PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Transkrypt

1 Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień: W, C Semestr: IV Liczba punktów: 4 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU C1. Wypracowanie u studentów umiejętności biegłego posługiwania się liczbami zespolonymi i zastosowania ich do rozwiązywania zadań. C. Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami, twierdzeniami i przykładami analizy zespolonej funkcji jednej zmiennej zespolonej. C3. Wypracowanie umiejętności obliczania pochodnych i całek funkcji zespolonych i ich zastosowań, badania zbieżności szeregów liczbowych i potęgowych, rozwijania w szeregi Taylora, Maclaurina. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II,III. Wiedza z zakresu algebry I. EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 Student wymienia podstawowe funkcje zespolone, zbiory i krzywe na płaszczyźnie zespolonej i potrafi podać podstawowe własności funkcji zespolonych.

2 EK Student potrafi obliczać granice ciągów i funkcji pochodne funkcji zespolonych, posługuje się równaniami Cauchy- Riemanna do wyznaczenia funkcji holomorficznej EK 3 - Student oblicza całki z funkcji zespolonych, potrafi zastosować twierdzenie oraz wzór całkowy Cauchy ego. EK4 - Student stosuje kryteria zbieżności szeregów liczbowych, oblicza promień zbieżności szeregu potęgowego, koło zbieżności, rozwija funkcje w szereg Taylora. TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć WYKŁADY Liczba godzin W 1 Płaszczyzna zespolona, płaszczyzna Gaussa. Zbiory na płaszczyźnie zespolonej W Definicja funkcji zespolonej część rzeczywista i urojona. Własności funkcji, funkcje jednokrotne i wielokrotne, funkcje okresowe. Funkcja wykładnicza i jej własności. W 3- Funkcje trygonometryczne i ich własności. Logarytm liczby zespolonej. Funkcja liniowa, homografia, obraz zbioru, przykłady W 4 Zbiory na płaszczyźnie zespolonej, przykłady. Definicja ciągu zespolonego oraz granicy właściwej i niewłaściwej. Twierdzenia dotyczące granic ciągu. W 5 Definicja granicy funkcji w punkcie. twierdzenia dotyczące granicy funkcji w punkcie. Ciągłość funkcji. Definicja pochodnej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji zmiennej zespolonej. Pochodna funkcji złożonej i odwrotnej. W 6 Warunek konieczny istnienia pochodnej, równania Cauchy ego Riemanna. Warunek wystarczający istnienia pochodnej. Funkcje holomorficzne. W 7,8 Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Krzywe na płaszczyźnie zespolonej. Parametryzacja krzywych na płaszczyźnie zespolonej. Całka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej. Twierdzenie Newtona Leibniza. Przykłady obliczania całek. W 9 Całka krzywoliniowa z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Własności tej całki. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną. Zwiazek z całkami krzywoliniowymi z funkcji rzeczywistych W 10 Twierdzenie całkowe Cauchy ego, wnioski z twierdzenia. Wzór całkowy Cauchy ego. Twierdzenie o pochodnych funkcji holomorficznej. 4 W 11 Szeregi zespolone, szeregi liczbowe, kryteria zbieżności. W 1,13 Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność zwykła i jednostajna. Szeregi potęgowe. 4

3 Twierdzenie Cauchy ego Hadamarda, zastosowanie Szeregi Taylora (Maclaurina) W14- Funkcje określone szeregiem potęgowym. Funkcje całkowite. Twierdzenie Liouville a. Zasada maksimum. W15-Punkty zerowe funkcji holomorficznej. Twierdzenie Morery. Nierówności Cauchy ego. Test zaliczeniowy. Forma zajęć ĆWICZENIA C 1 Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej. Wzory Moivre a. Obliczanie pierwiastków z liczby zespolonej. C Rozwiązywanie równań. Rysowanie zbiorów liczb zespolonych spełniających podane warunki. C 3 Wyznaczanie części rzeczywistej i urojonej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej. Dowodzenie wybranych własności funkcji exp(z). C 4 - Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie wybranych własności funkcji trygonometrycznych. Obliczanie logarytmów z liczb zespolonych. C 5 Wyznaczanie obrazów zbiorów przy zadanym odwzorowaniu. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem logarytmu zespolonego. Liczba godzin C 6 Obliczanie granic ciągów. Obliczanie granic funkcji zespolonych. C 7- Kolokwium I C 8 - Równania Cauchy ego Riemanna. Badanie holomorficzności funkcji. Wyznaczanie funkcji holomorficznej gdy znana jest jej część rzeczywista albo urojona. C 9- Obliczanie całek z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej. C 10,11 Obliczanie całek krzywoliniowych. Zamiana całek krzywoliniowych na całki oznaczone. Niezależność całki od drogi całkowania. Twierdzenie całkowe Cauchy ego, wzór całkowy Cauchy ego. C 1-13 Badanie zbieżności szeregów liczbowych zespolonych. Szeregi potęgowe. Wyznaczanie promienia zbieżności i koła zbieżności szeregu potęgowego. Rozwijanie funkcji w szereg Taylora. 4 C 14 Kolokwium II. C 15 Zera funkcji holomorficznej. Funkcje całkowite.

4 NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1 wykład w formie prezentacji multimedialnych i z wykorzystaniem tablicy. zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania 3 literatura SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA). ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń F. ocena aktywności podczas zajęć. ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów zaliczenie dwóch kolokwiów na ocenę* P ocena z testu zaliczeniowego z teorii *) warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest uzyskanie co najmniej 50% punktów z dwóch kolokwiów, OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącym Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Przygotowanie do kolokwiów Obecność na konsultacjach Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności 30W 30C 60 h 10 h 15 h 10 h 5 h 100 h 4 ECTS,6 ECTS,4 ECTS

5 LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA F. Leja, Funkcje zespolone, PWN Warszawa 1976 B. Szafnicki, Zadania z funkcji zespolonych, PWN Warszawa J. Długosz, Funkcje zespolone, teoria przykłady zadania, OW GiS Wrocław 005. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, PWN Warszawa 1977 W. Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część, PWN Warszawa PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES ) 1. dr Maria Lupa maria.lupa@im.pcz.pl. dr Wiesław Królikowski wiesław.krolikowski@im.pcz.pl MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Efekt kształcenia Odniesienie danego efektu do efektów zdefiniowanych dla kierunku Matematyka Cele przedmiotu Treści programowe Narzędzia dydaktyczne Sposób oceny EK1 K_U0 K_U09 K_U17 C1 W1-W4 C1-C5 1,,3 P F EK K_W0 K_W07 K_U0 K_U10 C W5-W6 C6,C8 1,,3 F P

6 EK3 K_W0 yk_w05 K_W07 K_U0 K_U14 C W8-9 C9, C1 1,,3 P F EK4 K_W05 K_U36 C3 W10-14 C ,,3 P F II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY Na ocenę Na ocenę 3 Na ocenę 4 Na ocenę 5 EK1 Student nie spełni a wymagań na ocenę dst. Student opanował Student dobrze częściowo własności opanował własności funkcji zespolonych. Zna podstawowych funkcji podstawowe krzywe i zespolonych, zna krzywe zbiory na płaszczyźnie na płaszczyźnie oraz zespolonej i potrafi zbiory punktów i potrafi wykorzystać tą wiedzę wykorzystać tę wiedzę do rozwiązywania do rozwiązywania zadań elementarnych zadań Student bardzo dobrze opanował własności poznanych funkcji zespolonych, zna krzywe na płaszczyźnie oraz zbiory punktów i potrafi wykorzystać tą wiedzę do rozwiązywania trudnych zadań. EK Student nie spełnia wymagań na dst. Student oblicza proste granice ciągów i funkcji pochodne funkcji posługuje się równaniami Cauchy- Riemanna. Student oblicza trudniejsze granice ciągów i funkcji zmiennej zespolonej, pochodne funkcji zmiennej zespolonej, posługuje się równaniami Cauchy- Riemanna. Student oblicza trudne granice ciągów i funkcji pochodne funkcji posługuje się równaniami Cauchy-Riemanna, formułuje warunki konieczny i wystarczający dla istnienia pochodnej.

7 EK3 Student nie spełnia wymagań na ocenę dst. EK4 Student nie spełnia wymagań na ocenę dst. Student oblicza proste całki z funkcji zespolonych. Student potrafi wymienić kryteria zbieżności szeregów liczbowych i poprawnie stosuje je rozwiązując elementarne zadania. Oblicza promień zbieżności szeregu potęgowego. Roywija proste funkcje w syereg Laurenta. Wyznacza proste transformaty Laplace a oraz ich oryginały Student oblicza całki z funkcji zespolonych różnymi sposobami. Student potrafi wymienić kryteria zbieżności szeregów liczbowych i poprawnie stosuje je rozwiązując zadania. Oblicza promień zbieżności szeregu potęgowego, koło zbieżności. Roywija funkcje w syereg Laurenta. Wyznacza transformaty Laplace a oraz ich oryginały. Student potrafi zastosować poznane twierdzenia do obliczania całek z funkcji zespolonych. Uzasadnia wybór metody rozwiązania. Student potrafi wymienić kryteria zbieżności szeregów liczbowych i poprawnie stosuje je rozwiązując trudniejsze zadania. Oblicza promień i koło zbieżności szeregu potęgowego. Roywija funkcje w syerteg Laurenta. Wyznacza transformaty Laplace a stosując własności transformat, zna różne metody wyznaczania oryginałów i oblicza oryginały. Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej. III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej: Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki: