LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE"

Transkrypt

1 LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących charakter zmian sygnałów cyfrowych i dyskretnych. KOMPUTER ZEGAR y o (t) A/D y o (k) e(k) Algorytm u(k) D/A u(t) OBIEKT y(t) y(k) A/D Układy regulacji automatycznej, w których informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów dyskretnych nazywane są układami dyskretnymi. Rozróżnia się sygnały dyskretne w poziomie i sygnały dyskretne w czasie. Sygnałem dyskretnym w poziomie nazywa się sygnał przyjmujący dwie lub więcej wartości dyskretnych. Sygnałem dyskretnym w czasie nazywa się sygnał będący ciągiem impulsów.

2 Operację przekształcania sygnału w czasie ciągłego w dyskretny nazywa się kwantowaniem sygnału. Rozróżnia się kwantowanie sygnału w poziomie i kwantowanie sygnału w czasie zwane próbkowaniem. Układy, w których występuje kwantowanie sygnału w czasie, nazywane są układami impulsowymi. Informacja jest tu przekazywana w dyskretnych chwilach czas, zwanych chwilami impulsowania. Modulacją impulsów nazywa się funkcję ciągłą przedstawioną w postaci ciągu impulsów, których amplituda, szerokość i położenie wewnątrz okresu próbkowania, zwanego okresem impulsowania zależą od wartości funkcji w dyskretnych chwilach czasu = ( = 0,,... ). W przypadku, gdy obiektem sterowania jest obiekt ciągły (), to układ sterowania musi być wyposażony w dwa dodatkowe elementy jakimi są impulsator i ekstrapolator (). Oba elementy pracują synchronicznie z zadanym okresem próbkowania (sampling time). () () () () Rys.. Układ dyskretny sterowania obiektem ciągłym () ()

3 Impulsator, () () przetwarza sygnał wyjściowy na jego przebieg dyskretny w czasie = = przy czym = 0,,, () gdzie opisuje idealny impulsator, generujący impulsy typu Diraca, y(t) δ(t) y*(t) t t t Zakłada się, że impulsator zamyka się i otwiera ze stałą częstotliwością (stałym ) i pozostaje zamknięty przez czas τ = 0, a co najwyżej przez chwilę pomijalnie małą w porównaniu z czasami odpowiedzi układu. 3

4 Ekstrapolator zerowego rzędu =, () przetwarzający dyskretny sygnał sterujący () na jego postać ciągłą w czasie (), możliwą do podania na wejście obiektu ciągłego. () () = ( ) ( + ) ( + ) () () = = 4

5 RÓWNANIA ROŻNICOWE Równania różnicowe są analogiem równań różniczkowych, i uzyskuje się je poprzez dyskretyzację równań różniczkowych. () = lim ( ) = ( ) () () = lim = lim () () ( ) ( ) = = + = = ( 3) Ogólnie, różnice n - tego rzędu funkcji dyskretnej w k chwili można wyznaczyć na podstawie poniższej formuły = =! ( )!! 5

6 () Dyskretyzacja pochodnych względem czasu () ( 3) ()! ( )!! Ogólna postać symulatora cyfrowego równań różniczkowych Równaniem różnicowym n-tego rzędu nazywamy związek między funkcją dyskretną i jej różnicami do n-tego rzędu włącznie. Biorąc pod uwagę, że różnice n-tego rzędu można wyrazić za pomocą n - kolejnych wartości funkcji, możemy równanie różnicowe rzędu n-tego określić jako związek między kolejnymi wartościami funkcji dyskretnej. Liniowe równania zwyczajne: różniczkowe + a + + a + a = + b + + b + b i różnicowe + a + + a + a = + b + + b + b 6

7 a = b Gdy () 0, to równanie jest równaniem niejednorodnym, a gdy = 0 równaniem różnicowym jednorodnym. Warunki początkowe dla równania są dane, jeżeli znane są dla = 0 wartości funkcji dyskretnej () oraz jej kolejnych różnic rzędu od do, tzn. kiedy są dane: = 0, = (0),..., = (0). Rozwiązanie równania różnicowego polega na wyznaczeniu takiej funkcji dyskretnej (), która spełnia równanie przy danych warunkach początkowych. = Współczynniki równania różnicowego (różnice wsteczne) ze współczynnikami równania różniczkowego wiążą zależności =!!! a, =!!! b 7

8 Przykład: Rozwiązanie równania metodą rekurencyjną, przy założeniu zerowych warunków początkowych 0,, = 0 oraz () = dla = = = 0 = 0 = () = 0 = + () = 0 = = 3 =

9 Przykład: Dyskretyzacja równania różniczkowego drugiego rzędu; Równanie różniczkowe: Równanie różniczkowe: a + a + a = b ( ) + ( ) + = () Związki pomiędzy współczynnikami: = a + a +, = a a, = a 9

10 PRZEKSZTAŁCENIE Przekształcenie jest zdefiniowane za pomocą wzoru = () = gdzie =, = 0,,, jest ciągiem wartości funkcji dyskretnej (sygnału dyskretnego). (3) Przekształcenie przyporządkowuje funkcji dyskretnej (oryginałowi) funkcję (transformatę) zmiennej z. Tak utworzona funkcja () jest nazywana jednostronną transformatą ciągu (). Gdy znana jest transformata oryginał funkcji wyznacza się z odwrotnego przekształcenia Przekształcenie spełnia zasadę superpozycji () = (4) + = + = + (), gdzie i stałe Twierdzenie o transformacie splotu. Transformata splotu dwóch funkcji dyskretnych i jest równa iloczynowi transformat tych funkcji, tj. = = () gdzie splotem funkcji dyskretnych i jest funkcja dyskretna określona wzorem = 0

11 Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w lewo o n okresów impulsowania: + = + = Jeśli dla = 0,,,, to + =. Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w prawo (opóźnionej) o n okresów impulsowania: = Twierdzenie o wartości początkowej: 0 = lim (). Twierdzenie o wartości końcowej: = lim ( )()

12 Transformaty wybranych funkcji dyskretnych oraz odpowiadające im funkcje ciągłe i ich transformaty () () () ( ) () ( ) () ( )

13 7 + sin cos + sin Wyznaczanie oryginału funkcji wymiernej zmiennej zespolonej () Wyznaczanie odwrotnej transformaty metodą rozkładu na ułamki proste. Odwołując się do zależności podanych na stronach 6 i 7 wykładu, poprzedniego semestru, gdzie uwidocznione są składniki rozkładu na ułamki proste funkcji wymiernej zmiennej zespolonej s, których to transformaty odwrotne prowadzą do funkcji eksponencjalnych typu = L, (5) 3

14 oraz biorąc pod uwagę wiersz 4 tabeli transformat, łatwo spostrzec, że relacja pomiędzy dyskretną postacią tej funkcji wykładniczej a jej transformatą jest następująca =. (6) Z powyższego wynika, że rozkład na ułamki proste funkcji wymiernej zmiennej zespolonej z winien przyjąć postać () = + + = Ze względu na to, że w licznikach składników rozkładu funkcji () nie występują operatory s, więc rozkład () należy podzielić obustronnie przez operator z, aby po wyznaczeniu współczynników udziału liczniki składników rozkładu ponownie pomnożyć przez operator z. Transformatę odwrotną otrzymuje się z zależności = = (7) (8) 4

15 Przykład Dana jest funkcja wymierna zmiennej zespolonej z. 0,5 = 0,5 0,7 Wyznaczyć funkcje dyskretną. Rozwiązanie Dzielimy obustronnie funkcję i wyznaczamy współczynniki udziału (residua) rozkładu = 0,5 0,5 0,7 = 0,5 + który ponownie mnożymy obustronnie przez operator z, otrzymując Korzystając z tabeli transformat, gdzie widać, że 0,7 =,5 0,5 +,5 0,7 0,5 = 0,5 0,7 =,5 0,5 +,5 0,7 lub, gdzie = otrzymujemy funkcję dyskretną = =,50,5 +,50,7. 5

16 Uwzględniając idealny impulsatora otrzymujemy wartości próbek sygnału dyskretnego w chwilach odległych od siebie o okres próbkowania () = =,50,5 +,50,7 Dla = 0,,, 3, 4 = 0 + 0,5 + 0,6 + 0, , Rys. Przebieg funkcji dyskretnej z zadania 6

17 Transmitancja operatorowa Niech proces będzie opisany liniowym równaniem operatorowym = Stosując twierdzenie o przesunięciu w prawo otrzymuje się równanie operatorowe = = () () = = ( ) ( ) Podobnie korzystając z twierdzenia o przesunięciu w lewo, czyli = = () () = = () () 7

18 Wyznaczanie transmitancji dyskretnej metodą transformacji transformat Transformata funkcji dyskretnej () związana jest z oryginałem zależnością (3) Przy wyznaczaniu transformaty na podstawie znajomości danej funkcji dyskretnej łatwiej posługiwać się tablicą transformat, niż na podstawie powyższego wzoru definicyjnego. Tablica, oprócz funkcji dyskretnych i ich transformat podaje funkcje ciągłe wraz z ich transformatami Laplace a, odpowiadające podanym funkcjom dyskretnym. Znając postać funkcji ciągłej lub jej transformatę w dziedzinie zmiennej zespolonej s, jednocześnie można określić odpowiadającą jej funkcję dyskretną lub transformatę w dziedzinie zmiennej zespolonej z. Znając natomiast transformatę jednoznacznie można określić odpowiadającą jej funkcję dyskretną. Operacja ta nazywa się odwrotnym przekształceniem lub odwrotnym przekształceniem Laurenta. Operacja wyznaczania transformaty na podstawie znajomości transformaty Laplace a danej funkcji ciągłej (a nie na podstawie odpowiadającej jej funkcji dyskretnej) nazywa się transformacją transformat = () (9) gdzie oznacza symbol przekształcenia transformaty Laplace a w transformatę Laurenta. Operacje te można wykonywać posługując się bezpośrednio tablicą transformat 8

19 W przypadku gdy obiekt ciągły jest opisany transmitancją ciągłą jak w układzie na stronie, transmitancja dyskretna obiektu z impulsatorem i ekstrapolatorem zerowego rzędu opisana jest następująco ale = więc = () = () = () (0) = () = z z () = z z (). () Wprowadzając oznaczenie () = () operację () = () można wykonać posługując się bezpośrednio tablicą transformat, rozkładając przedtem funkcję wymierną () na ułamki proste. () 9

20 Przykład Wyznaczyć dyskretną odpowiedź skokową układu opisanego transmitancją operatorową Transmitancja ekstrapolatora ma postać = Rozwiązanie = Transmitancja dyskretna układu = = = Wymuszenie skokowe = = = Odpowiedź operatorowa = = = = Odpowiedź dyskretna ( ) = = 0

21 0 5 = [s] Odpowiedzi dyskretna układu 0 5 z ekstrapolatorem ( ) = = [s] 5 bez ekstrapolatora ( ) = ( + ) = 0 5 = 0.5 [s]

22 Przykład. Wyznaczyć transmitancję dyskretną i dyskretną odpowiedź skokową jednostkową układu sterowania gdzie człon ciągły, opisany transmitancją operatorową = jest poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu. Rozwiązanie +, Uwzględniając oznaczenie () związane z () otrzymujemy = s gdzie współczynniki udziału wynoszą = + = =, =, =. Otrzymany rozkład funkcji wymiernej w dziedzinie zmiennej zespolonej s = + + +, przekształcamy, posługując się tablicą transformat, w rozkład w dziedzinie zmiennej zespolonej z, stąd = = gdzie: = + + = + +

23 Poszukiwana postać transmitancji dyskretnej układu wynika z zależności () = = + Postać transformaty sygnału wymuszenia wynika z transformacji Stąd odpowiedź operatorowa wynosi = = = +. = = + + = + +. a jej postać dyskretną określa związek = = + + = 0 = [s] 0 = 0.5 [s] = 3

24 Przykład 3 Wyznaczyć dyskretną odpowiedź skokową układu opisanego transmitancją operatorową Transmitancja ekstrapolatora ma postać = + Rozwiązanie gdzie: = Transmitancja dyskretna układu = = + = + = = = = Wymuszenie skokowe = = 4

25 Odpowiedź operatorowa Odpowiedź dyskretna = = = = = = [s] = 0.5 [s] = 5

26 Badanie stabilności dyskretnego układu regulacji automatycznej Struktura dyskretnego układu regulacji automatycznej pokazana jest na rys. 4. () () ( ) () ( ) () () () () a) ( ) ( ) ( ) ( ) () () b) () () () () Rys. Schemat dyskretnego układu regulacji a) i jego schemat równoważny b) Zamknięty układ regulacji jest asymptotycznie stabilny, jeżeli przy wymuszeniach równych zeru i dowolnych warunkach początkowych uchyb w układzie dąży do zera, gdy k dąży do nieskończoności. Wynika stąd, że układ jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy a to ma miejsce wtedy gdy lim = 0, (3) <, =,,, 6

27 Bieguny rzeczywiste Weźmy pod uwagę transmitancję układu pierwszego rzędu o postaci: = () () = + = + z biegunem = = Odpowiadająca temu obiektowi transmitancja w dziedzinie tegoż obiektu, nie poprzedzonego ekstrapolatorem, przyjmie postać: = () () = = = z z = z biegunem = Odpowiadające tej transmitancji równanie różnicowe ma postać a =, gdzie: =, = Dla warunków początkowych (0) 0 i dla () = 0 otrzymuje się równanie jednorodne a = 0 o poniższym zbiorze wartości chwilowych zmiennej (): = 0 = = 0 = 0 7

28 Im{z} k yk ( ) := a y0 0.5 Re{z} < a < 0 0 < a <.4. yk ( ) 0.6 y( k) 0.8 yk ( ) y( k) k k 8

29 Im{z} k yk ( ) := a y0 0.5 Re{z} a. a 0.8 yk ( ) 0.4 yk ( ) 0.8 yk ( ) yk ( ) k k 9

30 Im{z} k yk ( ) := a y0 0.5 Re{z} a < a >.5 yk ( ) 0.5 yk ( ).5 yk ( ) 0.5 yk ( ) k k 30

31 0.5 Im{z} k yk ( ) := a y0 Ponieważ bieguny w płaszczyźnie s i z związane są relacją Re{z} a = 0. s T z = a e = wynika stąd poniższa odpowiedniość zmienności biegunów w swoich płaszczyznach: bieguny w płaszczyźnie s < s p < + bieguny w płaszczyźnie z 0 < z p < yk ( ) yk ( ) Właściwość ta wskazuje, że bieguny dodatnie rzeczywiste w płaszczyźnie z wynikają tylko z położenia rzeczywistych biegunów w płaszczyźnie s. Tak więc, ujemne bieguny w płaszczyźnie z nie mają swego odpowiednika na osi rzeczywistej płaszczyzny s. k 3

32 Bieguny zespolone sprzężone Weźmy pod uwagę transmitancję układu ciągłego ( ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( s s s s K s K s s K s T s T K s u s y s G n n o n s n + = = + + = + + = = ω ω ω ω ζω ω ζ a a a ( ) ( ), ω ζ ω ζ ω ζω ζ j s T T n n n n ± = = = = = a a gdzie Transmitancja tego obiektu w dziedzinie z ( ) ( )( ) cos sin ) ( ) ( ) ( z z z z b z z T z z T K z u z y z G = + + = = α ω α ω ω ω α a T e a = α gdzie Bieguny układu opisuje zależność: [ ] T j T j e e T j T z ) (, sin cos ω ω α ω ω α ± ± = = ± = a Równanie jednorodne przyjmie postać 0 ) ( ) ( ) cos ( ) ( = + k y k y T k y α ω α Przyjmując warunki początkowe oraz, (0) cos ) ( y kt k y k = ω α rozwiązanie powyższego równania opisuje związek 0 0) ( y T y cos ) ( ω = α 3

33 Im{z} 0.5 k y( k) = α cosωkt y(0) 0 0 < α < 0.5 ω T 50 o Re{z} ω T 30 o.5.5. y k 0.5 y k 0.7 y k 0 y k k k 33

34 Im{z} 0.5 k y( k) = α cosωkt y(0) ω T 30 o Re{z} α >.5 α y k 0. y k 0.3 y k 0.6 y k k k 34

35 Im{z} 0.5 k y( k) = α cosωkt y(0) 0 0 < α < 0.5 ω T 80 o Re{z} ω T 90 o y k 0. y k 0. y k 0.6 y k k k 35

36 Jeżeli pojedynczy biegun, lub pojedyncza para biegunów zespolonych sprzężonych, znajduje się na okręgu jednostkowym, wówczas układ jest na granicy stabilności (stabilny krytycznie). W przypadku istnienia na okręgu jednostkowym biegunów wielokrotnych układ staje się niestabilny. Stabilność układów impulsowych można badać metodami algebraicznymi i częstotliwościowymi. Korzysta się przy tym z innego rodzaju transformacji zwanej transformacją biliniową, w której operatorem jest zmienna w. Transformacja biliniowa = + odwzorowuje okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na oś liczb urojonych w płaszczyźnie w. Zatem wnętrze okręgu jednostkowego jest odwzorowywane w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej w. Zachodzi tu zależność () = () (4) Ponieważ płaszczyzna w odgrywa tę samą rolę co płaszczyzna s dla układów ciągłych, dlatego też mogą tu być stosowane kryteria stabilności opracowane dla układów ciągłych. 36

37 Jeśli znana jest transmitancja = () () = () () układu otwartego lub równanie charakterystyczne dla zmiennej zespolonej w układu zamkniętego (5) = +, (6) to postępowanie przy badaniu stabilności metodą Hurwitza jest takie same jak w przypadku badania stabilności układów ciągłych na podstawie transmitancji (). Badając stabilność układów dyskretnych za pomocą kryterium Nyquista postępuje się tak jak w przypadku układów ciągłych. Analogię transmitancji widmowej otrzymuje się przez podstawienie = (7) Zmienna związana jest z częstotliwością sygnału wejściowego zależnością = arc tan (8) Funkcja () = () może być wykorzystana do analizy stabilności układu na podstawie kryterium Nyquista. 37

38 Przykład 4 Sprawdź stabilność układu, którego równanie charakterystyczne ma postać: = Układ dyskretny jest stabilny = = 0 = ( + ) + = = = 0 = 6 8 > 0, = 8 > 0. 38

39 Przykład 5 Wyznacz dla jakich wartości współczynnika a układ jest stabilny asymptotycznie Przykład 6 = () = = = 0 = = 0 > 0, > 0 <, + > 0 > > > 0 Wyznacz dla jakich wartości współczynnika a, dyskretny układ regulacji automatycznej o transmitancji układu otwartego z zadania poprzedniego będzie asymptotycznie stabilny. Równanie charakterystyczne układu regulacji ma postać = = = () = = a Układ jest niestabilny. Nie jest spełnione pierwsze kryterium Hurwitza 39

40 Dokładność statyczna jest szacowana na podstawie oceny uchybu regulacji w stanie ustalonym = lim + () = lim + () (9) Obliczana tu jest wartość uchybu ustalonego w zależności od typu sygnału wymuszenia i stopnia astatyzmu układu otwartego, czyli klasy układu. Standardowymi typami sygnałów wymuszających są: sygnał skokowy (sterowanie pozycyjne) = = A z z (0) sygnał liniowy (sterowanie prędkościowe) = = A z () z sygnał paraboliczny (sterowanie przyspieszające) = = A z(z + ) () z 40

41 Przy wymuszeniu skokowym uchyb pozycyjny = = lim = lim + + (3) wynosi = + (4) i którego wartość zależy od wartości współczynnika wzmocnienia pozycyjnego określonego wyrażeniem W identyczny sposób można określić uchyby: prędkościowy = lim = lim. (5) + ( ) = (6) gdzie wartość współczynnika wzmocnienia prędkościowego wynika z zależności oraz przyspieszeniowy = lim ( ) (7) = lim + + = (7) przy czym = lim ( ). (8) 4

42 Zadanie 7 () () () () () () Wyznacz uchyby regulacji przy wymuszeniach: pozycyjnym, prędkościowym i przyspieszeniowym dla układu regulacji pokazanym na rysunku obok, gdzie: Transmitancja ekstrapolatora ma postać = + Rozwiąznie = Transmitancja układu otwartego ma postać (patrz przykład ) Wzmocnienie pozycyjne wynosi = + + Wzmocnienie prędkościowe wynosi = lim = ; stąd = + = 0 = lim( ) = lim + + = stąd = = 4

43 Wzmocnienie przyspieszeniowe wynosi = lim( ) = lim( ) + + = 0 stąd = = 43

44 Przykład 8. Dany jest układ regulacji o transmitancji układu otwartego = Dla jakich wartości wzmocnienia i okresu próbkowania układ regulacji będzie stabilny przy określonej wartości uchybu prędkościowego regulacji. Wymuszenie układu wynosi Uchyb układu zamkniętego = lim Wielomian charakterystyczny = = = () = lim = = + = + +, = + Warunek stabilności układu > 0 0 < < Ale ze względu na dokładność wzmocnienie ma też lewostronne ograniczenie < < 44

45 PODSTAWOWE ALGORYTMY BEZPOŚREDNIEGO STEROWANIA CYFROWEGO (DDC) Algorytm pozycyjny = + () 0 () + (9) = + () + ( ) (30) Podstawowe wady algorytmu pozycyjnego: trudność w obliczaniu składnika () (ograniczenia pamięci sumowanie od = 0) brak zabezpieczenia przed nieograniczonym wzrostem sygnału () w przypadku niemożności wyzerowania uchybu regulacji () = () (). Sygnał uchybu jest bowiem zależny od wartości zadanej () i wobec tego wszystkie trzy składniki wzoru algorytmu zależne są od (). Wad tych pozbawiony jest tzw. algorytm prędkościowy, który oparty jest na uwzględnieniu przyrostów zmiennych. tj. i uchybu regulacji () = () ( ) i sterowania () = (), przy czym = + () + ( ) (3) 45

46 Stąd, odejmując wyrażenie (30) od wyrażenia (3), algorytm prędkościowy PID przyjmuje postać lub gdzie = = + + (3) = = + + (33) = +, =, = () ( ) ( ) Δ() () Algorytm prędkościowy Algorytm pozycyjny ( ) 46

47 Algorytm PID Regulator dyskretny drugiego rzędu opisany jest poniższą transmitancją operatorową = z z = + + (34) Zakładając skokowy charakter wymuszenia, podanego na wejście regulatora, jakim jest uchyb regulacji, czyli = = dla > 0 0 dla < 0 uzyskuje się odpowiedź regulatora w postaci ciągu wartości próbek: 0 = = = + = = = = ( ) Jeżeli założy się, że kolejne próbki mają spełnić warunki < 0 i < ( ), wówczas otrzymuje się regulator dyskretny, którego charakter przebiegu sygnału wyjściowego (odpowiedzi) jest podobny do powszechnie stosowanego w układach analogowych (ciągłych) regulatora PID. Przebieg próbek tak ukształtowanego sygnału ilustruje poniższy rysunek 47

48 Wartości poszczególnych próbek wynikają stąd, że dla: u(k) < 0 + < 0 lub < > + + > 0 lub > + Zatem, aby regulator realizował algorytm typu PID, pomiędzy jego współczynnikami qi powinny zachodzić następujące relacje > 0 < > 0 + < < q 0 q 0 -q q 0 +q q 0 +q +q k q q q 0i q 0i q 0 q -q 0i -q 0i q = -q 0 q = -(q 0i + q ) 48

49 Regulatory o skończonej odpowiedzi impulsowej SOI Wiadomo, że im głębiej bieguny układu zamkniętego przesunięte są w lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej s, tym szybciej układ uzyskuje wartość zadaną sygnału wejściowego. W skrajnym przypadku, gdyby bieguny te mogły osiągnąć -, co w praktyce analogowych technik regulacji jest niemożliwe, układ byłby najszybszy. Z zależności = widać, że wartościom = biegunów w płaszczyźnie zmiennej zespolonej odpowiadają wartości = 0 biegunów w płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Są to więc bieguny leżące w początku układu współrzędnych w środku okręgu jednostkowego. Zatem jest to interesujące miejsce lokalizacji biegunów w układach regulacji dyskretnej. Zapewnia ono bowiem minimalny czas osiągnięcia stanu ustalonego. Wielomian charakterystyczny takiego układu regulacji miałby więc postać =, (35) przy czym: = i gdzie jest opóźnieniem transportowym występującym w układzie sterowania. Układy z regulatorami umożliwiającymi uzyskanie takich postaci wielomianów charakterystycznych układów zamkniętych regulacji nazywane są układami o skończonym czasie odpowiedzi impulsowej SOI.. W literaturze anglosaskiej ten typ regulacji znany jest pod nazwą deadbeat control. Regulatory realizujące taki algorytm należą do grupy regulatorów kompensacyjnych Regulatory kompensacyjne zapewniają uzyskanie pożądanych właściwości układu regulacji w wyniku kompensacji całości lub fragmentu transmitancji obiektu sterowanego. 49

50 Znajomość pożądanej transmitancji wynikowej = z z = () + () pozwala, na drodze przekształceń algebraicznych, wyznaczyć transmitancje regulatora (36) = () Otrzymany regulator powinien spełnić warunek realizowalności, tzn. wynikowa wartość próbek sygnału sterującego () nie może zależeć od następnych - przyszłych - próbek uchybu regulacji ( + ) (stopień wielomianu licznika regulatora nie może być większy od stopnia wielomianu mianownika). Poza tym stosowanie regulatorów kompensacyjnych jest możliwe tylko w sytuacjach, gdy ma się gwarancję co do odpowiednio dobrej (pewnej) lokalizacji biegunów i zer transmitancji procesu wewnątrz okręgu jednostkowego. Przy projektowaniu regulatorów kompensacyjnych, wymaga się również dokładnego określenia oczekiwanej odpowiedzi układu zamkniętego w każdej dyskretnej chwili czasowej, a więc tym samym precyzyjnego określenia transmitancji dyskretnej układu. Pominięcie tego wymogu może spowodować pojawianie się, w zakresie czasowym pomiędzy poszczególnymi chwilami czasu dyskretnego, przebiegów odpowiedzi układu o charakterze oscylacyjnym lub nieregularnego falowania - marszczenia" się sygnału odpowiedzi. Przebiegi te są zwykle słabo tłumione i znacząco wpływają na sygnał sterowania. (37) 50

51 Tego niekorzystnego zjawiska, towarzyszącego układom regulacji (patrz rys na str.3) z regulatorami kompensacyjnymi można uniknąć stosując regulator o postaci: = = ( ) ( ), gdzie = (38) gdzie ( ) i ( ) są wielomianami transmitancji obiektu regulacji opisanego w postaci = ( ) ( ) = , (39) umożliwiający regulację typu SOI (DB). Tak więc, parametry regulatora mogą być wyznaczone w bardzo prosty sposób, bo bezpośrednio na podstawie wartości parametrów procesu (obiektu) Transmitancja wypadkowa układu regulacji przyjmie postać = = (), gdzie = (40) To oznacza, że poddając układ wymuszeniu np. skokowemu, sygnały sterujący () i wyjściowy () procesu osiągną swój nowy stan ustalony po ściśle określonym czasie = +. Warto przy tym zwrócić uwagę na fakt, że wraz ze zmniejszaniem okresu impulsowania T wartość sumy maleje co powoduje wzrost wartości współczynnika 0, a w rezultacie wzrost wartości próbki początkowej sygnału sterującego, gdyż (0) = 0. Spostrzeżenie to jest istotne ze względu na ograniczenia jakim w praktyce podlegają wartości tego sygnału (ograniczenia poziomu sygnałów przetworników C/A, ograniczenia źródeł zasilania, zjawisko nasycenia). 5

52 Uwagi dotyczące doboru czasu próbkowania w algorytmach o optymalizowanych parametrach. Jak wiadomo regulatory dyskretne mają ogólnie gorsze własności w stosunku do regulatorów ciągłych. Interpretacja tego faktu jest niekiedy oparta na stwierdzeniu, że sygnały dyskretne zawierają mniej informacji niż sygnały ciągłe. Z drugiej strony trzeba jednak podkreślić, że nie tylko zasób informacji ale także sposób jej wykorzystania powinien być przedmiotem szczególnego zainteresowania. Ponadto na ocenę własności regulatorów ma wpływ klasa oraz widmo częstotliwości sygnałów zakłócających. Pod tym wzlędem trudno jest dokonać jakiejś uogólnionej oceny własności regulatorów dyskretnych. Dla regulatorów dyskretnych jedno podstawowe stwierdzenie jest słuszne, a mianowicie to, że własności regulacyjne pogarszają się wraz ze wzrostem okresu próbkowania. Zatem, okres próbkowania powinien być możliwie jak najmniejszy, o ile zasadniczym podmiotem zainteresowania są własności regulacyjne. Wybór wartości okresu próbkowania zależy nie tylko od osiągalnych własności regulacyjnych, ale także od: pożądanych (wystarczająco dobrych) własności regulacyjnych, dynamiki procesu, widma częstotliwości, wyposażenia pomiarowego, wymagań operatora, mocy obliczeniowej i kosztów przypadających na jedną pętlę sprzężenia zwrotnego. 5

53 W praktyce wartość okresu próbkowania dobiera się ze względu na: czas wysterowania procesu = 0,95 () 5 6 dominującą wartość czasu martwego (opóźnienia występującego w procesie exp ( ), 0,35 dla 0,,0 0,35 0, dla,0 0 0,5 0,35 dla > 0 gdzie: - suma stałych czasowych obiektu, drgania na granicy stabilności = (0.0 0,05) zakłócenia (tw. Shanona-Kotielnikowa) < 53

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

Badanie stabilności liniowych układów sterowania

Badanie stabilności liniowych układów sterowania Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 10. Dyskretyzacja

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Część 1. Transmitancje i stabilność

Część 1. Transmitancje i stabilność Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego 4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Opis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c.

Opis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c. Opis matematyczny Równanie modulatora Charakterystyka statyczna d t = v c t V M dla 0 v c t V M D 1 V M V c Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy v c (t )=V c + v c (t ) d (t

Bardziej szczegółowo

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ Y o (s) - E(s) B(s) /T I s K p U(s) Z(s) G o (s) Y(s) T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z podstaw automatyki

Laboratorium z podstaw automatyki Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z podstaw automatyki Analiza stabilności obiektów automatyzacji, Wpływ sprzężenia zwrotnego na stabilność obiektów Kierunek studiów: Transport,

Bardziej szczegółowo

K p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych

K p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych METODY DOBORU NASTAW 7.3.. Metody analityczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych 7.3.2 Metody doświadczalne 7.3.2.. Metoda Zieglera- Nicholsa 7.3.2.2. Wzmocnienie krytyczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych

Bardziej szczegółowo

analogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów:

analogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów: Cel projektu. Projekt składa się z dwóch podstawowych zadań, mających na celu zaprojektowanie dla danej transmitancji: G( s) = m 2 s 2 e + m s + sτ gdzie wartości m 2 = 27, m = 2, a τ = 4. G( s) = 27s

Bardziej szczegółowo

1. Transformata Laplace a przypomnienie

1. Transformata Laplace a przypomnienie Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013 SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych

Bardziej szczegółowo

Automatyka i sterowania

Automatyka i sterowania Automatyka i sterowania Układy regulacji Regulacja i sterowanie Przykłady regulacji i sterowania Funkcje realizowane przez automatykę: regulacja sterowanie zabezpieczenie optymalizacja Automatyka i sterowanie

Bardziej szczegółowo

Korekcja układów regulacji

Korekcja układów regulacji Korekcja układów regulacji Powszechnym sposobem wpływania na jakość procesów regulacji jest wprowadzenie urządzeń (członów) korekcyjnych. W przeważającej większości przypadków niezbędne jest umieszczenie

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania

Bardziej szczegółowo

INTELIGENTNE SYSTEMY STEROWANIA OPRACOWANIE

INTELIGENTNE SYSTEMY STEROWANIA OPRACOWANIE Arkadiusz Kwiatkowski INTELIGENTNE SYSTEMY STEROWANIA OPRACOWANIE Nie biorę odpowiedzialności za skutki błędów zawartych w opracowaniu. 1. Schemat inteligentnego sensora inteligentny sensor zintegrowany

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

Obiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany).

Obiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). SWB - Systemy wbudowane w układach sterowania - wykład 13 asz 1 Obiekt sterowania Wejście Obiekt Wyjście Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). Fizyczny obiekt (proces, urządzenie)

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował

Bardziej szczegółowo

3. WRAŻLIWOŚĆ I BŁĄD USTALONY. Podstawowe wzory. Wrażliwość Wrażliwość transmitancji względem parametru. parametry nominalne

3. WRAŻLIWOŚĆ I BŁĄD USTALONY. Podstawowe wzory. Wrażliwość Wrażliwość transmitancji względem parametru. parametry nominalne 3. WRAŻLIWOŚĆ I BŁĄD USTALONY Podstawowe wzory Wrażliwość Wrażliwość transmitancji względem parametru (3.1a) parametry nominalne (3.1b) Wrażliwość układu zamkniętego (3.2a) (3.2b) Uwaga. Dla Zmiana odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 7. Metoda projektowania

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Otwarty układ regulacji

Rys. 1 Otwarty układ regulacji Automatyka zajmuje się sterowaniem, czyli celowym oddziaływaniem na obiekt, w taki sposób, aby uzyskać jego pożądane właściwości. Sterowanie często nazywa się regulacją. y zd wartość zadana u sygnał sterujący

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania odpowiedzi skokowych oraz impulsowych podstawowych obiektów regulacji.

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH

KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH KRYTERIA ALEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH Zadie 1 Problem: Zbadać stabilność układu zamkniętego przedstawionego na schemacie według kryterium Hurwitza. 1 (s) (s) Rys 1. Schemat układu regulacji

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.

Bardziej szczegółowo

Automatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II

Automatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II Automatyka i Regulacja Automatyczna Laboratorium Zagadnienia Seria II Zagadnienia na ocenę 3.0 1. Podaj transmitancję oraz naszkicuj teoretyczną odpowiedź skokową układu całkującego z inercją 1-go rzędu.

Bardziej szczegółowo

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM D. B. Tefelski Zakład VI Badań Wysokociśnieniowych Wydział Fizyki Politechnika Warszawska, Koszykowa 75, 00-662 Warszawa, PL 28 lutego 2011 Stany nieustalone, stabilność

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

A-2. Filtry bierne. wersja

A-2. Filtry bierne. wersja wersja 04 2014 1. Zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zrozumienie propagacji sygnałów zmiennych w czasie przez układy filtracji oparte na elementach rezystancyjno-pojemnościowych. Wyznaczenie doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Automatyka Automatics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Jakość układu regulacji Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki. Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI

Politechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki. Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI Politechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI 12. Regulacja dwu- i trójpołożeniowa (wg. Holejko, Kościelny: Automatyka procesów ciągłych)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY DYNAMICZNE 2. Kod przedmiotu: Esd 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów

Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Sterowania Procesami Ciągłych Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów. Obliczanie

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami

Bardziej szczegółowo

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą Politechnika Świętokrzyska Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN Zakład Informatyki i Robotyki Przedmiot:Podstawy Automatyzacji - laboratorium, rok I, sem.

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki

INSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki Opracowano na podstawie: INSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki 1. Kaczorek T.: Teoria sterowania, PWN, Warszawa 1977. 2. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki, PWN, Warszawa 1980 3.

Bardziej szczegółowo

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20). SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy

Bardziej szczegółowo

KOMPUTERY W STEROWANIU. Ćwiczenie 5 Projektowanie kompensatora cyfrowego metodą symulacji

KOMPUTERY W STEROWANIU. Ćwiczenie 5 Projektowanie kompensatora cyfrowego metodą symulacji Wydział Elektryczny Zespół Automatyki (ZTMAiPC) KOMPUTERY W STEROWANIU Ćwiczenie 5 Projektowanie kompensatora cyfrowego metodą symulacji. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami projektowania

Bardziej szczegółowo

Eliminacja drgań w układach o słabym tłumieniu przy zastosowaniu filtru wejściowego (Input Shaping Filter)

Eliminacja drgań w układach o słabym tłumieniu przy zastosowaniu filtru wejściowego (Input Shaping Filter) Eliminacja drgań w układach o słabym tłumieniu przy zastosowaniu filtru wejściowego (Input Shaping Filter) 1. WSTĘP W wielu złożonych układach mechanicznych elementy występują połączenia elastyczne (długi

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Liniowe układy scalone w technice cyfrowej

Liniowe układy scalone w technice cyfrowej Liniowe układy scalone w technice cyfrowej Wykład 6 Zastosowania wzmacniaczy operacyjnych: konwertery prąd-napięcie i napięcie-prąd, źródła prądowe i napięciowe, przesuwnik fazowy Konwerter prąd-napięcie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA AUTOMATYKI I ELEKTRONIKI. Badanie układu regulacji dwustawnej

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA AUTOMATYKI I ELEKTRONIKI. Badanie układu regulacji dwustawnej POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA ATOMATYKI I ELEKTRONIKI ĆWICZENIE Nr 8 Badanie układu regulacji dwustawnej Dobór nastaw regulatora dwustawnego Laboratorium z przedmiotu: ATOMATYKA

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2016/2017 Kod: EEL s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2016/2017 Kod: EEL s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Teoria sterowania i technika regulacji Rok akademicki: 2016/2017 Kod: EEL-1-406-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Elektrotechnika

Bardziej szczegółowo

Regulatory o działaniu ciągłym P, I, PI, PD, PID

Regulatory o działaniu ciągłym P, I, PI, PD, PID Regulatory o działaniu ciągłym P, I, PI, PD, PID Regulatory o działaniu ciągłym (analogowym) zmieniają wartość wielkości sterującej obiektem w sposób ciągły, tzn. wielkość ta może przyjmować wszystkie

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:

układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco: Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na podstawie przebiegu wykresu funkcji G o ( jω) układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo