Kurs Komputerowy S System Symboliczny Mathematica

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kurs Komputerowy S System Symboliczny Mathematica"

Piotr Lipiński
6 lat temu
Przeglądów:

1 Kurs Komputerowy S System Symboliczny Mathematica Obliczenia numeryczne Dokladnosc i precyzja Precision[wartosc] SetPrecision[wartosc, precyzja] Accuracy[wartosc] SetAccuracy[wartosc, dokladnosc] MachinePrecision In[1]:= a Sqrt Out[1]= In[]:= Precision a Out[]= In[]:= Precision 1. Out[]= MachinePrecision

2 0-obliczenia numeryczne.nb In[]:= b 1. 0 Out[]= In[]:= Precision b Out[]= 0. In[6]:= b Sqrt. Out[6]= 1.11 In[7]:= Precision b Out[7]= MachinePrecision In[8]:= $MachinePrecision Out[8]= 1.96 In[9]:= c SetPrecision b, 0 Out[9]= In[10]:= Precision c Out[10]= 0. In[11]:= Accuracy c Out[11]= In[1]:= Accuracy 1. Out[1]= 1.806

3 0-obliczenia numeryczne.nb In[1]:= d 1. 0 Out[1]= In[1]:= Accuracy d Out[1]= 0. Wynik dokladny a przyblizony wyrazenie // N N[wyrazenie] N[wyrazenie, precyzja] Chop[wyrazenie] In[1]:= a Sqrt Out[1]= In[16]:= b Sqrt. Out[16]= 1.11 In[17]:= a N Out[17]= 1.11 In[18]:= Precision Out[18]= MachinePrecision In[19]:= N a, 0 Out[19]=

4 0-obliczenia numeryczne.nb In[0]:= Precision Out[0]= 0. In[1]:= Chop 1. Out[1]= 1. In[]:= Chop ^ 10 Out[]= 0 In[]:= Chop ^ 0 Out[]= 0 In[]:= ^ 0 Out[]= In[]:= Fourier 1, 0,, 0, 7, 0, 6,, 1 Out[]= 7. 0., , , , , , , , In[6]:= InverseFourier Out[6]= 1., ,., 0., 7., , 6.,., 1. In[7]:= Chop Out[7]= 1., 0,., 0, 7., 0, 6.,., 1. Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyrazenie, {zmienna, w_pocz, w_konc}] NProduct[wyrazenie, {zmienna, w_pocz, w_konc}]

5 0-obliczenia numeryczne.nb Options[polecenie] In[8]:= NSum 1 x, x, 1, 100 Out[8]= In[9]:= NSum 1 x, x, 1, Infinity Out[9]= 1.69 In[0]:= Sum 1 x, x, 1, Infinity Out[0]= Π 6 In[1]:= N Out[1]= 1.69 In[]:= Options NSum Out[]= AccuracyGoal, Compiled Automatic, EvaluationMonitor None, Method Automatic, NSumTerms 1, PrecisionGoal Automatic, VerifyConvergence True, WorkingPrecision MachinePrecision In[]:= NSum 1 x, x, 1, Infinity, WorkingPrecision 0 Out[]= In[]:= NSum 1 x, x, 1, Infinity, PrecisionGoal 0, WorkingPrecision 0 NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 9 recursive bisections in x near x NIntegrate obtained and *^- for the integral and error estimates. Out[]= In[]:= Precision Out[]= 0.

6 6 0-obliczenia numeryczne.nb In[6]:= NSum 1 x, x, 1, 10, EvaluationMonitor : Print "x ", x, " ", N 1 x, 10 x x. 0. x x x. 0.0 x x x x x Out[6]= 1.977

7 0-obliczenia numeryczne.nb 7 In[7]:= NSum 1 x, x, 1, 10, WorkingPrecision 0, EvaluationMonitor : Print "x ", x, " ", N 1 x, 10 x x x x x x x x x x Out[7]= In[8]:= NProduct x x 1, x, 1, 100 Out[8]= In[9]:= Product x x 1, x, 1, 100 Out[9]= In[0]:= N Out[0]=

8 8 0-obliczenia numeryczne.nb In[1]:= Options NProduct Out[1]= AccuracyGoal, Compiled Automatic, EvaluationMonitor None, Method Automatic, NProductFactors 1, PrecisionGoal Automatic, VerifyConvergence True, WorkingPrecision MachinePrecision Rozwiazywanie rownan NSolve[rown, zmienna] (* NSolve[...] N[Solve[...]] *) In[]:= eq x x 0 NSolve eq, x Out[]= x x 0 Out[]= x.67, x In[]:= Solve eq, x Out[]= x 7, x 7 In[]:= N Out[]= x.67, x In[6]:= Clear a, b, c In[7]:= NSolve a x b x c 0, x Out[7]= x b 1. b. a c a, x b b. a c a

9 0-obliczenia numeryczne.nb 9 FindRoot[wielomian, zmienna] In[8]:= f x x x x 1 FindRoot f, x, 1 Out[8]= 1 x x x x Out[9]= x 1.10 In[0]:= FindRoot f, x, 0 Out[0]= x In[1]:= FindRoot f, x, 1 Out[1]= x In[]:= Plot f, x,, Out[]= Interpolacja, ekstrapolacja i aproksymacja Interpolation[dane] dane: {f1, f, f,...} {{x1, f1}, {x, f}, {x, f},...} {{{x1, y,...}, f1}, {{x, y,...}, f},...} Interpolation[dane,wartosc]

10 10 0-obliczenia numeryczne.nb In[]:= d 1,,, 6,, 7,, 8 fi Interpolation d Out[]= 1,,, 6,, 7,, 8 Out[]= InterpolatingFunction 1, 8, In[]:= fi fi. Out[]= Out[6]=. In[7]:= fi 10 InterpolatingFunction::dmval : Input value 10 lies outside the range of data in the interpolating function. Extrapolation will be used. Out[7]= 9 In[8]:= Plot fi x, x, 1, Out[8]=

11 0-obliczenia numeryczne.nb 11 In[9]:= Show, ListPlot d Out[9]= In[60]:= d 1, 1,,,,,, 6, 6,, 8, 7, 9,, 11, 8 fi Interpolation d Out[60]= 1, 1,,,,,, 6, 6,, 8, 7, 9,, 11, 8 Out[61]= InterpolatingFunction 1, 11, In[6]:= Show Plot fi x, x, 1, 11, ListPlot d 7 6 Out[6]= In[6]:= Options Interpolation Out[6]= InterpolationOrder, Method Automatic, PeriodicInterpolation False

12 1 0-obliczenia numeryczne.nb In[6]:= d 1,,, 6,, 7,, 8 f0 Interpolation d, InterpolationOrder 0 ; f1 Interpolation d, InterpolationOrder 1 ; f Interpolation d, InterpolationOrder ; f Interpolation d, InterpolationOrder ; f Interpolation d, InterpolationOrder ; f Interpolation d, InterpolationOrder ; Out[6]= 1,,, 6,, 7,, 8 In[71]:= GraphicsGrid Plot f0 x, x, 1, 8, Plot f1 x, x, 1, 8, Plot f x, x, 1, 8, Plot f x, x, 1, 8, Plot f x, x, 1, 8, Plot f x, x, 1, Out[71]= Fit[dane, funkcja, zmienna] In[7]:= d 1,,, 6,, 7,, 8 ; f1 Fit d, 1, x, x f Fit d, 1, x, x, x f Fit d, 1, x, x, x, x, x f7 Fit d, 1, x, x, x, x, x, x 6, x 7, x Out[7]= x Out[7]= x x Out[7]= x 0.9 x x x Out[76]= x x 68.8 x 1. x 18.0 x 1. x x 7

13 0-obliczenia numeryczne.nb 1 In[77]:= GraphicsGrid Show Plot f1, x, 0, 9, PlotRange 0, 9,, 1, ListPlot d, Show Plot f, x, 0, 9, PlotRange 0, 9,, 1, ListPlot d, Show Plot f, x, 0, 9, PlotRange 0, 9,, 1, ListPlot d, Show Plot f7, x, 0, 9, PlotRange 0, 9,, 1, ListPlot d Out[77]= In[78]:= Fit 1, 1, x, x, x Out[78]= x 0. x FindFit[dane, funkcja, parametry, zmienna] FindFit[dane,{funkcja,warunki},parametry,zmienna] In[80]:= Clear f In[81]:= f De_, Α_, xe_ : De 1 Exp Α x xe In[8]:= funkcja f, 0., Out[8]= 1 0. x

14 1 0-obliczenia numeryczne.nb In[8]:= Plot funkcja, x, 0, 10 Out[8]= 1 In[8]:= dane Table x, funkcja, x, 1, 10 Out[8]= 1,.9098,, ,, 0.,, ,, , 6, 1.070, 7, 1.99, 8, 1.681, 9, , 10, In[8]:= ff Fit dane, 1, x, x, x, x, x Out[8]= x.70 x x x In[86]:= Show Plot ff, x, 1, 10, ListPlot dane Out[86]=

15 0-obliczenia numeryczne.nb 1 In[87]:= ffit FindFit dane, a 1 Exp b x c ^, a, b, c, x Out[87]= a 1.998, b.118, c In[88]:= Show Plot f a, b, c. ffit, x, 1, 10, ListPlot dane.0..0 Out[88]= In[89]:= ffit FindFit dane, a 1 Exp b x c ^, b 0., a, b, c, x Out[89]= a.000, b , c In[90]:= Show Plot f a, b, c. ffit, x, 1, 10, ListPlot dane Out[90]= 1 Minimum i maksimum funkcji FindMinimum[funkcja, {zmienna, wartosc}]

16 16 0-obliczenia numeryczne.nb NMinimize[funkcja,zmienna] FindMaximum[funkcja,{zmienna,wartosc}] NMaximize[funkcja,zmienna] Opcje: StepMonitor i EvaluationMonitor In[91]:= f x x x x 1 Plot f, x,, Out[91]= 1 x x x x 0 Out[9]= In[9]:= f x x x x 1 FindMinimum f, x, 0 Out[9]= 1 x x x x FindMinimum::lstol : The line search decreased the step size to within the tolerance specified by AccuracyGoal and PrecisionGoal but was unable to find a sufficient decrease in the function. You may need more than MachinePrecision digits of working precision to meet these tolerances. Out[9]= , x In[9]:= FindMinimum f, x, Out[9]= 9.696, x.1906 In[96]:= FindMinimum f, x, Out[96]= 9.696, x.1906

17 0-obliczenia numeryczne.nb 17 In[97]:= NMinimize f, x Out[97]= 9.696, x.1906 In[98]:= Options NMinimize Out[98]= AccuracyGoal Automatic, EvaluationMonitor None, MaxIterations 100, Method Automatic, PrecisionGoal Automatic, StepMonitor None, WorkingPrecision MachinePrecision In[99]:= NMinimize f, x, Method "DifferentialEvolution" Out[99]= 9.696, x.1906 In[100]:= FindMaximum f, x, 0 Out[100]=.701, x In[101]:= FindMaximum f, x, 1 FindMaximum::cvmit : Failed to converge to the requested accuracy or precision within 100 iterations. Out[101]= , x In[10]:= NMaximize f, x NMaximize::cvdiv : Failed to converge to a solution. The function may be unbounded. Out[10]= , x

18 18 0-obliczenia numeryczne.nb In[10]:= i 1; FindMinimum f, x, 0, StepMonitor : Print "i ", i, " x ", x ; i i 1 x 0. i x i x i x i x i 6 x i 7 x FindMinimum::lstol : The line search decreased the step size to within the tolerance specified by AccuracyGoal and PrecisionGoal but was unable to find a sufficient decrease in the function. You may need more than MachinePrecision digits of working precision to meet these tolerances. Out[10]= , x 0.787

19 0-obliczenia numeryczne.nb 19 In[10]:= i 1; FindMinimum f, x, 0, EvaluationMonitor : Print "i ", i, " x ", x ; i i 1 x 0. i x 0. i x i x i x i 6 x i 7 x i 8 x i 9 x i 10 x i 11 x i 1 x i 1 x i 1 x i 1 x FindMinimum::lstol : The line search decreased the step size to within the tolerance specified by AccuracyGoal and PrecisionGoal but was unable to find a sufficient decrease in the function. You may need more than MachinePrecision digits of working precision to meet these tolerances. Out[10]= , x Calkowanie NIntegrate[funkcja, {zmienna, w_pocz, w_konc}]

20 0 0-obliczenia numeryczne.nb In[10]:= NIntegrate Sin x, x, 0, 1 Out[10]= In[106]:= Options NIntegrate Out[106]= AccuracyGoal, Compiled Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions None, MaxPoints Automatic, MaxRecursion Automatic, Method Automatic, MinRecursion 0, PrecisionGoal Automatic, WorkingPrecision MachinePrecision In[107]:= NIntegrate Sin x ^ Cos y^, x, 0, Pi, y, 0, Pi Out[107]= Rozwiazywanie rownan rozniczkowych NDSolve[{rownanie,warunki}, funkcja,{zmienna, w_pocz, w_konc}] In[109]:= DSolve y x Cos x, y x, x Out[109]= y x C 1 Sin x In[110]:= r DSolve y x Cos x, y 0 1, y x, x Out[110]= y x 1 Sin x In[111]:= f y x. r 1 Out[111]= 1 Sin x In[11]:= Table f, x, 0, 10 N Out[11]= 1., 1.817, 1.909, 1.111, 0.198, , 0.708, , , 1.11, 0.979

21 0-obliczenia numeryczne.nb 1 In[11]:= nr NDSolve y x Cos x, y 0 1, y, x, 0, 10 Out[11]= y InterpolatingFunction 0., 10., In[11]:= Table y x. nr 1, x, 0, 10 Out[11]= 1., 1.817, , 1.111, 0.198, , 0.708, , 1.989, 1.11, In[11]:= Plot f, y x. nr 1, x, 0, Out[11]= In[116]:= Options NDSolve Out[116]= AccuracyGoal Automatic, Compiled Automatic, DependentVariables Automatic, EvaluationMonitor None, InterpolationOrder Automatic, MaxStepFraction 1 10, MaxSteps , MaxStepSize Automatic, Method Automatic, NormFunction Automatic, PrecisionGoal Automatic, SolveDelayed Automatic, StartingStepSize Automatic, StepMonitor None, WorkingPrecision MachinePrecision

Podobne dokumenty

Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. 3 Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}], NProduct[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}]

$Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. 3 Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}], NProduct[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}]$ OBLICZENIA NUMERYCZNE, Karolina Mikulska-Ruminska Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. Suma i iloczyn elementow ciagu NSum[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}], NProduct[wyr, {zm, w_pocz, w_konc}]? *Sum* System`