Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Transkrypt

1 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013

2 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z.

3 Sygnał i system Sygnał jest opisem jak analizowany parametr zmienia się w funkcji innego parametru. Przykładem jest zmiana napięcia w funkcji czasu w układach elektronicznych, zmiana jasności w funkcji odległości w obrazie. Systemem nazywamy każdy proces, który wytwarza sygnał wyjściowy w odpowiedzi na wymuszenie na wejściu. System ciagły ma na wejściu i wyjściu sygnały ciagłe. System dyskretny ma na wejściu i wyjściu sygnał dyskretny.

4 System liniowy ciagły i dyskretny

5 Zastosowania systemów W jakim celu podejmuje się próby opisu i analizy systemów? Usuwanie szumu z zarejestrowanego elektrokardiogramu. Wyostrzanie nieostrego obrazu. Usuwanie echa z rozmowy telefonicznej. Każdy system wprowadza pewne zniekształcenia do sygnału. Wiedza o tych zniekształceniach może być przydatna do kompensacji wprowadzonych zniekształceń. W niektórych układach specjalnie koryguje się charakterystykę systemu dla zapewnienia odpowiedniego działania.

6 Zasada superpozycji Większość technik cyfrowego przetwarzania sygnałów bazuje na zasadzie superpozycji. Przetwarzany sygnał jest rozkładany na pojedyncze składowe i każda składowa jest przetwarzana oddzielnie. Rozwiazanie takie ma duża zaletę, gdyż pozwala rozłożyć pojedynczy złożony problem na wiele prostszych. Zasada superpozycji może być stosowana tylko w odniesieniu do układów liniowych. Ponieważ wiele układów spotykanych w nauce i inżynierii jest liniowych, lub może być przybliżona za pomoca opisu liniowego, dlatego zasada superpozycji jest powszechnie wykorzystywana.

7 Wymagania zwiazane z liniowościa System nazywamy liniowym jeżeli ma spełnione dwie matematyczne właściwości: homogeniczność, addytywność. Jeżeli jedna z tych właściwości nie jest spełniona to system nazywamy nieliniowym. Stosowana jest często trzecia właściwość - niezmienniczość względem przesunięcia, która nie jest ścisłym wymaganiem liniowości, ale jest często wymagana w technikach cyfrowego przetwarzania sygnałów. W praktycznych zastosowaniach jeżeli stosuje się pojęcie system liniowy zazwyczaj przyjmuje się, że zasada ta jest spełniona.

8 Zmiana amplitudy

9 Suma sygnałów

10 Przesunięcie sygnałów

11 Inne cechy - zamienność

12 Dekompozycja i synteza sumy sygnałów

13 Dekompozycja i synteza pojedynczego sygnału

14 Opis systemów ciagłych Opis typu wejście-wyjście - opis systemu typu czarna skrzynka, przedstawiajacy zależność wyjścia układu od jego wejścia z pominięciem wewnętrznego stanu układu (w opisie takim nie występuja w sposób jawny zmienne opisujace stan układu). Podstawowym opisem tego typu jest (dla ciagłych układów liniowych) równanie różniczkowe o stałych współczynnikach: d n y a n dt + n a d n 1 y n 1 dt n 1 a dy 1 dt + a d m u 0y = b m dt m b du 1 dt + b 0u gdzie u jest zmienna wejściowa a y jest zmienna wyjściowa, n jest rzędem układu i musi być m n jeśli układ ma być realizowalny fizycznie.

15 Inne opisy systemów ciagłych Transmitancja operatorowa jest funkcja wymierna zmiennej zespolonej s, tzn. można ja przedstawić za pomoca ilorazu dwóch wielomianów: G(s) = Y (s) U(s) = b ms m + b m 1 s m b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0. Całka splotowa - obok transmitancji operatorowej, jedna z postaci opisu typu wejście-wyjście. y(t) = u(τ)g(t τ)dτ = g(τ)u(t τ)dτ. Całka splotowa jest w dziedzinie czasu odpowiednikiem iloczynu transformat : U(s)G(s) = Y (s).

16 Opis systemów dyskretnych Ponieważ w układach dyskretnych czas jest zmienna nieciagł a, więc podstawowe równanie stanu układu ma postać równania różnicowego a nie różniczkowego. W ogólnej postaci równanie różnicowe dla układu liniowego ma postać: y(k + n) + a n 1 y(k + n 1) a 1 y(k + 1) + a 0 y(k) = b m u(k + m) b 1 u(k + 1) + b 0 u(k).

17 Transmitancja systemu dyskretnego Zastosowanie przekształcenia Laplace a do układów impulsowych daje w efekcie nieskończone szeregi, co zwykle nie jest wygodne w obliczeniach dlatego transmitancja operatorowa układów dyskretnych opiera się o przekształcenie Z. Transmitancja impulsowa układu dyskretnego nazywa się stosunek transformaty Z odpowiedzi układu do transformaty Z sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach poczatkowych. Trasmitancja impulsowa, ze zmienna zespolona z, odpowiadajaca powyższemu równaniu różnicowemu ma więc postać: G(z) = Y (z) U(z) = b mz m + b m 1 z m b 1 z + b 0 z n + a n 1 z n a 1 z + a 0.

18 Splot dyskretny Splot dwóch sygnałów f i g wyraża się wzorem (f g)[n] = m= f[m]g[n m] = m= f[n m]g[m] W zastosowaniach, dopuszcza się splatanie ciagów skończonych, które utożsamia się z ciagami nieskończonymi, które maja pozostałe wyrazy równe 0.

19 Funkcja delta odpowiedź impulsowa

20 Splot sygnałów

21 Przykład splotu

22 Obliczanie splotu

23 Przykład obliczania splotu

24 Problem granic

25 Własności splotu

26 Literatura Dokumentacja języka Python oraz modułów numpy, scipy, matplotlib, PIL. Tadeusiewicz R., Korohoda P.: Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Społeczeństwo Globalnej Informacji, Kraków 1997.