n 2 1. lim n 3 sin 2. lim k 2 + n 2 3. lim 8 k n + 2 k + 5 n 2 Oblicz granice n lim n 2 3 π + log(8) x π + log(64) lim sin sin lim

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "n 2 1. lim n 3 sin 2. lim k 2 + n 2 3. lim 8 k n + 2 k + 5 n 2 Oblicz granice n lim n 2 3 π + log(8) x π + log(64) lim sin sin lim"

Karolina Jarosz
4 lat temu
Przeglądów:

1 . Oblicz graice. k= k si k= k + 8 k + k + 5 k= k= k π + log(8) 3 k= k k= k k= 3 + k 3 Itegrate, {,, } π + log(64) k 3 k= k= si si k + k + k + - LimitSum π 4 k + 3 Si k +, {k,, }, k + k + LimitSum k + 3, {k,, }, k= 8 log k + k + 5

2 c5.b k= 8 log 3 5 k= 8 k k k + k + 5 Together 8 k k + k + 5 k (8 k + 5 ) 8 k + k + 5 k= k (8 k + 5 ) 8 k + k + 5 I[58]:= Out[58]= k= k + k $Aborted I[59]:= With{ = ^8}, NSum Out[59]= , {k,, } k + k I[6]:= With{ = ^8}, NSum Out[6]= , {k,, } k I[6]:= Out[6]= LimitSum, {k,, }, Sqrt - k k= - k Waża jest ostrość. Metoda. Twierdzie od warości średiej

3 c5.b 3 Metoda. Twierdzie od warości średiej h() = g() - f() a b h() d (b - a) h(ξ) > Metoda I. Podstawowe twierdzeie h[] = H'[] H fukcja rosąca. b H () d = H(b) - H(a) > a. Pierwsza metoda +7 si() d +7 si() Dąży do kiedy d d = log. Druga metoda (lepsza!) Z twierdzeia o wartości średiej dla całki (VII.5 z wykładu) mamy : +7 si() d = ( - + 7) si(t) t = 7 si(t) t gdzie t jest jakąś liczbą pomiędzy i +7. A więc jeśli to t czyli całka dąży do. c vgt

4 4 c5.b a ) Itegrate π, {,, } + (b) - d u = - u du ( c ) Itegrate, {,, Ifiity} Log[] Itegrate::idiv : Itegral of does ot coverge o {, }. * Log[] Poieważ

5 c5.b 5 Reduce Log[] >, Reals > d Itegrate::idiv : Itegral of does ot coverge o {, }. * d ( d ) Itegrate +, {, b, }, Assumptios b < - Log + b - + d + d b d + Log + b asymptotycze do ( e ) e - d Porówajmy z d

6 6 c5.b Plot e -,, {, 3, }, PlotStyle {Red, Gree} f 7 ep - d d + a 9 7 SumCovergece, + / 9 True SeriesCoefficiet[Ep[Sqrt[]], {,, 9}] Ep[Sqrt[]] + O[] 8 Itegrate Si[], {,, } 3 π FreselC π - Si[] ( g ) D[Log[]^, ] Log[]

7 c5.b 7 Itegrate[Log[]^, ] - Log[] + Log[] (h) ad (i) Dirichlet test ( h ) I[63]:= Out[63]= I[65]:= Out[65]= Itegrate Si[], {,, } (π - Si()) Itegrate Si[], {,, }, Assumptios {p > } p F - p ; 3, - p ; cos π p Γ( - p) p - N si() p d -Cos[] [, ] - p Itegrate Cos[], {,, N} p p+ cos() p+ < p+ ( j ) si() 3/ d π FreselC π - Si[] d 3/ Itegrate::idiv : Itegral of does ot coverge o {, }. * 3/ d 3/ Aother way

8 8 c5.b Plot[Si[], {,, }] si() d // N 3/ Plot si() 3/, {,, } Limit si(), 3/ 3/ / d

9 c5.b 9 k ) d ( - ) /3 Limit( - ) /3-3 /3, 3 /3 d - 3 /3 π 3 3 i[_] := Itegrate e -, {,, } i[] i[] = e - d -e - > + e - - d i[ - ] Itegrate[^ e -, {,, }, Assumptios { > && Elemet[, Itegers]}] Γ( + ) FullSimplify[%, Assumptios { > && Elemet[, Itegers]}]! Podstawowe Twierdzeia Rachuku Różiczkowego i Całkowego I[9]:= Clear[f,, a, b] I[3]:= Itegrate[f'[], ] Out[3]= f ()

10 c5.b I[3]:= Out[3]= Itegrate[f'[], {, a, b}] a b f () d Są fukcje różiczkowale których pochoda ie jest całkowala. I[34]:= F[_] := a f[t] dt I[35]:= D[F[], ] Out[35]= f () I[36]:= f[_] := ^3 + I[37]:= D[Itegrate[f[t], {t,, }], ] Out[37]= $Aborted I[38]:= Out[38]= I[4]:= Out[4]= Block[{f}, D[Itegrate[f[t], {t,, }], ]] 3 + Block{f}, DItegratef[t], t,, 3, Oblicz I[43]:= Limit Si[ ] e t dt, Out[43]= (k - ) 7 Limit, k= 8 8 (k - ) 7 k= 8 k = l + (k - ) 7 = k= 7 - = l 7 k= 7

11 c5.b Itegrate 7, {,, } 8 si ept dt si ept dt π ErfiSi I[5]:= f[_] := Si[ ] e t dt I[53]:= D[f[], {, }] Out[53]= e si cos I[5]:= LimitBlock{f}, Out[5]= D[f[], {, }], D[^, {, }] ff[_] := 3 gr = Plot[ff[], {,, 8}, Fillig Bottom, AesOrigi {, }, PlotRage {{, 8}, {, }}] gr = Graphics[ {Red, Opacity[.5], Table[Rectagle[{i, }, {i +, ff[i + ]}], {i,, 7}]}]; gr = Graphics[ {Blue, Opacity[.5], Table[Rectagle[{i, }, {i +, ff[i]}], {i,, 7}]}];

12 c5.b Maipulate[Show[gr, If[l, gr, Graphics[{}]], If[h, gr, Graphics[{}]], PlotRage {{, 8}, {, }}], {{l, False, "pokaż sumę dolą"}, {False, True}}, {{h, False, "pokaż sumę górą"}, {False, True}}, SaveDefiitios True] pokaż sumę dolą pokaż sumę górą i= f(i) f(i) di i= f(i) Itegrate Log[] -α - + α, {,, }, Assumptios α > Log[] α t log α () d Itegrate Log[] -α - α,, Assumptios α > Log[] α

Podobne dokumenty

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223 Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości