Przekształcenie Z. Krzysztof Patan
|
|
- Anatol Łukasik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przekształcenie Z Krzysztof Patan
2 Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji należy użyć przekształcenia Z Dwustronne przekształcenie Z X(z) = n= x[n]z n = Z {x[n]}
3 Obszar zbieżności z = re jω, r = z Pozwiązanie z transformatą Fouriera czasu dyskretnego X(re jω ) = x[n](re jω ) n ( = x[n]r n ) e jωn = F d {x[n]r n } n= n= Obszar Zbieżności (OZ) OZ = { z = re jω, n= x[n]r n < Jeśli koło jednostkowe (r = ) leży wewnątrz OZ to transformata Fouriera istnieje }
4 Przykład x[n] = a n [n] X(z) = x[n]z n = a n z n = (az ) n n= n=0 n=0 X(z) = an z n a z = z a z = z z a Szereg jest zbieżny gdy a z < z > a Obszar zbieżności leży poza okręgiem o promieniu a Im(z) Re(z)
5 Przykład 2 x[n] = a n [ n ] X(z) = x[n]z n = a n z n n= n = a n z n n= n= n= X(z) = n=0 Szereg zbieżny, gdy z a <, ( ) n zn a z = a n z a z < a Obszar zbieżności leży wewnątrz okręgu o promieniu a = a a z = z z a X(z) identyczna jak w przykładzie, ale inny OZ! Re(z) 0.5 Im(z)
6 Powiązanie transformaty Z z przekształceniem Laplace a Przekształcenie Laplace a X(s) = Załóżmy, że t = nt wtedy X(s) = lim T 0 Przekształcenie Z x(t)e st dt = L{x(t)} ( ) x(nt ) e st n T = lim T T 0 X(z) = n= x[n]z n = Z {x[n]} x[n] (e ) st n Można rozważać przekształcenie Z jako przekształcenie Laplace a czasu dyskretnego z z = e st
7 2 Im(s) Im(z) Re(s) Re(z) oś jω w przestrzeni s odpowiada okręgowi jednostkowemu w przestrzeni z 2 lewa strona przestrzeni s, Re(s) < 0 wnętrze koła jednostkowego z = e st < 3 prawa strona przestrzeni s, Re(s) > 0 przestrzeń na zewnątrz koła jednostkowego z = e st >
8 Ad. s = σ + jω, σ = 0, czyli z = e st = e jωt, stąd z = Ad. 2 s = σ + jω, σ < 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt < więc z < Ad. 3 s = σ + jω, σ > 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt > więc z >
9 Ad. s = σ + jω, σ = 0, czyli z = e st = e jωt, stąd z = Ad. 2 s = σ + jω, σ < 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt < więc z < Ad. 3 s = σ + jω, σ > 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt > więc z >
10 Ad. s = σ + jω, σ = 0, czyli z = e st = e jωt, stąd z = Ad. 2 s = σ + jω, σ < 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt < więc z < Ad. 3 s = σ + jω, σ > 0 czyli z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt, wiadomo, że e σt > więc z >
11 Własności przekształcenia Z Liniowość gdzie a i b stałe Z {ax [n] + bx 2 [n]} = ax (z) + bx 2 (z) 2 Różniczkowanie w dziedzinie z Z {nx[n]} = z dx(z) dz 3 Mnożenie przez czynnik z0 n w dziedzinie czasu ( ) z Z {z0 n x[n]} = X z0 gdzie z 0 stała
12 4 Opóźnienie czasowe sygnału i Z {x[n i]} = x[ k]z i+k + z i X(z) k= dla i = Z {x[n ]} = x[ ] + z X(z) 5 Wyprzedzenie czasowe sygnału ) i Z {x[n + i]} = z (X(z) i x[k]z k k=0 dla i = Z {x[n + ]} = z(x(z) x[0])
13 6 Przesunięcie czasowe sygnału Z {x[n i][n i]} = z i X(z) 7 Transformata splotu y[n] = x[n] v[n] Y (z) = X(z)V (z)
14 Przykład 3 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = e αnt Wprowadzamy zmienną a = e αt, wtedy x[n] = a n Na mocy przykładu otrzymujemy Przykład 4 X(z) = z z a = z z e αt Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {cos(ω 0 nt )} = 2 Z {ejω0nt } + 2 Z {e jω0nt } Na mocy przykładu 3 otrzymujemy Z {cos(ω 0 nt )} = z 2 z e jω0t + z 2 z e jω0t
15 Przykład 3 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = e αnt Wprowadzamy zmienną a = e αt, wtedy x[n] = a n Na mocy przykładu otrzymujemy Przykład 4 X(z) = z z a = z z e αt Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {cos(ω 0 nt )} = 2 Z {ejω0nt } + 2 Z {e jω0nt } Na mocy przykładu 3 otrzymujemy Z {cos(ω 0 nt )} = z 2 z e jω0t + z 2 z e jω0t
16 Przykład 5 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = na n Wiadomo, że Z {a n } = Stosując własność 2 otrzymujemy Z {na n } = z d dz z z a ( z ) z a Z {na n } = z z a z (z a) 2 = az (z a) 2
17 Przykład 6 Obliczyć transformatę Z sygnału y[n] = x[n] cos(ω 0 nt ) Wykorzystując wzór Eulera oraz właściwość liniowości uzyskujemy Z {x[n] cos(ω 0 nt )} = 2 Z {x[n]ejω 0nT } + 2 Z {x[n]e jω 0nT } Z {y[n]} = {x[n] (e ) 2 Z jω n } 0T + { 2 Z x[n] (e ) jω n } 0T Na mocy przykładu 3 oraz wykorzystując własność 3 otrzymujemy Z {y[n]} = 2 X ( z e jω 0T ) + ( ) z 2 X e jω 0T
18 Przykład 7 Obliczyć transformatę Z sygnału x[n] = n[n] Obliczamy transformatę z definicji Z {x[n]} = x[n]z n = nz n = z n=0 X(z) = z ( + 2 z + 3 z ) Szereg w nawiasie jest zbieżny, gdy z >, wtedy X(z) = z (z ) 2 nz n+ Uwaga! Wyznaczanie sumy szeregu może okazać się kłopotliwe. Prościej skorzystać z właściwości transformaty n= Policzyć transformatę wykorzystując wynik z przykładu 5 2 Policzyć transformatę na podstawie Z {[n]} i własności 2
19 Przykład 8 Wyznaczyć transformatę sygnału x[n] = ( ) n a n [n] X(z) = x[n]z n = ( ) n a n z n = ( az ) n n= n=0 n=0 X(z) = ( a ) n z + a z = z + a z = z z + a
20 Wyznaczanie odwrotnej transformaty Z Sygnał x[n] można wyznaczyć na podstawie transmitancji sygnału X(z) i znajomości obszaru zbieżności Definicja transformaty odwrotnej x[n] = Z (X(z)) = X(z)z n dz, n 0 () 2πj C Całkowanie odbywa się wzdłuż krzywej zamkniętej C całkowicie zawartej w obszarze zbieżności transformaty Wzór () rzadko jest wykorzystywany W praktyce wykorzystuje się specjalnie przygotowane procedury numeryczne
21 Metoda szeregów potęgowych Jeśli X(z) ma postać analityczną to można rozwinąć ją w szereg Taylora względem z gdzie X(z) = x[0] + x[]z + x[2]z x[n]z n x[n] = [ d n ] n! dz n X (z) z=0, X (z) = X(z) z=z Metoda nie wymaga znajomości biegunów transmitancji
22 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
23 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
24 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
25 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
26 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
27 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
28 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
29 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
30 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
31 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
32 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
33 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
34 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
35 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
36 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
37 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
38 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
39 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
40 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
41 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
42 Przykład 9 Dana jest transmitancja X(z) = z2 + 3z + 2 3z 2. Wyznaczyć wartości + 2z + oryginału x[n] w kilku początkowych chwilach czasu metodą szeregów potęgowych Dzielimy licznik X(z) przez jej mianownik z z z 2 +3z + 2 :3z 2 +2z + z z z z z z z z
43 Otrzymaliśmy szereg X(z) = z z 3 Porównujemy z rozwinięciem w szereg Taylora i na tej podstawie x[0] = 3, x[] = 7 9, x[2] =, x[3] =
44 Metoda rozkładu na ułamki proste Metoda analogiczna do metody stosowanej w przypadku przekształcenia Laplace a Jeżeli X(z) jest funkcją wymierną to można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych X(z) = X (z) + X 2 (z) + + X n (z) Oryginał transformaty X(z) jest sumą oryginałów poszczególnych ułamków prostych
45 Przykład 0 Wyznaczyć oryginał transformaty X(z) = metodą rozkładu na ułamki proste 2z 2 + 3z z 4 3z 3 + z 2 + 3z 2 Transformata posiada trzy bieguny z = 2, z 2 = i z 3 = przy czym z 2 jest podwójny, stąd X(z) = A z 2 + B z + C (z ) 2 + D z + Sprowadzamy do wspólnego mianownika i licznik porównujemy z postacią oryginalną Po rozwiązaniu układu równań dostajemy A = 4, 66, B = 4, 75, C = 2, 5, D = 0, 0833
46 X (z) = 4, 66 na podstawie przykładu i własności 6 z 2 x [n] = 4, 662 n [n ] X 2 (z) = 4, 75 z x 2[n] = 4, 75[n ] X 3 (z) = 2, 5 na podstawie przykładu 7 i własności 6 (z ) 2 x 3 [n] = 2, 5(n )[n ] X 4 (z) = 0, 0833 (z + ) własności 6 na podstawie przykładu 8 i x 4 [n] = 0, 0833( ) n [n ]
47 Metoda residuów Fundamentalnym wzorem tej metody jest wzór Cauchy ego x[n] = i { res X(z)z n } z=z i gdzie z i są biegunami transformaty X(z) W przypadku biegunów jednokrotnych x[n] = k i=0 L(z) M (z) zn i, M (z) = d dz M(z) z=zi (2) gdzie X(z) = L(z) M(z) W przypadku biegunów wielokrotnych { res X(z)z n } { } = z=a (l )! lim d l z a dz l X(z)(z a)l z n (3)
48 Przykład Wyznaczyć oryginał X(z) = L(z) M(z) = 2z 2 + 3z z 4 3z 3 + z 2 + 3z 2 metodą residuów Są trzy bieguny z = 2, z 2 = i z 3 = przy czym z 2 podwójny dla biegunów pojedynczych: M (z) = 4z 3 9z 2 + 2z + 3 M (2) = 3, M ( ) = 2, L(2) = 4, L( ) = na mocy wzoru (2) otrzymujemy x [n] = 4 3 ( 2)n + 2 ( )n = 4, 66( 2) n ( ) n
49 dla bieguna dwukrotnego na podstawie (3) { } d x 2 [n] = (2 )! lim z dz X(z)(z )2 z n Ostatecznie { d x 2 [n] = lim z dz 2z n+ + 3z n } z 2 = 0 z 2 4 n 9 4 x[n] = 4, 66( 2) n ( ) n 2, 5n 2, 25 x[n] = 4, 66( 2) n ( ) n 2, 5(n ) 4, 75 Uwaga! Porównać z wynikiem uzyskanym w przykładzie 0
50 Zastosowanie transformaty Z do rozwiązywania równań różnicowych Przykład 2 Przeprowadzić analizę systemu wygładzającego wykładniczo opisanego równaniem różnicowym y[n] = ay[n ] + ( a)x[n], a <, n = 0,,... Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz stosujemy własność 4 oraz podstawiamy y = y[ ] po uporządkowaniu Y (z) = ay + az Y (z) + ( a)x(z) Y (z) = a az X(z) + a az y
51 wiemy, że } Z {( a) az = ( a)a n } Z {a az = a a n = a n+ następnie korzystamy z właśności 7 (transformata splotu) jeśli to wtedy ostatecznie V (z) = ( a) az Z {V (z)x(z)} = v[n] x[n] y[n] = ( a)a n x[n] + y a n+
52 Przykład 3 Przeprowadzić analizę ruchomego okna uśredniającego o długości 4 próbek opisanego równaniem różnicowym y[n] y[n ] = (x[n] x[n 4]), x[n] = 0, dla n < 0 4 Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz podstawiamy y = y[ ] po uporządkowaniu Y (z)( z ) y = 4 ( z 4 )X(z) Y (z) = z 4 X(z) 4 z + y z
53 Y (z) = 4 X(z) ( + z + z 2 + z 3) + y z rozwiązanie w dziedzinie czasu y[n] = 4 (x[n] + x[n ] + x[n 2] + x[n 3]) + y, n 0
54 Przykład 4 Podać rozwiązanie schematu spłaty pożyczki bankowej o stałej stopie procentowej d i stałej wysokości miesięcznej spłaty c opisuje równanie różnicowe y[n + ] = ( + d)y[n] c, y[0] = P, dla n = 0,,... gdzie P jest wysokością pożyczki, a y[n] oznacza wysokość zadłużenia na koniec n-tego miesiąca Obliczamy transformatę Z obu stron równania oraz stosujemy własność 5 z z(y (z) y[0]) = ( + d)y (z) c z z z(y (z) P ) = ( + d)y (z) c z
55 po uporządkowaniu z Y (z)(z d) = zp c z zp Y (z) = z d c z ( z)(z d) obliczamy transformatę odwrotną y[n] = ( + d) n P c d ( ( + d)n ), n = 0,,...
56 Rozwiązywanie równania różnicowego za pomocą transformaty Z wymaga większej liczby kroków niż metoda rozwiązywania bezpośredniego Zaletą jest to, że kłopotliwa procedura rozwiązywania równań różnicowych zastąpiona jest znacznie prostszą procedurą rozwiązywania równać algebraicznych Wadą jest zastąpienie obliczeń na liczbach rzeczywistych operacjami na liczbach zespolonych
Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan
Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET
CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoZadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej
Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Analiza zespolona Complex Analysis Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Dyskretne układy LTI Definicja analogiczna do tej, która podano dla sygnałów analogowych Opis transmisyjny:
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo1. Transformata Laplace a przypomnienie
Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW Nazwa w języku polskim: FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim: Complex functions Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka i Robotyka Specjalność
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoTransmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan
Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna:
Ewa Koralewska LP... OGÓLNA PODSTA- WA PROGRA MOWA b c PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem TEMATYKA LEKCJI LICZBA GODZIN Lekcja organizacyjna. Liczby.
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. 2. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
. Funkcje zepolone zmiennej rzeczywitej Jeżeli każdej liczbie rzeczywitej t, t α, β] przyporządkujemy liczbę zepoloną z = z(t) = x(t) + iy(t) to otrzymujemy funkcję zepoloną zmiennej rzeczywitej. Ciągłość
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów
Przetwarzanie sygnałów Ćwiczenie 5 Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) Spis treści 1 Wprowadzenie 1 1.1 Filtry jednobiegunowe....................... 1 1.2 Filtry wąskopasmowe........................
Bardziej szczegółowoOPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 2 2 Kod modułu 04-A-MAT2-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoLiczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział
Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Bardziej szczegółowou (0) = 0 i(0) = 0 Obwód RLC Odpowiadający mu schemat operatorowy E s 1 sc t = 0 i(t) w u R (t) E u C (t) C
Obwód RLC t = 0 i(t) R L w u R (t) u L (t) E u C (t) C Odpowiadający mu schemat operatorowy R I Dla zerowych warunków początkowych na cewce i kondensatorze 1 sc sl u (0) = 0 C E s i(0) = 0 Prąd I w obwodzie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowoCzęść 1. Transmitancje i stabilność
Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik
Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnałów biomedycznych
Przetwarzanie sygnałów biomedycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowo