Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

Transkrypt

1 Wykład 11 ( ). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61; 4,31; 3,31; 2,50; 3,27. Podczas ostatiego wykładu weryfikowaliśmy H 0 : µ = µ 0 przeciw H 1 : µ µ 0, gdzie µ 0 = 3,8. Założyliśmy, że dae dotyczące ce metra kw. mieszkań w A są realizacją próby prostej z rozkładu ormalego N(µ, σ). 1

2 Obliczeia w środowisku R: > t.test(z,mu=3.8) Oe Sample t-test data: z t = , df = 13, p-value = 0.26 alterative hypothesis: true mea is ot equal to percet cofidece iterval: sample estimates: mea of x Chcielibyśmy pozać zaczeie termiu: 95 percet cofidece iterval (95-procetowy przedział ufości) 2

3 Testy i przedziały ufości Załóżmy, że ie dyspoujemy daymi dotyczącymi ce mieszkań w poprzedich kwartałach Problem: dla jakich µ 0 hipoteza H 0 : µ = µ 0 (przy hipotezie alteratywej H 1 : µ µ 0 ) ie będzie odrzucoa przy poziomie istotości α = 0,05. Odpowiedź: dla s s µ 0 ( x t 1 α/2, 1, x + t 1 α/2, 1 ) Dla aszych kokretych daych te przedział będzie rówy: (3,18; 3,98). te przedział realizacja 95-procetowego przedziału ufości dla µ. (lub krócej 95-procetowy przedział ufości dla średiej µ.) 3

4 Przedział ufości dla średiej rozkładu ormalego przypadek iezaego odchyleia stadardowego Niech X 1, X 2,..., X próba (prosta) z rozkładu N(µ, σ). Mamy: P ( X t 1 α/2, 1 S µ X t 1 α/2, 1 S ) = 1 α. Przedział ( X t 1 α/2, 1 S, X t 1 α/2, 1 ) przedział ufości dla µ a poziomie ufości 1 α. Końce przedziału ufości zmiee losowe! W praktyce- często realizacje przedziałów ufości (dla kokretych daych)- rówież są azywae przedziałami ufości 4

5 Przedział ufości dla średiej rozkładu ormalego przypadek zaego odchyleia stadardowego Niech X 1, X 2,..., X próba (prosta) z rozkładu N(µ, σ), σ jest zae. Przedział ( X z 1 α/2 σ, X + z 1 α/2 σ ) przedział ufości dla µ a poziomie ufości 1 α. z 1 α/2 kwatyl rozkładu ormalego rzędu 1 α/2. Dla realizacji próby: x 1, x 2,..., x realizacja tego przedziału ufości: σ ( x z 1 α/2 σ, x + z 1 α/2 ) 5

6 Przedział ufości dla proporcji W państwie P w roku 2004 proprorcja p ludzi żyjących w ubóstwie (poverty rate- w skrócie PR) wyosił 12,7; dae pochodzą z badań sodażowych, przeprowadzoych dla reprezetatywej i elemetowej próby respodetów (zakładamy, że jest oa realizacją próby prostej z Bi(1, p)). Jesteśmy zaiteresowai 95-procetowym przedziałem ufości dla p. 6

7 Przedział ufości dla proporcji rozkład częstości ˆp Niech Y liczba żyjących w ubóstwie spośród akietowaych. Oczywiście Y Bi(, p) gdzie p iezae; Korzystając z cetralego twierdzeia graiczego: ˆp = Y ( ) ma w przybliżeiu rozkład ormaly N p,. p(1 p) Iym sesowym przybliżeiem rozkładu częstości Y jest ( ) ˆp(1 ˆp) N ˆp,, ˆp ozacza tu realizację zmieej Y/ (1) (por. książkę J. Koroackiego i J. Mieliczuka, Twierdzeie 2.16; str. 149). Moża uzać, że powyższe przybliżeia rozkładu ˆp = Y N dobre, gdy p 5 i (1 p) 5. są dostateczie 7

8 Z rówości (1) wyika, że ( skąd ( P P Przedział ufości dla proporcji z 1 α/2 ˆp z 1 α/2 ˆp(1 ˆp) ˆp p ˆp(1 ˆp) z 1 α/2 ) 1 α ) ˆp(1 ˆp) p ˆp + z 1 α/2 (przybliżoy) przedział ufości a poziomie ufości 1 α dla p: [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z 1 α/2, ˆp + z 1 α/2. por. Koroacki i Mieliczuk (2001, par ) 1 α. 8

9 Przedział ufości dla proporcji przykład W przykładzie z proporcją ludzi będących w strefie ubóstwa: = 10000, ˆp = 12,7. Stąd 95-procetowy przedział ufości dla p ma dla tych daych postać: [ ] 0,127(1 0,127) 0,127(1 0,127) 0,127 z 1 α/2 ; 0,127 + z 1 α/ [0, ; 0, ] 9

10 Badaia sodażowe margies błędu Badaie przeprowadzoe dla dzieika "USA Today" i telewizji CNN potwierdza spadające poparcie dla Busha - 49 procet przeciwko, 47 - za. Sodaż te daje w listopadowych wyborach zwycięstwo Kerry emu - 49 procet; Busha poparłoby 47 procet badaych. CBS przeprowadziło sodaż telefoiczie w diach maja a reprezetatywej próbie 1113 osób dorosłych. Margies błędu wyosi 3 procet. 95-procetowy przedział ufości dla wartości ˆp rówej 0,49: 0,49 ± 0,0294. Często "margies błędu" w tego rodzaju badaiach to 95-procetowy przedział ufości. 10

11 Przedział ufości przypadek populacji skończoej W wielu praktyczych sytuacjach chcielibyśmy skostruować przedział ufości dla średiej populacji skończoej a podstawie wybraej losowo z tej populacji próby Metody wyboru prób z populacji skończoej Koroacki i Mieliczuk (2001, rodz. 7). 11

12 Polecaa literatura J. Koroacki i J. Mieliczuk, Statystyka dla studetów kieruków techiczych i przyrodiczych, WNT 2001, rodz