Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Transkrypt

1 Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e t 3t d) cos 5t e 3t e) (sin 3t t cos t) 2 f) e 2t sin t Zad 2 Rozwiąż równania różniczkowe: a) y (t) + 3y (t) + 3y (t) + y(t) = 6e t, y(0) = y (0) = y (0) = 0 b) y (t) + 4y(t) = sin t, y(0) = y (0) = 0 c) 2y (t) + y(t) = t 2 + 2, y(0) = 4 d) y (t) + 4y(t) = 3 sin t + 0 cos 3t, y(0) = 2, y (0) = 3 e) y (t) 3y (t) + 2y(t) = 4e 3t, y(0) = 2, y (0) = 6 f) y (4) (t) + y (t) = cos t, y(0) = y (0) = y (0) = y (0) = 0 g) y (t) + 2y (t) + 5y(t) = 3e 2t, y(0) =, y (0) = h) y (t) + 9y (t) + 4y(t) = 2 sin t, y(0) = 0, y (0) = i) y (t) 3y (t) + 3y (t) y(t) = t 2 e t, y(0) =, y (0) = 2, y (0) = 3 j) y (t) y(t) = e t ( t 2 3t + 3 ), y(0) =, y (0) =

2 Zad 3 Wyznacz transmitancje obiektów dynamicznych opisanych równaniami różniczkowymi: a) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = u (t) + u(t), b) y (t) + 2y(t) = u(t) Wyciągnij wnioski z otrzymanych rezultatów Zad 4 Podaj opisy w postaci transmitancji i wektora stanu dla procesów opisanych równaniami różniczkowymi z zadania 2 przyjmując, że prawa strona równania jest opisem sygnału wejściowego u(t) Zad 5 Dany jest układ ciągły o transmitancji K(s) = Wyznacz odpowiedź tego układu s + na skok jednostkowy Zad 6 Pewien proces można modelować za pomocą równania różniczkowego: y (t) + 2y (t) + y(t) = u(t) Zakładając zerowe warunki początkowe, wyznacz jego transmitancję oraz odpowiedzi na impuls Diraca u(t) = δ(t) oraz na skok jednostkowy u(t) = (t) Wykreśl przebiegi y(t) dla obu pobudzeń Zad 7 Układ liniowy ciągły na wymuszenie u(t) = (t) odpowiedział sygnałem y(t) = e t Wyznacz transmitancję tego układu Zad 8 Zbadaj stabilność stanów równowagi systemów o podanych opisach, posługując się definicją oraz wartościami własnymi macierzy systemowej: a) x (t) = ax(t) x b) (t) = x 2 (t) x 2 (t) = x (t) x 2 (t) d) x (t) = x (t) x 2 (t) = 2x (t) x 2 (t) + 2x 3 (t) x 3 (t) = 3x (t) 2x 2 (t) x 3 (t) c) x (t) = x 2 (t) x 2 (t) = x (t) e) x (t) = x (t)x 2 (t) x 2 (t) = x (t) [x 2 (t)] 3 2

3 Zad 9 Zlinearyzuj względem początku układu współrzędnych następujące procesy: x (t) = 3x 2(t) + x (t)x 2 (t) + [x 2 (t)] 2 u 2 (t) a) x 2 (t) = 2x (t) + e x2(t) sin x (t) + 2u(t) y(t) = x (t) + u(t) b) x (t) = x (t) sin x 2 (t) + x 2 (t)u(t) x 2 (t) = x (t)e x 2(t) + u 2 (t) y(t) = 2x (t)x 2 (t) + [x 2 (t)] 2 Następnie wyznacz wzór określający stany równowagi x zlinearyzowanych procesów dla zadanych sterowań u(t) = u Zad 0 Znajdź model w postaci równania różniczkowego odwróconego wahadła umieszczonego na ruchomym wózku Opracuj jego opis w postaci wektora stanu Zlinearyzuj model wokół niestabilnego położenia równowagi Zad Wykonaj 4 pierwsze iteracje schematu Eulera dla równań różniczkowych a) y (t) = y(t), y(0) = b) y (t) + y (t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = przyjmując w kolejnych symulacjach wielkość kroku całkowania h =, h = 05, h = 0 Zad 2 Wyznacz z definicji transformaty Z poniższych funkcji: a) x n = δ n b) x n = n c) x n = n d) x n = n 2 e) x n = a n Zad 3 Wyznacz z definicji transformaty Z, wykorzystując jej wybrane własności: a) x n = n b) x n = n 2 c) x n = na n d) x n = n 2 a n e) x n = sin ωn f) x n = cos ωn 3

4 Zad 4 Wyznacz oryginały x n podanych wyrażeń: a) X(z) = 2z z 2 b) X(z) = c) X(z) = d) X(z) = 2z z z (z 05)(z ) 8z (2z )(4z + ) e) X(z) = f) X(z) = g) X(z) = z (z ) 2 (z 2) (z ) (z + )(3z ) Zad 5 Dla systemu opisanego równaniem różnicowym x n+ + 2x n = 3u n wyznacz odpowiedź na pobudzenie u n = δ n przy warunku początkowym x 0 = na dwa sposoby: bez użycia transformaty Z oraz z jej wykorzystaniem Porównaj oba podejścia Zad 6 Rozwiąż równanie różnicowe x n+2 5x n+ + 6x n = u n dla u n = n i warunkach początkowych x 0 =, x = Zad 7 Dla systemu opisanego równaniem różnicowym x n+ ax n = bu n+ + cu n wyznacz odpowiedź na pobudzenie u n = δ n przy warunku początkowym x 0 Zad 8 n dla n 0 Układ liniowy dyskretny na wymuszenie u n = 0 dla n < 0 y n = e n dla n 0 Wyznacz jego transmitancję odpowiedział sygnałem 4

5 DODATEK Transformatą Laplace a nazywamy następujące przekształcenie: L [f(t)] F (s) 0 f(t)e st dt, Transformata Laplace a posiada następujące własności: gdzie s jest zmienną zespoloną L [a f (t) + a 2 f 2 (t)] = a F (s) + a 2 F (s), gdzie a, a 2 R [ ] 2 L f (n) (t) = s n F (s) s n f(0) s n 2 f (0) f (n ) (0) [ t ] 3 L f(u)du = 0 s F (s) 4 Jeśli L [f(t)] = F (s) to L [( ) n t n f(t)] = F (n) (s) [ ] f(t) 5 L = F (s)ds t s 6 L [f(at)] = a F ( s ), gdzie a > 0 a 7 L [f(t a)] = a as F (s), gdzie a > 0 8 L [ e p 0t f(t) ] = F (s p 0 ), gdzie p o jest dowolną liczbą zespoloną f (t) (t) F (s) s δ(t) sin at cos at t sin at t cos at a s 2 + a 2 s s 2 + a 2 2as (s 2 + a 2 ) 2 s 2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 f (t) F (s) e at s a e at b sin bt (s a) 2 + b 2 e at s a cos bt (s a) 2 + b 2 t n n!, n N s n+ eat tn n!, n N (s a) n+ Tablica : Tabela często używanych transformat Laplace a 5

6 Transmitancją liniowego procesu o zerowych warunkach początkowych nazywamy stosunek transformaty Laplace a wyjścia do transformaty Laplace a wejścia: K(s) Y (s) U(s) Opis w postaci wektora stanu ma formę układu: x (t) = F (x(t), u(t)) y(t) = G (x(t), u(t)), gdzie u, x, y to wektory o określonych wymiarach: x (t) u (t) x 2 (t) u 2 (t) x(t) = x R (t), u(t) = u S (t), y(t) = Funkcje F i G są funkcjami wektorowymi o postaciach: f (x(t), u(t)) f 2 (x(t), u(t)) F (x(t), u(t)) =, G (x(t), u(t)) = f R (x(t), u(t)) y (t) y 2 (t) y L (t) g (x(t), u(t)) g 2 (x(t), u(t)) g L (x(t), u(t)) W szczególnym przypadku, liniowy proces można opisać za pomocą układu: x (t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t) gdzie A, B, C, D to macierze o odpowiednich wymiarach: A R R R, B R R S, C R L R, D R L S Metoda linearyzacji bazująca na rozwinięciu w szereg Taylora pozwala uzyskać dla opisu x (t) = F (x(t), u(t)) y(t) = G (x(t), u(t)) opis liniowy x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t), gdzie x = x x, u = u u, y = y y = y G (x, u ), 6

7 będący jego przybliżeniem w otoczeniu wybranego punktu: [ x u ] = x x R u u S Macierze wchodzące w skład przybliżenia liniowego mają postać: A = x F (x, u) x=x,u=u = B = u F (x, u) x=x,u=u = C = x G(x, u) x=x,u=u = D = x G(x, u) x=x,u=u = f f x x R f R x f R x R f f u u S f R u f R u S g g x x R g L x g L x R g g u u S g L u g L u S x=x,u=u x=x,u=u x=x,u=u x=x,u=u Przyjmujemy, że stan równowagi x procesu opisanego za pomocą wektora stanu to taki punkt, w którym x (t) = 0 (dla procesu ciągłego) lub x n+ = x n (dla procesu dyskretnego) 7

8 Analiza stabilności liniowych systemów autonomicznych Autonomiczny system liniowy o opisie x (t) = Ax(t) ma stan równowagi w środku układu współrzędnych (x = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0 Stan równowagi x systemu dyskretnego o opisie x n+ = Ax n spełnia warunek Ax = x Jeżeli det A I 0, to system dyskretny ma dokładnie jeden stan równowagi, w przeciwnym razie tych stanów jest nieskończenie wiele Stan równowagi x nazywamy stabilnym, jeżeli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że każde rozwiązanie x(t) dla stanu początkowego x(0) leżącego w pobliżu x, tj x(0) x < δ istnieje dla t > 0 i spełnia warunek x(t) x < ε Jeżeli dodatkowo lim t x(t) = x to stan równowagi x nazywamy asymptotycznie stabilnym Definicja stabilności systemu dyskretnego jest analogiczna (po zmianie dziedziny czasu ciągłego na czas dyskretny) Stan równowagi x = 0 autonomicznego systemu liniowego o opisie x (t) = Ax(t) jest asymptotycznie stabilny, jeżeli wszystkie wartości własne macierzy (A) mają ujemne części rzeczywiste Stan równowagi x autonomicznego systemu liniowego o opisie x n+ = Ax n jest asymptotycznie stabilny, jeżeli moduły wszystkich wartości własnych macierzy A są mniejsze od 8

9 Piękne i przydatne wzory: sin x = eix e ix, cos x = eix + e ix 2i 2 e ix = cos x + i sin x Transformatą Z nazywamy następujące przekształcenie: Z [x n ] x n z n, n=0 gdzie z jest zmienną zespoloną Transformata Z posiada następujące własności: Z [a x n + a 2 y n ] = a X(z) + a 2 Y (z), gdzie a, a 2 R ] m 2 Z [x n+m ] = z [X(z) m x k z k przesunięcie w prawo k=0 3 Z [nx n ] = z d X(z) - zmiana skali oryginału dz 4 Z [a n x n ] = X(az) - zmiana skali transformaty 5 6 n x i = i=0 z z X(z) n x n i y i = X(z)Y (z) transformata splotu i= x n Z [x n ] δ n z n z a n z z a na n az (z a) 2 x n Z [x n ] n 2 a n az(z + a) (z a) 3 sin ωn zsinω z 2 2zcosω + cos ωn z 2 zcosω z 2 2zcosω + Tablica 2: Tabela często używanych transformat Z 9