1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)"

Transkrypt

1 . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny następujących liczb zespolonych () 3i, (), (3) + i, (4) i, (5) + 5i, (6) 5i, (7) + 5i, (8) 5i. Zadanie.3. Niech a, b C. Wykazać, że a + b + a b = ( a + b ). Zadanie.4. Niech a, b C, a b, b =. Wykazać, że =. a b āb Zadanie.5. Moduły liczb zespolonych z, z, z 3 i z 4 tworzą ciąg geometryczny, zaś ich argumenty ciąg arytmetyczny. Znaleźć z i z 3, jeśli z = i z 4 = 4i. Zadanie.6. Rozwiązać równania () z + 5 = 6z, () az + b z = c, gdzie a, b, c C. Zadanie.7. Niech a, z C, a <. Wykazać, że z < wtedy i tylko wtedy, gdy Zadanie.8. Przedstawić w formie trygonometrycznej liczby () + i 3, () cos α + i sin α, α [0, π]. a z āz <. Zadanie.9. Przedstawić sin 5x i cos 5x jako wielomian zmiennych sin x i cos x, a następnie przedstawić w postaci algebraicznej sin π 5 i cos π 5. Zadanie.0. Niech z C, z 0. Wykazać, że z z Arg z. Zadanie.. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory () Re z c, gdzie c R, () z z + > 3, (3) α < Arg(z z 0 ) < β, gdzie z 0 C, π < α < β π, (4) z = Re z +, (5) z a = λ z b, gdzie a, b C, λ > 0.

2 . Ciągi i szeregi zespolone Zadanie.. Wykazać, że () jeśli lim n z n = 0, to lim n ( + z nn ) n =, () jeśli lim n z n =, to lim n ( + z nn ) n = e. Zadanie.. Podać przykład ciągu zbieżnego (z n ) n takiego, że ciąg (Arg z n ) n jest rozbieżny. Zadanie.3. Obliczyć () lim n (3 n i n n + 3 n ), ( ) n () lim +i n n i + i n n, ( ) 6ni+ (3) lim n 3ni, n, n (4) lim n ( + i n ) Zadanie.4. Znaleźć wszystkie wartości parametru a C, dla których ciągi () ((a n ) n, () są zbieżne. a n +a n )n Zadanie.5. Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu zespolonego n= z n z n. Zadanie.6. Wykazać, że jeśli promienie zbieżności szeregów potęgowych a n z n, b n z n są odpowiednio równe r a, r b, to () promień zbieżności r szeregu potęgowego a n b n z n spełnia nierówność r r a r b, () promień zbieżności r szeregu potęgowego a n bn z n, b n 0, spełnia nierówność r ra r b, (3) promień zbieżności r 3 szeregu potęgowego (a n b 0 + a n b + + a 0 b n )z n spełnia nierówność r 3 min{r a, r b }. Zadanie.7. Wyznaczyć promień zbieżności następujących szeregów potęgowych () n= n! n z n, n () n= zn!, (3) n= (3 + ( )n ) n z n, (4) n= cos(in)zn. Zadanie.8. Wyznaczyć promień zbieżności i zbadać zbieżność na brzegu koła zbieżności następujących szeregów potęgowych () ( ) n n= ln n z3n, () n= 4n n zkn, gdzie k N, (3) n= n z n!, (4) n= n z n. n

3 3. Funkcje elementarne Zadanie 3.. Przedstawić w postaci a + bi, a, b R, liczby () exp ( ) ln 5 i 5π 4, () exp ( ) ln 3 + i π 3, (3) sin ( 7π 6 + i ln 3), (4) sin ( π 4 i ln ), (5) cos ( 7π 6 + i ln 3), (6) cos ( π 4 i ln ). Zadanie 3.. Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną funkcji sin i cos oraz rozwiązać równanie Zadanie 3.3. Rozwiązać równania () z =, () z 3 = i. Zadanie 3.4. Wypisać wszystkie wartości () 3 8i, () i 3, (3) 6 64 w postaci a + ib, a, b R. Zadanie 3.5. Wypisać wszystkie wartości () log( i), () log( 3 i), (3) log(e i), (4) x+iy, x, y R, (5) ( i 3) i, (6) (7) ( i ) i+, ( ) i, +i (8) ( ei) 3 i w postaci a + bi, a, b R. Im cos(z) = 0. Zadanie 3.6. Wykazać, że wszystkie wartości potęgi a x+iy, a 0, x, y R, () są rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy suma y Log a + x Arg a jest wielokrotnością liczby π i x jest liczbą całkowitą, () mają równe moduły, gdy y = 0. Zadanie 3.7. Niech a R. Wykazać, że () zbiór a jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy α Q, () jeśli α R \ Q, to zbiór a jest gęsty w T. 3

4 4. Pochodna zespolona Zadanie 4.. Wyznaczyć zbiór punktów, w którch funkcja f jest C-różniczkowalna, jeśli () f(z) = z, () f(z) = z z, (3) f(z) = z z, (4) f(z) = z Re z. Zadanie 4.. Niech funkcja f będzie C-różniczkowalna w punkcie z 0 i niech g := f. Wykazać, że g jest C-różniczkowalna w punkcie z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f (z 0 ) = 0. Zadanie 4.3. Niech D C będzie obszarem, f O(D) oraz Im f = const. Wykazać, że f = const. Zadanie 4.4. Funkcja f jest holomorficzna w pewnym otoczeniu punktu z 0. Znaleźć przepis na z f(z), jeśli x = Re z, y = Im z R oraz () Re f(x, y) = x x +y, z 0 = π, f(π) = π, () Re f(x, y) = x y + x, z 0 = i, f(i) = i, (3) Re f(x, y) = sin(x) sinh(y) + y x + y, z 0 = 0, f(0) = 3i, (4) Im f(x, y) = 6x y y 3 + x 3 3xy, z 0 = i, f(i) = i, (5) Re f(x, y) = e x sin y + e x cos y, z 0 = 0, f(0) = 0. Zadanie 4.5. Niech D C będzie obszarem i niech funkcje f j : D C, j =,..., n, będą funkcjami dwukrotnie C-różniczkowalnymi. Załóżmy, że n j= f j = const. Wykazać, że f j = const, j =,..., n. Zadanie 4.6. Niech f będzie funkcją R-różniczkowalną w punkcie z 0 i niech u = Re f, v = Im f. Wykazać, że [ ] ux (z det 0 ) u y (z 0 ) = f v x (z 0 ) v y (z 0 ) z (z 0) f z (z 0). Zadanie 4.7. Wykazać, że funkcja u(z) = log z jest harmoniczna w C \ {0}, ale nie istnieje funkcja f C-różniczkowalna w C \ {0} taka, że Re f = u. 4

5 Zadanie 5.. Obliczyć całki () [0,+i] (z z) dz, () [,i] z dz, (3) [i, ] z + dz, (4) [3, ] zez dz, (5) [ 3, i] z + dz, (6) [i,] (z 3z + ) dz, 5. Całki zespolone gdzie [a, b] jest odcinkiem łączącym punkty a, b C przebieganym od punktu a do punktu b. Zadanie 5.. Obliczyć całki () ( + i z) dz, C () C z dz, (3) C (z + z ) dz, gdzie C jest łukiem paraboli y = x przebieganym od punktu (, 4) do punktu (, ). Zadanie 5.3. Obliczyć całki () ( + zz) dz, C () C z dz, (3) C z dz, gdzie C jest górną połową okręgu z = przebieganą od punktu do punktu, zaś gałąź pierwiastka jest tak wybrana, że =. Zadanie 5.4. Obliczyć całki () C z dz, () 3 z dz, C (3) C 3 z dz, gdzie C jest prawą połową okręgu z = 8 przebieganą od punktu 8i do punktu 8i, zaś gałąź pierwiastka jest tak wybrana, że 3 8 = 3i. 5

6 6. Wzór całkowy Cauchy ego Zadanie 6.. Niech f O(C \ R) C(C). Wykazać, że f O(C). Zadanie 6. (Zasada symetrii Riemanna-Schwarza). Niech H + := {z C : Im z > 0}, f O(H + ) C(H + ) i niech f(r) R. Wykazać, że istnieje funkcja f O(C) taka, że f H+ = f. Zadanie 6.3. Niech f O(C), M R, Re f M. Wykazać, że f = const. Zadanie 6.4. Niech f O(C), p C jest półprostą domkniętą, f(c) C \ p. Wykazać, że f = const. Zadanie 6.5. Niech f O(C) i niech k N, M > 0 będą takie, że f(z) M(+ z k ), z C. Wykazać, że f jest wielomianem stopnia co najwyżej k. Zadanie 6.6 (Reguła de l Hospitala). Niech Ω C będzie zbiorem otwartym, f, g O(Ω), z 0 Ω. Załóżmy, że f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0, f 0 i g 0 na żadnym otoczeniu z 0 i istnieje granica Wykazać, że istnieje granica f(z) lim z z 0 g(z) f (z) lim z z 0 g (z) = λ C. oraz Zadanie 6.7. Czy istnieje funkcja f O(D) taka, że () f(/n) = n/( + n), n N, n, () f(/n) = n/( + n), n N, n, (3) f(/n) = e n, n N, n? f(z) lim z z 0 g(z) = λ. Zadanie 6.8 (Zasada maksimum). Niech D C będzie obszarem ograniczonym i niech f O(D) spełnia warunek lim sup f(z) M <. D z D Wykazać, że f M. Zadanie 6.9. Niech f O({z C : < z < 3}) C({z C : z 3}), f(z) = 4 dla z = i f(z) = 9 dla z = 3. Wykazać, że f(z) z dla z 3. 6

7 7. Ogólna teoria Cauchy ego Zadanie 7.. Niech γ będzie krzywą prostowalną, ϕ C(γ ) i dla dowolnej liczby m N niech ϕ(w) F m (z) := (w z) m dw, z C \ γ. Wykazać, że F m O(C \ γ ) oraz F m = mf m+, m N. γ Zadanie 7.. Niech Ω C będzie zbiorem otwartym i niech Γ będzie cyklem takim, że Γ Ω. Wykazać, że następujące warunki są równoważne () dla dowolnej funkcji f O(Ω) zachodzi równość Ind Γ (z) f(z) = πi Γ f(w) w z dw, z Ω \ Γ, () dla dowolnej funkcji f O(Ω) i dowolnej liczby k N 0 zachodzi równość Ind Γ (z) f (k) (z) = k! f(w) πi (w z) k+ dw, z Ω \ Γ. Zadanie 7.3. Niech Ĉ := C { }, {( Ĉ z g Γ ) Re z Im z z + z, + z, + z, gdy z C (0, 0, ), gdy z = i niech ˆd(w, z) := ρ(g(w), g(z)), w, z Ĉ, gdzie ρ : R3 R 3 [0, + ) jest metryką euklidesową. Wykazać, że w z ˆd(w,, gdy w, z C (+ w z) = )(+ z )., gdy w C, z = + w Zadanie 7.4. Obliczyć całki () dz T +z, gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (, 0), B = (0, ) i C = (0, ), 4 () e z z = z+5 dz, (3) z +i = sin z dz, dz +z, 0 dz (z 3)(z+3i)(z +i), e z dz z (z 4), e z z πi dz, (4) z = 3 (5) z = (6) z 3i = (7) z =6 gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. 7

8 8. Szeregi Laurenta Zadanie 8.. Wyznaczyć pierścień zbieżności następujących szeregów Laurenta () (i + 3) n+ z n, () (3) n= n n (z + i) n + ( + in)(z + i) n, n= n= n= ( n )(z + ) n + (i + n) n (z + ) n. n= Zadanie 8.. Niech z 0 C, s > 0, T(z 0, s) := {z C : z z 0 = s} i niech V = V (z 0, s) oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem C wszystkich szeregów Laurenta zbieżnych bezwzględnie i jednostajnie na T(z 0, s) oraz f, g := π f(z 0 + se it )g(z 0 + se π it ) dt, f, g V. 0 Wykazać, że przestrzeń V z iloczynem skalarnym, nie jest przestrzenią Hilberta. Zadanie 8.3. Rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f w pierścieniach podanych obok () f(z) = z i, P (0,, ), () f(z) = 3 z, P (, 0, ), P (,, ), (3) f(z) = z( z), P (, 0, ), P (,, ), (4) f(z) = z(z ), P (0, 0, ), P (0,, ), P (, 0, ), P (,, ), P (,, ), P (,, ), P (, 0, ). Zadanie 8.4. Podać, w jakich (maksymalnych) pierścieniach (ewentualnie kołach) o środku w z 0 można rozwinąć dane funkcje w szereg Laurenta i podać te rozwinięcia () f(z) = z +4iz 3, z 0 = 4, () f(z) = (z i), z 0 = i, (3) f(z) = z(4 z), z 3 0 = 3i. Zadanie 8.5. Znaleźć punkty osobliwe izolowane i określić ich rodzaj dla funkcji () f(z) = ez z, () f(z) = sin (z ), (3) f(z) = z +5 (z+3), 4 (4) f(z) = z cos z 8i z, 3 (5) f(z) = z 4 +z +, (6) f(z) = ze z/(z 3). Zadanie 8.6. Niech z 0 C, R > 0, f O(P (z 0, 0, R)) i niech f(z) dl (z) <. P (z 0,0,R) Wykazać, że f przedłuża się do funkcji holomorficznej na (z 0, R). 8

9 9. Rezydua Zadanie 9.. Niech Ω C będzie zbiorem otwartym, z 0 Ω, f O(Ω \ {z 0 }). Załóżmy, że funkcja f ma biegun rzędu m > 0 w punkcie z 0. Wykazać, że Zadanie 9.. Obliczyć całki dz (a) T + z 3, e z (b) z + dz, z =4 res z0 f = (c) (d) (m )! z =4 z = lim z z 0 d m dz m ((z z 0) m f(z)). cos z dz, z dz (z i)(z + 3i)(z 4), (e) (f) z =4 z+πi = dz z(z )(z i), cos z dz z(z 3i)(z + πi), gdzie T jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (, 0), B = (, ) i C = (0, ) oraz wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. Zadanie 9.3. Obliczyć całki e z (a) z =4 z 3 + z dz, (b) sin z dz, z =4 (c) (d) z i = z =4 e z z (z + 4) dz, z e/(z ) dz, gdzie wszystkie krzywe zorientowane są dodatnio względem wnętrza. (e) z+i = Zadanie 9.4. Obliczyć poniższe całki rzeczywiste stosując twierdzenie o rezyduach z + cos z + i dz, (a) (b) (c) π 0 π sin x dx 7 6 cos x, cos x dx 3 + cos x, x + x 4 + dx, (d) (e) (f) x dx (x + 4x + 3), dx ( + x)x α, 0 < α <, log x dx ( + x) 3, (g) (h) (i) x sin x x + dx, cos x dx x 4 + 4x + 6, x sin x dx (x 6x + 0). 9

10 0. Twierdzenie Rouché go Zadanie 0.. Korzystając z twierdzenia Rouché go wykazać, że każdy wielomian stopnia n ma w odpowiednio dużym kole dokładnie n miejsc zerowych liczonych z krotnościami. Zadanie 0.. Niech a C, a > e. Wykazać, że równanie e z az n = 0 ma w kole (0, ) dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami. Zadanie 0.3. Wykazać, że wielomian p(z) = z 5 + 5z + ma w kole (0, ) dokładnie 5 pierwiastków liczonych z krotnościami, ale w kole (0, ) ma dokładnie jeden pierwiastek. Zadanie 0.4. Niech λ >. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania w zbiorze {z C : Re z 0}. Zadanie 0.5. Niech F (z) = z = λ e z n m= z a m a m z, gdzie a m <, m =,,..., n, i niech b <. Wykazać, że równanie ma dokładnie n pierwiastków w kole (0, ). F (z) = b 0

11 . Odzworowania konforemne Zadanie.. Wyznaczyć grupy Aut( (0, ) \ {0}) i Aut( (0, ) \ { /, /}). Zadanie.. Wykazać, że dwa pierścienie P (z, r, R ) i P (z, r, R ) są biholomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy R = R. r r Wyznaczyć postać biholomorfizmów P (z, r, R ) P (z, r, R ) oraz grupę Aut(P (0, r, R)). Zadanie.3. Znaleźć warunki konieczny i dostateczny, jakie powinny spełniać liczby a, b, c, d C, aby przekształcenie homograficzne z az + b cz + d odwzorowywało górną płaszczyznę w siebie. Zadanie.4. Załóżmy, że R jest funkcją wymierną taką, że R(z) = dla z =. Wykazać, że R(z) = cz m k n= z a n a n z, gdzie c C, c =, m Z, k N {0} oraz a n C \ {0}, a n, n =,..., k. Zadanie.5. Znaleźć postać funkcji wymiernej R takiej, że R(z) > 0 dla z =. Zadanie.6. Niech f(t) = n k= n a k e ikt, t R, spełnia warunek f(t) > 0 dla t R. Wykazać, że istnieje wielomian P (z) = c 0 + c z + + c n z n taki, że f(t) = P (e it ), t R. Czy wynik pozostaje prawdziwy przy osłabieniu założenia do f(t) 0, t R? Zadanie.7. Niech a (0, ). Znaleźć punkty stałe odwzorowania ϕ a (z) = z a az. Czy istnieje prosta, którą ϕ a odwzorowuje w siebie? Zadanie.8. Znaleźć wszystkie liczby a C, dla których funkcja z f a (z) = + az jest różnowartościowa w kole (0, ). Opisać zbiór f a ( (0, )) dla tych wszystkich a. Zadanie.9. Niech Ω = {z C : Re z < }.Znaleźć różnowartościowe odwzorowanie konforemne f obszaru Ω na koło (0, ), dla którego f(0) = 0 i f (0) > 0. Obliczyć f (0).

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Kurs matematyki dla chemików

Kurs matematyki dla chemików Kurs matematyki dla chemików nr 136 Joanna Ger Kurs matematyki dla chemików Wydanie piąte poprawione Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2012 Redaktor serii: Matematyka Tomawsz Dłotko Recenzenci

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i .

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i . POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i. To książka dla wszystkich maturzystów, zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Jasne

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2.

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach zakres rozszerzony, autorstwa Marcina

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2014/2015. Poziom wymagań rozszerzających (na ocenę dobrą)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2014/2015. Poziom wymagań rozszerzających (na ocenę dobrą) WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2014/2015 Dział koniecznych (na ocenę dopuszczającą) podstawowych (na ocenę dostateczną) rozszerzających (na ocenę dobrą) dopełniających

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1.

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające); Wymagania wykraczające. KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Prace klasowe

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Ocena Celujący (obejmuje wymagania na ocenę bardzo dobrą) Ocena śródroczna DZIAŁ I - LICZBY I DZIAŁANIA - umie znajdować liczby spełniające określone nietypowe

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus

ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus ANALIZA ZESPOLONA IV semestr 203/4 oprac. Janina Kotus Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str. 6 2. Funkcje zespolone str. 8 2. Granica i ciag lość str.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM KLASA I Na ocenę dopuszczającą: DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego

Bardziej szczegółowo

Konkurs matematyczny im. Samuela Chróścikowskiego

Konkurs matematyczny im. Samuela Chróścikowskiego Konkurs matematyczny im. Samuela Chróścikowskiego Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie 13 marzec 2008 Imię i nazwisko:... Szkoła:... Wyrażam zgodę na przetwarzanie moich danych osobowych w zakresie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki FUNKCJE ANALITYCZNE WYK LADY DLA SEKCJI TEORETYCZNEJ INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2007 Zbigniew B locki Typeset by AMS-TEX 2 ZBIGNIEW B LOCKI Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 1 2. Różniczkowanie

Bardziej szczegółowo

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ A Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 2013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa pierwsza. Poziom podstawowy.

Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa pierwsza. Poziom podstawowy. Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa pierwsza. Poziom podstawowy. Wymagania ogólne interpretuje tekst matematyczny, po rozwiązaniu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM Wymagania podstawowe(k- ocena dopuszczająca, P ocena dostateczna), wymagania ponadpodstawowe( R ocena dobra, D ocena bardzo dobra, W ocena celująca) DZIAŁ 1:

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo