Wykład 7 Transformata Laplace a oraz jej wykorzystanie w analizie stanu nieustalonego metodą operatorową część II

Transkrypt

1 Wykład 7 Transformata aplace a oraz jej wykorzystanie w analizie stanu nieustalonego metodą operatorową część II Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Instytut Podstaw lektrotechniki i lektrotechnologii Wydział lektryczny Politechnika Wrocławska D-, 205/8 tel: (07) fax: (07) tomasz.sikorski@pwr.wroc.pl Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

2 . Metoda operatorowa Prawa Kirchhoffa w zapisie operatorowym ównania dla elementów C w zapisie operatorowym elementy schematu operatorowego Impedancja, admitancja operatorowa, prawo Ohma w zapisie operatorowym Przykłady analizy stanu nieustalonego metodą operatorową... 0 Załączanie szeregowej gałęzi na napięcie stałe... 0 Obwód rozgałęziony zawierający gałęzie aktywne, dwa oczka... 4 Wymuszenie sinusoidalne oraz metoda wektora wirującego Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

3 . Metoda operatorowa Metoda klasyczna analizy pracy obwodu elektrycznego w stanie nieustalonym bazowała na różniczkowocałkowych związkach prądowo-napięciowych na elementach obwodu. Pozytywnym aspektem takiego podejścia było przede wszystkim zachowanie wszystkich kroków analizy w dziedzinie czasu i tym samym ukłon w kierunku fizyki elementów C z nierozerwalnymi związkami różniczkowo-całkowymi, z prawem zachowania energii czy ciągłości prądów płynących przez cewkę i napięć na kondensatorach. Za negatywną stronę metody klasycznej można uznać pracochłonne i czasochłonne działania związane z wyodrębnieniem i rozwiązaniem równania różniczkowego, zwłaszcza w przypadku obwodów wyższego rzędu. Wprowadzenie transformaty aplace a przenosi ciężar zapisu sygnału z dziedziny czasu do dziedziny zmiennej zespolonej s, która nosi nazwę operatora s. Adaptacja tej metody w analizie obwodów elektrycznych stwarza automatycznie dwa podstawowe pytania o wykorzystanie w:. zapisie równań Kirchhoffa, 2. zapisie związków prądowo-napięciowych na elementach C. Czy uda się zapisać równania Kirchhoffa w zapisie operatorowym? Jak będą wyglądać związki różniczkowo-całkowe w zapisie operatorowym i czy ich forma pozwoli na uproszczenie operacji matematycznych potrzebnych do rozwiązania obwodu? Odpowiedź na większość z tak stawianych pytań jest pozytywna, do tego stopnia, że reprezentacja związków prądowo-napięciowych na elementach C skutkuje nawet ich operatorowymi schematami zastępczymi, tzn. transformacji aplace a możemy poddać cały obwód, z istniejącymi w nim sygnałami napięć i prądów, oraz elementami i gałęziami. Tak wprowadzimy pojecie schematu operatorowego. Podobną filozofię stosowaliśmy w metodzie symbolicznej analizy obwodu w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Jednak w przypadku transformacji aplace a mamy do czynienia z pełną, nie tylko symboliczną, reprezentacją. 3 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

4 . Prawa Kirchhoffa w zapisie operatorowym Dla dowolnego czasu t prądy i k t spełniają w danym przekroju (węźle) obwodu I-prawo Kirchhoffa (algebraiczna suma prądów w przekroju (węźle) równa jest zero). Nałożenie liniowej operacji transformacji aplace a pozwala zauważyć, że I-prawo Kirchhoffa jest zachowane również dla transformat prądów: Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s ik ( t) 0 k k k I s 0 } Na podstawie liniowości przekształcenia aplace a : { af t ± bf2 t af s ± bf2 s Identycznie możemy zaadoptować transformację aplace a w przypadku II prawa Kirchhoffa, gdzie możemy powiedzieć, że algebraiczna suma transformat napięć oraz ódeł napięciowych w oczku jest równa zero: Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s un () t 0 n n n U s 0 Na podstawie liniowości przekształcenia aplace a : { af ( t) ± bf ( t)} af ( s) ± bf ( s) Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

5 .2 ównania dla elementów C w zapisie operatorowym elementy schematu operatorowego Adaptacja transformacji aplace a w opisie relacji prądowo-napięciowych na elementach C wykorzystuje następujące właściwości przekształcenia: { af() t ± bf2( t) } af( s) ± bf2( s) ' { f () t } sf ( s) f ( 0 ) { f () t dt} F ( s) + C liniowość przekształcenia transformata pochodnej transformata całki s s Znaczącym pozytywnym aspektem wykorzystanie transformacji aplace a w opisie C jest zastąpienie funkcjonałów różniczkowo-całkowych przez algebraiczne relacje pomiędzy transformatami napięć i prądów oraz parametrów obwodu. Prowadzi to do schematów operatorowych elementów obwodu. ZYSTO: Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s i(t) u (t) it () () U ( s) I ( s) u ( t) U ( s) I ( s) u t i t I(s) U (s) 5 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

6 CWKA: i(t) Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s () di t u t dt si ( s) i( 0 ) U s si s i 0 I(s) U (s) s i(0-) u (t) it () u () tdt ( s) ( s) i0 I U + s s I(s) s U (s) i(0-) s UWAGA: Dla zerowych warunków początkowych związek prądowo-napięciowy transformat przyjmie postać: U ( s) s I ( s), I ( s) U ( s) s co należy odczytywać jako prawo Ohma dla transformat lub operatorowe prawo Ohma dla cewki. Składniki s, można zatem traktować jako impedancje oraz admitancje operatorowe cewki. s 6 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

7 KONDNSATO: Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s i(t) C () du c it C dt ( t) c C scuc( s) CuC( 0 ) I s C su s u 0 I(s) Cu c (0-) sc U C (s) u c (t) uc () t i() t dt C U ( s) I( s) C + sc u 0 C s I(s) sc U C (s) u C (0-) s UWAGA: Dla zerowych warunków początkowych związek prądowo-napięciowy transformat przyjmie postać: U, U C sc ( s) I( s) I( s) sc ( s) co należy odczytywać jako prawo Ohma dla transformat lub operatorowe prawo Ohma dla sc sc kondensatora. Składniki, operatorowe kondensatora. C można zatem traktować jako impedancje oraz admitancje 7 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

8 .3 Impedancja, admitancja operatorowa, prawo Ohma w zapisie operatorowym Idąc dalej, dla zerowych warunków początkowych, możemy wprowadzić pojęcie impedancji, zarówno dla gałęzi jak i zastępczych połączeń operatorowej Z ( s ) oraz admitancji operatorowej Y ( s) szeregowo-równoległych. Przykład dla szeregowej pasywnej gałęzi C: I(s) s /sc 2 s C+ sc+ U(s) Z( s) + s+, Y( s) sc sc sc Z s s C+ sc+ 2 Ostatecznie przy zerowych warunkach początkowych reprezentację prawa Ohma w postaci operatorowej można zapisać jako: Przykład dla szeregowej aktywnej gałązi C: I(s) i s ( 0 ) /sc U(s) C u 0 s ( s) Z( s) I( s) I( s) Y( s) ( s) U, U uc 0 U( s) + i( 0) I( s) s ; Z( s) + s+ Z s sc 8 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

9 PODSUMOWANI: Zastosowanie transformacji aplace a w ujęciu prądów i napięć w obwodzie zachowuje w pełni najważniejsze prawa obwodowe tj. I-go oraz II-go prawa Kirchhoffa. Transformacji podlegają nie tylko sygnały, ale możemy mówić o transformacji całego obwodu, łącznie z elementami. Prowadzi to do adaptacji znanych już pojęć, lecz tym razem w znaczeniu operatorowym, takich jak. impedancja oraz admitancja operatorowa czy operatorowe prawo Ohma. Jeśli uda nam się przetrasformować w pełni obwód, czyli zarówno pod względem napięć, prądów, wymuszeń, elementów, to możemy mówić o SCHMACI OPATOOWYM OBWODU. UWAGA: Do rozwiązania napięć i prądów w schemacie operatorowym możemy wykorzystać wszystkie dostępne metody obwodowe. Stanowi to podstawę tzw. MTODY OPATOOWJ. Ostatecznie po rozwiązaniu obwodu metodą operatorową, szukane sygnały napięć czy prądów możemy odnaleźć jako transformatę odwrotną. Historia obwodu t<0 Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją Warunek początkowy dla t0- t0- Utworzenie schematu operatorowego z uwzględnieniem warunków początkowych, ódeł Wybór metody obwodowej oraz rozwiązanie obwodu ze względu na szukane prądy, napięcia w postaci transformat Metoda operatorowa Wyznaczenie transformaty odwrotnej szukanych sygnałów napięć oraz prądów t>0 9 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

10 .4 Przykłady analizy stanu nieustalonego metodą operatorową Załączanie szeregowej gałęzi na napięcie stałe t 0 Dane: e t const i(t) u (t)., Szukane: it. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie warunku początkowego dla t0-2. Schemat operatorowy po komutacji s Dane: I(s) (s) s U (s) U (s) it i0 0A 0A { } e( t) s s, i 0 0 zerowe warunki początkowe s Szukane: I ( s ) 0 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

11 Ze względu na zerowe warunki początkowe obwód reprezentuje schemat z jednym wymuszeniem operatorowym i układem połączeń impedancji operatorowych. Wykorzystamy metodę przekształceń (redukcji obwodu). Dalej prawo Ohma operatorowo: I s Z s + s s Z s s s s s ( + ) ( + ) 3. Szukane it znajdziemy jak transformatę odwrotną I ( s ) Po pierwsze przygotowujemy informacje o liczniku i mianowniku danej transformaty: st s 0 { }, brak zer transformaty I ( s ) { } st M s 2, miejsca zerowe mianownika tj. bieguny transformaty: ( ) Stąd określamy bieguny i ich krotności: s 0, n 2 2 M s 0 s s+ 0 s, n Sprawdzamy warunki:. stopień wielomianu licznika (s) jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika M(s), czyli st{(s)} < st{m(s)} ( 0 < 2 ), 2. ułamek s M s jest nie skracalny, tzn. miejsca zerowe (s) są różne od miejsc zerowych M(s). Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

12 Wykorzystanie rozkładu na ułamki proste: r n i Aik A A2 A A2 I( s) + + k i k ss ss ss s s+ / i 2 Wyznaczamy współczynniki rozkładu dla pierwszego bieguna s 0, n A lim s s ( s) s 0 F lim s 0 s ( s+ / ) Wyznaczamy współczynniki rozkładu dla drugiego bieguna s 2, n2 2 lim lim A ( s / 2 s ) / s / + / s( s+ / ) lim s s Ostatecznie I(s) w rozkładzie na ułamki proste przyjmie postać: I( s) s s+ / Wykorzystując tabele transformat oraz własności odnajdujemy poszczególne składniki oryginału i(t): it t e t e t t t () () () () 2 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

13 W otrzymanym rozwiązaniu wyróżnić możemy składnik związany z wymuszeniem stałym, tj. składową t wymuszoną (ustaloną) (), oraz składową swobodną (przejściową) () t t0 i(t) τ iu ( t) t i () t e, dla t > 0 ip ( t) t e t - Polecenie: proszę sprawdzić powyższe rozwiązanie metodą klasyczną wykład 2. 3 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

14 Obwód rozgałęziony zawierający gałęzie aktywne, dwa oczka Dane: e t const. t 0 i (t) i(t) () i t I const, Szukane: it. t<0, analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie warunku początkowego dla t0- Przed komutacją obwód pracował ze zwartą gałęzią i (t). Jedynym aktywnym ódłem było ódło napięcia stałego, co przy gałęziach zbudowanych z pozwoliło potraktować obwód przed komutacją jako obwód czysto rezystancyjny. i 2 (t) i (t) i(t) 3 2 ZAST + i () t i0 3 () i() t it Stąd: ZAST 4 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

15 2. Schemat operatorowy po komutacji V(s) Dane: I (s) I s s I(s) I (s) I ( s) i 0 I s 3, ( s) s Szukane: I( s) it - { } i(0-) (s) s Obwód reprezentuje układ dwu-oczkowy z wieloma wymuszeniami, ale o strukturze drabinkowej (dwu-węzłowej). Decydując się na metodę rozwiązania takiego obwodu możemy zaproponować metodę potencjałów węzłowych, metodę Thevenina czy metodę równań Kirchhoffa. Podkreślmy jeszcze raz znaczenie operatorowej reprezentacji obwodu. Dzięki transformacji całego obwodu do dziedziny s przenosimy ciężar poszukiwania rozwiązania na analizę obwodu znanymi już metodami obwodowymi. Mając pewne doświadczenie możemy wybrać metodę, która w szybki sposób pozwoli wyznaczyć transformatę szukanego sygnału. Dla porównania wyznaczymy w zadanym przypadku I(s) trzema metodami. Ostatnim krokiem jest wyznaczenie transformaty odwrotnej szukanej wielkości. 5 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

16 Ad 2. Wykorzystanie metody potencjałów węzłowych w zapisie operatorowym Dla przedstawionego obwodu w schemacie operatorowym istnieje tylko jeden węzeł niezależny i równanie metody potencjałów węzłowych dotyczyć będzie tylko jednego potencjału V(s): i( 0 ) i( 0 ) s s + 2 s + V( s) I ( s) + ; V ( s ) I ( s ) + s+ s+ ( s+ ) s+ s + s ( s + ) i( 0 ) ( s+ ) V s I s + s + 2 s + 2 s + s+ 2 ( s + ) I i( 0 s + s s + ) V(s) V( s) I(s) s+ 2 s+ 2 óżnica wyznaczonego potencjału i potencjału odniesienia wskazuje napięcie gałęziowe U(s), a następnie szukaną transformatę prądu I(s) wyznaczamy z operatorowego prawa Ohma dla tej gałęzi: s + i U s 0 I( s), U s V s V0 s V s s+ i(0-) U(s) 6 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

17 I s I s I s I s I s I s ( s + ) I ( s) + ( s) ( 0 ) i V( s) + i( 0 ) + i s + 2 s + 2 s+ s+ i( 0 ) i I ( 0 ) s + s + + s + 2 s+ 2 s+ I i( 0 ) i( 0 s + s ) + + s + 2 s + 2 s + s + + ( 0 ) + ( 0 )( + 2 ) I i i s s s + s + 2 s + 2 s + + ( 0 ) + ( 0 )( + 2 ) I i i s s s + s + 2 s + 2 s + + ( 0 ) ( + ) I i s s s + s 2 s + 2 s + + ( 0 ) + + ( 0 ) I s s i s Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

18 Po podstawieniu danych: I ( s), ( s) I s I, i( 0 ) s s 3 I I s + s I s s s s s 3 s + 2 s + 2 s s + 2 Ad 2.2 Wykorzystanie metody Thevenina w zapisie operatorowym [ ] a I(s) I (s) a I(s) a I (s) a I I (s) s s Thevenin (s) TH Z TH (s) s I I (s) s U (s) ab (s) TH Z (s) ab Z (s) TH i(0-) (s) s i(0-) (s) s b Z metody Thevenina szukany I(s) wyznaczymy jako: I s TH TH + ( 0 ) s i Z s + s+ b b b 8 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

19 Poszczególne składniki metody zastępczego ódła Thevenina potrzebne do wypełnienia powyższego wyrażenia wskazują powyższe obwody pomocnicze: U AB (s) TH (s), Z AB (s)z TH (s) ' +, : ' U s s I s s gdzie I s I s AB TH Z AB s ZTH s I s s I + + s + [ I+ ] I( s) s s s+ s s+ 2 Po podstawieniu danych I ( s), ( s), i( 0 ) 3 : *Porównaj efektywność wyznaczenia I(s) z metodą potencjałów węzłowych. Ad 2.3 Wykorzystanie metody równań Kirchhoffa I (s) I s s i(0-) I(s) I (s) (s) s Układ równań Kirchhoffa przyjmie postać: I s I s + I s ( s + ) I ( s) I ( s) ( s) i( 0 ) 0 9 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

20 Podstawiając I ( s) I ( s) I( s) ( s ) I( s) I ( s) I( s) ( s) i ( s + 2) I ( s) I ( s) + ( s) + i( 0 ) I ( s) + ( s) + i( 0 ) I s ( s + 2) I i 0 s s I s + + s + [ I+ ] s s 3 s 3 s + 2 s s + 2 Po podstawieniu danych I ( s), ( s) I s, 3 : *Porównaj efektywność wyznaczenia I(s) z metodą Thevenina oraz z metodą potencjałów węzłowych. 20 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

21 3. Wyznaczenie oryginału szukanego i(t) jako transformaty odwrotnej I(s) Właściwą odpowiedź uzyskamy przez realizację transformaty odwrotnej it I( s) { } Do tego celu możemy wykorzystać: metodę granic, metodę residuów oraz metodę sprowadzania do wspólnego mianownika. Jako przykład wyznaczymy i(t) z metody residuów. Polecam sprawdzenie uzyskanego wyniku stosując rozkład na ułamki proste z wykorzystaniem metody granic i metody sprowadzania do wspólnego mianownika. r i() t I() s I s e t i res st { } s s, I( s) i s + [ I ] [ ] + s + I s( s+ 2) 2 s s+. stopień wielomianu licznika (s) jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika M(s), czyli st{(s)} < st{m(s)} ( < 2 ), 2. ułamek s M s jest nie skracalny, tzn. miejsca zerowe (s) są różne od miejsc zerowych M(s). 2 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

22 Dalej określamy bieguny i ich krotności: 2 s 0, n s2, n2 r res st res st res st i() t { I( s) } s s I( s) e ( t) i s 0 I s e s2 I s e + / t i esiduum dla pierwszego bieguna s 0, n wyznaczymy jako: ( ) s + [ I+ ] s + [ I+ ] res st d s 0 I( s) e lim s 3 st st e 3 e s lim 0 ( )! ( ) s 0 ds 2 2 s s + s+ I [ I + ] + 22 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

23 esiduum dla drugiego bieguna s2 / 2, n2 wyznaczymy jako: ( ) s + [ I+ ] res st d 2 2 I( s) e lim s+ 3 s 2 s ( ) ( )! ds e 2 s s+ s + [ I + ] [ I + ] 3 e lim + e e e 2 s s t t t st I I st Ostatecznie szukany oryginał: 2 t res st res st I I it s 0 I se + 2 I se t + + e t s () () () 23 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

24 Wymuszenie sinusoidalne oraz metoda wektora wirującego Niejednokrotnie powtarzaliśmy, że w przypadku stanu nieustalonego przy wymuszeniu sinusoidalnym, nie możemy stosować metody symbolicznej, tj. zastąpienia sygnałów sinusoidalnych ich statyczną reprezentacją wektorową (wskazową), a elementów C obwodu impedancją zespoloną. Takie postępowanie było możliwe tylko w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. W trakcie stanu przejściowego mamy do czynienia z sygnałami, które różnią się od sinusoidy, np. sygnały wykładnicze, czy oscylacje zanikające lub rosnące, dla których reprezentacja za pomocą statycznego wektora jest niewystarczająca. Jeśli jednak spojrzymy na wymuszenie sinusoidalne jak część urojoną funkcji zespolonej, czyli wirującego wektora, wtedy możemy zaadoptować zapis wektora wirującego do analizy stanu nieustalonego. Jest to bardzo efektywne narzędzie zwłaszcza w przypadku stosowania metody operatorowej. Przypomnijmy relacje pomiędzy funkcją zespoloną a sygnałem sinusoidalnym: { } ( + ) { } j ωt ψ jψ j( ωt) () sin Im () Im Im{ } f f f t Fm ωt+ ψ f f t Fme Fme e Korzyści w zastosowaniu zapisu wektora wirującego w metodzie operatorowej upatruje się w wygodnej formie transformaty aplace a w porównaniu do bezpośredniej transformaty aplace a samego sygnału sinusoidalnego. 24 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

25 Bezpośrednia transformata aplace a ω + ω { Fm sin( ωt) } 2 2 s ( ωt ψ f ) { F sin } m + { sin cos cos sin } ( ω ) ( ψ ) ( ω ) ( ψ ) ( f ) s sin( f ) F t + t m f f ω cos ψ ψ Fm + F 2 2 m 2 2 s + ω s + ω Transformata aplace a wektora wirującego { j ωt } j0 Fe m { jψ j( ωt) } m F m Fe m s jω s jω jψ Fe e Fe m s jω f f Fm s jω Spróbujmy wykorzystać transformatę wektora wirującego w analizie obwodu C załączanego na napięcie sinusoidalne: Dane: Szukane t 0 i(t) u (t) e(t) u C (t) C sin( ω + ψ ) et t C, m e u c ( t ) e(t) m sin(ωt+ψ e ) 25 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

26 . t<0, analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie warunku początkowego dla t0- Obwód przed komutacją pracował bezenergetycznie, czyli ( u ) c 0 0V 2. Schemat operatorowy po komutacji z wykorzystaniem transformaty aplace a wektora wirującego: I(s) j j( t) j ψ ω ψ m (s) U (s) U C (s) sc { } m e e s e e me s jω s jω { } ; { } ; { } C C I s i t U s u t U s u t Korzystając z dzielnika napięcia: UC s s sc s sc ( s) + sc + sc + sc sc m m UC ( s) s jω sc + C s + ( s j ω) C 26 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

27 3. Wyznaczenie oryginału szukanego uc(t) z wykorzystaniem transformaty aplace a wektora U s : wirującego C Przygotujemy U C s w formie rozkładu na ułamki proste względem biegunów: s, n s2 jω, n2 C U C ( s) m A A2 C + s j s+ ( s jω ) s+ C C ( ω) Współczynniki rozkładu znajdziemy wykorzystując metodę granic: A A m C m m s + s + C C C jωc s jω + jω C lim m m m s jω ( s jω ) C C s + ( s j ω) ( jωc) C + jω + C lim s C 2 27 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

28 ozkład na ułamki proste wektora wirującego UC m m UC ( s) ( j ω + + C) ( + j C) ( s j ) s ω + ω C Dodatkowo wprowadźmy następujące przekształcenie: ωc s przyjmie postać: π j ϕ+ j 2 jϕ 2 ( + jωc) jωc j ωce Ze ωcze gdzie: 2 2 Z + ωc - moduł impedancji zespolonej w stanie ustalonym, ϕ actg ωc j e e ψ Pamiętając, że amplituda zespolona rozwija się w formę U C ( s) e π - argument impedancji zespolonej w stanie ustalonym. e jψ e jψ e m m + π π j ϕ+ j ϕ+ ( s jω ) 2 2 ωcze s + C ωcze m, można opisać U m C s formą: 28 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

29 j π π ψeϕ j e 2 ψ ϕ m 2 m UC ( s) e + e ωcz ωcz s jω s + C u ( ) Wyznaczenie oryginał szukanego napięcia C ( t ) odbędzie się w dwóch krokach: UC ( s) uc () t - wyznaczenie oryginału wektora wirującego uc( t) UC( s) u ( t) u ( t) { } C C - wyznaczenie sygnału szukanego napięcia z postaci wektora wirującego u () Im{ ()} C t uc t A zatem oryginał wektora wirującego (funkcja zespolona): j π π ψeϕ t j e m 2 ψ ϕ C m 2 { } C () uc t U s e e + e e ωcz ωcz t m C π π e cos ψe ϕ j sin ψe ϕ ωcz m π π + cos ωt ψe ϕ jsin ωt ψe ϕ ωcz jωt 29 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski

30 Ostatecznie szukane napięcie na kondensatorze: () { ()} t m C π m π uc t Im uc t e sin ψe ϕ sin ωt ψe ϕ ωcz ωcz 2 t m C m e cos( e ) cos ( t e ) ωcz ψ ϕ ωcz ω + ψ ϕ π Wykorzystano: sin α cos( α ) 2 30 Współautor kursu: dr inż. Piotr uczewski