Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a. Przykªad 1 Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe. ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi

Transkrypt

1 Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a Przykªad Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi y(0 + ) = a, ẏ(0 + ) = b. Rozwi zanie Dokonuj c transformacji Laplace'a, uzyskujemy s 2 Y (s) sy(0 + ) ẏ(0 + )+5(sY (s) y(0 + ))+6Y (s) = 0 sk d wynika,»e Y (s) = 5a + b + as 5a + b + as = 6 + 5s + s2 (2 + s)(3 + s). Bieguny funkcji Y (s) s wi c biegunami pojedynczymi. Rozkªadaj c Y (s) na uªamki proste, otrzymujemy Y (s) = 3a + b 2 + s 2a + b 3 + s.

2 Rozwi zanie w dziedzinie czasu wyznaczamy korzystaj c z odwrotnej transformacji Laplace'a y(t) = L (Y (s)) = (3a+b) e 2t (2a+b) e 3t, t 0. () Sprawd¹my otrzymany wynik, stosuj c wzór Haeviside'a y(t) = L(s) M (s) e 2t + L(s) s= 2 M (s) e 3t, t 0 s= 3 w którym Y (s) = L(s) M(s), M (s) = dm(s). ds Zatem, uwzgl dniaj c równo± M (s) = 5+2s, otrzymujemy wyra»enie dane wzorem (). Przykªad 2 Rozwi» równanie caªkowo-ró»niczkowe ẏ(t) + 4 t 0 e (t τ) y(τ)dτ + 3y(t) =, y(0 + ) =. Rozwi zanie Dokonuj c transformacji Laplace'a, otrzymujemy sy (s) y(0 + ) + 4 L(e t y(t)) + 3Y (s) = /s. 2

3 Sk d wynika,»e Y (s) = s s( + s) = + s s( + s) a nast pnie (znane wzory!) y(t) = e t ( e t ) = 2e t, t 0. Przykªad 3 Rozwi» niejednorodne równanie ró»niczkowe y (3) (t) + 4y (2) (t) + 4y () (t) + 3y(t) = u(t) zakªadaj c wymuszenie u(t) w postaci jednostkowej funkcji skokowej oraz warunki pocz tkowe: y(0 + ) =, y () (0 + ) = 2, y (2) (0 + ) = 3. Rozwi zanie Stosujemy wzory: L(y () (t)) = sy (s) y(0 + ) L(y (2) (t)) = s 2 Y (s) sy(0 + ) y () (0 + ) L(y (3) (t)) = s 3 Y (s) s 2 y(0 + ) sy () (0 + ) y (2) (0 + ). 3

4 Na tej podstawie mamy Y (s) = + 5s + 6s2 + s 3 s(3 + 4s + 4s 2 + s 3 ). (2) Rozkªadaj c (2) na uªamki proste, uzyskujemy Y (s) = 3s s Na tej podstawie otrzymujemy s (0.5 + s) 2. y(t) = e 3t e 5t sin( t ), t 0. Przykªad 4 Znale¹ warto± pocz tkow pochodnej sygnaªu f(t), gdy dana jest jego transformata Laplace'a Rozwi zanie F (s) = Niech g(t) = f(t). Wtedy + 3s + s + s 2. G(s) = L(g(t)) = sf (s) f(0 + ). 4

5 Ale f(0 + ) = lim f(t) = lim sf (s) = lim t 0 + s s St d G(s) = Mamy zatem s + 3s2 3 2s 3 = + s + s2 + s + s 2. s + 3s 2 + s + s = 3. 2 (3) g(0 + 3s 2s 2 ) = lim g(t) = lim sg(s) = lim t 0 + s s + s + s = 2. 2 Uwaga: Formalnie rzecz bior c, nale»aªoby sprawdzi, czy istnieje granica g(0 + ). Wyznaczmy f(t). Ze wzoru (3) wynika,»e mianownik transformaty F (s) posiada zera zespolone: + s + s 2 = 3/4 + (/2 + s) 2. Przeto, dla t 0, mamy: f(t) = / 3 e t/2 sin( 3t/2) + 3e t/2 cos( 3t/2) oraz f(0 + ) = 3. 5

6 Pochodna f(t), t 0, wyra»a si wzorem g(t) = 3e t/2 sin( 3t/2) 2e t/2 cos( 3t/2). A zatem g(0 + ) = 2. Zadania Zadanie Posªuguj c si metod transformacji Laplace'a, rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe ÿ(t) + 3ẏ(t) + 2y(t) = 0, y(0 + ) = a, ẏ(0 + ) = b. Zadanie 2 Stosuj c metod transformacji Laplace'a, znajd¹ rozwi zanie niejednorodnego równania ró»niczkowego ÿ(t) + 2ẏ(t) + 5y(t) = 3 (t), y(0 + ) = 0, ẏ(0 + ) = 0. Zadanie 3 Model obiektu dynamicznego dany jest równaniem ró»niczkowym ÿ(t) + 4ẏ(t) + 3y(t) = u(t) przy czym wszystkie warunki pocz tkowe s zerowe. Zakªadaj c sygnaª wej±ciowy u(t) = 2 cos 3t, t 0, wyznacz sygnaª y(t). 6

7 Zadanie 4 Schemat ideowy pokazany na rys. ró»niczkuj cego. jest modelem rzeczywistego ukªadu Rys.. Obwód RC Oblicz odpowied¹ y(t) tego ukªadu na pobudzenie skokowe u(t) = E (t), je»eli na pojemno±ci C znajduje si ªadunek pocz tkowy +Q 0. Zadanie 5 Rozwi» ukªad równa«ró»niczkowych ẏ 2ẏ 2 + y = (t) y + ẏ 2 2y 2 = e t (t) y (0 + ) =, y 2 (0 + ) = 0. Zadanie 6 Wyznacz transformat Laplace'a funkcji f(t) = (t n), t 0. n= Zadanie 7 Wyznacz transformat Laplace'a funkcji (n = 0, 2, 4,...) f(t) = { dla n t < n + dla n + t < n + 2. Zadanie 8 Znajd¹ oryginaª g n (t) = L (G n (s)) transformaty G n (s) = Zadanie 9 Znajd¹ oryginaª transformaty n (i + s), n N. i= n G n (s) = (2i + s) i= n (2i + s), n N. i= 7

8 Transformata Laplace'a F (s) = L(f(t)) = 0 f(t) e st dt Odwrotna transformata Laplace'a f(t) = L (F (s)) = x+j F (s) 2πj x j est ds Liniowo± L(αf(t) + βg(t)) = αf (s) + βg(s) Podobie«stwo L(f(αt)) = α F ( s α ), α > 0 Przesuniecie argumentu oryginaªu L(f(t α)) = F (s) e αs Przesuniecie argumentu obrazu L(f(t) e s 0t ) = F (s s 0 ) s 2 Transformata pochodnej L(f (t)) = sf (s) f(0 + ) (t) (t α) e αt e αt Granica oryginaªu w zerze Granica oryginaªu w niesko«czono±ci Transformata splotu oryginaªów Caªka Duhamela Ró»niczkowanie obrazu Wy»sze pochodne obrazu L(f (n) (t)) = s n F (s) n i= sn i f (i ) (0 + ) L( t f(τ)dτ) = F (s) 0 s L( t τn τ 2 f(τ )dτ ) = F (s) s n lim f(t) = lim sf (s) t 0+ s lim f(t) = lim sf (s) t s 0 L(f(t) g(t)) = F (s) G(s) L (sf (s)g(s)) = f(t)g(0 + ) + f(t) g (t) F (s) = L(tf(t)) F (n) (s) = ( ) n L(t n f(t)) Splot obrazów L(f(t)g(t)) = 2πj x=σ+j F (x)g(s x)dx x=σ j 8

9 f(t) F (s) = L(f(t)) δ(t) (t) s t 2 s 2 t n (n )! s n (t) (t α) s ( e αs ) e αt s+α t n (n )! e αt, n > 0 ( α e αt ) (s+α) n s(s+α) β α (e αt e βt ) (s+α)(s+β) ( + β αβ α β e αt α α β e βt ) s(s+α)(s+β) sin ωt ω s 2 +ω 2 cos ωt s s 2 +ω 2 sin ωt e αt ω sin ω ω n ζ 2 n ζ2 t e ζωnt cos ωt e αt + α 2 +ω 2 ωn 2 (s+α) 2 +ω 2 s 2 +2ζω ns+ω 2 n s+α (s+α) 2 +ω 2 ω sin(ωt ϕ) e αt, ϕ = arctan ω ω α 2 +ω 2 α s((s+α) 2 +ω 2 ) ωn ζ sin(ω n ζ2 t + ϕ) e ζωnt, ϕ = arccos ξ 2 2 s(s 2 +2ζω ns+ωn) 2 (αt + e αt ) α 2 s 2 (s+α) ( e αt αt e αt ) α 2 s(s+α) 2 9

10 Funkcja wymierna o biegunach jednokrotnych Funkcja wymierna o biegunach jednokrotnych i biegunie w zerze Funkcja wymierna o biegunach wielokrotnych F (s) = N(s) = n D(s) k= A k s p k, p i p j i j, f(t) = n k= A k e pkt, A k = N(s), k =,..., n s=pk D (s) F (s) = N(s) = n sd(s) k=0 A k s p k, p i p j i j, f(t) = n k=0 A k e pkt, p 0 = 0, A 0 = N(0), A D(0) k = N(s) sd (s), k =,..., n s=pk ni F (s) = N(s) = n D(s) i= j= A ij (s p i, ) j p i biegun n i krotny, i =,..., n, f(t) = n ni A ij i= j= (j )! tj e pit, A ij = dn i j N(s) (n i j)! ds n i j D i (s), j =,..., n i s=pi D i (s) = D(s) (s p i, i =,..., n. ) n i 0