Część 1. Transmitancje i stabilność

Transkrypt

1 Część 1 Transmitancje i stabilność

2 Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości sterującej (d) na wielkość sterowaną (np. v) Opisują to transmitancje operatorowe (transfer functions) przekształtnika G y 1 x 1 (s)= y 1 (s) x 1 (s) x 2,x 3, =const np. G vg (s)= v (s) v g (s) d =const aby przewidzieć analogiczny wpływ x 2, x 3, na y 1, układ musi być liniowy (linearyzowalny), gdyż wówczas y 1 (s)=x 1 (s) G y 1 x (s)+x 1 2 (s) G y 1 x (s)+ 2 Transmitancja operatorowa jest bardzo ogólnym opisem właściwości układu wzmocnienie stałoprądowe (DC gain) G sygnały stałe transmitancja widmowa (frequency response) G(jω) sygnały sinusoidalnie zmienne w czasie o kolejnych pulsacjach ω, lecz o niezmiennych amplitudach transmitancja operatorowa G(s) sygnały sinusoidalnie zmienne w czasie, o amplitudach wykładniczo zmiennych w czasie istotne dla regulacji Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 2

3 Związki Między dziedziną uogólnionej częstotliwości (s) i czasu (t) odpowiedź impulsowa (impulse response) na impuls Diraca δ(t) 1 Y (s)=1 G (s)=g (s) y (t )=g (t )=L 1 {G (s)} odpowiedź jednostkowa (step response) na skok jednostkowy 1(t) 1/s Y (s)= 1 (s) G (s)=g s s y (t )=h(t )=L 1 { G (s) s Między transmitancją operatorową a widmową s=σ +jω t } = 0 g (τ )dτ transmitancja operatorowa jest uogólnieniem transmitancji widmowej transformata Laplace a jest uogólnieniem transformaty Fouriera Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 3

4 Transmitancja a odpowiedź układu I rzędu Postać ogólna transmitancji G (s)= N (s) D (s) Transmitancja o pojedynczym biegunie rzeczywistym i odpowiedź impulsowa σ 0 > 0 s p = σ 0 < 0 odpowiedź zanika wykładniczo w czasie do zera ze stałą czasową τ = 1/σ 0 układ jest stabilny, gdyż po zaburzeniu wraca do stanu początkowego σ 0 < 0 s p = σ 0 > 0 zera (zeros) s zi : N (s i )=0 bieguny (poles) s pi : D (s i )=0 G (s)= 1 s+σ 0 g (t)=l 1 {G (s)}=e σ 0 t 1(t ) odpowiedź narasta wykładniczo do nieskończoności układ jest niestabilny, gdyż nigdy nie wróci do stanu początkowego Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 4

5 Transmitancja a odpowiedź układu II rzędu W transmitancji występują 2 bieguny zespolone (zawsze sprzężone) s= σ 0 ±jω d D (s)=(s+σ 0 jω d )(s+σ 0 +jω d )=(s+σ 0 ) 2 +ω d 2 ω 0 2 G (s)= s ζω 0 s+ω 0 σ =ζω 0 ; ω d =ω 0 1 ζ 2 Odpowiedź jednostkowa ϑ = arc sin ζ ω 0 σ 0 ω d ω 0 t Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 5

6 Położenie biegunów a odpowiedź impulsowa Amplituda malejąca Układ stabilny Amplituda stała Amplituda narastająca Układ niestabilny Charakter oscylacyjny (periodyczny) częstotliwość Charakter inercyjny (aperiodyczny) szybkość spadku szybkość wzrostu Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 6

7 Formalizacja pojęcia stabilności Stabilność w sensie ograniczone wejście ograniczone wyjście (BIBO stability = bounded input - bounded output): Układ liniowy jest stabilny, jeżeli dla każdego wymuszenia ograniczonego u jego odpowiedź y jest również ograniczona: odpowiedź układu to przebiegi czasowe zmiennych stanu np. prądów cewek i napięć kondensatorów, sygnałów wyjściowych, sygnałów sterujących zmienne stanu nie wykazują oscylacji lub amplituda oscylacji maleje Warunki konieczne i wystarczające stabilności w sensie BIBO M>0 t 0 u (t ) M bezwzględna całkowalność odpowiedzi impulsowej: h (t ) dt< 0 B>0 lokalizacja wszystkich biegunów w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej: σ i i <0 gdzie s p,i =σ i +jω i t 0 y (t ) B Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 7

8 Stabilność graniczna Pojęcie to nie jest jednoznaczne w kontekście stabilności w sensie BIBO Układ stabilny granicznie nie jest stabilny w sensie BIBO, gdyż jego odpowiedź impulsowa nie jest bezwzględnie całkowalna: Podejście 1 Odpowiedź impulsowa nie jest b.c., ale jest stała w czasie: h(t ) =const nie występują oscylacje występuje biegun (bieguny) w początku układu (s = 0) Podejście 2 Odpowiedź układu nie jest b.c., ale jest ograniczona co do wartości: h (t ) dt= h(t ) < występują oscylacje, ale o stałej amplitudzie występują bieguny na osi urojonej (s = jω) 0 W naszych rozważaniach stosować będziemy szerszą definicję 2 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 8