FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS

Transkrypt

1 FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Sein., Oeconomica 2014, 313(76)3, Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki MODELE WYRÓWNYWANIA WYKŁADNICZEGO W PROGNOZOWANIU ZMIENNYCH EKONOMICZNYCH ZE ZŁOŻONĄ SEZONOWOŚCIĄ EXPONENTIAL SMOOTHING MODELS IN FORECASTING OF ECONOMIC VARIABLES WITH COMPLEX SEASONALITY Sudium Maemayki, Zachodniopomorski Uniwersye Technologiczny w Szczecinie al. Piasów 48, Szczecin, Maria.Szmuksa-Zawadzka@zu.edu.pl Kaedra Zasosowań Maemayki w Ekonomii, Zachodniopomorski Uniwersye Technologiczny w Szczecinie ul. Klemensa Janickiego 31, Szczecin, jan.zawadzki@zu.edu.pl Summary. In he paper will be proposed applicaion of exponenial smoohing models in forecasing variables wih complex seasonaliy, based on high-frequency ime series, from which seasonal flucuaions were eliminaed. Theoreical consideraions will be illusraed by an empirical example. Słowa kluczowe: dane oczyszczone z sezonowości, modele adapacyjne, prognozowanie, złożona sezonowość. Key words: complex seasonaliy, exponenial smoohing models, forecasing, seasonal adjused daa. WSTĘP W modelowaniu i prognozowaniu na podsawie szeregów czasowych o wysokiej częsoliwości obserwowania wykorzysane są m.in. klasyczne modele szeregu czasowego ze złożoną sezonowością. W modelach ych wahania składowe opisywane są za pomocą zmiennych zero-jedynkowych lub wielomianów rygonomerycznych. Addyywny model szeregu czasowego z liniowym rendem i sałymi wahaniami sezonowymi dla danych dziennych, uwzględniający wahania złożone o cyklu 12-miesięcznym (rocznym) i ygodniowym (7-dniowym), opisane za pomocą zmiennych zero-jedynkowych przyjmuje posać (por. np. Kufel 2010, Szmuksa-Zawadzka i Zawadzki 2011): 12 7 = 1 + α 0 + b0i M i + i = 1 j = 1 Y α c D + U (1) przy warunkach: i = 0 j = i = 1 j = 1 0 j j b c 0 (2) M i miesiąc, D j dzień ygodnia, U składnik losowy.

2 138 M. Szmuksa-Zawadzka i J. Zawadzki Model (1) jes szczególnym przypadkiem modelu z asocjacją zmiennych zero-jedynkowych (por. Wiśniewski 1986). Wahania o wymienionych wyżej długościach cykli mogą być opisane akże za pomocą wielomianów rygonomerycznych zawierających składowe harmoniczne sinuso- i cosinusoidalne. Liczba harmonik będących sumą składowych sinuso- i cosinusoidalnych dla wahań o cyklu rocznym wynosi 6, zn. równa jes połowie długości cyklu. W przypadku wahań o cyklu 7-dniowym jes ona równa połowie pomniejszonej o jedną długość ego cyklu wynosi zaem 3. Model harmoniczny ze złożoną sezonowością i z liniowym rendem można zapisać nasępująco (Szmuksa-Zawadzka i Zawadzki 2011): 6 ( a0 i sinωi m + b0 i cosωi m) + ( a0 j sinωj + b0 j ωj) U Y = α 1 + α0 + cos + (3) i = 1 3 j= 1 m = 1, 2,,12,, 12r, (r oznacza numer roku), = 1, 2,,7,, n. W modelu (3) wysępują dwie zmienne oznaczające czas, przy czym zmienna m ma charaker pomocniczy i odnosi się do kolejnych miesięcy. Takie jej zdefiniowanie sprawia, że isnieje równoważność modelu z wielomianem rygonomerycznym (3) i modelu ze zmiennymi zero- -jedynkowymi (1). W prognozowaniu zmiennych ze złożoną sezonowością wykorzysuje się akże modele hierarchiczne (por. np. Szmuksa-Zawadzka i Zawadzki 2012) oraz modele hybrydowe, w kórych składowe sezonowe opisywane są za pomocą dwóch różnych rodzajów modeli (Szmuksa- -Zawadzka i Zawadzki 2014). W lieraurze z obszaru saysyki i ekonomerii można spokać wiele przykładów zasosowania modeli adapacyjnych do modelowania i prognozowania zjawisk, w kórych wysępuje jeden rodzaj wahań (np.: miesięczne, dekadowe). W pracy (Szmuksa-Zawadzka i Zawadzki 2012 a) dokonano syneycznego przeglądu publikacji, ze szczególnym uwzględnieniem prac poświeconych prognozowaniu brakujących danych. Przedsawiono w niej akże dla wybranej zmiennej wyniki oraz analizę porównawczą dokładności prognoz orzymanych różnymi meodami. Dla danych nieoczyszczonych (z sezonowością) najczęściej wykorzysywane były modele Hola-Winersa (addyywny i muliplikaywny). Naomias dla danych oczyszczonych z sezonowości meody wyrównywania wykładniczego: Browna (prosy, liniowy i kwadraowy) oraz liniowy model Hola, a akże meody numeryczne. Prognozy osaeczne, w zależności od sposobu eliminacji wahań, orzymuje się po przemnożeniu przez wskaźniki lub przez dodanie składników sezonowości. Prognozy dla danych oczyszczonych mogą być akże budowane jako sumy lub iloczyny warości rendów szacowanych KMNK i odpowiednio składników lub wskaźników sezonowości. Tego rodzaju posępowanie określane jes mianem meody wskaźnikowej lub meody wskaźników sezonowości (por. Zeliaś i in. 2003, s. 90, Dimann 2006, s. 85). Celem arykułu jes próba wykorzysania modeli adapacyjnych do modelowania i prognozowania zmiennej ze złożoną sezonowością dla danych dziennych, oczyszczonych z jednego lub dwóch rodzajów wahań sezonowych. Zakładać będziemy, że w szeregu czasowym dla

3 Modele wyrównywania wykładniczego w prognozowaniu zmiennych ekonomicznych 139 danych dziennych wysępują wahaniami o cyklu ygodniowym (7-dniowym) i rocznym (12- -miesięcznym). Egzemplifikacją rozważań eoreycznych będzie modelowanie i prognozowanie dziennej sprzedaży paliw płynnych na sacji benzynowej X. Kszałowanie się zmiennej w okresie esymacyjnym będzie obejmować okres blisko dwuleni. Naomias rzeci rok będzie okresem empirycznej weryfikacji prognoz. OPIS METOD W modelowaniu na podsawie danych w posaci szeregów czasowych, niezależnie od rodzaju modelu, wyróżnia się posać addyywną lub muliplikaywną. Podsawą rozróżnienia jes sposób nakładania się na siebie składowych szeregu czasowego. W pierwszym przypadku jes o suma, w drugim iloczyn. Ogólny zapis modelu addyywnego ze złożonymi wahaniami sezonowymi, oznaczonego symbolem (a), jes nasępujący: ( a ) ( a ( ) ( ) ) ( a Y ( ) ) a = P + M + D ( ) + V ( a ) (4) P (a) () rend, M (a) () składniki sezonowości o cyklu 12-miesięcznym, D (a) () składniki sezonowości o cyklu 7-dniowym, V (a) składnik losowy. Naomias posać ogólna modelu muliplikaywnego, oznaczonego symbolem (m), wyraża się wzorem: ( m ) ( m ( ) ( ) ) ( m Y ( ) ) m = P M D ( ) V ( m) (5) P (m) () rend, M (m) () wskaźniki sezonowości o cyklu 12-miesięcznym, D (m) () wskaźniki sezonowości o cyklu 7-dniowym, V (m) składnik losowy. Bezpośrednie wykorzysanie modeli Hola-Winersa nie jes możliwe, ponieważ wymagałoby wprowadzenia dodakowego, czwarego równania opisującego wahania o cyklu rocznym uwzględniającego różną długość miesięcy. Jak się wydaje, ze względów prakycznych, mogą wchodzić w grę m.in. modele Hola- -Winersa dla danych oczyszczonych, z kórych wyeliminowano wahania o cyklu rocznym ( Y ). Jeżeli eliminacji dokonano, odejmując składniki sezonowości (M (a) ()), o będzie o model w posaci addyywnej. W przypadku podzielenia warości zmiennej prognozowanej przez wskaźniki sezonowości (M (m) ()) będziemy mieć do czynienia z posacią muliplikaywną. Zapis modelu addyywnego Hola-Winersa (A_HW) jes nasępujący (Pawłowski 1973): m α Y c + α m (6) ( L ) ( 1 ) 1 ( m ) ( ) m 1 + β δ 1 1 ( Y m ) + ( ) C = 1 = β 1 δ (7) C = γ γ (8) 1 m 0 α, β, γ 1 (9)

4 140 M. Szmuksa-Zawadzka i J. Zawadzki m rend (operaor rzędu pierwszego), δ 1 przyros rendu, C składnik sezonowości. Predykor opary na ym modelu przyjmuje posać: Π = + δ h + C (10) A _ HW m h 0 okres wyjściowy budowy prognoz, h horyzon prognozy. Prognozę osaeczną, uwzględniającą wahania sezonowe, orzymuje się na podsawie predykora o posaci: Π A _ HW = Π A _ HW ( + M a ) ( ) (11) Model muliplikaywny Hola-Winersa (M_HW) można zapisać nasępująco: α Y m = + ( 1 α )( m ) + δ C m ( m ) ( ) m 1 + β δ = β 1 γy = + ( 1 γ ) C m m δ (13) C 0 α, β, γ 1. (15) Predykory: wyjściowy i końcowy, wyrażają się wzorami: Π = + δ h C (16) Π ( ) M _ HW m m+ h ( ) ( ) M m M _ HW = Π M _ HW (17) Naomias dane, z kórych wyeliminowano dodakowo akże wahania o cyklu ygodniowym (D (a) () lub D (m) ()) oznaczać będziemy przez Y. Do budowy prognoz na ich podsawie mogą być wykorzysane na przykład prose modele Browna i modele Hola. Równanie addyywnego prosego modelu Browna (A_BS) jes nasępujące: m α Y + α m (18) ( ) = α 1. (19) Predykory wyjściowy i końcowy przyjmują posać: Π = m (20) A _ BS 0 ( a ) ( ) ( a D ) ( ) Π A _ BS = Π A _ BS + M +. (21) Znaczenie poszczególnych symboli jes akie jak w modelach Hola-Winersa. W modelu muliplikaywnym równanie modelu prosego Browna (M_BS) różni się od posaci addyywnej jedynie sposobem wyznaczenia warości oczyszczonych ( Y ) są one ilorazami warości zmiennej prognozowanej i wskaźników sezonowości o cyklu rocznym i ygodniowym. Predykory wyjściowy i końcowy są nasępujące: Π = m (22) M _ BS 0 ( m ) ( ) ( m D ) ( ) Π M _ BS) = Π M _ BS M. (23) (12) (14)

5 Modele wyrównywania wykładniczego w prognozowaniu zmiennych ekonomicznych 141 Addyywny model liniowy Hola (A_H) można zapisać (Pawłowski 1973): + m α Y α m δ (24) ( )( ) = ( m m ) + ( β ) δ 1 = β δ (25) 0 α, β 1. (26) Predykory wyjściowy i końcowy wyrażają się wzorami: Π = m + h (27) A _ H δ ( a ) ( ) ( a D ) ( ) Π A _ H = Π A _ H + M +. (28) Równania posaci muliplikaywnej modelu Hola (M_H) różnią się, podobnie jak w przypadku modelu Browna, jedynie sposobem eliminacji wahań sezonowych. Posacie predykorów są nasępujące: Π = m + h (29) A _ H δ ( m ) ( ) ( m D ) ( ) Π M _ H = Π M _ H M. (30) Znaczenie poszczególnych symboli w zapisach modeli dla danych oczyszczonych z sezonowości, zapisanych za pomocą wzorów (18 30), jes akie same jak w modelach Hola-Winersa (wzory 6 17). PRZYKŁAD EMPIRYCZNY Ilusracją przedsawionych wyżej rozważań o charakerze eoreycznym, jak zaznaczono we wsępie, będzie przykład empiryczny doyczący modelowania i prognozowania dziennej sprzedaży paliw płynnych na sacji benzynowej X. Kszałowanie się zmiennej w okresie esymacyjnym obejmującym niepełne dwa laa (724 obserwacje od 7 sycznia pierwszego roku do 31 grudnia roku drugiego) zosało przedsawione na rysunku 1. Naomias rzeci rok będzie okresem empirycznej weryfikacji prognoz. hl dni Rys. 1. Wielkość sprzedaży paliw płynnych na sacji benzynowej X Źródło: Baza Danych Kaedry Zasosowań Maemayki w Ekonomii.

6 142 M. Szmuksa-Zawadzka i J. Zawadzki W abeli 1 zesawiono oceny wskaźników i składników sezonowości o cyklach 12-miesięcznym i 7-dniowym. Ich oszacowania zosaną wykorzysane najpierw do eliminacji wahań sezonowych, a nasępnie wyznaczenia prognoz końcowych. Tabela 1. Oceny wskaźników i składników sezonowości o cyklach 12-miesięcznym i 7-dniowym Dzień Wskaźniki sezonowe Składniki sezonowe Miesiąc Wskaźniki sezonowe Składniki sezonowe Poniedziałek 1, ,30 syczeń 0, ,19 Worek 1,015 71,09 luy 0, ,38 Środa 1, ,10 marzec 0, ,37 Czwarek 1, ,76 kwiecień 0,987 50,84 Piąek 1, ,12 maj 1, ,46 Soboa 0, ,90 czerwiec 1, ,36 Niedziela 0, ,46 lipiec 1, ,35 Źródło: opracowanie własne. sierpień 1, ,99 wrzesień 1, ,27 październik 1, ,72 lisopad 0, ,09 grudzień 0,971 37,28 Z informacji zawarych w abeli, odnoszących się do miesięcy, wynika, że wskaźniki sezonowości przyjmują warości powyżej jedności dla miesięcy od maja do października. Dla pozosałych miesięcy są one niższe od jedności. Maksimum sezonowe przypada w lipcu, a minimum sezonowe w luym. Ampliuda wahań wynosi 29,5%. Składniki sezonowości przyjmują warości dodanie w ych samych miesiącach, w kórych wskaźniki były większe od jedności. Naomias warości ujemne w ych miesiącach, w kórych były one mniejsze od jedności. Maksymalne dodanie odchylenie od rendu w przypadku lipca wynosi 713,35 l, a maksymalne ujemne przypada na luy i wynosi 1026,38 l. W przypadku dni ygodnia ocenami wskaźników sprzedaży paliw wyższymi od jedności charakeryzują się dni robocze od poniedziałku do piąku. Oceny niższe od jedności orzymano dla soboy i niedzieli. Maksymalną ocenę przyjął wskaźnik dla czwarku (1,108%), a minimalną dla soboy (0,828%). Ampliuda ocen wskaźników sezonowości wynosi zaem 27,9%. Składniki sezonowości przyjęły warości dodanie w ych samych dniach, w kórych wskaźniki były wyższe od jedności. Naomias warości ujemne w dniach o niższych od jedności ocenach wskaźników. Maksymalną ocenę wynoszącą 535,76 l składnik przyjmuje dla czwarków (535,76 l), a minimalną dla soboy ( 832,90 l). Zaem ampliuda ocen składników sezonowości wynosi 1368,66 l. Zamieszczone w abeli oceny wskaźników i składników sezonowości zosaną wykorzysane do eliminacji wahań sezonowych. Szeregi czasowe oczyszczone z wahań o cyklu rocznym ( Y ) posłużyły do budowy prognoz na podsawie modeli Hola-Winersa o posaciach muliplikaywnej i addyywnej. Naomias zmienna Y, z kórej wyeliminowano obydwa rodzaje wahań, będzie podsawą budowy prognoz na podsawie prosych modeli Browna i modeli Hola. W modelowaniu i prognozowaniu adapacyjnym zosały wykorzysane szeregi czasowe oczyszczone z sezonowości rocznej ( Y ) oraz z sezonowości rocznej i ygodniowej ( Y ).

7 Modele wyrównywania wykładniczego w prognozowaniu zmiennych ekonomicznych 143 W pierwszym przypadku były o modele Hola-Winersa w posaci addyywnej i muliplikaywnej, a w drugim modele: prosy Browna i Hola o ych samych posaciach. W abeli 2 zesawiono modele addyywne i muliplikaywne o opymalnych warościach sałych wygładzania. Modele e charakeryzowały się minimalnymi ocenami błędów względnych warości wyrównanych (WW) lub błędów prognoz ex pos (PROG) obliczonych dla okresu empirycznej weryfikacji prognoz dla horyzonu h = 348 dni. Analiza porównawcza dwóch rodzajów błędów pozwoli odpowiedzieć na pyanie: Czy orzymanie minimalnych ocen błędów warości wyrównanych gwaranuje uzyskanie najbardziej dokładnych prognoz?. Niższe z ocen danego rodzaju błędów wyróżnione zosały łusym drukiem. Tabela 2. Minimalne oceny średnich błędów względnych warości wyrównanych i prognoz ex pos oraz opymalne warości sałych wygładzania Model A_BS A_H A_HW Miernik doyczy Sałe wygładzania MAPE(%) α β γ WW PROG Modele addyywne WW 0,07 11,96 16,17 PROG 0,22 12,32 14,86 WW 0,1 0,1 14,03 123,8 PROG 0,03 0,08 25,09 13,29 WW 0,07 0,01 0,1 10,83 14,95 PROG 0,01 0,07 0,02 12,91 13,18 A_Kl. 14,59 13,09 M_BS M_H M_HW Modele muliplikaywne WW 0,04 15,76 16,66 PROG 0,38 17,32 12,14 WW 0,1 0,1 17,7 89,23 PROG 0,1 0,02 22,88 11,65 WW 0,06 0,01 0,01 10,88 12,21 PROG 0,06 0,01 0,03 12,07 11,41 M_Kl 16,08 12,70 współczynnik zmienności losowej. Źródło: opracowanie własne. Z informacji zawarych w abeli 2 wynika, że odpowiedź na posawione wyżej pyanie nie jes pozyywna. Oznacza o, że kryerium wyboru modelu dla celów prognozowania eksrapolacyjnego nie mogą być minimalne oceny błędów warości wyrównanych, lecz błędy prognoz ex pos. Modele orzymane dla minimalnych ocen obu mierników różnią się sałymi wygładzania, przy czym niekiedy różnice e są bardzo duże. Widoczne jes o przede wszyskim w przypadku modeli Hola, dla kórych kilkunasoprocenowym ocenom błędów warości wyrównanych odpowiadają wielokronie wyższe błędy prognoz ex pos, wynoszące dla posaci addyywnej i muliplikaywnej odpowiednio: 123,8% oraz 89,23%. Dla pozosałych modeli różnice między ocenami błędów nie przekraczają 5,18 p.p. Tabela zawiera ponado, zamieszczone w celach porównawczych, oceny współczynników zmienności losowej oraz błędy prognoz ex pos, orzymane dla modeli klasycznych: z liniowym rendem i sałymi składnikami sezonowymi o cyklu rocznym i ygodniowym (A_Kl) oraz z rendem wykładniczym o sałej sopie wzrosu i relaywnie sałych wahaniach sezonowych (M_Kl).

8 144 M. Szmuksa-Zawadzka i J. Zawadzki Z analizy opymalnych warości sałych wygładzania dla dwuparamerowych modeli Hola oraz rzyparamerowych modeli Hola-Winersa wynika, że wszyskie sałe wyrównywania przyjmują warości nieprzekraczające 0,1. Oznacza o, że najnowszym obserwacjom lub składowym nadawane są wagi nieprzekraczające 10%, a więc prognozowane zjawisko charakeryzuje się sosunkowo dużym sopniem inercji. Minimalną ocenę prognoz błędów warości wyrównanych (WW), wynoszącą 12,07%, orzymano dla predykaora oparego na muliplikaywnej posaci modelu Hola-Winersa (M_HW) o sałych wygładzania wynoszących odpowiednio: α = 0,06; β = 0,01 oraz γ = 0,01. Oceny błędów poniżej 13% orzymano akże dla posaci addyywnej prosego modelu Browna (A_BS) dla α = 0,22 oraz addyywnego modelu Hola-Winersa (A_HW) o sałych wyrównywania: α = 0,07, β = 0,01, γ = 0,10. Oceny błędów orzymane na podsawie wyżej wymienionych modeli są niższe od współczynnika zmienności losowej klasycznego modelu addyywnego (14,59%). Zwracają uwagę bardzo wysokie, przekraczające 22%, oceny błędów WW orzymane dla obu posaci modelu Hola. Z informacji zamieszczonych w abeli wynika, że najniższą ocenę błędu prognoz eksrapolacyjnych (PROG), wynoszącą 11,41%, orzymano, podobnie jak dla warości wyrównanych, dla predykora oparego na muliplikaywnej posaci modelu Hola-Winersa (M_HW), ale dla warości sałej wygładzania γ wynoszącej 0,03. Naomias dla danych z podwójnie wyeliminowaną sezonowością (Y ) najniższą ocenę błędu prognoz ex pos (11,65%) orzymano dla modelu muliplikaywnego Hola (M_H) ze sałymi wygładzania wynoszącymi odpowiednio: 0,10 i 0,02. Z abeli wynika akże, że oceny błędów prognoz eksrapolacyjnych (PROG) dla najlepszych modeli muliplikaywnych są od 4,4% do 10,2% niższe od średniego względnego błędu prognoz ego rodzaju prognoz, orzymanych na podsawie klasycznego modelu muliplikaywnego ze złożoną sezonowością (M_Kl), wynoszącego 12,70%. Dokładność prognoz dla modeli muliplikaywnych jes o około 1,5 3,0 p.p. wyższa od dokładności dla posaci addyywnej. Ocena błędu średniego prognoz orzymanego na podsawie predykaora oparego na modelu klasycznym jes wyższa od 0,09 p.p. do 1,77 p.p od ocen orzymanych dla addyywnych modeli wyrównywania wykładniczego. Na uwagę zasługuje akże orzymanie znacznie niższych, niż dla warości wyrównanych, ocen błędów prognoz eksrapolacyjnych orzymanych dla obu posaci modelu Hola. Oceny e są ylko nieznacznie wyższe od ocen orzymanych dla modeli najlepszych. PODSUMOWANIE Z przeprowadzonych w pracy badań wyprowadzić można nasępujące wnioski: 1. W przypadku modelowania i prognozowania zmiennych o niezby silnej dynamice opymalne warości sałych wygładzania w modelach Hola i Hola-Winersa przybierają warości bliskie zeru. 2. Kryerium wyboru modelu dla celów prognozowania nie mogą być przecięne błędy względne warości wyrównanych, lecz błędy względne prognoz ex pos.

9 Modele wyrównywania wykładniczego w prognozowaniu zmiennych ekonomicznych Wyższą dokładnością prognoz charakeryzowały się modele muliplikaywne. Spośród nich minimalną ocenę błędu orzymano dla modelu Hola-Winersa dla danych, z kórych wyeliminowano sezonowość roczną. 4. Błędy prognoz ex pos orzymanych na podsawie predykorów muliplikaywnych były od 4% do 10% niższe od błędów prognoz orzymanych na podsawie najlepszego modelu klasycznego. W oku badań wykazano, że modele wyrównywania wykładniczego dla danych oczyszczonych z sezonowości mogą być użyecznym narzędziem prognozowania zmiennych ekonomicznych ze złożoną sezonowością. PIŚMIENNICTWO Dimann P Prognozowanie w przedsiębiorswie. Meody i ich zasosowanie. Kraków Wolers Kluwer Polska. ISBN Kufel T Ekonomeryczna analiza cykliczności procesów gospodarczych o wysokiej częsoliwości obserwowania. Toruń. Wydaw. Nauk. Uniw. Mikołaja Kopernika. ISBN Pawłowski Z Prognozowanie ekonomeryczne. Warszawa. PWN. Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J Zasosowanie modelowania ekonomerycznego w prognozowaniu brakujących danych w szeregach o wysokiej częsoliwości, w: Pr. Nauk. Uniw. Ekon. Wrocław. Ekonomeria 34, Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J O meodzie prognozowania brakujących danych w dziennych szeregach czasowych z lukami sysemaycznymi, w: meody ilościowe w badaniach ekonomicznych (Quaniaive Mehods in Economics). T. 13, Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J a. Z badań nad meodami prognozowania na podsawie niekomplenych szeregów czasowych z wahaniami okresowymi (sezonowymi), w: Prz. Sa. nr spec. 1. Warszawa, Szmuksa-Zawadzka M., Zawadzki J Wykorzysanie modeli hybrydowych w prognozowaniu brakujących danych w szeregach ze złożoną okresowością (sezonowością), w: Maemayka i informayka na usługach ekonomii: rozważania ogólne. Red. W. Jurek. Poznań. Wydaw. Uniw. Ekon. Poznań, ISBN Wiśniewski J Ekonomeryczne badanie zjawisk jakościowych. Sudium meodologiczne. Toruń. Uniw. Mikołaja Kopernika. ISBN Zeliaś A., Pawełek B., Wana S. 2003, Prognozowanie ekonomiczne. Teoria. Przykłady. Zadania. Warszawa. PWN. ISBN

10