Prognoza liczby gospodarsw domowych w Polsce posiadających dosęp do szerokopasmowego Inerneu (wyrażona w procenach ogółu gospodarsw domowych) Prognoza zaineresowania urysyką online na podsawie liczby zapyań w Google Trends Prognoza wskaźnika ogólnego klimau koniunkury w budownicwie PROBLEMY DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA LITERATURA

4 4

5 WPROWADZENIE Temaem czwarej części podręcznika Prognozowane w zarządzaniu przedsiębiorswem jes prognozowanie z zasosowaniem klasycznych modeli składowych szeregów czasowych (endencji rozwojowej, wahań periodycznych oraz wahań przypadkowych). Auorzy wybrali do zaprezenowania w podręczniku modele najczęściej wykorzysywane w prognozowaniu zjawisk gospodarczych: analiyczne, wskaźników sezonowości oraz analizy harmonicznej. W opracowaniu omówiono akże zagadnienie dopuszczalności prognoz. Trend (endencja rozwojowa) szeregu czasowego wyraża długookresową skłonność do monoonicznych (jednokierunkowych) zmian prognozowanej zmiennej. Trend jes wynikiem rwałego oddziaływania na dane zjawisko gospodarcze usalonej kompozycji czynników, zarówno o charakerze obiekywnym, jak i subiekywnym. W modelach endencji rozwojowej szereg czasowy jes przybliżany monooniczną ze względu na czas funkcją o określonym wzorze analiycznym. Funkcję ę określa się mianem funkcji rendu. Modelu rendu sosuje się do prognozowania zjawisk gospodarczych opisywanych za pomocą szeregów czasowych, w kórych wysępują endencja rozwojowa oraz wahania przypadkowe. Wahania periodyczne szeregu czasowego przejawiają się w posaci okresowych wahań warości prognozowanej zmiennej wokół jej endencji rozwojowej. Wahania periodyczne odzwierciedlają na przykład zmiany nasilenia działalności gospodarczej związane bezpośrednio lub pośrednio z porami roku i kalendarzem (wahania sezonowe). Wahania periodyczne wynikać mogą eż ze zmian akywności gospodarczej, spowodowanej na przykład rymem biologicznym człowieka czy eż harmonogramem pracy (oscylacje krókookresowe). Meodę wskaźników sezonowości sosuje się do prognozowania zjawisk gospodarczych, w kórych wysępują wahania sezonowe o znanym okresie, endencja rozwojowa oraz wahania przypadkowe. Analiza harmoniczna przydana jes szczególnie w syuacjach, w kórych nie jes znany a priori okres wahań periodycznych, a akże wówczas, gdy w szeregu czasowym mogą wysępować jednocześnie wahania periodyczne o różnych okresach. Zaprezenowane meody charakeryzują się dużą przydanością prakyczną i mogą być użyeczne w prognozowaniu wielu zjawisk go- 5

6 spodarczych o dosyć złożonej naurze, w kórych rolę zmiennej objaśniającej pełni zmienna czasowa, syneyzująca wpływ wielu (częso bliżej nieznanych) czynników oddziałujących na prognozowane zjawisko. Oprócz wymienionych modeli składowych szeregów czasowych i ich zasosowania w prognozowaniu w podręczniku przedsawiono akże zagadnienia związane z oceną dopuszczalności prognoz. Jes o jeden z zasadniczych aspeków procesu prognozowania. Dopuszczalność prognozy wyraża wysarczający poziom zaufania odbiorcy prognozy co do możliwości jej zasosowania w procesie decyzyjnym i związana jes przede wszyskim z oceną jej błędu ex ane. W podręczniku omówiono również inne kryeria dopuszczalności prognozy: prawdopodobieńswo realizacji, przedział ufności oraz ekspercką ocenę wiarygodności prognozy. Inencją auorów było, aby zagadnienia podjęe w podręczniku opisane zosały w sposób możliwie przysępny i zrozumiały zarówno dla sudenów podsawowego kursu prognozowania, jak i dla szerszego grona odbiorców pragnących poznać zasadnicze zagadnienia i meody prognozowania. Auorzy sarali się zachować niezbędną ścisłość i przejrzysość wywodów, unikając jednocześnie zawiłego dyskursu naukowego i subelności eoreycznych. Wiele uwagi poświęcili sposobowi prezenacji maeriału dydakycznego. Zamieścili wiele przykładów obliczeniowych szczegółowo objaśniających sposób sporządzania prognoz z zasosowaniem omawianych meod i wskazujących na możliwości ich wykorzysania w procesach podejmowania decyzji menadżerskich. Akcenowali e zagadnienia, kóre ich zdaniem są szczególnie isone w prakyce przedsiębiorsw. Inensywnie wykorzysali schemay graficzne ilusrujące przedsawiane kwesie. Każdy rozdział kończy wykaz kluczowych zagadnień oraz spis lieraury podsawowej i uzupełniającej, przydanej do samodzielnego sudiowania i poszerzania wiedzy z zakresu omawianych zagadnień. Podręcznik zamyka rozdział zawierający problemy do samodzielnego rozwiązania, kóre mogą pomóc czyelnikowi ugrunować zdobyą wiedzę. Auorzy podręcznika wyrażają nadzieję, że będzie on przydaną pomocą w sudiowaniu zagadnień prognozowania, a jednocześnie czyelnicy znajdą w nim źródło wiedzy i inspirację do własnych badań prognosycznych. Będą jednocześnie wdzięczni za wszelkie sugesie i opinie przydane do udoskonalenia ewenualnych nasępnych wydań i kolejnych części podręcznika. 6

7 . MODELE ANALITYCZNE Znajomość kszałowania się endencji rozwojowej określonego zjawiska może być wykorzysywana zarówno do opisu jego przeszłości, jak i prognozowania. Modele endencji rozwojowej sosuje się między innymi do prognozowania przyszłych warości szeregów czasowych, w kórych wysępuje endencja rozwojowa oraz wahania przypadkowe. Rolę zmiennej objaśniającej odgrywa zmienna czasowa. Wykorzysanie modeli endencji rozwojowej do prognozowania sprowadza się do znalezienia funkcji czasu f(), kóra w sposób analiyczny opisuje dane zjawisko. W meodzie ej zakłada się, że kszałowanie się zmiennej prognozowanej y w czasie można opisać z dokładnością do składnika (czynnika) losowego za pomocą funkcji : lub y f,,..., n (model addyywny) (.), y f (model muliplikaywny) (.) gdzie: y warość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie, f() funkcja czasu charakeryzująca endencję rozwojową, zmienna losowa charakeryzująca efeky oddziaływań wahań przypadkowych. W modelu addyywnym (.) zakłada się, że zmienna losowa ma warość oczekiwaną równą zero i skończoną wariancję: 0, E (.3). V (.4) J. Nazarko (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. II. Prognozowanie na podsawie szeregów czasowych, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok 004. M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze. Meody i zasosowania, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 0, s

8 Naomias w wypadku modelu muliplikaywnego (.) zakłada się, że zmienna losowa ma warość oczekiwaną równą jeden i skończoną wariancję:, E (.5). V (.6) Model (.) opisuje syuację, w kórej efeky działania składnika losowego nakładają się addyywnie na endencję rozwojową szeregu. Model aki określa się wówczas jako addyywny. Model opisany równaniem (.) odpowiada syuacji, gdy efeky działania składnika losowego nakładają się muliplikaywnie na endencję rozwojową szeregu, co jes charakerysyczne dla modelu muliplikaywnego. Funkcję f() można wyznaczyć, wykorzysując modele analiyczne lub modele adapacyjne 3. Modele adapacyjne zosały szczegółowo omówione w rzeciej części niniejszego podręcznika 4. W wypadku modeli analiycznych przybliża się warość szeregu czasowego pewną funkcją maemayczną. Modele e sosuje się głównie do prognozowania zjawisk, kóre charakeryzowały się w przeszłości regularnymi zmianami, dającymi się opisać za pomocą funkcji czasu. Zakłada się niezmienność kierunku rendu (rosnący, malejący) oraz sałość charakeru zmian zjawiska w rozparywanym czasie, wyrażoną poprzez niezmienność posaci analiycznej funkcji rendu. Przyjmuje się również, że wahania przypadkowe nie wpływają w isony sposób na charaker badanego zjawiska 5. 3 K. Halicka, J. Godlewska, Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD, Ekonomia i Zarządzanie, 03,. 5, nr ;. 4, nr, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Białosockiej, Białysok; s. 9-9; K. Halicka, C. Wieńkowski, Wykorzysanie meod wygładzania wykładniczego do prognozowania kursu sprzedaży EUR, Ekonomia i Zarządzanie 03,. 5, nr, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Białosockiej, Białysok 03 s J. Nazarko (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. III. Prognozowanie na podsawie modeli adapacyjnych, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok J. Nazarko (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. I. Wprowadzenie do meodyki prognozowania, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok

9 Rys... Schema procesu budowy prognozy z wykorzysaniem modeli analiycznych Źródło: opracowanie własne. 9

10 Modele endencji rozwojowej, w ym modele analiyczne, są powszechnie wykorzysywane do prognozowania wielu zjawisk ekonomicznych. Znajdują one zasosowanie głównie do usalania prognoz krókoi średniookresowych. Prognozowanie na podsawie modelu analiycznych przebiega w czerech podsawowych eapach: ) specyfikacja, ) esymacja, 3) weryfikacja, 4) predykcja. Schema procesu budowy prognozy z wykorzysaniem funkcji analiycznych zosał przedsawiony na rysunku.. Eap pierwszy polega na analizie graficznej szeregu i określeniu charakeru prawidłowości zmian poziomu badanego zjawiska w czasie. Eap en kończy się zaproponowaniem poencjalnej posaci funkcji rendu najlepiej dopasowanej do warości, kóre badana wielkość przyjmowała w kolejnych okresach, i określeniem sposobu wprowadzenia składnika losowego do modelu (addyywnego lub muliplikaywnego). Eap drugi polega na esymacji paramerów wybranej funkcji. W modelach liniowych oraz modelach, kóre można sprowadzić poprzez ransformację do posaci liniowej, sosuje się najczęściej klasyczną meodę najmniejszych kwadraów (KMNK). W eapie rzecim przeprowadzana jes weryfikacja modelu, polegająca na zbadaniu jego zgodności z danymi empirycznymi i z formułowanymi założeniami doyczącymi kszałowania się analizowanego zjawiska w czasie. Zagadnienie o zosanie szerzej omówione w rozdziale 4. W eapie czwarym dokonuje się predykcji. Zweryfikowany model może być wykorzysywany do prognozowania, przy założeniu, że posać analiyczna modelu oraz warości ocen jego paramerów, a akże rozkład składnika losowego nie ulegną zmianie w rozparywanym horyzoncie czasowym. Omówione eapy powinny być rakowane w sposób inegralny. 0

11 .. Specyfikacja W badaniach ekonomicznych można posłużyć się różnymi posaciami analiycznymi funkcji rendu f() w zależności od charakeru zmiennej prognozowanej, doychczasowego przebiegu jej realizacji oraz założeń co do przewidywanego kszałowania się ej zmiennej w przyszłości. Wybór posaci modelu jes jednym z rudniejszych eapów budowy modelu. Nie powsała do ej pory uniwersalna i w pełni obiekywna meoda wyboru. Wybór właściwego kszału funkcji jes kwesią inuicji badacza oraz rozeznania w rozwoju analizowanego zjawiska 6. Przy wyborze określonej posaci analiycznej modelu mającego opisać zależność danego zjawiska ekonomicznego od czasu częso korzysa się z wiedzy ekonomicznej o badanych prawidłowościach. Isnieją eorie ekonomiczne, kóre doyczą zachowania się gospodarki narodowej, rynku czy przedsiębiorsw, kóre mogą być podsawą sformułowania założenia, że pewna zależność może być w przybliżeniu opisana za pomocą funkcji o określonej posaci analiycznej. Na przykład, jeśli wiedza o badanym zjawisku wskazuje, że elasyczność zmiennej objaśnianej y względem zmiennej objaśniającej jes sała, o model powinien mieć posać poęgową 7. Częso wykorzysywaną procedurą określania posaci analiycznej rendu jes również meoda empiryczna. Meoda a polega na budowie kilku różnych modeli endencji rozwojowej i wyborze ego, kóry jes najlepiej dopasowany do danych empirycznych (szerzej w rozdziale 4). W lieraurze przedmiou doyczącej procedur określania posaci analiycznej rendu można spokać się również z meodą krzywych wzrosu, analizy dynamicznych własności równania rendu lub meodą uśrednionych gradienów 8. 6 T. Sanisz, Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 993, s E. Nowak, Zarys meod ekonomerii. Zbiór zadań, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 00, s T. Sanisz, Funkcje jednej zmiennej, op. ci., s. 87.

12 y y y y y y y y a) endencja wzrosowa, związek liniowy b) endencja spadkowa, związek liniowy c) endencja wzrosowa, przyspieszone empo wzrosu, związek nieliniowy, 0,8 0,6 0,4 0, d) endencja wzrosowa, malejące empo wzrosu, związek nieliniowy, 0,8 0,6 0,4 0, e) endencja wzrosowa, zmienne empo wzrosu (począkowo przyśpieszone empo wzrosu, później lekkie empo wzrosu), związek nieliniowy g) endencja malejąca, przyspieszone empo spadku, związek nieliniowy,5,5 0, f) endencja malejąca, malejące empo spadku, związek nieliniowy h) brak związku funkcyjnego między zmiennymi Rys... Typowe posacie związków między zmienną obserwowaną y a czasem Źródło: opracowanie własne.

13 Częso wyboru posaci analiycznej modelu dokonuje się, wykorzysując meodę graficzną. Począkowo szereg czasowy przedsawiany jes w układzie współrzędnych. Nasępnie dobór posaci modelu odbywa się na podsawie oceny wzrokowej rozsawienia punków, kóre odpowiadają wynikom obserwacji zmiennej y. Analiza wykresu, wspara znajomością przebiegu określonych funkcji, pozwala sformułować posać analiyczną funkcji rendu. Najczęściej spoykane posacie funkcji rendu zosały przedsawione na rysunku.. Analizując rysunki. (a) i (b) można zauważyć związek liniowy pomiędzy zmienną obserwowaną y a czasem. Z kolei na rysunkach. (c), (d), (e), (f) i (g) przedsawiono związki nieliniowe. Naomias na rysunku. (h) widoczny jes brak związku funkcyjnego między zmiennymi. Funkcje analiyczne o rosnącym empie wzrosu zosały przedsawione na rysunkach. (a), (c), (d) i (e), a o malejącym empie wzrosu na rysunkach. (b), (f) i (g). Najprosszą funkcją rendu jes funkcja liniowa: y, (.7) 0 gdzie: 0 wyraz wolny, paramer reprezenujący średni poziom zmiennej prognozowanej; współczynnik wyrażający przyros warości zmiennej prognozowanej w ciągu jednoski czasu (z okresu na okres)... Esymacja paramerów funkcji rendu Funkcja liniowa (parz rys..a) reprezenuje sały kierunek rozwoju danego zjawiska, określony przez współczynnik kierunkowy prosej. Graficzną posać funkcji liniowej wraz z inerpreacją jej paramerów przedsawiono na rysunku.3. 3

14 y + Rys..3. Graficzna prezenacja posaci funkcji liniowej Źródło: opracowanie własne na podsawie: A.D. Aczel, Saysyka w zarządzaniu, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 000, s. 46. Do szacowania paramerów modelu linowego można wykorzysać klasyczną meodę najmniejszych kwadraów (KMNK). Idea ej meody sprowadza się do akiego wyznaczenia warości oszacowań ˆ 0, ˆ, ˆ k paramerów 0,,... k, aby suma kwadraów odchyleń warości eoreycznych ŷ od warości empirycznych y była najmniejsza. Warunek en można zapisać w nasępujący sposób: n n y yˆ min, e (.8) gdzie: e bezwzględny błąd prognozy ex pos w okresie, y empiryczna warość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie, ŷ warość eoreyczna zmiennej y wyznaczona na momen lub okres. 4

15 Zasosowanie meody najmniejszych kwadraów wymaga przyjęcia nasępujących założeń 9 : ) szacowany model jes modelem liniowym, bądź sprowadzalnym do posaci liniowej; ) zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi o usalonych elemenach; 3) nie wysępuje zjawisko współliniowości zmiennych objaśniających; 4) składnik losowy ma warość oczekiwaną równą zeru i sałą skończoną wariancję; 5) nie wysępuje zjawisko auokorelacji składnika losowego, czyli zależność warości składnika losowego w czasie. Graficzną ilusrację idei wyznaczenia sumy kwadraów resz na podsawie znajomości resz modelu przedsawiono na rysunku.4. y dane empiryczne e prosa wyznaczona KMNK ˆ 0 y Rys..4. Graficzna prezenacja wyznaczania sumy kwadraów resz na podsawie znajomości resz modelu Źródło: opracowanie własne na podsawie: A.D Aczel, Saysyka w zarządzaniu, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 000, s E. Nowak, Zarys meod..., op. ci., s

16 Wyznaczając paramery 0 oraz klasyczną meodą najmniejszych kwadraów, orzymuje się oszacowania określone wzorami 0 : n _ y ˆ, (.9) n _ 0 ˆ y ˆ, (.0) gdzie: ˆ warość oszacowania parameru, ˆ 0 warość oszacowania parameru 0, zmienna czasowa, _ średnia arymeyczna wyznaczona dla zmiennej, y empiryczna warość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie, _ y średnia arymeyczna wyznaczona dla empirycznych warości zmiennej prognozowanej, przy czym: n _, (.) n n _ y y. (.) n Po oszacowaniu warości paramerów modelu j meodą najmniejszych kwadraów zaleca się sprawdzenie ich saysycznej isoności. Badanie o polega na wykonaniu esu -Sudena weryfikującego isoność parameru j. Jeżeli paramer j nie jes isonie różny od zera, o zmienna przy danym paramerze nie ma isonego wpływu na zmienną objaśnianą y. 0 M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze..., op. ci., s. 8. 6

17 Z uwagi na powszechność opisu i zasosowań esu -Sudena weryfikacja isoności paramerów modelu jes przedmioem wielu komplemenarnych podręczników (parz: Zeliaś i in. 003, s ) i dlaego eż w ym rozdziale przedsawiono ylko podsawowe wyjaśnienia doyczące ej kwesii. Zasady esymacji paramerów modelu meodą najmniejszych kwadraów zilusrowano przykładem.. Przykład.. Esymacja paramerów modelu meodą najmniejszych kwadraów Należy zbadać kszałowanie się wielkości produkcji energii elekrycznej w Polsce w laach Zebrane dane przedsawiono w abeli.. Tab... Dane doyczące produkcji energii elekrycznej w Polsce w laach Czas Produkcja energii elekrycznej [TWh] Źródło: opracowanie własne na podsawie Rocznika Saysycznego Przemysłu 0, dokumen elekroniczny hp:// daa wejścia Wykres przebiegu danych oraz linię opisującą endencję wzrosu produkcji energii elekrycznej w Polsce przedsawiono na rysunku.5. Tes zosał opracowany przez absolwena Oxfordu Williama Gossea na porzeby jednego z irlandzkich browarów z Dublina. Z uwagi na problemy publikacyjne Gosse przedsawił jego założenia w 908 roku w czasopiśmie Biomerika (vol. VI, no. ) pod pseudonimem Suden. Tes en ma zaem piwny, bardzo prakyczny i sudencki rodowód. 7

18 8 Rys..5. Produkcja energii elekrycznej w Polsce w laach Źródło: opracowanie własne. Tab... Obliczenia paramerów modelu meodą najmniejszych kwadraów y ( ) ( ) y -7,00 49,00-854, ,00 36,00-88, ,00 5,00-680, ,00 6,00-556, ,00 9,00-435, ,00 4,00-9, ,00,00-44, ,00 0,00 0, ,00,00 54, ,00 4,00 34,00 6 3,00 9,00 483, ,00 6,00 636, ,00 5,00 775, ,00 36,00 9, ,00 49,00 06,00 =8,000 y =47,867 Źródło: obliczenia własne. Σ 80,000 59,000

19 Na podsawie dekompozycji szeregu można zauważyć, że w szeregu czasowym badanej zmiennej wysępuje rosnąca endencja rozwojowa oraz wahania przypadkowe. Dokonując analizy graficznej, zauważono, że linia prosa będzie odpowiednio opisywała endencję wzrosu produkcji energii elekrycznej w Polsce w miarę upływu czasu. Niezbędne obliczenia pośrednie przedsawione są w abeli.. Korzysając z równań (.9) i (.0), orzymano nasępujące warości paramerów modelu: 59 ˆ,; 80 47,867, 8,00030,979. ˆ0 Oszacowane klasyczną meodą najmniejszych kwadraów paramery linowej funkcji rendu produkcji energii elekrycznej w Polsce można zaem przedsawić osaecznie w nasępujący sposób: ˆ y 30,979,. Warość oceny =, wskazuje, że w laach średni roczny przyros produkcji energii elekrycznej w Polsce wynosił, TWh..3. Predykcja Wyznaczenie prognozy, z wykorzysaniem modeli analiycznych, sprowadza się do obliczenia warości funkcji dla przyszłego momenu lub okresu czasu. Należy jednak dokonać pewnych isonych założeń, kórych przyjęcie określa sposób sporządzenia prognozy (eksrapolacja modelu) i ocenę jej jakości ex ane. Założenia e doyczą 3 : sabilności relacji srukuralnych w czasie, co oznacza, że posać analiyczna modelu oraz warości ocen jego paramerów nie ulegną zmianie w przedziale czasu, dla kórego wyznacza się prognozę; sabilności rozkładu składnika losowego, umożliwiającej ocenę błędu ex ane prognozy. A. Maciąg, R. Pieroń, S. Kukla, Prognozowanie i symulacje w przedsiębiorswie, Polskie Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa 03, s M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, op. ci., s. 8. 9

20 Przyjęcie powyższych założeń sanowi jednocześnie akcepację pasywnej posawy prognosy (szerzej w rozdziale 4) i jes zazwyczaj wykorzysywane przy budowie prognoz krókoerminowych. Prognozowanie na podsawie modelu endencji rozwojowej polega na eksrapolacji funkcji rendu. Oznacza o, że do modelu jako warość zmiennej czasowej podsawia się numer momenu lub okresu, na kóry wyznaczana jes prognoza 4 : y f ( ), n, (.3) gdzie: f () esymowana funkcja rendu. Przewidywaną produkcję energii elekrycznej w Polsce na kolejne laa można więc, wykorzysując równania (.7) i (.3) oraz oszacowane paramery 0 i, wyznaczyć w nasępujący sposób: = y 33, 09 y 30,979, = y y 30,979, 35,0 warości esymowane modelu, = 3 =6 =7 y y y 7 y 8 30,979, 3 37,3 30,979,6 64,76 30,979,7 66,87 =8 y 30,979,8 68, 98 prognozowana wielkość produkcji energii elekrycznej w Polsce. 4 Ibidem. 0

21 Zaem prognoza produkcji energii elekrycznej w Polsce, sporządzona na koniec 00 roku według zaproponowanego modelu, na rok 0 wynosi 64,76 TWh, na rok 0 66,87 TWh, naomias na rok 03 68,98 TWh. Wyniki obliczeń umieszczono w abeli.3. Tab..3. Warości eoreyczne i prognozy produkcji energii elekrycznej w Polsce Laa Produkcja energii elekrycznej [TWh] y Model i prognoza produkcji energii elekrycznej [TWh] , , , , , , , , , , , , , , , , , ,98 Źródło: obliczenia własne. y

22 produkcja i prognzoa produkcji energii elekrycznej w Polsce [TWh] Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozę produkcji energii elekrycznej w Polsce przedsawiono na rysunku y =30,979+, warości rzeczywise warości modelu prognoza Rys..6. Warości rzeczywise oraz warości modelu i prognoza produkcji energii elekrycznej w Polsce w laach Źródło: opracowanie własne. czas [rok] Na podsawie analizy wizualnej przebiegów przedsawionych na wykresie.6 można swierdzić, że funkcja liniowa o równaniu y 30,979, dosyć dobrze odzwierciedla dane rzeczywise..4. Nieliniowe funkcje rendu W opisie zjawisk ekonomicznych, przy kórych sosowanie liniowych funkcji rendu słabo odzwierciedla rzeczywisy przebiegu ych zjawisk, można skorzysać z innych analiycznych posaci funkcji rendu. W ym rozdziale zosaną przedsawione funkcje nieliniowe, kóre po pewnych przekszałceniach można sprowadzić do posaci liniowej względem paramerów modelu. Omówione zosaną funkcje o przyśpieszonym empie wzrosu, funkcje o malejącym empie wzrosu oraz funkcje o zmiennym empie wzrosu (logisyczne).

23 Nieliniowy związek między zmiennymi i paramerami funkcji uniemożliwia bezpośrednie sosowanie klasycznej meody najmniejszych kwadraów do esymacji paramerów ych funkcji. Dlaego eż w celu uzyskania liniowej posaci modelu i szacowania paramerów meodą najmniejszych kwadraów należy dokonać pewnych ransformacji 5. Oprócz meody najmniejszych kwadraów do szacowania paramerów regresji można wykorzysywać inne meody, akie jak na przykład minimalizowanie sumy bezwzględnych warości odchyleń. Jednak KMNK jes najczęściej wykorzysywaną meodą dopasowania linii prosej do wyników obserwacji Funkcje nieliniowe o przyspieszonym empie wzrosu Do najczęściej sosowanych w opisie zjawisk ekonomicznych posaci funkcji nieliniowych o przyśpieszonym empie wzrosu należą: funkcja poęgowa, funkcja wykładnicza, wielomian sopnia drugiego. Funkcja poęgowa o przyspieszonym empie wzrosu wyrażona jes nasępującym równaniem: 0, y. (.4) Podsawową własnością ej funkcji jes sała elasyczność zmiennej y względem zmiennej. Powinna być ona wykorzysywana do opisu endencji rozwojowych, kóre w układzie współrzędnych logarymicznych wykazują przebieg linowy 7. Przebieg funkcji poęgowej dla > przedsawiono na rysunku.7. 5 M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, op. ci., s A.D. Aczel, Saysyka w zarządzaniu, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 000, s P. Diman, Prognozowanie w przedsiębiorswie, Meody i ich zasosowanie, Wolers Kluwer, Kraków 009, s

24 Rys..7. Graficzna reprezenacja funkcji poęgowej ( ; 3 ) Źródło: opracowanie własne. 0 Funkcja poęgowa znajduje bardzo szerokie zasosowanie w analizie rynku przy badaniu popyu na dobra nowe, kóre znajdują się w fazie rozpowszechniania. Sprowadzając funkcję poęgową do posaci liniowej, należy dokonać przekszałceń, kóre w przypadku funkcji poęgowej polegają na zlogarymowaniu obu sron równania (.4): ln y ln 0 ln. (.5) Nasępnie należy dokonać nasępujących podsawień: y ' ln y, (.6) ' 0 ln 0, (.7) ' ln. (.8) W wyniku powyższych operacji powsaje model liniowy: ' ' 0 ' y. (.9) 4

25 Ocenę parameru 0 orzymuje się poprzez delogarymowanie 8 : exp 0, ' 0 (.0) przy czym: n _ ' ' y ', (.) _ n ' ' ' 0 ' y' '. (.) Kolejnymi omawianymi funkcjami nieliniowymi o przyśpieszonym empie wzrosu są funkcje wykładnicze mające posać: lub 0, y (.3), o y e 0. (.4) Funkcje e wykorzysywane są w syuacjach, w kórych empo wzrosu danej wielkości jes sałe, na przykład w badaniu dynamiki dochodu narodowego, w analizie rynku (przy badaniu popyu na dobra nowe, > ). Właściwością ych funkcji jes sopa wzrosu wynosząca ln i 9. Przebieg funkcji wykładniczej o równaniach (.3) i (.4) dla 0 > i > 0 przedsawiono na rysunku.8. 8 M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, op. ci., s Ibidem, s

26 y y y y ; 3,E+0 3,E ,E+0,E+0 y e o, 0 y 4000,E ,E ,E Rys..8. Graficzna reprezenacja funkcji wykładniczej ( ; 3 ) Źródło: opracowanie własne. 0 Dokonując ransformacji funkcji wykładniczej w celu uzyskania liniowej posaci modelu, należy dokonać nasępujących przekszałceń: ln y ln 0 ln, (.5) ' y y ln, (.6) ' 0 ln 0, (.7) ' ln. (.8) W wyniku powyższych operacji powsaje model zlinearyzowany: ' y ' 0 '. (.9) Przykładem funkcji o rosnącym empie wzrosu jes również wielomianu sopnia drugiego o równaniu: y 0. (.30) 0, Funkcja a bardzo częso jes sosowana w badaniach ekonomiczno-rolniczych do wyjaśniania przyrosów wielkości produkcji w zależności od poziomu nakładów maeriałowych oraz do znajdowania opymalnego poziomu ych nakładów 0. Zaleą ej funkcji jes duża elasyczność, kóra wynika z uwzględniania w równaniu rzech paramerów. Dzięki emu 0 P. Diman, Prognozowanie w przedsiębiorswie, op. ci., s. 4. Ibidem, s

27 7 funkcja a może lepiej odzwierciedlać nieliniowe endencje rozwojowe. Przebieg wielomianu drugiego sopnia przedsawiono na rysunku.9. Rys..9. Graficzna reprezenacja wielomianu drugiego sopnia ( 3 ; ; 0 ) Źródło: opracowanie własne. Paramery 0,, można oszacować przez rozwiązanie nasępującego układu równań :.,, n n n n n n n n n n n y y n y (.3) M. Sobczyk, Prognozowanie, Place, Warszawa 008, s y y,

28 8 Przy czym 3 :, ) ( n n n (.3), 6 ) )( ( n n n n (.33), ) ( 3 n n n (.34), ) )( ( 4 n n n n n n (.35) gdzie: n długość szeregu czasowego. Paramery 0,, można eż oszacować, rozwiązując nasępujące równania 4 :. ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) ( n n n n n n n y y n y (.36) gdzie: _ średnia arymeyczna obliczona z numerów jednosek n n _. Wymienione wyżej funkcje analiyczne (poęgowa, wykładnicza i wielomian sopnia drugiego) mogą być odpowiednie do konsrukcji prognoz krókoerminowych. Eksrapolacja ych funkcji na zby długie 3 Ibidem, s Ibidem, s. 59.

29 okresy przyczynia się do zwiększenia ryzyka budowy prognoz obarczonych dużymi błędami. Związane o jes z fakem, że założenia o przyspieszonym empie wzrosu nie mogą urzymać się w dłuższym okresie 5. W dalszej części niniejszego rozdziału zosały przedsawione przykłady oszacowania paramerów wybranych funkcji analiycznych o rosnącym empie wzrosu. Na podsawie danych empirycznych przedsawionych w posaci jednowymiarowego szeregu czasowego (ab..4) wykonana zosanie esymacja paramerów funkcji poęgowej, wykładniczej i wielomianu sopnia drugiego. Tab..4. Dane doyczące produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce w laach Czas Produkcja odbiorników elewizyjnych [ys. sz.] Źródło: opracowanie własne na podsawie Rocznika Saysycznego Przemysłu 0, dokumen elekroniczny hp:// daa wejścia Wykres rozproszenia danych doyczących produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce w laach przedsawiono na rysunku.0. Na podsawie rozrzuu punków przedsawionych graficznie na rysunku.0 można zauważyć, że w miarę upływu czasu wzros warości zmiennej jes coraz szybszy. W akim wypadku do przybliżenia szeregu należy zasosować funkcję o rosnącym empie wzrosu. Począkowo jako model endencji rozwojowej wykorzysano funkcję poęgową (przykł..), w kolejnych przykładach zasosowano funkcję wykładniczą (przykł..3) oraz wielomian sopnia drugiego (przykł..4). 5 M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, op. ci., s

30 produkcja odbiorników elewizyjnych w Polsce [ys.szuk] produkcja odbiorników elewizyjnych Rys..0. Produkcja odbiorników elewizyjnych w Polsce w laach Źródło: opracowanie własne. Przykład.. Oszacowanie paramerów funkcji o rosnącym empie wzrosu funkcja poęgowa Z rozważań z rozdziału.4. wynika, że funkcja poęgowa o równaniu y 0 ; powinna dobrze opisywać endencję do przyspieszonego wzrosu produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce. W celu oszacowania paramerów funkcji poęgowej dokonano jej linearyzacji. Korzysając z równań (.0), (.) i (.) na esymaory KMNK paramerów modelu oraz obliczeń pośrednich umieszczonych w abeli.5, orzymano nasępujące warości:,544,465; 8,56 ' 0 8,583,465,860 5,858; exp ' ,0. czas [rok] 30

31 Niezbędne pośrednie obliczenia do rozwiązania zadania zosały umieszczone w abeli.5. Tab..5. Obliczenia paramerów modelu klasyczną meodą najmniejszych kwadraów y y ' ' 900 0,00 6,80 -,86 3,46 -, ,69 6,4 -,7,36-7, ,0 6,6-0,76 0,58-5, ,39 7,04-0,47 0, -3, ,6 8,75-0,5 0,06 -, ,79 8,9-0,07 0,00-0, ,95 8,96 0,09 0,0 0, ,08 8,83 0, 0,05, ,0 8,86 0,34 0,, ,30 8,8 0,44 0,0 3,90 947,40 9,5 0,54 0,9 4,9 5936,48 9,68 0,6 0,39 6, ,56 9,78 0,70 0,50 6, ,64 9,98 0,78 0,6 7, ,7 0,7 0,85 0,7 8,6 =,860 y =8,583 Źródło: obliczenia własne. y Σ 8,56,544 Oszacowana meodą najmniejszych kwadraów funkcja poęgowa opisująca produkcję odbiorników elewizyjnych Polsce ma nasępującą posać:, 465 yˆ 0 350,0. Prognozę produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce na 0, 0 i 03 rok (=6, 7, 8) można wyznaczyć w nasępujący sposób: 6 y 7 y 8 y 350,06 350,07 350,08,465,465, ,79; 7,99; 458,57. 3

32 produkcja oraz prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce [ys. szuk] Zaem prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce w 0 roku wyniesie 0 39,79 ys. szuk, w 0 roku około 8 ys. szuk, naomias w 03 roku prognozowana produkcja będzie się kszałowała na poziomie 4 58,57 ys. szuk warości rzeczywise warości modelu prognoza y =350,0,465 czas [rok] 3 Rys... Warości rzeczywise oraz warości modelu i prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce wyznaczona z wykorzysaniem funkcji nieliniowej poęgowej Źródło: opracowanie własne. Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozę produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce wyznaczoną z wykorzysaniem funkcji poęgowej przedsawiono na rysunku.. Przykład.3. Oszacowanie paramerów funkcji o rosnącym empie wzrosu funkcja wykładnicza Na podsawie analizy warości szeregu czasowego (ab..4), jak i wzrokowej oceny przebiegu zmiennej przedsawionej na rysunku.0 w przykładzie. zauważano, że do budowy modelu analiycznego można również wykorzysać funkcję wykładniczą o równaniu y. 0, 0

33 W celu oszacowania paramerów funkcji wykładniczej sprowadzono ją do posaci liniowej względem paramerów zgodnie z przedsawionymi wcześniej zasadami ransformacji. Korzysając z równań (.5-.9), oszacowano nasępujące warości paramerów zlinearyzowanej posaci modelu ', ' 0 oraz posaci pierwonej, 0 : ' 7,96 0,58; 80,000 ' 0 8,5830,588,000 6,59; exp ',94; exp ' ,900. Obliczenia pośrednie niezbędne do oszacowania warości ww. paramerów modelu wykładniczego zawaro w abeli.6. Tab..6. Obliczenia paramerów modelu meodą najmniejszych kwadraów y y y ' 900 6,80-7,00 49,00-47,6 60 6,4-6,00 36,00-38, ,6-5,00 5,00-33, ,04-4,00 6,00-8, ,75-3,00 9,00-6, ,9 -,00 4,00-7, ,96 -,00,00-8, ,83 0,00 0,00 0, ,86,00,00 8, ,8,00 4,00 7, ,5 3,00 9,00 7, ,68 4,00 6,00 38, ,78 5,00 5,00 48, ,98 6,00 36,00 59, ,7 7,00 49,00 7,8 =8,000 y 8, 583 Σ 80,000 7,96 Źródło: obliczenia własne. 33

34 produkcja oraz prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce [ys. szuk] Po oszacowaniu meodą najmniejszych kwadraów paramerów modelu bazującego na wykładniczej posaci funkcji rendu można jego posać przedsawić w nasępujący sposób: yˆ 0 677,900,94. Funkcja a opisuje wielkość produkcji odbiorników elewizyjnych Polsce w laach Prognozę produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce na 0, 0 i 03 rok ( = 6, 7, 8) można wyznaczyć w nasępujący sposób: 6 y 7 y 8 y 677,900,94 677,900,94 677,900, ,; 54447,9; 70474,06. Zaem prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce w 0 roku wyniesie 4 066, ys. szuk, w 0 roku około ys. szuk, naomias w 03 roku prognozowana produkcja będzie się kszałowała na poziomie ,06 ys. szuk warości rzeczywise warości modelu prognoza y =677,9(,94 ) czas [rok] Rys... Warości rzeczywise oraz warości modelu i prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce wyznaczona z wykorzysaniem funkcji wykładniczej Źródło: opracowanie własne. 34

35 Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozę produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce wyznaczoną z wykorzysaniem funkcji wykładniczej przedsawiono na rysunku.. Analizując wizualnie wykresy zmiennych przedsawione na rysunku. można zauważyć, że wykorzysywana funkcja wykładnicza o równaniu y 677,900, 94 jes dosyć dobrze dopasowana do warości rzeczywisych badanej zmiennej. Przykład.4. Oszacowanie paramerów funkcji o rosnącym empie wzrosu wielomian sopnia drugiego Przedsawiona na rysunku.0 endencja do przyśpieszonego wzrosu produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce może być opisana również przez wielomian sopnia drugiego o równaniu (.30). Paramery 0,, zosały oszacowane przez rozwiązanie omówionego wcześniej układu równań (.3) oraz (.3-.35). Szacując: n n( n ) 5(5) 0, n n( n )(n ) 5(5)(30) 40, 6 6 n n 3 4 n( n ) 5(5) n( n )(n ) 3n 6 5(5)(30) 3(5) 6 3n , 3(5) Po rozwiązaniu układu równań (.3) orzymano nasępujące oszacowania paramerów modelu analiycznego: 898,409; 0 43,; 6,8. 35

36 produkcja oraz prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce [ys. szuk] Oszacowany model można zaem przedsawić nasępująco: ˆ 898,409 43, 6,8. y Prognozę produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce na 0, 0 i 03 rok ( = 6, 7, 8), wykorzysując powyższy model, można wyznaczyć w nasępujący sposób: 6 y 7 y 8 y 898,409 43,66,86 898,409 43,76,87 898,409 43,86, ,89; 35,47; 35547,68. Zaem prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce w 0 roku wyniesie 7 750,89 ys. szuk, w 0 roku około 3 5,47 ys. szuk, naomias w 03 roku prognozowana produkcja będzie się kszałowała na poziomie ,68 ys. szuk. Wykres warości rzeczywisych i warości modelu oraz prognozę produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce wyznaczoną z wykorzysaniem wielomianu sopnia drugiego przedsawiono na rysunku y =898,409-43,+6,8 warości rzeczywise warości modelu prognoza czas [rok] Rys..3. Warości rzeczywise oraz warości modelu i prognoza produkcji odbiorników elewizyjnych w Polsce wyznaczona z wykorzysaniem wielomianu sopnia drugiego Źródło: opracowanie własne. 36

37 Analizując wizualnie wykres zmiennej przedsawiony na rysunku.3, można zauważyć, że wykorzysany do budowy modelu analiycznego wielomian drugiego sopnia o równaniu yˆ 898,409 43, 6,8 poprawnie odzwierciedla dane rzeczywise, j. podąża za zmianami zmiennej prognozowanej y..4.. Funkcje nieliniowe o malejącym empie wzrosu Funkcje o malejącym empie wzrosu znajdują zasosowanie w przypadku, gdy wzros warości zmiennej prognozowanej przebiega coraz wolniej i zdąża do pewnego poziomu. Doyczy o na przykład syuacji względnego nasycenia rynku. Wśród możliwych do zasosowania funkcji opisujących coraz wolniejszy wzros warości zmiennej prognozowanej można wymienić: funkcję poęgową, funkcję logarymiczną, funkcję liniowo-odwronościową, funkcję ilorazową, wielomian odwronościowy, wielomian sopnia drugiego. Przebieg przykładowej funkcji poęgowej o malejącym empie wzrosu opisanej równaniem: y 0 (.37) 0, przedsawiono na rysunku.4. 37

38 4,00 3,50 y ; y Rys..4. Graficzna reprezenacja funkcji poęgowej ( 0 ; 0, 5 ) Źródło: opracowanie własne. Dokonując ransformacji funkcji poęgowej w celu uzyskania liniowej posaci modelu, należy dokonać przekszałceń, kóre w wypadku ej funkcji polegają na zlogarymowaniu obu sron równania (.37) i zasosowaniu nasępujących podsawień: ln y ln 0 ln, (.38) ' y y ln, (.39) ' 0 ln 0, (.40) ' ln. (.4) W wyniku powyższych operacji powsaje model liniowy: ' 3,00,50,00,50,00 0,50 0,00 ' ' y. (.4) Ocenę parameru 0 orzymuje się poprzez delogarymowanie 6 : exp 0. ' 0 (.43) 6 Ibidem, s

39 Z kolei funkcję logarymiczną można określić nasępującym równaniem: y 0 ln, 0. (.44) Przebieg przykładowej funkcji logarymicznej przedsawiono na rysunku.5. y 0,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 y ln; Rys..5. Graficzna reprezenacja funkcji logarymicznej ( 0 ; 3 ) Źródło: opracowanie własne. Funkcja logarymiczna należy do funkcji sprowadzalnych do posaci liniowej względem paramerów. W celu uzyskania liniowej posaci modelu analiycznego bazującego na logarymicznej posaci funkcji rendu należy dokonać nasępującego przekszałcenia: ' ln. (.45) W wyniku powyższej operacji powsaje model liniowy: ' 0, y 0. (.46) Kolejną funkcją nieliniową o malejącym empie wzrosu jes funkcja liniowo-odwronościowa: y 0, 0. (.47) 39

40 Przebieg przykładowej funkcji liniowo-odwronościowej przedsawiono na rysunku.6. Rys..6. Graficzna reprezenacja funkcji liniowo-odwronościowej ( 0 ; 0, 5 ) Źródło: opracowanie własne. Dokonując ransformacji funkcji liniowo-odwronościowej w celu uzyskania liniowej posaci modelu, należy dokonać nasępujących przekszałceń: '. (.48) W wyniku powyższej operacji powsaje model liniowy: ' 0, y 0. (.49) Do funkcji nieliniowych o malejącym empie wzrosu można również zaliczyć funkcję ilorazową przedsawioną równaniem: y, 0, 0 0. (.50) 40

41 Przebieg przykładowej funkcji ilorazowej przedsawiono na rysunku.7.,0,00 0,80 y y 0,60 0,40 y )/( ;, 0,0 0, Rys..7. Graficzna reprezenacja funkcji ilorazowej ( 0 ; 0, 5 ) Źródło: opracowanie własne. Dokonując ransformacji funkcji ilorazowej w celu uzyskania liniowej posaci modelu należy dokonać nasępujących przekszałceń: ' y, (.5) y ' 0, (.5) 0 ', (.53) 0 '. (.54) W wyniku powyższych operacji powsaje model liniowy: ' y ' 0 ' '. (.55) 4

42 y Ocenę paramerów 0 i orzymuje się poprzez nasępujące przekszałcenie odwronościowe 7 : 0, (.56) ' 0 ' 0. (.57) Wśród funkcji nieliniowych o malejącym empie wzrosu można akże wyróżnić wielomian odwronościowy, kóry da się przedsawić w posaci podanego poniżej równania: 0, y. (.58) Naomias przebieg przykładowej funkcji wielomianu odwronościowego przedsawiono na rysunku.8. 3,50 3,00,50,00 y,50,00 0,50 0,00 y - -, Rys..8. Graficzna reprezenacja wielomianu odwronościowego ( ; 0,; 3 ) 0 3 Źródło: opracowanie własne. 7 M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, op. ci., s

43 y Osanią omawianą funkcją analiyczną o malejącym empie wzrosu jes wielomian sopnia drugiego (parabola). Wyrażony jes on równaniem: 0, y 0. (.59) Przebieg przykładowej funkcji wielomianu sopnia drugiego przedsawiono na rysunku.9. 40,00 0,00 00,00 80,00 y 60,00 40,00 y, 0,00 0, Rys..9. Graficzna reprezenacja wielomianu sopnia drugiego ( ; 6; 0, 5 ) 0 Źródło: opracowanie własne. Paramery 0,, można oszacować przez rozwiązane układu równań (.3-.35) lub (.36). Przedsawiając en rodzaj funkcji rendu, waro wspomnieć, że prognozowanie na podsawie funkcji o malejącym empie wzrosu jes obarczone na ogół mniejszym ryzykiem wysąpienia błędów niż w przypadku funkcji o przyśpieszonym empie wzrosu. W dalszej części niniejszego rozdziału, dla ych samych danych doyczących liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery, przedsawiono przykłady oszacowania paramerów wybranych funkcji analiycznych o malejącym empie wzrosu. 43

44 liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] Na podsawie danych empirycznych przedsawionych w abeli.7 w posaci szeregu czasowego zidenyfikowano adekwaną posać funkcji oraz oszacowano warości jej paramerów meodą najmniejszych kwadraów. Tab..7. Dane doyczące liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] w laach Czas Liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery 5,0 36,30 40,0 45,40 53,70 58,90 66,0 69,00 7,30 73,40 Źródło: opracowanie własne na podsawie rocznych wskaźników makroekonomicznych, dokumen elekroniczny hp:// daa wejścia Wykres danych doyczących liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] w laach przedsawiono na rysunku.0. 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [%] Rys..0. Liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce w laach [% ogółu gospodarsw domowych] Źródło: opracowanie własne. czas [rok] 44

45 Na podsawie oceny wzrokowej szeregu przedsawionego na rysunku.0 można zauważyć, że począkowo szybki wzros warości zmiennej w miarę upływu czasu jes coraz wolniejszy. W akim wypadku do oszacowania paramerów należy zasosować jedną z funkcji o malejącym empie wzrosu. W celu wybrania najbardziej adekwanej posaci modelu i funkcji na wsępnym eapie prac prognosycznych wykorzysano funkcję poęgową (przykł..5), w kolejnych krokach do szacowania paramerów funkcji zasosowano bardziej złożone funkcje, j. logarymiczną (przykł..6), liniowo-odwronościową (przykł..7), ilorazową (przykł..8) i wielomian sopnia drugiego (przykł..9). Przykład.5. Oszacowanie paramerów funkcji o malejącym empie wzrosu funkcja poęgowa Funkcja poęgowa o równaniu y 0 0 powinna dobrze opisywać endencję do malejącego wzrosu liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery. W celu oszacowania paramerów funkcji poęgowej dokonano linearyzacji funkcji poęgowej. Korzysając z równań ( ), orzymano nasępujące warości paramerów modelu:,39 0,48; 4,836 ' 0 3,937 0,48,50 3,09; exp ' 0 0 4,754. Niezbędne pośrednie obliczenia wykorzysane do oszacowania warości paramerów modelu umieszczono w abeli.8. 45

46 Tab..8. Obliczenia paramerów modelu meodą najmniejszych kwadraów Rok y ' ' y ' ' ' y ' 003 5,0 0,00 3, -,5,8-4, ,30 0,69 3,59-0,8 0,67 -, ,0,0 3,69-0,4 0,7 -, ,40,39 3,8-0, 0,0-0, ,70,6 3,98 0,0 0,0 0, ,90,79 4,08 0,8 0,08, ,0,95 4,9 0,44 0,9, ,00,08 4,3 0,57 0,3, ,30,0 4,7 0,69 0,47, ,40,30 4,30 0,79 0,63 3,40,50 y 3, 937 Σ 4,836,39 Źródło: obliczenia własne. Po oszacowaniu klasyczną meodą najmniejszych kwadraów paramerów funkcji można ją przedsawić w posaci funkcji rendu o malejącym empie wzrosu za pomocą podanej poniżej zależności: 0, 48 yˆ 0 4,754. Prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery na 03 (=), 04 (=) i 05 rok (=3) można wyznaczyć w nasępujący sposób:,, 3, y y 3 y 4,754 4,754 4,7543 0,48 0,48 0,48 78,63; 8,00; 85,3. Zaem prognoza liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery, wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych, dla 03 roku wynosi 78,63%, 04 roku 8,00% a dla 05 roku 85,3%. Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozę liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce (wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych) wyznaczoną z wykorzysaniem funkcji poęgowej przedsawiono na rysunku.. 46

47 liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] ,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 y =4,754( 0,48 ) warości rzeczywise warości modelu prognoza czas [rok] Rys... Warości rzeczywise oraz warości modelu i prognoza liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce (wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych) wyznaczona z wykorzysaniem funkcji poęgowej Źródło: opracowanie własne. Analizując wizualnie przebiegi przedsawione na rysunku., można dosrzec, że warości modelu wyznaczone z wykorzysaniem funkcji poęgowej są zbieżne w dużym sopniu z warościami zaobserwowanymi. Zaem model zbudowany z wykorzysaniem funkcji poęgowej o równaniu yˆ 4,754 dobrze odzwierciedla zmiany warości rzeczywi- 0,48 sych badanej zmiennej. Przykład.6. Oszacowanie paramerów funkcji o malejącym empie wzrosu funkcja logarymiczna Analizując zmiany warości i sposób kszałowania się zmiennej zaprezenowane w abeli.7 oraz na rysunku.0, swierdzono, że do budowy modelu prognosycznego można wykorzysać również funkcję logarymiczną. W celu oszacowania paramerów funkcji logarymicznej dokonano jej linearyzacji zgodnie z podanymi wcześniej zasadami ransformacji. W abeli.9 umieszczono obliczenia pośrednie, niezbędne do oszacowania warości paramerów modelu. 47

48 Tab..9. Obliczenia paramerów modelu meodą najmniejszych kwadraów 48 Rok y ' ' ' ' y 003 5,0 0,00 -,5,8-37, ,30 0,69-0,8 0,67-9, ,0,0-0,4 0,7-6, ,40,39-0, 0,0-5, ,70,6 0,0 0,0 5, ,90,79 0,8 0,08 6, ,0,95 0,44 0,9 8, ,00,08 0,57 0,3 39, ,30,0 0,69 0,47 49, ,40,30 0,79 0,63 58,8 Źródło: obliczenia własne. y 53,930, 50 Σ 4,836 07,550 Korzysając z równań (.45) i (.46) oraz wyników obliczeń pomocniczych umieszczonych w abeli.9, orzymano nasępujące warości paramerów modelu: 07,550 4,836,40; 53,930,40,50 0, Oszacowane klasyczną meodą najmniejszych kwadraów paramery funkcji rendu w wypadku analizowanej zmiennej można przedsawić za pomocą nasępującej zależności: ˆ ln 0,348,40ln. y 0 Prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce na 03, 04 i 05 rok (=,, 3) można wyznaczyć w nasępujący sposób: y y 3 y 0,348,40ln 73,68; 0,348,40ln 75,6; 0,348,40ln3 77,39. Zaem prognoza liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery, wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych,

49 liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] dla 03 roku wynosi około 73,68%, dla 04 roku kszałuje się na poziomie 75,64%, a dla 05 roku na poziomie 77,39%. Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognoza liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce (wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych) wyznaczona z wykorzysaniem funkcji nieliniowej logarymicznej zosała przedsawiona na rysunku.. 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 warości rzeczywisa warości modelu prognzozy y =0,348+,40ln Rys... Warości rzeczywise oraz warości modelu i prognoza liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce (wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych) wyznaczona z wykorzysaniem funkcji logarymicznej Źródło: opracowanie własne. czas [rok] Analizując wizualnie przebiegi eoreyczne i empiryczne zmiennej przedsawione na rysunku. można zauważyć, że analiyczny model zbudowany z wykorzysaniem funkcji logarymicznej o równaniu y 0,348,40ln dobrze odzwierciedla zmiany warości rzeczywisych. 49

50 Przykład.7. Oszacowanie paramerów funkcji o malejącym empie wzrosu funkcja liniowo-odwronościowa Przedsawiona na wykresie.0 endencja do malejącego empa wzrosu liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery może być opisana akże przez funkcję liniowo-odwronościową o równaniu (.47). W celu uzyskania liniowej posaci funkcji liniowo-odwronościowej dokonano przekszałcenia (.48). Korzysając z równań (.47), (.48) i (.49), orzymano nasępujące warości paramerów modelu: 50 36,6 0,69 5,56; 0 53,930 5,560,93 69,4. Obliczenia pośrednie niezbędne do oszacowania warości paramerów ww. modelu zamieszczono w abeli.0. Tab..0. Obliczenia paramerów modelu klasyczną meodą najmniejszych kwadraów Rok y ' ' ' y 003 5,0,00 0,7 0,50 7, ,30 0,50 0, 0,04 7, ,0 0,33 0,04 0,00, ,40 0,5-0,04 0,00 -, ,70 0,0-0,09 0,0-4, ,90 0,7-0,3 0,0-7, ,0 0,4-0,5 0,0-9, ,00 0,3-0,7 0,03 -, ,30 0, -0,8 0,03 -, ,40 0,0-0,9 0,04-4,7 y = 53,930 = 0,93 Σ 0,69-36,6 Źródło: obliczenia własne. Po oszacowaniu klasyczną meodą najmniejszych kwadraów paramerów funkcji posać modelu analiycznego można przedsawić w nasępujący sposób: 5, ,4. yˆ

51 liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] Prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych na 03, 04 i 05 rok ( =,, 3) można wyznaczyć w nasępujący sposób: y y 3 y 5,56 69,4 64,49; 5,56 69,4 64,89; 5,56 69,4 65,. 3 Zaem prognoza liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery, wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych, dla 03 roku wynosi około 64,49%, dla 04 roku kszałuje się na poziomie 64,89%, a dla roku 05 na poziomie 65,%. 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 warości rzeczywise warości modelu prognoza y =69,4-(5,56/) 0,00 Rys..3. Warości rzeczywise, warość modelu oraz prognoza liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce wyznaczona z wykorzysaniem funkcji liniowo-odwronościowej (wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych) Źródło: opracowanie własne. czas [rok] Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery 5

52 (wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych) wyznaczoną z wykorzysaniem funkcji nieliniowej liniowo-odwronościowej przedsawiono na rysunku.3. Analizując rysunek, można zauważyć, że wykorzysana do budowy modelu analiycznego funkcja liniowo-odwronościowa nie odzwierciedla poprawnie danych rzeczywisych, j. nie podąża za zmianami zmiennej prognozowanej y. Przykład.8. Oszacowanie paramerów funkcji o malejącym empie wzrosu funkcja ilorazowa Na podsawie podobnych jak poprzednio przesłanek założono, że endencja rozwojowa o malejącym empie wzrosu, przedsawiona na wykresie.0, może być również odzwierciedlona za pomocą funkcji ilorazowej. W celu oszacowania paramerów funkcji ilorazowej dokonano licznych przekszałceń. Korzysając z równań (.5-.54), (.55) i ( ), orzymano nasępujące warości paramerów analiycznego modelu: ' 0,00 0,09; 0,69 ' 0 0,0 0,090,93 0,03; 0 76,93; ' 0 0,03 ' 0 76,930,09,3. Podobnie jak w poprzednich przykładach, obliczenia pośrednie niezbędne do oszacowania warości paramerów modelu umieszczono w abeli.. 5

53 Tab... Obliczenia paramerów modelu meodą najmniejszych kwadraów Rok y y ' ' ' y ' 003 5,0,00 0,04 0,7 0,50 0, ,30 0,50 0,03 0, 0,04 0, ,0 0,33 0,0 0,04 0,00 0, ,40 0,5 0,0-0,04 0,00-0, ,70 0,0 0,0-0,09 0,0-0, ,90 0,7 0,0-0,3 0,0-0, ,0 0,4 0,0-0,5 0,0-0, ,00 0,3 0,0-0,7 0,03-0, ,30 0, 0,0-0,8 0,03-0, ,40 0,0 0,0-0,9 0,04-0,003 Źródło: obliczenia własne. = 0,93 y = 0,0 Σ 0,69 0,00 Po oszacowaniu paramerów funkcji rendu o malejącym empie wzrosu, wyrażonego za pomocą funkcji ilorazowej, posać modelu analiycznego można przedsawić w nasępujący sposób: 76,93 ˆ 0 y.,3 Prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych na rok 03, 04 i 05 ( =,, 3) można wyznaczyć w nasępujący sposób: y y 3 y 76,93 63,95;,3 76,93 64,86;,3 76,933 65,66.,33 Zaem prognoza liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery w 03 roku wynosi około 63,95%, naomias 53

54 liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] dla 04 roku kszałuje się na poziomie 64,86%, a dla roku 05 na poziomie 65,66%. Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery (wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych) wyznaczoną z wykorzysaniem funkcji nieliniowej ilorazowej przedsawiono na rysunku.4. Analizując wykres, można swierdzić, że wykorzysana do budowy modelu analiycznego funkcja ilorazowa o równaniu yˆ nie od-, 3 76, 93 zwierciedla poprawnie danych rzeczywisych, j. nie podąża za zmianami zmiennej prognozowanej y. 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 warości rzeczywsie warości modelu prognoza y =(76,93)/(,3+) Rys..4. Warości rzeczywise, warości modelu oraz prognoza liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce wyznaczona z wykorzysaniem funkcji ilorazowej (wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych) Źródło: opracowanie własne. czas [rok] Przykład.9. Oszacowanie paramerów funkcji o malejącym empie wzrosu wielomian sopnia drugiego Analizując dane zebrane w abeli.7 i zobrazowane na rysunku.0, swierdzono, że specyfikę endencji rozwojowej o malejącym empie wzrosu można odzwierciedlić akże za pomocą funkcji o posaci wielomianu sopnia drugiego. Wyniki oceny wzrokowej przebiegu zmiennej 54

55 uzasadniają dalszy eap prac nad budowa modelu, j. esymację paramerów wybranej posaci funkcji. Paramery 0,, zosały wyznaczone przez rozwiązane równań (.3-.35). Przy czym: n n n n 3 4 n( n ) 0(0) 55, n( n )(n ) 0(0)(0) 385, 6 6 n( n ) 5(5) n( n )(n ) 3n 6 0(0)(0) 3(0) 6 305, 3n 5 3(0) Warości pomocnicze, niezbędne do oszacowania paramerów,, umieszczono w abeli.. 0, Tab... Obliczenia pomocnicze Rok y y y 003 5,0 5,0 5, ,30 7,60 45, ,0 0,30 360, ,40 8,60 76, ,70 68,50 34, ,90 353,40 0, ,0 46,70 338, ,00 55,00 446, ,30 64, , ,40 734, ,00 Σ 539,30 34, ,70 Źródło: obliczenia własne. 55

56 liczba gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery [% ogółu gospodarsw domowych] Po rozwiązaniu układu równań (.3-.35) i uwzględnieniu warości pomocniczych orzymano: 6,897; 0 9,06; 0,333. Model analiyczny bazujący na ww. posaci funkcji można zaem przedsawić w nasępujący sposób: yˆ 6,8979,06 0,333. Prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych na 03 ( = ), 04 ( = ) i 05 rok ( = 3) można wyznaczyć w nasępujący sposób: y y 3 y 6,897 9,06 0,333 76,8; 6,897 9,06 0,333 6,897 9,063 0, ,68; 78,4. 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 warości rzeczywise warości modelu prognoza y =6,897+9,06-0,333 czas [rok] Rys..5. Warości rzeczywise, warości modelu oraz prognoza liczby gospodarsw domowych wyposażonych w kompuery w Polsce wyznaczone z wielomianu sopnia drugiego (wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych) Źródło: opracowanie własne. 56

57 Prognoza liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery, wyrażona w % ogółu gospodarsw domowych, na rok 03 wynosi 76,8%, na rok 04 około 77,68%, naomias na rok 05 kszałuje się na poziomie 78,4%. Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozę liczby gospodarsw domowych w Polsce wyposażonych w kompuery (wyrażoną w % ogółu gospodarsw domowych) wyznaczoną z wykorzysaniem wielomianu sopnia drugiego przedsawiono na rysunku.5. Analizując wykres przedsawiony na rysunku.5, można zauważyć, że wykorzysana funkcja wielomianu sopnia drugiego o równaniu yˆ 6,897 9,06 0,333 dobrze odzwierciedla zmiany warości rzeczywisych Funkcje nieliniowe o zmiennym empie wzrosu Obserwując przebieg zjawisk gospodarczych i przyrodniczych w dłuższych okresach, można dosrzec cały przebieg cyklu rozwojowego. Przykładowo, analizując krzywą życia produku, można wyodrębnić poszczególne fazy rozwoju produku, j. fazę wprowadzania produku na rynek, fazę przyśpieszonego i malejącego empa wzrosu popyu na produk, san nasycenia rynku i spadek popyu. Wówczas do opisu endencji rozwojowych pierwszych rzech faz ych zjawisk można się posłużyć zamias kilkoma funkcjami, odpowiednimi dla poszczególnych faz cyklu rozwojowego, ylko jedną. Przykładem akiej funkcji jes funkcja logisyczna posaci 8 : 0 y, 0, 0,. (.60) e Do punku przegięcia (o współrzędnych (/) ln dla zmiennej czasowej oraz 0 dla zmiennej y) funkcja rośnie w empie przyśpieszonym, po czym rośnie w empie malejącym do asympoy poziomej (punk nasycenia) y = 0. Funkcja logisyczna jes bardzo przydana przy opisie i prognozowaniu wielu zjawisk ekonomicznych. Dobrze wyraża długorwały wzros pewnych podsawowych wielkości charakeryzujących rozwój 8 P. Diman, Meody prognozowania sprzedaży w przedsiębiorswie, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 000, s

58 gospodarczy, akich jak zarudnienie, dochód narodowy ip. Wykorzysywana jes do opisu popyu na dobra rwałego użyku, na przykład samochody w krajach wysoko rozwinięych, na elewizory, radioodbiorniki, dobrze obrazuje również wzros liczby abonenów elefonicznych w Polsce 9. Graficzną posać funkcji logisycznej przedsawiono na rysunku.6.,0,00 0,80 0,60 0,40 y /(+ e ;,, 0,0 0, Rys..6. Graficzna reprezenacja funkcji logisycznej ( ; 33; ) 0 Źródło: opracowanie własne. Przebiegiem logisycznym charakeryzuje się również wiele zjawisk przyrodniczych, zwłaszcza ych, kórych rozwój jes ograniczony do pewnej przesrzeni. Przykładowo demografowie i biolodzy posługują się krzywą logisyczną do modelowania wzrosu liczby ludności. W Sanach Zjednoczonych funkcję logisyczną sosowano do zagadnień demograficznych, a w szczególności do opracowania prognozy rozwoju ludności na laa Podejmowano eż próby przedsawienia za pomocą krzywej logisycznej rozwoju poszczególnych gałęzi przemysłu, okręgów przemysłowych, częso całego przemysłu i handlu 30. Niekóre procesy gospodarcze, kóre podlegają radycyjnie logisycznemu prawu wzrosu, można dobrze opisywać funkcją loglogisyczną. Sy- 9 T. Sanisz, Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych, op. ci., s Ibidem, s

59 uacja aka ma miejsce w wypadku, gdy zjawisko charakeryzuje się sałym, nieograniczonym wzrosem, z malejącym do zera empem wzrosu o do opisu i prognozowania jego przebiegu. Funkcja loglogisyczna ma posać 3 : 0 ln y, 0, 0,. (.6) e Graficzną posać funkcji loglogisycznej przedsawiono na rysunku.7. y 3,00,50,00,50,00 0,50 0,00 y ln / e ;,, Rys..7. Graficzna reprezenacja funkcji loglogisycznej ( ; 33; ) Źródło: opracowanie własne. 0 Nieliniowy związek między zmiennymi i paramerami funkcji logisycznej i loglogisycznej uniemożliwia sosowanie KMNK. Większość znanych meod szacowania funkcji logisycznej (m.in. Hoellinga, Hellwiga) i loglogisycznych ma charaker jedynie przybliżony i opiera się na uproszczeniach 3. Szacowanie paramerów funkcji logisycznej i loglogisycznej jes skomplikowane i czasochłonne. Dlaego eż do szacowania paramerów ych funkcji wykorzysuje się programy kompuerowe. W dalszej części 3 M. Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze, op. ci., s Ibidem, s

60 rozdziału zosaną przedsawione przykłady, w kórych oszacowano paramery funkcji o zmiennym empie wzrosu z wykorzysaniem programu kompuerowego Saisica 0. Przykład.0. Oszacowanie paramerów funkcji o zmiennym empie wzrosu funkcja logisyczna i loglogisyczna Na podsawie zebranych danych, przedsawionych w abeli.3 w posaci jednowymiarowego szeregu czasowego, można przeprowadzić esymację paramerów funkcji logisycznej i loglogisycznej. Tab..3. Dane doyczące zysku ze sprzedaży zmywarek Czas Zysk [ys. PLN],,3, 3, 4,3 5, 9, 5,0,05 7,08 3,3 35,3 37, 37,4 40,3 4, 4, Źródło: opracowanie własne na podsawie danych wewnęrznych sklepu z arykułami ADG. Rys..8. Zysk ze sprzedaży zmywarek w jednym z podlaskich sklepów z arykułami ADG w laach [ys. PLN] Źródło: opracowanie własne. 60

61 Wykres danych doyczących zysku ze sprzedaży zmywarek w jednym ze sklepów z arykułami AGD w laach przedsawiono na rysunku.8. Na podsawie analizy wizualnej wykresu przedsawionego na rysunku.8 można zauważyć, że począkowo sopniowy wzros warości zmiennej w miarę upływu czasu jes coraz szybszy, jednak po pewnym czasie empo zmian jes coraz wolniejsze. W akim wypadku do budowy analiycznego modelu prognosycznego można zasosować jedną z funkcji o zmiennym empie wzrosu, j. funkcję logisyczną lub loglogisyczną. Do oszacowania paramerów ww. funkcji wykorzysano pakie kompuerowy Saisica 0. Sposób wykorzysania ej aplikacji do rozwiązania ego zadania ilusruje rysunek.9. Rys..9. Zasosowanie pakieu Saisica 0 do szacowania paramerów funkcji logisycznej i loglogisycznej Źródło: opracowanie własne. W wypadku funkcji logisycznej orzymano nasępujące paramery: 0 4,047; 84,7; 0, 584. Z kolei dla funkcji loglogisycznej wyznaczono nasępujące paramery: 0 4,98; 70,60; 0,

62 zysk ze sprzedaży zmywarek [ys. PLN] Wykres warości rzeczywisych, warości eoreycznych wynikających z modeli oraz prognoz zysku ze sprzedaży w laach 03-05, wyznaczonych z wykorzysaniem funkcji logisycznej i loglogisycznej, przedsawiono na rysunku ,00 45,00 40,00 35,00 30,00 5,00 0,00 5,00 0,00 warości rzeczywise warości z modelu - funkcja loglogisyczna warości z modelu - funkcja logisyczna prognoza - funkcja loglogisyczna 5,00 0,00 prognoza - funkcja logisyczna Rys..30. Warości rzeczywise, warości modelu oraz prognozy zysku ze sprzedaży zmywarek w jednym z podlaskich sklepów z arykułami ADG laach [ys. PLN] Źródło: opracowanie własne. czas [rok] Analizując wykres przedsawiony na rysunku.30, można zauważyć, 4,047 że zarówno funkcja logisyczna o równaniu yˆ 0, ,7e, 4,98ln jak i funkcja loglogisyczna o równaniu yˆ 0, ,60e dość dobrze odzwierciedlają zmiany warości rzeczywisych zmiennej prognozowanej. 6

63 Kluczowe zagadnienia: rend, klasyczna meoda najmniejszych kwadraów, posacie funkcji rendu, wybór analiycznej posaci modelu, linearyzacja, funkcje o przyśpieszonym empie wzrosu, funkcje o malejącym empie wzrosu, funkcje o zmiennym empie wzrosu, funkcja poęgowa, funkcja wykładnicza, wielomian sopnia drugiego, funkcja logarymiczna, funkcja liniowo-odwronościowa, funkcja ilorazowa, wielomian odwronościowy, funkcja logisyczna, funkcja loglogisyczna Lieraura podsawowa:. Nazarko J. (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. I. Wprowadzenie do meodyki prognozowania, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok Nazarko J. (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. II. Prognozowanie na podsawie szeregów czasowych, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok Nazarko J. (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. III. Prognozowanie na podsawie modeli adapacyjnych, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok Sobczyk M., Prognozowanie, Place, Warszawa 008. Lieraura uzupełniająca:. Aczel A.D., Saysyka w zarządzaniu, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa Cieślak M. (red.), Prognozowanie gospodarcze. Meody i zasosowanie, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa Diman P., Prognozowanie w przedsiębiorswie. Meody i ich zasosowanie, Wolers Kluwer, Kraków

64 4. Diman P., Meody prognozowania sprzedaży w przedsiębiorswie, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław Halicka K., Godlewska J., Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD, Ekonomia i Zarządzanie,. 5, nr, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Białosockiej, Białysok 03, s Halicka K., Wieńkowski C., Wykorzysanie meod wygładzania wykładniczego do prognozowania kursu sprzedaży EUR, Ekonomia i Zarządzanie,. 5, nr, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Białosockiej, Białysok 303, s Maciąg A., Pieroń R., Kukla S., Prognozowanie i symulacje w przedsiębiorswie, Polskie Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa 03, s Nowak E., Zarys meod ekonomerii. Zbiór zadań, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa Sanisz T., Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa

65 . METODA WSKAŹNIKÓW SEZONOWOŚCI Meodę wskaźników sezonowości wykorzysuje się do prognozowania warości zmiennych charakeryzujących się wahaniami sezonowymi lub cyklicznymi wysępującymi wraz z endencją rozwojową lub sałym poziomem (parz: Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. II, rozdz. 4, s ). U podsaw sosowania meody leży założenie, że składową sysemayczną szeregu można rozłożyć na składową rendu oraz składową sezonową 34 : lub Y = T + S +C + E (.) Y = T S C E, (.) gdzie: Y zmienna prognozowana, T składowa rendu, C składowa cykliczna, S składowa sezonowa, E składowa losowa. Składową rendu i cykliczną modeluje się, korzysając z analiycznych funkcji rendu przedsawionych w rozdziale, zaś składnik okresowy meodą wywodzącą się z koncepcji indeksów (wskaźników), czyli liczb względnych, charakeryzujących, zazwyczaj w procenach, zmianę poziomu zjawiska zachodzącą w czasie. Indeksy są sosunkowo częso wykorzysywane do przedsawienia danych ekonomicznych, gdyż określając zmianę w sosunku do warości poprzedniej (bazowej), w wielu wypadkach uławiają inerpreację. Można się z nimi spokać w raporach doyczących bezrobocia, inflacji, produkcji, wynagrodzeń i wielu innych wielkości charakeryzujących 33 J. Nazarko (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. II., op. ci., s C.S. Hilas, S.K. Goudos, J.N. Sahalos, Seasonal decomposiion and forecasing of elecommunicaion daa: A comparaive case sudy, Technological Forecasing & Social Change 73, 006, s

66 endencje rozwoju społeczno-gospodarczego. Przykładowe zasosowanie indeksów prosych, sposób ich obliczenia oraz inerpreację dla sopy bezrobocia rejesrowanego zamieszczono w abeli.. Tab... Wykorzysanie indeksów na przykładzie sopy bezrobocia rejesrowanego Miesiąc Sopa bezrobocia w 0 [%] Inerpreacja sopy bezrobocia Indeksy prose (zmiana w sosunku do poprzedniego miesiąca) Inerpreacja indeksu I 3, II 3,4 III 3,3 3,4 3, = =0, Wzros o 0, punku procenowego (p.p.) 3,3 3,4 = = 0, Spadek o 0, p.p. 3,4 / 3, = =,05 3,3 / 3,4 = =0,993 Warość w miesiącu II sanowi 0,5% warości z miesiąca I. Wzros o,5% warości z miesiąca I Warość w miesiącu III sanowi 99,3% warości z miesiąca II. Spadek o 00% 99,3% = 0,7% warości z miesiąca II X,5 XI,9 XII 3,4 Wzros o 0,4 p.p. Wzros o 0,5 p.p.,9 /,5 = =,03 3,4 /,9 = =,039 Wzros o 3,% Wzros o 3,9% Źródło: opracowanie własne na podsawie danych opublikowanych na sronie inerneowej Głównego Urzędu Saysycznego, hp:// daa wejścia Wyjaśnienie koncepcji meody wskaźników sezonowości wymaga przypomnienia kilku podsawowych pojęć związanych z szeregami czasowym, w kórych wysępują wahania sezonowe, akich jak: faza, cykl, ampliuda. Fazą określa się momeny lub okresy odległe od siebie o sały okres, w kórych dane zjawisko ak samo się kszałuje, np. szybki wzros, lekki wzros, spadek. Cykl o okres obejmujący wszyskie fazy wahań. Ampliuda mierzy zakres wahań, czyli największe odchylenie warości zmiennej od sałego poziomu lub rendu. Powyższe definicje zilusrowano 66

67 na rysunku.. Przedsawiono na nim dwa pełne, ośmiofazowe cykle szeregu niesacjonarnego. Rys... Wahania sezonowe objaśnienie wybranych pojęć Źródło: opracowanie własne na podsawie: A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wana, Prognozowanie ekonomiczne: eoria, przykłady, zadania, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 004, s. 87. W meodzie wskaźników sezonowości wylicza się zmiany, wyrażone w procenach, warości badanej zmiennej w każdej z faz cyklu sezonowego, czyli wskaźniki sezonowości. Obliczone wskaźniki są nasępnie wykorzysywane do korygowania warości rendu lub sałego poziomu. Wyróżnia się dwa modele prognosyczne: addyywny (.) i muliplikaywny (.), kóre sosuje się w zależności od charakeru wzajemnych relacji wysępujących w szeregu wahań sezonowych. Model addyywny wykorzysuje się w wypadku, gdy wahania sezonowe są nieskorelowane ze sałym poziomem lub rendem (wahania bezwzględnie sałe), czyli ampliudy wahań w analogicznych fazach cyklu są w przybliżeniu akie same. Model muliplikaywny sosuje się, jeżeli 67

68 ampliudy wahań zmieniają się w ym samym sosunku, zn. warość szeregu w danej fazie zależy od poziomu rendu (wahania względnie sałe) 35. Wybór właściwego modelu zazwyczaj dokonywany jes na podsawie wizualnej analizy zmienności szeregu przy uwzględnieniu naury zjawiska. Na rysunku. przedsawiono schemaycznie szeregi, do kórych prognozowania można użyć modelu addyywnego ampliuda wahań sezonowych wynosi 00 jednosek oraz modelu muliplikaywnego, w kórym wahania sezonowe sanowią 0% poziomu rendu. Rys... Sezonowość addyywna i muliplikaywna Źródło: opracowanie własne na podsawie: S.A. DeLurgio, Forecasing Principles and Applicaions, Irwin/McGraw-Hill, Boson 998, s. 77. W modelu addyywnym warość zmiennej prognozowanej jes sumą oszacowanego sałego poziomu lub rendu, wskaźnika sezonowości oraz składnika losowego. Model en można zapisać za pomocą równania 36 : y lj s,,, n, l,, N, j,, m, f (.3) lj j lj lj gdzie: y warość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie lj, lj czyli w j-ej fazie l-ego cyklu: ml j lj ; 35 S.A. DeLurgio, Forecasing Principles and Applicaions, Irwin/McGraw-Hill, Boson 998, s A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wana, Prognozowanie ekonomiczne: eoria, przykłady, zadania, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 004, s

69 f lj warość zmiennej w momencie lub okresie lj oszacowana za pomocą właściwego modelu analiycznego lub sały poziom; s j wskaźnik sezonowości dla j-ej fazy cyklu; składnik losowy w momencie lub okresie (w j-ej fazie l-ego lj n m N cyklu); liczba obserwacji w szeregu; liczba faz w cyklu; liczba cykli. Rys..3. Eapy opracowywania prognozy na podsawie meody wskaźników sezonowości Źródło: opracowanie własne na podsawie: A. Zeliaś., B. Pawełek, S. Wana, Prognozowanie ekonomiczne: eoria, przykłady, zadania, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 004, s

70 W wypadku modelu muliplikaywnego warość zmiennej prognozowanej jes iloczynem sałego poziomu lub rendu, wskaźnika sezonowości oraz składnika losowego): y lj s,,, n, l,, N, j,, m, f (.4) lj j lj lj gdzie: oznaczenia jak we wzorze.3. W procesie opracowywania prognozy za pomocą meody wskaźników sezonowości można wyróżnić pięć zasadniczych eapów 37. Zilusrowano je na rysunku.3. Eap. Wyodrębnienie endencji rozwojowej f lj W pierwszym kroku należy określić analiyczną posać funkcji rendu za pomocą rozwiązań przedsawionych w rozdziale. Alernaywnym, w sosunku do klasycznej meody najmniejszych kwadraów, podejściem do określenia współczynników liniowej funkcji rendu f dla zmiennej Y może być skorzysanie z nasępującego uproszczonego algorymu 38 :. Różnicuje się szereg z opóźnieniem równym długości cyklu w celu usunięcia rendu i oblicza średnią zróżnicowanego szeregu (np. dla danych miesięcznych długość cyklu o wynosi, dla kwaralnych 4).. Orzymaną warość średniej zróżnicowanego szeregu dzieli się przez długość jednego cyklu, aby orzymać warość rendu w jednym momencie lub okresie, czyli współczynnik kierunkowy funkcji rendu. 3. W celu oszacowania sałej 0 liczy się średnią oryginalnego szeregu Y, a akże średnią czasu. Nasępnie korzysa się z faku, że linia rendu przechodzi przez punk (,Y ), zn.:. 4. Funkcja rendu ma posać: f. lj Y 0 0 lj 0 lj 37 Ibidem, s S.A. DeLurgio, Forecasing Principles, op. ci., s

71 Eap. Eliminacja endencji rozwojowej z szeregu Eliminacja endencji rozwojowej z szeregu w wypadku budowy modelu addyywnego polega na obliczeniu różnic między rzeczywisymi warościami prognozowanej zmiennej a warościami orzymanymi z określonego w eapie pierwszym modelu endencji rozwojowej: lj z lj lj y f, (.5) lj gdzie: y warość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie lj, f lj warość zmiennej w momencie lub okresie lj oszacowana za pomocą właściwego modelu analiycznego lub sały poziom. W wypadku modelu muliplikaywnego należy obliczyć iloraz odpowiednich warości szeregu czasowego oraz warości obliczonych na podsawie modelu rendu: z lj y lj f, (.6) lj gdzie: oznaczenia jak we wzorze.3. Orzymany w en sposób szereg z lj zawiera ylko wahania przypadkowe i sezonowe. Eap 3. Eliminacja wahań przypadkowych W kolejnym kroku należy obliczyć zw. surowe wskaźniki sezonowości dla każdej j-ej fazy cyklu według wzoru: N sj z N l lj N z z z, j,,, m, j j (.7) lj gdzie: z warość zmiennej szeregu bez endencji rozwojowej w momencie lub okresie lj, N liczba cykli. Surowy wskaźnik sezonowości dla j-ej fazy jes o średnia arymeyczna warości szeregu bez rendu w ej fazie w każdym cyklu. N j 7

72 Eap 4. Obliczenie czysych wskaźników sezonowości W wypadku, gdy dla modelu addyywnego suma surowych wskaźników m s j j sezonowości jes różna od zera, powinno się skorygować wskaźniki sezonowości poprzez odjęcie od każdego z nich ich średniej arymeycznej s j : s j s s, (.8) j j gdzie: 7 s m m s j j. W przeciwnym wypadku s. Podobnie dla modelu muliplikaywnego, gdy suma wskaźników sezonowości s j j m s j j jes różna od m, zn. liczby faz worzących cykl, dokonuje się korekcji według nasępującego wzoru: s j sj. (.9) s W en sposób orzymuje się zw. czyse wskaźniki sezonowości. Wskaźniki e informują o zaobserwowanych w analizowanym szeregu średnich bezwzględnych (w wypadku modelu addyywnego) lub względnych (dla modelu muliplikaywnego) odchyleniach warości prognozowanej od funkcji rendu w poszczególnych fazach cyklu sezonowego. Eap 5. Wyznaczenie prognozy Prognozę za pomocą meody wskaźników sezonowości oblicza się poprzez eksrapolację linii rendu i jej korekcję obliczonymi wskaźnikami sezonowości dla danej fazy cyklu. Wymaga o przyjęcia posawy pasywnej i założenia, że w okresie prognozowanym urzyma się zaobserwowana endencja rozwojowa, a rodzaj i siła wahań nie ulegną zmianie B. Radzikowska (red.), Meody prognozowania. Zbiór zadań, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 000, s. 43.

73 Prognosyczną warość zmiennej na momen lub okres lj dla modelu addyywnego można wyznaczyć jako sumę endencji rozwojowej/sałego poziomu i czysego wskaźnika sezonowości: y lj f s, n, l N, N,, j,, m, lj j lj (.0) gdzie: y lj prognoza warości zmiennej w momencie lub okresie lj (j-ej fazie l-ego cyklu), warość oszacowana za pomocą funkcji rendu w okresie pro- f lj s j n N l j m gnozowanym lj, czysy wskaźnik sezonowości dla j-ej fazy cyklu, liczba obserwacji w szeregu, liczba cykli w szeregu, numer cyklu, numer fazy w cyklu, liczba faz w cyklu. W wypadku przyjęcia modelu muliplikaywnego oblicza się iloczyn endencji rozwojowej/sałego poziomu i czysego wskaźnika sezonowości: y lj f s, n, l N, N,, j,, m, lj j gdzie: oznaczenia jak we wzorze.0. lj (.) Przykład.. Prognoza wielkości produku krajowego bruo w cenach bieżących meodą wskaźników sezonowości Produk krajowy bruo (PKB) w cenach bieżących w mln PLN w Polsce w laach 00-0 przedsawiono w abeli.. Należy oszacować warość produkcji w kolejnych kwarałach roku

74 PKB [mln PLN] Tab... Produk krajowy bruo w cenach bieżących w mln PLN Rok Kwarał PKB [mln PLN] I 3306,6 II , III , 4 IV 39807,5 5 I ,9 6 II ,9 0 7 III ,8 8 IV 43438,6 9 I 3707,7 0 II 389,4 0 III 39379,4 IV 443,4 Źródło: opracowanie własne na podsawie danych opublikowanych na sronie inerneowej Głównego Urzędu Saysycznego, hp:// daa wejścia y Analiza wizualna wykresu szeregu czasowego przesawionego na rysunku.4 pozwala swierdzić, że w kolejnych laach warość produku krajowego bruo sysemaycznie rosła I II III IV I II III IV I II III IV czas Rys..4. Produk krajowy bruo w cenach bieżących w mln PLN Źródło: opracowanie własne na podsawie danych opublikowanych na sronie inerneowej Głównego Urzędu Saysycznego, hp:// daa wejścia

75 Szereg en charakeryzuje się eż wyraźną sezonowością: w każdym z badanych la najniższa warość PKB wysępuje w I kwarale, w kolejnych jes coraz większa, a warość maksymalną badana zmienna osiąga w kwarale IV. Oznacza o, że przedsawione dane obejmują 3 roczne cykle, każdy składający się z 4 faz. Można eż przyjąć, że ampliudy wahań w analogicznych fazach cyklu są w przybliżeniu akie same. Ponieważ wahania w analizowanym szeregu są raczej bezwzględnie sałe, właściwym modelem prognosycznym będzie model addyywny meody wskaźników sezonowości. Opracowanie prognozy warości PKB w kolejnym cyklu za pomocą meody wskaźników sezonowości wymaga wyodrębnienia i eliminacji endencji rozwojowej z szeregu (eap i ), eliminacji wahań przypadkowych (eap 3) oraz obliczenia wskaźników sezonowości (eap 4). Prognozowana warość zmiennej będzie warością wyodrębnionego rendu skorygowanego obliczonymi wskaźnikami sezonowości (eap 5). Eap. Wyodrębnienie endencji rozwojowej W celu określenia analiycznej posaci endencji rozwojowej oszacowano paramery liniowej funkcji rendu za pomocą klasycznej meody najmniejszych kwadraów. Obliczono akże podsawowe charakerysyki prosej regresji. Zesawienie wyników zawiera abela.3. Tab..3. Paramery liniowej funkcji rendu oraz ich ocena Współczynnik kierunkowy Sała 7479, 3977,5 Sandardowe warości błędu 997,7 470,6 Saysyka -Sudena 3,744,46 Charakerysyki modelu Współczynnik deerminacji R 0,584 Saysyka F-Snedecora 4,06 Sopnie swobody 0 Warość kryyczna rozkładu F-Snedecora 4,965 Warość kryyczna rozkładu -Sudena,8 Źródło: obliczenia własne za pomocą programu STATISTICA 0. 75

76 76 f lj 3977,5 7479,. Oszacowana funkcja rendu ma posać: lj Dodakowe saysyki, przedsawione w abeli.3, służą sprawdzeniu isoności paramerów wybranej funkcji rendu oraz weryfikacji jej dopasowania do danych empirycznych. W wypadku wybranego modelu rendu uogólniony es Walda wykorzysujący saysykę F-Snedecora pozwala odrzucić hipoezę o braku zależności między warością PKB a zmienną objaśniającą. Warość ej saysyki wynosi 4,06 i na poziomie prawdopodobieńswa α = 0,05 przekracza warość kryyczną wynoszącą 4,965. Podobnie es isoności paramerów modelu wykorzysujący sayskę -Sudena wskazuje, że zmienna objaśniająca jes użyeczna w szacowaniu przewidywanej warości PKB. Warość bezwzględna saysyki równa 3,744 jes większa od warości kryycznej wynoszącej,8 dla α = 0,05 i 0 sopni swobody. Współczynnik deerminacji R informuje o ym, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej zosała wyjaśniona przez model. Przyjmuje warości z przedziału <0;>, a dopasowanie modelu jes ym lepsze, im warość R jes bliższa jedności. W wypadku oszacowanego modelu R, wynoszące 0,583, wskazuje na raczej słabe dopasowanie, lecz wynika o z isnienia składowej okresowej w sze- f lj 3977,5 7479, regu. Podsumowując, oszacowaną funkcję lj można uznać za właściwie modelującą składową rendu w analizowanym szeregu. Eap. Eliminacja endencji rozwojowej z szeregu Obliczenie wskaźników sezonowości wymaga usunięcia rendu z szeregu. W modelu addyywnym eliminacja rendu polega na odjęciu od wyrazów oryginalnego szeregu odpowiadającym im wyrazów z szeregu orzymanego na podsawie modelu endencji rozwojowej. Orzymuje się w en sposób szereg z lj, zawierający jedynie wahania przypadkowe i sezonowe. Dla okresu pierwszego (pierwszej fazy pierwszego cyklu, czyli =, l =, j = ) warość szacowana modelem rendu wynosi: 3977,5 7479, 33796, 6 f. Warość szeregu bez rendu w okresie = wynosi zaem: z y f 3306, ,6 3990, 0.

77 Podobnie dla okresu drugiego i kolejnych: f f z 3977,5 7479, ,7 ; 3977,5 7479, 49466,7 ; 34 y f 443, ,7 764,7. 34 Zesawienie rezulaów obliczeń dla wszyskich okresów zawaro w abeli.4 i zilusrowano na rysunku.5. Tab..4. Eliminacja rendu z szeregu lj z Rok y Kwarał f Numer cyklu Numer fazy PKB l j y lj f z y f lj I 3306, ,6-3990,0 II , ,7 4, III , 3554,8-547,6 4 IV , , ,6 5 I ,9 3673,0-854, 6 II , , -484, 0 7 III ,8 3807, -499,4 8 IV , ,3 4888,3 9 I 3707, ,4-69,7 0 II 389, ,5-5386, 0 3 III ,4 4987,6-895, IV 4 443, ,7 764,7 Źródło: obliczenia własne , ,7 4,3; lj lj lj 77

78 PKB [mln PLN] y f() z I II III IV I II III IV I II III IV 00 0 czas 0 Rys..5. Warości produku krajowego bruo w cenach bieżących w mln PLN y, funkcji rendu f () oraz szeregu bez rendu z Źródło: opracowanie własne. Eap 3. Eliminacja wahań przypadkowych wyznaczenie surowych wskaźników sezonowości Surowe wskaźniki sezonowości oblicza się jako średnią arymeyczną warości z danej fazy z każdego cyklu zgodnie ze wzorem (.7). Ponieważ, jak już swierdzono wcześniej, w szeregu liczącym n = obserwacji wysępują wahania kwaralne, czyli liczba cykli wahań wynosi N = 3, a każdy cykl składa się z m = 4 faz, należy obliczyć 4 wskaźniki, każdy na podsawie warości 3 obserwacji. Pierwszy wskaźnik sezonowości wyznaczono, wybierając z abeli.4 warości z pierwszego kwarału poszczególnych la, j. =, 5, 9 3: s 3 z l 3990,0 854, 69,7 3 l ,8 978,60. 3 Podobnie dla kolejnych faz cyklu: 3 z l l s 3 4,3 4 84,5386, 3 004,0 6734,67; 3 78

79 3 3 z l 3 l s 3-547,6 499,4 895, , 844,73; z l 4 l s ,6 4888,3 764, , ,87. 3 Eap 4. Obliczenie czysych wskaźników sezonowości Suma obliczonych w poprzednim eapie surowych wskaźników sezonowości jes równa: 4 s j j 978, ,67844, ,87,3. Warość sumy surowych wskaźników sezonowości nie różni się znacząco od 0, biorąc pod uwagę bezwzględne warości wskaźników, ale można dodakowo skorygować surowe wskaźniki poprzez odjęcie od nich ich średniej arymeycznej: s 4 s j,3 0,8. 4 j 4 Warość skorygowana, czyli czysy wskaźnik sezonowości fazy, wynosi: s s s 978,60( 0,8) 978, 3. Analogicznie dla fazy drugiej: s s s 6734,67 0,8 6734,39, rzeciej: s s s 844,73 0,8 844, i czwarej: s 4 s4 s 34696,87 0, , 5. Zesawienie warości skorygowanych warości wskaźników sezonowości dla wszyskich faz umieszczono w abeli.5, zaś ich graficzną prezenację na rysunku.6. 79

80 wskaźnik sezonowości Tab..5. Kwaralne wskaźniki sezonowości Numer fazy Źródło: obliczenia własne. j Wskaźnik sezonowości s j -978,3-6734, , , faza Rys..6. Kwaralne wskaźniki sezonowości Źródło: opracowanie własne. Obliczone wskaźniki sezonowości oznaczają, że w kwarale I warość produkcji jes o -978,3 mln PLN niższa od warości wynikającej z oszacowanej linii rendu, w kwarale II jes o -6734,39 mln PLN niższa, w III o -844,45 mln PLN, a w IV o 34697,5 mln PLN wyższa. Korzysając z oszacowanych wskaźników sezonowości oraz funkcji rendu określonego w eapie, można obliczyć warości modelu. W ym celu należy zsumować warości funkcji rendu w każdym okresie oraz odpowiadający danej fazie wskaźnik sezonowości: s 33796,6 978, ,3. f y 80

81 Podobnie dla okresu (cykl l= faza j=) i kolejnych: y y y y s ,7 6734, ,3 ; f s 3554,8 844, ,4 ; 3 3 f 33 3 s , , , ; 4 4 f 44 4 s 3673,0 978, ,7 ; 5 f 5 s 49466, , ,9. y 34 f 34 4 Eap 5. Wyznaczenie prognozy Zakładając, że urzyma się doychczasowa endencja rozwojowa, a siła wahań sezonowych nie zmieni się, można obliczyć prognozę na kolejne czery kwarały. Dokonując eksrapolacji linii rendu na momeny 3, 4, 5 i 6 i korygując orzymaną warość odpowiednim wskaźnikiem sezonowości, uzyskano nasępujące wyniki: s 46945,8 978,3 4077,5; y 3 4 f 34 s 43444,9 6734, ,5; y 4 4 f 44 s 44904,0 844, ,6; y 5 43 f s , 34697, ,3. y 6 44 f Zesawienie rezulaów obliczeń dla wszyskich okresów oraz prognozę zawiera abela.6. 8

82 PKB [mln PLN] Tab..6. Warości modelu i prognozy PKB w mln PLN Rok Kwarał Funkcja PKB rendu y f lj Wskaźnik sezonowości Model i prognoza y f lj lj s j s j I 3306, ,6-978, ,3 II , ,7-6734, , III , 3554,8-844, ,4 4 IV 39807, , , , 5 I ,9 3673,0-978, ,7 6 II , , -6734, ,7 0 7 III ,8 3807, -844, ,8 8 IV 43438, , ,5 4447,5 9 I 3707, ,4-978,3 3773, 0 II 389, ,5-6734, , 0 III 39379,4 4987,6-844, , IV 443, , , ,9 3 I 46945,8-978,3 4077,5 4 II 43444,9-6734, , III 44904,0-844, ,6 6 IV , 34697, ,3 Źródło: obliczenia własne warości rzeczywise warość modelu prognoza I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV czas Rys..7. Warości rzeczywise, modelu i prognozy kwaralnego produku krajowego bruo Źródło: opracowanie własne. 8

83 Wykres danych rzeczywisych, warości modelu oraz prognozy PKB na 03 rok przedsawiono na rysunku.7. Jeżeli nie wysąpią nieoczekiwane dodakowe przesłanki mogące zakłócić sysemayczny wzros PKB w Polsce, można przyjąć, że PKB w kolejnych kwarałach 03 roku wynosić będzie odpowiednio: 4077,5 mln PLN, 47690,5 mln PLN, ,6 mln PLN i ,3 mln PLN. Kluczowe zagadnienia: meoda wskaźników sezonowości, cykl, faza, ampliuda, model addyywny wskaźników sezonowości, model muliplikaywny wskaźników sezonowości Lieraura podsawowa:. Nazarko J. (red.), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem. Cz. II. Prognozowanie na podsawie szeregów czasowych, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok Zeliaś A., Pawełek B., Wana S., Prognozowanie ekonomiczne: eoria, przykłady, zadania, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 004. Lieraura uzupełniająca:. DeLurgio S.A., Forecasing principles and applicaions, Irwin/McGraw-Hill, Boson Hilas C.S., Goudos S.K., Sahalos J.N., Seasonal decomposiion and forecasing of elecommunicaion daa: A comparaive case sudy, Technological Forecasing & Social Change 73, 006, s Radzikowska B. (red.), Meody prognozowania: zbiór zadań, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław

84 3. ANALIZA HARMONICZNA Analiza harmoniczna zwana jes akże analizą spekralną lub analizą Fouriera na cześć francuskiego maemayka i fizyka Jeana Bapise a Josepha Fouriera. Podsawą meody jes opublikowane przez Josepha Fouriera w 8 roku w Théorie analyique de la chaleur 40, wierdzenie, że każdy szereg okresowy można przedsawić za pomocą sumy funkcji rygonomerycznych sinusów i cosinusów 4. Hisorycznie podsawy ego wierdzenia sięgają jednak czasów sarożynych. Uproszczonej analizy harmonicznej używali już Babilończycy do prognozowania zjawisk asronomicznych 4. Współcześnie akże wykorzysywana jes, na przykład do modelowania promieniowania słonecznego 43. Obecnie szeregi Fouriera mają jednak dużo szersze zasosowanie. Wykorzysywane są prakycznie w każdej dziedzinie, w kórej bada się częsoliwości wahań, począwszy od analizy drgań do przewarzania obrazów. Szeregi Fouriera pomagają naukowcom określić skład chemiczny gwiazd lub zrozumieć, jak w układzie oddechowym powsaje mowa 44. Podsawową zaleą prognozowania za pomocą analizy harmonicznej jes algorymizacja modelowania szeregów ze składową sezonową lub cykliczną, sałym poziomem bądź rendem i wahaniami przypadkowymi. W odróżnieniu na przykład od meody Hola-Winersa czy meody wskaźników analiza harmoniczna nie wymaga znajomości a priori składnika okresowego. Podczas opracowywania modelu idenyfikuje się szczególnie silne wahania sezonowe. Dodakowo w wypadku, gdy na podsawie obliczonych wskaźników okaże się, że opracowany model można uprościć poprzez rezygnację z odzwierciedlania w modelu nieisonych wahań sezonowych, nie rzeba ponownie esymować jego paramerów. 40 J.B.J. Fourier, Théorie analyique de la chaleur (The Analyical Theory of Hea), Firmin Dido, Paris 8. 4 H. Dym, H.P. McKean, Fourier Series and Inegrals (Probabiliy and Mahemaical Saisics), ACADEMIC PressINC 985, s.. 4 Ibidem. 43 Y. Zong-Chang, Modeling and forecasing monhly movemen of annual average solar insolaion based on he leas-squares Fourier-model, Energy Conversion and Managemen, 04, vol. 8, s C.A. Pickover, The Mah Book: From Pyhagoras o he 57h Dimension, 50 Milesones in he Hisory of Mahemaics, Serling Publishing Company, Inc. 009, s

85 W modelach orzymanych za pomocą innych meod usunięcie nawe jednego parameru wymaga zazwyczaj ponownego dopasowywania modelu 45. W analizie harmonicznej model jes sumą harmonik. Harmonika o odpowiednio przesunięa i przekszałcona sinusoida 46 : y Asin f P, n (3.) gdzie: czas ( =,, 3,, n); y warość harmoniki w momencie lub okresie ; A ampliuda największe odchylenie warości harmoniki od średniej (moduł różnicy między najniższym lub najwyższym punkem a poziomem średnim); f częsoliwość, liczba cykli na jednoskę czasu; odwroność okresu, j. długości jednego cyklu w jednoskach czasu; P przesunięcie fazowe przesunięcie harmoniki względem począku układu współrzędnych. Wykres harmoniki wraz z charakeryzującymi ją elemenami zilusrowano na rysunku S.A. DeLurgio, Forecasing Principles, op. ci., s I.N. Bronszejn, K.A. Siemiendiajew, Maemayka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 995, s

86 Rys. 3.. Harmonika Źródło: opracowanie własne na podsawie: A. Zeliaś, Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 004, s. 87. Korzysając z własności funkcji rygonomerycznych, równanie harmoniki (3.) można przedsawić w nasępującej posaci 47 : gdzie: y Asin f P asin f bcos f, n n n (3.) 86 A a b g P b a., Dla szeregu składającego się z n obserwacji maksymalna liczba harmonik w modelu analizy harmonicznej jes równa q = n/, gdy n jes parzyse i q = (n )/, gdy n jes nieparzyse. Związane jes o z fakem, iż do zidenyfikowania funkcji sinusoidalnej porzeba co najmniej dwóch punków danych: górnej i dolnej warości eksremalnej. Pierwsza harmonika w modelu ma okres równy n (częsoliwość f = /n), druga n/ (f = /n), rzecia n/3 (f = 3/n) id. 47 I.N. Bronszejn, K.A. Siemiendiajew, Maemayka. Poradnik, op. ci., s. 37.

87 Ogólny model szeregu, w kórym wysępują sały poziom, wahania okresowe i przypadkowe, zapisuje się nasępującym wzorem 48 : dla y a 0 q ai sin i bi cos i i n n n /, q n /, gdy n jes nieprzyse, gdy n jes parzyse, (3.3) gdzie: a i, b i paramery modelu (i = 0,, 3,, q). Za warość parameru a 0 można przyjąć średnią szeregu: n a. 0 y n Jeżeli w szeregu isnieje rend, a nie sały poziom, wahania okresowe i przypadkowe, można zasosować zmodyfikowany model analizy harmonicznej, w kórym paramer a 0, reprezenujący sały poziom zmiennej prognozowanej, zasąpiony jes funkcją rendu 49 : y f q n n a sin i b cos i, i gdzie: f funkcja rendu. i i (3.4) Tab. 3.. Oszacowania paramerów modelu analizy harmonicznej n nieparzyse n parzyse i =,, q i =,, q- i = q n ai y sin i n n n bi y cos i n n (3.5) a q 0 (3.6) n (3.7) b y cos q n (3.8) Źródło: opracowanie własne na podsawie: P. Dimann, Prognozowanie w przedsiębiorswie. Meody i ich zasosowanie, Wolers Kluwers, Kraków 009, s P. Dimann, Prognozowanie w przedsiębiorswie, op. ci., s Ibidem, s

88 Wybór i esymacja funkcji rendu zosały opisane w rozdziale. Współczynniki poszczególnych harmonik a i oraz b i można oszacować na podsawie wzorów przedsawionych w abeli 3.. Z ym, że do obliczeń należy wziąć szereg sacjonarny, zn. z odjęą średnią lub wyeliminowanym rendem. Wykorzysanie analizy harmonicznej do prognozowania polega na eksrapolacji opracowanego modelu na nasępne momeny czasu: q y f ai sin i bi cos i. (3.9) i n n Liczba możliwych do określenia harmonik jes ym większa, im dłuższy jes szereg czasowy, na podsawie kórego budowany jes model. Jednak opracowując model, nie rzeba zawsze uwzględniać wszyskich możliwych harmonik. Gdy znane są długości cykli wahań okresowych w prognozowanym zjawisku, w modelu można uwzględnić ylko odzwierciedlające je harmoniki. Inny sposób o ujęcie w modelu ych harmonik, kórych udział w wyjaśnieniu wariancji rozparywanej zmiennej prognozowanej jes największy. Części ogólnej zmienności zmiennej prognozowanej Y, kóre są wyjaśniane przez różne harmoniki, można sumować. Związane jes o z fakem, że żadne dwie harmoniki nie są ze sobą skorelowane, czyli nie uwzględniają ej samej części ogólnej wariancji zmiennej prognozowanej 50. Trzeba jednak pamięać, że dla modeli z rendem pod uwagę bierze się wariancję zmiennej po wyeliminowaniu rendu 5. W prognozowaniu na posawie szeregów czasowych wykorzysuje się pojęcie szeregu czasowego słabo sacjonarnego, o znaczy akiego, kórego średnia oraz wariancja są skończone i sałe w czasie, a auokowariancja zależy od odsępu czasu pomiędzy obserwacjami, a nie od momenu pomiaru (M. Gruszczyński, M. Podgórska, Ekonomeria, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 996, s. 8). Do popularnych meod sprowadzenia szeregu niesacjonarnego do sacjonarnego należą: esymacja rendu deerminisycznego i odjęcie od oryginalnego szeregu warości wynikających z rendu (meoda sosowana m.in. w niniejszym podręczniku) lub policzenie pierwszych różnic dla szeregu czasowego (w wypadku, gdy szereg nie jes sacjonarny ze względu na wariancję). Inne meody obejmują różne sposoby wygładzania szeregu czasowego. 50 P. Dimann, Prognozowanie w przedsiębiorswie, op. ci., s Ibidem. 88

89 Wzory pozwalające oszacować część wariancji zmiennej Y objaśnianej przez i-ą harmonikę zamieszczono w abeli 3.. Symbol s wysępujący we wzorach oznacza ocenę wariancji zmiennej Y, zn.: s n n y y n ; y y. (3.0) n Tab. 3.. Część wariancji zmiennej Y objaśniana przez i-ą harmonikę n nieparzyse n parzyse i =. q i = q- i = q a i bi s (3.) a q bq (3.) Źródło: opracowanie własne na podsawie: P. Dimann, Prognozowanie w przedsiębiorswie. Meody i ich zasosowanie, Oficyna Ekonomiczna, Kraków 008, s. 9. W idenyfikacji składowej sezonowej w serii danych można wykorzysać eż podsawowe narzędzie analizy spekralnej, j. periodogram. Przedsawia on ampliudę dla wszyskich możliwych częsoliwości i może być inerpreowany jako warości całkowiej sumy kwadraów: n y y, objaśnianej przez harmoniki o danych częsoliwościach 5. Periodogram składa się z q = n/ dla n parzysego lub q = (n )/, gdy n jes nieparzyse, wielkości nazywanych inensywnościami przy częsoliwości f i 53 : I f na b, i (3.3) i i gdzie: a i i b i paramery modelu analizy harmonicznej. Suma warości periodogramu dla wszyskich rozparywanych częsoliwości jes równa całkowiej sumie kwadraów 54 : s 5 S.A. DeLurgio, Forecasing Principles, op. ci., s G.M. Box, G.E.P Jenkins., Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie, Pańswowe Wydawnicwo Naukowe, Warszawa 983, s S.A. DeLurgio, Forecasing Principles, op. ci., s

90 0,0 0,063 0,04 0,46 0,88 0,9 0,7 0,33 0,354 0,396 0,438 0,479 gdzie: q i n f y y, I (3.4) i n /, gdy n jes nieprzyse, q n /, gdy n jes parzyse. Na wykresie funkcję I(f i) przedsawić można w zależności od częsoliwości lub okresu. Hipoeyczny periodogram dla szeregu czasowego składającego się z n = 48 obserwacji i wykazującego silną sezonowość o okresie (częsoliwości f = / = 0,0833) przedsawiono na rysunku 3.. I(f) Rys. 3.. Periodogram Źródło: opracowanie własne na podsawie: S.A. DeLurgio, Forecasing Principles and Applicaions, Irwin/McGraw-Hill, Boson 998, s. 58. Definicja periodogramu zakłada, że rozparywane częsoliwości f są związane z długością szeregu n. W prakyce zdarza się, że żadna z branych pod uwagę częsoliwości nie rafia dokładnie w ę właściwą. Na przykład jeżeli w szeregu są wahania sezonowe o okresie 4, a do analizy zosanie pobranych n=4 obserwacji, o rzeczywisa częsoliwość wynosi f = 0,5, a warości periodogramu są wyliczane dla liczb będących wielokronością /n, czyli dla 0,07, 0,43, 0,4, 0,86,, 0,500. Z ego powodu zdarzyć się może, że właściwa częsoliwość przecieknie do sąsiednich na periodogramie. Dodakowo warości periodogramu podlegają znacznym wahaniom losowym. 90

91 W prakyce podczas analizy zazwyczaj nie jes najważniejsze dokładne zidenyfikowanie częsoliwości podsawowych funkcji sinus czy cosinus. Wysarczające jes określenie częsoliwości o największych gęsościach widmowych, o znaczy obszarów częsoliwości składających się z wielu sąsiednich częsoliwości, kóre mają największy wkład w ogólną srukurę harmoniczną szeregu. Można o osiągnąć poprzez wygładzanie warości periodogramu za pomocą średniej ruchomej ważonej. Rys Eapy opracowania prognozy na podsawie modelu analizy harmonicznej Źródło: opracowanie własne. Podsumowując przedsawione rozważania, w procesie opracowywania prognozy na podsawie modelu analizy harmonicznej można wyróżnić pięć elemenarnych eapów (rys. 3.3). Prognozując na podsawie analizy harmonicznej powinno się wziąć pod uwagę pewne ograniczenia ej meody. Pierwszym problemem jes nadmierne dopasowanie do danych (ang. overfiing) związane z liczbą paramerów uwzględnianych w modelu. Włączenie dodakowego współczynnika do modelu powoduje, 9

92 że model saje się bardziej skomplikowany, esymacja jego paramerów wymaga więcej czasu, ale jednocześnie zwiększa się jego dopasowanie do danych hisorycznych. Modele zby rozbudowane mogą uwzględniać obserwacje odsające, czyli jednorazowe zjawiska, kóre pojawiły się w przeszłości, ale niekoniecznie muszą pojawić się w przyszłości. Bardzo ważny jes wybór i zawarcie w opracowanym modelu analizy harmonicznej ylko właściwych częsoliwości. Overfiing jednak nie jes problemem specyficznym ylko dla analizy harmonicznej, należy pamięać o jego oddziaływaniu na jakość rezulaów procesu prognozowania, akże sosując inne meody prognozowania 55. Cechą przedsawionej meody jes przypisywanie jednakowych wag wszyskim obserwacjom. W analizie harmonicznej wykorzysuje się meodę najmniejszych kwadraów do obliczenia paramerów harmonik, kóra uwzględnia wszyskie reszy modelu i są one jednakowo ważne. Dlaego eż w sporządzonym modelu każda obserwacja z szeregu czasowego ma en sam wpływ na obliczoną prognozę. Zazwyczaj osanie obserwacje lepiej niż począkowe wskazują przyszłe rendy w danych 56. Związane jes o z fakem sarzenia się informacji i danych prognosycznych. Inną wadą analizy harmonicznej może okazać się eż pewna rudność w odniesieniu orzymanych paramerów modelu do powszechnie przyjęej lub inuicyjnej inerpreacji przyczyn wahań okresowych w szeregu czasowym 57. Może się zdarzyć, że rzeczywisy okres drgań nie zosaje bezpośrednio uwzględniony w modelu, gdyż nie jes wielokronością /n i wówczas jes odwzorowywany przez sąsiednie częsoliwości. Przykład 3.. Prognoza zaporzebowania mocy KSE meodą analizy harmonicznej W szeregu czasowym ilusrującym zaporzebowanie mocy Krajowego Sysemu Energeycznego (KSE) wysępuje bardzo wyraźna sezonowość dobowa, ygodniowa oraz roczna. Na podsawie zmian dobowych zaobserwowanych, 9 i 6 września 03 r. o godz. 6:00, :00, 8:00 i 00:00 wyznacz prognozę na 3 września 03 r. 55 Ibidem, s Ibidem. 57 Ibidem. 9

93 wolumen [MW] Tab Zaporzebowanie mocy KSE Dzień Godzina Wolumen [MW] 6:00 45,7 : , : ,0 4 00: ,6 5 6: ,0 6 : , :00 976,8 8 00: ,4 9 6: ,3 0 :00 030, :00 989,3 00: ,7 Źródło: opracowanie własne na podsawie srony inerneowej Polskich Sieci Elekroenergeycznych S.A., hp:// daa wejścia Analiza danych numerycznych przedsawionych w abeli 3.3 i ich graficznej reprezenacji na rysunku 3.4 wskazuje, że w szeregu czasowym wysępują rend oraz wyraźne wahania sezonowe o okresie równym 4 (częsoliwości f = 0,5). y :00:008:0000:0006:00:008:0000:0006:00:008:0000: czas Rys Zaporzebowanie mocy KSE w MW Źródło: opracowanie własne na podsawie srony inerneowej Polskich Sieci Elekroenergeycznych S.A., hp:// daa wejścia

94 Opracowanie prognozy zaporzebowania mocy na kolejny poniedziałek miesiąca ( ) za pomocą meody analizy harmonicznej wymaga wyodrębnienia i eliminacji endencji rozwojowej z szeregu (eap i ), esymacji paramerów poszczególnych harmonik (eap 3) oraz wyboru właściwych harmonik (eap 4). Prognozowana warość zmiennej będzie sumą warości wyodrębnionego rendu oraz wybranych harmonik (eap 5). Eap. Esymacja funkcji rendu Przyjęo liniową posać funkcji rendu: f 6700,9 87, 657. Do esymacji paramerów wykorzysano meodę najmniejszych kwadraów zaprezenowaną w rozdziale. Eap. Eliminacja rendu z szeregu Trend z szeregu wyeliminowano poprzez odjęcie od warości szeregu warości rendu, orzymując nowy szereg, o warościach oscylujących wokół 0 (ab. 3.4, rys. 3.5). Ten nowy szereg będzie wykorzysany do oszacowania paramerów poszczególnych harmonik modelu. Tab Warości zaporzebowania na moc KSE, rendu oraz szeregu sacjonarnego y Trend f () y f () 45,7 6788,6-536,9 9545, 6876, 669, ,0 6963,9 74, ,6 705,5-656, ,0 739, -70, , 76,8 7, ,8 734,5 86, ,4 740, -835, ,3 7489,8-50, ,7 7577,4 743,3 989,3 7665, 54, 5743,7 775,7-009,0 Źródło: obliczenia własne. 94

95 y -f () Rys Warości szeregu bez rendu Źródło: opracowanie własne. Eap 3. Esymacja paramerów poszczególnych harmonik W wypadku analizowanego szeregu składającego się z n = obserwacji maksymalna liczba harmonik q w modelu jes równa n/, czyli 6. Przy czym pierwsza harmonika będzie miała okres równy n, czyli, częsoliwość f = 0,083, druga n/ = 6, f = 0,67, rzecia n/3 = 4, f = 0,5, czwara n/4 = 3, f = 0,333, piąa n/5 =,4, f = 0,47 i osania n/6 =, f = 0,5. Zgodnie ze wzorami na oszacowania paramerów równania modelu (parz: ab. 3.) obliczono najpierw warości wyrażenia: sin i n dla n =, i =,,, 5, =,, oraz cos i dla =,,. n Wyniki obliczeń zamieszczono w abelach 3.5 i

96 Tab Warości funkcji sinus sin i n i ,5 0,866 0,866 0,5 0,866 0, ,866-0, ,866-0, ,866-0, ,5-0,866-0,866 0, ,5 0,866-0,866-0,5 8-0,866 0, ,866 0, ,866-0, ,866 0,866-0,5-0, ,866-0, Źródło: obliczenia własne. Tab Warości funkcji cosinus cos i n cos i ,866 0,5 0-0,5-0,866-0,5-0,5 - -0,5 0, ,5-0,5-0,5-0,5 5-0,866 0,5 0-0,5 0, ,866 0,5 0-0,5 0, ,5-0,5-0,5-0, ,5-0,5 - -0,5 0,5 0,866 0,5 0-0,5-0,866 - Źródło: obliczenia własne. 96

97 W celu oszacowania paramerów pięciu pierwszych harmonik należy obliczyć sumy iloczynów warości obserwacji szeregu bez rendu (z ab. 3.4) i warości odpowiadających im funkcji sinus bądź cosinus (zamieszczone w ab. 3.5 oraz 3.6) zgodnie ze wzorami z abeli (3.), o znaczy: n ai n oraz n bi y f n y f sin i dla n oraz i,, 5 n cos i dla n oraz i,, 5 n W wypadku współczynnika a oraz b będzie o odpowiednio: ( 009,0) 0] 9,3 4,9; y f cos 669,0 0,574, 0 ( a y f x sin i [(-536,9) 0,5 669,0 0,866 74, ( 656,9) 0,866 (-70,) 0,5 7,4 0 86,3 (-0,5) ( 835,7) (-0,866) (-50,5) (-) 743,3 (-0,866) 54, (-0,5) b (-70,) ( 0,866) 7,4 ( ) 86,3 (-0,866) ( 835,7) (-0,5) (-50,5) 0 743,3 0,554, 0,866 ( 009,0) ] 656,9) (-0,5) ( 47,6) 69,6. [(-536,9) 0,866 W wypadku korzysania z arkusza kalkulacyjnego można wykorzysać wbudowane funkcje do obliczenia sumy iloczynów lub samodzielnie zsumować uprzednio wymnożone warości szeregu bez rendu i funkcji sinus lub cosinus z odpowiadających sobie momenów lub okresów. Na podsawie wyników cząskowych obliczeń warości szeregu czasowego po eliminacji rendu (parz: ab. 3.4) oraz warości funkcji sinus (ab. 3.5) obliczono warość współczynnika a. Wyniki obliczeń zawaro w abeli 3.7. Podobnie warości służące do obliczenia warości b zamieszono w abeli

98 Tab Obliczenia sumy iloczynów dla a (i = ; n = ) 98 y f sin i y f sin i n n -536,9 0,5-536,9 0,5 = -68,5 669,0 0, ,0 0,866= 3,4 3 74, = 74, 4-656,9 0, ,9 5-70, 0,5-35, 6 7,4 0 0,0 7 86,3-0,5-93, 8-835,7-0, ,7 9-50,5-50, ,3-0, ,7 54, -0,5-76, -009,0 0 0,0 9,3 n y f sin i n 4,9 Źródło: obliczenia własne. Tab Obliczenia sumy iloczynów dla b (i = ; n = ) y f cos i y f i n cos n -536,9 0, ,9 0,866 = -97,0 669,0 0,5 669,0 0,5 = 334,5 3 74, 0 = 0, ,9-0,5 88,5 5-70, -0, , 6 7,4 - -7,4 7 86,3-0,866-6, ,7-0,5 97,9 9-50,5 0 0, ,3 0,5 37,7 54, 0,866 30,0-009,0-009,0 n y f cos i n -47,6 Źródło: obliczenia własne. n y f cos i 6 n -69,6

99 Obliczenia dla współczynników harmoniki drugiej a i b przedsawiono odpowiednio w abelach 3.9 i 3.0. Tab Obliczenia sumy iloczynów dla a (i = ; n = ) y f i n sin i sin f -536,9 0,866-97,0 669,0 0,866 3,4 3 74, 0 0, ,9-0, ,9 5-70, -0, , 6 7,4 0 0,0 7 86,3 0,866 6, ,7 0, ,7 9-50,5 0 0, ,3-0, ,7 54, -0,866-30,0-009,0 0 0,0 n y f sin i n 6,8 Źródło: obliczenia własne. n y f sin i 36, 6 n y n 99

100 Tab Obliczenia sumy iloczynów dla b (i = ; n = ) y f i n cos i cos f -536,9 0,5-68,5 669,0-0,5-334,5 3 74, - -74, 4-656,9-0,5 88,5 5-70, 0,5-35, 6 7,4 7,4 7 86,3 0,5 93, 8-835,7-0,5 97,9 9-50,5-50, ,3-0,5-37,7 54, 0,5 76, -009,0-009,0 n y f cos i n -44,3 Źródło: obliczenia własne. n y f cos i -69, 6 n Analogicznie, powarzając obliczenia dla kolejnych harmonik, zn. dla i = 3,, 5, orzymuje się oszacowania kolejnych paramerów modelu. Warość współczynnika a 6, zgodnie ze wzorem z abeli 3., wynosi 0, naomias b 6 orzymuje się jako / sumy iloczynów szeregu bez rendu oraz funkcji: cos, y f cos 54, ( ) ( 009,0) ] n j. b y y 6 cos ; n 86,3 (-) ( 835,7) (-50,5) (-) 743,3 544, 437,0. n b 6 [(-536,9) ( ) 669,0 74, (-) ( 656,9) (-70,) ( ) 7,4 00

101 Obliczenia dla b 6 przedsawiono w abeli 3.. Tab. 3.. Obliczenia sumy iloczynów dla b6 (i = 6; n = ) f cos f y y cos -536,9-536,9 669,0 669,0 3 74, - -74, 4-656,9-656,9 5-70, - 70, 6 7,4 7,4 7 86, , ,7-835,7 9-50,5-50, ,3 743,3 54, - -54, -009,0-009,0 y f cos 544, Źródło: obliczenia własne. y f cos 437,0 Zesaw warości wszyskich paramerów modelu zawaro w abeli 3.. Tab. 3.. Paramery modelu analizy harmonicznej numer harmoniki i ai bi a = 4,9 b = -69,6 a = 36, b = -69, 3 a3 = -46, b3 = -70,9 4 a4 = 09, b4 = -6,8 5 a5 = -5,3 b5 = -9,7 6 a6 = 0 b6 = 437,0 Źródło: obliczenia własne. 0

102 Pełny model analizy harmonicznej orzymany w wyniku przeprowadzonych powyżej obliczeń ma posać: ^ y 6700,9 87,654 4,9sin 69,6cos ,sin 69,cos 46,sin 70,9cos Harmonika 4 Harmonika ,sin 6,8cos 5,3sin 9,7cos Harmonika 6 437,0cos. Harmonika Harmonika Harmonika 3 Rozkłady poszczególnych harmonik ego modelu pokazano na rysunku Rys Rozkład harmonik Źródło: opracowanie własne. 0

103 Eap 4. Oszacowanie udziału poszczególnych harmonik w wyjaśnianiu ogólnej zmienności szeregu Korzysając z ilusracji rozkładu poszczególnych harmonik modelu (rys. 3.6), można zaobserwować, że największe odchylenia warości zmiennej od linii rendu powodują wahania o okresie 4 (harmonika 3). Opisująca je harmonika ma największą ampliudę. Obliczenia ampliud wszyskich harmonik oraz ich udziału w wyjaśnianiu zmienności szeregu przedsawiono w abeli 3.3. Tab Wielkości ampliud oraz udział wariancji uwzględniany przez poszczególne harmoniki i f ai bi ai b ai bi i Ai ai bi s i i i 0,083 4,9-69, , 69,8 0, ,0 0,67 36, -69, 6 078,0 78,0 0, , 3 0,50-46, - 70, ,3 3 4,6 96, ,5 4 0,333 09, -6,8 06,9 0,5 0, 73 4,3 5 0,47-5,3-9,7 08, 3, 0,0 6 69, 6 a b [%] I f na b s 6 0, , ,0 437,0 3, ,7 Źródło: obliczenia własne. Do obliczeń wykorzysano obciążony esymaor wariancji szeregu po wyeliminowaniu rendu: s y f y ,98. W abeli zamieszczono akże obliczone warości periodogramu. Na wykresie periodogramu (rys. 3.7) wyraźniej niż na rysunku z rozkładami poszczególnych harmonik (rys. 3.6) widać, że za przedsawienie sezonowej zmienności analizowanego szeregu odpowiada w zasadzie ylko harmonika

104 Rys Periodogram Źródło: opracowanie własne. Ponieważ harmonika 3 wyjaśnia ponad 96% wariancji analizowanej zmiennej, model można uprościć, uwzględniając w nim ylko ę harmonikę: ^ y ,9 87,654 46,sin 70,9cos. Eap 5. Prognoza Zakładając, że w okresie prognozowanym urzyma się zaobserwowana endencja rozwojowa, a rodzaj i siła wahań sezonowych nie ulegną zmianie, można obliczyć prognozę poprzez eksrapolację zbudowanego modelu na nasępne momeny czasu. Na przykład warość zmiennej r. o godz. 6:00, czyli dla = 3, będzie równała się: 04 6 y 6700,9 87,654 46,sin ,9cos ,. Prognozy na kolejne wybrane godziny r. wynoszą odpowiednio:

105 6 y 6700,9 87,654 46,sin ,9cos 4 098,9; 6 y 6700,9 87,654 46,sin ,9cos 5 06,9; 6 y 6700,9 87,654 46,sin ,9cos 6 583,5. Wyniki obliczeń zebrano w abeli 3.4. Wykres warości rzeczywisych, warości modelu oraz prognozy zamieszczono na rysunku 3.8. Tab Prognoza warości zmiennej Dzień Godzina Wolumen [MW] Model i prognoza Model i prognoza (wszyskie harmoniki) y lj j y y lj j 6:00 45,7 464,4 45,6 : , 947, 9545, : ,0 90, 8705,0 4 00: ,6 4780,6 5394,6 5 6: ,0 4993,0 4437,0 6 : , 9497,7 9938, :00 976,8 9460,7 976,8 8 00: ,4 53, 5566,4 9 6: ,3 5343,6 4979,3 0 :00 030,7 9848,3 030, :00 989,3 98,3 989,3 00: ,7 548,9 5743,7 3 6: , 5303, :00 098,9 0597,0 5 8:00 06,9 9756,8 6 00:00 583,5 6446,5 05

106 Źródło: obliczenia własne. Rys Warości rzeczywise, modelu i prognozy Źródło: opracowanie własne. Obliczone warości zmiennej na podsawie modelu uwzględniającego wszyskie 6 harmonik (kolumna: model i prognoza wszyskie harmoniki) zaprezenowano w abeli 3.3. Waro zwrócić uwagę na osiągane wówczas prawie idealne odwzorowanie szeregu czasowego różnice między warościami rzeczywisymi i warościami modelu nie przekraczają 0, MW. Jednak, o czym była mowa powyżej, nie musi o oznaczać dokładniejszej prognozy na nasępny ydzień. Korzysanie z uproszczonego do jednej harmoniki modelu daje różnice maksymalnie rzędu 6 MW. Kluczowe zagadnienia: analiza harmoniczna, analiza Fouriera, harmonika, periodogram 06