Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012."

Transkrypt

1 Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk

2 . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei. Może być jedk pomocą w zrozumieiu dowodu i ispircją do tego, jk moż dowodzić pewe fkty.. Zdie Zbdj przedziły mootoiczości fukcji f() 3 +. liczymy pochodą fukcji f, któr wygląd tk: f () ( + ) 3( + ) 3 ( + ) f () zeruje się dl i (, ) f () > f rosąc (, ) f () < f mlejąc (, ) f () < f mlejąc (, ) f () > f rosąc. Zdie Udowodij ierówość l( + ) < dl < <. rozwżmy fukcję f() l( + ), jej wykres

3 f() jest przedzile (, ) ściśle mlejąc, bo f () + < f(), więc poiewż fukcj jest mlejąc, to f() >, czyli l( + ) >, czyli > l( + ).3 Zdie 3 Zbdj mootoiczość fukcji f() l. Krótko, bo zdie schemtycze. Fukcj wygląd tk: To, co trzeb zrobić, to rozwżć przedziły (, 3), ( 3, ), (, ), (, ). Tkie włśie dltego, poiewż fukcj ie jest określo w, i -3 to pukty zerowi się + 3, czyli pukty ieróżiczkowlości fukcji. W kżdym z tych przedziłów trzeb policzyć pochodą i zstowić się, kiedy jest o dodti, kiedy ujem. 3

4 . seri. Zdie Prostokąty trójkąt o przyprostokątych długości i b orz przeciwprostokątej c, obrcmy wzdłuż przeciwprostokątej. Trójkąt m obwód. Jk jest mksyml objętość powstłej bryły? Oczywiście h + h c. Pole trójkąt to b orz iczej licząc cr b, ztem r c ) c π b V π 3 ( b c 3c i brył m objętość Terz korzystjąc z + b + c orz + b c, dostjemy, że b c dlej V π ( ) c 4 + 4c i Nstępie, poiewż chcemy zleźć ekstremum fukcji V (c), szukmy miejsc zerowi się pochodej, czyli fukcji V (c). Po obliczeich i rozptrzeiu kilku przypdków wychodzi, że brył m mksymlą objętość, gdy trójkąt m boki długości. Zdie, b, c. Trójkąt o bokch, b, c wpiso w okrąg o promieiu. Jki jest mksymly obwód trójkąt? Są dw możliwe rozwiązi. Ob zczyją od wykorzysti twierdzei siusów (twierdzei Sellius, twierdzeie + dowód). 4

5 Zgodie z im możemy pisć si α Dlej mmy dwie możliwości: b si β c si γ.. możliwość łd i kostruktyw jpierw pokzujemy ogriczeie, potem trójkąt, który to ogriczeie spełi w przedzile (, π) fukcj sius jest wklęsł α, β, γ, α + β + γ π, wgi 3, 3, 3 sumują się do korzystmy z ierówości Jese: Ob 6( si α 3 + si β 3 + si γ 3 α + β + γ ) 6(si ) trójkąt rówoboczy wpisy w okrąg m bok długości 3, więc jego obwód jest rówy 3 3, więc mksimum jest relizowe. możliwość lgorytmicz i iekostruktyw rozwżmy fukcję Ob(α, β) (si α + si β + si(α + β)). Trktujemy α jko prmetr, liczymy pochodą, przyrówujemy ją do (chcemy zleźć ekstremum tej fukcji). Potem trktujemy β jko prmetr, liczymy pochodą, przyrówujemy ją do. Otrzymujemy ukłd rówń z rozwiąziem α 3 π, α 3 π i γ π α β 3 π. Pozostje jeszcze uzsdić, że zlezioe ekstremum to rzeczywiście mksimum, ie miimum - możemy uzysky obwód trójkąt porówć z obwodem dowolego iego trójkąt, wpise w okrąg o promieiu, jlepiej z tkim, którego obwód się łtwo liczy (p. trójkąt rówormiey o boku średicy okręgu). 5

6 3 3. seri 3. Zdie Udowodij ierówość + +. Wyjściow rówość jest rówowż stępującej (logrytmujemy obustroie, możemy, bo logrytm jest fukcją ściśle dodtią) ( ) l ( ) l k l k l k k A to już zchodzi mocy ierówości Jese dl fukcji f() l (drug pochod: <, więc fukcj jest wklęsł), 3. Zdie Udowodij ierówość ( k ) α α k Nierówość moż udowodić, stosując ierówość Jese dl wypukłej fukcji f() α. 3.3 Zdie 3 Udowodij ierówość ( + ) + k Nierówość moż udowodić, stosując ierówość Jese dl wypukłej (to też trzeb uzsdić!! p licząc drugą pochodą i pokzując jej dodtiość dl > ) fukcji f(). 3.4 Zdie 4 Rozwiń si wokół π. Mmy (( si π ) + π (( π π ) π + π( ) + 4 (( π ) + π( ( π ) k k k. ( ) ()! ( π ) +π( π ) α k. ) (( si π ) + π ) ) ( si( π ) cos π + cos( π ) si π ) ) π π ) + cos( π 4 ) 6 ( ) ()! ( π ) + π 4 ( ) ()! ( π )

7 π 4 + ( ) ()! ( π )+ + π 4 + ( ) ( )! ( π ) Zdie 5 Rozwiń 4+5 ( ) π ()! ( ( ) ( )! + ( ) π ()! 4 wokół. ( ) π ()! ( π )+ + ( π )+ + ) ( π ) + ( ) π ()! 4 ( π ) ( ) π ()! 4 ( π ) ( ) π ( π ()! )+ Moż przykłd przyjąć, że fukcj rozwij się w szereg postci zpisć: k k k pomożyć obustroie przez ( 4 + 5), by uzyskć k k, k k k 4 k k + 5 k k k k k + k 5 + (5 4 ) + (5 k 4 k + k ) k k k porówując współczyiki dostjemy rekurecyją zleżość ciąg : z wrukiem początkowym 5, 4 5. Przydłoby się zleźć wzór jwy, to już jest postępowie lgorytmicze (więcej o tym tu). Pokrótce: rówie chrkterystycze: 5 4 pierwistki tego rówi: +i 5 orz i 5 ztem wzór jwy będzie postci A ( +i 5 ) ( + B i ) 5 A i B wyzczmy, wiedząc, że 5 i 4 5, co dje ukłd rówń { A + B A( + i) + B( i) 4 o rozwiąziu A i i B +i, czyli wzór współczyiki jest postci i ( ) + i + + i ( ) i 5 5 7

8 4 4. seri 4. Zdie Zbdj zbieżość puktową, ieml jedostją i jedostją cigu fukcyjego f () si ( ). puktow: ( ) f() lim f () lim si lim si ieml jedostj: ok, bo fukcj si jest fukcją ierosącą, więc dl [, b]: si b b si si czyli si m{ si, si b b} jedostj: brk, bo zbieżość jedostj ozcz, że dl kżdego ciągu, f ( ) f( ), p. dl π mmy f ( ) f( ) si si π π si π π π 4. Zdie Zbdj zbieżość puktową, ieml jedostją i jedostją cigu fukcyjego f () e. puktow: f() lim f () lim e ieml jedostj: ok, bo jedostj: brk, bo sup e [,b] e sup e R 8

9 4.3 Zdie 3 Udowodij, że ( + ) α + α(α )...(α +)!. Fukcj f() ( + ) α jest ieskończeie wiele rzy różiczkowl, -t pochod d jest wzorem: f () () α(α )(α )... (α +)(+) α. Rozwijjąc tę fukcję w wielomi Tylor wokół, mmy ( + ) α f () ( )! ( + ) α f () ( )! + α(α )(α )... (α + )( + ) α ( + ) α f() + ( + ) α +! α(α )(α )... (α + )! α(α )(α )... (α + )! 5 5. seri 5. Zdie Zbdj zbieżość puktową, ieml jedostją i jedostją cigu fukcyjego f () e ( cos ). puktow: f () e ( cos ) e ( cos ) f() ieml jedostj: ok, bo iech [, b] będzie puktem, w którym fukcj f przyjmuje mksimum (tki pukt istieje, bo zgodie z twierdzeiem Weierstrss, fukcj ciągł przedzile domkiętym przyjmuje kresy), wówczs sup f () e ( cos [,b] ) e ( cos ) jedostj: brk, bo dl π mmy f ( ) f( ) e π ( cos π ) e π 9

10 5. Zdie Zbdj zbieżość puktową, ieml jedostją i jedostją cigu fukcyjego f () e ( ) przedzile (, ). puktow: poiewż (, ), to f () e ( ) f() ieml jedostj: ok, bo fukcj e ( ) przedzile [, b] jest ściśle rosąc, ztem f () f() e (b ) ; sup [,b] dlej, poiewż b <, to (b ) i e (b ) jedostj: brk, bo dl f ( ) f( ) ep(( mmy )) ep(( )) e 5.3 Zdie 3 Zbdj zbieżość puktową i jedostją cigu fukcyjego f () e ( ) przedzile [, ]. Zbieżość ieml jedostj i jedostj w tym zdiu to to smo, bo rozptrujemy fukcję przedzile domkiętym. puktow: poiewż ( ), więc ( ), to f () e ( ) f() jedostj: ok, bo fukcj e ( ) więc f () e ( ) sup [,] przedzile [, ] jest rosąc, 6 6. seri 6. Zdie Policz cłki.. metod: podstwieie t : d 3 ( ) 3 + c. metod: podstwieie t : e e e + d l(e + ) + c

11 3. metod: podstwieie t : e 3 e 3 d 6 e 3 + c 4. metod: podstwieie, jpierw t : rctg, potem s : l t l(rctg) ( + )rctg d l (rctg) + c 5. metod: podstwieie t : e e d e + c 6. metod: przez części 7. metod: przez części tg cos d tg + c tg 3 cos d 4 tg4 + c 8. metod: podstwieie t : + si cos d + si + c + si 9. metod: podstwieie t : 5 d 5 ( ) + c. metod: ( )( ) 4 ( 3 ), dlej podstwieie t : 3, i s : t d rcsi( 3) + c ( )( ) 7 7. seri 7. Zdie si d cos + si? Stosując podstwiei t : si, potem s : + t i wreszcie u : s, dostję: si d cos + si ( + u + ) du u 4 t dt ( t ) + t ds ( ) s (l( + u) l( u)) 4 l + du u +si +si

12 7. Zdie si d cos t? Stosuję podstwieie t : t (wtedy: si t t +, cos t +, d dt t + ), stępie s : t, cłkę s 4 ds s 4 + ( s 4 + ) ds liczy się korzystjąc ze wzoru s 4 + (s + s + ) (s s + ) i rozkłdjąc ułmek ułmki proste. si d cos t t (t + ) dt (t + ) t (t + ) s4 s ds s ( + s 4 ) s 4 + s 4 ds ( s s + l 4 s + s + + 8s + rct( s) rct( ) s + ) ( t t + l 4 t + t t + rct( t ) rct( ) t + ) 8 8. seri 8. Zdie Policz długość krzywej opisej wzorem (t) cos 4 t y(t) si 4 t. policzmy pochode: (t) 4 cos 3 t si t y (t) 4 si 3 t cos t długość wyrż się wzorem: π L ( (t)) + (y (t)) dt π 6 cos 6 t si t + 6 si 6 t cos t dt tę moż policzyć korzystjąc z tożsmości trygoometryczych si() si cos wzorów skrócoego możei i prostych podstwień.

13 8. Zdie Policz długość krzywej opisej wzorem e y cos dl π 6. rówie e y cos jest rówowże y l cos liczymy pochodą: y si cos korzystmy ze wzoru długość krzywej i liczymy cłkę π 6 π 6 + si cos d π 6 π 6 π 6 π 6 cos + si cos d cos cos d π 6 π 6 cos si d π 6 π 6 cos d stosujemy podstwieie t : si dt cos d [ π 6, π 6 ] [, ] dostjemy t dt ( t + ) [ dt + t ] (l( + t) l( t)) dt 8.3 Zdie 3 Pokż, że B(, m) [ l + t ] [ t m ( ) d ] π 6 + si l si π 6 l 3 (m )! ( )! (m+ )!, wiedząc, że B(, m) m B( +, m ) B(, m + ). m Dowód zjduje się przykłd tu. 8.4 Zdie 4 Zbdj zbieżość cłki l + d. 3

14 rozbijmy cłkę dwie: l + d pierwsz cłk jest zbież: 4 l d l + d + l + d l d 4 4 l d 8 l + 4 drug cłk jest zbież: fukcj l jest rosąc dl 4, ztem spełio jest ierówość l <, ztem zbieżość trzymujemy z kryterium porówwczego 4 l d + 4 d 4 3 d ztem cłk też jest zbież 8.5 Zdie 5 Zbdj zbieżość cłki e si si d. l + d dl : zbież w tym pukcie korzystmy z kryterium cłkowego Dirichlet-Abel. Fukcj g() jest mootoicz i ogriczo, pozostje pokzć, że dl fukcji f() e si si cłk f() d jest zbież. Żeby to zrobić, skorzystmy z ierówości dl fukcji ep: Piszemy: e e e si e. b b b si d e si si d e si d e [ e ] b cos b [ e si si d e ] b cos 4

15 b (cos cos b) e si si d e (cos cos b) e Ztem b ( e si si d < m e (cos cos b), e ) (cos cos b) więc cłk f() d jest zbież. dl : zbież e si si d < e d 8.6 Zdie 6 Zbdj zbieżość cłki si(+ ) d. dl : zbież si( + ) d si(( + ) 4 ) Podstwmy t : +, wówczs dt d i cłk wyosi d si(t 4 ) t dt si t cos 4 cos t si 4 t dt c si t t dt + c cos t t dt Te dwie osttie cłki są zś zbieże mocy cłkowego kryterium Abel, poiewż si y dt jest zbież, zś fukcj g(t) t jest mootoicz i ogriczo. dl : zbież si( + ) d d < 5

16 9 9. seri 9. Zdie Zbdj zbieżość cłki l(+) d. Cłk jest rozbież, bo: l(+) l(+) d d + l(+) d l(+) d jest zbież mocy kryterium cłkowego, bo l( + ) 3 rozwijjąc l( + ) w szereg Tylor, dostjemy ierówość l( + ) > korzystjąc z poprzediej ierówości, pokzujemy, że cłk jest rozbież, co dowiedzie rozbieżości cłki lim l( + ) d > lim l(+) d [ d l ] l(+) d 9. Zdie Zbdj zbieżość cłki si 7 d. Cłk t jest zbież, bo lim α α si 7 d d β + lim β d d d + [ ] lim α,β d α +[ ] β 6

17 9.3 Zdie 3 Pokż, że dl fukcji zdefiiowej wzorem f() + si t dt jest f(). Njpierw skorzystmy z podstwiei u : t, co implikuje du t dt, [, + ] [, ( + ) ], f() + si t dt (+) si u t du (+) si u u du. Terz potrzebe będzie twierdzeie o wrtości średiej (możemy z iego skorzystć, bo fukcj si u jest cłkowl, u jest mlejąc i ieujem), dzięki któremu wiemy, że istieje ξ [, + ] że (+) si u u du ξ si u du + ( + ) (+) ξ si u du Alogiczie ztem (cos cos ξ) + + (cos ξ cos( + ) ) cos + cos( + ) + cos ξ( + ) ( + ) + ( + ). (+) si u u du, f(), czyli też f(). 7

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x

Bardziej szczegółowo

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury. Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Całka oznanczona

Wykład 8: Całka oznanczona Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy

Bardziej szczegółowo

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

1.1 Pochodna funkcji w punkcie Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne

Analiza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi liczbowe Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją

Bardziej szczegółowo

log lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie!

log lim =log a e, a x 1 =loga, lim a (1+x) ,oiletagranicaistnieje. ,...,jeżeli a n a,tociągśrednicharytmetycznychb n a(odwrotnienie! Aliz mtemtycz I- www.mimek.pl, Autor: Krzyś Kulewski, pi@zodic.mimuw.edu.pl 1 Ciągi 1. Kżdy ciąg zbieży jest ogriczoy.. Twierdzeie Bolzo-Weierstrss. Kżdy ciąg ogriczoy zwier podciąg zbieży. 3.Gricgóridol

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Collegium Novum Akademia Maturalna

Collegium Novum Akademia Maturalna Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem

Bardziej szczegółowo

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych

Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A.

Bardziej szczegółowo

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015

Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015 dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny i geometryczny Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod

Bardziej szczegółowo

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są

3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )

WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B ) . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:

Bardziej szczegółowo

Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.

Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej. ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -

Bardziej szczegółowo

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj.

W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj. WYKŁAD 3 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Motywcj Wiele spotykych w prktyce cłek ie może być obliczo lityczie lub ich ścisłe obliczeie jest brdzo prcochłoe. Z drugiej stroy, brdzo często wystrczy zć jedyie przybliżoą

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I

Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,

Bardziej szczegółowo

9. Całkowanie. I k. sup

9. Całkowanie. I k. sup 9. Cłkownie Zcznijmy od podstwowego dl teorii cłki pojęci podziłu. Podziłem odcink [, b] R nzywmy kżdy skończony zbiór P [, b] zwierjący ob końce odcink. Niech będą punktmi podziłu P. Odcinki = x < x

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb. Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce

Bardziej szczegółowo

Rozmaite techniki dowodzenia nierówności

Rozmaite techniki dowodzenia nierówności Rozmite tehiki dowodzei ierówośi Pweł Józik 5 styzi 07 N kółku gimzjlym zjmujemy się rozdziłmi -6; kółku lielym zjmujemy się rozdziłmi 4-8; kółku olimpijskim zjmujemy sie rozdziłmi 9-. Dziś zkłdmy, że

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Rchuek prwdopodobieństw MA5 Wydził Elektroiki, rok kd. 20/2, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 7: Zmiee losowe dwuwymirowe. Rozkłdy łącze, brzegowe. Niezleżość zmieych losowych. Momety. Współczyik

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Sturma-Liouville a. Definicja : Zagadnieniem Sturma-Liouville a nazywamy równanie różniczkowe postaci

Zagadnienie Sturma-Liouville a. Definicja : Zagadnieniem Sturma-Liouville a nazywamy równanie różniczkowe postaci Zgdieie Sturm-Liouville Defiicj : Zgdieiem Sturm-Liouville zywmy rówie różiczkowe postci p x y x + q x + λ r x y x = 0, x,, λ R gdzie p x, p x, q x, r x są ciągłe, orz x, p x 0 r(x) 0 z wrukmi rzegowymi.

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag. Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Mteriły dydktycze Mtemtyk Semestr II Wykłdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x. Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

6. Układy równań liniowych

6. Układy równań liniowych 6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuow bezpłtie Dostęp stroie: Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1) etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania

Całki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania Rozdził Cłki niewłściwe. Funkcje Γ i B Euler orz ich zstosowni W tym rozdzile omówimy pojęcie cłki niewłściwej. Zjmiemy się też dwom brdzo wżnymi konkretnymi typmi tkich cłek: funkcjmi Γ (gmm i B (bet

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI 1

II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI 1 II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI.. Wstęp W iiejszm rozdzile przedstwim metod rozwiązwi rówń miejsc zerowch tch rówń orz rozwiązwi ułdów rówń. W celu zilustrowi podstw metod itercjej do obliczeń

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo