Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Transkrypt

1 Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan

2 Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności: analiza odpowiedzi systemu w dziedzinie częstotliwości próbkowanie modulacja Problem: Czy potrzebne są innego rodzaju przekształcenia? Odpowiedź: Transformata Fouriera nie może być zastosowana do szerokiej klasy sygnałów i niestabilnych systemów, np. kiedy x(t) dt = Przekształcenie Laplace a jest rozszerzeniem transformaty Fouriera, które pozwala na analizę szerszej klasy sygnałów i systemów

3 W wielu przypadkach mamy do czynienia z niestabilnymi systemami, np. stabilizacja wahadła odwróconego stabilizacja samolotu niestabilność jest właściwością pożądaną w niektórych zastosowaniach, np. oscylatory, lasery Analiza takich systemów e st h(t) H(s)e st H(s) = h(t)e st dt całka musi być zbieżna e st funkcja własna liniowego systemu inwariantnego s = σ + jω wartość zespolona

4 Przekształcenie Laplace a Definicja (przekształcenie dwustronne) x(t) X(s) = gdzie s = σ + jω wartość zespolona Podstawowe założenia x(t)e st dt = L {x(t)} 1 Przekształcenie ma sens tylko wtedy gdy x(t)e st dt < 2 Przekształcenie powinno być jedno-jednoznaczne, tzn. dla każdej funkcji x(t) istnieje tylko jedna transformata X(s) i na odwrót 3 Przekształcenia można dokonać na każdej funkcji dającej się ograniczyć funkcjami wykładniczymi

5 Podstawowe założenia - cd 4 Powiązanie z transformatą Fouriera X(s) = gdzie F transformata Fouriera [x(t)e σt ]e jωt dt = F {x(t)e σt } 5 Obszar Zbieżności (OZ) wszystkie wartości zespolone s dla których spełniony jest warunek { } OZ = s = σ + jω; x(t)e σt dt < 6 Jeśli s = jω jest w OZ (np. σ = ) wtedy X(s) s=jω = F {x(t)}

6 Przykład 1. x 1 (t) = e at 1(t), gdzie a dowolna liczba rzeczywista lub zespolona dla Re(a) > system jest niestabilny transformata Fouriera nieistnieje istnieje transformata Laplace a X 1 (s) = e at 1(t)e st dt = jeśli Re(s + a) > to e (s+a) = czyli X 1 (s) = 1 [ ] e (s+a) 1 s + a X 1 (s) = 1 s + a, e (s+a)t dt = 1 s + a e (s+a)t Re(s) > Re(a) }{{} OZ

7 Przykład 2. x 2 (t) = e at 1( t) X 2 (s) = = 1 s + a e (s+a)t jeśli Re(s + a) < to e (s+a) = czyli e at 1( t)e st dt = X 2 (s) = 1 s + a, e (s+a)t dt (1) = 1 [ 1 e (s+a) ] (2) s + a Re(s) < Re(a) }{{} OZ Uwaga! Do wyznaczenia x(t) potrzebna jest znajomość X(s) oraz OZ. Obszar zbieżności nie jest potrzebny w przypadku transformaty Fouriera

8 Graficzna reprezentacja obszaru zbieżności dla przykładu 1 dla przykładu 2 X 1 (s) = 1 X 2 (s) = 1 s + a s + a Re(s) > Re(a) Re(s) < Re(a) Im Im a Re a Re

9 Wiele najczęściej używanych i interesujących transformat posiada postać ułamkową X(s) = L(s) M(s) gdzie L(s) i M(s) to wielomiany zmiennej s Pierwiastki L(s) zera transmitancji X(s) Pierwiastki M(s) bieguny transmitancji X(s) Każdy sygnał x(t) zbudowany z liniowej kombinacji zespolonych funkcji wykładniczych posiada transformatę Laplace a w postaci ułamkowej

10 Przykład 3 x(t) = 3e 2t 1(t) 2e t 1(t) X(s) = ( 3e 2t 2e t) e st dt = 3 e (s 2)t dt }{{} OZ:Re(s)>2 2 e (s+1)t dt }{{} OZ:Re(s)> 1 X(s) = 3 s 2 2 s + 1 = s + 7 (s 2)(s + 1) = s + 7 s 2 s 2, Re(s) > 2 Im 2 Re

11 Przykład 4 Obliczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = t F (s) = te st dt Stosujemy całkowanie przez części udv = uv vdu Podstawiamy: u = t, du = dt, dv = e st dt, v = 1 s e st Czyli F (s) = t s e st = ( 1 s 2 ) = 1 s 2 1 s e st dt = t s e st 1 s 2 e st

12 Odwrotne przekształcenie Laplace a Przekształcenie odwrotne polega na znalezieniu funkcji zmiennej rzeczywistej x(t) przy danej funkcji X(s), czyli na rozwiązaniu równania całkowego X(s) = L {x(t)} = x(t)e st dt (3) Rozwiązanie to jest określane wzorem Riemanna-Melina: x(t) = L 1 {X(s)} = 1 c+j X(s)e st ds (4) 2πj c j Bezpośrednie korzystanie ze wzoru (4) jest trudne W praktyce wzór (4) jest stosowany bardzo rzadko zwłaszcza, że dla większości funkcji istnieją efektywne metody znacznie upraszczające zagadnienie

13 Właściwości przekształcenia Laplace a 1 Liniowość gdzie a, b są stałymi L {ax 1 (t) + bx 2 (t)} = ax 1 (s) + bx 2 (s) 2 Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej { } L x(τ)dτ = 1 s X(s) 3 Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej gdzie L { d n } n 1 dt n x(t) = s n X(s) s n k 1 x (k) ( ) k= x( ) = lim t x(t)

14 4 Całkowanie w dziedzinie zespolonej { } x(t) X(s)ds = L t 5 Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej d n X(s) ds n = ( 1) n L {t n x(t)} 6 Przesunięcie czasu w dziedzinie rzeczywistej L {x(t t )1(t t )} = e st X(s) 7 Przesunięcie w dziedzinie zespolonej { } X(s a) = L e at x(t)

15 8 Zmiana skali ) L {x(at)} = 1 a X ( s a 9 Splot funkcji L {x 1 (t) x 2 (t)} = X 1 (s)x 2 (s) gdzie splot x 1 (t) x 2 (t) = t x 1 (τ)x 2 (t τ)dτ = t x 1 (t τ)x 2 (t τ)dτ

16 Przykład 5 Obliczyć transformatę sygnału x(t) = cos(ω t), t, ω R Stosując wzór Eulera otrzymujemy L {cos(ω)} = 1 2 L {ejω t } L {e jω t } = s jω 2 s + jω s = s 2 + ω 2 Ćwiczenie. Sprawdzić czy prawdziwa jest zależność L {sin(ω)} = ω s 2 + ω 2

17 Przykład 6 Policzyć transformatę sygnału x(t) = 1(t) i na tej podstawie policzyć L {t} X(s) = 1(t)e st dt = Z własności 5 otrzymujemy e st dt = 1 s e st = 1 s dx(s) ds = 1L {tx(t)} L {t} = d 1 s ds = 1 s 2 Ćwiczenie. W podobny sposób policzyć L {t 2 }

18 Wyznaczanie transformat i oryginałów Metoda rozkładu na ułamki proste Mianownik, jako wielomian m-tego stopnia, ma m pierwiastków, w ogólności zespolonych, przy czym niektóre z nich mogą się powtarzać Funkcję X(s) można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych, t.j. takich, których mianownik jest pewną potęgą dwumianu (s s i ) k, k = 1, 2,..., a i : L(s) M(s) = A 11 s s 1 + A 12 (s s 1 ) A 1a 1 (s s 1 ) a A pa p (s s p ) ap czyli p a i A ij X(s) = (s s i=1 j=1 i ) a j

19 Zauważmy, że: { } L 1 1 (s s i ) k = tk 1 (k 1)! es it Po dokonaniu rozkładu na ułamki proste dostajemy transformatę odwrotną w postaci: x(t) = L 1 {X(s)} = p a i i=1 j=1 A ij (j 1)! tj 1 e s it

20 W przypadku, gdy wszystkie pierwiastki mianownika są pojedyncze to w rozkładzie na ułamki proste wystąpią tylko współczynniki A i1 i transformata odwrotna ma postać m L 1 {X(s)} = A i1 e s it i=1 Dodatkowo, w przypadku gdy niektóre pierwiastki są zespolone transformata odwrotna ma postać m r L 1 {X(s)} = A i1 e sit + 2Re A j1 e s jt i=1 j=1 gdzie n ilość pierwiastków rzeczywistych, r ilość par pierwiastków zespolonych, s j pierwiastki zespolone (suma obejmuje po jednym pierwiastku na parę sprzężoną)

21 Przykład 7 Znaleźć transformatę odwrotną funkcji Upraszczamy F (s) = F (s) = 4s + 8 2s s 2 + 3s s + 8 s 3 + 7s s + 9 Są dwa pierwiastki mianownika przy czym drugi jest podwójny: Rozkład wygląda następująco: s 1 = 1, s 2 = 3 F (s) = A 11 s A 21 s A 22 (s + 3) 2

22 Porównujemy otrzymany rozkład z transmitancją i dostajemy A 11 (s + 3) 2 + A 21 (s + 1)(s + 3) + A 22 (s + 1) = 2s + 4 Stąd A 11 + A 21 = 6A A 21 + A 22 = 2 9A A 21 + A 22 = 4 Rozwiązanie układu równań: A 11 = 1 2, A 21 = 1 2, A 22 = 1 Rozkład na ułamki proste: F (s) = 1 2(s + 1) 1 2(s + 3) + 1 (s + 3) 2 Oryginał f(t) = 1 2 e t 1 2 e 3t + te 3t

23 Metoda residuów Przez residuum funkcji X(s) w biegunie s = s i rozumiemy współczynniki A i1 rozwinięcia funkcji X(s) w szereg Laurenta w otoczeniu punktu s = s i, tzn. rozwinięcia: F (s) = n A in (s s i ) n (5) gdzie n przybiera wartości całkowite z przedziału (, ) Część sumy (5) dla n > nazywamy częścią główną rozwinięcia Metoda residuów jest ogólniejsza od metody rozkładu na ułamki proste, gdyż ma zastosowanie także do transformat nie będących funkcjami wymiernymi

24 Fundamentalnym wzorem tej metody jest: L 1 {X(s)} = i { res X(s)e st} s=s i gdzie s i bieguny funkcji X(s) Jeśli X(s) jest funkcją wymierną, to { res X(s)e st} = s=s i { } 1 d a i 1 (a i 1)! lim s s i ds a i 1 X(s)(s s i) a i e st W przypadku gdy biegun jest jednokrotny { res X(s)e st} { = lim X(s)(s s i ) a i e st} s=s i s si

25 Przykład 8 Znaleźć metodą residuów { } L 1 2s + 4 s 3 + 7s s + 9 Są dwa pierwiastki mianownika przy czym drugi jest podwójny: s 1 = 1, s 2 = 3 { res F (s)e st } = lim s=s 1 s 1 { res F (s)e st } = s=s 2 1 (2 1)! 2s + 4 (s + 3) 2 est = 1 2 e t lim s 3 { d 2s + 4 ds s + 1 est = 2 (s + 1) 2 e 3t + 2s + 4 s + 1 te 3t = 1 2 e 3t + te 3t } Ostatecznie f(t) = 1 2 e t 1 2 e 3t + te 3t

26 Transformata funkcji okresowej Transformata funkcji okresowej x(t) o okresie T dana jest wzorem gdzie L {x(t)} = X T (s) 1 e st X T (s) = T x(t)e st dt

27 Transformaty funkcji impulsowych Impuls Diraca δ(t) δ(t) = { t t =, δ(t)dt = 1 Otrzymujemy t δ(t)dt = { t < t 1 t > = δ(t)dt = 1(t) Powiązanie impulsu Diraca z funkcją skokową d 1(t) = δ(t) dt Korzystając z właściwości 3 otrzymujemy { } d L dt x(t) = sx(s) = s 1 s = 1

28 Zastosowanie transformaty Laplace a do rozwiązywania równań różniczkowych Przykład 9 Rozwiązać uproszczone równanie różniczkowe opisujące ruch samochodu za pomocą przekształcenia Laplace a dv(t) dt +, 1v(t) = 5, t, v() = Obliczamy transformatę Laplace a obu stron równania oraz stosujemy własność 3 sv (s) +, 1V (s) = 5 1 s = V (s) = 5 s(s +, 1) Obliczamy transformatę odwrotną v(t) = 5(1 e,1t )1(t)

29 Predkosc v(t)[ m s ] Czas t[s]

30 Przykład 1 Model zawieszenia koła samochodu opisany jest przez równanie różniczkowe 5 d2 y(t) dt dy(t) dt + 2y(t) = 4, t, y() =, dy() dt = Obliczamy transformatę Laplace a obu stron równania oraz stosujemy własność 3 5s 2 Y (s) + 2sY (s) + 2Y (s) = 4 1 s Y (s) = 4 5s(s + 2) 2 Obliczamy transformatę odwrotną y(t) =, 2(1 e 2t 2te 2t )1(t)

31 Wychylenie y(t)[m] Czas t[s]

32 Przykład 11 Pewien system opisany jest równaniem różniczkowym d 3 y(t) dt d2 y(t) dt dy(t) dt + 6y(t) = x(t), t Wyznaczyć odpowiedź systemu na wymuszenie x(t) = e 4t 1(t) przy zerowych warunkach początkowych. Po zastosowaniu transformaty Laplace a s 3 Y (s) + 6s 2 Y (s) + 11sY (s) + 6Y (s) = X(s) X(s) = Y (s) = 1 (s + 4) 1 (s+4)(s 3 +6s 2 +11s+6) = 1 (s+1)(s+2)(s+3)(s+4) Stosujemy rozkład na ułamki proste Y (s) = 1 6(s + 1) 1 2(s + 2) + 1 2(s + 3) 1 6(s + 4)

33 Y (s) = 1 6(s + 1) 1 2(s + 2) + 1 2(s + 3) 1 6(s + 4) Obliczamy transformatę odwrotną ( 1 y(t) = 6 e t 1 2 e 2t e 3t 1 ) 6 e 4t 1(t) 2 x y(t) Czas t[s]