KRYTERIA WYBORU DYNAMICZNYCH MODELI CZYNNIKOWYCH DLA CELÓW PROGNOSTYCZNYCH

Transkrypt

1 Jan Acedański Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach KRYTERIA WYBORU DYNAMICZNYCH MODELI CZYNNIKOWYCH DLA CELÓW PROGNOSTYCZNYCH Wprowadzenie Dynamiczne modele czynnikowe (dynamic facor models DFM) są ważnym narzędziem wykorzysywanym w krókookresowym prognozowaniu makroekonomicznym. Podejście o częso jes sosowane przez banki cenralne jako narzędzie wspomagające krókookresowe prognozowanie kluczowych zmiennych makroekonomicznych [5; 6; 7]. Isoa meody sprowadza się do agregacji dużej liczby poencjalnych zmiennych objaśniających do kilku wzajemnie niezależnych czynników, kóre nasępnie wykorzysywane są do prognozowania wybranej zmiennej. Wyodrębnianie czynników najczęściej dokonywane jes za pomocą klasycznej meody składowych głównych lub jej modyfikacji. Równanie prognosyczne opisujące zależność pomiędzy zmienną prognozowaną a czynnikami ma zwykle posać liniową. Oprócz czynników w równaniu ym mogą wysąpić ich opóźnienia, a akże składniki o charakerze auoregresyjnym. Jednym z ważniejszych problemów związanych ze sosowaniem omawianego podejścia jes specyfikacja modelu. W szczególności konieczne jes podjęcie decyzji doyczących liczby czynników branych pod uwagę przy prognozowaniu, a akże liczby ewenualnych opóźnień wysępujących w równaniu prognosycznym. W lieraurze przedmiou opisywanych jes wiele podejść sosowanych w celu wyboru modelu dla celów prognosycznych, np. wybór opymalnej liczby czynników dokonywany był częso na podsawie zmodyfikowanych kryeriów informacyjnych zaproponowanych przez [3; 7], a wybór dokładnej specyfikacji równania prognosycznego był opary na sandardowym kryerium informacyjnym BIC [2; 13]. Dość częso akże liczba czynników oraz opóźnień usalana była ad hoc na arbiralnym, zwykle niewielkim poziomie [5; 12].

2 194 Jan Acedański W osanich laach pojawiły się w lieraurze podejścia, kóre pozwalają na dokonanie jednoczesnego wyboru liczby czynników oraz opóźnień w równaniu prognosycznym. Bai i Ng [3] oraz Groen i Kapeanios [11] zaproponowali zasosowanie w ym celu zmodyfikowanych kryeriów informacyjnych. Jeszcze inną możliwością jes wybór najlepszego modelu na podsawie analizy jakości prognoz wygasłych modeli z różną liczbą czynników oraz opóźnień. Celem pracy jes porównanie omówionych rzech podejść do wyboru najlepszego modelu DFM dla celów prognosycznych: zmodyfikowanych kryeriów informacyjnych, wyłącznej analizy dokładności prognoz wygasłych oraz podejścia radycyjnego łączącego kryeria informacyjne i analizę prognoz wygasłych. Badane jes, kóre z ych rzech podejść generuje najlepsze prognozy poza próbą. Podsawowym kryerium oceny jakości prognoz jes błąd średniokwadraowy RMSE. W badaniach wykorzysano zarówno szeregi generowane na podsawie symulacji Mone Carlo, jak i dane rzeczywise doyczące prognozowania miesięcznej sopy inflacji w Polsce. 1. Modele czynnikowe w prognozowaniu Isoa prognozowania za pomocą dynamicznych modeli czynnikowych opiera się na założeniu, że źródłem dynamiki bardzo wielu zmiennych ekonomicznych jes niewielka liczba niezależnych czynników [16]. Jeżeli X oznacza wekor N zmiennych objaśniających obserwowanych w chwili, wedy powyższe założenie można sformalizować w posaci: X = F L + ε, = 1, 2,, T (1) gdzie F jes K-wymiarowym wekorem czynników, L K N-wymiarową macierzą ładunków czynnikowych, naomias ε reprezenuje N-wymiarowy wekor składników losowych. O czynnikach zakłada się, że są one między sobą niezależne: E ( F i, F j ) = dla i j oraz niezależne od zaburzeń losowych: E( F i, ε i ) =. Ponado zakłada się, że składniki losowe mają zerową warość oczekiwaną E( ε i ) = oraz są niezależne między sobą E( ε i, ε j ) =, i j. Oprócz powyższych założeń zwykle przyjmuje się akże, że macierz ładunków czynnikowych jes sała oraz że nie wysępuje auokorelacja składników losowych, chociaż uchylenie ych założeń jes możliwe [9]. Liczba czynników K oraz ich realizacje nie są obserwowane i muszą być esymowane przez badacza. Fak, że czynniki nie są obserwowane sprawia, że w omawianej syuacji nie powinno się sosować sandardowych kryeriów informacyjnych przy wyborze liczby czynników oraz opóźnień w równaniu prognosycznym.

3 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 195 Najpopularniejszą meodą esymacji czynników jes meoda składowych głównych (principal componens analysis PCA). Pozwala ona na znalezienie akich N-wymiarowych wekorów czynników Fˆ oraz akiej N N-wymiarowej macierzy ładunków czynnikowych ˆL, że: X = F Lˆ, = 1, 2,, T (2) ˆ Esymowane czynniki Fˆ są wzajemnie niezależne oraz uporządkowane w akiej kolejności, że zmiany kolejnego czynnika wyjaśniają coraz mniejszy odseek wahań zmiennych obserwowanych z wekorów X. Przy szacowaniu Fˆ oraz Lˆ meodą składowych głównych wykorzysuje się dekompozycję macierzy X X, w kórej X X X L X ]. Kolejne = [ 1 2 T kolumny macierzy Lˆ są wekorami własnymi macierzy X X związanymi z kolejnymi, uporządkowanymi malejąco warościami własnymi ej macierzy [16]. Przy danej macierzy ładunków czynnikowych realizacje czynników można 1 ławo obliczyć jako ˆ ˆ F = X L. Czasami zdarza się, że niekóre wekory X są niekomplene, szczególnie na końcu lub począku próby. W akiej syuacji przy esymacji czynników sosowany jes dodakowo algorym maksymalizacji oczekiwań (expecaions maximizaion EM) [16]. Algorym en ma charaker rekurencyjny, składający się z dwóch podsawowych kroków. W pierwszym kroku w oparciu o dane warości Fˆ oraz Lˆ uzupełniane są brakujące elemeny w niekomplenych wekorach X. W drugim kroku korzysając już z komplenych wekorów X dokonuje się esymacji Fˆ oraz Lˆ zwykłą meodą składowych głównych. Sarowe warości Fˆ oraz Lˆ w procedurze wyznacza się najczęściej biorąc pod uwagę ylko komplene wekory X. Meoda PCA zakłada sayczną zależność pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a czynnikami. W przypadku przyjęcia założenia, że zależność a nie ma charakeru saycznego sosowane są inne meody esymacji czynników, np. wykorzysujące analizę spekralną [9] lub filry Kalmana [8]. W drugim kroku, po wyborze właściwej liczby czynników specyfikowane jes równanie prognosyczne, kóre można przedsawić w nasępującej posaci: Y ny nf + h = + αi+ 1Y i + i= j= α β ˆF + ε (3) j ( k ) Y

4 196 Jan Acedański ˆ ( k ) ˆ ( k ) gdzie Y oznacza zmienną prognozowaną, F reprezenuje wekor k pierwszych oszacowanych czynników, ε Y jes składnikiem losowym, naomias α i oraz β j są paramerami równania. Horyzon prognozy oznaczony zosał przez h, n y jes nieznaną liczbą opóźnionych warości zmiennej prognozowanej, naomias n f reprezenuje opóźnienia czynników. Paramery równania (3) szacowane są meodą najmniejszych kwadraów. Należy zwrócić uwagę, że omówione uaj podejście jes zbliżone do koncepcji prognozowania za pomocą wskaźników wyprzedzających. Równanie (3) wskazuje bowiem, że czynniki mają charaker wskaźników wyprzedzających. W ym miejscu ujawnia się pewna niespójność całego omawianego podejścia, gdyż przy esymacji czynników zakładano, że zależności pomiędzy czynnikami a zmiennymi X mają charaker jednoczesny. Tymczasem w prakyce do zbioru zmiennych objaśniających zalicza się bardzo wiele zmiennych nie parząc na o, czy mają one charaker wskaźników wyprzedzających względem zmiennej prognozowanej. Specyfikacja (3) ma więc charaker ad hoc. Alernaywne podejście polega na specyfikacji równania opisującego zależności jednoczesne pomiędzy Y a F wraz z ewenualnymi opóźnieniami [7], jednak w akiej syuacji sawianie prognoz wymaga znajomości przyszłych warości czynników, a więc konieczne jes skonsruowanie jeszcze jednego modelu służącego do prognozowania przyszłych warości czynników. W ym celu najczęściej sosowane są modele wekorowej auoregresji. 2. Meody wyboru liczby czynników oraz opóźnień w równaniu prognosycznym W lieraurze opisywanych jes kilka meod wyboru opymalnej liczby czynników oraz specyfikacji równania prognosycznego. Można je podzielić na dwie grupy. W pierwszej obie decyzje są dokonywane oddzielnie. Do drugiej grupy należą meody jednoczesnego wyboru liczby czynników i opóźnień Kryeria Bai i Ng wyboru liczby czynników Najpopularniejszymi kryeriami wyboru liczby czynników są modyfikacje sandardowych kryeriów informacyjnych zaproponowane przez Bai i Ng [3]. Meoda składowych głównych generuje N czynników, a więc yle samo, ile jes zmiennych obserwowanych worzących wekory X. Bai oraz Ng zaproponowali kryeria, kóre pozwalają na esymację nieznanej liczby K czynników

5 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 197 rzeczywisych. Meoda a daje właściwe oszacowania asympoycznie, zn., gdy badacz dysponuje jednocześnie długimi szeregami czasowymi T oraz dużym zbiorem zmiennych objaśniających N. W omawianym podejściu rozważa się sekwencję modeli posaci (1), w kórych uwzględnianych jes k pierwszych czynników k = 1, 2,..., kmax wraz z odpowiednimi posaciami macierzy ładunków czynnikowych uzyskanych meodą głównych składowych. Jeżeli przez V(k) oznaczyć łączną wariancję wszyskich resz w modelu z k czynnikami: N T 1 k V ( k) = ˆ ˆ X i Fj L ji (4) NT i= 1 = 1 j= 1 2 naomias ˆ σ oznacza oszacowanie wariancji wszyskich składników losowych ε i, wedy opymalna liczba czynników kˆ powinna zosać usalona na akim poziomie, aby warości kryeriów: 2 N + T NT PC( k) = V ( k) + k ˆ σ ln (5) NT N + T 2 N + T IC( k) = ln( V ( k)) + k ˆ σ ln( min{ N, T} ) NT (6) były jak najmniejsze. W prakycznych zasosowaniach ˆ σ 2 może być przybliżane przez V k ). W pracy Bai i Ng powyższe kryeria były oznaczane ( MAX 1 k 2 k jako PC p ( ) oraz IC p ( ). W badaniach porównawczych kryeria e odznaczały się dobrymi własnościami w porównaniu do innych kryeriów rozważanych w cyowanym opracowaniu. Należy jeszcze zaznaczyć, że w osanich laach pojawiło się w lieraurze kilka alernaywnych kryeriów o korzysnych własnościach w porównaniu do kryeriów przedsawionych powyżej, choć nie są one jeszcze ak popularne w zasosowaniach prognosycznych [1; 14; 15] Meody analizy prognoz wygasłych w wyborze liczby opóźnień w równaniu prognosycznym Wyboru właściwej liczby opóźnień n y i n f można akże dokonywać poprzez porównanie jakości prognoz wygasłych modeli z różnymi liczbami opóźnień. W zbiorze T obserwacji wyodrębnia się r okien obserwacyjnych, począwszy od pierwszego obejmującego obserwacje o numerach 1, 2,, T p. Kolejne okna są

6 198 Jan Acedański albo przesuwane o jedną obserwację wprzód (rolling window), albo rozszerzane o kolejną obserwację (expanding window). W pierwszym przypadku okna liczą zawsze obserwacji T p. W drugim liczba obserwacji wzrasa o jeden. Nasępnie dla każdej meody m oraz okna i szacowane są paramery równania (3) oraz wyznaczane są prognozy na h okresów do przodu: ˆ ( m, h, i), kóre są porównywane z rzeczywisymi warościami zmiennej prognozowanej w danym okresie. Jako podsawową miarę jakości prognoz przyjęo w pracy błąd średniokwadraowy: r i= 1 ( ) 2 Yˆ ( m, h, i) Y YT p 1 RMSE ( m, h) = (7) Tp Tp + i+ h r Jako najlepszy model do prognozowania przy danym horyzoncie prognozy wybierano en model, kóry cechował się najmniejszym błędem średniokwadraowym. W lieraurze przedmiou cały czas oczy się dyskusja doycząca właściwego sposobu konsrukcji okien prognosycznych. Za oknami rozszerzanymi przemawia fak, że pozwalają one uwzględnić wszyskie obserwacje. Zwolennicy okien przesuwanych podkreślają naomias, że podejście o cechuje się większą odpornością w przypadku niesabilności procesu generującego dane. Badania empiryczne i symulacyjne nie są w sanie jednoznacznie rozsrzygnąć ej kwesii [1]. Biorąc pod uwagę dwa kryeria wyboru opymalnej liczby czynników oraz dwie meody konsrukcji okien przy wyborze najlepszej specyfikacji równania prognosycznego łącznie w pracy rozważane były czery radycyjne podejścia do wyboru najlepszego modelu DFM dla celów prognozowania Meody jednoczesnego wyboru liczby czynników i opóźnień Na alernaywne podejścia do wyboru opymalnego modelu DFM, mające na celu jednoczesne podjęcie decyzji doyczącej liczby czynników oraz opóźnień w równaniu prognosycznym można parzeć jako na rozszerzenia meod opisanych w poprzednich dwóch rozdziałach. Można je podzielić na dwie grupy. W pierwszej znajdują się meody wykorzysujące zmodyfikowane wersje kryeriów informacyjnych. Druga bazuje na analizie prognoz wygasłych. Odnośnie do kryeriów z pierwszej grupy Bai i Ng [4] zaproponowali kryerium finalnego błędu predykcji (final predicion error FPE), kóre przy dużych próbach pozwala na wybór modelu posaci (3) minimalizującego średniokwadraowy błąd predykcji przy danym horyzoncie prognozy:

7 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 199 T ˆ 2 ln γˆ' Σγˆ ln N FPE = ln( ˆ σ ) + (2 + ny + k(1 + n f )) + (8) 2 T ˆ σ N gdzie γˆ oznacza wekor ocen wszyskich paramerów srukuralnych α i, w równaniu (3), naomias Σˆ reprezenuje oszacowanie macierzy kowariancji zmiennych wszyskich zmiennych niezależnych równania (3). Do pierwszej grupy należą akże kryeria podane przez Groena i Kapeaniosa [11]. Są one modyfikacją sandardowych kryeriów informacyjnych uwzględniającą fak, że zmienne objaśniające w równaniu prognosycznym nie są z góry usalone, ale muszą być esymowane. W odniesieniu do równania (3) kryeria e przyjmują nasępujące formy: T = 2 T BICM ln( ˆ σ ) + (2 + ny ) lnt + k(1 + n f ) lnt 1 + (9) 2 N T = 2 T HQICM ln( ˆ σ ) + 2(2 + ny ) ln(lnt ) + 2k(1 + n f ) ln(lnt ) 1 + (1) 2 N We wszyskich rzech przypadkach jako najlepszy model wybiera się en, dla kórego warości kryeriów są najmniejsze. Wyboru najlepszego modelu prognosycznego w całości można również dokonać porównując jakość prognoz wygasłych, zgodnie z procedurą opisaną w poprzednim rozdziale, przy czym oprócz liczby opóźnień w równaniu (3) uwzględnia się eraz dodakowo różne liczby czynników w modelu n f. β j 3. Meodologia badań porównawczych omawianych meod Łącznie w pracy porównywano 9 meod wyboru najlepszego modelu czynnikowego dla celów prognosycznych. Były o 4 podejścia klasyczne łączące kryeria Bai-Ng z badaniem jakości prognoz wygasłych w dalszej części pracy oznaczane jako: PC_rol (kryerium PC i okna przesuwane), PC_exp (kryerium PC i okno rozszerzane), IC_rol (kryerium IC i okna przesuwane), IC_exp (kryerium IC i okno rozszerzane) oraz 5 podejść nowych pozwalających na jednoczesny wybór liczby czynników i liczby opóźnień w równaniu prognosycznym: zmodyfikowane kryeria informacyjne FPE, BICM, HQICM oraz kryeria bazujące na badaniu jakości prognoz wygasłych RF_rol (z oknami przesuwanymi) i RF_exp (z oknami rozszerzanymi).

8 2 Jan Acedański Badania przeprowadzono zarówno na symulowanych, jak i na rzeczywisych szeregach czasowych. W przypadku danych symulowanych w pierwszym kroku generowano szereg czasowy K czynników: F ρ F + υf, υ F ~ N(, I K ) (11) = F 1 gdzie ρ F określa jednakowy dla wszyskich czynników poziom auokorelacji, I K symbolizuje naomias K-wymiarową macierz jednoskową. Dla każdej symulacji liczbę czynników K wybierano losowo ze zbioru { 1, 2,..., 5}. Nasępnie generowano szereg (N + 1) K-wymiarowych macierzy ładunków czynnikowych: η L = ρ η L L L 1 = [1 + ψ ( η + υ L, L L I vec( υ L k )] L 1 ) ~ N (, I( N + 1) K ) (12) przy czym ψ L jes paramerem skalującym, η L jes ciągiem (N + 1) K- -wymiarowych realizacji procesu auoregresyjnego o współczynniku auokorelacji ρ, naomias reprezenuje iloczyn Kroneckera, a więc oznacza L zamianę macierzy w wekor kolumnowy. Z powyższego zapisu wynika, że w ogólnym przypadku dopuszczano zmienność macierzy ładunków czynnikowych. W większości symulacji zakładano jednak, że ψ L =, co oznaczało sałość macierzy L. Począkowe warości składowych wekora czynników F oraz macierzy ładunków czynnikowych L losowane były z rozkładu N(, 1). Wreszcie na podsawie wekorów F oraz macierzy L worzone były (N + 1)-wymiarowe wekory obserwacji: Z + = F L ηz, η Z = Z ηz 1 + υz ρ, υ Z ~ N(, I N + 1) (13) Pierwsza kolumna macierzy Z reprezenowała zmienną prognozowaną Y. Pozosałe N kolumn rakowano jako poencjalne zmienne objaśniające X. Przed prowadzeniem dalszych obliczeń kolumny macierzy Z zosały zesandaryzowane. Przyjmując powyższą specyfikację nie zakładano więc żadnego sprecyzowanego modelu paramerycznego dla zmiennej prognozowanej, ale rakowano ją jak jedną z wielu zmiennych ekonomicznych, kórych dynamika była kszałowana przez nieobserwowane czynniki.

9 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 21 Przeprowadzając badania przyjmowano, że prognozowanie nie ma charakeru jednorazowego, ale sekwencyjny. To znaczy zakładano, że prognozy sawiane są przez p kolejnych okresów zawsze na podsawie T osanich obserwacji. Takie posępowanie jes charakerysyczne dla omawianych modeli, kóre zwykle wykorzysywane są przez insyucje do regularnego comiesięcznego sawiania prognoz wybranych zmiennych. Symulowane szeregi czasowe liczyły więc T + p + hmax obserwacji, gdzie hmax oznacza maksymalny horyzon prognozy. Na ich podsawie dla każdej meody m oraz dla każdego horyzonu prognozy h wybierano najlepszy model i generowano prognozy Yˆ ( m, ), T + i 1 h i = 1, 2,, p, kóre porównywano z rzeczywisymi realizacjami prognozowanej zmiennej. W en sposób uzyskiwano ciąg p błędów prognoz: ( ˆ, i = 1, 2,, p (14) u i m, h) = YT + i 1 ( m, h) YT + i 1+ h Przy porównywaniu jakości prognoz uzyskanych różnymi meodami sosowano kryerium błędu średniokwadraowego prognoz wygasłych, przy czym aby ocenić, czy zaobserwowana w próbie p błędów różnica jakości była saysycznie isona korzysano z esu warunkowej zdolności prognosycznej (condiional predicion abiliy CPA) opracowanego przez Giacomini i Whie a [1]. Hipoeza podsawowa w omawianym eście wskazuje, że jakość prognoz generowanych przez dwa konkurencyjne podejścia była w próbie aka sama. Hipoeza alernaywna jes prosym zaprzeczeniem hipoezy badanej. Jeżeli przez Δ L i ( m1, m2, h) oznaczyć różnicę między błędami średniokwadraowymi prognoz wygasłych o horyzoncie h uzyskanych z dwóch różnych modeli m 1 i m 2 dla próby i, naomias przez S i s-elemenowy wekor informacji dodakowej dosępnej w próbie i, wedy saysyka esowa esu CPA przyjmuje posać: χ 2 = pl Ω ˆ 1 L (15) 1 gdzie L = p ΔLi ( m1, m2, h) p i= 1 kowariancji wekorów posaci -Wesa. S i, naomias Ωˆ oznacza oszacowanie macierzy Δ L, h) S uzyskane meodą Neweya- i ( m1, m2 i

10 22 Jan Acedański Asympoycznie, przy dużej liczbie porównywanych prognoz ( p ), 2 saysyka esowa ma rozkład χ z s sopniami swobody. W przypadku braku warunkowej informacji dodakowej S i = 1. Wedy es ma charaker bezwarunkowy. Tes bezwarunkowy wskazuje podejście, kóre generowało średnio dokładniejsze prognozy. Można więc uznać, że powinno ono akże wskazywać, kóre podejście będzie lepsze w pewnym, bliżej nieokreślonym momencie w przyszłości. Tes względny odpowiada naomias na pyanie, czy na podsawie innych dosępnych w próbie informacji, poza średnią jakością prognoz wygasłych, można wskazać podejście, kóre będzie generowało prognozy lepsze w określonych warunkach. Omawiany es może być sosowany ylko w syuacji, gdy kolejne prognozy obliczane są na podsawie akiej samej liczby obserwacji, co jes dość isonym ograniczeniem. Z ej właśnie przyczyny długość prób T była zawsze sała. W badaniach symulacyjnych w zależności od liczby sawianych prognoz p, procedura generowania szeregów czasowych i esowania jakości prognoz powarzana była 1 lub 1 razy. Własności różnych meod wyboru opymalnego modelu badano akże na danych rzeczywisych. W ym celu wykorzysano szereg miesięcznej inflacji konsumenckiej w Polsce obejmujący okres Liczył on więc 13 obserwacji. Zbiór zmiennych objaśniających składał się z 54 zmiennych, wśród kórych były m.in.: sekorowe indeksy cen, wskaźniki inflacji bazowej, indeksy produkcji sprzedanej przemysłu, produkcja ważniejszych wyrobów, zmienne reprezenujące dynamikę handlu zagranicznego, podsawowe zmienne rynku pracy, wyniki badań przewidywanej koniunkury gospodarczej, ceny surowców, poziom sóp procenowych oraz kursy walu. Wszyskie zmienne zosały pozbawione rendu oraz odsezonowane w programie Demera. Tak przygoowane szeregi porakowano ak, jak jeden z wysymulowanych szeregów opisanych powyżej, przy czym przy badaniu analizowano zarówno próby przesuwane, jak i rozszerzane. A więc na podsawie okien o długości co najmniej T p wybierano najlepszy model według każdego kryerium, kóry nasępnie służył do obliczania prognoz. Podsawą oceny jakości prognoz były błędy średniokwadraowe oraz średnie błędy absolune prognoz wygasłych oraz wyniki esów CPA.

11 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych Wyniki Dla danych symulowanych prezenowane są wyniki wskazujące, w jakim odseku prób model wybrany określoną meodą okazał się lepszy z punku widzenia bezwarunkowego esu CPA na poziomie isoności od innych modeli, przy czym dla zwiększenia czyelności prezenacji podawane są rezulay uśrednione dla wszyskich konkurencyjnych modeli. Wyniki uzyskano dla szeregów liczących 212 obserwacji, z czego szereg służący do wyboru najlepszego modelu liczył T = 1 obserwacji, a liczba przesuwanych okien była równa p = 1. Dokładności prognoz badano dla 7 różnych horyzonów: h = 1, 2, 4, 6, 8, 1, 12. Liczba zmiennych objaśniających zosała usalona na poziomie N = 1. W przypadku meod wykorzysujących badanie dokładności prognoz wygasłych okna sosowane przy wyborze modelu liczyły T p = 5 obserwacji. Liczba generowanych szeregów była równa n = 1. We wszyskich przypadkach zbiór paramerów, względem kórego dokonywano wyboru najlepszego modelu był posaci K = {1, 2,, 6}, n y = {, 1}, n f = {, 1, 2}. Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Meoda Rys. 1. Ranking meod warian podsawowy (p = 1, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, sałe L)

12 24 Jan Acedański W podsawowym wariancie zakładano, że szereg czynników cechuje się auokorelacją na poziomie ρ F =,9 (zob. równanie 11), wszyskie składniki losowe są homoskedasyczne, a macierz ładunków czynnikowych L jes sała w czasie. Wyniki dla akiego warianu zilusrowano na rys. 1. Przedsawia on średnią liczbę przypadków, w kórych dana meoda okazała się lepsza od meod konkurencyjnych, przy czym podane są wyniki średnie ze względu na meody konkurencyjne oraz rozważane horyzony prognozy. Z rysunku wynika więc, że meody BICM i HQICM okazywały się średnio w 25% spośród 1 przypadków saysycznie lepsze od innych meod. Niewiele niższy wynik uzyskuje kryerium FPE. Meody wykorzysujące analizę jakości prognoz wygasłych na podsawie okien rozszerzanych uzyskują już wyniki gorsze około 17% dla meody jednoczesnej RF_ex oraz poniżej 15% dla meod łączonych PC_exp i IC_exp. Najgorsze rezulay uzyskują meody korzysające z okien przesuwanych. Dla podejść łączonych jes o mniej więcej 5%. 6 5 Średni odseek lepszych wyników Horyzon prognozy BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Rys. 2. Ranking meod według horyzonu prognoz warian podsawowy (p = 1, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, sałe L) Rysunek 2 prezenuje bardziej szczegółowe wyniki z rozbiciem na różne horyzony prognoz. Wynika z niego, że dla horyzonu h = 1 meody jednoczesne BICM, HQICM, FPE, RF_ex oraz RF_rol osiągają znacznie lepsze rezulay od meod kombinowanych. Przykładowo kryerium FPE dawało lepsze wyniki od

13 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 25 + innych modeli średnio w 5% przypadków. Kryerium RF_rol było lepsze mniej więcej w 3% przypadków, a dla pozosałych było o w granicach 4%. Kryeria łączone dla ego horyzonu dawały lepsze wyniki w mniej niż 1% analizowanych przypadków, jednak w miarę wzrosu horyzonu przewaga meod jednoczesnych wyraźnie spada. Dla horyzonu h = 12 meody PC_exp oraz IC_exp dają prakycznie akie same rezulay (około 2%), jak najlepsze kryeria jednoczesne BICM oraz HQICM. Zdecydowanie najsłabiej prezenuje się podejście RF_rol. Na omawianym rysunku widać akże wyraźnie, że oba podejścia łączone wykorzysujące okna rozszerzane (PC_exp i IC_exp) dają prakycznie idenyczne rezulay. Podobne sposrzeżenie doyczy meod PC_rol i IC_rol. Taka syuacja ma miejsce we wszyskich wynikach prezenowanych w pracy. Rysunek 3 ilusruje zbiorcze wyniki w przypadku sosowania wersji warunkowej esu CPA, przyjmując jako warunek osanią dosępną obserwację zmiennej prognozowanej: S i = Y T i 1. Z akiej perspekywy różnice między podejściami są dużo mniejsze, choć pozycja meod w rankingu nie zmieniła się isonie. Najlepsze kryeria jednoczesne okazywały się lepsze od innych meod średnio w ponad 12% przypadków. Najsłabsze wyniki osiągały podejścia wykorzysujące okna przesuwane niewiele ponad 6%. Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_ex PC_ex IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Meoda Rys. 3. Ranking meod esy warunkowe, warian podsawowy (p = 1, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, sałe L)

14 26 Jan Acedański Na rys. 4 przedsawiono charakerysyki błędów średniokwadraowych prognoz wygasłych średnie warości median i średnich dla różnych horyzonów. Wyniki e są dość zgodne z rankingiem przedsawionym na rys. 1. Najniższe błędy uzyskiwano dla jednoczesnych kryeriów informacyjnych, nieco wyższe w przypadku meod korzysających z okien rozszerzanych. Zdecydowanie najwyższymi błędami cechowały się podejścia związane z oknami przesuwanymi. Należy eż zwrócić uwagę, że relaywne różnice pomiędzy błędami nie są duże. Rozpięość wyników nie przekracza 1%. 1,8 Błąd średniokwadraowy 1,4 1,96,92,88 Mediany Średnie,84 Meoda Rys. 4. Błędy średniokwadraowe dla warianu podsawowego (p = 1, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, sałe L) Dla zweryfikowania rezulaów przedsawionych na rys. 1 i 2 przeprowadzono podobne badanie, ale przy większej liczbie prognoz p = 5 sawianej dla każdego symulowanego szeregu. Większa liczba obserwacji sprawia, że wyniki esów CPA są bardziej wiarygodne i częściej wskazują na odrzucenie hipoezy o braku różnic w jakości prognoz dla dwóch modeli, jednak ze względu na czasochłonność obliczeń dla akiej liczby prognoz przeprowadzono ylko 1 powórzeń procedury. Wyniki badań prezenują rys. 5 i 6. Powierdzają one rezulay zaprezenowane dla warianu podsawowego na rys. 1 i 2. Najlepsze wyniki dają kryeria BICM oraz HQICM. Nieco gorsze FPE i meody korzysające z prognoz wygasłych i okien rozszerzanych. Zdecydowanie najsłabiej wypadają meody wykorzysujące okna przesuwane. Również rozłożenie wyników w zależności od horyzonu prognoz jes podobne jak na rys. 2.

15 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 27 6 Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Meoda Rys. 5. Ranking meod warian podsawowy, większa liczba prognoz (p = 5, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, sałe L) 7 Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Horyzon prognozy Rys. 6. Ranking meod według horyzonu prognoz warian podsawowy, większa liczba prognoz (p = 5, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, sałe L)

16 28 Jan Acedański Należy zwrócić uwagę, że przy dużej liczbie prognoz esy zdecydowanie częściej wskazują na odrzucenie hipoezy o równych zdolnościach prognosycznych. W przypadku najlepszych kryeriów średnio w prawie 5% prób okazywały się one saysycznie lepsze od innych podejść, a dla krókich horyzonów odseek en przekraczał 6%. Jes o więc mniej więcej dwa razy więcej niż w wariancie podsawowym. Rysunki 7 i 8 prezenują wyniki dla modelu czyso losowego, w kórym nie wysępowała żadna auokorelacja ρ F =, ρ Z =. Także w ym przypadku najlepsze wyniki dają kryeria BICM, HQICM oraz FPE. Dobrze wypada akże meoda IC_exp. Podobnie jak w poprzednich przypadkach, najgorsze prognozy orzymuje się z modeli bazujących na prognozach wygasłych o oknach przesuwanych. W przeciwieńswie do poprzednich przypadków ranking en jes sabilny ze względu na horyzon prognozy i prawie zawsze wygląda w aki sam sposób, co ilusruje rys. 8. Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Meoda Rys. 7. Ranking meod model czyso losowy (p = 1, n = 1, ρ F =, ρ Z =, sałe L)

17 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 29 Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Horyzon prognozy Rys. 8. Ranking meod według horyzonu prognoz model czyso losowy (p = 1, n = 1, ρ F =, ρ Z =, sałe L) Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Meoda Rys. 9. Ranking meod błądzenie losowe dla czynników (p = 1, n = 1, ρ F = 1, ρ Z =, sałe L)

18 21 Jan Acedański Na rys. 9 przedsawiono ranking meod w syuacji, gdy dynamika czynników opisana jes procesem błądzenia losowego. Wyniki zbliżone są do uzyskanych w wariancie podsawowym, przy czym eraz najsłabiej wypadają kryeria mieszane, zarówno korzysające z okien przesuwanych, jak i rozszerzanych. Były one lepsze od innych podejść średnio w mniej niż 1% przypadków. Wyniki z rozbiciem na różne horyzony nie są prezenowane, gdyż są one zbliżone do ych z rys. 2. Rysunki 1 i 11 doyczą modeli, w kórych zamias auokorelacji czynników wysępuje auokorelacja składników losowych w równaniu (13). Należy zwrócić uwagę, że w akiej syuacji wyniki różnią się w porównaniu do warianu podsawowego. Najlepsze rezulay przynosi sosowanie kryerium FPE (ponad 2%). Nieco mniej dają kryeria BICM, HQICM oraz RF_exp. Kryeria, w kórych sosowane są okna przesuwane dają najgorsze rezulay. Dokładniejszy wgląd w wyniki daje rys. 11. Widać, że kryeria FPE oraz RF_exp mają zdecydowaną przewagę dla horyzonu h = 1. Dla h = 4 podobne wyniki dają również kryeria BICM oraz HQICM. Podobnie jak w wariancie podsawowym, dla dłuższych horyzonów poprawia się relaywna jakość prognoz dla modeli korzysających z rozszerzanych okien. Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Meoda Rys. 1. Ranking meod auokorelacja zaburzeń losowych (p = 1, n = 1, ρ F =, ρ Z =,9, sałe L)

19 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Horyzon prognozy Rys. 11. Ranking meod według horyzonu prognoz auokorelacja zaburzeń losowych (p = 1, n = 1, ρ F =, ρ Z =,9, sałe L) 25 Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Meoda Rys. 12. Ranking meod zmienna macierz ładunków czynnikowych (p = 1, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, zmienne L)

20 212 Jan Acedański Średni odseek lepszych wyników BICM HQICM FPE RF_exp PC_exp IC_exp RF_rol PC_rol IC_rol Horyzon prognozy Rys. 13. Ranking meod według horyzonu prognoz zmienna macierz ładunków czynnikowych (p = 1, n = 1, ρ F =,9, ρ Z =, zmienne L) Na rys. 12 i 13 zaprezenowano wyniki dla zmieniającej się macierzy ładunków czynnikowych zgodnie z równaniem (12), w kórym przyjęo ψ L =,15 oraz ρ L =,9. Widać, że nawe w syuacji niesabilności procesu generującego dane, meody wykorzysujące analizę prognoz wygasłych z oknami przesuwanymi dają najgorsze wyniki. Ogólnie, rezulay w akim ujęciu w dalszym ciągu są podobne do wyników uzyskanych dla warianu podsawowego. W dalszej części badano własności omawianych meod w odniesieniu do rzeczywisego szeregu inflacji konsumenckiej w Polsce. Szereg en liczył 13 obserwacji. Na ich podsawie generowano p = 48 szeregów czasowych liczących T = 7 obserwacji lub więcej w przypadku okien rozszerzanych. Na ich podsawie wybierano najlepsze modele i obliczano warości prognoz wygasłych oceniając ich dokładność. Dla meody wykorzysujących analizę prognoz wygasłych podokna miały długość co najmniej T p = 4 obserwacji. Wyniki badań zesawiono w ab. 1-4, przy czym nie podawano rezulaów esów CPA, ponieważ w przeważającej liczbie przypadków nie dawały one podsaw do rozróżniania między zdolnościami prognosycznymi analizowanych podejść. Tabela 1 zawiera błędy średniokwadraowe uzyskane dla prognoz przesuwanych w omawianym podejściu. Dwa najlepsze wyniki dla każdego horyzonu pogrubiono. Dwa najgorsze rezulay oznaczono kolorem szarym. Podano akże wyniki średnie, a w osaniej kolumnie ranking meod ze względu na

21 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 213 średnie rezulay. Najmniejsze błędy dawało sosowanie kryeriów BICM oraz HQICM, dobre wyniki akże kryerium PC_exp. Najsłabiej wypadły kryeria sosujące ylko analizę prognoz wygasłych RF_exp i RF_rol. Widać eż dość wyraźnie, że kryeria łączone wykorzysujące okna przesuwane dawały gorsze wyniki niż e, kóre bazują na oknach rozszerzanych. Należy również podkreślić, że choć kryerium RF_exp daje najlepsze prognozy ze wszyskich meod dla horyzonu h = 1, o dla większych horyzonów daje częso najgorsze wyniki. Tabela 1 Błędy średniokwadraowe prognoz inflacji dla prognoz przesuwanych Model h = 1 h = 2 h = 4 h = 6 h = 8 h = 1 h = 12 Średnio Rank BICM,236,228,234,246,257,273,268,249 1 QHICM,234,234,235,246,257,272,268,249 1 FPE,232,261,237,246,255,276,278,255 5 RF_exp,226,271,245,255,293,288,288,267 8 PC_exp,232,239,235,249,256,272,267,25 3 IC_exp,239,239,236,249,266,273,271,253 4 RF_rol,238,268,238,24,324,295,363,281 9 PC_rol,242,248,237,242,264,294,29,26 6 IC_rol,248,247,239,242,268,298,288,261 7 Dosyć podobne rezulay uzyskuje się przy zasosowaniu okien rozszerzanych przy wyznaczaniu kolejnych prognoz, co ilusruje ab. 2. Choć względne różnice między meodami są mniejsze niż w poprzednim przypadku, o wyraźniejszy jes ranking meod. Najlepsze są kryeria BICM, HQICM oraz FPE, nieco gorzej wypadają kryeria korzysające z okien rozszerzanych. Ponownie osanie pozycje zajmują meody sosujące okna przesuwane. Tabela 2 Błędy średniokwadraowe prognoz inflacji dla prognoz rozszerzanych Model h = 1 h = 2 h = 4 h = 6 h = 8 h = 1 h = 12 Średnio Rank BICM,233,235,237,244,241,255,248,242 1 QHICM,237,24,237,244,241,255,248,243 2 FPE,218,263,237,242,241,255,244,243 2 RF_exp,227,277,238,247,247,254,247,248 6 PC_exp,237,241,237,245,248,26,247,245 4 IC_exp,237,241,237,245,248,26,247,245 4 RF_rol,27,287,24,258,298,287,276,274 9 PC_rol,245,251,243,253,258,274,28,258 7 IC_rol,245,251,243,253,258,274,28,258 7

22 214 Jan Acedański W ab. 3 i 4 przedsawiono średnie błędy absolune prognoz wygasłych. Z ego punku widzenia najlepsze wyniki dawały kryeria BICM oraz HQICM, a akże PC_exp oraz IC_exp. Ponownie zdecydowanie najsłabsze wyniki były związane ze sosowaniem podejścia korzysającego z okien przesuwanych. Wyniki były więc ogólnie podobne do rezulaów uzyskanych przy rozważaniu błędów średniokwadraowych. Tabela 3 Średnie błędy absolune prognoz inflacji dla prognoz przesuwanych Model h = 1 h = 2 h = 4 h = 6 h = 8 h = 1 h = 12 Średnio Rank BICM,17,172,177,187,192,26,23,187 1 QHICM,173,175,178,188,192,26,23,188 3 FPE,181,23,179,189,19,211,28,194 5 RF_exp,172,29,185,193,218,222,219,23 6 PC_exp,164,181,177,189,191,23,22,187 1 IC_exp,176,18,179,189,199,23,29,191 4 RF_rol,185,21,184,187,236,241,29,219 9 PC_rol,18,19,182,19,23,242,232,23 6 IC_rol,192,189,184,189,28,243,231,25 8 Tabela 4 Średnie błędy absolune prognoz inflacji dla okien rozszerzanych Model h = 1 h = 2 h = 4 h = 6 h = 8 h = 1 h = 12 Średnio Rank BICM,173,179,18,188,182,197,191,184 1 QHICM,176,182,18,188,182,197,191,185 2 FPE,164,212,18,184,182,197,188,187 5 RF_exp,183,225,181,191,189,195,19,193 6 PC_exp,176,185,18,188,187,199,19,186 3 IC_exp,176,185,18,188,187,199,19,186 3 RF_rol,23,229,184,194,227,233,223,213 9 PC_rol,184,188,184,193,21,222,227,2 7 IC_rol,184,188,184,193,21,222,227,2 7

23 Kryeria wyboru dynamicznych modeli czynnikowych 215 Podsumowanie Przedsawione w pracy wyniki w dość jednoznaczny sposób wskazują, że najlepsze modele DFM dla celów prognosycznych najczęściej były uzyskiwane na podsawie kryeriów jednoczesnych BICM oraz HQICM zaproponowanych przez Groena i Kapeaniosa. Tylko nieznacznie gorsze rezulay były związane ze sosowaniem kryerium FPE Bai i Ng. Kolejne miejsca w rankingu przypadały kryeriom bazującym na oknach rozszerzanych przy wyborze najlepszego modelu. Naomias najsłabiej wypadały z reguły meody sosujące okna przesuwane. Spośród meod z dwóch osanich grup lepiej wypadały meody, w kórych proces wyboru najlepszego modelu przebiegał w całości w oparciu o badanie własności prognoz wygasłych. Wyniki wskazywały akże, że w przypadku niewielkich horyzonów prognozy różnice pomiędzy meodami idenyfikowane za pomocą esów zdolności prognosycznych CPA były z reguły znacznie wyraźniejsze niż w przypadku dłuższych horyzonów. Lieraura 1. Alessi L., Barigozzi M., Capasso., A robus crierion for deermining he number of facors in approximae facor models, ECARES Working Paper 29/ Aris M., Banerjee A., Marcellino M., Facor forecass for he UK, Journal of Forecasing 25, Vol Bai J., Ng S., Deermining he number of facors in approximae facor models, Economerica 22, Vol. 7 (1). 4. Bai J., Ng S., Boosing diffusion indexes, Journal of Applied Economerics 29, Vol. 24 (4). 5. Baranowski P., Leszczyńska A., Szafrański G., Krókookresowe prognozowanie inflacji z użyciem modeli czynnikowych, Bank i Kredy 21, nr 41 (4). 6. Bernanke B., Boivin J., Moneary policy in daa-rich environmen, Journal of Moneary Economics 23, Vol. 5 (3). 7. Breiung J., Eickmeier S., Dynamic facor models, Deusche Bundesbank Discussion Paper Series 1: Economic Sudies No 38/ Doz C., Giannone D., Reichlin L., A quasi maximum likelihood approach for large approximae dynamic facor models, ECB Working Paper Forni M., Hallin M., Lippi M., Reichlin L., The generalized dynamic facor model: Idenificaion and esimaion, The Review of Economics and Saisics 2, Vol. 82 (4). 1. Giacomini R., Whie H., Tess of condiional predicive abiliy, Economerica 26, Vol. 74 (6). 11. Groen J., Kapeanios G., Model selecion crieria for facor-augmened regressions, Federal Reserve Bank of New York Saff Repor No. 363, February 29.

24 216 Jan Acedański 12. Marcellino M., Sock J., Wason M., Macroeconomic forecasing in he Euro area: counry specific versus Euro wide informaion, European Economic Review 23, Vol Maheson T., Facor model forecass for New Zealand, Reserve Bank of New Zealand DP25/ Onaski A., Tesing hypoheses abou he number of facors in large facor models, Economerica 29, Vol Oer P., Jacobs J., den Reijer A., A crierion for he number of facors in a daa-rich environmen, Mimeo Sock J., Wason M., Diffusion indexes, NBER Working Paper 672. SELECTION CRITERIA FOR FORECASTING DYNAMIC FACTOR MODELS Summary The paper compares hree groups of mehods used for bes dynamic facor model selecion for forecasing: modified informaion crieria, mehods exclusively based on ex pos forecass analysis and mixed algorihms. I searches for he approach ha delivers bes ou-of-sample forecass according o mean square error measure. The analysis uilizes boh Mone Carlo generaed samples as well as real ime series used for forecasing consumer inflaion in Poland. Resuls show ha bes forecass are obained from he modified informaion crieria proposed by Groen and Kapeanios, whereas he mehods ha employ ex pos forecass from rolling windows usually give he wors predicions.