lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.
|
|
- Kamil Rudnicki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy jest to niezbędne. I tak na przykład nie podam tu definicji granicy ciągu (funkcji) zakładając intuicyjność tego wyraŝenia liczba, na której kończy się ciąg liczb (funkcja). Pamiętajmy jednak, Ŝe liczba ta moŝe być nieskończenie duŝa (mała) mówimy wtedy, Ŝe granica jest w nieskończoności (odpowiednio w + lub - ). Oczywiście musimy jeszcze przy okazji określić jak zachowują się wyrazy ciągu (argumenty funkcji). Matematycy podniosą tu zaraz wielkie larum, ale takie sformułowanie nam tu wystarczy. n + n + Na przykład granica ciągu przy n dąŝącym do nieskończoności n n + n + n + ( ) wynosi co zapisujemy : lim n n n + lim 0 lim 0 Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej. Niestety teraz przychodzi pora na parę definicji. Wyobraźmy sobie, Ŝe mamy określoną jakąś funkcję f() oraz pewną zmienną (argument tej funkcji). Oczywiście zmienna jak sama nazwa mówi zmienia się :-). ZałóŜmy, Ŝe na początku wartość tej zmiennej wynosiła 0, a wartość funkcji w tym punkcie f( 0 ). Jak przystało na zmienną, zmieniła się ona o od wartości 0 (wzrosła lub zmalała). Wartość funkcji w tym punkcie będzie wynosiła f( 0 + ). Przykład : Mamy funkcję określoną wzorem : f() Jeśli 0 to f( 0 ) 4. Wartość zmiennej wzrosła np. o wobec tego f( 0 + ) f(+) f(). RóŜnicę y f( 0 + ) - f( 0 ) nazywamy przyrostem funkcji f() (dla powyŝszego przykładu y 4 ). Ilorazem róŝnicowym funkcji f() nazywamy stosunek przyrostu y funkcji do przyrostu zmiennej co zapisujemy : y f( 0 + ) - f( 0 ) () Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
2 Niektóre interpretacje ilorazu róŝnicowego : ) traktując drogę s jako funkcję czasu t czyli s f (t) moŝemy powiedzieć, s f(t 0 + t) - f(t 0 ) Ŝe iloraz róŝnicowy oznacza prędkość średnią ciała t t poruszającego się w odstępie czasu t ) traktując ładunek elektryczny Q przepływający przez poprzeczny przekrój przewodnika jako funkcję czasu t czyli Q f (t) moŝemy powiedzieć, Ŝe Q f(t 0 + t) - f(t 0 ) iloraz róŝnicowy oznacza średnie natęŝenie prądu t t przepływającego przez ten przewodnik w czasie t. JeŜeli zmiany (przyrosty) zmiennej są bardzo małe to mówimy o ilorazie róŝniczkowym (róŝnica wynik odejmowania, róŝniczka wynik odejmowanka :-) ). Zamiast mówić o ilorazie róŝniczkowym mówimy krótko o pochodnej i zapisujemy : f () lim 0 y lim 0 f( 0 + ) - f( Proszę zwrócić uwagę, Ŝe mamy tu granicę ilorazu róŝnicowego przy dąŝącym do zera. Przypominam, Ŝe zapis A A końcowe A początkowe d f() Pochodną funkcji f() moŝemy zapisać z apostrofem f () lub Opierając się na podanych powyŝej interpretacjach ilorazu róŝnicowego, moŝemy podać interpretacje pochodnej : s d s ) granica ilorazu róŝnicowego (czyli pochodna ) oznacza prędkość t dt chwilową w chwili t 0 Q d Q ) granica ilorazu róŝnicowego (czyli pochodna ) oznacza t dt natęŝenie prądu w chwili t 0 (natęŝenie chwilowe) Procedura szukania pochodnej nazywana jest róŝniczkowaniem, a metoda postępowania rachunkiem róŝniczkowym. Przedstawienie pełnego rachunku róŝniczkowego nie jest nam potrzebne (i tak wykraczamy poza program nauczania matematyki w LO), dlatego poniŝej przedstawimy pochodne funkcji elementarnych oraz ogólne reguły róŝniczkowania. 0 ) () Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
3 Pochodne funkcji elementarnych f () f () f () f () α α R α α - e e sin cos a a ln a cos - sin ln / tg + tg log a cos ln a Pochodna ze stałej jest równa zero!! Ogólne reguły róŝniczkowania ) stałą wolno przenieść przed znak róŝniczkowania [c f()] c f () ) pochodna sumy algebraicznej dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji [f() + g() ] f () + g () () ) pochodna iloczynu dwóch funkcji dana jest wzorem : [f() g() ] f () g() + f() g () (4) 4) pochodna ilorazu dwóch funkcji dana jest wzorem : f() g() f () g() - [g()] f() g () ) Pochodna funkcji złoŝonej Mamy dwie funkcje : y f (u) oraz u g(). dy dy du () du Szczególny przypadek powyŝszego wzoru to : gdzie g() 0 () ( f() ) f () f() Przykłady : 4 [ + 4 ] Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
4 n n [ + n + n] n + n ( n stała ) ( - ) ( ) ( ) ( ) - ( ) a dalej to juŝ samodzielnie : ) { korzystamy ze wzoru y sin u, u } cos [sin()] Bardzo przydatnym zastosowaniem róŝniczki jest wykorzystanie jej do obliczania przybliŝonych wartości funkcji. Korzystamy wtedy ze wzoru : f( 0 + ) f( 0 ) + f ( 0 ) () Obliczyć przybliŝoną wartość wyraŝenia,9 Bierzemy pod uwagę funkcję f() oraz jej pochodną f () Z wartości potrafimy obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia () wobec tego 0 oraz - 0,8 Stosujemy teraz wzór () 0,8 0,8 0,8 0,0,9 9 Obliczyć przybliŝoną wartość wyraŝenia sin 0 Bierzemy pod uwagę funkcję f() sin oraz jej pochodną f () cos 0 π 0 π ZauwaŜmy, Ŝe rad, a 0 rad 80 π π Tak więc rad, a 0 rad 80 Korzystamy ze wzoru () π π π π π sin( + ) sin + cos 0, + 0,0 0, Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 4
5 Pochodne wyŝszych rzędów Jeśli funkcja f() posiada pochodną f () to ta pochodna jest juŝ nową funkcją, która teŝ moŝe posiadać swoją pochodną.. W takim wypadku mówimy o pochodnej drugiego rzędu funkcji f() i oznaczamy ją symbolem d y f () lub. Tak więc pochodną drugiego rzędu moŝemy zapisać w postaci : f () [f ()]. Analogicznie moŝemy zdefiniować pochodne wyŝszych rzędów. Przykład : Obliczyć drugą pochodną funkcji y sin Liczymy pierwszą pochodną, a następnie drugą pochodną : d d( sin) d(sin + cos) cos + cos + ( sin) 4cos 4sin Interpretacja fizyczna drugiej pochodnej : d s druga pochodna drogi po czasie, czyli dt chwili t 0 oznacza przyspieszenie chwilowe w Za pomocą pierwszej pochodnej jesteśmy w stanie wyznaczyć ekstrema funkcji (minimum lub maksimum) w danym punkcie 0 (zakładamy, Ŝe funkcja jest w danym punkcie róŝniczkowalna). Aby to uczynić naleŝy : ) Obliczyć pierwszą pochodną f () tej funkcji. ) Rozwiązać równanie f () 0. ) Zbadać znak po obu stronach kaŝdego punktu 0, który jest pierwiastkiem tego równania. Jeśli następuje zmiana znaku w 0 z plusa na minus to w 0 występuje maksimum, jeśli zaś znak zmienia się w 0 z minusa na plus to w tym punkcie jest minimum funkcji. 4) Obliczyć wartość funkcji w kaŝdym punkcie 0, w których następuje zmiana znaku dla pierwszej pochodnej. Wartości te są ekstremami funkcji. JeŜeli pierwsza pochodna f () jest równa zeru w punkcie 0, a druga pochodna jest ciągła i róŝna od zera w tym punkcie, to istnieje w 0 ekstremum funkcji, Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
6 przy czym jeśli f () > 0 to jest to minimum, a jeśli f () < 0 to jest maksimum. W przypadku gdy f () 0 to nie jesteśmy w stanie określić. Obliczyć największą energię kinetyczną punktu materialnego o masie m poruszającego się ruchem drgającym określonym wzorem A sin ωt. We wzorze na energię kinetyczną k E mv nie mamy podanej prędkości. d(a sin ωt) Wiemy jednak, Ŝe v czyli v A ω cosω t dt dt Stąd wzór na energię kinetyczną przyjmuje postać : E m A ω cos ω t. k Szukamy maksymalnej energii (ekstremum), więc policzmy jej pierwszą pochodną (oczywiście względem czasu zmienna). E k ma ω sinωi cosωo A ω sin( ω t ) n π Znajdujemy miejsca zerowe tej pochodnej są to punkty t ω 4 Druga pochodna energii kinetycznej wynosi E k A ω cos (ω t ), n π podstawiamy do niej t i sprawdzamy, kiedy E < 0 (maksimum) ω 4 nπ 4 A ω > 0 gdy n jest nieparzyste Czyli E k ( ) A ω cos (n π ) ω 4 A ω < 0 gdy n jest parzyste oznacza to, Ŝe E ma maksimum w punktach Stąd E k ma m A ω n π t dla n 0,,4,... ω Ogniwo o SEM równej E i oporze wewnętrznym r zwierano drutem o róŝnych oporach R. Oblicz przy jakim oporze R ilość ciepła wydzielona na drucie w tym samym czasie t będzie największa. Z prawa Joule a-lenza oraz z prawa Ohma dla obwodu mamy : Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
7 E Q R I t oraz I r + R R Stąd Q E t (r + R) Liczymy pierwszą pochodną ciepła po oporze wynika to z treści zadania. dq dr d E R t (r + R) dr E t R d (r + R) dr E r - R t (r + R) Szukamy miejsc zerowych Q - istnieje jedno : R r E t Druga pochodna Q (r) < 0 czyli ma w tym punkcie maksimum. 8 r Stąd największa ilość ciepła wydzieli się tylko wtedy, gdy opór drutu R r. E t Ilość ciepła wynosi wtedy Q ma. 4 r Zadanie do samodzielnego rozwiązania : Z kwadratowego arkusza blachy o boku L wycinamy przy wierzchołkach równe kwadraty i zaginając brzegi otrzymujemy prostokątne otwarte pudełko. Jakie kwadraty naleŝy wyciąć aby otrzymać pudełko o największej objętości? Odp. Kwadrat o boku / L Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
8 Całka nieoznaczona. Całkowanie jest poszukiwaniem funkcji pierwotnej w stosunku do pochodnej. Czyli jeśli po zróŝniczkowaniu jakiejś funkcji otrzymujemy pochodną to całkowanie odpowiada na pytanie jaka funkcja została zróŝniczkowana. Niestety, nie otrzymamy dokładnej odpowiedzi na to pytanie. Spójrzmy na tabele poniŝej. f () f () f () f () RóŜniczkując róŝne funkcje f() otrzymujemy identyczną pochodną. Wniosek z tego jest taki, Ŝe przeprowadzając operację odwrotną (całkowanie) nie jesteśmy w stanie dokładnie określić funkcji pierwotnej otrzymamy ich nieskończenie wiele, róŝniących się od siebie o jakąś stałą. Dlatego teŝ mówimy o całce nieoznaczonej i stąd teŝ pojawia się w niej stała C. Jeśli przez F() oznaczymy funkcję pierwotną, a przez f() jej pochodną to całkę nieoznaczoną zapisujemy w postaci : f() F() + C (8) Podstawowe wzory dla całek nieoznaczonych. a a+ + C a + a - i a R (9) ln + C (0) sin cos + C () cos sin + C () sin ctg + C cos tg + C () (4) Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 8
9 e e + C () a a + C a > 0 () ln a Ogólne reguły całkowania. A f() A f() A-stała () [ f() ± g()] f() ± g() (8) f () Jeśli f() 0 to ln f( ) + C f() f () Jeśli f() > 0 to f() + C f() (9) (0) Wyznaczyć całkę nieoznaczoną Korzystamy ze wzoru (9) + C + C C Wyznaczyć całkę nieoznaczoną + ZauwaŜmy, Ŝe licznik jest pochodną funkcji skorzystać ze wzoru (0) + + C + + wobec tego moŝemy Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 9
10 Wyznaczyć całkę nieoznaczoną 4 Pochodna funkcji -4 wynosi -4 zatem licznik i mianownik mnoŝymy przez tą liczbę, korzystamy ze wzoru (), a następnie ze wzoru (0) f 4 + C 4 + C Wyznaczyć całkę nieoznaczoną ( + ) ( ) ( + + ) C Całkowanie przez podstawianie. Przy całkowaniu przez podstawianie stosujemy poniŝsze wzory : f() f [ (t)] ϕ ϕ(t) dt gdzie φ(t) () f[ ()] ϕ() ϕ f(t) dt gdzie φ() t () Całkowanie przez wstawianie stosujemy na ogół wtedy, gdy funkcja podcałkowa jest funkcją złoŝoną. Znaleźć całkę cos ( + ) Wykorzystamy tu wzór (), a zatem + t stąd dt czyli zgodnie ze wzorem () otrzymamy : cos ( + ) cos t dt sin t sin ( + ) + C Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona 0
11 Znaleźć całkę e Funkcja podcałkowa e jest funkcją złoŝoną wobec tego podstawiamy : t stąd dt a stąd dt Podstawiamy wzory do naszej całki i korzystamy ze wzoru () : e e t dt t e dt e t e + C Podstawianie przez części. Podstawianie przez części stosujemy wtedy, gdy funkcja podcałkowa jest iloczynem dwóch funkcji. Stosujemy wówczas następujący wzór : f() g() F() g() - F() g() gdzie F() f() () Znaleźć całkę cos Funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji g() oraz cos f(). ) Obliczamy F() : F() cos sin ) Znajdujemy pochodną g () ) Obliczamy całkę F() g() sin cos 4) Stosujemy wzór () podstawiając obliczone w pkt, i wartości cos sin ( cos) sin + cos + C Uwaga : waŝny jest wybór, która z funkcji będzie f(), a która g(). Chodzi oczywiście o moŝliwość przewidzenia, która z całek ze wzoru () będzie łatwiejsza do policzenia. Myślę, Ŝe na tych przykładach zakończymy liczenie całek nieoznaczonych, choć na pewno nie wyczerpaliśmy wszystkich moŝliwości ich wyliczenia. Opracowanie : Dariusz Nyk dla uczniów I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku Strona
Definicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoPOCHODNE. dr Sławomir Brzezowski
POCHODNE dr Sławomir Brzezowski Instytut Fizyki im Mariana Smoluchowskiego Uniwersytet Jagielloński Zawarte w tym opracowaniu materiały przeznaczone są do wspomagania pracy studentów w czasie zajęć laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE
Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 1 /18 ÓWNANIE ÓśNICZKOWE INIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach k, k, C k w k - tej gałęzi przy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoObliczenia Symboliczne
Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoTekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie 1. Styczne do krzywej: (a) y = sin x x 0 = π/6 (b) y = x 3 2x 2 + x 1 x 0 = 1 Tą styczną to już gdzieś objaśniałem. Jest to prosta o równaniu
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowo5. Całka nieoznaczona
5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowo1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania
1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Granica funkcji
Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia ponadprzedmiotowe
W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji
Bardziej szczegółowoE wektor natęŝenia pola, a dr element obwodu, którego zwrot określa przyjęty kierunek obchodzenia danego oczka.
Lista 9. do kursu Fizyka; rok. ak. 2012/13 sem. letni W. InŜ. Środ.; kierunek InŜ. Środowiska Tabele wzorów matematycznych (http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/mat-wzory.pdf) i fizycznych (http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/wzf1.pdf;
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Bardziej szczegółowoOtrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na
Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na ograniczenie czasowe chciałam już dziś dać pewne wskazówki i porady,
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia ponadprzedmiotowe
W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoWeźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.
Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowo1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne
Zadania optymalizacyjne Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejszą wartość Żeby żądane warunki
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A I. Strona 1 z 7
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi Arkusz A I Strona z 7 Wersja A Odpowiedzi Zadanie 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 Odpowiedź C D B B C C A D A B A B C Zadanie 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24
Bardziej szczegółowona egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowo