TRANSFORMATA FOURIERA

Transkrypt

1 TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta. Funkcja f(x) spełnia warunki Dirichleta gdy:. dziedzinę f(x) można rozłożyć na skończoną sumę przedziałów, w których f(x) jest monotoniczna i ciągła. w każdym punkcie nieciągłości x 0, granice jednostronne lim x x f(x) 0 i lim x x + f(x) są skończone. 0 Twierdzenie (wzór całkowy Fouriera) Jeśli f(x) spełnia na każdym przedziale skończonym (a, b) warunki Dirichleta i f(x) < to wzór gdzie f(x) = 0 (a(ω) cos(ωx) + b(ω) sin ωx) dω () a(ω) = f(t) cos ωtdt, b(ω) = f(t) sin ωtdt, () π π zachodzi we wszystkich punktach, w których f(x) jest ciągła. W każdym punktcie nieciągłości x 0 funkcji f(x) całka po prawej stronie wzoru jest równa (f(x+ 0 ) + f(x 0 )). Jeśli f(x) jest funkcją parzystą to b(ω) = 0 oraz a(ω) = f(t) cos ωtdt, π 0 Jeśli f(x) jest funkcją nieparzystą to a(ω) = 0 oraz b(ω) = f(t) sin ωtdt. π 0 Wykorzystując wzory Eulera, tożsamości trygonometryczne oraz to, że dla funkcji h(x) = r(x) + ip(x) zmiennej rzeczywistej x mamy d h(x)dx = d r(x) + i d p(x), możemy równanie ( ) zapisać w c c c wygodnej postaci tzw. zespolonego wzoru całkowego Fouriera f(x) = ( ) e iωx f(t)e iωt dt dω (3) π W ostatnim wzorze,który przedstawia funkcję f(x) za pomocą iterowanej całki niewłaściwej, całka niewłaściwa zewnętrzna po zmiennej ω jest częścią głowną całki. Część głowna g(ω)dω to lim T T g(ω)dω. T

2 Przykład Napisać wzór całkowy Fouriera dla funkcji f(x) = cos x, gdy x π 0 gdy x > π. Przykład Przedstawić funkcję f(x) = e x, gdy x > 0 za pomocą sinusowego wzoru całkowego Fouriera. Przykład 3 Napisać zespolony wzór całkowy Fouriera dla funkcji c, gdy x < a c f(x) =, gdy x = a 0 gdy x > a. Wykorzystując ten wzór uzasadnić, że 0. Transformata Fouriera sin x x dx = π. Definicja. Niech funkcja f(x) spełnia założenia twierdzenia. Funkcję ˆf(ω) = f(t)e iωt dt, ω (, ) nazywamy transformatą Fouriera funkcji f(x). Przykład 4 Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji a) f(x) =, gdy x [0, ] 0 gdy x / [0, ]. b) f(x) = e x, gdy x > 0 0 gdy x < 0. c) f(x) = e c x, x R, c > 0. d) f(x) = e x, x R

3 3 Zauważmy, że na podstawie wzoru (3) mamy parę przekształceń ˆf(ω) = e iωt f(t)dt, f(x) = e iωx ˆf(ω)dω (4) π Te przekształcenia całkowe ustanawiają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między funkcjami f(x) i ˆf(ω). Dlatego też przyjmijmy oznaczenia ˆf(ω) = F[f(x)], f(x) = F [ ˆf(ω)]. Funkcję f(x) nazywamy też transformatą odwrotną Fouriera funkcji ˆf(ω). Funkcję ˆf(ω) nazywamy widmem (charakterystyką widmową) funkcji f(x). Ponadto jeśli ˆf(ω) zapiszemy w postaci ˆf(ω) = ˆf(ω) e iθ(ω), θ(ω) [ π, π] to ˆf(ω) nazywamy widmem amplitudowym funkcji f(x), a θ(ω) nazywamy widmem fazowym funkcji f(x). Widmo amplitudowe jest funkcją parzystą zmiennej ω, Ponadto gdy mamy ˆf(ω) = π(a(ω) ib(ω)) to ˆf(ω) = π a (ω) + b ω). Widmo fazowe jest okresowe i gdy ˆf(ω) > 0 to ω R.. cos(θ(ω)) = πa(ω) ˆf(ω) oraz sin(θ(ω)) = πb(ω) ˆf(ω). Widmo fazowe jest nieparzystą funkcją zmiennej ω. Dla cos(θ(ω)) = oraz sin(θ(ω)) = 0 przyjmujemy θ(ω) = π sgn(ω). Przykład 5 Znaleźć i narysować widmo amplitudowe oraz widmo fazowe dla funkcji opisanej w przykładzie 4b)..3. Własności transformaty Fouriera Twierdzenie Jeśli funkcje f (x) oraz f (x) spełniają założenia twierdzenia, c, c są dowolnymi liczbami to F[c f (x) + c f (x)] = c F[f (x)] + c F[f (x)].

4 Twierdzenie 3 Jeśli funkcja f(x), spełnia założenia twierdzenia oraz x 0 R to F[f(x x 0 )] = e iωx 0 F[f(x)]. Przykład 6 Wyznaczyć transformaty Fouriera podanych funkcji, wykorzystując twierdzenia o własnosciach transformat: + 3 cos x, gdy x π a) f(x) = 0 gdy x > π. 4 b) f(x) = e x+4, x R. Twierdzenie 4 Jeśli funkcja x n f(x), n N spełnia założenia twierdzenia oraz F[f(x)] = ˆf(ω) to d k dω k ˆf(ω) = ( i) k F[x k f(x)], k =,,..., n Twierdzenie 5 Jeśli funkcja f(x) i jej pochodne f (n) (x) k =,,..., n spełniają założenia twierdzenia, są funkcjami ciągłymi oraz lim x f (k) (x) = lim x f (k) (x) = 0 dla k =,,..., n to F[f (n) (x)] = (iω) n F[f(x)]. Przykład 7 Wyznaczyć transformaty Fouriera podanych funkcji, wykorzystując twierdzenia o własnosciach transformat oraz tabelę transformat: x, gdy x < a) f(x) =, gdy x = 0, gdy x >. b) f(x) = xe x, gdy x > 0 0 gdy x < 0. c) f(x) = x n e x, gdy x > 0 0, gdy x < 0. d) f(x) = xe x, x R

5 5 e) f(x) = x, gdy x < 0, gdy x >. f) f (5) (x), gdy f(x) = xe x, x > 0 g) f (3) (x), gdy f(x) = e 4x Tabela transformat Fouriera niektórych funkcji f(x), gdy x < a 0 gdy x > a. ˆ f(ω) sin aω ω, gdy 0 < x < 0, poza sinω + i (cos ω ) ω ω x, gdy x < 0, gdy x > ( cos ω) ω e cx, x > 0, c > 0 iω+c e c x c ω +c e x ω πe 4 cos x, x < π cos π ω ω ) +x πe ω δ(x)

6 Przykład 8 Wyznaczyć funkcję f(x), jeśli jej transformata Fouriera f(ω) ˆ ma postać a) ˆ f(ω) = ω 6 b) ˆ f(ω) = 4 + iω c) ˆ f(ω) = 4 sin 3ω, ω 0 ω d) f(ω) ˆ = iωe ω 6.4 Splot funkcji. Własności splotu. Definicja.4 Splotem funkcji f(x) oraz g(x) całkowalnych bezwzględnie na R, w przedziale (, ) nazywamy funkcję oznaczaną f g(x), określoną następująco f g(x) = f(t)g(x t)dt Przykład 9 Wyznaczyć, z definicji, splot funkcji f g(x): a)f(x) = sin x, gdy x > 0 0, gdy x < 0., g(x) =, gdy 0 < x < π 0, dla pozostałych. b)f(x) =, gdy 0 < x < 0, gdy x < 0, x >., g(x) =, gdy < x < 0 0, x <, x > 0. c)f(x) = e x, gdy x > 0 0, gdy x < 0., g(x) = e x, gdy x > 0 0, x < 0.

7 Dla funkcji ciągłych f(x), g(x) splot f g(x) ma własności: a) f g(x) = g f(x), (przemienność), b) (f g) h(x) = f (g h)(x), (łączność) c) f (g + g )(x) = f g (x) + f g (x),(rozdzielność splotu względem dodawania). O ważnych własnościach splotu, wykorzystywanych np. w wyznaczaniu transformaty Fouriera, mówi następujące twierdzenie. Twierdzenie 6 Jeśli funkcje f(x), g(x) spełniają założenia tw.fouriera to 7 F[f(x) g(x)] = F[f(x)] F[g(x)]. oraz F[f(x) g(x)] = F[f(x)] F[g(x)]. Czyli transformata Fouriera splotu funkcji jest iloczynem transformat oraz transformata Fouriera iloczynu funkcji jest splotem ich transformat. Przykład 0 Wykorzystując ostatnie twierdzenie wyznaczyć transformatę Fouriera f g(x), a następnie f g(x): a)f(x) = g(x) = e x b)f(x) = g(x) = + 9x W opisach niektórych modeli fizycznych używa się pseudofunkcji zwanej deltą Diraca δ(x) i określonej następująco: δ(x) = 0, gdy x 0 gdy x = 0. oraz δ(x) = Nie jest to funkcja. Warunki (niepoprawne), które określają deltę Diraca wyrażają następujacą intuicję fizyczną: δ(x) reprezentuje nieskończenie wielki impuls pojawiający się w chwili x = 0 i trwający nieskończenie krótko, przy czym efekt działania impulsu, mierzony całką,jest równy jeden. Teoria matematyczna, na gruncie której można wprowadzić deltę Diraca nazywa się teorią dystrybucji. Traktuje δ(x) jako granicę pewnych ciągów funkcji (f n (x)).jednym takich z ciągów jest np. (f n (x)); gdzie

8 0, gdy x > n f n (x) = n n x, gdy 0 < x n n + n x gdy x < 0. n Dla dowolnej funkcji f(x) zachodzi f(x)δ(x x 0)dx = f(x 0 ). Mamy zatem,że transformata Fouriera delty Diraca wynosi zatem, bo ˆδ(ω) = e iωt δ(t)dt =. TRANSFORMATA LAPLACE A Transformata Laplace a jest kolejnym przekształceniem całkowym wykorzystywanym w teorii obwodów elektrycznych. Definicja. Niech f(x) będzie określona dla x 0. Transformatą Laplace a funkcji f(x) nazywamy funkcję f(s), s R określoną następującą f(s) = e st f(t)dt Stosuje się także zapis L[f(x)] = f(s). Zdefiniowane pojęcie można rozszerzyć dla s C. 8 Przykład Wyznaczyć, z definicji, transformaty Laplace a funkcji:, gdy x > 0 a) funkcji Heaviside a : f(x) =, gdy x = 0 0, gdy x < 0., b)f(x) = cos ax, gdy x > 0 0, x < 0. c)f(x) = e ax, gdy x > 0 0, x < 0. Zauważmy, że funkcje opisane w punkcie a), b) nie miały transformat Fouriera. Naturalnym jest pytanie, dla któtych funkcji istnieje transformata Laplace a. A oto warunki wystarczające. Dla funkcji f(x) spełniającej podane warunki: o. f(x) = 0 dla x < 0, o. f(x) spełnia warunki Dirichleta na każdym przedziale (a, b),a, b R, 3 o. M>0 d>0 x f(x) < Me dx, istnieje f(s), dla każdego s > d.

9 9 Funkcję spełniająca warunki o 3 o nazywa się oryginałem. Fakt Jeśli funkcje,będące oryginałami, mają takie same transformaty Laplace a to są równe. Transformata Laplace a oryginału wyznacza oryginał w punktach ciągłości jednoznacznie. Przyporządkowanie f(s) funkcji f(x) nazywa się transformatą odwrotną Laplace a. Twierdzenie 7 Jeśli funkcje f(x), g(x) mają transformaty Laplace a to:. L[af(x) + bg(x)] = al[f(x)] + bl[g(x)].. L[f(x x 0 )] = e sx 0 f(s). 3. L[e ax f(x)] = f(s + a). Twierdzenie 8 Jeśli f(x) jest oryginałem to L(x n f(x)) = ( ) n dn ds n f(s). Przykład Wyznaczyć transformaty Laplace a podanych funkcji: a)f(x) = x, gdy x > 0 0, gdy x < 0., b)f(x) = x n, gdy x > 0 0, x < 0. sin(x + π), gdy x > 0 c)f(x) = 3 0, x < 0., d)f(x) = cos x, x > 0, e)f(x) = sin x cos x, x > 0

10 Tabela transformat Laplace a niektórych funkcji,f(x) = 0 dla x < 0 0 f(x) f(s) s x n n! s n+ e ax s a x n ax n! e (s a) n+ sin ax cos ax a s +a s s +a e ax sin bx b (s a) +b e ax cos bx s a (s a) +b Przykład 3 Wyznaczyć funkcję ciągłą, której transformata Laplace a podana jest wzorem: a) f(s) = s + 5, b) f(s) = s s + 4, c) f(s) = s s, d) f(s) = e 4s s 4 Twierdzenie 9 Jeśli f(x) oraz jej pochodne do rzędu (n ) włącznie są oryginałami oraz istnieje f (n) (x) i jest ciągła na (0, ) to n L[f (n) (x)] = s n f(s) s n k f (k ) (0 + ). k=

11 W szczególności dla n= mamy L[f (x)] = s f(s) f(0 + ), zaś dla n= mamy L[f (x)] = s f(s) sf(0 + ) f (0 + ). Transformatę Laplace a i jej własności wykorzystujemy w rozwiązywaniu równań różniczkowych. Mówimy wtedy o metodzie operatorowej rozwiazywania równań. Przykład 4 Wykorzystując transformatę Laplace a wyznaczyć funkcję y(x) spełniającą podane równania różniczkowe i warunki początkowe: a) y + y = e x, y(0) = b) y + 6y = cos 3x, y(0) =, y (0) = 0 c) y 3y + y = e 3x, y(0) =, y (0) = 0