METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ"

Transkrypt

1 METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne

2 Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe (nazywane też operatorami lub transformatami całkowymi). Są to pewne operacje dokonywane na funkcjach, w których główną rolę odgrywa całkowanie (różnego typu i różnych funkcji). Przekształcenia całkowe są częścią analizy funkcjonalnej. W zastosowaniach praktycznych najważniejsze są: 1. Przekształcenie (transformata) Fouriera. Przekształcenie (transformata) Hankela 3. Przekształcenie (transformata) Laplace a

3 Przekształcenia całkowe uwagi ogólne Ogólnie przekształceniem (transformatą) nazywamy pewne przyporządkowanie dwu funkcji. Można powiedzieć że jest to funkcja, w której zarówno argument jak i wartość są funkcjami. Tr[ f ( t)] F( s) Funkcję f(t) nazywamy oryginałem natomiast funkcję F(s) obrazem lub po prostu transformatą. Na ogół oryginały są funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej t natomiast obrazy są funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej s. Ogólny zapis przekształcenia całkowego funkcji rzeczywistej w zespoloną jest następujący:

4 Przekształcenia całkowe uwagi ogólne F ( s) f ( t) K( s, t) dt α, β liczby rzeczywiste (mogące wynosić + lub - ) określające przedział całkowania. K(s,t) funkcja zmiennej zespolonej s i rzeczywistej t nazywana jądrem przekształcenia. W zależności od granic całkowania i jądra mamy różnego typu przekształcenia. Podstawiając: 0 K( s, t) otrzymujemy interesujące nas przekształcenie Laplace a: e st gdzie:

5 Przekształcenia całkowe Transformata Laplace a st F( s) f ( t) e dt L[ f ( t)] 0 Przekształcenie Laplace a często oznacza się dużą literą L. Nie każda funkcja f(t) może być oryginałem. Może nim być tylko taka funkcja, dla której powyższa całka istnieje. Można wykazać, że dla zbioru wszystkich oryginałów przekształcenie Laplace a jest wzajemnie jednoznaczne tzn. że jednemu oryginałowi odpowiada tylko jeden obraz oraz jednemu obrazowi odpowiada tylko jeden oryginał. Można zatem wprowadzić pojęcie odwrotnego przekształcenia Laplace a, w którym oryginał jest przyporządkowany danemu obrazowi: L 1 [ F( s)] f ( t) F( s) L[ f ( t)]

6 Przekształcenia całkowe Transformata Laplace a L[f(t)] f(t) F(s) X zbiór oryginałów L -1 [F(s)] Y zbiór obrazów

7 Transformata Laplace a Własności f ( t) 0 dla t 0 oryginałów Funkcje f(t) będące oryginałami muszą spełniać 3 podstawowe warunki: 1.. Funkcja f(t) musi być przedziałami ciągła, tzn. liczba punktów nieciągłości w dowolnym skończonym przedziale musi być skończona. Przykładowo warunek ten spełnia funkcja tzw. funkcja schodkowa f(t)=int(t) mimo że posiada nieskończoną liczbę punktów nieciągłości. 3. Funkcja f(t) jest rzędu wykładniczego co oznacza że nie może ona rosnąć szybciej niż funkcja ekspotencjalna. Warunek ten można zapisać następująco: istnieje 0 dla istnieje M 0 dowolnego t f ( t) Me t

8 Transformata Laplace a Przykłady oryginałów a) Funkcja Heviside a (jednostkowa, lub skoku jednostkowego): ( t) f(t) 0 1 dla dla t t t Mnożąc dowolną funkcję przez funkcję Heviside a można zapewnić spełnienie warunku 1.

9 Transformata Laplace a Przykłady b) Funkcja schodkowa: f oryginałów ( t) ( t)int( t) f(t) t

10 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 1. Przekształcenie Laplace a oraz odwrotne przekształcenie Laplace a są liniowe tzn.: L[ a f ( t) a f ( t)] a L[ f ( t)] a L[ f ( t)] a F ( s) a F ( s) L [ a F ( s) a F ( s)] a L [ f ( t)] a L [ f ( t)] a f ( t) a f ( t) a 1, a dowolne liczby rzeczywiste f 1 (t), f (t) dowolne oryginały Własność powyższa wynika z liniowości całki.

11 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia. Transformata pochodnej bardzo ważna własność mająca fundamentalne znaczenie w rozwiązywaniu równań różniczkowych. ( n) n n1 n ( n1) L f ( t) s L f ( t) s f (0) s f '(0)... f (0) dla n L f "( t) s L f ( t) sf (0) f '(0) dla n 1 L f '( t) sl f ( t) f (0) sf( s) f (0) dla n 1 i f (0) 0 L f '( t) sl f ( t) sf( s)

12 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia Z własności powyższej wynika że różniczkowanie w dziedzinie oryginałów zamienia się na mnożenie i odejmowanie w zbiorze obrazów. Fakt ten jest podstawą tzw. operatorowej metodzie rozwiązywania równań różniczkowych. Można tutaj wykorzystywać różne przekształcenia całkowe a w szczególności transformatę Laplace a. Istotę metody operatorowej ilustruje schemat: Rr[ f ( t)] Laplace Ra[ F( s)] Rozwiązanie równania algebraicznego f (t) (Laplace) -1 F(s)

13 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 3. Przekształcenie całki. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to L t 0 f () t dt Fs () s Całkowanie w dziedzinie oryginałów zamienia się na dzielenie przez s w zbiorze obrazów. Własność ta pozwala na zamianę równań całkowych na równania algebraiczne.

14 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia Przykład zastosowania tej własności: t L[cos( t)] f ( t) cos( t) L cos( t) dt s 0 s L[cos( t)] s 1 t s 1 L cos( t) dt L[sin( t)] s( s 1) s 1 0 Na podstawie powyższej własności mamy:

15 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 4. Różniczkowanie obrazu. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to L[ t n dla L[ tf f ( t)] ( 1) n 1 n ( t)] F'( s) d ( n) F( s) ds n

16 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 5. Całkowanie obrazu. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to s f ( t) L F( s) ds t

17 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 6. Przesunięcie w dziedzinie oryginałów. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to st L[ f ( t t )] e F( s) t

18 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 7. Przesunięcie w dziedzinie obrazów. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to L e s [ 0 t f ( t)] F( s s0) s0 C

19 Transformata Laplace a Wybrane własności przekształcenia 8. Podobieństwo. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to 1 s L[ f ( at)] F a a a 0

20 Transformata Laplace a Metodyka wyznaczania obrazów Wyznaczanie obrazów dla zadanych oryginałów jest stosunkowo proste. Możemy wyróżnić następujące metody szczegółowe: 1. Bezpośrednie zastosowanie wzoru definicyjnego.. Zastosowanie różnych własności Korzystanie z tablic transformat. 4. Korzystanie z programów komputerowych, które same wyznaczają dane transformaty, np. MATHEMATICA firmy Wolfram.

21 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów Problem wyznaczania oryginałów przy zadanych obrazach tzn. technika dokonywania odwrotnego przekształcenia Laplace a jest na ogół znacznie trudniejszy od wyznaczania obrazów. Problem ten rozwiązuje się za pomocą następujących metod: 1. Zastosowanie wzoru całkowego Riemanna - Mellina.. Metoda kombinowana wykorzystująca własności Metoda splotu. 4. Metoda residuów. 5. Metoda tablicowa. 6. Korzystanie z programów komputerowych, które wyznaczają odpowiednie oryginały, np. MATHEMATICA firmy Wolfram. Teraz omówimy metody 1 4.

22 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów 1. Zastosowanie wzoru całkowego Riemanna - Mellina. f 1 ( t) lim i y iy iy F( s) e st ds 0 λ 0 wskaźnik wzrostu funkcji f(t). Korzystanie z tego wzoru jest raczej trudne i wymaga dobrej znajomości analizy funkcji zespolonych. W praktyce metoda ta jest rzadko stosowana.

23 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów. Metody kombinowane polegają na wykorzystaniu różnych własności przekształcenia Laplace a. Jedną ze szczególnych metod stosunkowo często stosowaną w praktyce jest metoda rozkładania obrazu na ułamki proste. Metodę tę można stosować wtedy, gdy obraz jest funkcją wymierną tzn. ilorazem dwu wielomianów zmiennej s. Rozkładanie na ułamki proste robi się analogicznie jak przy elementarnym całkowaniu funkcji wymiernych zmiennej rzeczywistej. Dalej wykorzystuje się liniowość oraz elementarne własności przekształcenia Laplace a. k n n n n n k n n n s P L t p t p A s F L t f s P A s W s W s F )] ( [ ) ( ) ( )] ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

24 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów 3. Metoda splotu opiera się na twierdzeniu Borela. Splotem dwu funkcji rzeczywistych f 1 (t) i f (t) nazywamy funkcję zmiennej rzeczywistej t określoną za pomocą całki: t f t) f ( t) f ( t ) f ( ) d 1 1 ( 0 Można wykazać że splot jest operacją przemienną, łączną i rozdzielną względem dodawania oraz że splot dwu oryginałów jest również oryginałem.

25 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów Twierdzenie Borela: Jeżeli: L[ f ( t)] F ( s) L[ f ( t)] F ( s) 1 1 to: L[ f ( t)] L[ f ( t)] F ( s) F ( s) L[ f ( t) f ( t)] Słownie: Obraz splotu dwu funkcji jest iloczynem obrazów poszczególnych funkcji.

26 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów Z twierdzenia Borela wynika bezpośredni wzór umożliwiający wyznaczanie oryginału w przypadku gdy obraz jest iloczynem dwu prostych funkcji zespolonych, których oryginały znamy. Operacja sprowadza się wtedy do wykonania splotu. 1 L F1 s F s f1 t f t [ ( ) ( )] ( ) ( )

27 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów metoda residuów 4. Metoda residuów polega na zastosowaniu tzw. twierdzenia o residuach: Założenia: a) F(s) jest obrazem pewnej na razie nie znanej funkcji f(t) b) F(s) jest analityczna z wyjątkiem skończonej liczby biegunów s 1, s,,s k

28 Transformata Laplace a Metodyka odwracania obrazów metoda residuów Szukany oryginał transformaty Laplace a wyraża się wtedy wzorem: f ( t) L 1 [ F( s)] k n1 res s n [ F( s) e st ] Aby zastosować to twierdzenie i tę metodę należy znaleźć wszystkie bieguny funkcji F(s) a następnie obliczyć residua funkcji F(s) pomnożonej przez czynnik e st. Przy operacji znajdowania residuów należy t traktować jako parametr. Bardzo ważna jest tutaj umiejętność wyznaczania residuów w biegunach.

29 Funkcje specjalne

30 FUNKCJE SPECJALNE W modelowaniu matematycznym wielu procesów dużą rolę odgrywają tzw. funkcje specjalne. Są to funkcje, które nie dają się zapisać za pomocą skończonych kombinacji funkcji elementarnych. Dla obliczania ich wartości na ogół stosowane są szeregi potęgowe. Na wykładzie omówimy następujące funkcje specjalne: 1. Funkcja błędu i dopełniająca funkcja błędu. Funkcja gamma Eulera 3. Funkcje Bessela. 3 0

31 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu W powszechnym użyciu są dwie funkcje błędu oznaczane jako erf i erfc. Podstawowa funkcja błędu erf jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej i wywodzi się z rachunku prawdopodobieństwa oraz tzw. rozkładu normalnego Gaussa: ( xx0 ) 1 ( x) e Dla x 0 =0 i σ=1/( ) rozkład ten przyjmuje postać: ( x) 1 e Wykresem tej funkcji jest słynna krzywa dzwonowa Gaussa: 3 x

32 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu 3

33 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Rozkład Gaussa zgodnie z regułami teorii prawdopodobieństwa spełnia warunek: 1 x e dx x ( x) dx e dx 1 0 e x dx 0 e x dx 1 Funkcję erf(x) otrzymujemy jeżeli rozkład Gaussa pomnożymy przez i scałkujemy od 0 do x tzn.: erf ( x) x e t 0 dt 3 3

34 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu x e erf(x) 0 x 3 4

35 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Wykres funcji erf(x): błędu 3 5

36 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Podstawowe własności funcji erf(x): 1. erf(0)=0. erf( )=1, efr(- )=-1 3. erf(-x)=-erf(x) funkcja jest nieparzysta 4. [ erf ( x)]' e x Pochodną funkcji erf jest funkcja rozkładu Gaussa pomnożona przez. 3 6

37 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Z funkcją błędu erf(x) związana jest tzw. dopełniająca funkcja błędu erfc(x): erfc( x) x e t dt 1 erf ( x) 3 7

38 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje błędu Wartości funcji erf(x) są stabelaryzowane i zamieszczane na ogół w podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa. W obliczeniach komputerowych można korzystać z rozwinięcia tej funkcji w szereg potęgowy: erf ( x) k0 ( 1) k x k1 (k 1) k! 38

39 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera W wielu różnych zastosowaniach występuje tzw. funkcja gamma związana z nazwiskiem wybitnego matematyka Eulera. Podobnie jak funkcja ekspotencjalna funkcja ta może być definiowana w zakresie liczb rzeczywistych lub zespolonych. Tutaj omówimy rzeczywistą funkcję gamma. Funkcją tą zajmował się również inny genialny matematyk Gauss. Jego definicja tej funkcji jest następująca: x (! ) lim n n x x( x 1)( x )...( x n ) n Można wykazać, że powyższa granica istnieje dla dowolnych wartości x z wyjątkiem x=0, x=-1, x=-, 39

40 40 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera 0 1 ) ( dt t e x x t Euler wykazał, że dla dodatnich wartości x rzeczywistą funkcję gamma można zapisać za pomocą całki: Wzór całkowy Eulera Korzystając z powyższego wzoru można wyprowadzić ważną własność funkcji gamma: ) ( 1) ( ) ( 0 )' )( ( 0 ) ( )' ( 1) ( x x x x x dt t e x dt xt e dt t e t e dt t e dt t e x x t x t x t x t x t x t x 0

41 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera Obliczmy teraz wartości funkcji gamma dla liczb naturalnych. Dla x=1 skorzystajmy z całki Eulera: (1) 0 e t dt e t 0 ( 1) 0 1 Dla kolejnych liczb naturalnych korzystamy z wyprowadzonego wzoru: () (1 1) 1(1) 11 1 (3) ( 1) (4) (3 1) () 1 3(3) 31 6 ( n) ( n 1)! 41

42 FUNKCJE SPECJALNE Funkcja gamma Eulera W zakresie liczb rzeczywistych funkcja gamma jest związana z trygonometryczną funkcją sinus za pomocą zależności: ( x) (1 x) sin( x) 4

43 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela Kolejne funkcje specjale tzw. funkcje Bessela występują wtedy gdy rozważane procesy zachodzą w układach o geometrii cylindrycznej. W związku z tym czasami nazywa się je funkcjami cylindrycznymi. Funkcje Bessela są to funkcje rzeczywiste będące rozwiązaniami równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu tzw. równania Bessela: x y'' xy' ( x ) y 0 y=f(x) - funkcja niewiadoma ν dowolna liczba rzeczywista, parametr równania Bessela 43

44 x FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela y'' xy' ( x ) y 0 Na ogół rozwiązań równania Bessela nie można przedstawić za pomocą kombinacji funkcji elementarnych. Równanie można rozwiązać za pomocą tzw. metody Frobeniusa w wyniku której otrzymuje się rozwiązania w postaci szeregów potęgowych. Szeregi te definiują funkcje Bessela pierwszego rodzaju, które tradycyjnie oznaczane są przez J ν (x). Indeks ν jest parametr rzeczywisty funkcji Bessela. Szereg definiujący funkcje Bessela I rodzaju jest następujący: 44

45 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela J m ( x ( 1) x x) m 0 m! ( m 1) m Jeżeli parametr ν nie jest liczbą całkowitą wtedy można wykazać, że funkcje J ν (x) i J -ν (x) są liniowo niezależne i za ich pomocą można zapisać rozwiązanie ogólne równania Bessela: y( x) AJ ( x) BJ ( x) v 45

46 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela Jeżeli parametr ν jest liczbą całkowitą to nazywamy go rzędem funkcji Bessela, oznaczamy literą ν=n, a szereg definiujący funkcje Bessela przybiera postać: J n ( x) x n m0 m ( 1) m!( n m)! x m n 0,1,,...

47 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela W szczególności dla n=0 otrzymujemy funkcję Bessela pierwszego rodzaju zerowego rzędu: J m 4 6 ( 1) ( ) m x x x x x 1 m 4 6 m0 ( m!) (1!) (!) (3!) 0...

48 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela Z innym szczególnym przypadkiem mamy do czynienia gdy parametr ν = 1/ i ν = -1/. Wtedy funkcje Bessela pierwszego rodzaju można zapisać za pomocą funkcji elementarnych: J 1/ ( x) sin x J 1/ x ( x) x cosx 48

49 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - wykresy J 0 (x) J 1 (x) J (x) 49

50 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - własności Funkcje Bessela mają wiele ciekawych własności. Poniżej najważniejsze z nich: 1. Własność wiążąca 3 funkcje o parametrach ν różniących się o 1: Jv ( x) Jv 1( x) Jv 1( x) x Własność ta pozwala na obliczanie wartości funkcji o parametrze ν+1 na podstawie wartości funkcji poprzednich o parametrach ν i ν 1. 50

51 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje. Różniczkowanie: Bessela - własności djv ( x) v Jv '( x) Jv ( x) Jv 1( x) dx x Jv 1( x) Jv 1( x) Do zróżniczkowania funkcji Bessela I rodzaju o parametrze ν potrzebne są funkcje sąsiednie. 51

52 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - własności 3. Funkcje Bessela I rodzaju o całkowitych parametrach ν=n spełniają proste zależności: n J ( x) ( 1) J ( x) n 0,1,,... n n n J ( x) ( 1) J ( x) n 0,1,,... n n Pierwsza z tych zależności pozwala na łatwe wyznaczenie funkcji Bessela o ujemnych parametrach całkowitych. Z zależności tej wynika też że funkcje J n i J -n są liniowo zależne. Zależność druga określa, że funkcje Bessela o parzystych parametrach są parzyste a o nieparzystych parametrach są nieparzyste. 5

53 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela - własności Ponieważ funkcje J n (x) i J -n (x) są liniowo zależne, nie można ich użyć do konstrukcji ogólnego rozwiązania równania Bessela. Do tego celu służą funkcje Bessela drugiego rodzaju tradycyjnie oznaczane literą Y. Funkcje te są definiowane za pomocą następującej formuły: 53

54 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju Y ( x) v J ( x)cos( v ) J ( x) v sin( v ) v dla v n 0, 1,,... J ( )cos( ) ( ) lim v x v J v x dla v n 0, 1,,... vn sin( v ) Funkcje Bessela drugiego rodzaju podobnie jak I rodzaju posiadają parametr ν. Łatwo zauważyć, że dla całkowitej wartości tego parametru w mianowniku definicji pojawia się 0. Dlatego też w definicji użyto w tym przypadku granicy, która istnieje dla każdego x.

55 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju Bardzo istotny jest fakt, że funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju dla tego samego parametru ν są liniowo niezależne i można ich użyć do konstrukcji ogólnego rozwiązania równania Bessela tzn.: y( x) AJ ( x) BY ( x) v v W praktyce funkcje Bessela II rodzaju są stosowane w przypadku gdy parametr ν jest liczbą całkowitą tzn. ν=n. W tym przypadku korzystanie ze wzoru definicyjnego jest trudne a wartości funkcji Y wyznacza się za pomocą szeregów potęgowych:

56 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju Podany poniżej wzór obowiązuje dla x>0 x x ( n m 1)! x ( 1) ( h h ) Y x J x x x n n1 n m1 m m mn m n( ) n( )(ln ) mn mn m0 m! m0 m!( m n)! gdzie: h0 0 hs 1... s 1,,... 3 s ( h ln s) Euler const. lim s s 56

57 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju W szczególności: dla n 0: m1 x ( 1) hm Y0( x) J0( x) ln x 1 m m ( m!) m 57

58 FUNKCJE SPECJALNE Funkcje Bessela drugiego rodzaju - wykres Y 0 (x) Y 1 (x) Y (x) 58

59 Na tym kończymy wykłady przewidziane w programie przedmiotu Metody matematyczne i statystyczne w inżynierii chemicznej Dziękuję bardzo Państwu za uwagę. Test zaliczeniowy odbędzie się na ostatnich zajęciach w dniu r.

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Analiza zespolona Complex Analysis Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

6. Całka nieoznaczona

6. Całka nieoznaczona 6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Metoda operatorowa Transformata Laplace a

Matematyka 2. Metoda operatorowa Transformata Laplace a Matematyka 2 Metoda operatorowa Transformata Laplace a Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999 D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz;

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW Nazwa w języku polskim: FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim: Complex functions Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka i Robotyka Specjalność

Bardziej szczegółowo

5. Całka nieoznaczona

5. Całka nieoznaczona 5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 2 2 Kod modułu 04-A-MAT2-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim Differential equations and complex functions Kierunek studiów (jeśli

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek

Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMATA FOURIERA

TRANSFORMATA FOURIERA TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej

Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza

Bardziej szczegółowo

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia Uniwersytet Śląski w Katowicach str.. Nazwa kierunku informatyka 2. Cykl rozpoczęcia 207/208Z 3. Poziom kształcenia studia pierwszego stopnia (inżynierskie) 4. Profil kształcenia ogólnoakademicki 5. Forma

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo