Transmitancje układów ciągłych

Transkrypt

1 Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych: U Obiekt sterowania Y U wejścia, Y wyjścia, Transmitancje układów ciągłych Dynamika obiektu opisana jest równaniem: n n m m dy(t) d y(t) dy(t) d u(t) d u(t) du(t) n n n n m m m m a a... a ay(t) b b... b au(t) dt + dt + + dt + = dt + dt + + dt + () Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, tzn. można ją przedstawić za pomocą ilorazu dwóch wielomianów: gdzie dla układów realizowalnych fizycznie. Pierwiastki licznika określane są zerami transmitancji, natomiast pierwiastki mianownika określa się biegunami transmitancji lub wartościami własnymi. Przykład. Wyznaczyć transmitancję obiektu L: L J(t), U (t) U (t) di(t) U(t) = I(t) + L + I(t) dt U(t) = I(t)

2 ozwiązanie L U(s) = U(s)( + ) + su (s) U(s) G(s) = = U(s) sl+ + Zadanie. Wyznaczyć transmitancję układu G(s)=U (s)/u (s)? Zadanie. Wyznaczyć transmitancję układu? ozwiązanie: Zakładamy, że napięcie U(t) odkłada się na rezystancji 3 o wartości bliskiej nieskończoności: 3 Obwód tworzą oczka: u t = i t + i t ( ) ( ) ( ) () di3( t) () u t + L = i t dt gdzie u( t) = i3( t) 3 Oraz jeden węzeł: i t = i t + i3 t ( ) ( ) ( ) Eliminujemy prąd i: u t = i t + i t i3 t ( ) ( ) ( ( ) ( )) () di3( t) (() ( )) u t + L = i t i3 t dt I podstawiamy za i3: u( t) u() t = i() t + i() t 3

3 () () L du t u t u() t + = i() t 3 dt 3 Stąd: i() t = u() t + u() t 3 + I po podstawieniu L du() t u() t u() t + = u() t + u() t 3 dt Upraszczając L du() t u() t + = u( t) + u t u t 3 dt ( ) () ( ) Dokonując transformacji Laplacea L U( s) + su() t = U( s) + U s U s ( ) ( ) ( ) Upraszczamy zależność do postaci L U( s) + s + = U( s) 3 ( ) Stąd L ( + ) ( + ) U( s) + + s + = U s Transmitancja wynosi U() s Gs ( ) = = U( s) L ( + ) ( + ) + + s A ponieważ: 3 Można ją zapisać jako: U() s Gs ( ) = = U s + ( ) ( ) Podstawowe sygnały wejściowe Delta δ to obiekt matematyczny o następujących własnościach:

4 x Funkcja skokowa Heaviside'a (skok jednostkowy), jest funkcją nieciągłą która przyjmuje wartość dla ujemnych argumentów i wartość w pozostałych przypadkach: (t) dla t< (t) = dla t Przekształcenie Laplace a dla: (t) > s δ(t) > (t t) t = dla t<t dla t t t Przykład. Znaleźć odpowiedź impulsową układu o transmitancji: + G(s) = gdzie + st T L = + ozwiązanie: G(s) = x(s) G(s) x(s) = t T g(t) = L{G(s) } = e = e + T L t T W Matlabie? + G(s) = + st G(s) = s+ L=[ ] M=[ ], niech + = oraz T=

5 Tworzymy G=tf(L,M) tf() oblicza transmitancję Następnie rysujemy przebieg odpowiedzi na skok impulsowy impulse(g) Oraz przebieg odpowiedzi na skok jednostkowy step(g,t) t - czas np. t= Przykład 3. Znaleźć odpowiedź na skok jednostkowy układu o transmitancji: + G(s) = + st h(t) = L{G(s) x(s)} t + T h(t) = L{G(s) } = L { } = ( e ) s (+ st)s + Zadanie 3. Wyznaczyć odpowiedź na skok jednostkowy i impulsowy układu o transmitancji z Przykładu oraz z Zadania i. Dla każdego przypadku wykreślić charakterystyki czasowe. Przyjąć = = L= Zadanie 4. Wyznaczyć odpowiedź operatorową dwójnika (połączenie szeregowe i L) I(s) oraz oryginał (odpowiedź czasową) o zerowych warunkach początkowych po podanym wymuszeniu skokowemu na napięcie stałe? Zadanie 5. Wyznaczyć odpowiedź operatorową układu po podanym wymuszeniu skokowemu na napięcie stałe U (t)=u? J(t) L U (t) U (t) U (t)=u =5, = = Zadanie 6.

6 Wyznaczyć odpowiedź operatorową dwójnika (połączenie szeregowe i L) I(s) oraz oryginał (odpowiedź czasową) o zerowych warunkach początkowych po podanym wymuszeniu impulsowemu U? Zadanie 7. Wyznaczyć odpowiedź operatorową dwójnika (połączenie szeregowe C) I(s) oraz oryginał (odpowiedź czasową) o zerowych warunkach początkowych po podanym wymuszeniu impulsowemu =U i skokowo załączonym na napięcie stałe U? Podstawowe człony liniowe. Człon proporcjonalny Stąd transmitancja członu proporcjonalnego ma postać: gdzie stała k jest współczynnikiem wzmocnienia. Odpowiedź impulsowa: Charakterystyka skokowa:.,. Człon inercyjny I rzędu

7 Odpowiedź impulsowa: Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi: 3. Człon całkujący idealny W automatyce człon całkujący (idealny) (ang. integral term) to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t) proporcjonalny do całki sygnału wejściowego x(t): Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace'a daje związek pomiędzy transformatami obu sygnałów: Stąd transmitancja członu całkującego ma postać: Jego odpowiedź impulsowa: Charakterystyka skokowa:

8 4. Człon różniczkujący Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace'a daje związek pomiędzy transformatami obu sygnałów: Stąd transmitancja członu różniczkującego ma postać: Odpowiedź impulsowa: Charakterystyka skokowa: 5. Człon inercyjny drugiego rzędu Poza ogólnymi założeniami na T i T musi zachodzić: T + T >. oraz Odpowiedź impulsowa: 6. Człon opóźniający

9 W automatyce człon opóźniający to człon, który na wyjściu daje sygnał y(t) będący powtórzeniem sygnału wejściowego x(t) opóźnionym o stałą wartość T: Poddanie powyższego związku obustronnej transformacji Laplace'a daje związek pomiędzy transformatami obu sygnałów: Stąd transmitancja członu opóźniającego ma postać gdzie stała T jest czasem opóźnienia. Odpowiedź impulsowa: Charakterystyka skokowa członu opóźniającego wynosi:.,