Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Transkrypt

1 Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej funkcji jest funkcją stałą Dla wyrażenia rezerwujemy nazwę całka nieoznaczona i symbol Zadanie 1 Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji Uwaga, zadanie nie jest sformułowane zbyt precyzyjnie Dziedzina naturalna funkcji nie jest przedziałem Rozważ dwa przedziały i Funkcją pierwotną w przedziale jest zaś w przedziale to gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi Zwyczajowo stosowany zapis może prowadzić do nieporozumień Całkowanie przez części wstępne

2 Wzór na całkowanie przez części: o ile funkcje i są ciągłe na przedziale Zadanie 1 Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji Przyjmij i Podobnie obliczamy całki, Zadanie 2 Znajdź związek rekurencyjny między całkami gdzie Wykonaj całkowanie przez części przyjmując i czyli

3 Oblicz Metodę tę można zastosować do obliczania całek, wyrażając całki i przez całki i Zadanie 3 Oblicz całkę Połóż i Obliczyć Zadanie 4 Oblicz całkę Wykonaj dwa razy całkowanie przez części

4 Otrzymaliśmy więc równość między całkami nieoznaczonymi Przenosząc całki na jedną stroną otrzymujemy Zadanie 5 Oblicz całkę Wykonaj całkowanie przez części a następnie skorzystaj z jedynki trygonometrycznej Czyli ostatecznie postępując jak w poprzednim zadaniu mamy

5 Metoda działa dla dla dowolnego naturalnego Zadanie 6 Oblicz całkę Scałkuj przez części Postępując jak w dwóch ostatnich zadaniach mamy Dużo bardziej ogólną metodą pozwalającą obliczyć nie tylko tę całkę ale również szereg innych jest podstawienie patrz końcowe na tej stronie

6 Całkowanie przez podstawienie wstępne Wzór na całkowanie przez podstawienie gdzie zakładamy ciągłość funkcji i na przedziale Zadanie 1 Oblicz całki nieoznaczone,, Podstawienie odpowiednia funkcja liniowa (w trzecim przykładzie sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej),, W pierwszym rzędzie student powinien mieć świadomość, że podstawienie liniowe pozwala sprowadzać całki do pewnych kanonicznych form

7 Zadanie 2 Oblicz całki nieoznaczone,, Zadanie 3 Oblicz całkę nieoznaczoną, Na przedziale podstaw, natomiast na przedziale podstaw Zgodnie ze wskazówką dla całki nieoznaczonej na przedziale podstawiamy, czyli, i wyjściowa całka to

8 Na przedziale kładziemy, czyli, otrzymując Ostatecznie Narzucamy sposób rozwiązywania tego zadania by przypomnieć funkcje hiperboliczne i polowe Ewentualnie wspominamy o alternatywnych podstawieniach (,, podstawienia Eulera) i przypominamy,że akurat to zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie 6 z ustępu całkowanie przez części Rozkład na ułamki proste wstępne Funkcję wymierną nazywamy ułamkiem właściwym jeśli stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia mianownika Każdą funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego Ułamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci Ułamkami prostymi drugiego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci

9 Każdy ułamek właściwy można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych Zadanie 1 Rozłóż funkcję wymierną właściwego na sumę pewnego wielomianu i pewnego ułamka Podziel wielomian przez wielomian Celem tego zadania nie jest nauka dzielenia wielomianów (bo tę umiejętność studenci nabywają wcześniej), lecz zaznajomienie słuchaczy po pierwsze z pojęciem ułamka właściwego i po drugie z pierwszym krokiem algorytmu rozkładania funkcji wymiernych na ułamki proste Zadanie 2 W jakiej postaci należy szukać rozkładu na ułamki proste następującej funkcji wymiernej Zauważ, że mianownik nie jest rozłożony na czynniki (o współczynnikach rzeczywistych) stopnia możliwie najniższego Ponieważ podana funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych Rozkładamy mianownik na czynniki stopnia co najwyżej drugiego i możliwie najniższego, w naszym przypadku wystarczy położyć czyli

10 Postać rozkładu to gdzie to poszukiwane współczynniki rozkładu Zwracamy uwagę osobom nieobecnym na wykładzie, że w ogólności w rozkładzie na ułamki proste występują wszystkie ułamki proste o następującej własności: mianownik rozkładanej funkcji jest podzielny przez mianownik ułamka prostego Ponadto przypominamy techniki znajdowania pierwiastków szczególnych klas wielomianów Zadanie 3 Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję wymierną Rozkładu szukaj w postaci (dlaczego?) Stopień licznika podanej funkcji wymiernej jest mniejszy od stopnia jej mianownika, przystępujemy więc od razu do rozkładu na ułamki proste Mianownik jest wielomianem dwukwadratowym łatwo dokonujemy więc jego rozkładu (podstawienie ) na iloczyn wielomianów stopnia drugiego Oba wielomiany stopnia drugiego nie dają się rozłożyć na wielomiany stopnia pierwszego (o współczynnikach rzeczywistych) postać rozkładu na ułamki proste wygląda więc następująco Monożąc obie strony ostatniej równości przez mianownik wyjściowej funkcji wymiernej mamy

11 co po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu daje Dwa wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki są sobie równe (równanie (1) ma być spełnione dla dowolnej wartości ), otrzymujemy więc następujący układ równań którego rozwiązaniem jest Ostatecznie otrzymujemy Zadanie 4 Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie Rozkładu szukaj w postaci Mnożąc równość

12 przez otrzymujemy (lub innymi słowy sprowadzają prawą stronę do wspólnego mianownika i porównując liczniki lewej i prawej strony równości) Wstawiając do powyższej równości kolejno,,, otrzymujemy odpowiednio,,, i ostatecznie Używając liczb zespolonych zastosuj zaprezentowaną tu metodą do Zadania 3 Zadanie 5 Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie Rozkładu szukaj w postaci Mnożąc równość przez otrzymujemy Wstawiając do powyższej równości kolejno, otrzymujemy odpowiednio,, z kolei wstawiając otrzymane wartości i do równości (2) otrzymujemy czyli Ostatecznie mamy

13 Można pokazać trick z obustronnym różniczkowaniem równości (2) Całkowanie funkcji wymiernych wstępne Każdą funkcję wymierną można zapisać jako sumę pewnego wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych Dzięki liniowości całki całkowanie dowolnej funkcji wymiernej można sprowadzić do całkowania wielomianów i ułamków prostych Zadanie 1 Scałkuj ułamki proste pierwszego rodzaju Zrób zadanie 1 z ustępu całkowanie przez podstawienie Podstawienie sprowadza nasz problem do całkowania Odpowiedź :, Przypomnieć uwagę z zadania 1 z ustępu Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Zadanie 2

14 Znajdź związek rekurencyjny między całkami Wykonaj całkowanie przez części kładąc i Całkując przez części otrzymujemy Co daje, i ostatecznie, Wypisać całki dla Zadanie 3 Oblicz całkę nieoznaczoną Zacznij od podzielenia wielomianów i rozkładu na ułamki proste

15 Funkcję podcałkową można zapisać jako a stąd Zadanie 4 Oblicz całkę nieoznaczoną Jeśli nie straszne Ci liczby zespolone to pewnie potrafisz obliczyć pierwiastki czwartego stopnia z -1, dzięki temu Ale czy nie można prościej? Tym razem można Po pracowitym rozłożeniu funkcji podcałkowej na ułamki proste (porównaj zadanie 3 w części rozkład na ułamki proste) przystępujemy do całkowania

16 Zadanie 5 Oblicz całkę nieoznaczoną Wynik rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste to Zadanie 6 Oblicz całkę nieoznaczoną

17 Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej Użyj wyniku zadania 2 Zgodnie ze wskazówką wyniku zadania 2 mamy dalej Używając Całki sprowadzalne do całkowania funkcji wymiernych W tym rozdziale oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów Zadanie 1 Oblicz całkę nieoznaczoną Stosujemy uniwersalne podstawienie, wtedy, oraz Stosując podstawienie otrzymujemy

18 W szczególnych przypadkach gdy 1), 2), 3), wygodniejsze są następujące podstawienia, odpowiednio 1), 2), 3) Zadanie 2 Oblicz całkę nieoznaczoną Patrz uwagi do porzedniego zadania Podstawiając otrzymujemy [Error parsing LaTeX formula Error 6: dimension error: 784x50]

19 końcowe Następujące całki dają się sprowadzić do całkowania funkcji wymiernych podstawienie dla przypadku i podstawienie a dla przypadku i podstawienie sprowadzają tego rodzaju całki do przypadku Natomiast przypadek i sprowadzamy do przypadku całkowania funkcji na przykład przez podstawienie podstawienie