Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4."

Transkrypt

1 Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania 8 Całki podwójne 5 9 Równania różniczkowe zwyczajne 7 0 Szeregi liczbowe szeregi potęgowe 0 Analiza wektorowa Literatura 5

2 Macierze wyznaczniki równania liniowe Które z iloczynów AB BA A B istnieją? Obliczyć te które istnieją jeżeli A = 0 B = Odpowiedź AB = istnieją A = Pozostałe iloczyny nie Obliczyć [ ] [ 0 Odpowiedzi [ 0 0 ] 5 [ ] [ ] [ 0 0 ] [ ] ] [ 4 0 [ ] [ 0 0 ] Czy dla macierzy A i B zawsze zachodzi A + B = A +AB+B? Czy prawdą jest że AB = A B? [ ] a b 7 Wykazać że macierz spełnia równanie: c d Obliczyć wyznaczniki: a + d + ad bc = 0 cos sin cos y sin y cos z sin z cos t 4 sin t a 0 0 a 0 0 a 0 0 a a b m n r s b c n p s t c a p m t r ]

3 + a b c a + b c a b + c 4 a b c a b c Odpowiedzi 8 6; 9 ; 0 a 4 a + ; 0; 0; + a + b + c; 4 a b a c b c Pokazać że 5 + y +y y y y = y y 6 + y +y y y = 0 Rozwiązać równania: = 0 8 = = = 0 Odpowiedzi 7 0 ; 8 ; 9 ; 0 0 Pokazać że macierz spełnia równanie = 0 Znaleźć A jeżeli:

4 4 A = 4 A = 6 A = 8 A = cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ A = 5 A = A = Odpowiedzi A T ; A T ; A = ; cos ϕ 0 sin ϕ 0 0 sin ϕ 0 cos ϕ ; 9 0 Macierz A spełnia równanie A + A = Obliczyć A + A Rozwiązać równanie macierzowe: [ ] [ ] 0 X = 4 5 [ ] [ ] X = 5 [ ] [ ] T [ 0 4 X = 0 [ ] [ ] 4 X = + X 0 0 ; ; ] ;

5 5 X = 7 6 T 5 [ ] Odpowiedzi 0 [ ] [ ] [ ] [ la jakiej wartości parametru a równanie macierzowe a 0 0 X = ma rozwiązanie? 0 0 a 0 0 a Rozwiązać podane układy Cramera: ] 7 9 { + y = 4 y = 8 + y + z = 0 y + z = 0 + 4y 5z = y + z = 4 y + z = + y z = + y + z + t = 4 + y + z + t = y + z + t = 0 y z + t = Odpowiedzi 7 = y = ; 8 = y = z = ; 9 = y = z = 0; 40 = y = z = t = Rozwiązać podane układy równań: y = 4 y = + y = 4 + y = + y = + y = 4 + y + z = 4 + y z = + y + z = y = 4 y = + y = 4 y = 6 y = 9 4 y = 6 + y + z = 4 + y z = + y + z = 6

6 y + z = 0 + 4y 4z = 0 + y 5z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 + y + z = 0 y + z = y + z t = 0 y + z + t = 0 y + z + t = 0 + y + z = 4 y + z = + y z = + y + z = 6 5 y z t = y + z t = + z t = 4 y + 4z 4t = 5 y z t = y + z t = + z = 4 y + 4z t = y + z t = y + z + t = + y + z t = y + z + t = 5 54 { + y + z = y + z + t + v = Odpowiedzi 4 = y = ; 4 układ sprzeczny; 4 układ sprzeczny; 44 = y = + 45 = y + y = y z = ; 46 układ sprzeczny ; 47 = 8z y = 7z z = z; 48 = y = +t z = 5 t = t; 49 układ sprzeczny ; 50 = y = z = ; 5 = z + y = 4z + z = z t = ; 5 = z + y = y z = z t = 4 4z y 5 układ sprzeczny; 54 = y = z + z = z t = t v = t W zależności od parametru a podać warunki rozwiązalności układu: { { + y + z = 6 + y = a 55 + ay + az = 56 + y = ay 57 a + y + z = ay z = + y z = a 58 a + 4y + 9z = a a + y + z = a + y + z = Odpowiedzi 55 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a nie ma rozwiązań dla a = 56 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a R 57 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a = 4; 58 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a i a ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a = nie ma rozwiązań dla a =

7 Geometria analityczna * Pokazać że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległogoku * Pokazać że przekątne równoległoboku przecinają się w połowie la jakich wartości parametrów m i k wektory a = 4 6k b = m 4 są równoległe 4 Znaleźć kąt między wektorami: a a = b = b a = b = c a = b = 5 la jakiej wartości parametru λ wektory a = b = λ + λ są wzajemnie prostopadłe? 6 Sprawdzić czy trójkąt ABC a A = 5 4 B = C = b A = 5 4 B = C = 6 5 jest prostokątny 7 Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora a = 8 Znaleźć rzut prostokątny wektora a = na oś o kierunku wektora b = 9 Znaleźć wektor jednostkowy m prostopadły do wektorów a = b = 0 Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: a P = 4 Q = 6 R = 0 5 b P = Q = 4 R = 0 * Pokazaćże pole równoległoboku zbudowanego na przekątnych danego równoległoboku jest równa podwojonemu polu danego równoległoboku * Wyprowadzić twiedzenie sinusów Wskazówka: Wykorzystać fakt że warunkiem aby niewspólinowe wektory a b c tworzyły trójkąt jest a + b + c = 0 Następnie wykorzystać iloczyn wektorowy Obliczyć objętość równoległościanu o wierzchołkach O = P = 4 Q = 6 R = 0 5 7

8 8 4 Wykazać że punkty P = Q = 0 5 R = S = 0 leżą w jednej płaszczyźnie i obliczyć pole czworoboku o wierzchołkach P Q R S 5 Wykazać że punkty P = 0 Q = R = 4 0 S = 5 są wierzchołkami trapezu i policzyć jego wysokość 6* Wykazać że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest równa podwojonej objętości danego równoległościanu 7 Napisać równania prostej przechodzącej przez punkty: a P = Q = 4 b P = Q = 4 8 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P = = t i równoległej do prostej l : y = + t z = + t 9 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = i równoległej do płaszczyzny π : y + 4z 7 = 0 0 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = = + t i prostopadłej do prostej l : y = + t z = + t = + t Znaleźć odległość punktu P = do prostej l : y = + t z = + t Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez: a punkty P = 0 0 Q = 4 0 R = = + t b prostą l : y = + t i punkt P = 0 c proste l : d proste l : z = t = + t y = + t z = t = + t y = + t z = t l : l : = s y = 4s z = s = + s y = s z = + s

9 Czy przez proste l : można poprowadzić płaszczyznę? = + t y = + t z = t l : = + s y = s z = 5 + s 9 4* W zależności od parametru a podać wzajemne położenie prostych: l : y = + t l : y = as = t = a s z = + at z = s = + 4t 5* la jakich wartości parametrów A B prosta l : y = 4t z = + t leży w płaszczyźnie π : A + y 4z + B = 0 6 Przedstawić prostą l : w postaci parametrycznej { y + 5z = y + z = 7 Na sferze danej wzorem + y + z = wyznacz współrzędne punktów najbliższych i najdalszych od punktu Odpowiedzi k = m = ; 4 a π b π c π; 5 λ = 6 6 a nie; b tak 7 cos α = 6 cos β = 6 cos γ = 6 ; ± ; 9 5 5; 0 a 49; b 7 6; 4 ; 5 = + t { = t = + t ; 7 a y = + t b y = + t ; 8 y = + t z = + t z = + t y + 4 z = 0 0 a 7 y + 4z 8 = 0; b y 5 = 0; c + y + 5z = 0; d = + t y 4z = 0 nie 5 A = B = 6 y = 4 + 4t z = t 7 ±

10 0 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania Znaleźć funkcje złożone f f g g g f f g dla: f = g = + ; f = g = cos ; f = g = ; 4 f = g = ; + 5 f = g = cos ; 6 f = g = ; 7 f = g = + Odpowiedzi f f = g g = + g f = + f g = ; f f = + 4 g g = cos cos g f = cos f g = cos ; f f = g g = 4 g f = f g = ; 4 f f = g g = + 4 g f = f g = ; 5 f f = 4 g g = + cos cos g f = cos f g = cos ; 6 f f = 9 g g = 9 g f = f g = ; 7 f f = + g g = g f = + f g = Niech f = g = + Funkcję h przestawić za pomocą złożenia funkcji f i g 8 h = + 9 h = + 0 h = + h = + h = + h = 4 Odpowiedzi 8 h = g f ; 9 h = f g ; 0 h = f g f ; h = g g ; h = f g g ; h = f f Obliczyć: 4 arc sin ; 5 arc sin ; 6 arc tg ; 7 arc tg ; 8 arc sin sin 5π 7 ; 9 arc cos sin 5π 7 Odpowiedzi 4 π; 5 π; 6 π; 7 π; 8 π 5π ; Rozwiązać równanie arc sin + arc sin = π Odpowiedź = 5

11 Obliczyć granice n lim n lim 5 lim n n+! n! n n+!+n! n n sin n 7 lim n 5n 9 lim n 6n+ n lim n n+ n n n n n n n 5n 07 n n 5n n+ n+ n n+ n+ n+ n n n 4 lim n 6 lim 8 lim n 0 lim 4 lim n 5 n lim n 4 n +7 n lim 4n + 7n n 4 lim n + n n n 5 lim n n n + 6 lim n n n a n n + 7 lim n + a n + b 8 lim n + n 5 n n + n 9 lim n + n + n n n 40 lim n n 4 lim + n n n 4 lim 4 lim n n n 44 lim 45 lim n n n n+ 46 lim 0 47 lim 48 lim + a 50 lim 4 49 lim + 5 lim e lim 0 55 lim 57 lim 59 lim 0 sin sin 5 6 lim 0 6 lim 65 lim 0 n + n n n n + n n n n+ + e 5 lim 54 lim 56 lim + + a lim 0 sin 60 lim sin 0 cos 67 lim 69 lim + 7 lim + 6 lim 64 lim +sin sin 66 lim sin 68 lim + 70 lim tg 0 sin 0 +sin sin sin+ + sin arc tg 7 lim + + +e ln + ln Odpowiedzi 0; ; ; 4 ; 5 4 ; 6 0; 7 0; 8 0; 9 ; 0 ; 0; ; 7; 4 0; 5 ; 6 a ; 7 0; 8 ; ; 40 e ; 4 e; 4 ; 4 nie istnieje 44 0; 45 ; e 46 ; 47 4; 48 ; 49 0; 50 ; 5 ; 5 ; 5 + ; 8

12 5 ; 54 ; 55 ; 56 ; 57 ; 58 ; 59 ; 60 ; 6 5; 6 ; 6 ; 64 6 ; 65 ; 66 ; 67 0; 68 e 6 ; 69 e ; 70 ; 4 7 ; 7 Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji: 7 f = 74 f = + 75 f = 76 f = 77 f = f = 79 f = + Wyznaczyć pochodne podanych funkcji: 80 f = + 8 f = 8 f = + 8 f = f = f = f = f = arc sin + 88 f = e 89 f = e sin 90 f = e sin 9 f = ln cos 9 f = ln + 9 f = ln + arc tg 94 f = arc tg 95 f = tg 96 f = arc sin + ln 5 97 f = ln + + k 98 f = sin ln + cos ln 99 f = e + Odpowiedzi 80 f = 8 + 4; 8 f = ; 8 f = 6 + ; 8 f = ; 84 f = ; 85 f = 5+ ; f 5 = ; 87 f +5 = ; 88 f = e ; 89 f = e sin cos ; 90 f = e sin cos ; 9 f = tg ; 9 f = sin ; 9 f = arc tg ; 94 f = ; 95 f = tg + 96 f = cos + 5 ln4 97 f = 98 f 4 = +k cos ln 99 f = e f = arc sin ; obliczyć f 5 Odpowiedź 5 0 y = e +e ; wyznaczyć d y d Odpowiedź dy = d e e d y = e + e ; d 0 y = ln ; wyznaczyć d y d Odpowiedź dy = ln + d y = d d 0 f = ln + ; obliczyć f0 f 0 i f 0 Odpowiedź f0 = 0 f 0 = 0 f 0 =

13 04 Wykazaćże funkcja y = arc tg y + y = 0 spełnia równanie różniczkowe 05 Wykazaćże funkcja y = e cos spełnia równanie różniczkowe y IV + 4y = 0 06 Napisać równanie stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a f = 0 f0 ; b f = f ; c f = f ; d f = 0 f0 ; + e f = f ; + f f = arc tg f ; g f = arc sin 0 f0 ; + h f = arc tg 0 f0 + Odpowiedzi a y = ; b y = ; c y = ; d y = ; e y = ; f y = + + π 4 ; g y = ; h y = + π 4 07 Na krzywej y = znaleźć punkty w których styczne są równoległe do osi O 08 Obliczyć f i df dla: a f = przy = 0 i = 0 ; b f = + przy = i = 0 ; c f = przy = 4 i = 0 05 Odpowiedzi a f = 9 df = 9; b f = 46 i df = 4; c f = 0 05 df = Przy pomocy różniczki obliczyć wartość przybliżoną a arc tg 0; b 6; c sin ; d ln 0 99 Odpowiedzi a ; b 979; c 0 55; d 0 0 Za pomocą reguły de L Hospitala obliczyć granice: 0 lim ; lim π 4 ; lim sin 0 lim ln 4 lim + + tg sin cos ; ln + ; lnln ln sin ; 5 lim ; 0 + ln tg

14 4 6 lim e a e b 0 sin 8 lim 0 ln cos ln ; 7 lim ; e e ; 9 lim arc sin ; 0 +arc tg 0 lim 0 + ln ; lim lim e ; lim e + ; 4 lim tg π; 5 lim ; lim 7 lim e + ; 0 8 lim 0 + sin ; 9 lim 0 e ; tg 0 + tg Odpowiedzi 0 0; ; ; ln ; 4 0; 5 ; 6 a b 7 ; 8 ; 9 ; 0 0; ; 0; e 4 ; 5 ; 6 π e ; 7 e ; 8 e; 9 0 Uzasadnić podane tożsamości: a arc tg = π arc tg dla > 0 b arc tg = π arc tg dla < 0 c arc tg = π arc tg dla 4 + d arc sin = arc tg dla + Znaleźć przedziały monotoniczności oraz ekstrema podanych funkcji: f = e f = + f = 4 f = f = + 6 f = e 7 f = f = f = 40 f = ln f = 4 f = 4 f = ln 44 f = ln Odpowiedzi w 0 + w 0 ; 0 maksimum; w 0 + w 0 ; 0 maksimum; w ; + w ; minimum -maksimum; 4 w i w i 5 + ; minima 0 maksimum 5 w 0 i 0 w i + ; maksimum minimum; 6 w 0 i 0 brak ekstremów; 7 w 5 i 5 7 w i 7 + ; maksimum 7 minimum; 8 w i + ; brak ekstemów; 9 w i + w i ; maksimum minimum; 40 funkcja rosnąca; brak ekstemów; 4 w i w ; minimum maksimum; 4 w 0 i w 5

15 i e 0 ; minimum; 44 w 0 i e w e + ; e minimum maksima; 4 w 0 e w e + ; Znaleźć najmniejszą i największą wartość podanych funkcji we wskazanych przedziałach 45 f = + 9 [ 4 4]; 46 f = [0 4] 47 f = + 6 [ ] Odpowiedzi 45 największa 76 najmniejsza 5; 46 największa 4 najmniejsza 0 47 największa najmniejsza ; 48 Liczbę rozbić na sumę dwóch składników dodatnich tak aby ich iloczyn był największy 49 Ile razy objętość kuli jest większa od objętości największego walca wpisanego w tę kulę? Odpowiedź 50 Z koła wycięto wycinek o kącie α a następnie zwinięto go tworząc powierzchnię stożka la jakiej wartości kąta α objętość stożka będzie największa? Odpowiedź π 5

16 6 4 Liczby zespolone Pokazać że z z = z z z + z = Re z z z = i Im z 4 z jest liczbą rzeczywistą z = z Obliczyć: 5 + i i 6 + i 7 i 9 i +i 8 i +i 0 0 i 8 +i 4 i Re +i i 4 Im +i i 5 5 k=0 ik 6 i + i + i + i 4 + i 5 Odpowiedzi 5 5; 6 + 4i 7 + i; 8 i; 9 i; 0 5 i; ; ; ; 4 ; 5 + i; 6 i Niech z = +i Obliczyć Re z + i z oraz Im z + z 8 Niech b +αxi b = b b 4 αc i gdzie b b b b 4 α X i C są liczbami rzeczywistymi Pokazać że X = Cb b α C b Niech a + bi = z Znaleźć z z z Rozwiązać równania: 0 z z + = 0 z z + 4 = 0 z iz + = 0 z + + i z + i = 0 4 i z 4 5i z 0 = 0 5 z + 5i z + 0i = 0 6 i z i z 4i = 0 7 z + = 0 8 z i = 0 Odpowiedzi 9 ± i ± i i i; i; i i; 5 + i + 9i; 6 i i ± i 8 i ± + i 9 Liczby zespolone u i v spełniają warunki u = v Czy u = v? Odpowiedź uzasadnić

17 Następujące liczby przedstawić w postaci trygonometrycznej: 0 z = + i z = i z = i z = i ctg α α 0 π Odpowiedzi 0 cos 5π + i sin 5π ; cos 7π + i sin 7π ; cos 4π + i sin 4π ; sin α cos π + α + i sin π + α Obliczyć 4 cos π + i sin π cos π + i sin π i 6 7 i +i 8 i +i 9 + 4i 40 i i i Odpowiedzi 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ± + i ; 40 ± + i ; 4 ± ± i ; 4 ± i 4 i ± i 44 ± ± ± i 45 ±i ± 5+±i ±i ± 7 i 46 ±4 ± i; 47 Czy wzory 48 cos α i sin α n = cos nα i sin nα; 49 cos α + i sin α n+ = cos n + α + i sin n + α; 50 cos α i sin α n+ = cos n + α i sin n + α; są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnić Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: Odpowiedzi ; ; ;

18 8 Obliczyć całki 5 Całki nieoznaczone + + d; + + d; + d; 4 tg d; 5 e + e d; 6 arc sin d; 7 e sin e d; 8 e e d; 9 +ln d; 0 e cos sin d; ln d; d ; ln d 4 e d; +ln ; 5 cos d; 6 d; 7 d; 8 cos d sin ; 9 tg d; 0 sin cos d; sin 5 cos d; cos d; e d; 4 ln d; 5 cos d; 6 arc cos d; 7 arc tg d; 8 ln d; 9 e d; 0 cos d; d; d ; d; 4 d; d; 6 + d; ++ ; d; 8 d 9 d 4 ; 40 d ; 4 d; 4 d; + 4 d; 44 sin d; cos d; 46 d; cos 47 tg d; 48 d ; e 49 e d; 50 ln + + d; 5 d; 5 arc tg d; + 5 arc tg d; 54 arc tg d; 55 ln+ d; 56 d; + 57 sin d; 58 d ; 59 sin cos 4 d; 60 sin cos d Odpowiedzi + + ln + C; ln + C; C; 4 tg + C; 5 4 e + e + C; 6 + arc sin 4 4 +C; 7 cos e +C; 8 e +C; 9 + ln C 0 e cos +C; ln +C; ln ln +C; ln + ln + C; 4 e + C; 5 sin + C; 6 + C; 7

19 +C; 8 sin +C; 9 ln cos +C; 0 sin +C; sin C; sin sin + C; e e + C; 4 ln +C; 5 cos + sin +C; 6 arc cos +C; 7 arc tg ln + + C; 8 ln + C; 9 e e + C; 0 cos + sin + C; ln + + C; arc tg + C; + arc tg + C; ln +C; 5 + arc tg +C; 6 ln + + +C; 7 + ln C; 8 ln + + ln + C; 9 ln ln + + C; 40 ln ln + C; arc tg + C; 4 ln + C; 4 arc tg + C 44 sin + + C 45 sin + + C 46 tg ln cos + C; 47 tg + ln cos + C; 48 ln e + C; 49 e arc tg e + C; 50 ln C; 5 arc tg +C; 5 arc tg +arc tg +C; arc tg +C; 55 ln + ; 56 arc sin + +C; 57 ± + sin +C; 5 arc tg + arc tg +C; 54 ln ln + ln+ 58 arc sin + C 59 tg + C 60 cos + cos + C 9

20 0 6 Zastosowania geometryczne całek Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = y =; 0 y = 4 y = 0; y = y = 0; 4 y = y = 4 ; 5 y = y = ; 6 y = + 4 y = ; 7 y = y = 5; 8 y = y = + y = ; 9 y = 4 y = + 4; y = y = 0; y = y = ; y = y = ; 4 y = = 4; 5 y = y = ; 6 y = y = 4 y = y = 4; 7 y = 4 + y = 5; 8 y = e y = e = 0; 9 y = e y = e y = e; 0 y = 4 y = 0; y = y = 0; y = y = 0 = = ; + y = ln y = 0; 4 y = ln y = 4 Odpowiedzi ln ln π ln e Obliczyć długośc łuku krzywej 5 y = gdzie 0 ; 6 y = + ; 7 y = gdzie 0 ; 8 y = arc tg + arc tg gdzie ; 9 y = + arc tg + arc tg gdzie ; + 0 y = arc cos ; y = + arc sin ; y = e + e gdzie 0 ; y = 5 + gdzie ; y = ln 5 5 gdzie 0 Odpowiedzi π e e ln 40 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót dookoła osi O krzywych 5 y = gdzie 0 ; 6 y = y = ; 7 y = 9 y = 0; 8 + y = 4; 9 y = y = 0; 40 + y 0y + 75 = 0

21 Odpowiedzi π π 6 π 7 6π 8 5 π 9 π Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi O krzywej 4 y = gdzie 0 ; 4 y = e +e gdzie 0 ; 4 y = 9 ; 44 y = gdzie ; 45 + y 0y + 75 = 0 46 y = arc tg + arc tg gdzie + Odpowiedzi π; 4 6 π; 4 π e4 e ; 44 π; π ; 46 π

22 7 Pochodne cząstkowe różniczki zupełne i ich zastosowania Pokazać że funkcja z y = y spełnia równanie z + z = z y ln y Pokazać że funkcja z y = y + F y spełnia równanie y z + z = dla y a F u = sin u b F u = arc tg u Pokazać że funkcja z y = e y ln y spełnia równanie z + y z = z y ln y 4 Pokazać że funkcja T l g = π spełnia równanie l T l + g T g = 0 5 Pokazać że funkcja z y = yf y spełnia równanie z dla + y z = z y y a F u = arc tg u b F u = sin u 6 Pokazać że funkcja z y = ln + y spełnia równanie z + y z = y 7 Pokazać że funkcja z y = sin spełnia równanie y z + y z = z y 8 Pokazać że funkcja u y z = + y + z spełnia równanie u + u y + u z = 9 Pokazać że funkcja V y z = spełnia równanie +y +z V + V y + V z = 0 0 Pokazać że funkcja z y = e y spełnia równanie y z y = z y z Pokazać że funkcja z y = ln e + e y spełnia równanie z z = y z y Pokazać że funkcja u y = e y spełnia równanie u + u + u = y u y y y Pokazać że funkcja z y = ln spełnia równanie y z + z = y l g

23 4 Obliczyć f df dla funkcji f y = y gdy = y = = 0 y = 0 5 Przy odkształcaniu stożka jego promień R zwiększył się z 0 do 0 cm zaś wysokość H zmniejszyła się z 60 do 59 5 cm Obliczyć w przybliżeniu zmianę objętości V stosując wzór dv V Znaleźć wszystkie punkty krytyczne podanych funkcji: 6 g y = + y + + y ; 7 gt s = + t + t + s ; 8 f y = y 4R y Odpowiedzi ; ±R ±R 0 ± R ± R Znaleźć ekstrema podanych funkcji: 9 f y = + 6y y y 0 f y = y 4 y f y = y y f y = + y 9y f y = y6 y 4 f y = y + + y 5 f y = + y + y 6 ln 6 f y = + y ln y 7 f y = + y + y 8 f y = y + + y 9 f y = + y f y = y y y f y = y y + 6y f y = e y f y = e y 4 f y = + y e y 5 f y = e y+y 6 f y = e +y + Odpowiedzi 9 0 maksimum 0 brak ekstremum 0 0 minimum minimum maksimum minimum 5 minimum 6 minimum 7 minima 8 minimum maksimum 9 minimum 0 4 minimum 4 4 maksimum brak ekstremum 0 maksimum 4 0 minimum minimum 6 0 maksimum 7 Znaleźć odległość punktu M = 5 od płaszczyzny π : + y z + = 0 8 Znaleźć odległość między prostymi l : = + t y = t z = 0 l : = 0 y = 0 z = s

24 4 9 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f y = y 4R y na zbiorze gdzie : 0 y 0 + y 4R 40 W sferę o średnicy R wpisać prostopadłościan o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y = y y = y y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 4 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największej objętości 4 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y = y + y + y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 44 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten o największym polu powierzchni 45 Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji f y = y + y+y y na domkniętym trójkącie ograniczonym prostymi + y = = 0 y = 0 46 Wśród prostopadłościanów których suma długości wszystkich krawędzi wynosi znaleźć ten którego suma powierzchni pięciu ścian jest największa

25 5 Obliczyć całki podwójne: 8 Całki podwójne y ddy gdzie = [0 ] [0 ] y ddy gdzie = [ ] [0 ] 4 + y ddy gdzie = [0 ] [ ] y ddy gdzie = [ ] [ ] 5 y y ddy gdzie = [0 a] [0 b] 6 ddy gdzie = [0 ] [0 ] +y 7 e y ddy gdzie jest prostokątem o wierzchołkach O = 0 0 P = 0 Q = R = y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = 0 y = 9 + ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach A = y B = C = 0 + ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach: a ; b ; c ; d 0 0 y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 0 y = 0 + y = 0 Niech będzie trójkątem o wierzchołkach Obliczyć a ddy; b y ddy ddy gdzie jest trójkątem o wierzchołkach O = 0 0 P = Q = 4 4 y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y =

26 6 5 a ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y = a 6 a ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywą + y = a 7 + y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = = y = 0 y = 8 ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzy- wymi: = y = 9 6 ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: = 6 y = y = 0 4 y ddy gdzie jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = y = Odpowiedzi b a + 6 b a 6 π 7 e e 4 e a 5; b ; c ; d a 0; b a a Pokazać że: π π 4 0 sin y dy y d = e y dy d = e 0 a a a 0 a a a y dy a 0 +y dy d = 8 a d = a

27 7 9 Równania różniczkowe zwyczajne Narysować linie całkowe równań: y = sin y + y tg = 0 y 4 = y 4 yy + = 0 5 y y = 0 6 y + y = 0 7 y = y 8 y = y Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych 9 y + y = 0 0 y a + = y y = y dr + r tg ϕ dϕ = 0; rπ = d = dt 0 = 4 y = 0 005y y0 = y = 0 005y + 5 y0 = y = e y cos y0 = 0 7 y = y; y4 = 8 + y + y + = y; y0 = 9 y + y = 0; y = 0 y = y + ctg ; y = gdy = π 4 + y + + y = 0 + y = y + y = 0 +y 4 y = y ln ; ye = Odpowiedzi 9 y = Ce ; 0 y = C + a + ; y = C e ; r = cos ϕ; = ; 4 y = 0 5 e 0005t ; 5 +e t y = e 0005t ; 6 y = ln sin + ; 7 y = e ; e 8 y = y = ; 0 y = sin C ; y = ; + +C y+ = C ; 0 y = 0 +C; 4 y = ln +; + Równania różniczkowe postaci y = f y 5 y = +y 6 y = y + y 7 ds = s t 8 dt t s y + y = y 9 yy = y 0 y y = + y y = 0 y = y y; y = y = y + ln y ; y = e y + y = + y y 4 y y arc tg y = ; y = 0 5 yy = y 6 y = y Odpowiedzi 5 y = ln + C; 6 y = ; 7 C ln s = t ln C ; 8 gdy > 0 y = ln C gdy < 0 y = ln C; 9 t + y = C; 0 y = ; y = ; y = e ; y = Ce y ; 4 + y = e y arc tg y ; 5 y = Ce y ; 6 y = C + y Wyznaczyć równanie rodziny krzywych prostopadłych do rodziny: 7 parabol ay = 8 hiperbol y = c 9 elips + 4y = a 40 okręgów + y = a Odpowiedzi 7 y + = c ; 8 y = C; 9 y = C 4 ; 40 + y = Cy

28 8 Równania różniczkowe liniowe 4 y y = y = 4 y y tg = cos 4 y + y = e 44 y + y = e 45 + y y = + 46 y = y+ 47 y + y = e 48 y + y = ln + 49 y + y = 4 50 y + y = y + y = 5 y y = y0 = 0 5 t ds dt y cos y sin = sin 55 y + y cos = sin 56 t ds s dt = t ln t dt 57 y y tg = ctg 58 + y + y = 59 y + y = 60 a + y + y = Odpowiedzi 4 y = +; 4 y = ; 4 y = cos e 5 e5 + C 44 y = + C e ; 45 y = + C + ; 46 y = C ; 47 y = e + C ; 48 y = ln + C ; 49 y = + C e ; 50 y = + C e ; + 5 y = + C ; 5 y = +4 + C ; 5 s = + t t ; 54 y = sin +C ; 55 y = sin + C cos e sin ; 56 s = t ln t t + Ct ; 57 y = ln tg +cos +C ; 58 y = + C cos 59 y = + C e ; 60 y = ln C+ a + a + Równania różniczkowe zupełne 6 + y d + dy = 0 6 y 4y d + 4 y + y dy = y d + y dy = 0 64 e y d + e y dy = 0 65 e y d + e y dy = 0 66 y y d + y ln dy = 0 67 cos yd + y sin y dy = 0 68 cos y + d sin ydy = 0 + ; Odpowiedzi 6 + y y = C; 6 y y + y 4 = C; 6 y + 4 = C; 64 e y y = C; 65 e y + y = C; 66 y = C 67 cos y + y = C; 68 cos y + = C Równania różniczkowe rzędu drugiego 69 y = y y0 = 0 y 0 = ; 70 y = y y0 = y 0 = 0; 7 y = y y0 = y 0 = 0; 7 yy = y ; 7 y + y y = 0; 74 4y y = y0 = y 0 = ;

29 y y = y y ; cos y 76 y = sin y y ; 77 yy y = y ; 78 d y = α + dy d d y0 = α y 0 = 0; 79 y y = e ; 80 y ln = y ; 8 y + y = 0; 8 y + y = Odpowiedzi 69 y = sin ; 70 y = cos ; 7 y = e +e ; 7 y = C e C y ; 7 + yc = + C ; 74 y = 4 4 ; 75 y = tg C + C ; 76 tg y = C + C ; 77 y = C C e C + C ; 78 y = e α +e α α ; 79 y = e + C + C ; 80 y = C ln + C ; 8 gdy C > 0 y = C arc tg C + C gdy C < 0 y = C ln C + C + C gdy C = 0 y = C ; 8 y = + C ln + C

30 0 0 Szeregi liczbowe szeregi potęgowe Korzystając z definicji zbadać zbieżność szeregu: n n + n n= n= n 4 n! nn+ n= n= 5 6 ln + n n+ n n= n= 7 n 8 n= n= n n Odpowiedzi rozbieżny rozbieżny zbieżny 4 zbieżny 5 zbieżny 6 rozbieżny 7 rozbieżny 8 rozbieżny Obliczyć sumę szeregu: 9 0 n n=0 n=0 n= n+ n n + n +4 n 6 n Odpowiedzi Zbadać zbieżność szeregu n 4 n+ n + n n= n= 5 n+ n n 6 n n n= n= 7 n+ n + n 8 n + n= n= 9 ln n n+ 0 n n= n= ln n ne n n n= Odpowiedzi rozbieżny 4 rozbieżny 5 zbieżny 6 zbieżny 7 zbieżny warunkowo zbieżny 8 zbieżny 9 rozbieżny 0 rozbieżny zbieżny zbieżny n= Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów:

31 5 7 9 n n 4 n + n 6 n n 0 n 8 + n n+ 0 n= n= n= n= n= n n n n= n= n= + n n + n n n n + n n= n n n n n n n= Odpowiedzi < < 4 < 0 5 < < < < < 9 < 0 < 5 < Pokazać że sin = ;! 5! 7! 4 sin =! + 5 5! 7 7! + ; 5 e d = C ! 7 7! + Obliczyć z dokładnością do trzech miejsc po przecinku 6 05 d : d 8 0 e d 9 sin d 0 Odpowiedzi

32 Analiza wektorowa Znaleźć jednostkowy wektor normalny do powierzchni stożka opisanej równaniem + y = z w punkcie Wyznaczyć jednostkowy wektor normalny do powierzchni opisanej równaniem yz = w punkcie Wyznaczyć jednostkowe pole wektorowe normalne do powierzchni sfery o środku w początku układu i promieniu a i skierowane na zewnątrz 4 Obliczyć div A oraz rot A dla A = y i + yz j + y z k 5 Obliczyć div A oraz rot A dla A = sin yz i + sin z j + sin y k 6 Niech r = i + y j + z k Wykazać że r = oraz r = 0 o ile r 0 7 Niech r = i + y j + z k Wykazać że grad r = r r o ile r 0 8 Obliczyć y dl gdzie Γ jest łukiem paraboli y = zawartym Γ między punktami 4 9 Obliczyć Γ + ydl gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach Obliczyć Γydl gdzie Γ jest obwodem prostokąta o wierzchołkach: O = 0 0 P = 4 0 Q = 4 R = 0 Obliczyć z dl gdzie Γ jest pierwszym zwojem linii śrubowej: +y Γ = a cos t y = a sin t z = at Obliczyć Γ y dy + d gdzie Γ jest okręgiem + y = w kierunku dodatnim Obliczyć y d + dy gdzie Γ jest okręgiem +y = +y +y Γ w kierunku dodatnim 4 Obliczyć Γ y d + dy gdzie Γ jest sparametryzowana równaniem rt = t i + t t j dla t 5 Czy całka Γ y + d + dy zależy od drogi całkowania? 6 Obliczyć 00 y + d + dy 7 Czy całka Γ yzd + zdy + ydz zależy od drogi całkowania?

33 8 Sprawdzić twierdzenie Greena dla + y d + + dy gdzie Γ Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach Sprawdzić twierdzenie Greena w przypadku całki y dy y Γ d gdzie Γ jest okręgiem + y = 4 w kierunku dodatnim; 0 Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę y + + y d + Γ y + y dy gdzie Γ jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach O = 0 0 A = 0 B = C = 0 ; Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę d dy gdzie Γ y Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = B = C = Stosując twierdzenie Greena obliczyć całkę Γ y d+ + y dy gdzie Γ jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach A = B = 4 C = 4 = Pokazać że Γ y + e y d + y + e y y dy = 0 gdzie Γ jest krzywą zamkniętą symetryczną względem osi współrzędnych 4 Obliczyć pole elipsy = a cos t y = b sin t Σ 5 Obliczyć pole pętli linii = t y = t t 6 Korzystając ze wzoru Σ = ds obliczyć pole powierzchni bocznej walca o promieniu R i wysokości H 7 Obliczyć 6 + z y ds po powierzchni sparamatryzowanej Σ równaniem ru v = u i + v j + u k dla 0 u i 0 v 8 Obliczyć ds po tej części sfery + y + z = a która leży w Σ pierwszej oktancie 9 Obliczyć dydz +y dzd+z dd po zewnętrznej stronie sfery Σ + y + z = a 0 Za pomocą wzoru Gaussa obliczyć Obliczyć Γ Σ dydz + y dzd + z ddy braną po zewnętrznej stronie ostosłupa utworzonego z płaszczyzn + y + z = a = 0 y = 0 z = 0 d+ + y dy+ + y + z dz gdzie Γ : = a sin t y = a cos t z = a sin t + cos t t [0 π]

34 4 Odpowiedzi ± 6 ; ± ; 4 div A = y + z rot A = yz y i + yz y k; 5 div A = 0 rot A = cos y cos z i y cos y y cos yz j + z cos z z cos yz k; ; 9 + ; 0 4; a8π ; 0; π; 4 6; 5 nie; 6 4; 7 nie; 8 9 0; 0 0; ; 6; πab ; 8 πa 4 ; 9 4πa ; 0 a4 4 ; πa

35 Literatura [] GNBerman Zbiór zadań z analizy matematycznej PWN Warszawa 966 [] M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna Cz - Oficyna Wydawnicza GIS Wrocław 00 [] B Gdowski E Pluciński Zbiór zadań z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Warszawa 000 [4] l Jeśmanowicz J Łoś Zbiór zadań z algebry PWN Warszawa 969 [5] WKrysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach Cz I-II PWN Warszawa 00 [6] A McQuarrie Matematyka dla przyrodników i inżynierów PWM Warszawa 005 [7] WPMinorski Zbiór zadań z matematyki wyższej WNT Warszawa 974 5

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści 2

Spis treści. Spis treści 2 Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18) ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi

Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1 KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera: Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x . Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0 WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)). MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),

Bardziej szczegółowo

x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f

Bardziej szczegółowo

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania

Bardziej szczegółowo