Matematyczne Metody Fizyki II

Transkrypt

1 Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11

2 Reprezentacja całkowa Fouriera Wstawiając współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera do reprezentacji funkcji dostajemy: f(x) = 1 Ĺ L f(u) du + 1 Ĺ L f(u) cos n(u x) L du Zakładając, że lim L L L Ĺ n=1 L f(x) dx <, pierwszy wyraz w powyższym rozwinięciu dąży do zera dla L. Oznaczając przez n ω = /L oraz ω n = n/l mamy: f(x) = 1 Ĺ L f(u) cos n(u x) L du = 1 Ĺ n ω f(u) cos [ω n (u x)] du n=1 L Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz wykonując przejście graniczne L otrzymujemy reprezentację całkową Fouriera funkcji f(x): gdzie f(x) = 1 dω A(ω) = 1 f(u) cos ω(u x)du = f(u) cos ωu du n=1 B(ω) = 1 L [A(ω) cos ωx + B(ω) sin ωx]dω f(u) sin ωu du M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 / 11

3 Reprezentacja całkowa Fouriera Twierdzenie całkowe Fouriera: Niech f(x) spełnia warunki Dirichleta (skończona liczba maksimów i minimów oraz ograniczonych nieciągłości na każdym skończonym przedziale) oraz będzie całkowalna na przedziale < x < tzn. f(x) dx < oraz f(x)dx <. Wówczas mamy: 1 [f(x+ ) + f(x )] = [A(ω) cos ωx + B(ω) sin ωx]dω Przykład: Znajdź reprezentację całkową Fouriera funkcji f(x) = e x Spełnione są warunki Dirichlet a, a funkcja jest całkowalna bo A(ω) = 1 B(ω) = 1 e x = e u cos ωu du = e u sin ωu du = cos ωx 1 + ω dω e x dx =. e u cos ωu du = (1+ω ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 3 / 11

4 Transformata Fouriera Postać zespolona reprezentacji całkowej Fouriera funkcji f(x) w (, ): f(x) = 1 dω f(u) cos ω(u x)du = 1 dω f(u) cos ω(x u)du Ponieważ = 1 dω f(u) sin ω(x u)du, więc dodając to wyrażenie pomnożone przez i do powyższej reprezentacji całkowej, otrzymujemy [ ] f(x) = 1 f(u) exp {iω(x u)}du dω Przepisując reprezentację całkową Fouriera w postaci [ ] f(x) = 1 1 exp {iωx} f(u) exp { iωu}du dω oraz definiując transformatę Fouriera jako F (ω) = 1 f(x) exp { iωx}dx otrzymujemy f(x) = 1 ˆ F (ω) exp {iωx}dω M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 4 / 11

5 Własności transformaty Fouriera Liniowość F{af(x) + bg(x)} = af{f(x)} + bf{g(x)} Niech f(x) będzie funkcją ciągłą i taką że lim x f(x) =, której pochodna f (x) jest całkowalna na moduł na przedziale (, ). F{f (x)} = 1 f (x)e iωx dx = [ ] = 1 f(x)e iωx ( iω) f(x)e iωx dx = iωf (ω) dla wszystkich n dla których pochodne f (r) (x), r = 1,,..., n spełniają warunki Dirichleta, są całkowalne bezwzględnie na przedziale (, ) oraz lim x f (n 1) (x) =, wówczas zachodzi F{f (n) (x)} = (iω) n F (ω) Niech f(x) będzie ciągłą i różniczkowalną funkcją posiadającą n-krotnie różniczkowalną transformatę Fouriera: d 1 dω [F (ω)] = d dω F{x n f(x)]} = i n dn dω n [F (ω)] f(x)e iωx dx = i F{x m f (n) m+n dm (x)} = i dω [ω m F (ω)] m xf(x)e iωx dx= if{xf(x)} M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 5 / 11

6 Transformata Fouriera - przykłady Przykład: Znajdź transformatę Fouriera funkcji f(x) = 1, x < a F (ω) = 1 á [ ] e iωx dx = 1 ω e iωa e iωa sin ωa i = ω a Przykład: Znajdź transformatę Fouriera funkcji f(x) = 1, < x < a F (ω) = 1 á ( ) e iωx dx = 1 1 e iωa iω Przykład: Znajdź transformatę Fouriera funkcji f(x) = e iax, < x < 1 1 ( ) F (ω) = 1 e i(ω a)x dx = i 1 e i(ω a) a ω Przykład: Znajdź transformatę Fouriera funkcji f(x) = e a x, a > exp ( a x ) dx = exp ( a x )dx = a f + a xf = F{f (x)} + a F{xf(x)} = a F + ωf = [ ] F (ω) = A exp ω 4a gdzie A = F () = 1 exp ( a x )dx = 1 a { F{exp ( a x )} = F (ω) = 1 a exp ω 4a }, a > M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 6 / 11

7 Własności transformaty Fouriera Definicja: Splotem (konwolucją) funkcji f(x) i g(x) nazywamy: (f g)(x) = 1 f(t)g(x t) dt = 1 f(x t)g(t) dt Twierdzenie o splocie (konwolucji) dla transformat Fouriera: Niech funkcje f(x) i g(x) będą przedziałami ciągłe, ograniczone i całkowalne na moduł w (, ) oraz posiadają transformaty Fouriera F (ω) i G(ω). Wówczas mamy: F{(f g)(x)} = F{f(x)}F{g(x)} = F (ω)g(ω) [ ] F{(f g)(x)} = 1 1 f(t)g(x t)dt e iωx dx = v = x t = = 1 (f g)(x) = 1 f(t)e iωt dt F (ω)g(ω)e iωx dω Twierdzenie: Relacja Parsevala: f(t)g(x t) dt = x = g(t) = f( t) = g(v)e iωv dv = F{f(x)}F{g(x)} f(x) dx = F (ω) F (ω) dω = F (ω) dω F (ω) dω M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 7 / 11

8 Własności transformaty Fouriera Przykład: Wiedząc, że dla f(x) = 1, x < a mamy F (ω) = á sin oblicz całkę I = ωa ω dω 1 dx = a ( sin ωa ) ω, sin ωa ω dω I = a Jeśli F (ω) jest transformatą Fouriera funkcji f(x), wówczas mamy: F{f(ax)} = 1 f(ax)e iωx dx = 1 f(u)e iωu/a du = 1 a F (ω/a) a F{f(x a)} = e iωa F (ω) F{e iλx f(x)} = F (ω λ) Transformata Fouriera funkcji δ(x a) Diraca: F{δ(x a)} = 1 δ(x a)e iωx dx = 1 e iωa Przykład: Transformata Fouriera funkcji f(x) = δ(x a) exp [ b x ] F{f(x)} = 1 δ(x a) exp [ b x ]e iωx dx = 1 exp [ (a b + iωa)] Transformata Fouriera funkcji dwóch zmiennych f(x, t): xf{f(x, t)} = F (ω, t) = 1 f(x, t)e iωx dx f(x, t) = x F 1 {F (ω, t)} = 1 F (ω, t)eiωx dω M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 8 / 11

9 Cosinusowa i sinusowa transformata Fouriera Jeśli funkcja f(x) ma określoną parzystość, wtedy transformata Fouriera: F (ω) = 1 f(x)e iωx dx = 1 f(x)[cos ωx i sin ωx]dx przyjmuje postać transformaty cosinusowej dla funkcji parzystej f(x) = f( x): F C (ω) = 1 f(x) cos ωx dx = f(x) cos ωx dx f(x) = F C (ω) cos ωx dω oraz transformaty sinusowej dla funkcji nieparzystej f(x) = f( x): F S (ω) = 1 f(x) sin ωx dx = f(x) sin ωx dx f(x) = F C (ω) sin ωx dω Przykład: Znajdź transformaty sinusową i cosinusową funkcji f(x) = e ax : { } F C {e ax } = e ax ( cos ωx dx = Re e ax e iωx a dx = { } ( F S {e ax } = e ax sin ωx dx = Im e ax e iωx ω dx = ω +a ) ω +a ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 9 / 11

10 Cosinusowa i sinusowa transformata Fouriera Transformaty Fouriera cosinusowa i sinusowa są liniowe: F C {af(x) + bg(x)} = af C {f(x)} + bf C {g(x)} = af C (ω) + bg C (ω) F S {af(x) + bg(x)} = af S {f(x)} + bf S {g(x)} = af S (ω) + bg S (ω) Niech f(x) będzie ciągła i całkowalna na przedziale, ) oraz lim x f(x) =. Wówczas: [ ] F C {f (x)} = f (x) cos ωx dx = f(x) cos ωx + ω f(x) sin ωx dx = f() + ωf S{f(x)} F S {f (x)} = ωf C {f(x)} F C {f (x)} = f () ω F C {f(x)} F S {f (x)} = f() ω F S {f(x)} Relacje Parsevala dla transformat Fouriera cosinusowej i sinusowej: F C (ω) dω = f(x) dx, F S (ω) dω = f(x) dx F C (ω)g C (ω)dω = f(v)g(v)dv M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11

11 Cosinusowa i sinusowa transformata Fouriera Transformaty Fouriera dla zmiennych przesuniętych i skalowanych: F C {cos (ax)f(x)} = 1 {F C(ω + a) + F C (ω a)} F C {sin (ax)f(x)} = 1 {F S(ω + a) + F S (ω a)} F S {cos (ax)f(x)} = 1 {F S(ω + a) + F S (ω a)} F S {sin (ax)f(x)} = 1 {F C(ω a) F C (ω + a)} F C {f(ax)} = 1 a F C(ω/a), a > F S {f(ax)} = 1 a F S(ω/a), a > M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 11 / 11