Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
|
|
- Kinga Gajewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018
2 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona. O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi (rozpatrywanego punktu pracy P) powraca do niej (do pewnego stanu K) po ustaniu działania czynników (zakłóceń z), które go z tego stanu wytrąciły. W przypadku układów liniowych, zachowanie się układu po zaniku oddziaływania, które wytrąciło go ze stanu równowagi, jest cechą charakterystyczną danego układu i nie zależy od przebiegu oddziaływania przed jego zanikiem. (łatwa analiza) W przypadku układów nieliniowych, ich zachowanie pod wpływem wymuszeń i po ich zaniku może zależeć od punktu pracy układu oraz od rodzaju i wielkości wymuszeń. (trudna analiza)
3 Stabilność Możliwe są trzy rodzaje zachowań układów po wytrąceniu ze stanu równowagi: 1 Układ nie osiąga stanu równowagi - układ niestabilny; szczególnym przypadkiem takiego zachowania jest wykonywanie przez układ oscylacji o stałej amplitudzie - układ na granicy stabilności. 2 Układ powraca do stanu równowagi w punkcie pracy zajmowanym przed wytrąceniem go ze stanu równowagi - układ stabilny asymptotycznie, 3 Układ osiąga stan równowagi w innym punkcie pracy niż początkowy - układ stabilny nieasymptotycznie, Rysunek 1: Układ a) niestabilny, b) stabilny asymptotycznie, c) stabilny nieasymptotycznie
4 Odpowiedź na wymuszenie impulsowe Wymuszenie impulsowe jest najprostszym przypadkiem wymuszenia, pozwalającego określić stabilność liniowego układu dynamicznego. Impuls - Delta Diraca x(t) = δ(t) = { 0 dla t 0 dla t = 0 (1) x(s) = 1 (2) Odpowiedź na wymuszenie impulsowe wyznacza się korzystając z zależności y(t) u(t)=δ = L 1 {G(s)x(s)} dla x(s)=1 y(t) = L 1 {G(s)} (3)
5 Odpowiedź na wymuszenie impulsowe Wybrane orginały trasformat Laplace po wymuszeniu impulsowym, przydatne do analizy: { } { } 1 1 L 1 = 1(t) (4) L 1 = e αt s s ± α (6) { } { } 1 L 1 s 2 = t (5) L 1 1 (s ± α) 2 = te αt (7) { } ( ) As + B L 1 s 2 = Ae C 2 t cos t D C Cs + D 4 ( ) 2B AC + e C 2 t sin t D C (8) 2 4D + C 2 4 jeżeli: C 2 4D < 0 (nie ma pierwiastków rzeczywistych).
6 Odpowiedź na wymuszenie impulsowe Rysunek 2: Przykładowe odpowiedzi impulsowe układów: 1, 2 stabilnych nieasymptotycznie, 3, 4 - stabilnych asymptotycznie, 5, 6 niestabilnych, 7 układ na granicy stabilności (drgania niegasnące)
7 Stabilność Równanie ruchu liniowego, stacjonarnego układu dynamicznego a n d (n) y(t) dt (n) + + a 1 dy(t) dt Transmitancja operatorowa Odpowiedź impulsowa + a 0 = b m d (m) u(t) dt (m) + + b 1 du(t) dt + b 0 (9) G(s) = Y (s) U(s) = b ms m + + b 2 s 2 + b 1 s + b 0 a n s n + + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 (10) y(t) u(t)=δ = g(t) = L 1 {G(s)} (11) Równanie charakterystyczne - mianownik transmitancji operatorowej
8 Stabilność asymptotyczna Przypadek 1: Równanie charakterystyczne ma tylko ujemne, pojedyncze pierwiastki rzeczywiste. G(s) = L(s) a n (s s 1 )(s s 2 )... (s s n ) (12) Po rozłożeniu na ułamki proste G(s) = C 1 + C C n (13) s s 1 s s 2 s s n g(t) = L 1 {G(s)} = C 1 e s1t + C 2 e s2t C n e snt (14) lim g(t) = 0 jeżeli s 1,..., s n < 0 (15) t
9 Stabliność asymptotyczna Rysunek 3: Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s
10 Stabilność asymptotyczna Przypadek 2: Równanie charakterystyczne ma jeden podwójny, ujemny, pierwiastek rzeczywisty, a pozostałe pierwiastki są pojedyncze, ujemne, rzeczywiste. L(s) G(s) = a n (s s 1 ) 2 (16) (s s 3 )... (s s n ) Po rozłożeniu na ułamki proste G(s) = C 1 s s 1 + C 2 (s s 1 ) 2 + C 3 s s C n s s n (17) g(t) = L 1 {G(s)} = C 1 e s1t + C 2 te s1t + C 3 e s3t C n e snt (18) lim g(t) = 0 jeżeli s 1,..., s n < 0 (19) t ponieważ funkcja wykładnicza e s1t s1<0 maleje szybciej niż rośnie t.
11 Stabliność asymptotyczna Rysunek 4: Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s
12 Stabilność nieasymptotyczna Przypadek 3: Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek zerowy a pozostałe pierwiastki pojedyncze ujemne rzeczywiste G(s) = L(s) a n (s)(s s 2 )... (s s n ) (20) Po rozłożeniu na ułamki proste G(s) = C 1 s + C C n (21) s s 2 s s n g(t) = L 1 {G(s)} = C 1 + C 2 e s2t C n e snt (22) lim g(t) = C 1 jeżeli s 2,..., s n < 0 (23) t
13 Stabliność nieasymptotyczna Rysunek 5: Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s
14 Brak stabilności Przypadek 4: Równanie charakterystyczne ma dwa (lub więcej) pierwiastki zerowe a pozostałe pierwiastki pojedyncze ujemne rzeczywiste. G(s) = L(s) a n (s) 2 (s s 3 )... (s s n ) (24) Po rozłożeniu na ułamki proste G(s) = C 1 s + C 2 (s) 2 + C C n (25) s s 3 s s n g(t) = L 1 {G(s)} = C 1 + C 2 t + C 3 e s3t C n e snt (26) lim g(t) = układ jest niestabilny bo C 2t (27) t
15 Brak stabilności Rysunek 6: Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s
16 Stabilność asymptotyczna (oscylacje) Przypadek 5: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pierwiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone - o ujemnych częściach rzeczywistych s 1 = a + jb, s 2 = a jb (28) G(s) = po rozłożeniu na ułamki proste L(s) a n (s 2 2as + a 2 + b 2 )(s s 3 )... (s s n ) (29) G(s) = C 1 s + C 2 (s 2 2as + a 2 + b 2 ) + C C n (30) s s 3 s s n g(t) = L 1 {G(s)} = C 1 e at cos(bt)+ C 2 + ac 1 e at sin(bt)+c 3 e s3t +...+C n e snt b (31) lim g(t) = 0 jeżeli a < 0, i Re(s 3),..., Re(s n ) < 0 (32) t
17 Stabilność asymptotyczna (oscylacje) Rysunek 7: Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s
18 Brak stabilności (granica stabliności) Przypadek 6: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pierwiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone o zerowych częściach rzeczywistych x 1 = jb, x 2 = jb (33) G(s) = po rozłożeniu na ułamki proste L(s) (s 2 + b 2 )(s s 3 )... (s s n ) (34) G(s) = C 1s + C 2 (s 2 + b 2 ) + C C n (35) s s 3 s s n g(t) = L 1 {G(s)} = C 1 cos(bt) + C 2 b sin(bt) + C 3e s3t C n e snt (36) Jeżeli s3,..., sn < 0, to układ jest na granicy stabilności, w którym ustalają się drgania niegasnące (funkcje okresowe nie mają czynnika ekspotencjalnego).
19 Brak stabilności (granica stabliności) Rysunek 8: Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s
20 Stabilność Reasumując można stwierdzić, że: Układ jest stabilny asymptotycznie, jeżeli jego równanie charakterystyczne układu ma pierwiastki rzeczywiste ujemne lub zespolone o ujemnych częściach rzeczywistych. Układ ten jest stabilny nieasymptotycznie jeżeli jego równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków rzeczywistych ujemnych lub o ujemnych częściach rzeczywistych ma jeden pierwiastek zerowy. Układ ten jest niestabilny jeżeli jego równanie charakterystyczne ma więcej niż jeden pierwiastek zerowy lub pierwiastki rzeczywiste dodatnie lub zespolone o dodatnich częściach rzeczywistych. Układ jest na granicy stabilności (generuje drgania niegasnące) jeżeli równanie charakterystyczne układu nie ma więcej niż jednego pierwiastka zerowego i nie ma pierwiastków rzeczywistych dodatnich lub zespolonych o dodatnich częściach rzeczywistych, natomiast ma pierwiastki zespolone o zerowych częściach rzeczywistych.
21 Stabilność - kryteria stabilności Do oceny stabilności układów liniowych wystarczy znajomość rozkładu pierwiastków równania charakterystycznego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Problemy, które się pojawiają przy tej metodzie obliczanie pierwiastków równań wyższych rzędów nie jest łatwe, nie zawsze znane jest równanie charakterystyczne układu. Inne metody określania stabilności tzw. kryteria stabilności, które nie wymagają wyznaczania wartości pierwiastków równania charakterystycznego: kryteria analityczne (Hurwitza, Routha), kryteria graficzne (kryterium Michajłowa, metoda Evansa), kryteria graficzno analityczne (kryterium Nyquista, rozkład D).
22 Kryterium Hurwitza Kryterium Hurwitza Kryterium Hurwitza umożliwia sprawdzenie, czy równanie algebraiczne dowolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki ujemne lub o częściach rzeczywistych ujemnych. Zastosowanie jego ograniczone jest do stacjonarnych liniowych układów o parametrach skupionych (LTI) i transmitancji danej w postaci analitycznej. Równanie algebraiczne stopnia n o stałych rzeczywistych współczynnikach a n d (n) y(t) dt (n) + a n 1 d (n 1) y(t) dt (n 1) + + a 1 dy(t) dt + a 0 (37) ma wszystkie pierwiastki ujemne, lub o ujemnych częściach rzeczywistych, jeżeli są spełnione dwa warunki, zwane warunkami Hurwitza. 1 WARUNEK I: Wszystkie współczynniki a 0, a 1,..., a n, tego równania są różne od zera i są jednakowego znaku, 2 WARUNEK II: Wszystkie wyznaczniki minorów głównych tzw. macierzy Hurwitza n są większe od zera
23 Kryterium Hurwitza Macierz Hurwitza Macierz Hurwitza ma następującą postać a n 1 a n a n 3 a n 2 a n a n 5 a n 4 a n n = a 2 a 3 a a 0 a 1 a a 0 n n (38) W przypadku warunku II, wystarczy policzyć wyznczniki minorów 2,..., n 1.
24 Kryterium Hurwitza- przykład 1 Wyznaczyć macierz Hurwitza dla równania czwartego stopnia a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 (39) a 3 a = a 1 a 2 a 3 a 4 0 a 0 a 1 a a 0 (40) Jego podwyznacznikami głównymi są: 2 = a 3 a 1 a 4 a 2 (41) a 3 a = a 4 a 2 a 0 0 a 3 a 1 (42)
25 Kryterium Hurwitza - przykład 2 Wyznaczyć zakres wartości wzmocnienia k p, zapewniający stabilną pracę układu. G s = 1 (Ts+1) (Ts+1) 4 k p = 1 (Ts + 1) 4 + k p (43) Równanie charakterystyczne układu: (Ts + 1) 4 + k p = 0 (44)
26 Kryterium Hurwitza - przykład 2 cd. Równanie charakterystyczne układu: (Ts + 1) 4 + k p = 0 (45) czyli T 4 s 4 + 4T 3 s 3 + 6T 2 s 2 + 4Ts k p = 0 (46) a 4 = T 4, a 3 = 4T 3, a 2 = 6T 2, a 1 = 4T, a 0 = 1 + k p (47) I. warunek Hurwitza będzie spełniony, jeżeli a 0 = 1 + k p > 0, czyli gdy k p > 1 (48)
27 Kryterium Hurwitza - przykład 2 cd Macierz Hurwitza a 3 a = a 1 a 2 a 3 a 4 0 a 0 a 1 a 2 = a 0 4T 3 4T 0 0 4T 6T 2 4T 3 T k p 4T 6T k p (49) II. warunek Hurwitza będzie spełniony, jeżeli ( ) 4T det( 2 ) = det 3 4T 4T 6T 2 > 0 (50) det( 3 ) = det 4T 3 4T 0 4T 6T 2 4T k p 4T > 0 (51)
28 Kryterium Hurwitza - przykład 2 cd det( 2 ) = 24T 5 4T 5 = 20T 5 > 0 (52) det( 3 ) = 96T 6 16T 6 16T 6 k p 16T 6 = 64T 6 16T 6 k p > 0 (53) czyli z II warunku Hurwitza k p < 4 (54) I. i II. warunek Hurwitza będą spełnione, jeżeli 1 < k p < 4 (55)
29 Kryterium Hurwitza Uwagi do kryterium Hurwitza UWAGA 1: Możliwość wystąpienia stabilności nieasymptotycznej zachodzi gdy w równaniu charakterystycznym stopnia n współczynnik a 0 = 0 (równanie ma jeden pierwiastek zerowy), natomiast pozostałe współczynniki są większe od zera. Po podzieleniu stron równania charakterystycznego przez s, otrzymuje się równanie stopnia n 1, w odniesieniu do którego należy zastosować kryterium Hurwitza w celu sprawdzenia znaku pozostałych pierwiastków. Jeżeli równanie to spełni warunki Hurwitza to oznaczać będzie, że układ posiada jeden pierwiastek zerowy a pozostałe pierwiastki są ujemne lub mają części rzeczywiste ujemne i sprawdzany układ jest stabilny nieasymptotycznie. UWAGA 2: Kryterium Hurwitza nie umożliwia badania stabilności układu z opóźnieniami.
30 Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista umożliwia ocenę stabilności układu zamkniętego na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego. Transmitancja układu zamkniętego G Z (s) = G 1 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s) (56) Transmitancja układu otwartego G 0 (s) = G 1 (s)g 2 (s) (57)
31 Uproszczone kryterium Nyquista Uproszczone kryterium Nyquista W przypadku kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich częściach rzeczywistych (może mieć dowolna liczbę pierwiastów zerowych), układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu o współrzędnych { 1, j0}. Nie obejmuje oznacza, że przy przesuwaniu się wzdłuż charakterystyki w kierunku wzrastających pulsacji, punkt { 1, j0} pozostaje po lewej stronie charakterystyki UWAGA: Uproszczone kryterium Nyquista nie obejmuje przypadków kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego, oprócz ujemnych lub zerowych, ma także pierwiastki dodatnie lub o dodatnich częściach rzeczywistych.
32 Kryterium Nyquista Cechy kryterium Nyquista charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego, na podstawie której określana jest stabilność układu zamkniętego, może być łatwo wyznaczana analitycznie lub doświadczalnie, kryterium umożliwia nie tylko stwierdzenie faktu stabilności, lecz także umożliwia projektowanie układu o określonych właściwościach dynamicznych, kryterium umożliwia badanie stabilności układów zawierających elementy opóźniające.
33 Kryterium Nyquista Rysunek 9: Charakterystyki aplitudowe-fazowe układu otwartego w przypadku 1) stabilnego układu zamkniętego, 2) niestabilnego układu zamkniętego Warunki Nyquista M(ω π ) < 1; gdzie ω π : ϕ(ω π ) = π (58) ϕ(ω p ) > π; gdzie ω p : M(ω p ) = 1 (59)
34 Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układów stabilnych Rysunek 10: Przykłady charakterystyk amplitudowo fazowych układów otwartych, odpowiadających: stabilnym układom zamkniętym - charakterystyka nie obejmuje punktu { 1, j0}
35 Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układów niestabilnych Rysunek 11: Przykłady charakterystyk amplitudowo fazowych układów otwartych, odpowiadających: niestabilnym układom zamkniętym - charakterystyka obejmuje punkt { 1, j0}
36 Kryterium Nyquista
37 Kryterium Nyquista - charaktersytyki Bodego Warunki Nyquista dla charakterystyk amplitudowej i fazowej L(ω π ) = 20 log M(ω π ) < 0; (60) ϕ(ω p ) > π; gdzie L(ω p ) = 0 (61)
38 Kryterium Nyquista - zapas modułu i zapas fazy Zapas modułu M = 1 M(ω π ) (62) L = 20 log M(ω π ) (63) Zapas fazy ϕ = π + ϕ(ω p ) (64) Zapas modułu i fazy układu stabilnego ma wartości dodatnie. PRAKTYKA PRZEMYSŁOWA 30 deg < ϕ < 60 deg (65) 2 M 4 6dB L 12dB (66)
39 Kryterium Nyquista - przykład 1 Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu G 0 (s) = 1 s 3 + 3s 2 + s G 0 (jω) = iω 3 3ω 2 + jω + 1 = 1 1 3ω 2 j(ω ω 3 1 3ω 2 + j(ω ω 3 ) 1 3ω 2 j(ω ω 3 ) = 1 3ω 2 (1 3ω 2 ) 2 + (ω ω 3 ) 2 + j (ω ω 3 ) (1 3ω 2 ) 2 + (ω ω 3 ) 2 Część rzeczywista i urojona (67) (68) P(ω) = 1 3ω 2 (1 3ω 2 ) 2 + (ω ω 3 ) 2 ; Q(ω) = (ω ω 3 ) (1 3ω 2 ) 2 + (ω ω 3 ) 2 (69)
40 Kryterium Nyquista - przykład 1 Część rzeczywista Część urojona P(ω) = Q(ω) = 1 3ω 2 (1 3ω 2 ) 2 + (ω ω 3 ) 2 (70) (ω ω 3 ) (1 3ω 2 ) 2 + (ω ω 3 ) 2 (71) ω 0 1/3 1 P(ω) Q(ω)
41 Rzeczywisty kształt charakterystyki - MATLAB
42 Kryterium Nyquista - przykład 2 Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu i wyznaczyć zapasy stabilności G 0 (s) = (0.1s + 1)(0.001s + 1) 0.3s (72)
43 Kryterium Nyquista - przykład 2 G 0 (s) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) (73) czyli 1 1 G 0 (s) = s s s (74) W przypadku połączenia szeregowego sumuje się charakterystyki Bode go poszczególnych elementów. L 0 (ω) = L 1 (ω) + L ω + L 3 (ω) + L 4 (ω) (75) ϕ 0 (ω) = ϕ 1 (ω)+ϕ ω +ϕ 3 (ω)+ϕ 4 (ω) (76)
44 Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018
Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoBadanie stabilności liniowych układów sterowania
Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny
Bardziej szczegółowoUkład regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności
Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()
Bardziej szczegółowoLaboratorium z podstaw automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z podstaw automatyki Analiza stabilności obiektów automatyzacji, Wpływ sprzężenia zwrotnego na stabilność obiektów Kierunek studiów: Transport,
Bardziej szczegółowoStabilność. Krzysztof Patan
Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 część 1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 6 - Odpowiedź częstotliwościowa Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 37 Plan wykładu Wprowadzenie Podstawowe człony
Bardziej szczegółowoPAiTM. materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż.
PAiTM materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe
Wstęp teoretyczny Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji oraz korekta nastaw regulatora na
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - Charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 -, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych. W analizie
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoPrzeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan
Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:
Bardziej szczegółowoTransmitancje i charakterystyki częstotliwościowe. Krzysztof Patan
Transmitancje i charakterystyki częstotliwościowe Krzysztof Patan Transmitancja systemu czasu ciągłego Przekształcenie Laplace a systemu czasu ciągłego jest superpozycją składowych pochodzących od wymuszenia
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoSterowanie Serwonapędów Maszyn i Robotów
Wykład 3.1 - Modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje,
Bardziej szczegółowoKompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Kompensacja wyprzedzająca i opóźniająca fazę dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej Kształtujemy charakterystykę układu otwartego aby uzyskać: pożądane
Bardziej szczegółowoĆw. S-III.3 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR Badanie stabilności liniowego UAR
Dr inż Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI LABORATORIUM Ćw S-III3 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR Badanie stabilności liniowego UAR Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra InŜynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Stabilność systemów sterowania kryterium Nyquist a Materiały pomocnicze do ćwiczeń termin
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego
Bardziej szczegółowoCzęść 1. Transmitancje i stabilność
Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości
Bardziej szczegółowoukładu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:
Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na podstawie przebiegu wykresu funkcji G o ( jω) układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania
Bardziej szczegółowoKRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH
KRYTERIA ALEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH Zadie 1 Problem: Zbadać stabilność układu zamkniętego przedstawionego na schemacie według kryterium Hurwitza. 1 (s) (s) Rys 1. Schemat układu regulacji
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (3)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (3) Charakterystyki podstawowych członów dynamicznych Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili?
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM
Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 5 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 38 Plan wykładu Kompensator wyprzedzający Kompensator opóźniający
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny. Równanie modulatora. Charakterystyka statyczna. Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy. dla 0 v c.
Opis matematyczny Równanie modulatora Charakterystyka statyczna d t = v c t V M dla 0 v c t V M D 1 V M V c Po wprowadzeniu niewielkich odchyłek od ustalonego punktu pracy v c (t )=V c + v c (t ) d (t
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowo( 1+ s 1)( 1+ s 2)( 1+ s 3)
Kryteria stabilności przykład K T (s)= (s+1)(s+2)(s+3) = K /6 1 1+T (s) = (s+1)(s+2)(s+3) K +6+11s+6s 2 +s 3 ( 1+ s 1)( 1+ s 2)( 1+ s 3) Weźmy K =60: 1 1+T (s) =(s+1)(s+2)(s+3) 66+11s+6s 2 +s =(s+1)(s+2)(s+3)
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoK p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych
METODY DOBORU NASTAW 7.3.. Metody analityczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych 7.3.2 Metody doświadczalne 7.3.2.. Metoda Zieglera- Nicholsa 7.3.2.2. Wzmocnienie krytyczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 4 - algebra schematów blokowych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Schemat blokowy Schemat blokowy (strukturalny): przedstawia wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ eoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2016/2017
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 2 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 56 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 4 - algebra schematów blokowych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Schemat blokowy Schemat blokowy (strukturalny): przedstawia wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami
Bardziej szczegółowoREGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia
REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ Y o (s) - E(s) B(s) /T I s K p U(s) Z(s) G o (s) Y(s) T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 4 - algebra schematów blokowych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Schemat blokowy Schemat blokowy (strukturalny): przedstawia wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoKatedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji
Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.
Bardziej szczegółowo4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego
4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów
ĆWICZENIE 6 Transmitancje operatorowe, charakterystyki częstotliwościowe układów aktywnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów. Cel ćwiczenia Badanie układów pierwszego rzędu różniczkującego, całkującego
Bardziej szczegółowoanalogowego regulatora PID doboru jego nastaw i przetransformowanie go na cyfrowy regulator PID, postępując według następujących podpunktów:
Cel projektu. Projekt składa się z dwóch podstawowych zadań, mających na celu zaprojektowanie dla danej transmitancji: G( s) = m 2 s 2 e + m s + sτ gdzie wartości m 2 = 27, m = 2, a τ = 4. G( s) = 27s
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 6. Badanie
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 5 BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW ZE SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest ugruntowanie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 8 - Regulator PID Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 29 Plan wykładu regulator PID 2 z 29 Kompensator wyprzedzająco-opóźniający
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Jakość układu regulacji Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 2 - Modelowanie w dziedzinie częstotliwości Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 64 Plan wykładu Transformata Laplace
Bardziej szczegółowoLaboratorium z podstaw automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z podstaw automatyki Analiza stabilności, dobór układów i parametrów regulacji, identyfikacja obiektów Kierunek studiów: Transport, Stacjonarne
Bardziej szczegółowoLINIOWE UKŁADY DYSKRETNE
LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 7. Metoda projektowania
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne. dr hab. inż. Krzysztof Patan
Podstawowe człony dynamiczne dr hab. inż. Krzysztof Patan Człon proporcjonalny Równanie w dziedzinie czasu Transmitancja y(t) = Ku(t) Y (s) = KU(s) G(s) = Y (s) U(S) = K Transmiancja widmowa G(s) = K G(jω)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoUKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część II UKŁADY LINIOWE Z OPÓŹNIENIEM
UKŁADY JEDNOWYMIAROWE Część II UKŁADY LINIOWE Z OPÓŹNIENIEM 1 8. Wprowadzenie do części II W praktyce występują układy regulacji, których człony mogą przejawiać opóźnioną reakcję na sygnał wejściowy. Rozróżniamy
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoReakcja Bielousowa-Żabotyńskiego
Reakcja Bielousowa-Żabotyńskiego 1 Kryteria pomocne przy badaniu stabilności punktów stacjonarnych Często badamy układy dynamiczne w pobliżu punktów stacjonarnych. Rozważamy wtedy ich postać zlinearyzowaną:
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy
Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoAUTOMATYKA. dr hab. Andrzej Dębowski, prof. PŁ Instytut Automatyki
Kierunek: Transport AUTOMATYKA dr hab. Andrzej Dębowski, prof. PŁ Instytut Automatyki godz. przyjęć: wtorki 9 5 Instytut Automatyki, ul. Stefanowskiego 8/22 środy 8 5 2 Zakład Techniki Sterowania, al.
Bardziej szczegółowoLepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii
Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoRównania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (
Bardziej szczegółowo1. Transformata Laplace a przypomnienie
Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń
Bardziej szczegółowoUrz¹dzenie steruj¹ce. Obiekt. Urz¹dzenie steruj¹ce. Obiekt. 1. Podstawowe pojęcia. u 1. y 1 y 2... y n. z 1 z 2... z l.
Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str.. Podstawowe pojęcia z (t) z 2 (t)... u (t) u 2 (t). Obiet u m (t) z l (t) (t) 2 (t). n (t) u(t) z(t) Obiet (t) (a) u Rs. u u =
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoZadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej
Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE
Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 1 /18 ÓWNANIE ÓśNICZKOWE INIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach k, k, C k w k - tej gałęzi przy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo