Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Transkrypt

1 Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i jak pokażemy w dalszej części szereg = = jestrozbieżymimożeciąga = zbiegado0(symbolem = będziemyozaczaćszereg rozbieży. Przykład.Szereg = iejestzbieżypoieważ =. Przykład.Szereg = ( iejestzbieżypoieważciąga składasięzdwóchpodciągów-złożoegoz wyrazówparzystycha izłożoegozwyrazówieparzystycha + zktórychpierwszyzbiegado = adrugido (+ =0.Wyikaztego,żepopierwszeteciągiemagraicyajedezpodciągów dążydo+.szeregteiejestzatemzbieży. Badaie szeregu ależy zawsze rozpoczyać od sprawdzeia tego waruku.. Kryteriaporówawcze Defiicja.Jeżeli0 a b dla> 0 N, 0 ustaloaliczbaaturala,to ( b < ( = a < = ( a < = ( = b < Żeby zastosować kryterium porówawcze trzeba mieć z czym porówać day am szereg. Najużytecziejsze sąszeregitypu = któresązbieżedlaα>(aleiedlaα=. α Przykład3.Zbadaćzbieżośćszeregu + =. Rozpatrzmyfukcjęa(= +.Mamy,żea(= 0.>0.Rozważmyterazfukcjęb(=. 3/ Mamy,żeb(= >.Sprawdźmy,czyfukcjetekiedykolwieksięprzeciają + = 3 + = + = + =0 0= Czylisprzeczość,tedwiefukcjesięigdyieprzeciają.Zatemdlakażdego mamyb(>a(. Zdefiiujmyteraza =a(ib =b(.skoroierówośćb(>a(byłaspełioadlakażdego to jesttakżespełioadla N.Mamyzatemoszacowaiea <b gdzieb jestzbieżystądamocykryterium porówawczegoszerega jestzbieży.pytaie,skądwiadomojakiewziąśćoszacowaie.zauważcie,żewyraza możazapisaćjakoa = + ( gdziea dlamałych/zachowujesięjaka + =.Pytaietylkoczya 3/ jestodpewego 0 większyiż (wtedymielibyśmyoszacowaieoddołuprzez 3/ szeregozbieżyktóreicamiedajeboiciemówiozbieżościa czymiejszyiż.sprawdziliśmy 3/ że zachodzi te drugi przypadek. Ale, powtarzam, takie oszacowaie ależy zawsze udowodić. Jako bous: takaprawdętozbadaliśmyzakresztyrzędu wrozwiięciutayloragdyż+ todwapierwszewyrazy rozwiięcia fukcji f( = + wszeregtaylora.

2 .3 Kryteriumd Alemberta Defiicja3.Jeśli = a jestszeregiemowyrazachdodatichi a + a =gtoszeregjest: zbieżyjeślig< rozbieżygdyg> gdyg=kryteriumtoierozstrzygaczyszeregjestzbieżyczyrozbieży Ciąga możeiemiećgraicy.wtymwypadkutwierdzeietomożasformułowaćmociejjako zbieżyjeślisup a+ a < rozbieżygdyif a+ a > Przykład.Zbadaćzbieżośćszeregu Korzystając z powyższego kryterium mamy = a + = a! dla>0 + (+!! = + =0 Zatemamocykryteriumd Alembertaszeregtejestzbieży.Namargiesie,sumategoszeregurówajeste. Przykład5.Zbadaćzbieżośćszeregu Korzystając z kryterium d Alemberta mamy a + = a = (3(+! (+ 3(+ (3! 3 = [ (3! 3 3 (3+3(3+(3+(3! = (3!(+ 3 (+ = 3 7(+ 3(+ 3 (+ (+ 3 ] = 7 e = e Liczbae<3zatemcałagraicajestwiększaiżwięcszeregjestrozbieży.Podrodzeskorzystaliśmyzdefiicji liczbye= + Przykład6.Zbadaćzbieżośćszeregu (! =3 (!. 3 Sumujemyod=3bodla=miaowikjestrówy0adla=wyraza byłbyujemyazajmujemy się a razie jedyie szeregami dodatymi. Na pierwszy rzut oka wydaje się że szereg te jest rozbieży więc spróbujmy go oszacować od dołu przez szereg robieży. Mamy (! (! 3>(! (! Niemożemytegorozbićadwaszeregipoieważchcemypokazaćżeszeregtejestrozbieżyazfaktużedwa szeregisąrozbieżeiewyikażeichróżicajestrozbieża.chcemyterazjakośpowiązaćzesobą(!i. Stwórzmyciągb = (!.Stądmamy,że b + (+ + ( (! = b (+! = + + (+(+ =0 Aletojesticiegojakstwierdzeiezbieżościszeregu = b zkryteriumd Alemberta.Zwarukukoiczegozbieżościszeregumamy,że b =0czyli!jestdowoliedużewporówaiuz (dla odpowiediodużego.wszczególościbiorącdefiicjęgraicymamywybierającǫ=,żeistiejetakie 0 żedlakażdego> 0 b <.Szeregb jestdodatiwięcmożemyopuścićmodułdostając < (!.Mamy zatem oszacowaie (! (! 3>(! (! > (! (! A te ostati szereg jak już łatwo pokazać z kryterium d Alemberta jest rozbieży. Na mocy kryterium porówawczego szereg z treści zadaia jest rozbieży.

3 . KryteriumCauchy ego Defiicja.Jeśligraicaciąguliczbowego a =gtoszereg = a < dlag<i = a = dlag>.zowymożatotwierdzeiesformułowaćmociejbiorącsupiifaalogicziejakwregule d Alemberta. Przypomiam, że kryterium to ie działa dla przypadku g =. Przykład7.Zbadaćzbieżośćszeregu. 3+ = + Bezpośredio z kryterium Cauchy ego = + =3> Szereg te jest zatem a mocy kryterium Cauchy ego rozbieży. Przykład8.Zbadaćzbieżośćszeregu [( ++si( π ] =. Stosujemy kryterium Cauchy ego i liczymy [( ++si ] π ( = ( ++si π Widaćodrazu,żeczyik( przyjmujedwiewartości( dlaieparzystychidlaparzystych.zkolei składiksi π przyjmujetrzywartości±,0.stądmamytrzykilkaróżychgraic ( ++si π ( + ++si ( + ++si ( +3 ++si (+π (+π (+3π Korzystamy z siliejszej wersji kryterium Cauchy ego i mamy { sup a =sup 0, },3 = 3 = = 3 =0 = 3 < Zatem szereg te jest zbieży. Takie rozpatrywaie podciagów jest użytecze jeśli ciąg zawiera elemety zmieiające zak których ie da się wyfaktoryzować przed day wyraz ciągu. Przykład9.Zbadaćzbieżośćszeregu = (log. log SpróbujmyzCauchy egoipoliczmygraicę (log log.jakłatwowidaćzl Hospitala log =0 =0 (log log.dlaułatwieiazdefiiujmyfukcjęf(= Graica f(jestzatemtypu 0.Wtakimprzypadkubierzmylogarytmwyrażeiaimamypodwukrotym zastosawaiu reguły l Hospitala logf(=0 f(= poieważjesttofukcjaciągłaa>0.ważyfakt:graicawyosiczyliregułacauchy egoiedziała. Spróbujmy iaczej i policzmy (log log log = (loglog(log αlog= (log(log(log α= α (log Zciągłościlogarytmumamywiosek,że log =.Zatemistiejetakie α 0 żedla > 0 (log log > α (log < log.wszczególościwybierając Nmamy α (log < log dlaα= co dowodzi zbieżości rozpatrywaego szeregu a mocy kryterium porówawczego. 3

4 .5 Kryteriumzagęszczeiowe Defiicja5.Niechciąga będziemalejący.szereg = a jestzbieżywtedyitylkowtedygdyzbieżyjest szereg = a. +(. Przykład0.Zbadaćzbieżośćszeregu = Napoczątektrzebasięupewić,żejesttociągmalejący.Liczymykilkapierwszychwyrazów,a =,a = 3 6 =,a 3= 6,a = 3 56 < 56 = 6.Czylidziaładlakilkupierwszychwyrazów.Sprawdźmyogólie a + = +( + a +( = 3 odpowiedio dla parzystych i dla ieparzystych. Ciąg jest zatem malejący. Na mocy kryterium zagęszczeiowegobadamyzbiężośćszeregu = +( = 3 =.Stosująckryteriumd Alemberta + = =0 Zatem a mocy kryterium d Alemberta i potem zagęszczeiowego wyjściowy szereg jest zbieży..6 Kryteriumcałkowe Defiicja6. Jeżelifukcjaf jestmalejącaidodatiaa[ 0,+ ], 0 Ntoszereg = 0 f(icałka = 0 f(dsąjedocześiezbieżealborozbieże. Przykład.Zbadaćzbieżośćszeregu =. +α Zbieżośćbadamyrozważajączbieżośćcałki d.mamy,jeśliα>0, +α d= +α α α = α ( ǫ = α cojestskończeiepoieważzałożyliśmy,żeα>0.jeśliα=0tocałkatajest logarytmiczie rozbieża i a mocy powyższego twierdzeia rozbieży jest także te szereg. Wiosek: szereg = jestrozbieży. Przykład.Zbadaćzbieżośćszeregu Rozważamycałkę jest zbieży. d log +s = = log +s. 6 < dlog log +s = slog s < więcamocykryteriumcałkowegobadayszereg Użyteczość kryterium całkowego jest ograiczoa przez całki które często mogą być dosyć skomplikowae. Jakoprzykładmożapodaćszereg = + log. Dowód jego zbieżości jest elemetary ale wymaga żmudego rozkładu a ułamki proste(było częściowo a ćwiczeiach. Szeregi o wyrazach aprzemieych Przechodząc od szeregów skończoych do szeregów ieskończoych o wyrazach dodatich zatkęliśmy się z ciekawym faktem, że suma ieskończoej liczby wyrazów może być skończoa. Pora zająć się szeregami o wyrazach dowolych(zarówo dodatich jak i ujemych. Pierwsze twierdzeie jest astępujące Defiicja7.Jeśliszereg = a jestzbieżytoszeregutworzoyztychsum (a +...+a +(a a +...+(a k a k jest zawsze zbieży i ma tę samą sumę co szereg wyjściowy. Iymi słowy, szereg zbieży ma własość łączości. Należyzwrócićuwagę,żewodwrotąstroętoiezawszejestprawdą.Szeregzbieży( +( +... któregosumawyosi0poopuszczeiuawiasówzamieiasięwszeregrozbieży Wyrazytego szeregu moża pogrupować a dwa sposoby dostając sumę rówą lub 0. Ale jeśli po opuszczeiu awiasów dostaie się szereg zbieży to jego suma będzie taka sama jak suma szeregu wyjściowego. Defiicja8.Szereg = a azywamybezwzględiezbieżym,jeżeliszereg = a jestzbieży. Szereg = a jestszeregiemowyrazachdodatichidobadaiajegozbieżościmożazastosowaćwszsytkiepozaewcześiejkryteria.naprzykładstosująckryteriumcauchy egoibadającgraicę a. Jeśliszereg = a jestzbieżyaszereg = a ietomówimy,żeszeregjestzbieżywarukowo. Defiicja9.Jeśliszereg = a jestzbieżybezwzględietoszeregotrzymayziegoprzezprzestawieie wyrazów jest rówież zbieży i ma tę samą sumę co wyjściowy szereg. Czyli: szereg zbieży bezwzględie ma własość przemieości.

5 W ogólości ie jest to prawda jak zaraz zobaczymy. Ale ajpierw kilka prostych przykładów. Przykład3.Zaleźćsumęszeregu i= S N = N = ( (+ = ( (+. N = ( = + N+ gdziewsumietejkasująsięprawiewszystkiewyrazypozapierwszymiostatim.stądwidać,że N S N = Przykład.Zaleźćsumęszeregu i= cos. Jesttoszeregowyrazachdodatichiujemychpoieważ cos.rozważmyzbieżośćbezwzględą tegoszeregu.mamy a = cos.szereg = jestzbieży,zatemszereg i= cos jestzbieży bezwzględie(a mocy kryterium porówawczego czyli jest zbieży. Defiicja0.KryteriumLeibiza:Mamyszereg i= a taki,żea >0, N,ciąga jestmalejącyi a =0towtedy = ( a <. Przykład5.Szereg ( = azywamy szeregiem aharmoiczym i jest o zbieży a mocy kryterium Leibiza ale jedyie warukowo(sprawdźcie że spełia o założeia tego kryterium. Defiicja.Doszeregu ( = iestosujesiękryteriumleibizapoieważ = 0. ie stosuje się kryterium Leibiza poieważ ie jest o moo- Przykład6.Doszeregu toiczie malejący = ( ( a + a = ( + + ( = ( + + ( = + C gdziecjestalbo3albo 3 wzależościodtegoczyjestparzysteczyteżie. Na zakończeie przykład ilustrujący co się dzieje jeśli zaczyamy przestawiać wyrazy w szeregu zbieżym jedyiewarukowo.weźmyszeregaharmoiczy k k +...gdziewyspisałemjawie k pierwszych wyrazów. Przestawiając wyrazy dostajemy iy szereg ( ( k k k Łącząc wyrazy w awiasach dostajemy S 3m = = ( k k = k = ( k = k = ( k k co po zsumowaiu dla m daje połowę wartości szeregu aharmoiczego. Jest tak dlatego iż szereg aharmoiczy jest zbieży jedyie warukowo. 5