RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ"

Kamila Zając
7 lat temu
Przeglądów:

1 RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ

2 Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję F() nazywamy unkcją pierwoną unkcji () w zbiorze D ( D R ), jeżeli np. unkcje: F'( ) F ( ) F( ) F( ) ( ) 50 c, gdzie są unkcjami pierwonymi unkcji c dla D dowolna sala, c R ( ), (, ) Wniosek Funkcje pierwone unkcji () różnią się o sałą.

3 Deinicja Rodzinę wszyskich unkcji pierwonych unkcji () w zbiorze D nazywamy całką nieoznaczoną ej unkcji w ym zbiorze i oznaczamy symbolem ( ) d Deinicja Znajdowanie unkcji pierwonych unkcji danych nazywamy całkowaniem. Funkcję, kóra posiada unkcję pierwoną w zbiorze D nazywamy całkowalną w ym zbiorze.

4 Twierdzenie (własności całki nieoznaczonej) Jeżeli unkcje () oraz g() są całkowalne w zbiorze D o w zbiorze ym. c ( ) d c ( ) d,. [ ( ) ( ) d ± ± g( )] d g( ) d. '( ) d ( ) c 4. [ ( ) d] ( )

6 Twierdzenie (własności całki nieoznaczonej) Jeżeli unkcje () oraz g() są całkowalne w zbiorze D o w zbiorze ym. c ( ) d c ( ) d,. [ ( ) ( ) d ± ± g( )] d g( ) d. '( ) d ( ) c 4. [ ( ) d] ( ) Twierdzenie Prawdziwe są nasępujące wzory..

8 Przykład Obliczyć całki d 5 sin. d 6. 4 d ) (0, gdzie, 5. π d g g d g 4.

9 Rozwiązanie d d d d 5 5 sin 5 sin. C c c c d d d ln 5 5 sin ln sin

10 Rozwiązanie d 6. 4 d 4 d d d d 4 C g 4arc

11 Rozwiązanie d d 5 50 d d d d 5 50 C 50 -

12 sin 4. g d d d d d d d g C

13 ) (0, gdzie, 5. π d g g d d g g sin sin d sin sin d sin d sin d sin d d sin sin C

14 Przykład Obliczyć całki h sh d h sh d ch d

15 ch sh ghsh/ch sh e e ch e e

16 Przykład Obliczyć całki h sh d h sh d ch d Skorzysamy z aków : ch sh ch ch sh sh sh ch

17 6. ( ch sh ) sh d ch d ch d sh C

18 sh h 7. d ch d h sh ch ch sh ch ch sh d ( ch sh ) ch sh ch d sh d sh d ch ch ch ch sh d shd ch C

19 d ch sh 8. sh ch sh sh ch ch d ch ch sh sh d sh ch shd chd C ch sh

20 Twierdzenie (całkowanie przez podsawianie) Jeżeli g() jes unkcją różniczkowalną oraz () jes unkcją całkowalną, o ( g( )) g'( ) d sosujemy podsawienie : ( ) g( ), g'( ) d d d

21 Twierdzenie (całkowanie przez podsawianie) Jeżeli g() jes unkcją różniczkowalną oraz () jes unkcją całkowalną, o ( g( )) g'( ) d sosujemy podsawienie : ( ) g( ), g'( ) d d d Przykład Obliczyć całki I [( ) 5] d I I ln 5 d e d sin I I I 0 4 ) 5 6 ( 5 d d '( ) d ( )

22 Można eż inaczej: Przykład I ( ) d g( ), ( g( )) g'( ) d d g'( ) d d 7 4

23 Twierdzenie (całkowanie przez części ) Jeżeli () jes unkcją różniczkowalną oraz g () jes unkcją całkowalną, o ( ) g'( ) d ( ) g( ) '( ) g( ) d Uzasadnienie: Prawdziwość wierdzenia wynika z wierdzenia o pochodnej iloczynu i z własności całki. ' [ ( ) g( ) ] '( ) g( ) ( ) g'( ) ' [ ( ) g( ) ] d '( ) g( ) d ( ) g'( ) d ( ) g( ) '( ) g( ) d ( ) g'( ) d

24 Przykład Obliczyć całki: d d d sin.. ln. arcg d g g d g ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( d e d 5. sin. 4

25 Przykłady rudniejsze: Obliczyć całki 6. d 7. arcg d 8. arcsin d 9. arcg d

26 g' 6. d ' g sin 4 sin sin d 4 4 sin d sind 4 4 sin C sin C 4 4 8

27 arcg g' 7. arcg d arcg ' g arcg arcgd

28 arcgd d g g arcg ' ' C arcg d d d d C arcg d d d d

29 arcgd arcg g g arcg ' ' d arcg arcg arcg ) ( ) ( d arcg d arcg arcg d d arcg d d d arcg arcg ) ln( C arcg arcg ) ln( C arcg arcg arcg ) ln(

30 Czyli osaecznie: arcgd arcg arcg ln( ) C Wróćmy do naszej całki: 7. arcg d

31 7. arcg d arcg arcg ' g' g arcg arcgd arcg arcg arcg ln( ) C arcg arcgd arcg arcg ln( ) C arcg arcg ln( ) C

32 arcsin 8. d arcsin ' arcsin d arcsin d arcsin d d d g g' g d ( d) d d ( d ) arcsin C arcsin 4 C

33 Przykłady rudniejsze: 9. arcg d

34 d arcg 9. d d d d d arcg ' ' g g arcg d arcg C arcg ) ( arcg d d d d C arcg d d [ ] C arcg arcg ) (

35 Wzory rekurencyjne. n e d. n sin d. d n N n ( ) 4. e sin d

36 Wzory rekurencyjne d e n. ' ' n n e g n e g d e n e n n d e n e n n ' e g dla n d e ' ' e g e g d e e C e e n

37 n. n sin d g' sin n ' n g n n n n d ' n ( n) n ( n ( ) n sin n sin d) n g' g sin n n ( n ) n n sin n sin d dla n sin d d sin C dla n

Podobne dokumenty

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga! Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku