Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM

Transkrypt

1 Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi Kraów, 014

2

3 Spis treści Spis treści 3 1 Przeształcenie Laplace a Obliczanie transformaty i transformaty odwrotnej Laplace a Rozwiązywanie równań różniczowych Modelowanie uładów fizycznych 9.1 Wyznaczanie równań wejściawyjścia Wyznaczanie transmitancji operatorowej Wyznaczanie macierzy przestrzeni stanów Rozwiązywanie równań różniczowych opisujących ułady fizyczne Schematy bloowe Tworzenie schematów bloowych Upraszczanie schematów bloowych opisujących Charaterystyi uładów fizycznych Charaterystyi czasowe Charaterystyi częstotliwościowe Stabilność uładów automatycznej regulacji Kryterium stabilności Hurwitza Kryterium stabilności Nyquista Kryterium stabilności Michajłowa Obliczanie sygnałów w uładach automatycznej regulacji Wyznaczanie sygnału błędu regulacji Wyznaczanie sygnału sterowania Rozwiazania zadań 3 3

4

5 Rozdział 1 Przeształcenie Laplace a 1.1 Obliczanie transformaty i transformaty odwrotnej Laplace a Zadanie 1 Oblicz transformatę Laplace a z wyrażenia: (a) L [x(t) + 4] (b) L [4x(t) + e 0.5t ] (c) L [6x(t) + t + e 3t ] (d) L [ dx dt + 4x(t) + ]; x(0) = 1 (e) L [4 d x dt 3x(t) + t]; x(0) = 1, ẋ(0) = 0.5 (f) L [ d x dt t (g) L [ x(τ)dτ + 4] 0 + dx dt + x(t) 3e 1 t ]; x(0) = 1, ẋ(0) = 0.5 (h) L [ dx dt t e t + dτ]; x(0) = (i) L [3t + dx dt + 5 x(t) + sin(t)]; x(0) = 3 (j) L [ e 3 t 3 dx dt + t cos(4t)]; x(0) = 1 5

6 () L [ dx dt + 1(t) x(t) 3]; x(0)=1.5 (l) L [4 dx dt t x(t) + 3x(t)]; x(0) = 0.5 * splot funcji Zadanie Oblicz transformatę Laplace a na podstawie przebiegu sygnału f(t): (a) (b) (c) 6

7 (d) Zadanie 3 Oblicz odwrotną transformatę Laplace a z wyrażenia: (a) L 1 [ 3 3s+1 ] (b) L 1 [ 4s+1 s(s+3) ] (c) L 1 [ 3s +s+1 s (s+) ] (d) L 1 [ 8 s +3 ] (e) L 1 [ 5 (s+3) 3 ] (f) L 1 [ s+3 (s+1)(4s+) ] (g) L 1 [ 4 s +4s+5 ] (h) L 1 [ 4s 4s +36 ] (i) L 1 [ s+1 + s+ (4s+)(s+3) ] (j) L 1 [ s s (s 1) s ] 3 1. Rozwiazywanie równań różniczowych Zadanie 4 Rozwiąż równania różniczowe przy użyciu przeształceń Laplace a (a) 3 ż(t) + z(t) t = 0; z(0) = 1 (b) ż(t) + z(t) = e 3t ; z(0) = 0 (c) z(t) + 3 ż = 1; ż(0) = 1, z(0) = 1 (d) ż(t) + 3 z(t) + 3 = t; z(0) = (e) ż(t) z(t) + t = 3; z(0) = 4 (f) ÿ(t) + 4 ẏ(t) + 4 y(t) = ; ẏ(0) = 1, y(0) = 1 (g) ÿ(t) 4 ẏ(t) = ; ẏ(0) = 1.5, y(0) = 0.5 7

8 (h) 4 ż(t) z(t) + t = 0; z(0) = 0.5 (i) ẍ(t) + ẋ(t) + x(t) = ; ẋ(0) = 1, x(0) = 0.5 (j) 6 ẍ(t) + 3 ẋ(t) + 6 x(t) = 3; ẋ(0) = 0, x(0) = 1 8

9 Rozdział Modelowanie uładów fizycznych.1 Wyznaczanie równań wejściawyjścia Zadanie 1 Na podstawie schematów wyznaczyć równania wejściawyjścia przedstawionych uładów mechanicznych. (a) F(t) siła wejściowa; z(t) przemieszczenie wyjściowe (c) u(t) przemieszczenie wejściowe; v(t) przemieszczenie wyjściowe z(t) m 1 c b v(t) a u(t) F(t) (b) u(t) przemieszczenie wejściowe; v(t) przemieszczenie wyjściowe (d) M(t) moment obrotowy wejściowy; ϕ(t) wyjściowy ąt obrotu u(t) m v(t) c φ(t) M(t) J założyć bra oporów toczenia c tarcie suche Zadanie Na podstawie schematów wyznaczyć równania wejściawyjścia przedstawionych uładów eletrycznych. 9

10 (a) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe R1 (c) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe L U (t) we R U (t) wy U (t) we R U (t) wy i(t) i(t) (b) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe (d) U we (t) napięcie wejściowe; q(t) ładune wyjściowy R L R U (t) we C U (t) wy U (t) we i(t) i(t) C. Wyznaczanie transmitancji operatorowej Zadanie 3 Na podstawie równań wejściawyjścia opisujących ułady fizyczne napisać transmitancję operatorową. (a) 3 ẏ(t) + 4 y(t) = x(t) (b) 4 v(t) + 5 v(t) + v(t) = 3 u(t) + u(t) (c) R C U (t) + U (t) = U 1 (t) (d) m ÿ(t) + 1 c ẏ(t) + 1 y(t) = 1 b ẋ(t) + 1 x(t) Zadanie 4 Na podstawie schematów uładów fizycznych z zadania 1 i zapisane równania wejściawyjścia przeształcić na postać transmitancji operatorowej..3 Wyznaczanie macierzy przestrzeni stanów Zadanie 5 Na podstawie równań wejściawyjścia opisujących uład fizyczny wyznaczyć równania stanu oraz macierze A,B,C,D. (a) z(t) ż(t) + z(t) = F (t) 10

11 (b) 4... v (t) + 8 v(t) + v(t) + 8 v(t) = u(t) (c) z(t) + 3 ż(t) + 3 z(t) = q(t) + 3 q(t) (d) J L ω(t) + (R J + B L) ω(t) + (R B + ) ω(t) = U(t) (e) m ÿ(t) b ẏ(t) y(t) = 0.5 b ẋ(t) x(t) Zadanie 6 Na podstawie schematów uładów fizycznych wyznaczyć równania stanu oraz macierze A,B,C,D. (a) F(t) siła; z(t)) przemieszczenie (d) v(t) prędość; y(t) przemieszczenie z(t) b m F(t) v(t) b m y(t) (b) u(t) przemieszczenie; y(t) przemieszczenie (e) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe u(t) m y(t) U we(t) R C C U wy (t) b L (c) F(t) siła; y(t) przemieszczenie y(t) (f) U we (t) napięcie wejściowe; U wy (t) napięcie wyjściowe F(t) m b U we(t) i(t) L R R C U wy (t) 11

12 .4 Rozwiazywanie równań różniczowych opisujacych ułady fizyczne Zadanie 7 Wyznacz równania różniczowe wejściawyjścia przedstawionych uładów, a następnie je rozwiąż uwzględniając waruni początowe. (a) U we (t) = U 0 1(t); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. zerowe waruni początowe R (c) U we (t) = U 0 1(t); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. zerowe waruni początowe L U (t) we C U (t) wy U (t) we R U (t) wy i(t) i(t) (b) U we (t) = U 0 (1 e αt ); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. α = 1 ; RC zerowe waruni początowe (d) U we (t) = U 0 1(t); U wy (t) napięcie wyjściowe; U 0 =const. zerowe waruni początowe R R U (t) we C U (t) wy U (t) we L U (t) wy i(t) i(t) 1

13 Rozdział 3 Schematy bloowe 3.1 Tworzenie schematów bloowych Zadanie 1 Na podstawie przedstawionych uładów fizycznych narysuj pełny schemat bloowy. (a) x(t) przemieszczenie; y(t) przemieszczenie y(t) m (c) x(t) przemieszczenie; y(t) przemieszczenie x(t) y(t) x(t) b b m (b) u(t) przemieszczenie ; v(t) przemieszczenie wyjściowe b a u(t) c v(t) 3. Upraszczanie schematów bloowych opisujacych Zadanie Wyznacz transmitancję zastępczą przedstawionych schematów metodą analityczną oraz poprzez przeształcanie schematu bloowego. 13

14 (a) G H 3 G (b) + G H G (c) G G + H (d) G H G (e) G1 G H 14

15 Rozdział 4 Charaterystyi uładów fizycznych 4.1 Charaterystyi czasowe Zadanie 1 Wyznacz wzór na odpowiedź impulsową uładu opisanego transmitancją operatorową. (a) G(s) = 4 s+3 (b) G(s) = 4 (3 s+1) 3 s (c) G(s) = (3 s+) ( s+1) (d) G(s) = 4 s 5 s+ Zadanie Wyznacz wzór na odpowiedź soową uładu opisanego transmitancję operatorową. (a) G(s) = 4 s+3 (b) G(s) = 3 s s+ (c) G(s) = 5 ( s+3) (s+) (d) G(s) = 3 s (3 s+3) Zadanie 3 Wyznacz transmitancję operatorową uładu na podstawie charaterystyi czasowej. (a) y(t) =1 (b) y(t) =1/s t 0 1 t 15

16 (c) y(t) 1 =1 (d) y(t) 1.8 =1/s 0 t t 4. Charaterystyi częstotliwościowe Zadanie 4 Wyznacz charaterystyę amplitudowofazową obietu opisanego transmitancją operatorową lub przedstawionego na schemacie bloowym. (a) G(s) = 10 5 s+1 (e) (b) G(s) = 4 s 3 s+1 (c) G(s) = s s (3 +1) 1 (d) T s 1=, =3, T= T s =6, T=3 Zadanie 5 Wyznacz charaterystyę logarytmiczną modułu oraz fazy dla obietów przedstawionych w zadaniu 4. (a) G(s) = 4 s+1 (e) (b) G(s) = s 3 s+ (c) G(s) = 3 s s ( +1) (d) T s =6, T=3 1 T s =4, T= 16

17 (f) (g) 1 1 s+1 T s s 1=, =3, T= Zadanie 6 Dla przyładu e oraz g z zadania 5 oblicz doładną wartość wzmocnienia (wyrażoną w decybelach) dla ω = [rad/s] 17

18

19 Rozdział 5 Stabilność uładów automatycznej regulacji 5.1 Kryterium stabilności Hurwitza Zadanie 1 Sprawdź czy obiet opisany transmitancją jest stabilny asymptotycznie wg ryterium Hurwitza. 3 (a) G(S) = 4 s 3 +3 s +s+ s+1 (b) G(S) = 4 s 3 +3 s +5 s+1 5 (c) G(S) = 3 s 4 + s 3 +4 s s+1 (d) G(S) = 9 s 4 + s 3 +5 s +s+ Zadanie Znajdź parametry i/lub T dla tórych przedstawione ułady są stabilne asymptotycznie. 3 (a) G(S) = 4 s 3 + s +s+ 3 s+1 (b) G(S) = s 3 + s +4 s+1 (e) (c) G(S) = 3 s 4 + s 3 +s +T s+ 1 (d) G(S) = s 4 +s 3 + s +T s+1+ (f) s +s +s+1 3 s +s +Ts+1 19

20 (g) (h) 1 3 s +Ts +s+1 1 s +3s +s Kryterium stabilności Nyquista Zadanie 3 Sprawdź czy ułady przedstawione na schematach są stabilne wg ryterium Nyquista. (a) (c) s +s s +3s +3s+1 3 (b) (d) 3 s +s +s s +s +3s+1 Zadanie 4 Wyznacz zapas stabilności wzmocnienia i fazy dla uładów opisanych w zadaniu Kryterium stabilności Michajłowa Zadanie 5 Sprawdź czy uład opisany transmitancją jest stabilny wg ryterium Michajłowa. 4 (a) G(S) = 0.5 s s +s+1 5 (b) G(S) = 6 s 3 + s + s+1 4 (c) G(S) = 10 s 4 +4 s 3 +4 s +1 s (d) G(S) = 9 s 4 +4 s 3 +6 s +s+1 0

21 Rozdział 6 Obliczanie sygnałów w uładach automatycznej regulacji 6.1 Wyznaczanie sygnału błędu regulacji Zadanie 1 Dla podanych uładów znajdź sygnał błędu regulacji e(t) przy założeniu, że wymuszenie x(t)=1(t). (a) (c) 1 s+1 9 8s+ (b) (d) 4 3 5s s+0 Zadanie Dla uładów podanych w zadaniu 1 wyznacz uchyb statyczny e stat. Zadanie 3 Dany jest uład automatycznej regulacji z jednostowym sprzężeniem zwrotnym, gdzie zastosowano regulator P (K=), a obiet regulowany opisany jest transmitancją G(s) = 3 4 s+1. 1

22 Narysuj schemat bloowy tego uładu, wyznacz sygnał błędu regulacji e(t) oraz uchyb statyczny e stat wiedząc, że sygnałem wejściowym jest so jednostowy x(t)=1(t). 6. Wyznaczanie sygnału sterowania Zadanie 4 Dla uładów podanych w zadaniu 1 wyznacz sygnał sterowania u(t).

23 Rozdział 7 Rozwiazania zadań 1. Przeształcenie Laplace a 1.1 Obliczanie transformaty i transformaty odwrotnej Laplace a Zadanie 1 (a) + 4 s (b) s+ 1 (c) s + 1 s 3 (d) s s (e) 4 s 4 s s (f) s s s s+ 1 (g) 1 s + 4 s (h) s s + 1 s (i) 3 s + s s +4 (j) 1 s s s s s +16 () s s 3 s (l) 4 s + 1 s + 3 Zadanie (a) s s e 5s (b) s 1 s e 5s + 1 s e 7s (c) 3 s e s 3 s e 3s 3 s e 8s (d) 3 s 1 e s 1 e 4s Zadanie 3 3

24 (a) e 1 3 t (b) e 3t (c) 1 t e t (d) sin(4t) (e) 5 t e 3t (f) 1 t 4 e 1 t e 1 t (g) 4 sin(t) e t (h) cos(4t) (i) 9 8 e 1 t e 3 t (j) 3 t + e 3 t + 5 e 1 t ( 5 t + 5) 3 1. Rozwiazywanie równań różniczowych Zadanie 4 (a) t e 1 3 t (b) e t e 3t (c) t e 3 t (d) t e 3 t (e) 1 t et (f) t e t + 1 e t + 1 (g) 1 t + et 1 (h) t e 1 4 t (i) 1 sin(t) e t 1 cos(t) e t + 1 (j) 1 cos( 15 4 t) e 1 4 t sin( 15 4 t) e 1 4 t + 1. Modelowanie uładów fizycznych.1 Wyznaczanie równań wejściawyjścia Zadanie 1 (a) m z(t) + (1 + ) z(t) = F (t) (b) m v(t) + c v(t) + v(t) = u(t) (c) c v(t) v(t) = b a u(t) (d) J ϕ(t) + c ϕ(t) + ϕ(t) = M(t) Zadanie (a) U we (t) = U wy (t) ( ) R1+R R (b) U we (t) = C R U wy (t) + U wy (t) (c) U we (t) = L R U wy (t) + U wy (t) (d) U we (t) = L q(t) + R q(t) + 1 C q(t) 4

25 Zadanie 3 Zadanie 4. Wyznaczanie transmitancji operatorowej Zadanie 5 Zadanie 6 Zadanie 7 Zadanie 8. Rozwiazywanie równań różniczowych opisujacych ułady fizyczne Zadanie 9 3. Schematy bloowe 3.1 Tworzenie schematów bloowych Zadanie 1 3. Upraszczanie schematów bloowych opisujacych Zadanie 4. Charaterystyi uładów fizycznych 4.1 Charaterystyi czasowe Zadanie 1 Zadanie Zadanie 3 4. Charaterystyi częstotliwościowe Zadanie 4 Zadanie 5 5. Stabilność uładów automatycznej regulacji 6. Obliczanie sygnałów w uładach automatycznej regulacji 5