Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przekształcenie Z. Krzysztof Patan"

Transkrypt

1 Przekształcenie Z Krzysztof Patan

2 Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji należy użyć przekształcenia Z Dwustronne przekształcenie Z X(z) = n= x[n]z n = Z {x[n]}

3 Obszar zbieżności z = re jω, r = z Pozwiązanie z transformatą Fouriera czasu dyskretnego X(re jω ) = x[n](re jω ) n ( = x[n]r n ) e jωn = F d {x[n]r n } n= n= Obszar Zbieżności (OZ) OZ = { z = re jω, n= x[n]r n < Jeśli koło jednostkowe (r = ) leży wewnątrz OZ to transformata Fouriera istnieje }

4 Przykład x[n] = a n [n] X(z) = x[n]z n = a n z n = (az ) n n= n=0 n=0 X(z) = an z n a z = z a z = z z a Szereg jest zbieżny gdy a z < z > a Obszar zbieżności leży poza okręgiem o promieniu a Im(z) Re(z)

5 Przykład 2 x[n] = a n [ n ] X(z) = x[n]z n = a n z n n= n = a n z n n= n= n= X(z) = n=0 Szereg zbieżny, gdy z a <, ( ) n zn a z = a n z a z < a Obszar zbieżności leży wewnątrz okręgu o promieniu a = a a z = z z a X(z) identyczna jak w przykładzie, ale inny OZ! Re(z) 0.5 Im(z)

6 Powiązanie transformaty Z z przekształceniem Laplace a Przekształcenie Laplace a X(s) = Załóżmy, że t = nt wtedy X(s) = lim T 0 Przekształcenie Z x(t)e st dt = L{x(t)} ( ) x(nt ) e st n T = lim T T 0 X(z) = n= x[n]z n = Z {x[n]} x[n] (e ) st n Można rozważać przekształcenie Z jako przekształcenie Laplace a czasu dyskretnego z z = e st

7 2 Im(s) Im(z) Re(s) Re(z) oś jω w przestrzeni s odpowiada okręgowi jednostkowemu w przestrzeni z 2 lewa strona przestrzeni s, Re(s) < 0 wnętrze koła jednostkowego z = e st < 3 prawa strona przestrzeni s, Re(s) > 0 przestrzeń na zewnątrz koła jednostkowego z = e st >

8 Ad. s = σ + jω, σ = 0, czyli z = e st = e jωt, stąd z = Ad. 2 s = σ + jω, σ < 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt < więc z < Ad. 3 s = σ + jω, σ > 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt > więc z >

9 Ad. s = σ + jω, σ = 0, czyli z = e st = e jωt, stąd z = Ad. 2 s = σ + jω, σ < 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt < więc z < Ad. 3 s = σ + jω, σ > 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt > więc z >

10 Ad. s = σ + jω, σ = 0, czyli z = e st = e jωt, stąd z = Ad. 2 s = σ + jω, σ < 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt < więc z < Ad. 3 s = σ + jω, σ > 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt > więc z >

11 Własności przekształcenia Z Liniowość gdzie a i b stałe Z {ax [n] + bx 2 [n]} = ax (z) + bx 2 (z) 2 Różniczkowanie w dziedzinie z Z {nx[n]} = z dx(z) dz 3 Mnożenie przez czynnik z0 n w dziedzinie czasu ( ) z Z {z0 n x[n]} = X z0 gdzie z 0 stała

12 4 Opóźnienie czasowe sygnału i Z {x[n i]} = x[ k]z i+k + z i X(z) k= dla i = Z {x[n ]} = x[ ] + z X(z) 5 Wyprzedzenie czasowe sygnału ) i Z {x[n + i]} = z (X(z) i x[k]z k k=0 dla i = Z {x[n + ]} = z(x(z) x[0])

13 6 Przesunięcie czasowe sygnału Z {x[n i][n i]} = z i X(z) 7 Transformata splotu y[n] = x[n] v[n] Y (z) = X(z)V (z)

14 Przykład 3 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = e αnt Wprowadzamy zmienną a = e αt, wtedy x[n] = a n Na mocy przykładu otrzymujemy Przykład 4 X(z) = z z a = z z e αt Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {cos(ω 0 nt )} = 2 Z {ejω0nt } + 2 Z {e jω0nt } Na mocy przykładu 3 otrzymujemy Z {cos(ω 0 nt )} = z 2 z e jω0t + z 2 z e jω0t

15 Przykład 3 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = e αnt Wprowadzamy zmienną a = e αt, wtedy x[n] = a n Na mocy przykładu otrzymujemy Przykład 4 X(z) = z z a = z z e αt Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {cos(ω 0 nt )} = 2 Z {ejω0nt } + 2 Z {e jω0nt } Na mocy przykładu 3 otrzymujemy Z {cos(ω 0 nt )} = z 2 z e jω0t + z 2 z e jω0t

16 Przykład 5 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = na n Wiadomo, że Z {a n } = Stosując własność 2 otrzymujemy Z {na n } = z d dz z z a ( z ) z a Z {na n } = z z a z (z a) 2 = az (z a) 2

17 Przykład 6 Obliczyć transformatę Z sygnału y[n] = x[n] cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {x[n] cos(ω 0 nt )} = 2 Z {x[n]ejω 0nT } + 2 Z {x[n]e jω 0nT } Z {y[n]} = {x[n] (e ) 2 Z jω n } 0T + { 2 Z x[n] (e ) jω n } 0T Na mocy przykładu 3 oraz wykorzystując własność 3 otrzymujemy Z {y[n]} = 2 X ( z e jω 0T ) + ( ) z 2 X e jω 0T

18 Przykład 7 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = n[n] Obliczamy transformatę z definicji Z {x[n]} = x[n]z n = nz n = z n=0 X(z) = z ( + 2 z + 3 z ) Szereg w nawiasie jest zbieżny, gdy z >, wtedy X(z) = z (z ) 2 nz n+ Uwaga! Wyznaczanie sumy szeregu może okazać się kłopotliwe. Prościej skorzystać z właściwości transformaty n= Policzyć transformatę wykorzystując wynik z przykładu 5 2 Policzyć transformatę na podstawie Z {[n]} i własności 2

19 Przykład 8 Wyznaczyć transformatę sygnału x[n] = ( ) n a n [n] X(z) = x[n]z n = ( ) n a n z n = ( az ) n n= n=0 n=0 X(z) = ( a ) n z + a z = z + a z = z z + a

20 Wyznaczanie odwrotnej transformaty Z Sygnał x[n] można wyznaczyć na podstawie transmitancji sygnału X(z) i znajomości obszaru zbieżności Definicja transformaty odwrotnej x[n] = Z (X(z)) = X(z)z n dz, n 0 () 2πj C Całkowanie odbywa się wzdłuż krzywej zamkniętej C całkowicie zawartej w obszarze zbieżności transformaty Wzór () rzadko jest wykorzystywany W praktyce wykorzystuje się specjalnie przygotowane procedury numeryczne

21 Metoda szeregów potęgowych Jeśli X(z) ma postać analityczną to można rozwinąć ją w szereg Taylora względem z gdzie X(z) = x[0] + x[]z + x[2]z x[n]z n x[n] = [ d n ] n! dz n X (z) z=0, X (z) = X(z) z=z Metoda nie wymaga znajomości biegunów transmitancji

22 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

23 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

24 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

25 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

26 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

27 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

28 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

29 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

30 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

31 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

32 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

33 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

34 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

35 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

36 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

37 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

38 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

39 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

40 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

41 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

42 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z

43 Otrzymaliśmy szereg X(z) = z z 3 Porównujemy z rozwinięciem w szereg Taylora i na tej podstawie x[0] = 3, x[] = 7 9, x[2] =, x[3] =

44 Metoda rozkładu na ułamki proste Metoda analogiczna do metody stosowanej w przypadku przekształcenia Laplace a Jeżeli X(z) jest funkcją wymierną to można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych X(z) = X (z) + X 2 (z) + + X n (z) Oryginał transformaty X(z) jest sumą oryginałów poszczególnych ułamków prostych

45 Przykład 0 Wyznaczyć oryginał transformaty X(z) = metodą rozkładu na ułamki proste 2z 2 + 3z z 4 3z 3 + z 2 + 3z 2 Transformata posiada trzy bieguny z = 2, z 2 = i z 3 = przy czym z 2 jest podwójny, stąd X(z) = A z 2 + B z + C (z ) 2 + D z + Sprowadzamy do wspólnego mianownika i licznik porównujemy z postacią oryginalną Po rozwiązaniu układu równań dostajemy A = 4, 66, B = 4, 75, C = 2, 5, D = 0, 0833

46 X (z) = 4, 66 na podstawie przykładu i własności 6 z 2 x [n] = 4, 662 n [n ] X 2 (z) = 4, 75 z x 2[n] = 4, 75[n ] X 3 (z) = 2, 5 na podstawie przykładu 7 i własności 6 (z ) 2 x 3 [n] = 2, 5(n )[n ] X 4 (z) = 0, 0833 (z + ) własności 6 na podstawie przykładu 8 i x 4 [n] = 0, 0833( ) n [n ]

47 Metoda residuów Fundamentalnym wzorem tej metody jest wzór Cauchy ego x[n] = i { res X(z)z n } z=z i gdzie z i są biegunami transformaty X(z) W przypadku biegunów jednokrotnych x[n] = k i=0 L(z) M (z) zn i, M (z) = d dz M(z) z=zi (2) gdzie X(z) = L(z) M(z) W przypadku biegunów wielokrotnych { res X(z)z n } { } = z=a (l )! lim d l z a dz l X(z)(z a)l z n (3)

48 Przykład Wyznaczyć oryginał X(z) = L(z) M(z) = 2z 2 + 3z z 4 3z 3 + z 2 + 3z 2 metodą residuów Są trzy bieguny z = 2, z 2 = i z 3 = przy czym z 2 podwójny dla biegunów pojedynczych: M (z) = 4z 3 9z 2 + 2z + 3 M (2) = 3, M ( ) = 2, L(2) = 4, L( ) = na mocy wzoru (2) otrzymujemy x [n] = 4 3 ( 2)n + 2 ( )n = 4, 66( 2) n ( ) n

49 dla bieguna dwukrotnego na podstawie (3) { } d x 2 [n] = (2 )! lim z dz X(z)(z )2 z n Ostatecznie { d x 2 [n] = lim z dz 2z n+ + 3z n } z 2 = 0 z 2 4 n 9 4 x[n] = 4, 66( 2) n ( ) n 2, 5n 2, 25 x[n] = 4, 66( 2) n ( ) n 2, 5(n ) 4, 75 Uwaga! Porównać z wynikiem uzyskanym w przykładzie 0

50 Zastosowanie transformaty Z do rozwiązywania równań różnicowych Przykład 2 Przeprowadzić analizę systemu wygładzającego wykładniczo opisanego równaniem różnicowym y[n] = ay[n ] + ( a)x[n], a <, n = 0,,... Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz stosujemy własność 4 oraz podstawiamy y = y[ ] po uporządkowaniu Y (z) = ay + az Y (z) + ( a)x(z) Y (z) = a az X(z) + a az y

51 wiemy, że } Z {( a) az = ( a)a n } Z {a az = a a n = a n+ następnie korzystamy z właśności 7 (transformata splotu) jeśli to wtedy ostatecznie V (z) = ( a) az Z {V (z)x(z)} = v[n] x[n] y[n] = ( a)a n x[n] + y a n+

52 Przykład 3 Przeprowadzić analizę ruchomego okna uśredniającego o długości 4 próbek opisanego równaniem różnicowym y[n] y[n ] = (x[n] x[n 4]), x[n] = 0, dla n < 0 4 Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz podstawiamy y = y[ ] po uporządkowaniu Y (z)( z ) y = 4 ( z 4 )X(z) Y (z) = z 4 X(z) 4 z + y z

53 Y (z) = 4 X(z) ( + z + z 2 + z 3) + y z rozwiązanie w dziedzinie czasu y[n] = 4 (x[n] + x[n ] + x[n 2] + x[n 3]) + y, n 0

54 Przykład 4 Podać rozwiązanie schematu spłaty pożyczki bankowej o stałej stopie procentowej d i stałej wysokości miesięcznej spłaty c opisuje równanie różnicowe y[n + ] = ( + d)y[n] c, y[0] = P, dla n = 0,,... gdzie P jest wysokością pożyczki, a y[n] oznacza wysokość zadłużenia na koniec n-tego miesiąca Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz stosujemy własność 5 z z(y (z) y[0]) = ( + d)y (z) c z z z(y (z) P ) = ( + d)y (z) c z

55 po uporządkowaniu z Y (z)(z d) = zp c z zp Y (z) = z d c z ( z)(z d) obliczamy transformatę odwrotną y[n] = ( + d) n P c d ( ( + d)n ), n = 0,,...

56 Rozwiązywanie równania różnicowego za pomocą transformaty Z wymaga większej liczby kroków niż metoda rozwiązywania bezpośredniego Zaletą jest to, że kłopotliwa procedura rozwiązywania równań różnicowych zastąpiona jest znacznie prostszą procedurą rozwiązywania równać algebraicznych Wadą jest zastąpienie obliczeń na liczbach rzeczywistych operacjami na liczbach zespolonych

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET

ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej

Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Analiza zespolona Complex Analysis Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Dyskretne układy LTI Definicja analogiczna do tej, która podano dla sygnałów analogowych Opis transmisyjny:

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

1. Transformata Laplace a przypomnienie

1. Transformata Laplace a przypomnienie Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW Nazwa w języku polskim: FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim: Complex functions Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka i Robotyka Specjalność

Bardziej szczegółowo

Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan

Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Transmitancje układów ciągłych

Transmitancje układów ciągłych Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna:

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna: Ewa Koralewska LP... OGÓLNA PODSTA- WA PROGRA MOWA b c PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem TEMATYKA LEKCJI LICZBA GODZIN Lekcja organizacyjna. Liczby.

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem

Bardziej szczegółowo

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów

Przetwarzanie sygnałów Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 5 Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) Spis treści 1 Wprowadzenie 1 1.1 Filtry jednobiegunowe....................... 1 1.2 Filtry wąskopasmowe........................

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 2 2 Kod modułu 04-A-MAT2-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej . Funkcje zepolone zmiennej rzeczywitej Jeżeli każdej liczbie rzeczywitej t, t α, β] przyporządkujemy liczbę zepoloną z = z(t) = x(t) + iy(t) to otrzymujemy funkcję zepoloną zmiennej rzeczywitej. Ciągłość

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe z matematyki w klasie siódmej

Wymagania programowe z matematyki w klasie siódmej Wymagania programowe z matematyki w klasie siódmej ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie

Bardziej szczegółowo

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących

Bardziej szczegółowo

u (0) = 0 i(0) = 0 Obwód RLC Odpowiadający mu schemat operatorowy E s 1 sc t = 0 i(t) w u R (t) E u C (t) C

u (0) = 0 i(0) = 0 Obwód RLC Odpowiadający mu schemat operatorowy E s 1 sc t = 0 i(t) w u R (t) E u C (t) C Obwód RLC t = 0 i(t) R L w u R (t) u L (t) E u C (t) C Odpowiadający mu schemat operatorowy R I Dla zerowych warunków początkowych na cewce i kondensatorze 1 sc sl u (0) = 0 C E s i(0) = 0 Prąd I w obwodzie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane

Bardziej szczegółowo