Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przekształcenia całkowe. Wykład 1"

Teresa Janowska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Przekształcenia całkowe Wykład 1

2 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie Laplace a -przekształcenie Laplace a i jego podstawowe własności, - wyznaczanie obszaru (transformaty Laplace a) gdy znany jest oryginał, -przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace a i jego własności,

3 Przekształcenia całkowe - wyznaczanie oryginału gdy znana jest transformata Laplace a (metoda rozkładu na ułamki proste, metoda splotu), - wyznaczanie rozwiązania równań różniczkowych rzędu n oraz układów równań różniczkowych liniowych przy danych warunkach początkowych, -równania całkowe (układy) typu splotu. 3. Szeregi Fouriera -wprowadzenie, -rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera.

4 Przekształcenia całkowe Literatura: 1. Kącki E., Siewierski L. Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami Warszawa Kącki E. Równania rócznikowe cząstkowe w elektrotechnice Warszawa Ditkin W.A., Prudnikow A.P. Przekształcenia całkowe i rachunek operatorowy Warszawa 1964.

5 1. Wprowadzenie Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci: z = a+ bi gdzie: a - część rzeczywista (realis Re) liczby zespolonej, b część urojona (imaginarius Im) liczby zespolonej, i jednostka urojona. np.: z = 2+ 2 i, z = 3 i, z = i.

6 Postać liczby z = a+ bi nazywamy postacią algebraiczną lub kanoniczną. Podstawowa własność jednostki urojonej: i 2 = 1 1= i Interpretacją geometryczną liczby zespolonej jest punkt na płaszczyźnie zespolonej, którego odcięta równa jest wartości części rzeczywistej liczby zespolonej, a rzędna części urojonej tejże liczby.

8 Położenie punktu (a, b) jest również wyznaczone przez długość r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąt φ jaki ten promień tworzy z osią odciętych. Wartością bezwzględną (modułem ) liczby zespolonej z = a+ bi nazywamy następującą liczbę: 2 2 z = a+ bi = a + b = r np. z = + i z = + =

9 Własności wartości bezwzględnej liczby zespolonej z z z ± z z + z z z = z z z z 1 = z z Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej nazywamy liczbę: np. z z = a+ bi z = a bi z = 2+ 2i z = 2 2 i, z = 3 i z = 3+ i

10 Własności sprzężenia liczb zespolonych: z = z z z = z 2 z ± z = z ± z z z = z z z1 z1 z2 z = 2 z2, 0

11 2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych Dla liczb zespolonych w postaci kanonicznej działania wykonujemy tak, jak na wielomianach W(i) nad ciałem liczb rzeczywistych, zatem zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych z1 = a+ bi oraz z2 = c+ di działania arytmetyczne definiuje się następująco: Dodawanie: np. 1 2 ( a+ bi) + ( c+ di) = a+ c+ ( b+ d) i z = 2+ 2 i, z = 1 3i 1 2 ( ) ( ) ( ) z + z = 2+ 2i + 1 3i = i= 1 i

12 Odejmowanie: ( a+ bi) ( c+ di) = a c+ ( b d) i z1 z2 = 2+ 2i 1 3i = i= 3 5i np. ( ) ( ) ( ) Mnożenie: 2 ( a + bi) ( c + di) = ac + ad i + bci + bd i = ( ) ( 1) ( ) = ac + ad + bc i + bd = ac bd + ad + bc i

13 np. ( ) ( ) ( ) z1 z2 = 2+ 2i 1 3i = i= 4 8i Dzielenie: Przy dzieleniu musimy wyrugować urojoność z mianownika poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez liczbę sprzężoną z mianownikiem. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a+ bi a + bi c di ac + bd + bc ad i = =, c+ di c+ di c+ di c di c + d

14 np. 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) z i 2+ 2i 1+ 3i + + i = = = = z 1 3i 1 3i 1+ 3i i 8 4 = = + i

15 3. Postaci liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej: np. z = 2 3i z = a+ bi a= Re z b= Im z Postać trygonometryczna liczby zespolonej: = ( cosϕ + sinϕ ) lub z = r( cosϕ + isinϕ ) z z i

16 gdzie: z - moduł z liczby zespolonej (długość promienia wodzącego), φ -kąt pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym (argument liczby zespolonej). a a a cosϕ = = = r z a + b 2 2 b b b sinϕ = = = r z a + b 2 2

17 Przykład 1 Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną z = 1 + i. z = + = cosϕ = = 2 2 π ϕ = sinϕ = = 2 2 z π π = 2 cos + isin 4 4

18 Postać wykładnicza liczby zespolonej: z = ze ϕ i lub z = r e ϕ i Przykład 2 Przedstaw w postaci wykładniczej liczbę zespoloną z = 1+ i 3. ( ) 2 z = + = =

19 cosϕ = sinϕ = z = π 3 2 i e 1 2 ϕ = 3 2 π 3

20 4. Wzory Moivre a Wzory Moivre a opisują mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Zakładając istnienie dwóch liczb zespolonych z1 = r( cosϕ1+ isinϕ1) oraz z2 = R( cosϕ2 + isinϕ2) odpowiednie działania algebraiczne definiuje się następująco: Mnożenie: r cosϕ + isinϕ R cosϕ + isinϕ = ( 1 1) ( 2 2) = rr[ cos( ϕ + ϕ ) + isin ( ϕ + ϕ )]

21 Dzielenie: ( cosϕ1+ sinϕ1) ( cosϕ + sinϕ ) r i r = + R i R 2 2 ( ϕ ϕ ) isin ( ϕ ϕ ) [ cos ] Potęgowanie: [ ( cos sin )] n n r ϕ + i ϕ = r ( cos nϕ + isin nϕ )

22 Przykład 3 Obliczyć 1+ i korzystając ze wzorów Moivre a ( ) 10

23 z = 1+ i z = + = cosϕ = = 2 2 π ϕ = sinϕ = = 2 2 π π = [ ( cosϕ + sinϕ) ] = 2 cos + sin = z z i i 10

24 π π = 2 cos + isin = = 2 cos π + isin π = π π = 2 cos 2π + + isin 2π + = π π 5 = 2 cos + isin = 2 i = 32i

25 5. Wzory Eulera zi Wzory Eulera określają zależność między i zi e = cos z+ isin z cos sin z z = = e e zi zi + e 2 e 2i zi zi e sin z, cos z.

26 6. Pierwiastkowanie liczb zespolonych Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną, której n-ta potęga równa się tejże liczbie zespolonej z. Liczba 0 ma przy dowolnym n jeden pierwiastek n-tego stopnia równy 0. ( ϕ ϕ ) z = z cos + isin 0 n N Jeżeli i, to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n tego stopnia z liczby zespolonej z.

27 Są nimi liczby: dla k 2 2 n ϕ + kπ ϕ + kπ wk = z cos + isin n n = 0,1,2,..., n 1 Pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby: 2kπ 2kπ ε k = cos + isin n n dla k = 0,1,2,..., n 1

28 Wyciąganie pierwiastka stopnia n, gdzie daje zawsze n różnych wartości. W interpretacji geometrycznej punkty w k są wierzchołkami n-kąta foremnego mającego środek w punkcie (0,0). Przykład 4 4 Wyznaczyć wszystkie pierwiastki zespolone 1 oraz podać ich interpretację geometryczną.

29 z = 1 z = 1 cosϕ = 1 ϕ = π sinϕ = 0 2k 2k w n ϕ + π ϕ + π k = z cos + isin, n n n= 4, k = 0,1, 2,3 π π 2 2 = 1 cos + sin = w0 i i

30 π + 2π π + 2π 3π 3π = 1 cos + sin = cos + sin = w1 i i π π π π 2 2 = cos π + isin π = cos + isin = + i π + 4π π + 4π 5π 5π = 1 cos + sin = cos + sin = w2 i i π π π π 2 2 = cos π + + isin π + = cos isin = i

31 π + 6π π + 6π 7π 7π = 1 cos + sin = cos + sin = w3 i i π π π π 2 2 = cos 2π + isin 2π = cos isin = i

32 Interpretacja geometryczna

33 Wszystkie pierwiastki zespolone tworzą czworokąt foremny kwadrat, którego środek znajduje się w punkcie (0,0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (tzw. płaszczyźnie Gaussa). Długość boku tego kwadratu wynosi 2. Promień okręgu, w który wpisany jest ten kwadrat równy jest z czyli

34 Przekształcenia całkowe Dziękuję za uwagę

Podobne dokumenty

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +