Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
|
|
- Jacek Walczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p p)), 3. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 4. = (p q) ( p q), 5. = ( (p q)) (p q). Podaj iterpretację dwóch pierwszych tautologii. Uwaga: = φ ozacza, że φ jest tautologią. Zadaie 2 Pokaż, że jeśli Jaś umie matematykę i Jaś ie umie matematyki, to Jaś umie fizykę.. Sformułuj odpowiedią tautologię. 2. Podaj ie przykłady zastosowaia tej tautologii. Zadaie 3 Zapisz, stosując otację matematyczą, astępujące zdaia i formuły:. p jest liczbą pierwszą, 2. istieje ajmiejsza liczba aturala, 3. ie istieje ajwiększa liczba aturala, 4. ie istieje ajmiejsza liczba rzeczywista dodatia. Zadaie 4 Podaj iterpretację astępujących zdań. ( (0, ))( N)( < ), 2. ( R)( 2 0), 3. (, y R)( < y = y > y). Zadaie 5 Niech R(, y) ozacza, że " jest rodzicem y". Niech K() ozacza, że " jest kobietą". Zdefiiuj, korzystając z otacji matematyczej oraz predykatów R i K, astępujące predykaty:." jest dziadkiem y", 2." jest siostrą y", 3." jest bratem y", 4." jest ciotką y". Zadaie 6 Niech A = [0, 2] oraz B = [, 3). Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 7 Niech A = {(, y) R 2 : 2 + y 2 } oraz B = {(, y) R 2 : 2 <, y < 3 2 }. Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A.
2 Zadaie 8 Odcikiem azywamy dowoly podzbiór A R taki, że Spróbuj opisać rodzię wszystkich odcików. ( a, b, c) (((a < b < c) (a A) (c A)) b a). 2 Liczby aturale, wymiere i rzeczywiste Zadaie 9 Uprość astępujące wyrażeia: , Zadaie 0 Przypomij sobie dowód tego, że 2 / Q. Zadaie Pokaż, że jeśli q Q to 2 + q / Q. Zadaie 2 Niech a = Dla N defiiujemy liczby a = a 0 0. Wyzacz pierwsze 0 wyrazów tego ciągu, tz. oblicz liczby a 0, a,..., a 9. Uwaga: ozacza część całkowitą liczby.. Zadaie 3 Pokaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych oraz y mamy. ( + y)( y) = 2 y 2 2. ( + y) 2 = 2 + 2y + y 2 3. Z jakich własości liczb rzeczywistych korzystałaś/korzystałeś podczas dowodzeia tych wzorów? Zadaie 4 Dla jakich par liczb rzeczywistych i y zachodzi rówość ( + y) 2 = 2 + y 2? Zadaie 5 Pokaż, że zbiór liczb wymierych jest zamkięty a dodawaie, odejmowaie, możeie i dzieleie przez liczbę różą od 0. Zadaie 6 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że = 2( + ). Uwaga: Musisz rówież zać proste wyprowadzeie tego wzoru.. Zadaie 7 Pokaż, korzystając ze wzoru z poprzediego zadaia, że (2 + ) = ( + ) 2. Zadaie 8 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że = 6( + )(2 + ). Zadaie 9 Wyzacz samodzielie sześć pierwszych wierszy trójkąta Pascala. Wypisz wzory a ( + y) dla = 0,, 2,..., 5. ( k ). Jak moża tę obserwację wykorzystać do wyzacza- Zadaie 20 Pokaż, że jeśli 0 < k to ( k ia wartości ( k)? ) = k Zadaie 2 Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa (a + b) = ( k=0 k) a a b k pokaż, że (. ) k=0 k = 2 ( 2. ) k=0 k ( ) k = 0. Zadaie 22 Narysuj wykres wartości ( ) 20 k dla k = 0,..., 20. Która z tych liczb jest ajwiększa? Uogólij to spostrzeżeie dla ciągu liczb ( ( k) )k=,..., dla dowolego. Wskazówka: Możesz, p., skorzystać z fukcji KOMBINACJE programu Ecel. Zadaie 23 Za pomocą wyszukiwarki Google arysuj wykresy różych fukcji kwadratowych (p. wprowadź w pasku zapytań wyrażeie ). Zapozaj się z likami umieszczoymi a stroie ki.pwr.edu.pl/studeciolietools.php. Spróbuj arysować wykresy fukcji kwadratowych za pomocą serwisu Wolfram Alpha. 2
3 Zadaie 24 Wyzacz astępujące zbiory:. A = { R : > 0}, 2. B = { R : }, 3. C = { R : }, 4. D = { R : > 0}. Zadaie 25 Podaj ograiczeia dole i góre astępujących zbiorów:. { + : N} 2. (0, ) (3, 4]. 3. [0, ] \ Q * Zadaie 26 Sformułuj samodzielie pojęcie kresu dolego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - ozaczmy go przez if(a). Pokaż, że if(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywioskuj z tego, że każdy ograiczoy z dołu podzbiór R ma kres doly. * Zadaie 27 Niech A = { 0 : 2 < 2}. Pokaż, że sup(a) 2 = 2 (czyli, że sup(a) = 2). Zadaie 28 Korzystając z tego, że si 2 () + cos 2 () = pokaż, że si() + 2 cos() 5 dla każdego R. Wskazówka: Skorzystaj z ierówości Cauchy ego. Zadaie 29 Pokaż, że dla dowolego ciągu liczb a,... a zachodzi ierówość a a a a2. 3 Ciagi Zadaie 30 Pokaż, że ciąg ( ) jest ograiczoy. Zadaie 3 Oblicz graice astępujących ciągów:. a = 3+ +2, a = , 2. b = , b = , 3. c = , c = , 4. d = , d = Zadaie 32 Dlaczego ciąg a = ( ) + ie jest zbieży? Zadaie 33 Dlaczego ciąg a = ( 2) ie jest zbieży? Zadaie 34 Bezpośredio z defiicji graicy ciągu pokaż, że lim +2 =. Zadaie 35 Oblicz graice ciągów. a = +( ) 2+, 2. b = +, 3. c = 2 +. Zadaie 36 Pokaż, że ze zbieżości ciągu (a ) wyika zbieżość ciągu ( a ). Czy prawdziwe jest twierdzeie odwrote? Zadaie 37 Ustalmy liczbę a. Wyzacz graicę ciągu a = a. Zadaie 38 Pokaż, że jeśli a < to lim ( + a a ) = a. 3
4 Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a + q + q q. Zadaie 39 Niech a 0 = oraz a + = 3 + a 2.. Pokaż, stosując metodę idukcji matematyczej, że a a < 6 dla każdego. 2. Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący 3. Wyzacz graicę tego ciągu. Zadaie 40 Niech a 0 = oraz a + = 2 (a + 4). Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy oraz zajdź jego graicę. Zadaie 4 Oblicz graicę lim ( 2 + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru (a + b)(a b) = a 2 b 2.. Zadaie 42 Oblicz graicę astępujących ciągów. a = ( + )3+, 2. b = ( )2+, 3. c = ( + )2, 4. d = ( + )+, 5. e = ( + 2 ). Zadaie 43 Oblicz astępujące graice: lim 5 +, lim Zadaie 44 Załóżmy, że 0 a b. Wyzacz graicę ciągu a + b. Zadaie 45 Załóżmy, że lim a = 0. Pokaż, że wtedy lim a = 0. Zadaie 46 Oblicz lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a b = (a 2 b 2 )/(a + b). Zadaie 47 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzacz graice astępujących ciągów:. a = b = c = Zadaie 48 Niech H = Pokaż, że lim H =. Wskazówka: Pokaż ajpierw, że ciąg (H ) jest rosący. Przyjrzyj się astępie takiemu pogrupowaiu: H 8 = ( ) + ( ). Zapisz w podoby sposób H 6. Spróbuj oszacować od dołu każdy z pogrupowaych składików. 4 Graice i ciagłość Zadaie 49 Naszkicuj wykresy fukcji. f () = 2 si(), 2. f 2 () = 2 si(0), 3. f 3 () = 2 si(00), 4. f 4 () = 2 si(200). Zadaie 50 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = + 2 oraz g() = 2. Zadaie 5 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = ( + 2 ) cos 2 (200) oraz g() = ( 2 ) cos 2 (200). 4
5 Zadaie 52 Niech f() = 2.. Wyzacz graice lim f(), lim f(), lim + f(), lim f(), lim + f(), lim f(). 2. Naszkicuj wykres tej fukcji. Zadaie 53 Niech sg() = : < 0 0 : = 0 : > 0. Pokaż, że fukcja sg ie jest ciągła w pukcie Wyzacz pukty ciągłości fukcji sg. Zadaie 54 Wyzacz pukty ciągłości stępujących fukcji. f () = sg(si()), 2. f 2 () = sg(cos()), 3. f 3 () = oraz 4. f 4 () =. Zadaie 55 Korzystając z Zadaia 37 pokaż, że dla dowolej liczby rzeczywistej a. istieje ciąg liczb wymierych (a ) taki, że lim a = a 2. istieje ciąg liczb iewymierych (b ) taki, że lim b = a Zadaie 56 Niech f() = Pokaż, że fukcja f ie jest ciągła w żadym pukcie. Wskazówka: Skorzystaj z zadaia 55. { : Q 0 : R \ Q Zadaie 57 Narysuj wykresy fukcji zadaych wzorami y =, y =, y = si( ), y = 2 si( ), y = si( ) oraz wyzacz ich graice w pukcie 0. Zadaie 58 Naszkicuj wykresy fukcji zadaych wzorami:. y = 2, 2. y = 2, 3. y = 2 2, 4. y = 3 2. Zadaie 59 Niech > 0. Naszkicuj wykres fukcji zadaej wzorem f() = ( ) ( ). Wskazówka: rozważ oddzielie przypadek parzystego i ieparzystego. Zadaie 60 Oblicz stępujące graice:. lim 0 si(a), 2. lim 2 3, 3. lim 3 2. Zadaie 6 Załóżmy, że fukcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g() = f() jest rówież ciągła. Wskazówka: skorzystaj z tego, że złożeie fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Zadaie 62 Oblicz graice wielomiau postaci w() = + a a + a 0 w ieskończoości oraz w mius ieskończoości. Wskazówka: Rozważ oddzielie przypadek parzystego oraz ieparzystego. 5
6 Zadaie 63 Pokaż, że każdy wielomia stopia ieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia oraz własości Darbou fukcji ciągłych. Zadaie 64 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h() = ma{f(), g()}. Pokaż, że h jest fukcją ciągłą. Zadaie 65 Załóżmy, że f : [0, ] [0, ] jest fukcją ciągłą. Pokaż, że istieje takie [0, ], że f() =. Wskazówka: Przyjrzyj się fukcji g() = f(). Zadaie 66 Niech f, q : R R będą fukcjami rosącymi. Pokaż, że złożeie f g jest fukcją rosącą. Zadaie 67 Naszkicuj wykresy fukcji f () = ( 2 ), f 2 () =, f 3 () = 2, f 4 () = e oraz f 5 () = 3. Zadaie 68 Naszkicuj wykresy fukcji f () = log 2 (), f 3() = log 2 (), f 4 () = log e () oraz f 5 () = log 3 (). Zadaie 69 Pokaż, że każda fukcja f : R R jest sumą fukcji parzystej i ieparzystej. Wskazówka: Rozważ fukcje h() = 2 (f() + f( )) oraz g() = 2 (f() f( )). Zadaie 70 Niech f() = si() oraz g() = 2.. Naszkicuj wykres fukcji f g. 2. Naszkicuj wykres fukcji g f. Zadaie 7 Naszkicuj wykres fukcji f() = 2 +. Sprawdź, że 2 + = ( )( + ) + 2. Korzystając z tego wzoru przedstaw fukcję f jako sumę fukcji liiowej oraz pewej prostej fukcji wymierej. 2. Korzystając z poprzediego puktu aszkicuj poowie wykres fukcji f. 3. Zapozaj się z pojęciem asymptoty ukośej. Zadaie 72 Podaj przykład ciągłej fukcji f : [0, ) [0, ] która ie osiąga wartości maksymalej. Zadaie 73 Pokaż przykład takiej fukcji ciągłej f : (0, ) R która ie jest ograiczoa z góry ai z dołu. Zadaie 74 Załóżmy, że f : R [0, ) jest ciągła, oraz, że lim f() = lim f() = 0. Pokaż, że istieje 0 R takie, że f( 0 ) = sup{f() : R}. 5 Pochode Zadaie 75 Oblicz pochode astępujących fukcji:. f() = , g() = f() = f() =, g() = 2 +, h() = 4. f() = ( )( ) f() = ( + )/( ), g() = f() = e, g() = 2 e, h() = 3 e. Wskazówka: (e ) = e. Zadaie 76 W jakich puktach fukcja f() = + + jest różiczkowala? Zadaie 77 Zajdź przykład ciągłej fukcji f : R R, która ie różiczkowala w ieskończoej liczbie puktów. Zadaie 78 W jakich przedziałach fukcje y = ( ) 2, y = e, y = 2 e są rosące? Zadaie 79 Zbadaj wykresy fukcji y = 2 e, y = 2 +, y = 2 2 ( )( 2). 6
7 Zadaie 80 Zajdź ekstrema fukcji y = (a ), y = (a ) 2. Zadaie 8 Pokaż, że jeśli fukcje f, g i h są różiczkowale w pukcie, to (f() g() h()) = f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Zadaie 82 Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu 2 a + y2 2 b =. 2 Zadaie 83 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustaloym obwodzie kwadrat ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 84 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie i o ustaloej podstawie trójkąt róworamiey ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 85 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie trójkąt rówoboczy ma ajwiększą powierzchię. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia. Zadaie 86 Niech f a,b () = { a + b 2 : < : Zajdź takie parametry a i b aby fukcja f a,b była różiczkowala w każdym pukcie. Zadaie 87 Oblicz pochode astępujących fukcji:. y = 3 3 +, 2. y = si( 2 ), 3. y = e 2, ( 2, 4. y = e 2 + ) 5. y = 2 si(), y = si(cos()), y = si(cos(si())) 6. y = ta 2 (), 7. y = l( 2 + ), y = log ta()) 8. y = l + 2, 9. y = arcsi(e ), y = arccos( 2 ) 0. y = arcta( 2 + ), y = arcta(e ) Zadaie 88 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. f() = 3 e. 2. f() = 3 3. f() = 2 l() 4. f() = 2 l ( 2 + ) + Zadaie 89 Dlaczego fukcja y = l jest ciągła? Podaj możliwie prosty argumet. Zadaie 90 Napisz rówaia styczych do podaych fukcji w podaych puktach:. f() = l( + e ), P = (0, f(0), 2. f() = + 2, P = (, f()). Zadaie 9 Korzystając z reguły d Hospitala oblicz astępujące graice l(e. lim +), 2. lim 0+ l(), 3. lim 0+. Wskazówka: skorzystaj z tego, że t = e l t dla dowolego t > 0, oraz, że fukcja f() = e jest ciągła. l 4. lim, 7
8 5. lim (l ) 3, 6. lim ( 3 )2, 7. lim 0 arcta() Zadaie 92 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. y = e, 2. y = + 2, 3. y = ( )( 2). Zadaie 93 Który z puktów paraboli y = 2 leży ajbliżej prostej y 5 = 0? Wskazówka: Odległość puktu P = ( 0, y 0 ) od prostej o rówaiu a + by + c = 0 wyraża się wzorem. a 0 + by 0 + c a2 + b 2 Zadaie 94 Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu 2 a + y2 2 b =. 2 Zadaie 95 Oblicz pochode astępujących fukcji:. si(si()), si(si(si())) 2. si(cos(si())) Zadaie 96 Naszkicuj wykres fukcji y = arcsi(si()) dla [0, 0π]. Wyjaśij zaobserwowae zjawisko. Zadaie 97 Załóżmy, że f () = f() dla każdego R. Pokaż, że istieje taka stała C, że f() = C e. Wskazówka: Oblicz pochodą fukcji g() = f() e. 6 Całki Zadaie 98 Oblicz astępujące całki: 0 3 d, 0 d, π 0 si()d. Zadaie 99 Wyzacz, bez wykoywaia żadych obliczeń, astępujące całki: π/2 π/2 si()d. 3 d, ( + 5 )d, Zadaie 00 Niech G(c) = c 2 d.. Zakładając, że c > wyzacz G(c) 2. Oblicz lim G(c) 3. Podaj iterpretację otrzymaego wyiku. Zadaie 0 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez części, astępujące całki ieozaczoe:. cos()d, 2 cos()d, 3 cos()d 2. si()d, 2 si()d, 3 si()d 3. e d, 2 e d, 3 e d 4. l d, 2 l d, 3 l d Spróbuj samodzielie uogólić powyższe obliczeia. Zadaie 02 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez podstawieie, astępujące całki ieozaczoe:. si(3 + )d, + d, + 2 d (podstaw t = + 2 ), d, 2 d, e 2 d 8
9 4. si(l )d (podstaw u = l, zastosuj dwukrotie całkowaie przez części) 5. ta d Zadaie 03 Wyzacz pole astępujących obszarów:. A = {(, y) R 2 : 0 2 y } 2. B = {(, y) R 2 : 0 π y si }, 3. C = {(, y) R 2 : y < e }. 4. Obszar ograiczoy parabolą o rówaiu y = i osią OX Zadaie 04 Wyzacz pole elipsy zadaej rówaiem: 2 a 2 + y2 b 2 =. Zadaie 05 Załóżmy, że f jest fukcją różiczkowala oraz, że g jest fukcją ciągłą. Niech H() = f() a g(t)dt. Wyzacz H (). Wskazówka: Niech F () = g(t)dt. Zauważ, że H() = F (f()). a Zadaie 06 Oblicz astępujące całki ieozaczoe z fukcji wymierych: d 2. ( 2)(+5) d ( 2)(+5) d 4. ( 2) d 2 5. ( 2 ) d. Wskazówka: Wyzacz takie liczby A, B i C, że ( 2 ) = A + 6. (+ 2 ) d. Wskazówka: Zastosuj podstawieie = ta(u) d, 2 (+ 2 ) d B + Zadaie 07 Rozważamy fukcję f() = 2 a odciku [0, ]. Rozważamy sumę dolą { s (f, 0, ) = if f() : k k + }. k=0 C ( ) 2.. Korzystając ze wzoru = 6 ( )(2 + ) wyzacz zwartą postać wzoru a s (f, 0, ) 2. Oblicz lim s (f, 0, ) 3. Oblicz 0 2 d za pomocą całki ieozaczoej : ) Zadaie 08 Oblicz objętość torusa powstałego przez obrót koła 2 + (y a) 2 r 2. c.d.. Powodzeia, Jacek Cichoń 9
Analiza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x
ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoAM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (
AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoKlasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań
Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II Lista zadań
Aaliza Matematycza II Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe dwoma lub więcej gwiazdkami są przezaczoe do samodzielego rozwiązaia. chcecie uzyskać wskazówki lub podyskutowac o ich rozwiązaiu,
Bardziej szczegółowoWykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:
: R A R, A przedział A, Wykład III Graice ukcji określoa w, S \ Deiicja 3. (deiicja Caucy eo raicy ukcji) : D U,, ( ) : ot Iaczej: Uot D U K M U ot U ot K M Graice iewłaściwe: k K R D M K K R M R D De.
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowo