Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Transkrypt

1 Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude

2 Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

3 Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe pojęcia dotyczące obwodów Podstawowe rodzaje połączeń elementów Źródła napięcia i prądu Rezystor oraz rezystancja Prawo Ohma Prawa Kirchhoffa 1

4 Pojęcia i podstawy matematyczne Liczby zespolone Pulsacja Częstotliwość Podstawy trygonometrii 2

5 Sygnał sinusoidalny Parametry sygnału sinusoidalnego Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego) u(t) = U m sin(ωt + ψ) Wielkości występujące w opisie mają następujące nazwy i oznaczenia: u(t) - wartość chwilowa napięcia U m - wartość maksymalna (szczytowa) napięcia zwana również amplitudą ψ - faza początkowa napięcia odpowiadająca chwili t = 0 ωt + ψ - kąt fazowy napięcia w chwili t f = 1/T - częstotliwość mierzona w hercach (Hz) T - okres przebiegu sinusoidalnego ω - pulsacja mierzona w radianach na sekundę. Wartości chwilowe sygnałów oznaczać będziemy małą literą a wartości maksymalne, skuteczne i wielkości operatorowe dużą. Rysunek na slajdzie piątym przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napięcia z oznaczeniami poszczególnych jego parametrów. Oś odciętych ma podwójne oznaczenie: czasu oraz fazy (aktualny kąt fazowy). 3 5

6 Wartość skuteczna sygnału okresowego Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje wartość skuteczna. Dla przebiegu okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci Łatwo udowodnić, że wartość skuteczna przebiegu okresowego nie zależy od wyboru fazy początkowej. W przypadku przebiegu sinusoidalnego napięcia u(t) = U m sin(ωt + ψ) jest równa U = U m / 2 a w przypadku prądu sinusoidalnego i(t) = I m sin(ωt + ψ) I = I m / 2 Dla sygnału sinusoidalnego wartość skuteczna jest więc 2 razy mniejsza niż jego wartość maksymalna. Należy zauważyć, że napięcie stałe u(t) = U jest szczególnym przypadkiem sygnału sinusoidalnego, dla którego częstotliwość jest równa zeru f = 0 a wartość chwilowa jest stała i równa u(t) = U m sin(ωt + ψ) = U Jest to ważna właściwość, gdyż dzięki temu metody analizy obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mogą mieć zastosowanie również do wymuszeń stałych przy założeniu f = 0. Dla sygnału stałego wartość maksymalna i skuteczna są sobie równe i równają się danej wartości stałej. 43 5

7 Sygnał sinusoidalny 53 5

8 Wartość skuteczna sygnału okresowego 63 5

9 Stan ustalony obwodu Metoda symboliczna liczb zespolonych analizy obwodów RLC w stanie ustalonym Analiza obwodów zawierających elementy RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka na pewne trudności związane z wystąpieniem w opisie cewki i kondensatora równań różniczkowych. Trudności te łatwo jest pokonać w stanie ustalonym. Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią na wymuszenie sinusoidalne jest odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć o różnej amplitudzie i fazie początkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda liczb zespolonych, zwana również metodą symboliczną, sprowadzająca wszystkie operacje różniczkowe i całkowe do działań algebraicznych na liczbach zespolonych. 7

10 Rezystor Rezystor (opornik) jest elementem pasywnym. Posiada on tylko jedną cechę (parametr) go opisującą rezystancję (opór lub oporność). Parametr ten oznaczamy literą R. Jednostką rezystancji jest om (Ω). Wartość rezystancji mierzymy omomierzem. Odwrotność rezystancji nazywamy konduktancją i oznaczamy literą G. Jednostką konduktancji jest siemens (S). 8

11 Cewka indukcyjna Cewka indukcyjna (cewka) jest elementem pasywnym. Posiada on tylko jedną cechę (parametr) go opisującą indukcyjność. Parametr ten oznaczamy literą L. Jednostką indukcyjności jest Henr (H). 9

12 Kondensator Kondensator jest elementem pasywnym. Posiada on tylko jedną cechę (parametr) go opisującą pojemność. Parametr ten oznaczamy literą C. Jednostką indukcyjności jest Farad (F). 10

13 Wykresy wektorowe

14 Metoda symboliczna analizy obwodów RLC

15 Rozwiązanie w stanie ustalonym Składową ustaloną prądu w obwodzie można otrzymać nie rozwiązując równania różniczkowego opisującego ten obwód a korzystając jedynie z metody liczb zespolonych (metody symbolicznej). Istotnym elementem tej metody jest zastąpienie przebiegów czasowych ich reprezentacją zespoloną. Przyjmijmy, że prąd i(t) = I m sin(ωt + ψ) oraz napięcie u(t) = U m sin(ωt + ψ) zastąpione zostały przez wektory wirujące w czasie, odpowiednio I(t) oraz U(t) określone w postaci: i(t) = I m e jψ e jωt u(t) = U m e jψ e jωt Po zastąpieniu wartości czasowych prądu i napięcia poprzez ich reprezentację w postaci wektorów wirujących otrzymuje się: U(t) = R I(t) + L (di(t)/dt) + (1/C) I(t) dt 13

16 Rozwiązanie w stanie ustalonym 14

17 Impedancje zespolone Impedancja (Z) jest to wielkość charakteryzująca zależność między prądem i napięciem w obwodach prądu zmiennego. W obwodach prądu zmiennego jest tym samym co opór elektryczny w obwodach prądu stałego

18 Trójkąt napięć oraz impedancji, przesunięcie fazowe 16

19 Prawa Kirchhoffa dla wartości skutecznych zespolonych Prawo prądowe Kirchhoffa Suma algebraiczna prądów zespolonych w dowolnym węźle obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci: Σ k I k = 0. Prawo napięciowe Kirchhoffa Suma algebraiczna napięć zespolonych w każdym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci: Σ k U k = 0 W równaniu tym symbolem U k oznaczono wszystkie napięcia w postaci zespolonej, zarówno na gałęziach pasywnych jak i źródłowych obwodu. Sposób sumowania (znak plus lub minus) zarówno prądów jak i napięć jest taki sam jak w przypadku operowania wartościami rzeczywistymi.