1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

Transkrypt

1 . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny następujących liczb zespolonych () 3i, (), (3) + i, (4) i, (5) + 5i, (6) 5i, (7) + 5i, (8) 5i. Zadanie.3. Niech a, b C. Wykazać, że a + b + a b = ( a + b ). Zadanie.4. Niech a, b C, a b, b =. Wykazać, że =. a b āb Zadanie.5. Moduły liczb zespolonych z, z, z 3 i z 4 tworzą ciąg geometryczny, zaś ich argumenty ciąg arytmetyczny. Znaleźć z i z 3, jeśli z = i z 4 = 4i. Zadanie.6. Rozwiązać równania () z + 5 = 6z, () az + b z = c, gdzie a, b, c C. Zadanie.7. Niech a, z C, a <. Wykazać, że z < wtedy i tylko wtedy, gdy Zadanie.8. Przedstawić w formie trygonometrycznej liczby () + i 3, () cos α + i sin α, α [0, π]. a z āz <. Zadanie.9. Przedstawić sin 5x i cos 5x jako wielomian zmiennych sin x i cos x, a następnie przedstawić w postaci algebraicznej sin π 5 i cos π 5. Zadanie.0. Niech z C, z 0. Wykazać, że z z Arg z. Zadanie.. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory () Re z c, gdzie c R, () z z + > 3, (3) α < Arg(z z 0 ) < β, gdzie z 0 C, π < α < β π, (4) z = Re z +, (5) z a = λ z b, gdzie a, b C, λ > 0.

2 . Ciągi i szeregi zespolone Zadanie.. Wykazać, że () jeśli lim n z n = 0, to lim n ( + z nn ) n =, () jeśli lim n z n =, to lim n ( + z nn ) n = e. Zadanie.. Podać przykład ciągu zbieżnego (z n ) n takiego, że ciąg (Arg z n ) n jest rozbieżny. Zadanie.3. Obliczyć () lim n (3 n i n n + 3 n ), ( ) n () lim +i n n i + i n n, ( ) 6ni+ (3) lim n 3ni, n, n (4) lim n ( + i n ) Zadanie.4. Znaleźć wszystkie wartości parametru a C, dla których ciągi () ((a n ) n, () są zbieżne. a n +a n )n Zadanie.5. Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu zespolonego n= z n z n. Zadanie.6. Wykazać, że jeśli promienie zbieżności szeregów potęgowych a n z n, b n z n są odpowiednio równe r a, r b, to () promień zbieżności r szeregu potęgowego a n b n z n spełnia nierówność r r a r b, () promień zbieżności r szeregu potęgowego a n bn z n, b n 0, spełnia nierówność r ra r b, (3) promień zbieżności r 3 szeregu potęgowego (a n b 0 + a n b + + a 0 b n )z n spełnia nierówność r 3 min{r a, r b }. Zadanie.7. Wyznaczyć promień zbieżności następujących szeregów potęgowych () n= n! n z n, n () n= zn!, (3) n= (3 + ( )n ) n z n, (4) n= cos(in)zn. Zadanie.8. Wyznaczyć promień zbieżności i zbadać zbieżność na brzegu koła zbieżności następujących szeregów potęgowych () ( ) n n= ln n z3n, () n= 4n n zkn, gdzie k N, (3) n= n z n!, (4) n= n z n. n

3 3. Funkcje elementarne Zadanie 3.. Przedstawić w postaci a + bi, a, b R, liczby () exp ( ) ln 5 i 5π 4, () exp ( ) ln 3 + i π 3, (3) sin ( 7π 6 + i ln 3), (4) sin ( π 4 i ln ), (5) cos ( 7π 6 + i ln 3), (6) cos ( π 4 i ln ). Zadanie 3.. Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną funkcji sin i cos oraz rozwiązać równanie Zadanie 3.3. Rozwiązać równania () z =, () z 3 = i. Zadanie 3.4. Wypisać wszystkie wartości () 3 8i, () i 3, (3) 6 64 w postaci a + ib, a, b R. Zadanie 3.5. Wypisać wszystkie wartości () log( i), () log( 3 i), (3) log(e i), (4) x+iy, x, y R, (5) ( i 3) i, (6) (7) ( i ) i+, ( ) i, +i (8) ( ei) 3 i w postaci a + bi, a, b R. Im cos(z) = 0. Zadanie 3.6. Wykazać, że wszystkie wartości potęgi a x+iy, a 0, x, y R, () są rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy suma y Log a + x Arg a jest wielokrotnością liczby π i x jest liczbą całkowitą, () mają równe moduły, gdy y = 0. Zadanie 3.7. Niech a R. Wykazać, że () zbiór a jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy α Q, () jeśli α R \ Q, to zbiór a jest gęsty w T. 3

4 4. Pochodna zespolona Zadanie 4.. Wyznaczyć zbiór punktów, w którch funkcja f jest C-różniczkowalna, jeśli () f(z) = z, () f(z) = z z, (3) f(z) = z z, (4) f(z) = z Re z. Zadanie 4.. Niech funkcja f będzie C-różniczkowalna w punkcie z 0 i niech g := f. Wykazać, że g jest C-różniczkowalna w punkcie z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f (z 0 ) = 0. Zadanie 4.3. Niech D C będzie obszarem, f O(D) oraz Im f = const. Wykazać, że f = const. Zadanie 4.4. Funkcja f jest holomorficzna w pewnym otoczeniu punktu z 0. Znaleźć przepis na z f(z), jeśli x = Re z, y = Im z R oraz () Re f(x, y) = x x +y, z 0 = π, f(π) = π, () Re f(x, y) = x y + x, z 0 = i, f(i) = i, (3) Re f(x, y) = sin(x) sinh(y) + y x + y, z 0 = 0, f(0) = 3i, (4) Im f(x, y) = 6x y y 3 + x 3 3xy, z 0 = i, f(i) = i, (5) Re f(x, y) = e x sin y + e x cos y, z 0 = 0, f(0) = 0. Zadanie 4.5. Niech D C będzie obszarem i niech funkcje f j : D C, j =,..., n, będą funkcjami dwukrotnie C-różniczkowalnymi. Załóżmy, że n j= f j = const. Wykazać, że f j = const, j =,..., n. Zadanie 4.6. Niech f będzie funkcją R-różniczkowalną w punkcie z 0 i niech u = Re f, v = Im f. Wykazać, że [ ] ux (z det 0 ) u y (z 0 ) = f v x (z 0 ) v y (z 0 ) z (z 0) f z (z 0). Zadanie 4.7. Wykazać, że funkcja u(z) = log z jest harmoniczna w C \ {0}, ale nie istnieje funkcja f C-różniczkowalna w C \ {0} taka, że Re f = u. 4

5 Zadanie 5.. Obliczyć całki () [0,+i] (z z) dz, () [,i] z dz, (3) [i, ] z + dz, (4) [3, ] zez dz, (5) [ 3, i] z + dz, (6) [i,] (z 3z + ) dz, 5. Całki zespolone gdzie [a, b] jest odcinkiem łączącym punkty a, b C przebieganym od punktu a do punktu b. Zadanie 5.. Obliczyć całki () ( + i z) dz, C () C z dz, (3) C (z + z ) dz, gdzie C jest łukiem paraboli y = x przebieganym od punktu (, 4) do punktu (, ). Zadanie 5.3. Obliczyć całki () ( + zz) dz, C () C z dz, (3) C z dz, gdzie C jest górną połową okręgu z = przebieganą od punktu do punktu, zaś gałąź pierwiastka jest tak wybrana, że =. Zadanie 5.4. Obliczyć całki () C z dz, () 3 z dz, C (3) C 3 z dz, gdzie C jest prawą połową okręgu z = 8 przebieganą od punktu 8i do punktu 8i, zaś gałąź pierwiastka jest tak wybrana, że 3 8 = 3i. 5

6 6. Wzór całkowy Cauchy ego Zadanie 6.. Niech f O(C \ R) C(C). Wykazać, że f O(C). Zadanie 6. (Zasada symetrii Riemanna-Schwarza). Niech H + := {z C : Im z > 0}, f O(H + ) C(H + ) i niech f(r) R. Wykazać, że istnieje funkcja f O(C) taka, że f H+ = f. Zadanie 6.3. Niech f O(C), M R, Re f M. Wykazać, że f = const. Zadanie 6.4. Niech f O(C), p C jest półprostą domkniętą, f(c) C \ p. Wykazać, że f = const. Zadanie 6.5. Niech f O(C) i niech k N, M > 0 będą takie, że f(z) M(+ z k ), z C. Wykazać, że f jest wielomianem stopnia co najwyżej k. Zadanie 6.6 (Reguła de l Hospitala). Niech Ω C będzie zbiorem otwartym, f, g O(Ω), z 0 Ω. Załóżmy, że f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0, f 0 i g 0 na żadnym otoczeniu z 0 i istnieje granica Wykazać, że istnieje granica f(z) lim z z 0 g(z) f (z) lim z z 0 g (z) = λ C. oraz Zadanie 6.7. Czy istnieje funkcja f O(D) taka, że () f(/n) = n/( + n), n N, n, () f(/n) = n/( + n), n N, n, (3) f(/n) = e n, n N, n? f(z) lim z z 0 g(z) = λ. Zadanie 6.8 (Zasada maksimum). Niech D C będzie obszarem ograniczonym i niech f O(D) spełnia warunek lim sup f(z) M <. D z D Wykazać, że f M. Zadanie 6.9. Niech f O({z C : < z < 3}) C({z C : z 3}), f(z) = 4 dla z = i f(z) = 9 dla z = 3. Wykazać, że f(z) z dla z 3. 6

7 7. Ogólna teoria Cauchy ego Zadanie 7.. Niech γ będzie krzywą prostowalną, ϕ C(γ ) i dla dowolnej liczby m N niech ϕ(w) F m (z) := (w z) m dw, z C \ γ. Wykazać, że F m O(C \ γ ) oraz F m = mf m+, m N. γ Zadanie 7.. Niech Ω C będzie zbiorem otwartym i niech Γ będzie cyklem takim, że Γ Ω. Wykazać, że następujące warunki są równoważne () dla dowolnej funkcji f O(Ω) zachodzi równość Ind Γ (z) f(z) = πi Γ f(w) w z dw, z Ω \ Γ, () dla dowolnej funkcji f O(Ω) i dowolnej liczby k N 0 zachodzi równość Ind Γ (z) f (k) (z) = k! f(w) πi (w z) k+ dw, z Ω \ Γ. Zadanie 7.3. Niech Ĉ := C { }, {( Ĉ z g Γ ) Re z Im z z + z, + z, + z, gdy z C (0, 0, ), gdy z = i niech ˆd(w, z) := ρ(g(w), g(z)), w, z Ĉ, gdzie ρ : R3 R 3 [0, + ) jest metryką euklidesową. Wykazać, że w z ˆd(w,, gdy w, z C (+ w z) = )(+ z )., gdy w C, z = + w Zadanie 7.4. Obliczyć całki () dz T +z, gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (, 0), B = (0, ) i C = (0, ), 4 () e z z = z+5 dz, (3) z +i = sin z dz, dz +z, 0 dz (z 3)(z+3i)(z +i), e z dz z (z 4), e z z πi dz, (4) z = 3 (5) z = (6) z 3i = (7) z =6 gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. 7

8 8. Szeregi Laurenta Zadanie 8.. Wyznaczyć pierścień zbieżności następujących szeregów Laurenta () (i + 3) n+ z n, () (3) n= n n (z + i) n + ( + in)(z + i) n, n= n= n= ( n )(z + ) n + (i + n) n (z + ) n. n= Zadanie 8.. Niech z 0 C, s > 0, T(z 0, s) := {z C : z z 0 = s} i niech V = V (z 0, s) oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem C wszystkich szeregów Laurenta zbieżnych bezwzględnie i jednostajnie na T(z 0, s) oraz f, g := π f(z 0 + se it )g(z 0 + se π it ) dt, f, g V. 0 Wykazać, że przestrzeń V z iloczynem skalarnym, nie jest przestrzenią Hilberta. Zadanie 8.3. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f w pierścieniach podanych obok () f(z) = z i, P (0,, ), () f(z) = 3 z, P (, 0, ), P (,, ), (3) f(z) = z( z), P (, 0, ), P (,, ), (4) f(z) = z(z ), P (0, 0, ), P (0,, ), P (, 0, ), P (,, ), P (,, ), P (,, ), P (, 0, ). Zadanie 8.4. Podać, w jakich (maksymalnych) pierścieniach (ewentualnie kołach) o środku w z 0 można rozwinąć dane funkcje w szereg Laurenta i podać te rozwinięcia () f(z) = z +4iz 3, z 0 = 4, () f(z) = (z i), z 0 = i, (3) f(z) = z(4 z), z 3 0 = 3i. Zadanie 8.5. Znaleźć punkty osobliwe izolowane i określić ich rodzaj dla funkcji () f(z) = ez z, () f(z) = sin (z ), (3) f(z) = z +5 (z+3), 4 (4) f(z) = z cos z 8i z, 3 (5) f(z) = z 4 +z +, (6) f(z) = ze z/(z 3). Zadanie 8.6. Niech z 0 C, R > 0, f O(P (z 0, 0, R)) i niech f(z) dl (z) <. P (z 0,0,R) Wykazać, że f przedłuża się do funkcji holomorficznej na (z 0, R). 8

9 9. Rezydua Zadanie 9.. Niech Ω C będzie zbiorem otwartym, z 0 Ω, f O(Ω \ {z 0 }). Załóżmy, że funkcja f ma biegun rzędu m > 0 w punkcie z 0. Wykazać, że Zadanie 9.. Obliczyć całki dz (a) T + z 3, e z (b) z + dz, z =4 res z0 f = (c) (d) (m )! z =4 z = lim z z 0 d m dz m ((z z 0) m f(z)). cos z dz, z dz (z i)(z + 3i)(z 4), (e) (f) z =4 z+πi = dz z(z )(z i), cos z dz z(z 3i)(z + πi), gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (, 0), B = (, ) i C = (0, ) oraz wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. Zadanie 9.3. Obliczyć całki e z (a) z =4 z 3 + z dz, (b) sin z dz, z =4 (c) (d) z i = z =4 e z z (z + 4) dz, z e/(z ) dz, gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. (e) z+i = Zadanie 9.4. Obliczyć poniższe całki rzeczywiste stosując twierdzenie o rezyduach z + cos z + i dz, (a) (b) (c) π 0 π sin x dx 7 6 cos x, cos x dx 3 + cos x, x + x 4 + dx, (d) (e) (f) x dx (x + 4x + 3), dx ( + x)x α, 0 < α <, log x dx ( + x) 3, (g) (h) (i) x sin x x + dx, cos x dx x 4 + 4x + 6, x sin x dx (x 6x + 0). 9

10 0. Twierdzenie Rouché go Zadanie 0.. Korzystając z twierdzenia Rouché go wykazać, że każdy wielomian stopnia n ma w odpowiednio dużym kole dokładnie n miejsc zerowych liczonych z krotnościami. Zadanie 0.. Niech a C, a > e. Wykazać, że równanie e z az n = 0 ma w kole (0, ) dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami. Zadanie 0.3. Wykazać, że wielomian p(z) = z 5 + 5z + ma w kole (0, ) dokładnie 5 pierwiastków liczonych z krotnościami, ale w kole (0, ) ma dokładnie jeden pierwiastek. Zadanie 0.4. Niech λ >. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania w zbiorze {z C : Re z 0}. Zadanie 0.5. Niech F (z) = z = λ e z n m= z a m a m z, gdzie a m <, m =,,..., n, i niech b <. Wykazać, że równanie ma dokładnie n pierwiastków w kole (0, ). F (z) = b 0

11 . Odzworowania konforemne Zadanie.. Wyznaczyć grupy Aut( (0, ) \ {0}) i Aut( (0, ) \ { /, /}). Zadanie.. Wykazać, że dwa pierścienie P (z, r, R ) i P (z, r, R ) są biholomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy R = R. r r Wyznaczyć postać biholomorfizmów P (z, r, R ) P (z, r, R ) oraz grupę Aut(P (0, r, R)). Zadanie.3. Znaleźć warunki konieczny i dostateczny, jakie powinny spełniać liczby a, b, c, d C, aby przekształcenie homograficzne z az + b cz + d odwzorowywało górną płaszczyznę w siebie. Zadanie.4. Załóżmy, że R jest funkcją wymierną taką, że R(z) = dla z =. Wykazać, że R(z) = cz m k n= z a n a n z, gdzie c C, c =, m Z, k N {0} oraz a n C \ {0}, a n, n =,..., k. Zadanie.5. Znaleźć postać funkcji wymiernej R takiej, że R(z) > 0 dla z =. Zadanie.6. Niech f(t) = n k= n a k e ikt, t R, spełnia warunek f(t) > 0 dla t R. Wykazać, że istnieje wielomian P (z) = c 0 + c z + + c n z n taki, że f(t) = P (e it ), t R. Czy wynik pozostaje prawdziwy przy osłabieniu założenia do f(t) 0, t R? Zadanie.7. Niech a (0, ). Znaleźć punkty stałe odwzorowania ϕ a (z) = z a az. Czy istnieje prosta, którą ϕ a odwzorowuje w siebie? Zadanie.8. Znaleźć wszystkie liczby a C, dla których funkcja z f a (z) = + az jest różnowartościowa w kole (0, ). Opisać zbiór f a ( (0, )) dla tych wszystkich a. Zadanie.9. Niech Ω = {z C : Re z < }.Znaleźć różnowartościowe odwzorowanie konforemne f obszaru Ω na koło (0, ), dla którego f(0) = 0 i f (0) > 0. Obliczyć f (0).