Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. 2
|
|
- Joanna Matysiak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 OBLICZENIA SYMBOLICZNE, Karolina MikulskaRuminska Kurs komputerowy S Mathematica cz. zmienna = wartosc Set[zmienna,wartosc] x = 7 7 x = x ^ x = 5 5 x Inaczej.. y = y ^ y y = 5 y 5 5 y = 0 y 0 000
2 KursS_cz.nb x ^ D 75 z 75 z = x ^ 75 Clear@y, yd y = y ^ 5 y5 y = 5 5 y 5 y = 5 5 y zmienna:=wartosc SetDelayed[zmienna,wartosc] v = 5 5 v := v ^ 5
3 KursS_cz.nb v 5 v = 5 5 v zmienna=. Unset[zmienna] Quit a= b = c=7 7 a =. ab a? a Global`a c 7 Unset@cD
4 KursS_cz.nb c c Podstawianie zmiennych: ReplaceAll[] (/.) stosuje regule probujac przeksztalcic kazdy element na wyrazenie. ReplaceRepeated[] (//.) wielokrotnie zastepuje tak dlugo az wyrazenie nie bedzie sie juz zmieniac. k = k ^ k k. k 5 5 k. k k k y = x x x= y 8 x= y
5 KursS_cz.nb x x =. x x y. x y. x 8 x x x =. y =. x ^ y x. x y y x ^ y x. 8x y, y z< z x ^ x y. 8x y, y z, z x< ReplaceRepeated::rrlim : Exiting after x x y scanned 55 times. y y z Funkcje i wielomiany BesselI[n,z], BesselJ[n,z], BesselK[n,z], BesselY[n,z], BernoulliB[n,x],
6 KursS_cz.nb xd, 8x,, <D BesselI@,.0D.590 Plot@BesselJ@, xd, 8x,, <D BernoulliB@, xd x x x ChebyshevT[n, x], ChebyshevU[n,x], HermiteH[n,x], LaguerreL[n,a,x], LegendreP[n,x],
7 KursS_cz.nb xd 5 x 0 x x5 ChebyshevU@5, xd x x x5 HermiteH@5, xd 0 x 0 x x5 LaguerreL@5, p, xd I0 7 p 5 p 85 p 5 p p5 00 x 770 p x 55 p x 70 p x 5 p x 0 00 x 70 p x 0 p x 0 p x 00 x 90 p x 0 p x 5 x 5 p x x5 M LegendreP@5, xd 8 I5 x 70 x x5 M Dzialanie na liczbach Permutations[lista], Permutations[lista,n], Permutations[lista,{n}], Binomial[n,m], Multinomial[n,n,..], FactorInteger[liczba], GCD[l,l], LCM[l,l] Permutations@8x, y, z<d 88x, y, z<, 8x, z, y<, 8y, x, z<, 8y, z, x<, 8z, x, y<, 8z, y, x<< b =. Permutations@8a, b, c<d 88a, b, c<, 8a, c, b<, 8b, a, c<, 8b, c, a<, 8c, a, b<, 8c, b, a<< 7
8 8 KursS_cz.nb b, c<, D 88<, 8a<, 8b<, 8c<, 8a, b<, 8a, c<, 8b, a<, 8b, c<, 8c, a<, 8c, b<< Permutations@8a, b, c<, 8<D 88a, b<, 8a, c<, 8b, a<, 8b, c<, 8c, a<, 8c, b<< Binomial@, D H* n! Hm!HnmL!L *L 5 Multinomial@,, D H* Hnn...L! Hn!n!...L *L 0 FactorInteger@ 00D 88, <, 85, <, 8, << ^ * 5 ^ * ^ 00 Najwiekszy wspolny dzielnik z liczb: GCD@, 8, D GCD@5, 5, 585, 5D 5 Najmniejsza wspolna wilokrotnosc: LCM@,, D
9 KursS_cz.nb Dzialanie na wyrazeniach algebraicznych Numerator[wyr], Denominator[wyr], ExpandNumerator[wyr], ExpandDenominator[wyr], Together[wyr], Apart[wyr] exp = Hx L ^ H xl HH xl Hx L ^ L H xl H xl H xl H xl Numerator@expD H xl H xl Denominator@expD H xl H xl ExpandNumerator@expD 5 x x x H xl H xl ExpandDenominator@expD H xl H xl x 7 x x exp = H x L Hx ^ 9L exp = Hx L Hx L x 9 x x x Suma.. Together@exp expd 5 x x H xl H xl 9
10 0 KursS_cz.nb 5 x x 9 x Hx ^ L Hx L x x Podzia³.. Apart@%D x x x PlotB x x x, 8x,.895,.8<F PlotB x x x, 8x,.895,.8<, PlotStyle RGBColor@0.55, 0., 0.77DF Dzialania na wielomianach Expand[wyr], Factor[wyr], Simplify[wyr], FullSimplify[wyr],
11 KursS_cz.nb Dzialania na wielomianach Expand[wyr], Factor[wyr], Simplify[wyr], FullSimplify[wyr], ExpandAll[wyr], PowerExpand[wyr], TrigExpand[wyr], ComplexExpand[wyr] Hx L ^ H xl Expand@%D 7 7 x 9 x x Factor@%D H xl Expand@%D 8 7 x 9 x x Factor@%D H xl I7 5 x x M Hx ^ x L Hx L x x x Simplify@%D x exp H xl H xl H xl H xl Expand@expD H xl H xl x 5x H xl H xl H xl H xl x H xl H xl
12 KursS_cz.nb x 7 x x x 7 x x h = Sqrt@ x yd xy Expand@hD xy ExpandAll@hD xy PowerExpand@hD x x 5x y Expand@ Sin@ xdd Sin@ xd TrigExpand@%D Cos@xD Sin@xD Sin@xD Simplify@%D Sin@ xd Expand@Cos@x I ydd Cos@x ä yd ComplexExpand@%D Cos@xD Cosh@yD ä Sin@xD Sinh@yD Simplify@%D Cos@x ä yd x x 7 x x x 7 x x
13 KursS_cz.nb? *Expand* System` ButtonExpandable ExpandFileName PowerExpand ComplexExpand ExpandNumerator TensorExpand Expand FunctionExpand TransferFunctionExpand ExpandAll LogicalExpand TrigExpand ExpandDenominator PiecewiseExpand Collect[wiel, zm], Coefficient[wiel,wyr], CoefficientList[wiel,zm], Exponent[wiel,wyr] f = Expand@Hx 5 y 0L ^ * x Hy L ^ D x 8 00 x 0 x 8 x x y 00 x y 80 x y x y x y 050 x y x y 50 x y 900 x y 0 x y 000 x y 50 x y 50 x y5 Collect@f, xd x I8 y y M x I0 80 y 0 y M x I y 050 y 900 y 50 y M x I y y 50 y 000 y 50 y5 M Collect@f, yd x 8 00 x 0 x 8 x I x 00 x 80 x x M y I x 050 x x M y I50 x 900 x 0 x M y I000 x 50 x M y 50 x y5 Coefficient@f, x ^ 5D 0 Coefficient@f, x ^ D 8 y y Coefficient@f, y x ^ D 00
14 KursS_cz.nb x x ^, xd 8,, 0, 0, < CoefficientList@f, xd 90, y y 50 y 000 y 50 y5, y 050 y 900 y 50 y, 0 80 y 0 y, 8 y y = CoefficientList@f, yd x 8 00 x 0 x 8 x, x 00 x 80 x x, x 050 x x, 50 x 900 x 0 x, 000 x 50 x, 50 x= Najwyzsza potega w wyrazeniu Exponent@f, xd Exponent@f, x ^ D PolynomialQuotient[w,w,zm], PolynomialRemainder[w,w,zm] h = x ^ x ^ x 0 h = x ^ x 0 x x x x x pq = PolynomialQuotient@h, h, xd x pr = PolynomialRemainder@h, h, xd 9 9x Operatory logiczne Porownywanie: == (* Equal[] *), < (* Less[] *), <= (* LessEqual[] *), > (* Greater[] *), >= (* GreaterEqual[] *),!= (* Unequal[] *)
15 KursS_cz.nb Operatory logiczne Porownywanie: == (* Equal[] *), < (* Less[] *), <= (* LessEqual[] *), > (* Greater[] *), >= (* GreaterEqual[] *),!= (* Unequal[] *) True False 58 < 78 True 8 <= 8 True 7 ¹ 5 True Unequal@7, 7D True && (* And[] *), (* Or[] *) 5 > && False 5 > ÈÈ True 5
16 KursS_cz.nb Rozwiazywanie rownan Solve[rownanie, zm], Reduce[rownanie,zm] ^ 5 x 0, xd 88x 7<, 8x << x =. Solve@x, xd 88x << o = Solve@x ^ x 5 0, xd 88x 5<, 8x << o@@dd 8x 5< o@@,, DD 5 a =. b =. Solve@a x b 0, xd ::x b a >> Reduce@a x b 0, xd Hb 0 && a 0L ÈÈ a ¹ 0 && x b a
17 KursS_cz.nb Solve[{rownanie, rownanie,...},{zmienna, zmienna,...}] Reduce[{rownanie, rownanie,...},{zmienna, zmienna,...}] x ^ y 0, x y <, 8x, y<d ::x I :x 89 M, y I 89 M, y I 5 89 M>, I 5 89 M>> Reduce@88 x ^ y 0, x y <, 8x, y<d x I 89 M ÈÈ x I 89 M && y H xl Eliminate[{rownanie, rownanie,...}, zmienna] Roots[rownanie_wielomianowe,zmienna] Eliminate@8x y, y z<, yd z x Eliminate@8 x 5 y x, 5 x y z, x y z <, zd x 5 y && 7 y 8 Roots@x ^ x ^ 5 == 0, xd x x x 95 I ä I ä M M I M I ä I ä M M ÈÈ I I Options@RootsD 8Cubics True, Eliminate False, EquatedTo Null, Modulus 0, Multiplicity, Quartics True, Using True< Granice i ciagi Limit[funkcja, zm > wartosc], Sum[wyrazenie,{zm, w_pocz,w_kon}] 95 M 95 M ÈÈ 7
18 8 KursS_cz.nb Granice i ciagi Limit[funkcja, zm > wartosc], Sum[wyrazenie,{zm, w_pocz,w_kon}] Product[wyrazenie, {zm, w_pocz,w_kon}] Limit@ y ^, y D Limit@5 x ^ Hx L, x D Limit@5 x ^ Hx L, x, Direction D Limit@5 x ^ Hx L, x, Direction D Options@LimitD 8Analytic False, Assumptions $Assumptions, Direction Automatic< Suma: Sum@k ^, 8k,, <D Sum@ x, 8x,, <D Sum@ x ^, 8x,.,.<D Sum@ x ^, 8x,, Infinity<D Iloczyn:
19 KursS_cz.nb 9 Product@ x, 8x,, 5<D 0 Product@ x ^, 8x,, Infinity<D 0 Rachunek rozniczkowy i calkowy Pochodna czastkowa: D[funkcja, zm], D[funkcja,zm,zm,...], D[funkcja,{zm,n}] Calka: Integrate[funkcja, zm], Integrate[funkcja,{zm,w_pocz,w_kon}]? *Integrate* System` Integrate D@x ^, xd x D@ x ^, xd x D@E ^ x, xd ãx D@ x, xd x D@HSin@xD ^ Tan@xDL, xd Cos@xD Sin@xD D@x ^ n, xd n xn NIntegrate
20 0 KursS_cz.nb ^ n, 8x, <D H nl H nl H nl n xn D@Cos@xD, xd Sin@xD g = x^ y^ x y D@g, xd D@g, yd x x y y xy x y D@g, x, yd D@g, y, xd Dt pochodna (Derivative) zupelna Dt@ x y x ^, xd x y x Dt@y, xd D@ x y x ^, xd xy Calki s = 5x ss = D@s, xd 5 x 5 Integrate@ss, xd 5x
21 KursS_cz.nb 8x,, 8<D 5 Integrate@ x, xd Log@xD Integrate@Sin@xD, xd Cos@xD Integrate@Cos@xD, 8x, Pi, 0<D Integrate@x ^ x ^ 5 x 0, xd 5 x 0 x x x Integrate@x ^ x ^ 5 x 0, 8x,, <D 9 Transformacje LaplaceTransform[funkcja, t, s], FourierTransform[funkcja,t,w], ZTransform[funkcja,n,z], lt = LaplaceTransform@t ^ Sin@tD, t, sd H 5 xl I8 0 x 5 x M 5 I x 5 x M
22 KursS_cz.nb ^ lt. s t<, 8t,, <D ft = FourierTransform@Exp@ t ^ D Sin@tD, t, wd ä H Cosh@wD Sinh@wDL CoshB H wl F SinhB Plot@8Exp@ t ^ D Sin@tD, Im@ftD. w t<, 8t,, <D zt = ZTransform@ ^ H n L, n, zd 8z z H wl F
23 KursS_cz.nb ^ H n L, zt. z n<, 8n, 5, 5<D Szeregi Series[funkcja,{zm,x0,stopien}], Normal[szereg] sz = Series@Sin@xD, 8x, 0, 0<D x x x5 x7 x9 0 O@xD Normal@szD x x x5 x7 x sz = Series@Sin@xD, 8x, Pi, 7<D x Ix M Ix M Ix M Ix M 0 5 Ix M 70 Ix M OBx n = Normal@szD n = Normal@szD x x x5 x x9 x 880 I xm I xm I xm I xm 5 0 I xm 70 I xm F 8
24 KursS_cz.nb n, n<, 8x,, <D Rownania rozniczkowe DSolve[rown, funkcja, zm], DSolve[{rown,rown,...},{f, f,...},zm] a y@xd, xd ã x C@D 5 a HCos@xD Sin@xDL>> DSolve@8y '@xd Cos@xD, y@0d <, y@xd, xd 88y@xD Sin@xD<<
Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. 3 Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}], NProduct[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}]
OBLICZENIA NUMERYCZNE, Karolina Mikulska-Ruminska Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}], NProduct[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}]? *Sum* System`
Bardziej szczegółowoKurs Komputerowy S System Symboliczny Mathematica
Kurs Komputerowy S System Symboliczny Mathematica Obliczenia numeryczne Dokladnosc i precyzja Precision[wartosc] SetPrecision[wartosc, precyzja] Accuracy[wartosc] SetAccuracy[wartosc, dokladnosc] MachinePrecision
Bardziej szczegółowoMathematica (1) Organizacja Mathematica Notebooks. Style dokumentów
Mathematica (1) Organizacja Mathematica Notebooks Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. KaŜda komórka zawiera materiał określonego rodzaju: tekst, grafikę, dane wejściowe, dane wyjściowe
Bardziej szczegółowoZestaw 5. Rozdział 1: Równania algebraiczne, układy równań
Zestaw 5. Rozdział 1: Równania algebraiczne, układy równań Solve - polecenie służące do rozwiązywania równań i układów równań, w tym z parametrem. Wynik zwracany przez polecenie Solve jest listą podstawień:
Bardziej szczegółowoRównania liniowe i nieliniowe
( ) Lech Sławik Podstawy Maximy 11 Równania.wxmx 1 / 8 Równania liniowe i nieliniowe 1 Symboliczne rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 1.1 solve -- Funkcja: solve() MENU: "Równania->Rozwiąż..."
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoMathematica III Równania różniczkowe, układy równań różniczkowych, wykresy, badanie funkcji, importowanie danych, instrukcje warunkowe, pętle
Mathematica III Równania różniczkowe, układy równań różniczkowych, wykresy, badanie funkcji, importowanie danych, instrukcje warunkowe, pętle na podstawie materiałów wolfram.com Równania różniczkowe: Równanie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoZestaw 4. Rozdział 2: Analiza matematyczna
Zestaw 4. Rozdział 1: Wykresy Do tworzenia wykresów funkcji jednej zmiennej służą następujące funkcje: Plot[f[x],{x,a,b}] - zwykły wykres ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,a,b}] - wykres krzywej danej wzorem
Bardziej szczegółowoObliczenia Symboliczne
Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych
Bardziej szczegółowoWykład 7 - Inne moduły wspierające obliczenia numeryczne
Programowanie Wykład 7 - Inne moduły wspierające obliczenia numeryczne Plan wykładu: SymPy Zmienne symboliczne Liczby zespolone Liczby wymierne Obliczenia numeryczne Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne
Bardziej szczegółowoZadania kinematyki mechanizmów
Zadania kinematyki mechanizmów struktura mechanizmu wymiary ogniw ruch ogniw napędowych związki kinematyczne położeń, prędkości, przyspieszeń ogniw zadanie proste kinematyki zadanie odwrotne kinematyki
Bardziej szczegółowoSin[Pi / 4] Log[2, 1024] Prime[10]
In[1]:= (* WSTĘP DO PAKIETU MATHEMATICA *) (* autorzy: Łukasz Płociniczak,Marek Teuerle*) (* Składnia: nazwy funkcji z wielkiej litery a argumenty w kwadratowych nawiasach. Wywołujemy wartość SHIFT+ENTER
Bardziej szczegółowoMathematica - podstawy
Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoMatematyka 3. Suma szeregu. Promień zbieżności szeregu. Przykład 1: Przykład 2: GenerateConditions
Matematyka 3 Suma szeregu? Sum i max Sum[f, {i, i max }] evaluates the sum f. Sum[f, {i, i min, i max }] starts with i = i min. Sum[f, {i, i min, i max, di}] uses steps di. Sum[f, {i, {i 1, i 2, }}] uses
Bardziej szczegółowoMathematica jest bardzo zaawansowanym narz dziem do tworzenia 2D and 3D grafiki. W pewnym
. Grafika Mathematica jest bardzo zaawansowanym narz dziem do tworzenia D and D grafiki. W pewnym sensie jest to najprostsza a w innym najbardziej skomplikowana cz tego skryptu. Jest ona prosta bo wszystkie
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoNa podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania:
Informatyka. I. Przypomnienie wiadomości z poprzednich zajęć: Na podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania: 1. Proszę wygenerować wykresy funkcji sinus
Bardziej szczegółowoZadanie1. (* parametryzacja okręgu r'= x',y',0 *) xp = R * Cos fp ; yp = R * Sin fp ; vecrp = xp, yp, 0 ; vecr = r * Cos f, r * Sin f, z ;
Zadanie1 (* parametryzacja okręgu r'= x',y',0 *) Z ogólnego twierdzenia o rozwiązaniach równania Laplace a wynika, że potencjał elektryczny nie może mieć w tym punkcie ekstremum lokalnego. Warto się jednak
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoLaboratorium 7. Zad. 1 Całkowanie w Matlabie. Zapoznać i wypróbować komendy: Przekazywanie funkcji: sqr x.^2 a = sqr(5)
Laboratorium 7 Zad. 1 Całkowanie w Matlabie. Zapoznać i wypróbować komendy: Przekazywanie funkcji: sqr = @(x) x.^2 a = sqr(5) help quad function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5); Q = quad(@myfun,0,2) myfun
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoLaboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Metod Numerycznych Laboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne 1 Zadania 1. Obliczyć numerycznie
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych - zajęcia 11
Elementy metod numerycznych - zajęcia 11 Mathematica - Wolfram Alpha 1 1. Labolatoria Zajęcia za 34 punktów. Proszę wysłać krótkie zwięzłe odpowiedzi na pytania oznaczone symbolem ( x, p) i numerkiem (x),
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoFunkcje i Procedury. Wyrazenien
Funkcje i Procedury. Określanie Funkcji. Rozwiązanie skomplikowanych zagadnień czasami jest niemożliwe bez zastosowania własnej funkcji i procedur. Chcemy stworzyć dobre aplikacje? Trzeba umieć stworzyć
Bardziej szczegółowoLiczby i działania na liczbach
Na tym wykładzie chciałbym przekonać Państwa, że Mathematica może być pomocna w studiowaniu analizy matematycznej. Liczby i działania na liczbach (* liczby całkowite *) Element[-, Integers] należy do zbiór
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoLista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoMathematica - organizacja. czyli sztuka obliczeń symbolicznych. Możliwości. Mathematica do czego można ją użyć. Możliwości, cd. Mathematica publikacje
czyli sztuka obliczeń symbolicznych Mathematica - organizacja Dokument Mathematica zorganizowany jest w tzw. komórki. Ręczne zerowanie zmiennych Clear[variables] (* czyści wartości zmiennych*) x=. (* to
Bardziej szczegółowof x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)
1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem
Bardziej szczegółowoKURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoSymPy matematyka symboliczna w Pythonie
SymPy matematyka symboliczna w Pythonie Mateusz Paprocki Continuum Analytics, Inc. 30 listopada 2015 Co to jest matematyka symboliczna? Python operuje na liczbach zmiennoprzecinkowych
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoZastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numerycznych i symbolicznych
Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numerycznych i symbolicznych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 14czerwca2013r. STEPHEN
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Teoria sterowania Obliczenia symboliczne w środowisku MATLAB Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoSzeregFouriera-Legendre a
SzeregFouriera-Legendre a Szereg Fouriera-Legendre a : n=0 P n (t) f n Współczynniki f n = Pn (t) f (t) dt - Pn (t) 2 dt - = 2 n + Pn 2 - (t) f (t) dt Pn - (t) 2 dt = 2 2 n + Zadanie Policz kwadrat normy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Wyrażenia i instrukcje, złożoność obliczeniowa
Informatyka 1 Wykład III Wyrażenia i instrukcje, złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: składnia wyrażeń, drzewa rozbioru gramatycznego i wyliczenia wartości wyrażeń, operatory
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowon 2 1. lim n 3 sin 2. lim k 2 + n 2 3. lim 8 k n + 2 k + 5 n 2 Oblicz granice n lim n 2 3 π + log(8) x π + log(64) lim sin sin lim
. Oblicz graice. k= k 3 + 3. 3. si k= k + 8 k + k + 5 k= k= k 3 + 3 9 3 π + log(8) 3 k= k 3 + 3 k= k 3 + 3 k= 3 + k 3 Itegrate, {,, } 3 + 8 3 π + log(64) k 3 k= k= si si k + k + k + - LimitSum π 4 k +
Bardziej szczegółowoMatematyka dla DSFRiU zbiór zadań
I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoPodstawowe Operacje. Out[3]:= Head[ ] 5
Podstawowe Operacje. Typy liczb. W pakiecie Mathematica mamy do czynienia z czterema typami liczb: 1. Integer liczby całkowite, 2. Rational liczby wymierne. 3. Real liczby rzeczywiste, 4. Complex liczby
Bardziej szczegółowoGNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej.
1 GNU Octave GNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej. Octave zapewnia: sporą bibliotęke użytecznych funkcji i algorytmów; możliwośc tworzenia przeróżnych wykresów; możliwość
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część II: Wyrażenia algebraiczne Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna, całka oznaczona na podstawie funkcji pierwotnej
MATLAB - całkowanie Funkcja pierwotna, całka oznaczona na podstawie funkcji pierwotnej Do uzyskania funkcji pierwotnej służy polecenie int. Jest wiele możliwości jego użycia. Zobaczmy, kiedy wykonuje się
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i Kompresja Obrazów. Przekształcenia geometryczne
Przetwarzanie i Kompresja Obrazów. geometryczne Aleksander Denisiuk(denisjuk@pja.edu.pl) Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk 1 kwietnia
Bardziej szczegółowoWprowadzanie wyrazen w Mathematice
1 z 52 2006-11-12 14:07 Wprowadzanie wyrazen w Mathematice Greckie litery Greckie litery jako nazwy zmiennych In[1]:= Expand[(α + β)^3] Out[1]= In[2]:= Out[2]= Expand[(\[Alpha] + \[Beta])^3] In[3]:= Out[3]=
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 3
Analiza matematyczna 3 Pochodna funkcji pierwsza pochodna: x'[t] x [t] Derivative[][x][t] x (t) D[x[t], t] x (t) 7. pochodna: Derivative[7][x][t] x (7) (t) D[x[t], {t, 7}] x (7) (t) pochodne funkcji wielu
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowo