LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

Transkrypt

1 LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących charakter zmian sygnałów cyfrowych i dyskretnych. KOMPUTER ZEGAR y o (t) A/D y o (k) e(k) Algorytm u(k) D/A u(t) OBIEKT y(t) y(k) A/D Układy regulacji automatycznej, w których informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów dyskretnych nazywane są układami dyskretnymi. Rozróżnia się sygnały dyskretne w poziomie i sygnały dyskretne w czasie. Sygnałem dyskretnym w poziomie nazywa się sygnał przyjmujący dwie lub więcej wartości dyskretnych. Sygnałem dyskretnym w czasie nazywa się sygnał będący ciągiem impulsów.

2 Operację przekształcania sygnału w czasie ciągłego w dyskretny nazywa się kwantowaniem sygnału. Rozróżnia się kwantowanie sygnału w poziomie i kwantowanie sygnału w czasie zwane próbkowaniem. Układy, w których występuje kwantowanie sygnału w czasie, nazywane są układami impulsowymi. Informacja jest tu przekazywana w dyskretnych chwilach czas, zwanych chwilami impulsowania. Modulacją impulsów nazywa się funkcję ciągłą przedstawioną w postaci ciągu impulsów, których amplituda, szerokość i położenie wewnątrz okresu próbkowania, zwanego okresem impulsowania zależą od wartości funkcji w dyskretnych chwilach czasu = ( = 0,,... ). W przypadku, gdy obiektem sterowania jest obiekt ciągły (), to układ sterowania musi być wyposażony w dwa dodatkowe elementy jakimi są impulsator i ekstrapolator (). Oba elementy pracują synchronicznie z zadanym okresem próbkowania (sampling time). () () () () Rys.. Układ dyskretny sterowania obiektem ciągłym () ()

3 Impulsator, () () przetwarza sygnał wyjściowy na jego przebieg dyskretny w czasie = = przy czym = 0,,, () gdzie opisuje idealny impulsator, generujący impulsy typu Diraca, y(t) δ(t) y*(t) t t t Zakłada się, że impulsator zamyka się i otwiera ze stałą częstotliwością (stałym ) i pozostaje zamknięty przez czas τ = 0, a co najwyżej przez chwilę pomijalnie małą w porównaniu z czasami odpowiedzi układu. 3

4 Ekstrapolator zerowego rzędu =, () przetwarzający dyskretny sygnał sterujący () na jego postać ciągłą w czasie (), możliwą do podania na wejście obiektu ciągłego. () () = ( ) ( + ) ( + ) () () = = 4

5 RÓWNANIA ROŻNICOWE Równania różnicowe są analogiem równań różniczkowych, i uzyskuje się je poprzez dyskretyzację równań różniczkowych. () = lim ( ) = ( ) () () = lim = lim () () ( ) ( ) = = + = = ( 3) Ogólnie, różnice n - tego rzędu funkcji dyskretnej w k chwili można wyznaczyć na podstawie poniższej formuły = =! ( )!! 5

6 () Dyskretyzacja pochodnych względem czasu () ( 3) ()! ( )!! Ogólna postać symulatora cyfrowego równań różniczkowych Równaniem różnicowym n-tego rzędu nazywamy związek między funkcją dyskretną i jej różnicami do n-tego rzędu włącznie. Biorąc pod uwagę, że różnice n-tego rzędu można wyrazić za pomocą n - kolejnych wartości funkcji, możemy równanie różnicowe rzędu n-tego określić jako związek między kolejnymi wartościami funkcji dyskretnej. Liniowe równania zwyczajne: różniczkowe + a + + a + a = + b + + b + b i różnicowe + a + + a + a = + b + + b + b 6

7 a = b Gdy () 0, to równanie jest równaniem niejednorodnym, a gdy = 0 równaniem różnicowym jednorodnym. Warunki początkowe dla równania są dane, jeżeli znane są dla = 0 wartości funkcji dyskretnej () oraz jej kolejnych różnic rzędu od do, tzn. kiedy są dane: = 0, = (0),..., = (0). Rozwiązanie równania różnicowego polega na wyznaczeniu takiej funkcji dyskretnej (), która spełnia równanie przy danych warunkach początkowych. = Współczynniki równania różnicowego (różnice wsteczne) ze współczynnikami równania różniczkowego wiążą zależności =!!! a, =!!! b 7

8 Przykład: Rozwiązanie równania metodą rekurencyjną, przy założeniu zerowych warunków początkowych 0,, = 0 oraz () = dla = = = 0 = 0 = () = 0 = + () = 0 = = 3 =

9 Przykład: Dyskretyzacja równania różniczkowego drugiego rzędu; Równanie różniczkowe: Równanie różniczkowe: a + a + a = b ( ) + ( ) + = () Związki pomiędzy współczynnikami: = a + a +, = a a, = a 9

10 PRZEKSZTAŁCENIE Przekształcenie jest zdefiniowane za pomocą wzoru = () = gdzie =, = 0,,, jest ciągiem wartości funkcji dyskretnej (sygnału dyskretnego). (3) Przekształcenie przyporządkowuje funkcji dyskretnej (oryginałowi) funkcję (transformatę) zmiennej z. Tak utworzona funkcja () jest nazywana jednostronną transformatą ciągu (). Gdy znana jest transformata oryginał funkcji wyznacza się z odwrotnego przekształcenia Przekształcenie spełnia zasadę superpozycji () = (4) + = + = + (), gdzie i stałe Twierdzenie o transformacie splotu. Transformata splotu dwóch funkcji dyskretnych i jest równa iloczynowi transformat tych funkcji, tj. = = () gdzie splotem funkcji dyskretnych i jest funkcja dyskretna określona wzorem = 0

11 Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w lewo o n okresów impulsowania: + = + = Jeśli dla = 0,,,, to + =. Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w prawo (opóźnionej) o n okresów impulsowania: = Twierdzenie o wartości początkowej: 0 = lim (). Twierdzenie o wartości końcowej: = lim ( )()

12 Transformaty wybranych funkcji dyskretnych oraz odpowiadające im funkcje ciągłe i ich transformaty () () () ( ) () ( ) () ( )

13 7 + sin cos + sin Wyznaczanie oryginału funkcji wymiernej zmiennej zespolonej () Wyznaczanie odwrotnej transformaty metodą rozkładu na ułamki proste. Odwołując się do zależności podanych na stronach 6 i 7 wykładu, poprzedniego semestru, gdzie uwidocznione są składniki rozkładu na ułamki proste funkcji wymiernej zmiennej zespolonej s, których to transformaty odwrotne prowadzą do funkcji eksponencjalnych typu = L, (5) 3

14 oraz biorąc pod uwagę wiersz 4 tabeli transformat, łatwo spostrzec, że relacja pomiędzy dyskretną postacią tej funkcji wykładniczej a jej transformatą jest następująca =. (6) Z powyższego wynika, że rozkład na ułamki proste funkcji wymiernej zmiennej zespolonej z winien przyjąć postać () = + + = Ze względu na to, że w licznikach składników rozkładu funkcji () nie występują operatory s, więc rozkład () należy podzielić obustronnie przez operator z, aby po wyznaczeniu współczynników udziału liczniki składników rozkładu ponownie pomnożyć przez operator z. Transformatę odwrotną otrzymuje się z zależności = = (7) (8) 4

15 Przykład Dana jest funkcja wymierna zmiennej zespolonej z. 0,5 = 0,5 0,7 Wyznaczyć funkcje dyskretną. Rozwiązanie Dzielimy obustronnie funkcję i wyznaczamy współczynniki udziału (residua) rozkładu = 0,5 0,5 0,7 = 0,5 + który ponownie mnożymy obustronnie przez operator z, otrzymując Korzystając z tabeli transformat, gdzie widać, że 0,7 =,5 0,5 +,5 0,7 0,5 = 0,5 0,7 =,5 0,5 +,5 0,7 lub, gdzie = otrzymujemy funkcję dyskretną = =,50,5 +,50,7. 5

16 Uwzględniając idealny impulsatora otrzymujemy wartości próbek sygnału dyskretnego w chwilach odległych od siebie o okres próbkowania () = =,50,5 +,50,7 Dla = 0,,, 3, 4 = 0 + 0,5 + 0,6 + 0, , Rys. Przebieg funkcji dyskretnej z zadania 6

17 Transmitancja operatorowa Niech proces będzie opisany liniowym równaniem operatorowym = Stosując twierdzenie o przesunięciu w prawo otrzymuje się równanie operatorowe = = () () = = ( ) ( ) Podobnie korzystając z twierdzenia o przesunięciu w lewo, czyli = = () () = = () () 7

18 Wyznaczanie transmitancji dyskretnej metodą transformacji transformat Transformata funkcji dyskretnej () związana jest z oryginałem zależnością (3) Przy wyznaczaniu transformaty na podstawie znajomości danej funkcji dyskretnej łatwiej posługiwać się tablicą transformat, niż na podstawie powyższego wzoru definicyjnego. Tablica, oprócz funkcji dyskretnych i ich transformat podaje funkcje ciągłe wraz z ich transformatami Laplace a, odpowiadające podanym funkcjom dyskretnym. Znając postać funkcji ciągłej lub jej transformatę w dziedzinie zmiennej zespolonej s, jednocześnie można określić odpowiadającą jej funkcję dyskretną lub transformatę w dziedzinie zmiennej zespolonej z. Znając natomiast transformatę jednoznacznie można określić odpowiadającą jej funkcję dyskretną. Operacja ta nazywa się odwrotnym przekształceniem lub odwrotnym przekształceniem Laurenta. Operacja wyznaczania transformaty na podstawie znajomości transformaty Laplace a danej funkcji ciągłej (a nie na podstawie odpowiadającej jej funkcji dyskretnej) nazywa się transformacją transformat = () (9) gdzie oznacza symbol przekształcenia transformaty Laplace a w transformatę Laurenta. Operacje te można wykonywać posługując się bezpośrednio tablicą transformat 8

19 W przypadku gdy obiekt ciągły jest opisany transmitancją ciągłą jak w układzie na stronie, transmitancja dyskretna obiektu z impulsatorem i ekstrapolatorem zerowego rzędu opisana jest następująco ale = więc = () = () = () (0) = () = z z () = z z (). () Wprowadzając oznaczenie () = () operację () = () można wykonać posługując się bezpośrednio tablicą transformat, rozkładając przedtem funkcję wymierną () na ułamki proste. () 9

20 Przykład Wyznaczyć dyskretną odpowiedź skokową układu opisanego transmitancją operatorową Transmitancja ekstrapolatora ma postać = Rozwiązanie = Transmitancja dyskretna układu = = = Wymuszenie skokowe = = = Odpowiedź operatorowa = = = = Odpowiedź dyskretna ( ) = = 0

21 0 5 = [s] Odpowiedzi dyskretna układu 0 5 z ekstrapolatorem ( ) = = [s] 5 bez ekstrapolatora ( ) = ( + ) = 0 5 = 0.5 [s]

22 Przykład. Wyznaczyć transmitancję dyskretną i dyskretną odpowiedź skokową jednostkową układu sterowania gdzie człon ciągły, opisany transmitancją operatorową = jest poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu. Rozwiązanie +, Uwzględniając oznaczenie () związane z () otrzymujemy = s gdzie współczynniki udziału wynoszą = + = =, =, =. Otrzymany rozkład funkcji wymiernej w dziedzinie zmiennej zespolonej s = + + +, przekształcamy, posługując się tablicą transformat, w rozkład w dziedzinie zmiennej zespolonej z, stąd = = gdzie: = + + = + +

23 Poszukiwana postać transmitancji dyskretnej układu wynika z zależności () = = + Postać transformaty sygnału wymuszenia wynika z transformacji Stąd odpowiedź operatorowa wynosi = = = +. = = + + = + +. a jej postać dyskretną określa związek = = + + = 0 = [s] 0 = 0.5 [s] = 3

24 Przykład 3 Wyznaczyć dyskretną odpowiedź skokową układu opisanego transmitancją operatorową Transmitancja ekstrapolatora ma postać = + Rozwiązanie gdzie: = Transmitancja dyskretna układu = = + = + = = = = Wymuszenie skokowe = = 4

25 Odpowiedź operatorowa Odpowiedź dyskretna = = = = = = [s] = 0.5 [s] = 5

26 Badanie stabilności dyskretnego układu regulacji automatycznej Struktura dyskretnego układu regulacji automatycznej pokazana jest na rys. 4. () () ( ) () ( ) () () () () a) ( ) ( ) ( ) ( ) () () b) () () () () Rys. Schemat dyskretnego układu regulacji a) i jego schemat równoważny b) Zamknięty układ regulacji jest asymptotycznie stabilny, jeżeli przy wymuszeniach równych zeru i dowolnych warunkach początkowych uchyb w układzie dąży do zera, gdy k dąży do nieskończoności. Wynika stąd, że układ jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy a to ma miejsce wtedy gdy lim = 0, (3) <, =,,, 6

27 Bieguny rzeczywiste Weźmy pod uwagę transmitancję układu pierwszego rzędu o postaci: = () () = + = + z biegunem = = Odpowiadająca temu obiektowi transmitancja w dziedzinie tegoż obiektu, nie poprzedzonego ekstrapolatorem, przyjmie postać: = () () = = = z z = z biegunem = Odpowiadające tej transmitancji równanie różnicowe ma postać a =, gdzie: =, = Dla warunków początkowych (0) 0 i dla () = 0 otrzymuje się równanie jednorodne a = 0 o poniższym zbiorze wartości chwilowych zmiennej (): = 0 = = 0 = 0 7

28 Im{z} k yk ( ) := a y0 0.5 Re{z} < a < 0 0 < a <.4. yk ( ) 0.6 y( k) 0.8 yk ( ) y( k) k k 8

29 Im{z} k yk ( ) := a y0 0.5 Re{z} a. a 0.8 yk ( ) 0.4 yk ( ) 0.8 yk ( ) yk ( ) k k 9

30 Im{z} k yk ( ) := a y0 0.5 Re{z} a < a >.5 yk ( ) 0.5 yk ( ).5 yk ( ) 0.5 yk ( ) k k 30

31 0.5 Im{z} k yk ( ) := a y0 Ponieważ bieguny w płaszczyźnie s i z związane są relacją Re{z} a = 0. s T z = a e = wynika stąd poniższa odpowiedniość zmienności biegunów w swoich płaszczyznach: bieguny w płaszczyźnie s < s p < + bieguny w płaszczyźnie z 0 < z p < yk ( ) yk ( ) Właściwość ta wskazuje, że bieguny dodatnie rzeczywiste w płaszczyźnie z wynikają tylko z położenia rzeczywistych biegunów w płaszczyźnie s. Tak więc, ujemne bieguny w płaszczyźnie z nie mają swego odpowiednika na osi rzeczywistej płaszczyzny s. k 3

32 Bieguny zespolone sprzężone Weźmy pod uwagę transmitancję układu ciągłego ( ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( s s s s K s K s s K s T s T K s u s y s G n n o n s n + = = + + = + + = = ω ω ω ω ζω ω ζ a a a ( ) ( ), ω ζ ω ζ ω ζω ζ j s T T n n n n ± = = = = = a a gdzie Transmitancja tego obiektu w dziedzinie z ( ) ( )( ) cos sin ) ( ) ( ) ( z z z z b z z T z z T K z u z y z G = + + = = α ω α ω ω ω α a T e a = α gdzie Bieguny układu opisuje zależność: [ ] T j T j e e T j T z ) (, sin cos ω ω α ω ω α ± ± = = ± = a Równanie jednorodne przyjmie postać 0 ) ( ) ( ) cos ( ) ( = + k y k y T k y α ω α Przyjmując warunki początkowe oraz, (0) cos ) ( y kt k y k = ω α rozwiązanie powyższego równania opisuje związek 0 0) ( y T y cos ) ( ω = α 3

33 Im{z} 0.5 k y( k) = α cosωkt y(0) 0 0 < α < 0.5 ω T 50 o Re{z} ω T 30 o.5.5. y k 0.5 y k 0.7 y k 0 y k k k 33

34 Im{z} 0.5 k y( k) = α cosωkt y(0) ω T 30 o Re{z} α >.5 α y k 0. y k 0.3 y k 0.6 y k k k 34

35 Im{z} 0.5 k y( k) = α cosωkt y(0) 0 0 < α < 0.5 ω T 80 o Re{z} ω T 90 o y k 0. y k 0. y k 0.6 y k k k 35

36 Jeżeli pojedynczy biegun, lub pojedyncza para biegunów zespolonych sprzężonych, znajduje się na okręgu jednostkowym, wówczas układ jest na granicy stabilności (stabilny krytycznie). W przypadku istnienia na okręgu jednostkowym biegunów wielokrotnych układ staje się niestabilny. Stabilność układów impulsowych można badać metodami algebraicznymi i częstotliwościowymi. Korzysta się przy tym z innego rodzaju transformacji zwanej transformacją biliniową, w której operatorem jest zmienna w. Transformacja biliniowa = + odwzorowuje okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z na oś liczb urojonych w płaszczyźnie w. Zatem wnętrze okręgu jednostkowego jest odwzorowywane w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej w. Zachodzi tu zależność () = () (4) Ponieważ płaszczyzna w odgrywa tę samą rolę co płaszczyzna s dla układów ciągłych, dlatego też mogą tu być stosowane kryteria stabilności opracowane dla układów ciągłych. 36

37 Jeśli znana jest transmitancja = () () = () () układu otwartego lub równanie charakterystyczne dla zmiennej zespolonej w układu zamkniętego (5) = +, (6) to postępowanie przy badaniu stabilności metodą Hurwitza jest takie same jak w przypadku badania stabilności układów ciągłych na podstawie transmitancji (). Badając stabilność układów dyskretnych za pomocą kryterium Nyquista postępuje się tak jak w przypadku układów ciągłych. Analogię transmitancji widmowej otrzymuje się przez podstawienie = (7) Zmienna związana jest z częstotliwością sygnału wejściowego zależnością = arc tan (8) Funkcja () = () może być wykorzystana do analizy stabilności układu na podstawie kryterium Nyquista. 37

38 Przykład 4 Sprawdź stabilność układu, którego równanie charakterystyczne ma postać: = Układ dyskretny jest stabilny = = 0 = ( + ) + = = = 0 = 6 8 > 0, = 8 > 0. 38

39 Przykład 5 Wyznacz dla jakich wartości współczynnika a układ jest stabilny asymptotycznie Przykład 6 = () = = = 0 = = 0 > 0, > 0 <, + > 0 > > > 0 Wyznacz dla jakich wartości współczynnika a, dyskretny układ regulacji automatycznej o transmitancji układu otwartego z zadania poprzedniego będzie asymptotycznie stabilny. Równanie charakterystyczne układu regulacji ma postać = = = () = = a Układ jest niestabilny. Nie jest spełnione pierwsze kryterium Hurwitza 39

40 Dokładność statyczna jest szacowana na podstawie oceny uchybu regulacji w stanie ustalonym = lim + () = lim + () (9) Obliczana tu jest wartość uchybu ustalonego w zależności od typu sygnału wymuszenia i stopnia astatyzmu układu otwartego, czyli klasy układu. Standardowymi typami sygnałów wymuszających są: sygnał skokowy (sterowanie pozycyjne) = = A z z (0) sygnał liniowy (sterowanie prędkościowe) = = A z () z sygnał paraboliczny (sterowanie przyspieszające) = = A z(z + ) () z 40

41 Przy wymuszeniu skokowym uchyb pozycyjny = = lim = lim + + (3) wynosi = + (4) i którego wartość zależy od wartości współczynnika wzmocnienia pozycyjnego określonego wyrażeniem W identyczny sposób można określić uchyby: prędkościowy = lim = lim. (5) + ( ) = (6) gdzie wartość współczynnika wzmocnienia prędkościowego wynika z zależności oraz przyspieszeniowy = lim ( ) (7) = lim + + = (7) przy czym = lim ( ). (8) 4

42 Zadanie 7 () () () () () () Wyznacz uchyby regulacji przy wymuszeniach: pozycyjnym, prędkościowym i przyspieszeniowym dla układu regulacji pokazanym na rysunku obok, gdzie: Transmitancja ekstrapolatora ma postać = + Rozwiąznie = Transmitancja układu otwartego ma postać (patrz przykład ) Wzmocnienie pozycyjne wynosi = + + Wzmocnienie prędkościowe wynosi = lim = ; stąd = + = 0 = lim( ) = lim + + = stąd = = 4

43 Wzmocnienie przyspieszeniowe wynosi = lim( ) = lim( ) + + = 0 stąd = = 43

44 Przykład 8. Dany jest układ regulacji o transmitancji układu otwartego = Dla jakich wartości wzmocnienia i okresu próbkowania układ regulacji będzie stabilny przy określonej wartości uchybu prędkościowego regulacji. Wymuszenie układu wynosi Uchyb układu zamkniętego = lim Wielomian charakterystyczny = = = () = lim = = + = + +, = + Warunek stabilności układu > 0 0 < < Ale ze względu na dokładność wzmocnienie ma też lewostronne ograniczenie < < 44

45 PODSTAWOWE ALGORYTMY BEZPOŚREDNIEGO STEROWANIA CYFROWEGO (DDC) Algorytm pozycyjny = + () 0 () + (9) = + () + ( ) (30) Podstawowe wady algorytmu pozycyjnego: trudność w obliczaniu składnika () (ograniczenia pamięci sumowanie od = 0) brak zabezpieczenia przed nieograniczonym wzrostem sygnału () w przypadku niemożności wyzerowania uchybu regulacji () = () (). Sygnał uchybu jest bowiem zależny od wartości zadanej () i wobec tego wszystkie trzy składniki wzoru algorytmu zależne są od (). Wad tych pozbawiony jest tzw. algorytm prędkościowy, który oparty jest na uwzględnieniu przyrostów zmiennych. tj. i uchybu regulacji () = () ( ) i sterowania () = (), przy czym = + () + ( ) (3) 45

46 Stąd, odejmując wyrażenie (30) od wyrażenia (3), algorytm prędkościowy PID przyjmuje postać lub gdzie = = + + (3) = = + + (33) = +, =, = () ( ) ( ) Δ() () Algorytm prędkościowy Algorytm pozycyjny ( ) 46

47 Algorytm PID Regulator dyskretny drugiego rzędu opisany jest poniższą transmitancją operatorową = z z = + + (34) Zakładając skokowy charakter wymuszenia, podanego na wejście regulatora, jakim jest uchyb regulacji, czyli = = dla > 0 0 dla < 0 uzyskuje się odpowiedź regulatora w postaci ciągu wartości próbek: 0 = = = + = = = = ( ) Jeżeli założy się, że kolejne próbki mają spełnić warunki < 0 i < ( ), wówczas otrzymuje się regulator dyskretny, którego charakter przebiegu sygnału wyjściowego (odpowiedzi) jest podobny do powszechnie stosowanego w układach analogowych (ciągłych) regulatora PID. Przebieg próbek tak ukształtowanego sygnału ilustruje poniższy rysunek 47

48 Wartości poszczególnych próbek wynikają stąd, że dla: u(k) < 0 + < 0 lub < > + + > 0 lub > + Zatem, aby regulator realizował algorytm typu PID, pomiędzy jego współczynnikami qi powinny zachodzić następujące relacje > 0 < > 0 + < < q 0 q 0 -q q 0 +q q 0 +q +q k q q q 0i q 0i q 0 q -q 0i -q 0i q = -q 0 q = -(q 0i + q ) 48

49 Regulatory o skończonej odpowiedzi impulsowej SOI Wiadomo, że im głębiej bieguny układu zamkniętego przesunięte są w lewą półpłaszczyznę zmiennej zespolonej s, tym szybciej układ uzyskuje wartość zadaną sygnału wejściowego. W skrajnym przypadku, gdyby bieguny te mogły osiągnąć -, co w praktyce analogowych technik regulacji jest niemożliwe, układ byłby najszybszy. Z zależności = widać, że wartościom = biegunów w płaszczyźnie zmiennej zespolonej odpowiadają wartości = 0 biegunów w płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Są to więc bieguny leżące w początku układu współrzędnych w środku okręgu jednostkowego. Zatem jest to interesujące miejsce lokalizacji biegunów w układach regulacji dyskretnej. Zapewnia ono bowiem minimalny czas osiągnięcia stanu ustalonego. Wielomian charakterystyczny takiego układu regulacji miałby więc postać =, (35) przy czym: = i gdzie jest opóźnieniem transportowym występującym w układzie sterowania. Układy z regulatorami umożliwiającymi uzyskanie takich postaci wielomianów charakterystycznych układów zamkniętych regulacji nazywane są układami o skończonym czasie odpowiedzi impulsowej SOI.. W literaturze anglosaskiej ten typ regulacji znany jest pod nazwą deadbeat control. Regulatory realizujące taki algorytm należą do grupy regulatorów kompensacyjnych Regulatory kompensacyjne zapewniają uzyskanie pożądanych właściwości układu regulacji w wyniku kompensacji całości lub fragmentu transmitancji obiektu sterowanego. 49

50 Znajomość pożądanej transmitancji wynikowej = z z = () + () pozwala, na drodze przekształceń algebraicznych, wyznaczyć transmitancje regulatora (36) = () Otrzymany regulator powinien spełnić warunek realizowalności, tzn. wynikowa wartość próbek sygnału sterującego () nie może zależeć od następnych - przyszłych - próbek uchybu regulacji ( + ) (stopień wielomianu licznika regulatora nie może być większy od stopnia wielomianu mianownika). Poza tym stosowanie regulatorów kompensacyjnych jest możliwe tylko w sytuacjach, gdy ma się gwarancję co do odpowiednio dobrej (pewnej) lokalizacji biegunów i zer transmitancji procesu wewnątrz okręgu jednostkowego. Przy projektowaniu regulatorów kompensacyjnych, wymaga się również dokładnego określenia oczekiwanej odpowiedzi układu zamkniętego w każdej dyskretnej chwili czasowej, a więc tym samym precyzyjnego określenia transmitancji dyskretnej układu. Pominięcie tego wymogu może spowodować pojawianie się, w zakresie czasowym pomiędzy poszczególnymi chwilami czasu dyskretnego, przebiegów odpowiedzi układu o charakterze oscylacyjnym lub nieregularnego falowania - marszczenia" się sygnału odpowiedzi. Przebiegi te są zwykle słabo tłumione i znacząco wpływają na sygnał sterowania. (37) 50

51 Tego niekorzystnego zjawiska, towarzyszącego układom regulacji (patrz rys na str.3) z regulatorami kompensacyjnymi można uniknąć stosując regulator o postaci: = = ( ) ( ), gdzie = (38) gdzie ( ) i ( ) są wielomianami transmitancji obiektu regulacji opisanego w postaci = ( ) ( ) = , (39) umożliwiający regulację typu SOI (DB). Tak więc, parametry regulatora mogą być wyznaczone w bardzo prosty sposób, bo bezpośrednio na podstawie wartości parametrów procesu (obiektu) Transmitancja wypadkowa układu regulacji przyjmie postać = = (), gdzie = (40) To oznacza, że poddając układ wymuszeniu np. skokowemu, sygnały sterujący () i wyjściowy () procesu osiągną swój nowy stan ustalony po ściśle określonym czasie = +. Warto przy tym zwrócić uwagę na fakt, że wraz ze zmniejszaniem okresu impulsowania T wartość sumy maleje co powoduje wzrost wartości współczynnika 0, a w rezultacie wzrost wartości próbki początkowej sygnału sterującego, gdyż (0) = 0. Spostrzeżenie to jest istotne ze względu na ograniczenia jakim w praktyce podlegają wartości tego sygnału (ograniczenia poziomu sygnałów przetworników C/A, ograniczenia źródeł zasilania, zjawisko nasycenia). 5

52 Uwagi dotyczące doboru czasu próbkowania w algorytmach o optymalizowanych parametrach. Jak wiadomo regulatory dyskretne mają ogólnie gorsze własności w stosunku do regulatorów ciągłych. Interpretacja tego faktu jest niekiedy oparta na stwierdzeniu, że sygnały dyskretne zawierają mniej informacji niż sygnały ciągłe. Z drugiej strony trzeba jednak podkreślić, że nie tylko zasób informacji ale także sposób jej wykorzystania powinien być przedmiotem szczególnego zainteresowania. Ponadto na ocenę własności regulatorów ma wpływ klasa oraz widmo częstotliwości sygnałów zakłócających. Pod tym wzlędem trudno jest dokonać jakiejś uogólnionej oceny własności regulatorów dyskretnych. Dla regulatorów dyskretnych jedno podstawowe stwierdzenie jest słuszne, a mianowicie to, że własności regulacyjne pogarszają się wraz ze wzrostem okresu próbkowania. Zatem, okres próbkowania powinien być możliwie jak najmniejszy, o ile zasadniczym podmiotem zainteresowania są własności regulacyjne. Wybór wartości okresu próbkowania zależy nie tylko od osiągalnych własności regulacyjnych, ale także od: pożądanych (wystarczająco dobrych) własności regulacyjnych, dynamiki procesu, widma częstotliwości, wyposażenia pomiarowego, wymagań operatora, mocy obliczeniowej i kosztów przypadających na jedną pętlę sprzężenia zwrotnego. 5

53 W praktyce wartość okresu próbkowania dobiera się ze względu na: czas wysterowania procesu = 0,95 () 5 6 dominującą wartość czasu martwego (opóźnienia występującego w procesie exp ( ), 0,35 dla 0,,0 0,35 0, dla,0 0 0,5 0,35 dla > 0 gdzie: - suma stałych czasowych obiektu, drgania na granicy stabilności = (0.0 0,05) zakłócenia (tw. Shanona-Kotielnikowa) < 53