+ ln = + ln n + 1 ln(n)

Transkrypt

1 "Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów ((a ),(S )), gdzie S = a i = a + a + + a jest tą sumą częściową szeregu a =. Zauważamy, że ciągi (a ) i (S ) są ze sobą ściśle związae ( a = S S ) i= = Def. Mówimy, że szereg = a jest zbieży do sumy S istieje właściwa graica S = S Uwaga: Czasem stosuje się formaly zapis S = a + a + + a + Def. m tą resztą szeregu Wiosek: Szereg = a Np. Zbadaj zbieżośd: a jest zbieży m N: k= = azywamy szereg a m+k k= a m+k jest zbieży ) l + = S = l + + l l + + l + = = l + l + + l + l + = l + l l + + l l + + l + l()

2 ) S = l( + ) = szereg l + =0 ( + )( + ) = = jest rozbieży S = = ( ) Każdy z ułamków rozkładamy a ułamki proste wg wzoru: = + + ( ) = = S = + = szereg ( + )( + ) ) = =0 S = = z tw. o dwóch ciągach: = => = + jest zbieży jest rozbieży

3 Tw. WK zbieżości szeregu Jeżeli = a jest zbieży, to a =0 Np. Zbadaj zbieżośd:. ( + = ) -rozbieży ( + ) = e. = a, a>0 -rozbieży a = Kryteria zbieżości szeregów Wiosek: Jeżeli N N: a 0, to szereg = a jest zbieży ciąg S jest ograiczoy Tw. kryterium porówawcze Jeżeli N N N: 0 a b to: ) = b jest zbieży = a jest zbieży ) = a jest rozbieży = b jest rozbieży

4 Np. ) = l korzystamy z ierówości l x x : l = =, zbieży jest zbieży + (+) ( ) l = zbieży = ) si + x = korzystamy z ierówości si x, dla x 0, π π 4 = + si π π π 0, π jest rozbieży dowód późiej = 4 π oraz six x dla x = jest rozbieży = si + jest rozbieży = 0 = jest rozbieży (to ic ie daje) Tw. kryterium ilorazowe Jeżeli N N N: 0 < a 0 < b oraz 0,, b to = a i = b są jedocześie zbieże lub rozbieże a

5 Np. Zbadaj zbieżośd:. = Niech b = l( + ). = l + = + ++ Niech b = l(+ ) = l( + ) = l e = > 0 jest rozbieży z wcześiejszego przykładu = jest rozbieży + ++ = = > 0 = zbieży z wcześiejszego przykładu. si = Niech b = szereg si = + = zbieży ++ = jest rozbieży, więc szereg si = = jest rozbieży. Tw. arytmetyka szeregów Jeżeli = a = A i = b = B, to: ) = a ± b = A ± B ) = ca = ca, cϵr zbieży

6 Wiosek: Jeżeli = a jest zbieży i = b jest rozbieży, to = (a ± b ) jest rozbieży Tw. kryterium całkowe Jeżeli fukcja f jest ciągła, dodatia i malejąca w [N, +) oraz to N f x dx Np. Zbadaj zbieżośd. f x = x b l i = - rozbieży x l x x l x = 0 xlx b f(x) = 0, x =N f() są jedocześie zbieże lub rozbieże. jest ciągła, malejąca i ieujema w [, ) dx rozbieża t = lx dt= dx= dx x x= t=l x=b t=lb xlx l b b l t = lb dt = (lt ) b l. =0 - rozbieży + f x = x jest ciągła, malejąca i ieujema w [, ) x + x = 0 x + x b b x x + dx= ( l b b (x + ) ) = ( l b (b + ) l) = = b l lb l l =

7 Def. Szeregiem harmoiczym stopia α azywamy szereg = Badamy zbieżośd: iech f x = x α f x ciągła, dodatia dla x > 0, malejąca dla α > 0 i f(x) = 0 x badamy zbieżość dx x α b b dx x α = b x α+ α+ lx b b dla α = dla α = = b α dla α > dla α (0,) dla α = α b α α α gdzie α R dla α lb dla α = = czyli dla α > szereg dla α (0,] szereg dla α (, 0] szereg α = = = α α jest zbieży jest rozbieży jest rozbieży (ie spełia WK)

8 Def. Szereg =0 aq azywamy szeregiem geometryczym. Badamy zbieżośd: z WK: aq = 0 q < a 0 czyli =0 aq jest rozbieży dla q a 0 S = a + aq + + aq = a q q S = a q dla q < dla q, > <, + szereg aq dla q, szereg aq =0 Tw. kryterium Cauchy'ego Jeżeli N N N: a 0 i =0 jest zbieży do S = a = g, to: ) dla g 0, szereg = a jest zbieży ) dla g, + szereg = a jest rozbieży Uwaga! Tego kryterium ie zastosujemy dla g= jest rozbieży a 0 a q

9 Np. Zbadaj zbieżośd.. = zbieży =. 5 5 = = 5 < zbieży = = - zbieży = + + = = < + + = = e < Tw. kryterium d'alamberta a + Jeżeli N N N: a > 0 i = g, to: a ) dla g 0, szereg = a jest zbieży ) dla g, szereg = a jest rozbieży Np. Zbadaj zbieżośd. = a, a > 0 a = a szereg jest zbieży dla a (0,) i rozbieży dla a (dla a= ie spełioy WK)

10 .! = - zbieży ()!. (!) +! (!) ( +!) 4. a + a ( + )! ( + ) +! = = -rozbieży! +! = = - rozbieży = + +! (+) (!) ( + ) = (!) +!(+)+ + +! =(+)(+)+ = (+)! = ( + = ) (+) + = 4 ( + ) = e < ( + ) = (+) ( + ) Def. Mówimy, że szereg = a jest bezwzględie zbieży = a jest zbieży Mówimy, że szereg = a jest warukowo zbieży szereg = a jest zbieży i ie jest bezwzględie zbieży Tw. kryterium bezwzględej zbieżości Jeżeli szereg = a jest bezwzględie zbieży to jest zbieży. Np. Zbadaj zbieżośd si!. = + badamy zbieżość: = si(!) +

11 = zbieży = si(!) + si! +. Dla jakiej wartości parametru a szereg + a dla a ( =, ( = + jest zbieży bezwzględie = + + a a = a a < a < < a < + )) szereg zbieży (a ) jest zbieży? < -szereg zbieży Dla a = a = + v a = + = - rozbieży, bo ( + ) = + = = + = - rozbieży, bo ( + ) ie istieje Dla a (-; ( )) ( + ; ) - szereg rozbieży, bo ie spełia WK. cos

12 Zbadajmy ajpierw szereg cos Prawdziwa jest ierówośd (z uwagi a to, że zbiorem wartości cosiusa jest *-;]) cos cos Szereg = jest zbieży, stąd z kryterium porówawczego, = też jest zbieży. cos = - bezwzględie zbieży Wiosek Jeżeli = a jest bezwzględie zbieży, to jego suma ie zależy od kolejości sumowaia wyrazów Tw. kryterium Leibiza Jeżeli ciąg a jest malejący, ieujemy i a = 0, to Np. Zbadaj zbieżość. = ( ) + badamy zbieżość bezwzględą: = jest rozbieży iech a = + ( ) + = ( ) + = + ( ) + = ( ) a = ie jest bezwzględie zbieży ieujemy, malejący i + = 0 jest zbieży

13 z kryterium Leibiza. l ( ) = jest zbieży warukowo + = zbieży warukowo badamy bezwzględą zbieżośd: a = l ieujemy, malejący = 0 l. + = zbieży a = ieujemy, malejący = 0 = jest rozbieży l Tw: kryterium Dirichleta Jeżeli a jest malejący i a = 0 oraz S = b + b + + b jest ograiczoy, to szereg = a b jest zbieży. Tw. kryterium Abela Jeżeli = a jest zbieży oraz ciąg b jest mootoiczy i ograiczoy, to b jest zbieży = a

14 Np. Zbadaj zbieżośd: ) = e iech a = i b = e a malejący i a = 0 oraz S = e e = e e e < e S jest ograiczoy z kryterium Dirichleta: ) = si iech a = i b = si = z kryterium Abela a e = jest zbieży jest zbieży oraz b jest malejący i b = 0 = si jest zbieży e =

15 Zadaia:. Zajdź sumy częściowe i zbadaj zbieżośd: a). Zbadaj zbieżośd: a) =, b) + (+) c) l (+)(+) = + =, c) +5. Z kryterium porówawczego zbadaj zbieżośd: a) = 4. Z kryterium ilorazowego zbadaj zbieżośd: a) 5. Z kryterium Cauchy ego zbadaj zbieżośd: a) 6. z kryterium d Alemberta zbadaj zbieżośd: a) 7. Z kryterium całkowego zbadaj zbieżośd: a) 8. Zbadaj zbieżośd: a) 9. Zbadaj zbieżośd: a) (!) + =, =, b) ( ) (+4) = c) ( + c) + + (+) + =, b) + + =, b) +4 ) =, b)! +!! si =, ( + ) =, c) =, b) =! log =, b) =, c) l + = arctg l + = + =, + +4 (+ ) =, c) = e =, b) 8 + tg +! =, c) si( + = )π ( ) l =, b) ( ) tg + ( ) =, c) = ( ) 0. Z kryterium Dirichleta lub Abela zbadaj zbieżośd: a) c) cos π 5 = Wsk.: si (ix) = cosx cos + x l(+) si x si π =, b) =, ( ) i=, cos (ix) = si + x i= si x si x