FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
|
|
- Barbara Sosnowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz
2 Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i) 3 ; f) 2 + 3i i ; g) ( + i) (2 i) ( i) 2..2 Niech z = x + iy, gdzie x, y R. Znaleźć podane wyrażenia: Re ( z 2) ; b) e z ; c) z 2 ; d) z n ; e) Im g) Im ( z 3) ; ( ) ( ) z ; h) Re z + z 2. f) Re ( zz 2) ;.3 Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej liczbę e iϕ, gdzie ϕ R : π e πi 2 ; b) e i 3 ; c) e 2 πi ; d) e 2kπi dla k Z..4 Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej (jeśli jest w miarę prost. Podać interpretację geometryczną: 4 ; b) 9 8i; c) 3 27; d) 3 + i..5 Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone podanymi warunkami: z < ; b) 2 < z + 2i < 3; c) z + i > 3; d) < i z 4; e) 2iz + 2; f) z i = Re z; g) π 4 < arg(z 3 + i) 2 π; h) z i = z ; i) Re (iz) <. 3.6 Rozwiązać podane równania: z 2 + 4z + 5 = ; b) z 2 + (2 4i)z + 2i = ; c) z 3 4z 2 + 6z 4 = ; d) z 3 8 =. 2
3 Funkcje zespolone zmiennej zespolonej 2. Obliczyć: sin( 2i); b) cos( + i); c) Log ( 4); ( ) ( ) d) log ( 4); e) Log 3 + i ; f) log 3 + i. 2.2 Dowieść, że: sin 2 z+cos 2 z = ; b) sin (z + z 2 ) = sin z cos z 2 + cos z sin z 2 ; c) e z +z 2 = e z e z 2 ; d) e z+2kπi = e z dla k Z; e) e z dla każdego z. 2.3 Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną podanych funkcji: f(z) = z 2 ; b) f(z) = z ; c) f(z) = iz3 + z; d) f(z) = sin z; e) f(z) = ch z; f) f(z) = e. 2.4 Pokazać, że istnieją liczby zespolone z takie, że: sin z >, cos z >. 2.5 Rozwiązać podane równania: e z+i = 4; b) e z = e Re z ; c) cos z = 2; d) sin z = i. 2.6 Napisać wzór odwzorowania w = f(z), gdzie z, gdy f jest: translacją o wektor z ; b) obrotem o kąt ϕ (w szczególności dla ϕ = π/2) wokół punktu z = ; c) jednokładnością w stosunku k > o środku z = ; d) odbiciem symetrycznym względem osi Ox, Oy, prostej y = x. 2.7 Jakie jest równanie prostej prostopadłej do prostej z(t) = z +z 2 t, gdzie t R, i przechodzącej przez punkt z? Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej z(t) = 2i + (i 2)t, gdzie t R, i przechodzącej przez punkt z = 2 + i. Wykonać rysunek. 2.8 Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu w = f(z). Narysować zbiór D i jego obraz, jeśli: 3
4 { D = z : z + 2i } 5, f(z) = (2 + i)z + 3i; b) D = c) D = {z : arg z π 3, z 2 }, f(z) = z 2 ; { z : π 4 arg z π 2, z }, f(z) = ( 2 + 2i ) z; d*) D = {z : Re z, Im z }, f(z) = z Znaleźć obraz: i) okręgu z = ; ii) prostej y = x bez punktu (, ); przy odwzorowaniu w = z. b) i) okręgu z = bez punktu z = ; ii) prostej y = x; przy odwzorowaniu w = z. 2. Znaleźć obraz prostych x = x, y = y i obraz kwadratu D z Zadania 2.8 d*) przy odwzorowaniu w = e z. b) Odwzorować obszar D = {z : < z < e, π < arg z < π} za pomocą funkcji w = log z (logarytm główny). * 2. Znaleźć obraz zbioru D = {z : Re z, Im z } przy odwzorowaniu Wykonać rysunek. * 2.2 Zbadać ciągłość podanych funkcji: w = z i z + i. f(z) = Re z Re z dla z, ; b) f(z) = + z z dla z = ; Wskazówka. Przedstawić z 2 w postaci trygonometrycznej. Re z 2 c) f(z) = dla z, z dla z =. 2.3 Wykazać, że podane funkcje spełniają równania auchy ego-riemanna: f(z) = e z ; b) f(z) = cos z; c) f(z) = ; d) f(z) = log z. z 2.4 W jakich punktach podane funkcje mają pochodne, a w jakich są holomorficzne? Podać wartość pochodnej w punktach, w których istnieje: f(z) = z e z ; b) f(z) = z ( Re z)2 ; c) f(z) = ze z 2 ; d) f(z) = z 2 e Re z. 4
5 2.5 Znaleźć funkcję holomorficzną f(z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedząc, że: u(x, y) = 2xy + y, f( 2) = i; b) v(x, y) = y x 2, f(2) = ; + y2 c) v(x, y) = e x sin y + 2y, f() = 5. ałki funkcji zespolonych 3. Napisać równania parametryczne podanych krzywych: prostej przechodzącej przez punkty z = 2i, z 2 = i; b) odcinka łączącego punkty z =, z 2 = 2i; c) odcinka łączącego punkty z = 2 + i, z 2 = ; d) okręgu o środku z = 2 i i promieniu r = 3; e) elipsy o środku z = i półosiach a, b; f) hiperboli y = x ; g) części paraboli y = x 2 zawartej między punktami z = + i, z 2 = 3 + 3i. * 3.2 Napisać równanie stycznej do krzywej z(t) = t 2 + i sin t, gdzie t R, w punkcie z odpowiadającym wartości parametru t = π 2. * 3.3 Znaleźć kąt nachylenia do osi Re z stycznej do krzywej z(t) = t 2 + it, gdzie t R, w punkcie z = i 3 2. * 3.4 Określić punkt i kąt przecięcia się krzywych o równaniach parametrycznych z(t) = t + 8 ti, gdzie t R oraz w(t) = t2 + i, gdzie t R? t 3.5 Obliczyć podane całki: c) π 2 π 2 (cos t + 2ti) dt; b) (cos 2t + i sin 2t) dt; d) 2 [ + ( + i)t 2] dt; ( ) e t i dt. 5
6 3.6 Obliczyć podane całki po zadanych krzywych: e z z dz, odcinek o początku i i końcu ; b) (3z + )z dz, półokrąg {z : z =, Re z } o początku i i końcu i; c) e z dz, łamana o wierzchołkach kolejno, π 2, π ( i); 2 d) (z z) dz, łuk paraboli y = x 2 o początku + i i końcu ; e) z Re z 2 dz, końcu 2. ćwiartka okręgu {z : z = 2, Re z, Im z } o początku 2i i 3.7 Obliczyć podane całki po wskazanej krzywej regularnej o zadanym początku z i końcu z 2 : b) c) d) e iz dz, dowolna krzywa, z = i, z 2 = ; ( 2z cos iz 2) dz, dowolna krzywa, z = π 2, z 2 = π 2 i; z sin z dz, dowolna krzywa, z =, z 2 = π 2 i; z dz z 2 + 2, odcinek, z =, z 2 = + i. 3.8 Korzystając ze wzoru całkowego auchy ego lub jego uogólnień obliczyć podane całki: b) c) e z dz, okrąg z 3i = 2 zorientowany dodatnio; z(z 2i) ze 2πz dz z 2, łamana zamknięta o wierzchołkach, +2i, +2i zorientowana dodatnio; + dz (z 2 2, okrąg z 2i = 2 zorientowany dodatnio; + 9) 6
7 d) e) sin z dz (z 2 π 2 2, okrąg z 3 = zorientowany dodatnio; ) e z dz 3, okrąg z πi = zorientowany dodatnio. z (z πi) 3.9 Obliczyć całkę dz (z ) 3 (z + ) 3, gdzie jest dodatnio zorientowanym okręgiem o promieniu r i środku z, jeśli: r < 2, z = ; b) r < 2, z = ; c) r > 2, z = lub z =. Szeregi zespolone 4. Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanych szeregów: (2 + i) n e in 3 n= n ; b) n n= 2 ; c) i n n ; n= n 2 + i d) in n= 4 + ; e) n= (n + i) n n n. 4.2 Znaleźć promienie i koła zbieżności podanych szeregów potęgowych: z n n n= 2 ; b) i n z n ; c) ( + i) n z n ; n! n= n= (z i) n d) n n= 2 ( + i) n ; e) n= ( 2i) n z 3n n( i) n f*) n= 2 n (n!) 2 z 2n ; (2n)! g*) n= n! z n (n + i) n. 4.3 Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f(z) w otoczeniu punktu z i znaleźć koło zbieżności otrzymanego szeregu: f(z) = z sin z 2, z = ; b) f(z) = + z, z = i; c*) f(z) = sin z, z = πi; d) f(z) = cos z z dla z, f() =, z = ; e) f(z) = z2 z + 2, z = 2; f) f(z) = e z, z = πi. 7
8 4.4 Znaleźć wszystkie zera podanych funkcji i zbadać ich krotność: ( f(z) = z ) ( z 4 ; b) f(z) = z 2 e iz ); c) f(z) = sin z z ; d) f(z) = ez sin z ; sin z ( ) e) f(z) = e z ; f) f(z) = sin z e iz. Punkty osobliwe i residua 5. Znaleźć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta c n = { dla n, 2 n dla n < ; n dla n, 2n+ c*) c n = dla n = 2, dla n <, n 2. n= c n z n, jeżeli: n+ dla n, b) c n = (2i) i n+ dla n < ; 5.2 Znaleźć rozwinięcie funkcji f(z) w szereg Laurenta we wskazanym pierścieniu P : f(z) =, P = {z : < z < }; z( z) b) f(z) = c) f(z) = d) f(z) =, P = {z : < z < }; z( z) z, P = {z : 4 < z + 3 < }; (z )(z + 3) z 2, P = {z : 2 < z < 3}; (z + 2)(z + 3) i e) f(z) = (z 2 + 2z)e z, P = {z : < z < }; z f*) f(z) = ze, P = {z : < z < }. Wskazówka do f*). Wykorzystać równość z = (z ) Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych podanych funkcji. W przypadku biegunów zbadać ich krotność: 8
9 f(z) = z2 sin z z z 2 ; b) f(z) = + z 2 ; c) f(z) = π2 sin z ; d) f(z) = z tg z; e) f(z) = z2 e z ; f) f(z) = z sin z ; g) f(z) = z(cos z ) ; e h) f(z) = e z ; i*) f(z) = ez. e z z z 5.4 Jak oblicza się residua w punkcie istotnie osobliwym? b) Dlaczego w przypadku punktu istotnie osobliwego próby stosowania wzorów służących do obliczania residuów w biegunach muszą zakończyć się fiaskiem? c) Podać przykład funkcji, dla której punkt z = jest istotnie osobliwy i res f(z) = a, gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną. 5.5 Obliczyć residua funkcji f(z) w punktach osobliwych: f(z) = z + z 2 + ; b) f(z) = z 2 (z ) 2 ; c) f(z) = z 3 z 5 ; d) f(z) = z 2 cos z ; g) f(z) = w punkcie z = i. z8 ez e) f(z) = z ; f) f(z) = ze z ; 5.6 Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć podane całki: zdz z 2 + 2z + 2, okrąg z = 2 zorientowany dodatnio; b) c) d) e) dz (z ) 2 (z 2 + ), okrąg x2 + y 2 = 2x + 2y zorientowany dodatnio; e πz dz 2z 2 i, dz e 2z, (z + )e z dz, okrąg z = zorientowany dodatnio; okrąg z 2i = 3 zorientowany dodatnio; okrąg z = 3 zorientowany dodatnio. 5.7 Obliczyć podane całki niewłaściwe: x 2 + dx x 4 dx; b) + ( + x 2 ) 3 ; c) dx (x 2 + 2)(x 2 + 5). 9
10 Przekształcenie Laplace a 6. Narysować wykres funkcji f(t) i znaleźć jej transformatę Laplace a, jeżeli: dla t <, dla t (, ), f(t) = t dla t [, ], b) f(t) = dla t (, 2), dla t > ; poza tym. 6.2 Niech L {f(t)} = F (s). Udowodnić następujące własności przekształcenia Laplace a i przekształcenia odwrotnego: { } L e at f(t) = F (s, gdzie a ; b) L {f(at)} = a F ( s a c) L {F (cs)} = c f ( t c ), gdzie a > ; ), gdzie c >. 6.3 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: f(t) = sh ωt; b) f(t) = sin 2 ωt; c) f(t) = cos (ωt δ) (ωt δ); d) f(t) = e at sin 2 ωt; dla t <, dla t (, ), e) f(t) = t dla t [, ], f) f(t) = dla t (, 2), dla t > ; poza tym. 6.4 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: f(t) = (at t ) n ; b) f(t) = t sin ωt; c) f(t) = t 2 cos ωt; d) f(t) = 2 g*) f(t) = sin ωt (sin t + t cos t); e*) f(t) = ; f*) f(t) = t t sin τ τ dτ. cos ωt ; t 6.5 Naszkicować podane oryginały okresowe i znaleźć ich transformaty Laplace a: { dla 2n t < 2n +, f(t) = gdzie n =,, 2,... ; dla 2n + t < 2n + 2, b) f(t) = { t 2n dla 2n t < 2n +, t + 2n + 2 dla 2n + t < 2n + 2, gdzie n =,, 2,... ; c) f(t) = max {sin ωt, }.
11 6.6 Wykorzystując całkę Laplace a obliczyć podane całki niewłaściwe: e t cos πt dt; b) e t 2 ( ) t 4 2t dt; c) ( ) π e 2t sin 3 t dt; e t d*) te 2t dt. 6.7 Metodą rozkładu na ułamki proste znaleźć oryginał, gdy: F (s) = s3 3s 2 7s 8 (s + ) 2 (s 2 + 4) ; b) F (s) = 4s3 + 9s 2 + 8s + 2 s(s + 2)(s 2 + ) ; c) F (s) = 4s2 + 2s + 26 s(s 2 + 6s + 3) ; d) F (s) = 3s3 8s 2 + 2s 8 (s 2) 2 (s 2 + 2s + 5). 6.8 Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje: s F (s) = (s 2 + ) 2 ; b) F (s) = s2 4 (s 2 + 4) 2 ; c) F (s) = s s(s 2 + 2s + 2) Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplace e oryginałów okresowych. Znaleźć te oryginały i naszkicować ich wykresy: F (s) = A s ( e s ) 2 e 2s ; b) F (s) = e 2s + e 3s s 2 e 3s ; c) F (s) = e 2πs + e πs s 2 + e 2πs. 6. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych: y + y = sin t, y() = ; b) y y 6y = 2, y() =, y () = ; c) y + 4y + 3y = 2e t, y() =, y () = ; d) y 2y + y =, y() =, y () =. 6. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych: { x = y, y x() = y() = ; = 2x + 2y, b) { x + 2y = 3t, y 2x = 4, x = y z, c) y = x + y, z = x + z, x() = 2, y() = 3; x() =, y() = 2, z() = 3.
12 6.2 Sprawdzić twierdzenie Borela dla podanych splotów funkcji: t sin t; b) t t 2 ; c) cos t e t. 6.3 Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje: 5s F (s) = (s 2 + ) (s ) ; b) F (s) = s 2 (s 2 + ) ; c) F (s) = s (s 2 + 4) 2. 2
1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe
Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW Nazwa w języku polskim: FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim: Complex functions Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka i Robotyka Specjalność
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Analiza zespolona Complex Analysis Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoz 1+z 2 4. Następujące liczby przedstawić w postaci wykładniczej oraz zaznaczyć na płaszczyźnie
. Lista. Obliczyć wartości wyrażeń: (2+ 4 ) ( ) 2 i (5+i); (b)(3 i)( 4+2i); (c) 4 +i ; (+i) 4 ; (e)( 2+3i) 3 ; (f) 2+3i i ; (g)(+i)(2 i) ( i) 2. 2.Niechz=x+iy,gdziex,y R.Podanewyrażeniaprzedstawićzapomocąx,y:
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Bardziej szczegółowoSpis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
. Funkcje zepolone zmiennej rzeczywitej Jeżeli każdej liczbie rzeczywitej t, t α, β] przyporządkujemy liczbę zepoloną z = z(t) = x(t) + iy(t) to otrzymujemy funkcję zepoloną zmiennej rzeczywitej. Ciągłość
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoZaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim Differential equations and complex functions Kierunek studiów (jeśli
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008
Funkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008 Czternasta porcja zadań. Uwaga: i) W każdym zadaniu można korzystać z poprzednich jego części i innych zadań, nawet, jeśli się ich nie rozwiązało. ii) Wcześniejsze
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoSYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ
SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoKurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Układ biegunowy, płaszczyzna Gaussa i nie tylko... 1
Weronika Siwek, Układ biegunowy, płaszczyzna Gaussa i nie tylko... Spis treści. Badanie przebiegu zmienności funkcji.................. Co i jak, czyli trochę teorii........................ Przykłady................................
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 2. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj
MATEMATYKA 2 OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 2010 Spis treści 1 Całka krzywoliniowa nieskierowana 9 1.1 Całka krzywoliniowa
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowo5. wykładu.) x 2 +2x+5dx. (Wskazówka: wykorzystać to, że sin = Im(exp) na osi rzeczywistej; użyć lematu Jordana.) 3. Obliczyć
FAN: wybór zadań przygotowawczych do egzaminu. styczeń 2014r. Egzamin będzie z całości materiału również i tej jego części, która objęta była poprzednimi zadaniami przygotowawczymi i samym kolokwium. Poniższy
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Księgarnia PWN: Andrzej Ganczar - Analiza zespolona w zadaniach. Wstęp... Oznaczenia... Zadania. 1. Liczby zespolone...
Księgarnia PWN: Andrzej Ganczar - Analiza zespolona w zadaniach Wstęp... Oznaczenia... XI XIII Zadania 1. Liczby zespolone... 3 1.1. Własności liczb zespolonych... 3 1.1.A. Zadania łatwe... 4 1.1.B. Zadania
Bardziej szczegółowo